Kaip vadinamas kubas su skirtingomis pusėmis? Hiperkubas

Žmogaus smegenų evoliucija vyko trimatėje erdvėje. Todėl mums sunku įsivaizduoti erdves, kurių matmenys yra didesni nei trys. Tiesą sakant, žmogaus smegenys negali įsivaizduoti geometrinių objektų, kurių matmenys yra didesni nei trys. Ir tuo pačiu galime nesunkiai įsivaizduoti geometrinius objektus, kurių matmenys ne tik trys, bet ir du bei vienas.

Skirtumas ir analogija tarp vienmačių ir dvimačių erdvių, taip pat skirtumas ir analogija tarp dvimačių ir trimačių erdvių leidžia šiek tiek atverti paslapties ekraną, kuris atitveria mus nuo aukštesnių dimensijų erdvių. Norėdami suprasti, kaip naudojama ši analogija, apsvarstykite labai paprastą keturmatį objektą - hiperkubą, tai yra keturmatį kubą. Norėdami būti konkretūs, tarkime, kad norime išspręsti konkrečią problemą, būtent, suskaičiuoti keturmačio kubo kvadratinių paviršių skaičių. Visi tolesni svarstymai bus labai atsainiai, be jokių įrodymų, vien pagal analogiją.

Norėdami suprasti, kaip iš įprasto kubo sukuriamas hiperkubas, pirmiausia turite pažvelgti į tai, kaip įprastas kubas statomas iš įprasto kvadrato. Dėl šios medžiagos pateikimo originalumo įprastą kvadratą čia pavadinsime SubCube (ir nesupainiosime jo su succubus).

Norėdami sukurti kubą iš subkubo, turite išplėsti subkubą kryptimi, statmena subkubo plokštumai, trečiojo matmens kryptimi. Tokiu atveju iš kiekvienos pradinio subkubo pusės išaugs subkubas, kuris yra šoninis dvimatis kubo paviršius, kuris apribos trimatį kubo tūrį iš keturių pusių, dvi statmenos kiekvienai kubo krypčiai. subkubo plokštuma. O išilgai naujos trečiosios ašies taip pat yra du subkubai, ribojantys trimatį kubo tūrį. Tai yra dvimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų subkubas, ir tas dvimatis kubo paviršius, kur subkubas atsirado kubo konstravimo pabaigoje.

Tai, ką ką tik perskaitėte, pateikiama pernelyg išsamiai ir su daugybe paaiškinimų. Ir dėl geros priežasties. Dabar atliksime šį triuką, kai kuriuos žodžius ankstesniame tekste pakeisime formaliai tokiu būdu:
kubas -> hiperkubas
subkubas -> kubas
plokštuma -> tūris
trečias -> ketvirtas
dvimatis -> trimatis
keturi -> šeši
trimatis -> keturmatis
du -> trys
plokštuma -> erdvė

Dėl to gauname tokį prasmingą tekstą, kuris nebeatrodo pernelyg detalus.

Norint sukurti hiperkubą iš kubo, reikia ištempti kubą statmena kubo tūriui kryptimi ketvirtos dimensijos kryptimi. Tokiu atveju iš kiekvienos pradinio kubo pusės išaugs kubas, kuris yra šoninis trimatis hiperkubo paviršius, kuris apribos keturmatį hiperkubo tūrį šešiose pusėse, po tris statmenas kiekvienai krypčiai. kubo erdvė. O išilgai naujos ketvirtosios ašies taip pat yra du kubai, kurie riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį. Tai yra trimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų kubas, ir tas trimatis hiperkubo paviršius, kur kubas atsirado hiperkubo konstravimo pabaigoje.

Kodėl esame tokie įsitikinę, kad gavome teisingą hiperkubo konstrukcijos aprašymą? Taip, nes lygiai tuo pačiu formaliu žodžių pakeitimu gauname kubo konstrukcijos aprašymą iš kvadrato konstrukcijos aprašymo. (Pasitikrinkite patys.)

Dabar aišku, kad jei iš kiekvienos kubo pusės turėtų augti kitas trimatis kubas, tada iš kiekvieno pradinio kubo krašto turėtų augti veidas. Iš viso kubas turi 12 briaunų, o tai reiškia, kad ant tų 6 kubų atsiras dar 12 naujų veidų (subkubų), kurie riboja keturių matmenų tūrį išilgai trijų trimatės erdvės ašių. Ir liko dar du kubai, kurie riboja šį keturių matmenų tūrį iš apačios ir viršaus išilgai ketvirtos ašies. Kiekvienas iš šių kubelių turi 6 veidus.

Iš viso mes nustatome, kad hiperkubas turi 12+6+6=24 kvadratinius veidus.

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta loginė hiperkubo struktūra. Tai tarsi hiperkubo projekcija į trimatę erdvę. Taip gaunamas trimatis šonkaulių rėmas. Paveiksle, žinoma, matote šio kadro projekciją į plokštumą.

Šiame rėmelyje vidinis kubas yra tarsi pradinis kubas, nuo kurio prasidėjo statyba ir kuris riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį išilgai ketvirtos ašies nuo apačios. Šį pradinį kubą ištempiame aukštyn išilgai ketvirtosios matavimo ašies ir jis patenka į išorinį kubą. Taigi šio paveikslo išoriniai ir vidiniai kubai riboja hiperkubą išilgai ketvirtosios matavimo ašies.

