Tiesioginio proporcingumo samprata

Įsivaizduokite, kad planuojate pirkti mėgstamus saldainius (ar bet ką, kas jums labai patinka). Saldainiai parduotuvėje turi savo kainą. Tarkime, 300 rublių už kilogramą. Kuo daugiau saldainių perkate, tuo daugiau pinigų sumokėsite. Tai jei nori 2 kilogramų, mokėk 600 rublių, o jei nori 3 kilogramų – 900 rublių. Atrodo, kad viskas aišku, tiesa?

Jei taip, tada jums dabar aišku, kas yra tiesioginis proporcingumas – tai sąvoka, apibūdinanti dviejų vienas nuo kito priklausomų dydžių ryšį. Ir šių dydžių santykis išlieka nepakitęs ir pastovus: kiek dalių viena jų didėja arba mažėja, tiek pat dalių proporcingai didėja arba mažėja antra.

Tiesioginį proporcingumą galima apibūdinti tokia formule: f(x) = a*x, o a šioje formulėje yra pastovi reikšmė (a = const). Mūsų pavyzdyje apie saldainius kaina yra pastovi vertė, konstanta. Jis nedidėja ir nemažėja, kad ir kiek saldainių nuspręstumėte nusipirkti. Nepriklausomas kintamasis (argumentas) x yra tai, kiek kilogramų saldainių ketinate pirkti. Ir priklausomas kintamasis f(x) (funkcija) yra tai, kiek pinigų galiausiai sumokėsite už pirkinį. Taigi galime pakeisti skaičius į formulę ir gauti: 600 rublių. = 300 rub. * 2 kg.

Tarpinė išvada tokia: jei argumentas didėja, funkcija taip pat didėja, jei argumentas mažėja, funkcija taip pat mažėja

Funkcija ir jos savybės

Tiesioginė proporcinga funkcija yra ypatingas tiesinės funkcijos atvejis. Jei tiesinė funkcija yra y = k*x + b, tai tiesioginiam proporcingumui ji atrodo taip: y = k*x, kur k vadinamas proporcingumo koeficientu, ir jis visada yra ne nulis skaičius. Apskaičiuoti k nesunku – jis randamas kaip funkcijos ir argumento koeficientas: k = y/x.

Kad būtų aiškiau, paimkime kitą pavyzdį. Įsivaizduokite, kad automobilis juda iš taško A į tašką B. Jo greitis yra 60 km/val. Jei darome prielaidą, kad judėjimo greitis išlieka pastovus, tada jį galima laikyti konstanta. Ir tada parašome sąlygas forma: S = 60*t, ir ši formulė yra panaši į tiesioginio proporcingumo y = k *x funkciją. Nubrėžkime paralelę toliau: jei k = y/x, tai automobilio greitį galima apskaičiuoti žinant atstumą tarp A ir B ir kelyje praleistą laiką: V = S /t.

O dabar, nuo tiesioginio proporcingumo žinių pritaikymo, grįžkime prie jo funkcijos. Kurių savybės apima:

jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė (taip pat ir jos poaibių);

funkcija nelyginė;

kintamųjų pokytis yra tiesiogiai proporcingas per visą skaičių linijos ilgį.

Tiesioginis proporcingumas ir jo grafikas

Tiesioginio proporcingumo funkcijos grafikas yra tiesė, kuri kerta pradžią. Norėdami jį pastatyti, pakanka pažymėti dar vieną tašką. Ir sujunkite jį ir koordinačių pradžią tiesia linija.

Grafo atveju k yra nuolydis. Jei nuolydis mažesnis už nulį (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafikas ir x ašis sudaro smailųjį kampą, o funkcija didėja.

Ir dar viena tiesioginio proporcingumo funkcijos grafiko savybė yra tiesiogiai susijusi su nuolydžiu k. Tarkime, kad turime dvi neidentiškas funkcijas ir atitinkamai du grafikus. Taigi, jei šių funkcijų koeficientai k yra lygūs, jų grafikai yra lygiagrečiai koordinačių ašiai. O jei koeficientai k nelygūs vienas kitam, grafikai susikerta.

Pavyzdinės problemos

Dabar išspręskime porą tiesioginio proporcingumo problemų

Pradėkime nuo kažko paprasto.

1 problema: Įsivaizduokite, kad 5 vištos per 5 dienas padėjo 5 kiaušinius. O jei vištų yra 20, kiek kiaušinių jos padės per 20 dienų?

