Kaip nubraižyti vektorių iš taško. Vektoriai Vektoriai Istorinis fonas Vektoriaus samprata Vektorių lygybė Vektoriaus atidėjimas nuo tam tikro taško Dviejų vektorių suma Sudėjimo dėsniai Atimtis

ov, pirmiausia turite suprasti tokią sąvoką kaip vektoriaus atidėjimas nuo tam tikro taško.

1 apibrėžimas

Jei taškas $A$ yra bet kurio vektoriaus $\overrightarrow(a)$ pradžia, tai vektorius $\overrightarrow(a)$ yra atidėtas nuo taško $A$ (1 pav.).

1 pav. $\overrightarrow(a)$ nubrėžta iš taško $A$

Pateikiame tokią teoremą:

1 teorema

Iš bet kurio taško $K$ galima nubraižyti vektorių $\overrightarrow(a)$ ir, be to, tik vieną.

Įrodymas.

Egzistavimas:Čia reikia apsvarstyti du atvejus:

Vektorius $\overrightarrow(a)$ yra nulis.

Šiuo atveju akivaizdu, kad norimas vektorius yra vektorius $\overrightarrow(KK)$.

Vektorius $\overrightarrow(a)$ yra ne nulis.

Tašku $A$ pažymėkime vektoriaus $\overrightarrow(a)$ pradžią, o tašku $B$ vektoriaus $\overrightarrow(a)$ pabaigą. Nubrėžkime tiesę $b$ per tašką $K$ lygiagrečiai vektoriui $\overrightarrow(a)$. Šioje tiesėje pavaizduokime segmentus $\left|KL\right|=|AB|$ ir $\left|KM\right|=|AB|$. Apsvarstykite vektorius $\overrightarrow(KL)$ ir $\overrightarrow(KM)$. Iš šių dviejų vektorių norimas bus tas, kuris bus nukreiptas kartu su vektoriumi $\overrightarrow(a)$ (2 pav.)

2 pav. 1 teoremos iliustracija

Unikalumas: unikalumas iš karto išplaukia iš „egzistencijos“ taške atliktos statybos.

Teorema įrodyta.

Vektorių atėmimas. Taisyklė viena

Pateikiame vektorius $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$.

2 apibrėžimas

Dviejų vektorių $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ skirtumas yra vektorius $\overrightarrow(c)$, kurį pridėjus prie vektoriaus $\overrightarrow(b)$, gaunamas vektorius $\ overrightarrow(a)$ , tai yra

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Pavadinimas:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Apsvarstykime, kaip sukurti skirtumą tarp dviejų vektorių naudojant problemą.

1 pavyzdys

Tegu pateikiami vektoriai $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$. Sukurkite vektorių $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Sprendimas.

Sukonstruokime savavališką tašką $O$ ir iš jo nubraižykime vektorius $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Sujungę tašką $B$ su tašku $A$, gauname vektorių $\overrightarrow(BA)$ (3 pav.).

3 pav. Dviejų vektorių skirtumas

Naudodami trikampio taisyklę dviejų vektorių sumai sudaryti, matome, kad

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Iš 2 apibrėžimo mes tai gauname

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Atsakymas:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Iš šios problemos gauname tokią dviejų vektorių skirtumo nustatymo taisyklę. Norėdami rasti skirtumą $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, turite nubraižyti vektorius $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) iš savavališką tašką $O$ )$ ir antrojo vektoriaus galą sujunkite su pirmojo vektoriaus pabaiga.

Vektorių atėmimas. Antra taisyklė

Prisiminkime šią mums reikalingą sąvoką.

3 apibrėžimas

Vektorius $\overrightarrow(a_1)$ vadinamas savavališku vektoriaus $\overrightarrow(a)$ atveju, jei šie vektoriai yra priešingos krypties ir yra vienodo ilgio.

Pavadinimas: Vektorius $(-\overrightarrow(a))$ yra priešingas vektoriui $\overrightarrow(a)$.

Norėdami įvesti antrąją dviejų vektorių skirtumo taisyklę, pirmiausia turime įvesti ir įrodyti šią teoremą.

2 teorema

Bet kokiems dviem vektoriams $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$ galioja ši lygybė:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Įrodymas.

Pagal 2 apibrėžimą mes turime

Prie abiejų dalių pridedame vektorių $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, gauname

Kadangi vektoriai $\overrightarrow(b)$ ir $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ yra priešingi, tada $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ dešinėn rodyklė (0)$. Mes turime

Teorema įrodyta.

Iš šios teoremos gauname tokią skirtumo tarp dviejų vektorių taisyklę: Norėdami rasti skirtumą $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, turime nubraižyti vektorių $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ iš savavališko taško $O$, tada iš gauto taško $A$ nubraižykite vektorių $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ ir sujunkite pirmojo vektoriaus pradžią su taško pabaiga antrasis vektorius.

Vektorių skirtumo sampratos uždavinio pavyzdys

2 pavyzdys

Pateikiame lygiagretainį $ADCD$, kurio įstrižainės susikerta taške $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (4 pav.). Išreikškite šiuos vektorius per vektorius $\overrightarrow(a)$ ir $\overrightarrow(b)$:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

4 pav. Lygiagretainė

Sprendimas.

a) Sudėjimą atliekame pagal trikampio taisyklę, gauname

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Iš pirmosios dviejų vektorių skirtumo taisyklės gauname

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Kadangi $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, gauname

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Pagal 2 teoremą mes turime

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Pagal trikampio taisyklę mes pagaliau turime

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

1. Apibrėžkite geometrinių vektorių lygybę.

Sakoma, kad du geometriniai vektoriai yra lygūs, jei:

jie yra vienakrypčiai ir vienakrypčiai;

jų ilgis vienodas.

