Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Sprendžiant kai kuriuos matematinius uždavinius, tenka operuoti su kvadratinėmis šaknimis. Todėl svarbu žinoti operacijų su kvadratinėmis šaknimis taisykles ir išmokti transformuoti jų turinčias išraiškas. Tikslas – ištirti operacijų su kvadratinėmis šaknimis taisykles ir būdus transformuoti išraiškas su kvadratinėmis šaknimis.

Žinome, kad kai kurie racionalūs skaičiai išreiškiami begalinėmis periodinėmis dešimtainėmis trupmenomis, pavyzdžiui, skaičius 1/1998=0,000500500500... Tačiau niekas netrukdo įsivaizduoti skaičiaus, kurio dešimtainė plėtra neatskleidžia jokio periodo. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais.

Iracionaliųjų skaičių istorija prasidėjo nuo nuostabaus pitagoriečių atradimo VI amžiuje. pr. Kr e. Viskas prasidėjo nuo, atrodytų, paprasto klausimo: koks skaičius išreiškia kvadrato, kurio kraštinė yra 1, įstrižainės ilgį?

Įstrižainė padalija kvadratą į 2 vienodus stačiakampius trikampius, kurių kiekviename ji veikia kaip hipotenuzė. Todėl, kaip matyti iš Pitagoro teoremos, kvadrato įstrižainės ilgis yra lygus

Ir nors Pitagoras ir jo mokiniai neturėjo kompiuterio, šį faktą pagrindė būtent jie. Pitagoriečiai įrodė, kad kvadrato ir jo kraštinės įstrižainė neturi bendro mato (t. y. atkarpos, kuri būtų nubrėžta sveikuoju skaičiumi tiek įstrižainėje, tiek iš šono). Todėl jų ilgių santykis yra skaičius

Po pitagoriečių atradimo

Kaip įrodyti, kad skaičius

Belieka daryti išvadą, kad mūsų prielaida yra neteisinga ir racionalusis skaičius m/n yra lygus

1. Kvadratinė šaknis iš skaičiaus

Žinant laiką t , laisvojo kritimo kelią galite rasti naudodami formulę:

Užduotis . Kiek sekundžių prireiks, kad iš 122,5 m aukščio numestas akmuo nukris?

Norėdami rasti atsakymą, turite išspręsti lygtį

Taip pat reikia ieškoti teigiamo skaičiaus pagal jo kvadratą sprendžiant kitus uždavinius, pavyzdžiui, ieškant kvadrato kraštinės ilgio pagal jo plotą. Pateikiame tokį apibrėžimą.

Apibrėžimas . Neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus neneigiamam skaičiui a, vadinamas kvadratine šaknimi iš a.Šis skaičius reiškia

Taigi

Pavyzdys . Nes

Negalite imti kvadratinių šaknų iš neigiamų skaičių, nes bet kurio skaičiaus kvadratas yra teigiamas arba lygus nuliui. Pavyzdžiui, išraiška

2n nuliai n nuliai

Panašiai įrodyta, kad

Pavyzdžiui,

2. Kvadratinių šaknų skaičiavimas

Žinome, kad nėra racionalaus skaičiaus, kurio kvadratas būtų 2. Tai reiškia

Bet kurio teigiamo realaus skaičiaus kvadratinės šaknies egzistavimas įrodomas panašiu būdu. Žinoma, nuoseklus kvadratas yra labai daug laiko reikalaujanti užduotis, todėl yra būdų, kaip greitai rasti kvadratinės šaknies dešimtaines vietas. Naudodami mikroskaičiuotuvą galite rasti vertę

Jei mikroskaičiuotuvo pateiktas tikslumas yra nepakankamas, galite naudoti šaknies vertės patikslinimo metodą, pateiktą pagal šią teoremą.

Teorema. Jei a yra teigiamas skaičius ir yra apytikslė pertekliaus reikšmė, tada

Šakninės formulės. Kvadratinių šaknų savybės.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome, kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kurie iš jų egzistuoja šaknų formulės kas yra šaknų savybės, ir ką su visa tai galima padaryti.