Sprendimas: Nežinomąjį pažymėkime kx. Ir samprotuosime taip: kiek kartų daugiau vištų atsirado? Padalinkite 20 iš 5 ir sužinokite, kad tai yra 4 kartus. Kiek kartų daugiau kiaušinių padės 20 vištų per tas pačias 5 dienas? Taip pat 4 kartus daugiau. Taigi, savo randame taip: 5*4*4 = 80 kiaušinių per 20 dienų padės 20 vištų.

Dabar pavyzdys yra šiek tiek sudėtingesnis, perfrazuokime problemą iš Newtono „Bendrosios aritmetikos“. 2 problema: rašytojas gali sukurti 14 naujos knygos puslapių per 8 dienas. Jei jis turėtų padėjėjų, kiek žmonių reikėtų parašyti 420 puslapių per 12 dienų?

Sprendimas: Manome, kad žmonių (rašytojo + padėjėjų) skaičius didėja didėjant darbo apimčiai, jei jį reikia atlikti per tiek pat laiko. Bet kiek kartų? Padalinę 420 iš 14, sužinome, kad jis padidėja 30 kartų. Bet kadangi pagal užduoties sąlygas darbui skiriama daugiau laiko, padėjėjų skaičius padidėja ne 30 kartų, o tokiu būdu: x = 1 (rašytojas) * 30 (kartų): 12/8 ( dienos). Transformuokime ir išsiaiškinkime, kad x = 20 žmonių per 12 dienų parašys 420 puslapių.

Išspręskime kitą problemą, panašią į pateiktą mūsų pavyzdžiuose.

3 problema: du automobiliai išvyko į tą pačią kelionę. Vienas važiavo 70 km/h greičiu ir tą patį atstumą įveikė per 2 valandas, o kitas užtruko 7 valandas. Raskite antrojo automobilio greitį.

Sprendimas: Kaip prisimenate, kelias nustatomas pagal greitį ir laiką - S = V *t. Kadangi abu automobiliai nuvažiavo tą patį atstumą, galime sulyginti dvi išraiškas: 70*2 = V*7. Kaip randame, kad antrojo automobilio greitis V = 70*2/7 = 20 km/h.

Ir dar pora užduočių pavyzdžių su tiesioginio proporcingumo funkcijomis. Kartais problemos reikalauja rasti koeficientą k.

4 užduotis: atsižvelgiant į funkcijas y = - x/16 ir y = 5x/2, nustatykite jų proporcingumo koeficientus.

Sprendimas: kaip prisimenate, k = y/x. Tai reiškia, kad pirmosios funkcijos koeficientas lygus -1/16, o antrosios k = 5/2.

Taip pat galite susidurti su tokia užduotimi kaip 5 užduotis: užrašykite tiesioginį proporcingumą naudodami formulę. Jo grafikas ir funkcijos y = -5x + 3 grafikas yra lygiagrečiai.

Sprendimas: funkcija, kuri mums suteikta sąlygoje, yra tiesinė. Žinome, kad tiesioginis proporcingumas yra ypatingas tiesinės funkcijos atvejis. Taip pat žinome, kad jei k funkcijų koeficientai yra lygūs, jų grafikai yra lygiagretūs. Tai reiškia, kad tereikia apskaičiuoti žinomos funkcijos koeficientą ir nustatyti tiesioginį proporcingumą naudojant mums žinomą formulę: y = k *x. Koeficientas k = -5, tiesioginis proporcingumas: y = -5*x.

Išvada

Dabar jūs sužinojote (arba prisiminėte, jei jau nagrinėjote šią temą anksčiau), kas vadinama tiesioginis proporcingumas, ir pažiūrėjo pavyzdžių. Taip pat kalbėjome apie tiesioginio proporcingumo funkciją ir jos grafiką bei išsprendėme keletą pavyzdinių uždavinių.

Jei šis straipsnis buvo naudingas ir padėjo suprasti temą, papasakokite apie tai komentaruose. Kad žinotume, ar galime jums būti naudingi.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Priklausomybės tipai

Pažiūrėkime, kaip įkrauti akumuliatorių. Kaip pirmą kiekį, skirkime laiko įkrovimui. Antroji reikšmė yra laikas, kurį jis veiks po įkrovimo. Kuo ilgiau krausite akumuliatorių, tuo ilgiau jis tarnaus. Procesas tęsis tol, kol baterija bus visiškai įkrauta.

Akumuliatoriaus veikimo laiko priklausomybė nuo įkrovimo laiko

1 pastaba

Ši priklausomybė vadinama tiesiai:

Didėjant vienai reikšmei, didėja ir antroji. Vienai reikšmei mažėjant, mažėja ir antroji vertė.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Kuo daugiau knygų mokinys perskaitys, tuo mažiau diktante padarys klaidų. Arba kuo aukščiau pakilsite į kalnus, tuo žemesnis bus atmosferos slėgis.