2. Apibrėžkite vektorių sumą ir vektoriaus padauginimą iš skaičiaus.

Dviejų vektorių a ir b suma a + b vadinama vektoriumi c, sudarytu pagal šią trikampio taisyklę. Sulyginame vektoriaus b pradžią su vektoriaus a pabaiga. Tada šių vektorių suma bus vektorius c, kurio pradžia sutampa su a pradžia, o pabaiga su b pabaiga.

Kartu su trikampio taisykle yra lygiagretainio taisyklė. Pasirinkę bendrą vektorių a ir b pradžią, ant šių vektorių sukonstruojame lygiagretainį. Tada lygiagretainio įstrižainė, kilusi iš vektorių bendros pradžios, nustato jų sumą.

Dauginant vektorių iš skaičiaus, vektoriaus kryptis nesikeičia, tačiau vektoriaus ilgis dauginamas iš skaičiaus.

3. Pateikite kolinearinių ir koplaninių vektorių apibrėžimus.

Du geometriniai vektoriai vadinami kolineariniais, jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse.

Trys geometriniai vektoriai vadinami koplanariniais, jei šie vektoriai yra tiesėse, lygiagrečiose kuriai nors plokštumai.

4. Apibrėžkite tiesiškai priklausomą ir tiesiškai nepriklausomą vektorių sistemą.

Vektoriai a 1 , … , a n vadinami tiesiškai priklausomais, jei yra tokia koeficientų aibė α 1 , . . . , α n , kad α 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 ir bent vienas iš šių koeficientų yra lygus nuliui.

Jei nurodytos koeficientų aibės nėra, vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomais.

5. Suformuluokite geometrinius linijinės priklausomybės kriterijus 2 ir 3 vektoriai.

Du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra kolinearūs.

6. Apibrėžkite vektoriaus pagrindą ir koordinates.

Pagrindas yra vektorių rinkinys vektorių erdvėje taip, kad bet kuris vektorius šioje erdvėje gali būti vienareikšmiškai pavaizduotas kaip linijinis vektorių derinys iš šios aibės – baziniai vektoriai.

Vektorinės koordinatės – tai vienintelės galimos tiesinės bazinių vektorių kombinacijos pasirinktoje koordinačių sistemoje koeficientai, lygūs duotam vektoriui.

7. Suformuluokite teoremą apie vektoriaus skaidymą pagrindo atžvilgiu.

Bet kuris vektoriaus erdvės vektorius gali būti išplėstas į jo pagrindą ir, be to, unikaliu būdu.

Jei = (̅		– pagrindas , ̅		= (1, 2, 3) , tada yra skaičių rinkinys (	...) toks

	̅ + + ̅̅, kur (		...) – vektoriaus koordinatės bazėje.

8. Apibrėžkite vektoriaus stačiakampę skaliarinę projekciją į kryptį.

Stačiakampė vektoriaus projekcija į vektoriaus kryptį vadinama skaliariniu dydžiu Pr = | | cos() , kur kampas yra kampas tarp vektorių.

9. Apibrėžkite vektorių skaliarinę sandaugą.

Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, lygus cos -

ilgių sandauga | | ir| | iš šių vektorių kampo tarp jų kosinusu.

10. Suformuluokite skaliarinio sandaugos tiesiškumo savybę.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

11. Parašykite formulę dviejų vektorių, pateiktų ortonormaliu pagrindu, skaliarinei sandaugai apskaičiuoti.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Užrašykite kampo tarp vektorių, nurodytų ortonormaliu pagrindu, kosinuso formulę.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Apibrėžkite dešinįjį ir kairįjį vektorių trigubą.

Tvarkingas neplaninių vektorių a, b, c trigubas vadinamas dešiniuoju, jei vektoriaus kryptis sujungiama su vektoriaus b kryptimi, naudojant trumpiausią vektoriaus sukimąsi šių vektorių plokštumoje, kuris iš vektoriaus pusės daromas prieš laikrodžio rodyklę. . Kitu atveju (sukimas pagal laikrodžio rodyklę) šie trys vadinami kaire.

14. Apibrėžkite vektorių sandaugą.

Vektorinis meno kūrinys nekolineariniai vektoriai ̅ ir ̅ vadinami vektoriumi ̅, kuris tenkina šias tris sąlygas:

vektorius c yra statmenas vektoriams a ir b;

vektoriaus c ilgis lygus |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, kur ϕ – kampas tarp vektorių ̅ ir ̅ ;

sutvarkytas vektorių trigubas ̅ ,̅ ,с̅ yra dešiniarankis.

15. Suformuluokite skaliarinės sandaugos komutatyvumo (simetrijos) savybę ir vektoriaus sandaugos antikomutatyvumo (antisimetrijos) savybę.

Skaliarinė sandauga yra komutacinė: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Vektorinė sandauga yra antikomutacinė: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .

16. Suformuluokite vektorių vektorinės sandaugos tiesiškumo savybę.

asociatyvumo savybė kartu su daugyba iš skaičiaus (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );

pasiskirstymo savybė pridėjimo atžvilgiu (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅ .

Vektorinės sandaugos asociatyvumo ir pasiskirstymo savybės, panašiai kaip skaliarinės sandaugos atveju, derinamos vektorinės sandaugos tiesiškumo savybė

palyginti su pirmuoju veiksniu. Dėl vektoriaus sandaugos antikomutatyvumo savybės vektoriaus sandauga yra tiesinė antrojo veiksnio atžvilgiu:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с .

17. Užrašykite vektorinės sandaugos skaičiavimo formulę dešiniuoju ortonormaliu pagrindu.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Apibrėžkite vektorių mišrų sandaugą.