Šaknų formulės, šaknų savybės ir darbo su šaknimis taisyklės- Iš esmės tai yra tas pats dalykas. Yra stebėtinai mažai kvadratinių šaknų formulių. Kas mane tikrai džiugina! Tiksliau, galite parašyti daugybę skirtingų formulių, tačiau praktiškam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis pakanka tik trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis žmonių susipainioja trijose šaknies formulėse, taip...

Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai ji:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Kas yra kvadratinė šaknis?

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Ši koncepcija yra labai paprasta. Natūralu, sakyčiau. Matematikai stengiasi rasti reakciją į kiekvieną veiksmą. Yra pridėjimas - yra ir atimtis. Yra daugyba – yra ir dalyba. Yra kvadratūra... Taigi taip pat yra imdamas kvadratinę šaknį! Tai viskas. Šis veiksmas ( kvadratinė šaknis) matematikoje žymimas šia piktograma:

Pati piktograma vadinama gražiu žodžiu " radikalus".

Kaip išgauti šaknį? Geriau žiūrėti pavyzdžių.

Kas yra kvadratinė šaknis iš 9? Koks skaičius kvadratu duos mums 9? 3 kvadratai mums duoda 9! Tie:

Bet kas yra kvadratinė šaknis iš nulio? Jokiu problemu! Kokį skaičių kvadratu sudaro nulis? Taip, tai duoda nulį! Priemonės:

Supratau, kas yra kvadratinė šaknis? Tada svarstome pavyzdžių:

Atsakymai (netvarkingai): 6; 1; 4; 9; 5.

Nusprendė? Tikrai, kiek lengviau?!

Bet... Ką daro žmogus, pamatęs kokią nors užduotį su šaknimis?

Žmogus pradeda liūdėti... Jis netiki savo šaknų paprastumu ir lengvumu. Nors atrodo, kad žino kas yra kvadratinė šaknis...

Taip yra todėl, kad tyrinėdamas šaknis asmuo ignoravo keletą svarbių dalykų. Tada šios mados žiauriai keršija už testus ir egzaminus...

Taškas vienas. Šaknis reikia atpažinti iš matymo!

Kas yra kvadratinė šaknis iš 49? Septyni? Teisingai! Iš kur žinai, kad septyni? Sudarė septynis kvadratus ir gavo 49? Teisingai! Prašau Pasižymėk tai ištraukti šaknį iš 49 turėjome atlikti atvirkštinę operaciją – 7 kvadratas! Ir įsitikinkite, kad nepraleisime. Arba jie galėjo praleisti...

Tai ir yra sunkumas šaknų ištraukimas. Kvadratas Galite naudoti bet kurį numerį be jokių problemų. Padauginkite skaičių iš stulpelio – viskas. Bet už šaknų ištraukimas Tokios paprastos ir saugios technologijos nėra. Mes privalome paimti atsakykite ir patikrinkite, ar jis teisingas, padalydami jį kvadratu.

Šis sudėtingas kūrybinis procesas – atsakymo pasirinkimas – labai supaprastėja, jei Prisiminti populiarių skaičių kvadratai. Kaip daugybos lentelė. Jei, tarkime, reikia padauginti 4 iš 6, nepridėsi keturių 6 kartus, ar ne? Iš karto pasirodo 24 atsakymas, nors ne visi tai supranta, taip...

Norint laisvai ir sėkmingai dirbti su šaknimis, pakanka žinoti skaičių kvadratus nuo 1 iki 20. ten Ir atgal. Tie. jūs turėtumėte sugebėti lengvai deklamuoti ir, tarkime, 11 kvadratų, ir kvadratinę šaknį iš 121. Norėdami tai įsiminti, yra du būdai. Pirmasis yra išmokti kvadratų lentelę. Tai bus puiki pagalba sprendžiant pavyzdžius. Antrasis – išspręsti daugiau pavyzdžių. Tai labai padės prisiminti kvadratų lentelę.

Ir jokių skaičiuoklių! Tik bandymo tikslais. Priešingu atveju per egzaminą negailestingai sulėtinsite greitį...

Taigi, kas yra kvadratinė šaknis Ir kaip ekstraktas šaknis– Manau, aišku. Dabar išsiaiškinkime, iš ko galime juos išgauti.

Antras taškas. Root, aš tavęs nepažįstu!