Užrašas 2

Ši priklausomybė vadinama atvirkščiai:

Kai viena vertė didėja, antroji mažėja. Kai viena vertė mažėja, antroji reikšmė didėja.

Taigi, tuo atveju tiesioginė priklausomybė abu dydžiai kinta vienodai (abu didėja arba mažėja), o tuo atveju atvirkštinis ryšys– priešingai (vienas didėja, o kitas mažėja, arba atvirkščiai).

Priklausomybių tarp dydžių nustatymas

1 pavyzdys

Laikas, kurio reikia norint aplankyti draugą, yra 20 USD minučių. Jei greitis (pirmoji vertė) padidės $2$ kartų, sužinosime, kaip pasikeis laikas (antra reikšmė), kuris bus praleistas kelyje pas draugą.

Akivaizdu, kad laikas sumažės 2 USD kartų.

3 pastaba

Ši priklausomybė vadinama proporcingas:

Kiek kartų keičiasi vienas dydis, kiek kartų keičiasi antrasis dydis.

2 pavyzdys

Už 2 USD duonos kepalus parduotuvėje reikia sumokėti 80 rublių. Jei jums reikia nusipirkti 4 USD duonos kepalų (duonos kiekis padidėja 2 USD kartus), kiek kartų daugiau turėsite sumokėti?

Akivaizdu, kad kaina taip pat padidės 2 USD kartus. Turime proporcingos priklausomybės pavyzdį.

Abiejuose pavyzdžiuose buvo nagrinėjamos proporcingos priklausomybės. Bet pavyzdyje su duonos kepalais kiekiai keičiasi viena kryptimi, todėl priklausomybė yra tiesiai. O ėjimo pas draugą pavyzdyje greičio ir laiko santykis yra atvirkščiai. Taigi yra tiesiogiai proporcingas santykis Ir atvirkščiai proporcingas ryšys.

Tiesioginis proporcingumas

Apsvarstykime 2 USD proporcingus kiekius: duonos kepalų skaičių ir jų kainą. Tegul duonos kepaliukai kainuoja 2 USD, 80 USD. Jei bandelių skaičius padidės $4$ kartų ($8$ bandelės), jų bendra kaina bus $320$ rublių.

Ritimų skaičiaus santykis: $\frac(8)(2)=4$.

Bandelės kainos santykis: $\frac(320)(80)=4$.

Kaip matote, šie santykiai yra lygūs vienas kitam:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

1 apibrėžimas

Dviejų santykių lygybė vadinama proporcija.

Esant tiesiogiai proporcingai priklausomybei, ryšys gaunamas, kai pirmojo ir antrojo dydžių pokytis sutampa:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

2 apibrėžimas

Du dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingas, jei vienam iš jų pasikeitus (padidėjus arba mažėjant), kita reikšmė taip pat pasikeičia (atitinkamai didėja arba mažėja) tiek pat.

3 pavyzdys

Automobilis nuvažiavo 180 USD km per 2 USD valandas. Raskite laiką, per kurį jis įveiks $2$ kartų didesnį atstumą tuo pačiu greičiu.

Sprendimas.

Laikas yra tiesiogiai proporcingas atstumui:

$t=\frac(S)(v)$.

Kiek kartų padidės atstumas, esant pastoviam greičiui, tiek pat padidės laikas:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Automobilis nuvažiavo 180 USD km per 2 USD valandas

Automobilis nuvažiuos $180 \cdot 2=360$ km – per $x$ valandas

Kuo toliau automobilis važiuoja, tuo ilgiau užtruks. Vadinasi, santykis tarp kiekių yra tiesiogiai proporcingas.

Padarykime proporciją:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Atsakymas: Automobiliui reikės 4 USD valandų.

Atvirkštinis proporcingumas

3 apibrėžimas

Sprendimas.

Laikas atvirkščiai proporcingas greičiui:

$t=\frac(S)(v)$.

Kiek kartų greitis padidėja tuo pačiu keliu, laikas sumažėja tiek pat:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Parašykime problemos sąlygą lentelės pavidalu:

Automobilis nuvažiavo 60 USD km – per 6 USD valandas

Automobilis nuvažiuos $120$ km – per $x$ valandas

Kuo greičiau automobilis važiuoja, tuo mažiau laiko užtruks. Vadinasi, santykis tarp dydžių yra atvirkščiai proporcingas.

Padarykime proporciją.