Mišrus darbas trys vektoriai̅ ,̅ ,с̅ vadinami skaičiumi, lygiu (̅ ×̅ )с̅ - pirmųjų dviejų vektorių ir trečiojo vektoriaus vektorinės sandaugos skaliarinei sandaugai.

19. Suformuluokite mišrios sandaugos permutacijos (iškrypimo simetrijos) savybę.

Galioja mišriam darbui ciklinės permutacijos taisyklė:


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅с ̅= − ̅ с̅	= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.
20. Suformuluokite mišraus produkto tiesiškumo savybę.
Mišriam produktui asociatyvumo savybė atžvilgiu

	vektorius padauginus iš skaičiaus: (λ ̅ )с̅				= λ(̅ с̅ ).

	Mišriam produktui pasiskirstymo savybė galioja: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅					= ̅̅̅

	̅с + ̅̅̅
	̅с + ̅̅̅	Su.

Šios mišraus produkto savybės suformuluotos pagal pirmąjį veiksnį. Tačiau naudojant ciklinę permutaciją galima įrodyti panašiai

teiginiai tiek dėl antrojo, tiek dėl trečiojo faktoriaus, t.y. lygybės yra tikros

̅ (λ̅) ̅s = λ (̅ ̅ ̅s), ̅ ̅ ̅ (λ̅s) = λ (̅ ̅ ̅ ̅s), ̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2) ̅s = ̅̅̅̅̅̅s ̅ ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ 1 +̅ ̅ 2 ,

ir dėl to turime mišraus produkto tiesiškumo savybę kiekvienam veiksniui.

21. Parašykite mišraus sandaugos skaičiavimo formulę teisingu ortonormaliu pagrindu.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Užrašykite bendrąją plokštumos lygtį ir lygtį „atkarpomis“. Paaiškinkite į šias lygtis įtrauktų parametrų geometrinę reikšmę.

Vadinama lygtis Ax + By + Cz + D = 0 bendrosios plokštumos lygtis. Šios lygties nežinomųjų koeficientai A, B, C turi aiškią geometrinę reikšmę: vektorius n = (A; B; C) yra statmenas plokštumai. Jis vadinamas normaliuoju plokštumos vektoriumi. Ji, kaip ir bendroji plokštumos lygtis, nustatoma iki (ne nulinio) skaitinio koeficiento.

Lygtis + + = 1 vadinama plokštumos atkarpomis lygtis, kur a, b, c –

atitinkamas taškų, esančių atitinkamai OX, OY ir OZ ašyse, koordinates.

23. Užrašykite plokštumos, einančios per 3 duotus taškus, lygtį.

Tegul 1 (1 , 1 , 1 ) , 2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) yra taškai, o taškas M(x, y, z) yra taškas, priklausantis plokštumai, sudarytai iš 1 , 2 ir 3 taškais, tada plokštumos lygtis turi

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. Suformuluokite dviejų plokštumų lygiagretumo ir statmenumo sąlygas.

Du lėktuvai statmenai, jei jų normalieji vektoriai yra stačiakampiai.

Dvi plokštumos yra lygiagrečios, jei jų normalieji vektoriai yra kolinearūs.

25. Užrašykite atstumo nuo taško iki plokštumos formulę, pateiktą pagal bendrąją lygtį.

Norėdami rasti atstumą nuo taško 0 (0, 0, 0) iki plokštumos

: + + + = 0 naudojama formulė:(,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Užrašykite tiesės erdvėje kanonines ir parametrines lygtis. Paaiškinkite į šias lygtis įtrauktų parametrų geometrinę reikšmę.

Lygtis ( = 0 + , kur (l; m; n) yra krypties vektoriaus koordinatės = tiesė L ir

(0 ;0 ;

– vadinamos taško 0 L koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje

Tiesės erdvėje parametrinės lygtys.

Lygtis

− 0

vadinamos kanoninėmis tiesės lygtimis

erdvė.

27. Užrašykite tiesės, einančios per du duotus erdvės taškus, lygtį.

Lygtys

− 1

vadinamos tiesės, einančios per du taškus, lygtimis

1 (1 ,1 ,1 ) ir 2 (2 ,2 ,2 ).

28. Užrašykite sąlygą, kad dvi tiesės priklausytų tai pačiai plokštumai.

Tegul a ir b yra šių tiesių krypties vektoriai, o taškai M1 ir M2 priklauso atitinkamai tiesėms il 1 ir 2. Tada dvi tiesės priklausys tai pačiai plokštumai, jei mišrus sandauga (a, b, M1 M2) yra lygi 0.

29. Užrašykite atstumo nuo taško iki tiesės erdvėje formulę.

Atstumą nuo taško 1 iki tiesės L galima apskaičiuoti pagal formulę:

30. Užrašykite atstumo tarp susikertančių linijų formulę.

Atstumą tarp 1 ir 2 susikirtimo linijų galima apskaičiuoti pagal formulę:

priklauso tiesiogiai

1. Įrodykite trijų vektorių tiesinės priklausomybės geometrinį kriterijų.

Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra vienodi.

Įrodymas:

Jeigu trys vektoriai ̅ ,̅ ,̅ yra tiesiškai priklausomi, tai pagal 2.1 teoremą (dėl vektorių tiesinės priklausomybės), vienas iš jų, pavyzdžiui ̅ , yra tiesinis kitų derinys: ̅ = β̅ + γ̅ . Sujungkime vektorių ̅ ir ̅ pradžios taške A. Tada vektoriai β̅ , γ̅ turės bendrą pradžią taške A ir pagal lygiagretainio taisyklę jų sumą, t.y. vektorius bus vektorius, kurio pradžia A ir pabaiga yra lygiagretainio, sudaryto iš terminų vektorių, viršūnė. Taigi visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, t.y. koplanarinis.