Ir tarp šių dviejų kubelių galite pamatyti dar 6 naujus kubus, kurie liečia bendrus veidus su pirmaisiais dviem. Šie šeši kubai surišo mūsų hiperkubą išilgai trijų trimatės erdvės ašių. Kaip matote, jie ne tik liečiasi su pirmaisiais dviem kubeliais, kurie yra šio trimačio rėmo vidiniai ir išoriniai kubai, bet ir vienas su kitu.

Galite suskaičiuoti tiesiai paveikslėlyje ir įsitikinti, kad hiperkubas tikrai turi 24 veidus. Tačiau šis klausimas kyla. Šis hiperkubo rėmas trimatėje erdvėje užpildytas aštuoniais trimačiais kubeliais be jokių tarpų. Norėdami sukurti tikrą hiperkubą iš šios trimatės hiperkubo projekcijos, turite apversti šį rėmelį aukštyn kojomis, kad visi 8 kubai sudarytų 4 matmenų tūrį.

Tai daroma taip. Kviečiame užsukti keturmatės erdvės gyventoją ir paprašyti jo padėti. Jis sugriebia vidinį šio rėmelio kubą ir perkelia jį ketvirtosios dimensijos kryptimi, kuri yra statmena mūsų trimatei erdvei. Savo trimatėje erdvėje mes ją suvokiame taip, tarsi visas vidinis rėmas būtų dingęs ir liko tik išorinio kubo rėmas.

Be to, mūsų keturmatis asistentas siūlo savo pagalbą gimdymo namuose neskausmingam gimdymui, tačiau mūsų nėščiąsias gąsdina perspektyva, kad kūdikis tiesiog išnyks iš skrandžio ir atsidurs lygiagrečioje trimatėje erdvėje. Todėl keturmačio žmogaus mandagiai atsisakoma.

Ir mus glumina klausimas, ar kai kurie mūsų kubeliai subyrėjo, kai apvertėme hiperkubo rėmą. Galų gale, jei kai kurie trimačiai kubai, supantys hiperkubą, savo veidais liečia savo kaimynus ant rėmo, ar jie taip pat liečiasi su tais pačiais veidais, jei keturmatis kubas apvers rėmą iš vidaus?

Vėl pereikime prie analogijos su mažesnių matmenų erdvėmis. Palyginkite hiperkubo rėmo vaizdą su trimačio kubo projekcija į plokštumą, parodytą kitame paveikslėlyje.

Dvimatės erdvės gyventojai pastatė ant plokštumos rėmą kubo projekcijai į plokštumą ir kvietė mus, erdvinius gyventojus, apversti šį rėmą iš vidaus. Paimame keturias vidinio kvadrato viršūnes ir perkeliame jas statmenai plokštumai. Dvimačiai gyventojai mato visišką viso vidinio rėmo išnykimą, o jiems lieka tik išorinės aikštės karkasas. Atliekant tokią operaciją, visi kvadratai, kurie liejosi su savo kraštais, ir toliau liečiasi su tais pačiais kraštais.

Todėl tikimės, kad sukant hiperkubo rėmą į išorę taip pat nebus pažeista loginė hiperkubo schema, o hiperkubo kvadratinių veidų skaičius nepadidės ir vis tiek bus lygus 24. Tai, žinoma, , yra visai ne įrodymas, o tik spėjimas pagal analogiją .

Po visko, ką čia perskaitėte, galite lengvai nubrėžti penkiamačio kubo loginę sistemą ir apskaičiuoti jo turimų viršūnių, briaunų, veidų, kubelių ir hiperkubų skaičių. Tai visai nesunku.

Tesseract yra keturmatis hiperkubas – kubas keturmatėje erdvėje.
Remiantis Oksfordo žodynu, žodį tesseraktas 1888 metais sugalvojo ir pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) knygoje „A New Age of Thought“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino tetrakubu (gr. τετρα – keturi) – keturmačiu kubu.
Įprastas tesraktas Euklido keturmatėje erdvėje apibrėžiamas kaip išgaubtas taškų korpusas (±1, ±1, ±1, ±1). Kitaip tariant, jis gali būti pavaizduotas kaip toks rinkinys:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesraktą riboja aštuonios hiperplokštumos x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , kurių sankirta su tesseraktu pati apibrėžia jį trimačiais paviršiais (kurie yra įprasti kubai) Kiekviena nelygiagrečių trimačių veidų pora susikerta ir sudaro dvimačius paviršius (kvadratus) ir t paviršiai, 24 dvimačiai paviršiai, 32 briaunos ir 16 viršūnių.
Populiarus aprašymas
Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.
Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratinis CDBA. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą CDBAGHFE. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą CDBAGHFEKLJIOPNM.
Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato CDBA kraštinė, kvadratas - kaip kubo CDBAGHFE kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo pusė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, kubas – aštuonias. Taigi keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 tos, kurios buvo paslinktos ketvirtajame matmenyje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtį, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje yra tik vienas (pats kvadratas), kubas turi 6 iš jų (du veideliai nuo perkelto kvadrato ir dar keturi, apibūdinantys jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų nuo dvylikos kraštų.
Kaip kvadrato kraštinės yra 4 vienmačiai segmentai, o kubo kraštinės (pusės) yra 6 dvimačiai kvadratai, taip ir „keturmačio kubo“ (tesserakto) kraštinės yra 8 trimačiai kubai. . Priešingų tesseraktų kubelių porų erdvės (tai yra trimatės erdvės, kurioms priklauso šie kubai) yra lygiagrečios. Paveiksle tai yra kubeliai: CDBAGHFE ir KLJIOPNM, CDBAKLJI ir GHFEOPNM, EFBAMNJI ir GHDCOPLK, CKIAGOME ir DLJBHPNF.
Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnių matmenų hiperkubų, tačiau daug įdomiau pamatyti, kaip keturmatis hiperkubas atrodys mums, trimatės erdvės gyventojams. Tam naudosime jau žinomą analogijų metodą.
Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus projektuojamos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o juos jungiančios linijos tęsis ketvirtosios ašies kryptimi. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.
Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie perspektyvoje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.
Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą – vystymąsi. Jis turės kvadratą kiekvienoje pradinio veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“.
Tesrakto savybės yra mažesnio matmens geometrinių figūrų savybių tęsinys į keturių matmenų erdvę.