Nes proporcingumas yra atvirkštinis, antrasis santykis yra atvirkštinis:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Atsakymas: Automobiliui reikės 3 USD valandų.

Tiesioginis ir atvirkštinis proporcingumas

Jei t yra pėsčiojo judėjimo laikas (valandomis), s yra nuvažiuotas atstumas (kilometrais), o jis juda tolygiai 4 km/h greičiu, tai ryšį tarp šių dydžių galima išreikšti formule s = 4t. Kadangi kiekviena reikšmė t atitinka vieną reikšmę s, galime sakyti, kad funkcija apibrėžiama naudojant formulę s = 4t. Jis vadinamas tiesioginiu proporcingumu ir apibrėžiamas taip.

Apibrėžimas. Tiesioginis proporcingumas yra funkcija, kurią galima nurodyti naudojant formulę y=kx, kur k yra realusis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio.

Funkcijos y = k x pavadinimas atsirado dėl to, kad formulėje y = k x yra kintamieji x ir y, kurie gali būti dydžių reikšmės. Ir jei dviejų dydžių santykis yra lygus kokiam nors skaičiui, kuris skiriasi nuo nulio, jie vadinami tiesiogiai proporcingas . Mūsų atveju = k (k≠0). Šis numeris vadinamas proporcingumo koeficientas.

Funkcija y = k x yra daugelio realių situacijų, nagrinėtų jau pradiniame matematikos kurse, matematinis modelis. Vienas iš jų aprašytas aukščiau. Kitas pavyzdys: jei viename miltų maiše yra 2 kg, o tokių maišelių buvo nupirkta x, tai visą nupirktų miltų masę (žymima y) galima pavaizduoti formule y = 2x, t.y. maišelių skaičiaus ir visos perkamų miltų masės santykis yra tiesiogiai proporcingas koeficientui k=2.

Prisiminkime kai kurias tiesioginio proporcingumo savybes, kurios tiriamos mokykliniame matematikos kurse.

1. Funkcijos y = k x apibrėžimo sritis ir jos reikšmių sritis yra realiųjų skaičių aibė.

2. Tiesioginio proporcingumo grafikas yra tiesė, einanti per pradžią. Todėl norint sudaryti tiesioginio proporcingumo grafiką, pakanka rasti tik vieną jam priklausantį tašką, kuris nesutampa su koordinačių pradžia, o tada per šį tašką ir koordinačių pradžią nubrėžti tiesę.

Pavyzdžiui, norint sukonstruoti funkcijos y = 2x grafiką, pakanka turėti tašką su koordinatėmis (1, 2), o po to per jį nubrėžti tiesę ir koordinačių pradžią (7 pav.).

3. Jei k > 0, funkcija y = khx didėja visoje apibrėžimo srityje; ties k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Jei funkcija f yra tiesioginis proporcingumas ir (x 1, y 1), (x 2, y 2) yra atitinkamų kintamųjų x ir y reikšmių poros, o x 2 ≠0, tada.

Iš tiesų, jei funkcija f yra tiesioginė proporcingumas, tada ją galima pateikti pagal formulę y = khx, o tada y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Kadangi esant x 2 ≠0 ir k≠0, tada y 2 ≠0. Štai kodėl ir tai reiškia.

Jei kintamųjų x ir y reikšmės yra teigiami realieji skaičiai, tada įrodyta tiesioginio proporcingumo savybė gali būti suformuluota taip: kelis kartus padidėjus (sumažinus) kintamojo x reikšmę, atitinkama kintamojo y reikšmė didėja (sumažėja) tiek pat.

Ši savybė būdinga tik tiesioginiam proporcingumui ir gali būti naudojama sprendžiant tekstinius uždavinius, kuriuose atsižvelgiama į tiesiogiai proporcingus dydžius.

1 uždavinys. Per 8 valandas tekintojas pagamino 16 dalių. Kiek valandų prireiks tekinimo staklės operatoriui pagaminti 48 dalis, jei jis dirbs tokiu pat našumu?

Sprendimas. Problemoje atsižvelgiama į šiuos dydžius: tekintojo darbo laikas, jo pagamintų detalių skaičius ir našumas (t. y. detalių skaičius, kurį tekintojas pagamina per 1 val.), kai paskutinė vertė yra pastovi, o kitos dvi paimamos. skirtingos vertybės. Be to, pagamintų dalių skaičius ir darbo laikas yra tiesiogiai proporcingi dydžiai, nes jų santykis yra lygus tam tikram skaičiui, kuris nėra lygus nuliui, ty detalių skaičiui, kurį pagamino tekintotojas per 1 valandą pagamintų detalių žymimas raide y, darbo laikas x, o našumas k, tada gauname, kad = k arba y = khx, t.y. Uždavinyje pateiktos situacijos matematinis modelis yra tiesioginis proporcingumas.