Tegul vektoriai ̅ , ̅ , ̅ yra lygiagrečiai. Jei vienas iš šių vektorių yra lygus nuliui, tai akivaizdu, kad tai bus tiesinis kitų vektorių derinys. Pakanka paimti visus tiesinės kombinacijos koeficientus, lygius nuliui. Todėl galime manyti, kad visi trys vektoriai nėra lygūs nuliui. Sujungkime šių vektorių pradžią bendrame taške O. Tegul jų galai yra atitinkamai taškai A, B, C (2.1 pav.). Per tašką C brėžiame linijas, lygiagrečias linijoms, einančioms per taškų poras O, A ir O, B. Sankirtos taškus pažymėdami kaip A’ ir B’, gauname


lygiagretainis OA’CB’, todėl = ′ + ′ . Vektorius′ ir nenulinis vektorius
yra kolinearinės, todėl pirmąjį iš jų galima gauti antrąjį padauginus iš

tikrasis skaičius α: ′ = . Panašiai′ = , β R. Kaip rezultatas, mes gauname, Ką
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= ′ + ′ , t.y. vektorius yra linijinis vektorių ir. Pagal teoremą
		̅ yra tiesiškai priklausomi.
2.1 (apie vektorių tiesinę priklausomybę), vektoriai ̅ ,		̅ yra tiesiškai priklausomi.

2. Įrodykite teoremą apie vektoriaus plėtimąsi pagrindo atžvilgiu.
Vektoriaus skilimo pagrindo atžvilgiu teorema. Jei = (̅			– pagrindas , ̅		= (1, 2, 3), tada

yra skaičių rinkinys (	...) toks, kad̅= ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅, kur (		...) – koordinatės

vektorius bazėje.

Įrodymas: (jei i = 2)

(̅1, ̅2)– pagrindas 2, ̅2

Pagal erdvės V2 apibrėžimą: x, e1, e2 yra lygiagrečiai => (3 vektorių tiesinės priklausomybės kriterijus) => ̅ , ̅ 1, ̅ 2 yra tiesiškai priklausomi => 0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 atvejis: 0 = 0, tada1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅,1 2 + 2 2 ≠ 0, vadinasi, 1, 2 yra tiesiškai priklausomi (̅ 1, ̅ 2) – tiesiniai. priklausomai ̅ 1 ir ̅ 2 yra kolineariniai.

2 atvejis: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

Įrodė, kad egzistuoja.

Tebūnie 2 vaizdai:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Skirtumas:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => tiesiškai priklausomas, ir tai prieštarauja a apibrėžimui pagrindu.

3. Įrodykite skaliarinės sandaugos tiesiškumo savybę.

Kartu su daugyba iš skaičiaus skaliarinės daugybos operacija yra asociatyvi: (λ̅ )̅ =

λ(̅ ̅ ).

Skaliarinis vektorių dauginimas ir sudėjimas yra susiję su skirstymo savybe: (̅ +̅ )с̅

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

Q.E.D.

4. Išveskite vektorių, nurodytų ortonormaliu pagrindu, skaliarinės sandaugos skaičiavimo formulę.

Ortonormaliu pagrindu nurodytų vektorių skaliarinės sandaugos apskaičiavimo formulės išvedimas.

Tegul vektoriai ̅ ir ̅ nuo3 nurodomi jų koordinatėmis ortonormaliajame pagrinde, ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). Tai reiškia, kad yra išsiplėtimų̅ =̅ +̅ +̅ ,

̅ =̅ +̅ +̅ . Naudodami juos ir skaliarinės sandaugos savybes, apskaičiuojame

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

Galutinis atsakymas gautas atsižvelgiant į tai, kad pagrindo ortonormalumas,̅ ,̅

̅ reiškia lygybes ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . Taigi,

̅ ̅ = + +

5. Išveskite vektorių, nurodytų dešinėje ortonormalioje bazėje, vektorinės sandaugos skaičiavimo formulę.

Ortonormaliu pagrindu nurodytų vektorių sandaugos formulės išvedimas.

Apsvarstykite du vektorius ̅

ir, pateiktos pagal jų koordinates dešinėje ortonormalioje bazėje

̅ = {

). Tada vyksta šių vektorių išplėtimai: ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Remiantis šiais

pareiškimai

algebrinė

vektoriaus daugyba,

mes gauname

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

Norėdami supaprastinti gautą formulę, atkreipkite dėmesį, kad ji yra panaši į formulę, skirtą trečios eilės determinanto išskaidymui 1-oje eilutėje, tik vietoj skaitinių koeficientų yra vektoriai. Todėl šią formulę galime parašyti kaip determinantą, kuri apskaičiuojama pagal įprastas taisykles. Dvi šio determinanto eilutės sudarys iš skaičių, o vieną iš vektorių. Taigi, vektorinės sandaugos skaičiavimo formulė dešinėje ortonormalioje bazėje,̅ ,̅ ̅ gali būti parašyta taip:

6. Įrodykite mišraus gaminio tiesiškumo savybę.

Naudojant mišraus sandaugos savybes, galima įrodyti vektoriaus tiesiškumą

produktai pagal pirmąjį veiksnį:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Norėdami tai padaryti, kairėje lygybės pusėje randame vektoriaus skaliarinę sandaugą ir standartinio pagrindo vieneto vektorių. Atsižvelgiant į mišraus produkto tiesiškumą antrojo veiksnio atžvilgiu,

mes gauname

tie. Įrodomos lygybės kairėje pusėje esančio vektoriaus abscisė yra lygi vektoriaus dešinėje pusėje. Panašiai įrodome, kad vektorių abiejose lygybės pusėse ordinatės ir aplikacijos yra atitinkamai lygios. Vadinasi, tai yra lygūs vektoriai, nes jų koordinatės standartinio pagrindo atžvilgiu sutampa.