Iš kokių skaičių galima paimti kvadratines šaknis? Taip, beveik bet kuris iš jų. Lengviau suprasti, nuo ko tai tai uždrausta juos išgauti.

Pabandykime apskaičiuoti šią šaknį:

Norėdami tai padaryti, turime pasirinkti skaičių, kuris kvadratu duos mums -4. Mes pasirenkame.

Ką, netinka? 2 2 suteikia +4. (-2) 2 vėl suteikia +4! Tai tiek... Nėra skaičių, kuriuos sudėjus kvadratu gautume neigiamą skaičių! Nors aš žinau šiuos skaičius. Bet aš tau nesakysiu). Eikite į koledžą ir patys sužinosite.

Ta pati istorija nutiks su bet kokiu neigiamu skaičiumi. Taigi išvada:

Išraiška, kurioje po kvadratinės šaknies ženklu yra neigiamas skaičius - neturi prasmės! Tai yra draudžiama operacija. Tai taip pat draudžiama, kaip dalyti iš nulio. Prisiminkite šį faktą tvirtai! Arba kitaip:

Negalite išskirti kvadratinių šaknų iš neigiamų skaičių!

Tačiau iš visų kitų tai įmanoma. Pavyzdžiui, visiškai įmanoma apskaičiuoti

Iš pirmo žvilgsnio tai labai sunku. Trupmenų parinkimas ir jų kvadratūra... Nesijaudinkite. Kai suprasime šaknų savybes, tokie pavyzdžiai bus sumažinti iki tos pačios kvadratų lentelės. Gyvenimas taps lengvesnis!

Gerai, trupmenos. Tačiau vis tiek susiduriame su tokiais posakiais kaip:

Viskas gerai. Visi vienodi. Kvadratinė šaknis iš dviejų yra skaičius, kurį pateikus kvadratu gauname du. Tik šis skaičius visiškai nelygus... Štai jis:

Įdomu tai, kad ši trupmena niekada nesibaigia... Tokie skaičiai vadinami neracionaliais. Kvadratinėse šaknyse tai yra labiausiai paplitęs dalykas. Beje, dėl to ir vadinami posakiai su šaknimis neracionalus. Aišku, kad visą laiką rašyti tokią begalinę trupmeną yra nepatogu. Todėl vietoj begalinės trupmenos jie palieka taip:

Jei spręsdami pavyzdį gausite kažką, ko negalima išgauti, pvz.:

tada paliekame taip. Tai bus atsakymas.

Turite aiškiai suprasti, ką reiškia piktogramos

Žinoma, jei paimama skaičiaus šaknis sklandžiai, jūs turite tai padaryti. Pavyzdžiui, atsakymas į užduotį yra formoje

Gana išsamus atsakymas.

Ir, žinoma, iš atminties turite žinoti apytiksles vertes:

Šios žinios labai padeda įvertinti situaciją atliekant sudėtingas užduotis.

Trečias taškas. Pats gudriausias.

Pagrindinę painiavą dirbant su šaknimis sukelia šis taškas. Būtent jis suteikia pasitikėjimo savo jėgomis... Su šiuo klausimu susitvarkykime tinkamai!

Pirmiausia dar kartą paimkime keturių iš jų kvadratinę šaknį. Ar aš jau įkyrėjau tau su šia šaknimi?) Nesvarbu, dabar bus įdomu!

Koks skaičius yra 4 kvadratas? Na du, du – girdžiu nepatenkintus atsakymus...

Teisingai. Du. Bet taip pat minus du duos 4 kvadratus... Tuo tarpu atsakymas

teisinga ir atsakymas

grubi klaida. Kaip šitas.

Taigi koks susitarimas?

Iš tiesų, (-2) 2 = 4. Ir pagal kvadratinės šaknies iš keturių apibrėžimą minus du visai tinka... Tai irgi kvadratinė šaknis iš keturių.

Bet! Mokyklos matematikos kurse įprasta svarstyti kvadratines šaknis tik neneigiami skaičiai! Tai yra nulis ir viskas teigiama. Buvo išrastas net specialus terminas: nuo numerio A- Tai ne neigiamas skaičius, kurio kvadratas yra A. Neigiami rezultatai ištraukiant aritmetinę kvadratinę šaknį tiesiog atmetami. Mokykloje viskas yra iš kvadratinių šaknų - aritmetika. Nors tai nėra ypač paminėta.