Uždavinį galima išspręsti dviem aritmetiniais būdais:

1 būdas: 2 būdas:

1) 16:8 = 2 (vaikai) 1) 48:16 = 3 (kartai)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Spręsdami užduotį pirmuoju būdu, pirmiausia radome proporcingumo koeficientą k, jis lygus 2, o tada, žinodami, kad y = 2x, radome x reikšmę su sąlyga, kad y = 48.

Spręsdami uždavinį antruoju būdu, pasinaudojome tiesioginio proporcingumo savybe: kiek kartų didėja tekintotojo pagamintų detalių skaičius, tiek pat pailgėja jų pagaminimo laikas.

Dabar pereikime prie funkcijos, vadinamos atvirkštiniu proporcingumu.

Jei t yra pėsčiojo judėjimo laikas (valandomis), v yra jo greitis (km/h) ir jis nuėjo 12 km, tai ryšys tarp šių dydžių gali būti išreikštas formule v∙t = 20 arba v = .

Kadangi kiekviena reikšmė t (t ≠ 0) atitinka vieną greičio reikšmę v, galime sakyti, kad funkcija nurodoma naudojant formulę v =. Jis vadinamas atvirkštiniu proporcingumu ir apibrėžiamas taip.

Apibrėžimas. Atvirkštinis proporcingumas yra funkcija, kurią galima nurodyti naudojant formulę y =, kur k yra tikrasis skaičius, kuris nėra lygus nuliui.

Šios funkcijos pavadinimas atsirado dėl to, kad y = yra kintamieji x ir y, kurie gali būti dydžių reikšmės. Ir jei dviejų dydžių sandauga yra lygi kokiam nors skaičiui, kuris skiriasi nuo nulio, tada jie vadinami atvirkščiai proporcingais. Mūsų atveju xy = k(k ≠0). Šis skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu.

Funkcija y = yra daugelio realių situacijų, nagrinėtų jau pradiniame matematikos kurse, matematinis modelis. Vienas iš jų aprašytas prieš atvirkštinio proporcingumo apibrėžimą. Kitas pavyzdys: jei nusipirkote 12 kg miltų ir įdėjote į l: y kg skardines, tai santykis tarp šių kiekių gali būti pavaizduotas x-y = 12, t.y. jis atvirkščiai proporcingas koeficientui k=12.

Prisiminkime kai kurias atvirkštinio proporcingumo savybes, žinomas iš mokyklinio matematikos kurso.

1.Funkcijų apibrėžimo sritis y = o jo reikšmių diapazonas x yra realiųjų skaičių, išskyrus nulį, rinkinys.

2. Atvirkštinio proporcingumo grafikas yra hiperbolė.

3. Jei k > 0, hiperbolės šakos yra 1 ir 3 ketvirčiuose, o funkcija y = mažėja visoje x apibrėžimo srityje (8 pav.).

Ryžiai. 8 9 pav

Prie k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = didėja visoje x apibrėžimo srityje (9 pav.).

4. Jei funkcija f yra atvirkštinė proporcingumas ir (x 1, y 1), (x 2, y 2) yra atitinkamų kintamųjų x ir y reikšmių poros, tada.

Iš tiesų, jei funkcija f yra atvirkštinė proporcingumas, tada ją galima pateikti pagal formulę y = ,ir tada . Kadangi x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0, tada

Jei kintamųjų x ir y reikšmės yra teigiami realieji skaičiai, tai šią atvirkštinio proporcingumo savybę galima suformuluoti taip: kelis kartus padidėjus (sumažinus) kintamojo x reikšmę, atitinkama kintamojo reikšmė. y mažėja (padidėja) tiek pat.

Ši savybė būdinga tik atvirkštiniam proporcingumui ir gali būti naudojama sprendžiant tekstinius uždavinius, kuriuose atsižvelgiama į atvirkščiai proporcingus dydžius.

Užduotis 2. Dviratininkas, judėdamas 10 km/h greičiu, atstumą nuo A iki B įveikė per 6 valandas. Kiek laiko dviratininkas sugaiš grįždamas, jei važiuos 20 km/h greičiu?