7. Išveskite trijų vektorių mišraus sandauga apskaičiavimo formulę dešinėje ortonormalioje bazėje.

Formulės, skirtos trijų vektorių mišraus sandaugai apskaičiuoti dešinėje ortonormalioje bazėje, išvedimas.

Tegul vektoriai a, b, c pateikiami jų koordinatėmis stačiakampio pagrindu: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). Norėdami rasti jų mišrų produktą,

Skaliariniams ir vektoriniams sandaugoms apskaičiuoti naudokime formules:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Išveskite atstumo nuo taško iki plokštumos formulę, pateiktą pagal bendrąją lygtį.

Atstumo nuo taško iki plokštumos formulės išvedimas pagal bendrąją lygtį.

Panagrinėkime tam tikrą plokštumą π ir savavališką tašką 0 erdvėje. Rinksim

plokštumai vienetinis normalusis vektorius n, kurio pradžia tam tikrame taške yra 1 π, ir tegul ρ(0,

nuo | ̅ | = 1.

Jeigu plokštuma π nurodyta stačiakampėje koordinačių sistemoje jos bendrąja lygtimi
Ax + By + Cz + D = 0, tada jo normalusis vektorius yra vektorius su koordinatėmis (A; B; C).
Tegu (0 , 0 , 0 ) ir (1 , 1 , 1 ) yra taškų0 koordinatės				ir 1. Tada galioja lygybė
A 1 +B1 +C1 +D = 0, nes taškas M1 priklauso plokštumai, o koordinates galima rasti
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
Vektorius 1 0 :		1 0 = (0 - 1; 0 - 1; 0 - 1) . Rašant skaliarinį sandaugą ̅ 1 0
koordinačių formą ir transformaciją (5.8), gauname
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

kadangi 1 + 1 + 1 = − . Taigi, norėdami apskaičiuoti atstumą nuo taško iki plokštumos, turite pakeisti taško koordinates į bendrą plokštumos lygtį, o tada padalyti absoliučią rezultato vertę iš normalizavimo koeficiento, lygaus atitinkamo ilgio. normalus vektorius.

9. Išveskite atstumo nuo taško iki erdvės tiesės formulę.

Atstumo nuo taško iki tiesės erdvėje formulės išvedimas.

Atstumą nuo taško 1 (1, 1, 1) iki tiesės L, nurodytą kanoninėmis lygtimis L:− 0 = − 0 = − 0, galima apskaičiuoti naudojant vektorinę sandaugą. tikrai,

kanoninės tiesės lygtys suteikia mums tašką 0 (0, 0, 0) tiesėje

o šios tiesės krypties vektorius ̅ = (l; m; n). Sukurkime lygiagretainį vektorių ̅ ir ̅̅̅̅̅̅̅ .

Tada atstumas nuo taško 1 iki tiesės L bus lygus lygiagretainio aukščiui h (6.6 pav.).

Tai reiškia, kad reikiamą atstumą galima apskaičiuoti pagal formulę

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	\| 0 1 × \|

10. Išveskite atstumo tarp susikertančių linijų formulę.

Atstumo tarp susikertančių linijų formulės išvedimas.

Atstumą tarp susikertančių linijų galima rasti naudojant mišrią

dirbti. Tegul tiesios linijos 1	ir 2		kanonines lygtis. Kadangi jie
			̅̅̅̅̅̅̅̅

yra sukryžiuoti, jų krypties vektoriai 1 , 2 ir vektorius 1 2, jungiantys taškus tiesėse, yra nelygūs. Todėl ant jų galima pastatyti gretasienį (6.7 pav.).

Tada atstumas tarp tiesių lygus šio gretasienio aukščiui h. Savo ruožtu gretasienio aukštis gali būti apskaičiuojamas kaip gretasienio tūrio ir jo pagrindo ploto santykis. Gretasienio tūris yra lygus trijų nurodytų vektorių mišraus sandaugos moduliui, o lygiagretainio plotas gretasienio apačioje yra lygus tiesių nukreipiančių vektorių vektorinės sandaugos moduliui. linijos. Dėl to gauname atstumo formulę

(1, 2) tarp eilučių:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Vektorius – tai nukreipta tiesės atkarpa Euklidinėje erdvėje, kurios vienas galas (taškas A) vadinamas vektoriaus pradžia, o kitas galas (taškas B) – vektoriaus pabaiga (1 pav.). Vektoriai žymimi:

Jei vektoriaus pradžia ir pabaiga sutampa, vadinasi vektorius nulinis vektorius ir yra paskirtas 0 .

Pavyzdys. Tegul vektoriaus pradžia dvimatėje erdvėje turi koordinates A(12.6) , o vektoriaus pabaiga yra koordinatės B(12.6). Tada vektorius yra nulinis vektorius.

Skyriaus ilgis AB paskambino modulis (ilgio, norma) vektorius ir žymimas | a|. Vadinamas vektorius, kurio ilgis lygus vienetui vieneto vektorius. Be modulio, vektoriui būdinga kryptis: vektorius turi kryptį iš AĮ B. Vektorius vadinamas vektoriumi, priešingas vektorius.

Du vektoriai vadinami kolinearinis, jei jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose tiesėse. Nuotraukoje pav. 3 raudoni vektoriai yra kolinearūs, nes jie yra toje pačioje tiesėje, o mėlyni vektoriai yra kolineariniai, nes jie guli lygiagrečiose tiesėse. Vadinami du kolineariniai vektoriai vienodai nukreiptas, jei jų galai yra toje pačioje tiesios linijos, jungiančios jų pradžią, pusėje. Vadinami du kolineariniai vektoriai nukreipta priešingai, jei jų galai yra priešingose tiesės, jungiančios jų pradžią, pusėse. Jei du kolineariniai vektoriai yra toje pačioje tiesėje, tada jie vadinami identiškai nukreiptais, jei viename iš vieno vektoriaus suformuotų spindulių visiškai yra kito vektoriaus suformuotas spindulys. Priešingu atveju sakoma, kad vektoriai yra priešingos krypties. 3 paveiksle mėlyni vektoriai yra vienodai nukreipti, o raudoni vektoriai yra nukreipti priešingai.