Hiperkubo ir platoniškos kietosios medžiagos

Sumodeliuokite sutrumpintą ikosaedrą („futbolo kamuolį“) „Vektoriaus“ sistemoje
kuriame kiekvienas penkiakampis yra apribotas šešiakampiais

Nupjautas ikosaedras galima gauti nupjaunant 12 viršūnių, kad susidarytų taisyklingų penkiakampių formos veidai. Tokiu atveju naujojo daugiakampio viršūnių skaičius padidėja 5 kartus (12×5=60), 20 trikampių paviršių virsta taisyklingais šešiakampiais (iš viso veidai tampa 20+12=32), A briaunų skaičius padidėja iki 30+12×5=90.

Sutrumpinto ikosaedro konstravimo žingsniai „Vektoriaus“ sistemoje

Figūros 4-matėje erdvėje.

--à

--à ?

Pavyzdžiui, duotas kubas ir hiperkubas. Hiperkubas turi 24 veidus. Tai reiškia, kad 4 dimensijų oktaedras turės 24 viršūnes. Nors ne, hiperkubas turi 8 kubelių puses – kiekvieno viršūnėje yra centras. Tai reiškia, kad 4 dimensijų oktaedras turės 8 viršūnes, o tai yra dar lengvesnis.

4 matmenų oktaedras. Jį sudaro aštuoni lygiakraščiai ir vienodi tetraedrai,
sujungtos keturiomis kiekvienoje viršūnėje.

Ryžiai. Bandymas imituoti
hipersfera-hipersfera Vector sistemoje

Priekiniai - galiniai veidai - rutuliai be iškraipymų. Dar šeši rutuliai gali būti apibrėžti per elipsoidus arba kvadratinius paviršius (per 4 kontūro linijas kaip generatorius) arba per paviršius (pirmiausia apibrėžti per generatorius).

Daugiau technikų, kaip „sukurti“ hipersferą
- tas pats „futbolo kamuolys“ 4 matmenų erdvėje

2 priedas

Išgaubtam daugiakampiui yra savybė, susijusi su jos viršūnių, briaunų ir paviršių skaičiumi, 1752 m. įrodyta Leonhardo Eulerio ir vadinama Eilerio teorema.

Prieš suformuluodami apsvarstykite mums žinomus daugiakampius ir užpildykite šią lentelę, kurioje B yra nurodyto daugiakampio viršūnių, P - briaunų ir G - paviršių skaičius:

Iš šios lentelės iš karto aišku, kad visiems pasirinktiems daugiakampiams galioja lygybė B - P + G = 2. Pasirodo, ši lygybė galioja ne tik šiems daugiakampiams, bet ir savavališkam išgaubtam daugiakampiui.

Eilerio teorema. Bet kuriam išgaubtam daugiakampiui galioja lygybė

B – P + G = 2,

kur B yra viršūnių skaičius, P yra briaunų skaičius ir G yra tam tikro daugiakampio paviršių skaičius.

Įrodymas. Norėdami įrodyti šią lygybę, įsivaizduokite šio daugiakampio paviršių, pagamintą iš elastingos medžiagos. Nuimkime (iškirpkime) vieną jo paviršių ir likusį paviršių ištempkime į plokštumą. Gauname daugiakampį (sudarytą iš pašalinto daugiakampio paviršiaus kraštų), padalintą į mažesnius daugiakampius (sudaro likusius daugiakampio paviršius).

Atkreipkite dėmesį, kad daugiakampiai gali būti deformuoti, padidinti, sumažinti ar net išlenkti savo šonus, jei tik šonuose nėra tarpų. Viršūnių, briaunų ir veidų skaičius nesikeis.

Įrodykime, kad gautas daugiakampio padalijimas į mažesnius daugiakampius tenkina lygybę

(*)B – P + G " = 1,

čia B yra bendras viršūnių skaičius, P yra bendras briaunų skaičius, o Г " yra daugiakampių, įtrauktų į skaidinį, skaičius. Akivaizdu, kad Г " = Г - 1, kur Г yra duotosios briaunų skaičius daugiakampis.

Įrodykime, kad lygybė (*) nekinta, jei duotosios pertvaros kuriame nors daugiakampyje nubrėžta įstrižainė (5 pav., a). Išties, nubrėžus tokią įstrižainę, naujoji pertvara turės B viršūnes, P+1 briaunas ir daugiakampių skaičius padidės vienu. Todėl mes turime

B – (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Naudodamiesi šia savybe, nubrėžiame įstrižaines, kurios įeinančius daugiakampius skaido į trikampius, o gautai pertvarai parodome lygybės (*) įgyvendinamumą (5 pav., b). Norėdami tai padaryti, nuosekliai pašalinsime išorines briaunas, sumažindami trikampių skaičių. Šiuo atveju galimi du atvejai:

a) pašalinti trikampį ABC mūsų atveju būtina pašalinti du šonkaulius AB Ir B.C.;

b) pašalinti trikampįMKNbūtina pašalinti vieną kraštą, mūsų atvejuMN.