Gerai, tai suprantama. Dar geriau nesivarginti dėl neigiamų rezultatų... Tai dar ne painiava.

Sumišimas prasideda sprendžiant kvadratines lygtis. Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti šią lygtį.

Lygtis paprasta, rašome atsakymą (kaip mokoma):

Šis atsakymas (beje, visiškai teisingas) yra tik sutrumpintas variantas du atsakymai:

Sustok, sustok! Tiesiog aukščiau parašiau, kad kvadratinė šaknis yra skaičius Visada ne neigiamas! Ir čia yra vienas iš atsakymų - neigiamas! Sutrikimas. Tai pirma (bet ne paskutinė) problema, sukelianti nepasitikėjimą šaknimis... Išspręskime šią problemą. Užrašykime atsakymus (kad suprastume!) taip:

Skliaustai nekeičia atsakymo esmės. Tiesiog atskyriau skliausteliuose ženklai iš šaknis. Dabar aiškiai matote, kad pati šaknis (skliausteliuose) vis dar yra neneigiamas skaičius! Ir ženklai yra lygties sprendimo rezultatas. Juk spręsdami bet kurią lygtį turime rašyti Visi Xs, kurie, pakeitę pradinę lygtį, duos teisingą rezultatą. Penkių šaknis (teigiama!) su pliusu ir minusu telpa į mūsų lygtį.

Kaip šitas. Jei tu tiesiog paimkite kvadratinę šaknį nuo bet ko, tu Visada tu gauni vienas neneigiamas rezultatas. Pavyzdžiui:

Nes tai - aritmetinė kvadratinė šaknis.

Bet jei sprendžiate kokią nors kvadratinę lygtį, pavyzdžiui:

Tai Visada paaiškėja du atsakymas (su pliusu ir minusu):

Nes tai yra lygties sprendimas.

viltis, kas yra kvadratinė šaknis Jūs aiškiai supratote savo mintis. Dabar belieka išsiaiškinti, ką galima daryti su šaknimis, kokios jų savybės. O kokie taškai ir spąstai... atsiprašau, akmenys!)

Visa tai – tolesnėse pamokose.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Sveikiname: šiandien pažvelgsime į šaknis – vieną labiausiai jaudinančių temų 8 klasėje :)

Daugelis žmonių susipainioja dėl šaknų ne dėl to, kad jos sudėtingos (kas čia tokio sudėtingo – pora apibrėžimų ir dar pora savybių), o todėl, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių šaknys apibrėžiamos per tokias džiungles, kad tik patys vadovėlių autoriai. gali suprasti šį raštą. Ir net tada tik su buteliu gero viskio :)

Todėl dabar pateiksiu teisingiausią ir kompetentingiausią šaknies apibrėžimą - vienintelį, kurį tikrai turėtumėte atsiminti. Ir tada paaiškinsiu: kam viso to reikia ir kaip tai pritaikyti praktikoje.

Tačiau pirmiausia atsiminkite vieną svarbų dalyką, kurį daugelis vadovėlių rengėjų dėl tam tikrų priežasčių „pamiršta“:

Šaknys gali būti lyginio laipsnio (mūsų mėgstamiausias $\sqrt(a)$, taip pat visų rūšių $\sqrt(a)$ ir net $\sqrt(a)$) ir nelyginio laipsnio (visų rūšių $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ ir kt.). Ir nelyginio laipsnio šaknies apibrėžimas šiek tiek skiriasi nuo lyginio.

Tikriausiai 95% visų klaidų ir nesusipratimų, susijusių su šaknimis, slypi šiame sušiktame „kiek kitaip“. Taigi kartą ir visiems laikams išsiaiškinkime terminiją:

Apibrėžimas. Net šaknis n nuo skaičiaus $a$ yra bet koks ne neigiamas skaičius $b$ yra toks, kad $((b)^(n))=a$. O to paties skaičiaus $a$ nelyginė šaknis paprastai yra bet koks skaičius $b$, kuriam galioja ta pati lygybė: $((b)^(n))=a$.