Du vektoriai vadinami lygus jei jie turi vienodus modulius ir vienodas kryptis. 2 paveiksle vektoriai yra lygūs, nes jų moduliai yra vienodi ir turi tą pačią kryptį.

Vektoriai vadinami koplanarinis, jei jie yra toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiose plokštumose.

IN n Matmenų vektorių erdvėje apsvarstykite aibę visų vektorių, kurių pradžios taškas sutampa su koordinačių pradžia. Tada vektorius gali būti parašytas tokia forma:

(1)

Kur x 1 , x 2 , ..., x n vektoriaus pabaigos taško koordinatės x.

Iškviečiamas (1) forma parašytas vektorius eilutės vektorius, o vektorius, parašytas forma

(2)

paskambino stulpelio vektorius.

Skaičius n paskambino matmuo (tvarka) vektorius. Jeigu tada vektorius vadinamas nulinis vektorius(nuo vektoriaus pradžios taško ). Du vektoriai x Ir y yra lygūs tada ir tik tada, kai atitinkami jų elementai yra lygūs.

1. Bendrosios nuostatos

1.1. Siekdama išlaikyti verslo reputaciją ir užtikrinti federalinių įstatymų laikymąsi, Federalinė valstybinė institucija Valstybinis technologijos tyrimų institutas „Informika“ (toliau – Bendrovė) svarbiausiu uždaviniu laiko asmens duomenų tvarkymo teisėtumo ir saugumo užtikrinimą. subjektų duomenys Bendrovės verslo procesuose.

1.2. Šiai problemai spręsti Bendrovė įdiegė, eksploatuoja ir periodiškai peržiūri (stebi) asmens duomenų apsaugos sistemą.

1.3. Asmens duomenų tvarkymas Bendrovėje grindžiamas šiais principais:

Asmens duomenų tvarkymo tikslų ir būdų teisėtumas bei vientisumas;

Asmens duomenų tvarkymo tikslų atitikimas iš anksto numatytiems ir nurodytiems tikslams renkant asmens duomenis, taip pat Bendrovės įgaliojimams;

Tvarkomų asmens duomenų apimties ir pobūdžio, asmens duomenų tvarkymo būdų atitikimas asmens duomenų tvarkymo tikslams;

Asmens duomenų patikimumas, jų tinkamumas ir pakankamumas tvarkymo tikslams, asmens duomenų tvarkymo neleistinumas, kuris yra perteklinis, palyginti su asmens duomenų rinkimo tikslais;

Organizacinių ir techninių priemonių asmens duomenų saugumui užtikrinti teisėtumas;

Nuolatinis Bendrovės darbuotojų žinių lygio tobulinimas asmens duomenų saugumo užtikrinimo juos tvarkant srityje;

Siekiama nuolat tobulinti asmens duomenų apsaugos sistemą.

2. Asmens duomenų tvarkymo tikslai

2.1. Bendrovė, vadovaudamasi asmens duomenų tvarkymo principais, nustatė tvarkymo sudėtį ir tikslus.

Asmens duomenų tvarkymo tikslai:

Darbo sutarčių, kurios yra Bendrovės ir jos darbuotojų darbo santykių atsiradimo ar pasibaigimo pagrindas, sudarymas, palaikymas, pakeitimas, nutraukimas;

Portalo teikimas, asmeninės paskyros paslaugos mokiniams, tėvams ir mokytojams;

Mokymosi rezultatų saugojimas;

Federalinių įstatymų ir kitų norminių teisės aktų numatytų įsipareigojimų vykdymas;

3. Asmens duomenų tvarkymo taisyklės

3.1. Bendrovė tvarko tik tuos asmens duomenis, kurie yra pateikti patvirtintame Federalinės valstybinės autonominės institucijos Valstybiniame technologijos tyrimų institute „Informika“ tvarkomų asmens duomenų sąraše.

3.2. Bendrovė neleidžia tvarkyti šių kategorijų asmens duomenų:

Lenktynės;

Politinės pažiūros;

Filosofiniai įsitikinimai;

Apie sveikatos būklę;

Intymaus gyvenimo būsena;

Tautybė;

Religiniai įsitikinimai.

3.3. Bendrovė netvarko biometrinių asmens duomenų (fiziologines ir biologines asmens savybes apibūdinančios informacijos, kurios pagrindu galima nustatyti jo tapatybę).

3.4. Bendrovė nevykdo tarpvalstybinio asmens duomenų perdavimo (asmens duomenų perdavimo į užsienio valstybės teritoriją užsienio valstybės institucijai, užsienio fiziniam ar užsienio juridiniam asmeniui).

3.5. Bendrovė draudžia priimti sprendimus dėl asmens duomenų subjektų, pagrįstų tik automatizuotu jų asmens duomenų tvarkymu.