Abiem atvejais lygybė (*) nepasikeis. Pavyzdžiui, pirmuoju atveju, pašalinus trikampį, grafiką sudarys B - 1 viršūnės, P - 2 briaunos ir G " - 1 daugiakampis:

(B - 1) - (P + 2) + (G " - 1) = B - P + G ".

Antrą atvejį apsvarstykite patys.

Taigi, pašalinus vieną trikampį, lygybė (*) nekeičiama. Tęsdami šį trikampių pašalinimo procesą, galiausiai pasieksime skaidinį, sudarytą iš vieno trikampio. Tokiam skaidiniui B = 3, P = 3, Г " = 1, taigi B – Р + Г " = 1. Tai reiškia, kad lygybė (*) galioja ir pirminiam skirsniui, iš kurio galiausiai gauname, kad šiai daugiakampio lygybės (*) skaidinys yra teisingas. Taigi pradiniam išgaubtam daugiakampiui lygybė B - P + G = 2 yra teisinga.

Daugiakampio pavyzdys, kuriam Eulerio ryšys negalioja, parodyta 6 paveiksle. Šis daugiakampis turi 16 viršūnių, 32 briaunas ir 16 paviršių. Taigi šiam daugiakampiui galioja lygybė B – P + G = 0.

3 priedas.

„Film Cube 2: Hypercube“ – mokslinės fantastikos filmas, filmo „Kubas“ tęsinys.

Aštuoni nepažįstami žmonės pabunda kubo formos kambariuose. Kambariai yra keturių dimensijų hiperkubo viduje. Kambariai nuolat juda per „kvantinę teleportaciją“, o jei įlipsite į kitą kambarį, vargu ar grįšite į ankstesnįjį. Hiperkube susikerta lygiagretūs pasauliai, kai kuriuose kambariuose laikas teka skirtingai, o kai kurie kambariai yra mirties spąstai.

Filmo siužetas iš esmės atkartoja pirmosios dalies istoriją, kuri atsispindi ir kai kurių veikėjų įvaizdžiuose. Nobelio premijos laureatas Rosenzweigas, apskaičiavęs tikslų hiperkubo sunaikinimo laiką, miršta hiperkubo patalpose..

Kritika

Jei pirmoje dalyje labirinte įkalinti žmonės bandė padėti vieni kitiems, tai šiame filme – kiekvienas už save. Yra daug nereikalingų specialiųjų efektų (dar žinomų kaip spąstai), kurie niekaip logiškai nesusieja šios filmo dalies su ankstesne. Tai yra, paaiškėja, kad filmas „Kubas 2“ yra savotiškas ateities 2020–2030 labirintas, bet ne 2000. Pirmoje dalyje visų tipų spąstus teoriškai gali sukurti žmogus. Antroje dalyje šie spąstai yra kažkokia kompiuterinė programa, vadinamoji „virtuali realybė“.

Pradėkime nuo paaiškinimo, kas yra keturmatė erdvė.

Tai yra vienmatė erdvė, tai yra tiesiog OX ašis. Bet kuris jo taškas apibūdinamas viena koordinate.

Dabar nubrėžkime OY ašį statmenai OX ašiai. Taigi gauname dvimatę erdvę, tai yra XOY plokštumą. Bet kuris jo taškas apibūdinamas dviem koordinatėmis - abscisėmis ir ordinatėmis.

Nubrėžkime OZ ašį statmenai OX ir OY ašims. Rezultatas yra trimatė erdvė, kurioje bet kuris taškas turi abscisę, ordinatę ir aplikaciją.

Logiška, kad ketvirtoji ašis OQ turi būti statmena OX, OY ir OZ ašims tuo pačiu metu. Bet mes negalime tiksliai sukonstruoti tokios ašies, todėl galime tik pabandyti ją įsivaizduoti. Kiekvienas keturmatės erdvės taškas turi keturias koordinates: x, y, z ir q.

Dabar pažiūrėkime, kaip pasirodė keturmatis kubas.

Paveikslėlyje pavaizduota figūra vienmatėje erdvėje – linija.

Jei lygiagrečiai išversite šią liniją išilgai OY ašies ir tada sujungsite atitinkamus dviejų gautų linijų galus, gausite kvadratą.

Panašiai, jei lygiagrečiai išversite kvadratą išilgai OZ ašies ir sujungsite atitinkamas viršūnes, gausite kubą.

O jei lygiagrečiai išversime kubą išilgai OQ ašies ir sujungsime šių dviejų kubų viršūnes, gausime keturmatį kubą. Beje, vadinasi tesseraktas.

Norint nupiešti kubą plokštumoje, jo reikia projektą. Vizualiai tai atrodo taip:

Įsivaizduokime, kad jis kabo ore virš paviršiaus vielinio rėmo modelis kubas, tai yra tarsi "iš vielos", o virš jo yra lemputė. Jei įjungsite lemputę, pieštuku atsekite kubo šešėlį, o tada išjungsite lemputę, paviršiuje bus pavaizduota kubo projekcija.