Sprendimas. Problemoje atsižvelgiama į šiuos dydžius: dviratininko greitį, judėjimo laiką ir atstumą nuo A iki B, paskutinis dydis yra pastovus, o kiti du turi skirtingas reikšmes. Be to, judėjimo greitis ir laikas yra atvirkščiai proporcingi dydžiai, nes jų sandauga yra lygi tam tikram skaičiui, būtent nuvažiuotam atstumui. Jei dviratininko judėjimo laikas žymimas raide y, greitis x, o atstumas AB – k, tai gauname, kad xy = k arba y =, t.y. Uždavinyje pateiktas situacijos matematinis modelis yra atvirkštinis proporcingumas.

Yra du problemos sprendimo būdai:

1 būdas: 2 būdas:

1) 10–6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (kartai)

2) 60:20 = 3 (4) 2) 6:2 = 3 (h)

Spręsdami užduotį pirmuoju būdu, pirmiausia radome proporcingumo koeficientą k, jis lygus 60, o tada, žinodami, kad y =, radome y reikšmę su sąlyga, kad x = 20.

Spręsdami uždavinį antruoju būdu, naudojome atvirkštinio proporcingumo savybę: kiek kartų didėja judėjimo greitis, tiek pat sumažėja laikas įveikti tą patį atstumą.

Atkreipkite dėmesį, kad sprendžiant konkrečias problemas su atvirkščiai proporcingais arba tiesiogiai proporcingais dydžiais, kai kurie apribojimai taikomi ypač x ir y, jie gali būti nagrinėjami ne visai realiųjų skaičių aibe, o jos poaibiams.

3 problema. Lena nusipirko x pieštukų, o Katya – 2 kartus daugiau. Katya nupirktų pieštukų skaičių pažymėkite y, y išreikškite x ir sukurkite nustatytos atitikties grafiką, jei x≤5. Ar šis susirašinėjimas yra funkcija? Kokia jo apibrėžimo sritis ir verčių diapazonas?

Sprendimas. Katya nusipirko = 2 pieštukai. Braižant funkciją y=2x, reikia atsižvelgti į tai, kad kintamasis x žymi pieštukų skaičių, o x≤5, tai reiškia, kad jis gali turėti tik reikšmes 0, 1, 2, 3, 4, 5. Tai bus šios funkcijos apibrėžimo sritis. Norėdami gauti šios funkcijos reikšmių diapazoną, turite padauginti kiekvieną x reikšmę iš apibrėžimo diapazono iš 2, t.y. tai bus rinkinys (0, 2, 4, 6, 8, 10). Todėl funkcijos y = 2x grafikas su apibrėžimo sritimi (0, 1, 2, 3, 4, 5) bus taškų rinkinys, parodytas 10 paveiksle. Visi šie taškai priklauso tiesei y = 2x .

Šiandien pažiūrėsime, kokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais, kaip atrodo atvirkštinio proporcingumo grafikas ir kuo visa tai gali būti jums naudinga ne tik matematikos pamokose, bet ir už mokyklos ribų.

Tokios skirtingos proporcijos

Proporcingumasįvardykite du dydžius, kurie yra vienas nuo kito priklausomi.

Priklausomybė gali būti tiesioginė ir atvirkštinė. Vadinasi, dydžių santykiai apibūdinami tiesioginiu ir atvirkštiniu proporcingumu.

Tiesioginis proporcingumas– tai toks ryšys tarp dviejų dydžių, kai vieno iš jų padidėjimas arba sumažėjimas lemia kito padidėjimą arba sumažėjimą. Tie. jų požiūris nesikeičia.

Pavyzdžiui, kuo daugiau pastangų įdedate studijuodami egzaminams, tuo aukštesni jūsų pažymiai. Arba kuo daugiau daiktų pasiimsite su savimi į žygį, tuo sunkesnė bus jūsų kuprinė. Tie. Egzaminų ruošimosi pastangų kiekis yra tiesiogiai proporcingas gautiems pažymiams. O į kuprinę sukrautų daiktų skaičius yra tiesiogiai proporcingas jos svoriui.

Atvirkštinis proporcingumas– tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės sumažėjimas arba padidėjimas kelis kartus (tai vadinamas argumentu) sukelia proporcingą (t. y. tiek pat kartų) priklausomos reikšmės padidėjimą arba sumažėjimą (tai vadinama funkcija).

Iliustruojame paprastu pavyzdžiu. Norite nusipirkti obuolių turguje. Obuoliai ant prekystalio ir pinigų suma jūsų piniginėje yra atvirkščiai proporcinga. Tie. Kuo daugiau obuolių pirksite, tuo mažiau pinigų liks.

Funkcija ir jos grafikas

Atvirkštinio proporcingumo funkciją galima apibūdinti kaip y = k/x. Kuriame x≠ 0 ir k≠ 0.