3.6. Bendrovė netvarko duomenų apie subjektų teistumą.

3.7. Bendrovė neskelbia subjekto asmens duomenų viešai prieinamuose šaltiniuose be išankstinio jo sutikimo.

4. Įgyvendinti reikalavimai asmens duomenų saugumui užtikrinti

4.1. Siekdama užtikrinti asmens duomenų saugumą juos tvarkant, Bendrovė įgyvendina šių Rusijos Federacijos norminių dokumentų reikalavimus asmens duomenų tvarkymo ir saugumo užtikrinimo srityje:

2006 m. liepos 27 d. federalinis įstatymas Nr. 152-FZ „Dėl asmens duomenų“;

2012 m. lapkričio 1 d. Rusijos Federacijos Vyriausybės dekretas N 1119 „Dėl asmens duomenų apsaugos reikalavimų juos tvarkant asmens duomenų informacinėse sistemose patvirtinimo“;

Rusijos Federacijos Vyriausybės 2008 m. rugsėjo 15 d. dekretas Nr. 687 „Dėl asmens duomenų tvarkymo, atliekamo nenaudojant automatizavimo priemonių, specifikos nuostatų patvirtinimo“;

2013 m. vasario 18 d. Rusijos FSTEC įsakymas N 21 „Dėl organizacinių ir techninių priemonių, užtikrinančių asmens duomenų saugumą juos tvarkant asmens duomenų informacinėse sistemose, sudėties ir turinio patvirtinimo“;

Pagrindinis grėsmių asmens duomenų saugumui modelis juos tvarkant asmens duomenų informacinėse sistemose (patvirtintas Rusijos FSTEC direktoriaus pavaduotojo 2008 m. vasario 15 d.);

Esamų grėsmių asmens duomenų saugumui nustatymo juos tvarkant asmens duomenų informacinėse sistemose metodika (patvirtinta Rusijos FSTEC direktoriaus pavaduotojo 2008 m. vasario 14 d.).

4.2. Bendrovė įvertina žalą, kuri gali būti padaryta asmens duomenų subjektams, ir nustato grėsmes asmens duomenų saugumui. Atsižvelgdama į nustatytas esamas grėsmes, Bendrovė taiko būtinas ir pakankamas organizacines ir technines priemones, įskaitant informacijos saugumo priemonių naudojimą, neteisėtos prieigos nustatymą, asmens duomenų atkūrimą, prieigos prie asmens duomenų taisyklių nustatymą, taip pat stebėseną ir taikomų priemonių efektyvumo įvertinimas.

4.3. Bendrovė yra paskyrusi asmenis, atsakingus už asmens duomenų tvarkymo organizavimą ir saugumo užtikrinimą.

4.4. Bendrovės vadovybė suvokia poreikį ir yra suinteresuota užtikrinti tinkamą asmens duomenų, tvarkomų vykdant pagrindinę įmonės veiklą, saugumo lygį tiek Rusijos Federacijos norminių dokumentų reikalavimų, tiek verslo vertinimo požiūriu. rizika.

Vektorius yra viena iš pagrindinių geometrinių sąvokų. Vektoriui būdingas skaičius (ilgis) ir kryptis. Vizualiai jį galima įsivaizduoti kaip nukreiptą atkarpą, nors kalbant apie vektorių teisingiau turėti omenyje visą klasę nukreiptų atkarpų, kurios visos yra lygiagrečios viena kitai, yra vienodo ilgio ir vienodos krypties (1 pav. ). Fizinių dydžių, kurie yra vektoriniai, pavyzdžiai yra greitis (transliaciniu būdu judančio kūno), pagreitis, jėga ir kt.

Vektoriaus sąvoka atsirado XIX amžiaus vokiečių matematiko darbuose. G. Grassmannas ir airių matematikas W. Hamiltonas; tada jį lengvai priėmė daugelis matematikų ir fizikų. Šiuolaikinėje matematikoje ir jos taikymuose ši sąvoka atlieka gyvybiškai svarbų vaidmenį. Vektoriai naudojami klasikinėje Galilėjaus-Niutono mechanikoje (šiuolaikiniame jos pristatyme), reliatyvumo teorijoje, kvantinėje fizikoje, matematinės ekonomikos ir daugelyje kitų gamtos mokslų šakų, jau nekalbant apie vektorių panaudojimą įvairiose matematikos srityse.

Kiekvienas iš nukreiptų segmentų, sudarančių vektorių (1 pav.), gali būti vadinamas šio vektoriaus atstovu. Vektorius, kurio atstovas yra nukreiptas segmentas, einantis iš taško į tašką, žymimas . Fig. 1 turime, t.y. ir yra tas pats vektorius (kurio atstovai yra abu nukreipti segmentai, paryškinti 1 pav.). Kartais vektorius žymimas maža raide su rodykle: , .

Vektorius, vaizduojamas nukreiptu „segmentu“, kurio pradžia ir pabaiga sutampa, vadinami nuliu; jis žymimas , t.y. . Du lygiagrečiai vienodo ilgio, bet priešingų krypčių vektoriai vadinami priešingais. Jei vektorius žymimas , tai jo priešingas vektorius žymimas .

Įvardinkime pagrindines operacijas, susijusias su vektoriais.

I. Vektoriaus atidėjimas nuo taško. Tegul yra tam tikras vektorius ir taškas. Tarp nukreiptų segmentų, kurie yra vektoriaus atstovai, yra nukreiptas segmentas, prasidedantis taške. Šios nukreiptos atkarpos galas vadinamas tašku, gautu nubrėžus vektorių nuo taško (2 pav.). Ši operacija turi šias savybes:

I1. Bet kokiam taškui ir bet kokiam vektoriui yra ir tik vienas taškas, kurio .

Vektorių papildymas. Tegul ir yra du vektoriai. Paimkime savavališką tašką ir nubrėžkime vektorių nuo taško, t.y. raskime tašką tokį, kad (3 pav.). Tada nubraižome vektorių nuo taško, ty randame tašką, kad . Vektorius vadinamas vektorių suma ir žymimas . Galima įrodyti, kad suma nepriklauso nuo taško pasirinkimo, t.y. jei pakeisite kitu tašku, gausite vektorių, lygų (3 pav.). Iš vektorių sumos apibrėžimo išplaukia, kad bet kokiems trims taškams lygybė

I2:

(„trijų taškų taisyklė“). Jei nuliniai vektoriai nėra lygiagretūs, tai jų sumą patogu rasti naudojant lygiagretainio taisyklę (4 pav.).