Pereikime prie kažko šiek tiek sudėtingesnio. Dar kartą pažiūrėkite į piešinį su lempute: kaip matote, visi spinduliai susilieja viename taške. Tai vadinama išnykimo taškas ir naudojamas statyti perspektyvinė projekcija(o taip pat būna lygiagrečiai, kai visi spinduliai yra lygiagretūs vienas kitam. Rezultatas toks, kad tūrio pojūtis nesukuriamas, bet jis lengvesnis, o be to, jei nykimo taškas yra gana toli nuo projektuojamo objekto, t. tada skirtumas tarp šių dviejų projekcijų mažai pastebimas). Norėdami projektuoti nurodytą tašką į nurodytą plokštumą naudodami nykstamą tašką, turite nubrėžti tiesią liniją per išnykimo tašką ir nurodytą tašką, tada rasti gautos tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką. O norint suprojektuoti sudėtingesnę figūrą, tarkime, kubą, reikia suprojektuoti kiekvieną jos viršūnę, o tada sujungti atitinkamus taškus. Reikėtų pažymėti, kad Erdvės projektavimo į poerdvę algoritmas galima apibendrinti 4D->3D atveju, o ne tik 3D->2D.

Kaip sakiau, mes negalime tiksliai įsivaizduoti, kaip atrodo OQ ašis, kaip ir tesseraktas. Tačiau mes galime gauti ribotą supratimą apie tai, jei projektuojame jį į tūrį ir tada nupiešime jį kompiuterio ekrane!

Dabar pakalbėkime apie tesserakto projekciją.

Kairėje yra kubo projekcija į plokštumą, o dešinėje - tesraktas į tūrį. Jie yra gana panašūs: kubo projekcija atrodo kaip du kvadratai, maži ir dideli, vienas kito viduje ir kurių atitinkamos viršūnės sujungtos linijomis. O tesserakto projekcija atrodo kaip du kubai, maži ir dideli, vienas kito viduje ir kurių atitinkamos viršūnės yra sujungtos. Bet mes visi matėme kubą ir galime drąsiai teigti, kad tiek mažas kvadratas, tiek didelis kvadratas, tiek keturios trapecijos viršuje, apačioje, dešinėje ir kairėje nuo mažojo kvadrato iš tikrųjų yra kvadratai ir yra lygūs. . Ir tesseraktas turi tą patį. Ir didelis kubas, ir mažas kubas, ir šešios nupjautos piramidės mažo kubo šonuose - tai visi kubai, ir jie yra lygūs.

Mano programa gali ne tik nupiešti tesserakto projekciją ant tūrio, bet ir ją pasukti. Pažiūrėkime, kaip tai daroma.

Pirmiausia aš jums pasakysiu, kas tai yra sukimasis lygiagrečiai plokštumai.

Įsivaizduokite, kad kubas sukasi aplink OZ ašį. Tada kiekviena jo viršūnė apibūdina apskritimą aplink OZ ašį.

Apskritimas yra plokščia figūra. Ir kiekvieno iš šių apskritimų plokštumos yra lygiagrečios viena kitai, o šiuo atveju lygiagrečios XOY plokštumai. Tai yra, galime kalbėti ne tik apie sukimąsi aplink OZ ašį, bet ir apie sukimąsi lygiagrečiai XOY plokštumai, kaip matome, taškams, kurie sukasi lygiagrečiai XOY ašiai, keičiasi tik abscisė ir ordinatės, o aplikacija išlieka. nepakitęs Ir, tiesą sakant, apie sukimąsi aplink tiesią liniją galime kalbėti tik tada, kai kalbame apie trimatę erdvę. Dvimatėje erdvėje viskas sukasi aplink tašką, keturmatėje erdvėje viskas sukasi apie plokštumą, penkiamatėje erdvėje kalbame apie sukimąsi aplink tūrį. Ir jei galime įsivaizduoti sukimąsi aplink tašką, tai sukimasis aplink plokštumą ir tūrį yra neįsivaizduojamas dalykas. Ir jei mes kalbame apie sukimąsi lygiagrečiai plokštumai, tai bet kurioje n-mačioje erdvėje taškas gali suktis lygiagrečiai plokštumai.

Daugelis iš jūsų tikriausiai girdėjote apie sukimosi matricą. Padauginę iš jo tašką, gauname kampu phi lygiagrečiai plokštumai pasuktą tašką. Dvimatėje erdvėje tai atrodo taip:

Kaip padauginti: x taško, pasukto kampu phi = pradinio taško kampo phi*ix kosinusas atėmus pradinio taško kampo phi*ig sinusus;
taško, pasukto kampu phi, ig = pradinio taško kampo phi * ix sinusas plius kampo phi * ig pradinio taško kosinusas.
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, kur Xa ir Ya yra pasukamo taško abscisė ir ordinatė, Xa` ir Ya` yra jau pasukto taško abscisė ir ordinatė

Trimatėje erdvėje ši matrica apibendrinta taip:

Sukimas lygiagretus XOY plokštumai. Kaip matote, Z koordinatė nesikeičia, o keičiasi tik X ir Y
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (iš esmės Za`=Za)

Sukimas lygiagretus XOZ plokštumai. Nieko naujo,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 – sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (iš esmės Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Ir trečioji matrica.
Xa = Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (iš esmės Xa = Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya – sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

O ketvirtajam matmeniui jie atrodo taip:


Manau, jūs jau suprantate, iš ko padauginti, todėl daugiau nekalbėsiu. Tačiau atkreipiu dėmesį, kad ji daro tą patį, kaip ir matrica, skirta sukimui lygiagrečiai plokštumai trimatėje erdvėje! Abi jos keičia tik ordinatę ir aplikaciją, o kitų koordinačių neliečia, todėl galima naudoti trimačiu atveju, tiesiog nekreipiant dėmesio į ketvirtą koordinatę.