Ši funkcija turi šias savybes:

1. Jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Diapazonas yra visi realūs skaičiai, išskyrus y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Neturi didžiausių ar minimalių verčių.
4. Jis yra nelyginis, o jo grafikas yra simetriškas kilmei.
5. Neperiodinis.
6. Jo grafikas nekerta koordinačių ašių.
7. Neturi nulių.
8. Jeigu k> 0 (ty argumentas didėja), funkcija proporcingai mažėja kiekviename jos intervale. Jeigu k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Didėjant argumentui ( k> 0) neigiamos funkcijos reikšmės yra intervale (-∞; 0), o teigiamos reikšmės yra intervale (0; +∞). Kai argumentas sumažėja ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Atvirkštinės proporcingumo funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Rodoma taip:

Atvirkštinio proporcingumo problemos

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į keletą užduočių. Jos nėra pernelyg sudėtingos, o jų sprendimas padės įsivaizduoti, kas yra atvirkštinis proporcingumas ir kuo šios žinios gali būti naudingos kasdieniame gyvenime.

Užduotis Nr.1. Automobilis važiuoja 60 km/h greičiu. Iki kelionės tikslo jam prireikė 6 valandų. Kiek laiko jam prireiks įveikti tą patį atstumą, jei judės dvigubai greičiau?

Pradėti galime užrašydami formulę, apibūdinančią laiko, atstumo ir greičio ryšį: t = S/V. Sutikite, tai mums labai primena atvirkštinio proporcingumo funkciją. Ir tai rodo, kad laikas, kurį automobilis praleidžia kelyje, ir jo judėjimo greitis yra atvirkščiai proporcingi.

Norėdami tai patikrinti, suraskime V 2, kuris pagal sąlygą yra 2 kartus didesnis: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Tada apskaičiuojame atstumą pagal formulę S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Dabar nesunku sužinoti laiką t 2, kurio mums reikia pagal uždavinio sąlygas: t 2 = 360/120 = 3 valandos.

Kaip matote, kelionės laikas ir greitis išties yra atvirkščiai proporcingi: važiuojant 2 kartus didesniu nei pradinis greitis, automobilis kelyje praleis 2 kartus mažiau laiko.

Šios problemos sprendimas taip pat gali būti parašytas kaip proporcija. Taigi pirmiausia sukurkime šią diagramą:

↓ 60 km/h – 6 val

↓120 km/h – x h

Rodyklės rodo atvirkščiai proporcingą ryšį. Jie taip pat siūlo, kad sudarant proporciją reikia apversti dešinę įrašo pusę: 60/120 = x/6. Iš kur gauname x = 60 * 6/120 = 3 valandos.

2 užduotis. Dirbtuvėse dirba 6 darbuotojai, kurie tam tikrą darbų kiekį gali atlikti per 4 valandas. Jei darbuotojų skaičius sumažės perpus, kiek laiko užtruks likę darbuotojai, kad atliktų tą patį darbų kiekį?

Užrašykime problemos sąlygas vaizdinės diagramos pavidalu:

↓ 6 darbuotojai – 4 val

↓ 3 darbuotojai – x val

Parašykime tai kaip proporciją: 6/3 = x/4. Ir gauname x = 6 * 4/3 = 8 valandas, jei darbininkų bus 2 kartus mažiau, likę dirbdami atliks 2 kartus daugiau laiko.

Užduotis Nr.3. Į baseiną veda du vamzdžiai. Vienu vamzdžiu vanduo teka 2 l/s greičiu ir baseiną užpildo per 45 minutes. Per kitą vamzdį baseinas prisipildys per 75 minutes. Kokiu greičiu šiuo vamzdžiu vanduo patenka į baseiną?

Pirmiausia sumažinkime visus mums duotus kiekius pagal problemos sąlygas iki tų pačių matavimo vienetų. Norėdami tai padaryti, išreiškiame baseino užpildymo greitį litrais per minutę: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Kadangi sąlyga reiškia, kad baseinas lėčiau prisipildo per antrąjį vamzdį, tai reiškia, kad vandens srautas yra mažesnis. Proporcingumas yra atvirkštinis. Išreikškime nežinomą greitį per x ir sudarykime tokią diagramą:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ir tada mes sudarome proporciją: 120/x = 75/45, iš kur x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Uždavinyje baseino užpildymo greitis išreiškiamas litrais per sekundę, gautą atsakymą sumažinkime iki tokios pat formos: 72/60 = 1,2 l/s.

4 užduotis. Nedidelė privati ​​spaustuvė spausdina vizitines korteles. Spaustuvės darbuotojas dirba 42 vizitinių kortelių greičiu per valandą ir dirba visą dieną – 8 valandas. Jei jis dirbtų greičiau ir per valandą atspausdintų 48 vizitines korteles, kiek anksčiau jis galėtų grįžti namo?