II. Pagrindinės vektorių sumos savybės išreiškiamos šiomis 4 lygybėmis (galioja bet kokiems vektoriams , , ):

II2. .

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad kelių vektorių suma randama nuosekliai surandant dviejų iš jų sumą. Pavyzdžiui: .

Be to, nesvarbu, kokia tvarka pridėtume pateiktus vektorius, rezultatas (kaip matyti iš II1 ir II2 dalyse nurodytų savybių) visada bus toks pat. Pavyzdžiui:

Be to, geometriškai kelių vektorių sumą galima gauti taip: reikia vieną po kito išdėstyti nukreiptas atkarpas, kurios yra šių vektorių atstovai (t. y. taip, kad antrojo nukreipto atkarpos pradžia sutaptų su pirmojo pabaiga , trečiojo pradžia su antrojo pabaiga ir pan.); tada vektorius kaip savo atstovą turės „uždarymo“ nukreiptą segmentą, einantį nuo pirmos pradžios iki paskutiniojo pabaigos (5 pav.). (Atkreipkite dėmesį, kad jei toks nuoseklus nusodinimas sukelia „uždarojo vektoriaus trūkinę liniją“, tada .)

III. Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus. Leisti būti nuliniam vektoriui ir ne nuliui. Per žymi vektorių, apibrėžtą šiomis dviem sąlygomis: a) vektoriaus ilgis lygus ; b) vektorius yra lygiagretus vektoriui, o jo kryptis sutampa su vektoriaus kryptimi ties ir priešinga jam ties (6 pav.). Jei bent viena iš lygybių yra teisinga, sandauga laikoma lygia . Taigi sandauga apibrėžiama bet kuriam vektoriui ir bet kuriam skaičiui.

Šios 4 lygybės (galioja bet kokiems vektoriams ir bet kokiems skaičiams) išreiškia pagrindines vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos savybes:

Iš šių savybių išplaukia keletas kitų faktų, susijusių su nagrinėjamomis vektoriaus operacijomis. Pažymėkime kai kuriuos iš jų, kurie dažnai naudojami sprendžiant problemas.

a) Jei yra atkarpos taškas toks, kad , tada bet kurio taško lygybė yra teisinga, ypač jei yra atkarpos vidurys, tada .

b) Jei yra trikampio medianų susikirtimo taškas, tai ; be to, bet kurio taško lygybė yra teisinga (galioja ir atvirkštinės teoremos).

c) Leisti būti tiesės tašku ir tegul yra nulinis vektorius, lygiagretus šiai linijai. Taškas tiesei priklauso tada ir tik tada (kur yra tam tikras skaičius).

d) Leisti būti plokštumos taškas ir , būti ne nuliui ir ne lygiagrečiai vektoriai lygiagrečiai šiai plokštumai. Taškas plokštumai priklauso tada ir tik tada, kai vektorius išreiškiamas ir , t.y. .

Galiausiai atkreipkime dėmesį ir į dimensijos savybę, kuri išreiškia tai, kad erdvė yra trimatė.

IV. Erdvėje yra trys vektoriai , , , tokie, kad nė vienas iš jų negali būti išreikštas kitais dviem; bet kuris ketvirtasis vektorius išreiškiamas šiais trimis vektoriais: . apibrėžiamas lygybe: nurodoma vektoriaus skaliarinė sandauga (o tada kampas tarp jų nenustatomas).

Aukščiau išvardytų vektorinių operacijų savybės daugeliu atžvilgių yra panašios į skaičių sudėties ir daugybos savybes. Tuo pačiu metu vektorius yra geometrinis objektas, o geometrinės sąvokos, tokios kaip ilgis ir kampas, naudojamos vektorinių operacijų apibrėžime; Tai paaiškina vektorių naudingumą geometrijai (ir jo taikymui fizikoje ir kitose žinių srityse). Tačiau norėdami išspręsti geometrines problemas naudodami vektorius, pirmiausia turite išmokti geometrinės problemos sąlygą „išversti“ į vektorinę „kalbą“. Po tokio „vertimo“ atliekami algebriniai skaičiavimai su vektoriais, o tada gautas vektoriaus sprendimas vėl „verčiamas“ į geometrinę „kalbą“. Tai vektorinis geometrinių uždavinių sprendimas.

Pristatant geometrijos kursą mokykloje, vektorius pateikiamas kaip apibrėžta sąvoka (žr. Apibrėžimas), todėl mokykliniame vadovėlyje (žr. Aksiomatika ir aksiomatinis metodas) perimta geometrijos aksiomatika nieko nesako apie vektorių savybes, t.y. visos šios savybės turi būti įrodytos kaip teoremos.

Tačiau yra ir kitas geometrijos pateikimo būdas, kai pradinės (neapibrėžtos) sąvokos laikomos vektoriumi ir tašku, o aukščiau nurodytos savybės I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1. -V4 imami kaip aksiomos. Tokį geometrijos konstravimo būdą 1917 metais pasiūlė vokiečių matematikas G. Weylas. Čia tiesios linijos ir plokštumos yra apibrėžtos sąvokos. Tokios konstrukcijos pranašumas yra jos trumpumas ir organiškas ryšys su šiuolaikiniu geometrijos supratimu tiek pačioje matematikoje, tiek kitose žinių srityse. Visų pirma, aksiomos II1-II4, III1-III4 supažindina su vadinamąja vektorine erdve, naudojama šiuolaikinėje matematikoje, fizikoje, matematinėje ekonomikoje ir kt.