Tačiau su projekcijos formule ne viskas taip paprasta. Kad ir kiek forumų skaičiau, nė vienas projekcijos metodas man nepasiteisino. Lygiagretusis man netiko, nes projekcija neatrodytų trimatė. Vienose projekcijų formulėse, norint rasti tašką, reikia išspręsti lygčių sistemą (o aš nežinau, kaip išmokyti kompiuterį jas spręsti), kitose aš tiesiog nesupratau... Apskritai nusprendžiau sugalvok savo būdą. Šiuo tikslu apsvarstykite 2D->1D projekciją.

pov reiškia "Point of view", ptp reiškia "Point to project" (taškas, kurį reikia projektuoti), o ptp` yra norimas taškas OX ašyje.

Kampai povptpB ir ptpptp`A yra lygūs kaip atitinkantys (punktyrinė linija lygiagreti OX ašiai, tiesi linija povptp yra sekantas).
Taško ptp` x yra lygus taško ptp x atėmus atkarpos ptp`A ilgį. Šį segmentą galima rasti iš trikampio ptpptp`A: ptp`A = ptpA/kampo ptpptp`A liestinė. Šią liestinę galime rasti iš trikampio povptpB: liestinė ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Atsakymas: Xptp`=Xptp-Yptp/kampo liestinė ptpptp`A.

Detaliau šio algoritmo neaprašiau, nes yra daug ypatingų atvejų, kai formulė šiek tiek pasikeičia. Jei kam įdomu, pažiūrėkit programos išeities kodą, ten viskas aprašyta komentaruose.

Norėdami suprojektuoti tašką trimatėje erdvėje į plokštumą, mes tiesiog atsižvelgiame į dvi plokštumas - XOZ ir YOZ ir išsprendžiame šią problemą kiekvienai iš jų. Keturių matmenų erdvės atveju būtina atsižvelgti į tris plokštumas: XOQ, YOQ ir ZOQ.

Ir pabaigai apie programą. Tai veikia taip: inicijuokite šešiolika tesserakto viršūnių -> priklausomai nuo vartotojo įvestų komandų, pasukite jį -> projektuokite į tomą -> priklausomai nuo vartotojo įvestų komandų, pasukite jo projekciją -> projektuokite į lėktuvas -> piešti.

Projekcijas ir sukimus rašiau pati. Jie veikia pagal formules, kurias ką tik aprašiau. OpenGL biblioteka piešia linijas ir taip pat tvarko spalvų maišymą. Ir tesserakto viršūnių koordinatės apskaičiuojamos taip:

Tiesės, kurios centras yra ištakoje, viršūnių koordinatės ir ilgis 2 - (1) ir (-1);
- " - " - kvadratas - " - " - ir 2 ilgio briauna:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) ir (-1; -1);
- " - " - kubas - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Kaip matote, kvadratas yra viena linija virš OY ašies ir viena linija žemiau OY ašies; kubas yra vienas kvadratas prieš XOY plokštumą ir vienas už jo; Tesraktas yra vienas kubas kitoje XOYZ tūrio pusėje ir vienas šioje pusėje. Bet daug lengviau suvokti šį vienetų ir minusų kaitą, jei jie parašyti stulpelyje

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Pirmajame stulpelyje pakaitomis vienas ir minus vienas. Antrame stulpelyje pirmiausia yra du pliusai, tada du minusai. Trečioje - keturi plius vienetai, o paskui keturi minus vienetai. Tai buvo kubo viršūnės. Teseraktas jų turi dvigubai daugiau, todėl jiems deklaruoti reikėjo parašyti kilpą, kitaip labai lengva susipainioti.

Mano programa taip pat gali piešti anaglifą. Laimingi 3D akinių savininkai gali stebėti stereoskopinį vaizdą. Piešti paveikslėlį nėra nieko sudėtingo, jūs tiesiog nupiešite dvi projekcijas dešinei ir kairiajai akims. Tačiau programa tampa daug vizualesnė ir įdomesnė, o svarbiausia – geriau suvokia keturmatį pasaulį.

Mažiau reikšmingos funkcijos yra vienos iš kraštų apšvietimas raudonai, kad posūkiai būtų geriau matomi, taip pat nedideli patogumai - „akių“ taškų koordinačių reguliavimas, posūkio greičio didinimas ir mažinimas.

Archyvas su programa, šaltinio kodu ir naudojimo instrukcijomis.

Kas yra hiperkubas ir keturmatė erdvė

Mūsų įprasta erdvė turi tris matmenis. Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad jame gali būti nurodytos trys viena kitai statmenos linijos. Tai yra, bet kuriai linijai galite rasti antrą eilutę, statmeną pirmajai, o porai galite rasti trečią eilutę, statmeną pirmiesiems dviem. Nebebus galima rasti ketvirtos tiesės, statmenos esamoms trims.

Keturmatė erdvė nuo mūsų skiriasi tik tuo, kad turi dar vieną papildomą kryptį. Jei jau turite tris viena kitai statmenas linijas, galite rasti ketvirtą, tokią, kad ji būtų statmena visoms trims.

Hiperkubas yra tiesiog kubas keturmatėje erdvėje.
Ar įmanoma įsivaizduoti keturmatę erdvę ir hiperkubą?

Šis klausimas susijęs su klausimu: „ar įmanoma įsivaizduoti Paskutinę vakarienę žiūrint į Leonardo da Vinci (1452–1519) to paties pavadinimo (1495–1498) paveikslą?

Viena vertus, jūs, žinoma, neįsivaizduosite, ką matė Jėzus (jis sėdi veidu į žiūrovą), juolab kad už lango neužuosite sodo kvapo ir neparaguosite maisto ant stalo, negirdėsite paukščių. dainavimas... Viso to, kas vyko tą vakarą, vaizdo negausi, bet negalima sakyti, kad nieko naujo nesužinosi ir kad vaizdas neįdomus.