Mes einame įrodytu keliu ir sudarome diagramą pagal problemos sąlygas, nurodydami norimą reikšmę kaip x:

↓ 42 vizitinės kortelės/val. – 8 val

↓ 48 vizitinės kortelės/val. – x val

Turime atvirkščiai proporcingą ryšį: kiek kartų daugiau vizitinių kortelių atspausdina spaustuvės darbuotojas per valandą, tiek kartų mažiau laiko jam prireiks tam pačiam darbui atlikti. Žinodami tai, sukurkime proporciją:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 valandos.

Taigi, darbus atlikęs per 7 valandas, spaustuvės darbuotojas namo galėjo vykti valanda anksčiau.

Išvada

Mums atrodo, kad šios atvirkštinio proporcingumo problemos yra tikrai paprastos. Tikimės, kad dabar jūs taip pat galvojate apie juos. Ir svarbiausia, kad žinios apie atvirkščiai proporcingą kiekių priklausomybę jums tikrai gali būti naudingos ne kartą.

Ne tik matematikos pamokose ir egzaminuose. Bet net tada, kai susiruoši į kelionę, apsipirkinėji, nusprendi per atostogas užsidirbti šiek tiek papildomų pinigų ir pan.

Papasakokite komentaruose, kokius atvirkštinių ir tiesioginių proporcingų santykių pavyzdžius pastebite aplink save. Tebūnie toks žaidimas. Pamatysite, kaip tai įdomu. Nepamirškite pasidalinti šiuo straipsniu socialiniuose tinkluose, kad galėtų žaisti ir jūsų draugai bei klasės draugai.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Du dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingas, jei vienam iš jų padidėjus kelis kartus, tiek pat padidėja kitas. Atitinkamai, kai vienas iš jų sumažėja kelis kartus, kitas sumažėja tiek pat.

Ryšys tarp tokių dydžių yra tiesioginis proporcingas ryšys. Tiesioginės proporcingos priklausomybės pavyzdžiai:

1) važiuojant pastoviu greičiu, nuvažiuotas atstumas yra tiesiogiai proporcingas laikui;

2) kvadrato ir jo kraštinių perimetras yra tiesiogiai proporcingi dydžiai;

3) viena kaina perkamos prekės savikaina yra tiesiogiai proporcinga jos kiekiui.

Norėdami atskirti tiesioginį proporcingą ryšį nuo atvirkštinio, galite naudoti patarlę: „Kuo toliau į mišką, tuo daugiau malkų“.

Patogu spręsti problemas, susijusias su tiesiogiai proporcingais dydžiais, naudojant proporcijas.

1) Norėdami pagaminti 10 dalių, jums reikia 3,5 kg metalo. Kiek metalo reikės pagaminti 12 tokių dalių?

(Mes svarstome taip:

1. Užpildytame stulpelyje įdėkite rodyklę kryptimi nuo didžiausio skaičiaus iki mažiausio.

2. Kuo daugiau dalių, tuo daugiau metalo reikia joms pagaminti. Tai reiškia, kad tai yra tiesiogiai proporcingas santykis.

Tegul x kg metalo reikia 12 dalių pagaminti. Sudarome proporciją (kryptimi nuo rodyklės pradžios iki jos pabaigos):

12:10=x:3,5

Norėdami rasti , turite padalyti kraštutinių terminų sandaugą iš žinomo vidurinio termino:

Tai reiškia, kad reikės 4,2 kg metalo.

Atsakymas: 4,2 kg.

2) Už 15 metrų audinio jie sumokėjo 1680 rublių. Kiek kainuoja 12 metrų tokio audinio?

(1. Užpildytame stulpelyje įdėkite rodyklę kryptimi nuo didžiausio skaičiaus iki mažiausio.

2. Kuo mažiau audinio perkate, tuo mažiau už jį turėsite mokėti. Tai reiškia, kad tai yra tiesiogiai proporcingas santykis.

3. Todėl antroji rodyklė yra ta pačia kryptimi kaip ir pirmoji).

Tegul x rubliai kainuoja 12 metrų audinio. Sudarome proporciją (nuo rodyklės pradžios iki jos pabaigos):

15:12=1680:x

Norėdami rasti nežinomą kraštutinį proporcijos narį, padalykite vidurinių dalių sandaugą iš žinomo kraštutinio proporcijos nario:

Tai reiškia, kad 12 metrų kainavo 1344 rublius.

Atsakymas: 1344 rubliai.