Panaši situacija ir su hiperkubo klausimu. Neįmanoma iki galo to įsivaizduoti, bet galima priartėti prie supratimo, kas tai yra.
Hiperkubo statyba
0 matmenų kubas

Pradėkime nuo pradžių – nuo ​​0 matmenų kubo. Šiame kube yra 0 viena kitai statmenų veidų, tai yra, tai tik taškas.

1 dimensijos kubas

Vienmatėje erdvėje turime tik vieną kryptį. Perkeliame tašką šia kryptimi ir gauname atkarpą.

Tai yra vienmatis kubas.
2 matmenų kubas

Turime antrą matmenį, savo vienmatį kubą (segmentą) perkeliame antrojo matmens kryptimi ir gauname kvadratą.

Tai kubas dvimatėje erdvėje.
3 matmenų kubas

Atsiradus trečiajam matmeniui, elgiamės panašiai: perkeliame kvadratą ir gauname įprastą trimatį kubą.

4 matmenų kubas (hiperkubas)

Dabar turime ketvirtą dimensiją. Tai yra, mes turime kryptį, statmeną visoms trims ankstesnėms. Naudokime lygiai taip pat. Keturmatis kubas atrodys taip.

Natūralu, kad trimačiai ir keturmačiai kubeliai negali būti vaizduojami dvimačio ekrano plokštumoje. Tai, ką nupiešiau, yra projekcijos. Apie prognozes pakalbėsime šiek tiek vėliau, bet kol kas keli faktai ir skaičiai.
Viršūnių, briaunų, paviršių skaičius
Įvairių dydžių kubelių charakteristikos
1 erdvės matmuo
2-viršūnių skaičius
3 briaunų skaičius
4 veidų skaičius

0 (taškas) 1 0 0
1 (segmentas) 2 1 2 (taškai)
2 (kvadratas) 4 4 4 (segmentai)
3 (kubas) 8 12 6 (kvadratai)
4 (hiperkubas) 16 32 8 (kubeliai)
N (bendra formulė) 2N N 2N-1 2 N

Atkreipkite dėmesį, kad hiperkubo veidas yra mūsų įprastas trimatis kubas. Jei atidžiai pažvelgsite į hiperkubo piešinį, iš tikrųjų galite rasti aštuonis kubus.
Keturmatės erdvės gyventojo projekcijos ir vizija
Keletas žodžių apie regėjimą

Mes gyvename trimačiame pasaulyje, bet matome jį kaip dvimatį. Taip yra dėl to, kad mūsų akių tinklainė yra plokštumoje, kuri turi tik du matmenis. Štai kodėl mes galime suvokti dvimačius paveikslus ir rasti juos panašius į tikrovę. (Žinoma, akomodacijos dėka akis gali įvertinti atstumą iki objekto, tačiau tai yra šalutinis poveikis, susijęs su mūsų akyse įmontuota optika.)

Keturmatės erdvės gyventojo akys turi turėti trimatę tinklainę. Toks padaras gali iš karto pamatyti visą trimatę figūrą: visus jos veidus ir interjerus. (Taip pat galime pamatyti dvimatę figūrą, visus jos veidus ir interjerus.)

Taigi, pasitelkę regėjimo organus, keturmačio kubo nesugebame suvokti taip, kaip jį suvoktų keturmatės erdvės gyventojas. Deja. Belieka pasikliauti savo protu ir vaizduote, kuri, laimei, neturi fizinių apribojimų.

Tačiau vaizduodamas hiperkubą plokštumoje, esu tiesiog priverstas atlikti jo projekciją į dvimatę erdvę. Atsižvelkite į šį faktą studijuodami brėžinius.
Kraštinės sankryžos

Natūralu, kad hiperkubo kraštai nesikerta. Sankryžos matomos tik brėžiniuose. Tačiau tai neturėtų stebinti, nes paveiksluose įprasto kubo kraštai taip pat susikerta.
Šonkaulių ilgiai

Verta paminėti, kad visi keturių matmenų kubo veidai ir kraštai yra lygūs. Paveiksle jie pasirodo nelygūs tik todėl, kad yra skirtingais kampais žiūrėjimo kryptimi. Tačiau hiperkubą galima pasukti taip, kad visos projekcijos būtų vienodo ilgio.

Beje, šioje figūroje aiškiai matomi aštuoni kubeliai, kurie yra hiperkubo veidai.
Hiperkubas viduje tuščias

Sunku patikėti, bet tarp kubų, kurie ribojo hiperkubą, yra tam tikra erdvė (keturmatės erdvės fragmentas).

Norėdami tai geriau suprasti, pažvelkime į paprasto trimačio kubo dvimatę projekciją (aš sąmoningai padariau ją šiek tiek schematiškai).

Ar iš to galite atspėti, kad kubo viduje yra vietos? Taip, bet tik pasitelkus savo vaizduotę. Akis šios erdvės nemato. Taip atsitinka todėl, kad kraštai, esantys trečiajame matmenyje (kurio negalima pavaizduoti plokščiame brėžinyje), dabar pavirto į segmentus, esančius brėžinio plokštumoje. Jie nebeteikia apimties.

Kvadratai, juosiantys kubo erdvę, persidengė vienas kitą. Tačiau galima įsivaizduoti, kad pirminėje figūroje (trimatis kubas) šie kvadratai buvo išdėstyti skirtingose ​​plokštumose, o ne vienas ant kito toje pačioje plokštumoje, kaip atsitiko paveiksle.

Lygiai tokia pati situacija ir su hiperkubu. Hiperkubo kubai-veideliai iš tikrųjų nesutampa, kaip mums atrodo projekcijoje, o yra keturmatėje erdvėje.
Šluoja

Taigi, keturmatės erdvės gyventojas gali matyti trimatį objektą iš visų pusių vienu metu. Ar galime matyti trimatį kubą iš visų pusių vienu metu? Su akimi – ne. Tačiau žmonės sugalvojo, kaip ant plokščio piešinio vienu metu pavaizduoti visus trimačio kubo veidus. Toks vaizdas vadinamas nuskaitymu.
Trimačio kubo kūrimas

Turbūt visi žino, kaip formuojasi trimačio kubo raida. Šis procesas parodytas animacijoje.

Aiškumo dėlei kubo paviršių kraštai yra permatomi.

Reikia pažymėti, kad šį dvimatį paveikslą galime suvokti tik savo vaizduotės dėka. Jei atsiskleidžiančias fazes nagrinėsime vien dvimačiu požiūriu, procesas atrodys keistas ir visai neaiškus.

Panašu, kad iš pradžių laipsniškai atsiranda iškreiptų kvadratų kontūrai, o paskui jie įsislenka į vietą, kartu įgaunant reikiamą formą.

Jei žiūrite į išsiskleidžiantį kubą vieno iš jo veidų kryptimi (šiuo požiūriu kubas atrodo kaip kvadratas), tada išsiskleidimo formavimosi procesas yra dar mažiau aiškus. Viskas atrodo kaip kvadratai, išslenkantys iš pradinio kvadrato (ne išskleisto kubo).

Tačiau nuskaitymas nėra vizualinis tik akims. Savo vaizduotės dėka galite iš jo surinkti daug informacijos.
Keturmačio kubo kūrimas

Animacinio hiperkubo išskleidimo proceso tiesiog neįmanoma paversti bent kiek vizualiu. Tačiau šį procesą galima įsivaizduoti. (Norėdami tai padaryti, turite pažvelgti į tai keturių matmenų būtybės akimis.)

Nuskaitymas atrodo taip.

Čia matomi visi aštuoni kubai, ribojantys hiperkubą.

Tomis pačiomis spalvomis nudažyti kraštai, kurie turėtų susilyginti sulenkus. Veidai, kurių poros nematomos, paliekami pilki. Sulenkus viršutinio kubo viršutinis kraštas turi sutapti su apatinio kubo kraštu. (Trimatis kubas išskleidžiamas panašiai.)

Atkreipkite dėmesį, kad po konvoliucijos visi aštuonių kubų paviršiai susilies ir uždarys hiperkubą. Ir galiausiai, įsivaizduodami lankstymo procesą, nepamirškite, kad lankstymo metu atsiranda ne kubelių sutapimas, o jų apvyniojimas aplink tam tikrą (hiperkubinį) keturių matmenų plotą.

Salvadoras Dali (1904-1989) daug kartų vaizdavo nukryžiavimą, daugelyje jo paveikslų figūruoja kryžiai. Paveiksle „Nukryžiavimas“ (1954) naudojamas hiperkubo skenavimas.
Erdvė-laikas ir Euklido keturmatė erdvė

Tikiuosi, kad jums pavyko įsivaizduoti hiperkubą. Bet ar jums pavyko priartėti prie supratimo, kaip veikia keturių dimensijų erdvėlaikis, kuriame gyvename? Deja, ne visai.

Čia mes kalbėjome apie Euklido keturių dimensijų erdvę, tačiau erdvės laikas turi visiškai kitokias savybes. Visų pirma, bet kokio sukimosi metu segmentai visada lieka pasvirę į laiko ašį arba mažesniu nei 45 laipsnių kampu, arba didesniu nei 45 laipsniais.

2 ŠALTINIS

Tesseract yra keturmatis hiperkubas, kubo analogas keturmatėje erdvėje. Remiantis Oksfordo žodynu, žodį „tesseraktas“ 1888 m. sugalvojo ir pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) knygoje „A New Age of Thought“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino „tetrakubu“.

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.
Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratas ABCD. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą ABCDHEFG. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą ABCDEFGHIJKLMNOP.

Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato ABCD kraštinė, kvadratas – kaip kubo ABCDHEFG kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo pusė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, kubas – aštuonias. Taigi keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 tos, kurios buvo paslinktos ketvirtajame matmenyje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtį, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje yra tik vienas (pats kvadratas), kubas turi 6 iš jų (du veideliai nuo perkelto kvadrato ir dar keturi, apibūdinantys jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų nuo dvylikos kraštų.

Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnių matmenų hiperkubų, tačiau daug įdomiau pamatyti, kaip keturmatis hiperkubas atrodys mums, trimatės erdvės gyventojams. Tam naudosime jau žinomą analogijų metodą.
Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus suprojektuotos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o juos jungiančios linijos tęsis ketvirtoje dimensijoje. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.

Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie perspektyvoje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Dalis, kuri liko „mūsų“ erdvėje, brėžiama ištisinėmis linijomis, o dalis, patekusi į hipererdvę – punktyrinėmis linijomis. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą – vystymąsi. Jis turės kvadratą kiekvienoje originalaus veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“. Tesrakto savybės yra mažesnio matmens geometrinių figūrų savybių tęsinys į keturių matmenų erdvę.

Kiti vardai
Heksadekachoronas
Oktachoronas
Tetrakubas
4-kubas
Hiperkubas (jei matmenų skaičius nenurodytas)

10 matmenų erdvė
Tai anglų kalba

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338