Bet kokiu atveju šaknis žymima taip:

\(a)\]

Skaičius $n$ tokiame žymėjime vadinamas šaknies eksponentu, o skaičius $a$ – radikaliąja išraiška. Konkrečiai, kai $n=2$ gauname „mėgstamiausią“ kvadratinę šaknį (beje, tai lyginio laipsnio šaknis), o už $n=3$ gauname kubinę šaknį (nelyginį laipsnį), kuri yra taip pat dažnai randama uždaviniuose ir lygtyse.

Pavyzdžiai. Klasikiniai kvadratinių šaknų pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(lygiuoti)\]

Beje, $\sqrt(0)=0$ ir $\sqrt(1)=1$. Tai gana logiška, nes $((0)^(2))=0$ ir $((1)^(2))=1$.

Kubo šaknys taip pat dažnos – jų nereikia bijoti:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(lygiuoti)\]

Na, pora „egzotiškų pavyzdžių“:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(lygiuoti)\]

Jei nesuprantate, kuo skiriasi lyginis ir nelyginis laipsnis, dar kartą perskaitykite apibrėžimą. Tai labai svarbu!

Tuo tarpu apsvarstysime vieną nemalonią šaknų savybę, dėl kurios reikėjo įvesti atskirą lyginių ir nelyginių rodiklių apibrėžimą.

Kam iš viso reikalingos šaknys?

Perskaitę apibrėžimą, daugelis mokinių paklaus: „Ką rūkė matematikai, kai tai sugalvojo? Ir iš tikrųjų: kam iš viso reikalingos visos šios šaknys?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, trumpam grįžkime į pradinę mokyklą. Prisiminkite: tais tolimais laikais, kai medžiai buvo žalesni, o koldūnai skanesni, mūsų pagrindinis rūpestis buvo teisingai padauginti skaičius. Na, kažkas panašaus į „penki penki – dvidešimt penki“, tai ir viskas. Bet jūs galite dauginti skaičius ne poromis, o trynukais, keturkampiais ir paprastai ištisomis rinkiniais:

\[\begin(lygiuoti) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end (lygiuoti)\]

Tačiau tai ne esmė. Triukas kitoks: matematikai yra tinginiai, todėl jiems sunkiai sekėsi užrašyti dešimties penketukų dauginimą taip:

Štai kodėl jie sugalvojo laipsnius. Kodėl faktorių skaičiaus neįrašius kaip viršutinį indeksą, o ne kaip ilgą eilutę? Kažkas panašaus į tai:

Tai labai patogu! Visi skaičiavimai žymiai sutrumpėja, ir jums nereikia švaistyti krūvos pergamento lapų ir sąsiuvinių, kad užsirašytumėte 5183. Šis rekordas buvo vadinamas skaičiaus galia, jame buvo rasta krūva savybių, tačiau laimė pasirodė trumpalaikė.

Po grandiozinio išgertuvės, surengtos vien dėl laipsnių „atradimo“, kažkoks ypač užsispyręs matematikas staiga paklausė: „O jeigu žinome skaičiaus laipsnį, o pats skaičius nežinomas? Iš tiesų, jei žinome, kad tam tikras skaičius $b$, tarkime, iki 5 laipsnio duoda 243, tai kaip galime atspėti, kam yra lygus pats skaičius $b$?

Ši problema pasirodė daug globalesnė, nei gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Nes paaiškėjo, kad daugumai „paruoštų“ galių tokių „pradinių“ skaičių nėra. Spręskite patys:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\RightArrow b=4\cdot 4\cdot 4\RightArrow b=4. \\ \end(lygiuoti)\]

O kas, jei $((b)^(3)) = 50 $? Pasirodo, reikia rasti tam tikrą skaičių, kurį padauginus iš savęs tris kartus, gautume 50. Bet kas tai yra skaičius? Jis aiškiai didesnis nei 3, nes 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Tai yra šis skaičius yra kažkur tarp trijų ir keturių, bet jūs nesuprasite, kam jis lygus.

Būtent todėl matematikai sugalvojo $n$-ąją šaknį. Būtent todėl buvo įvestas radikalus simbolis $\sqrt(*)$. Pažymėti patį skaičių $b$, kuris nurodytu laipsniu suteiks mums anksčiau žinomą reikšmę

\[\sqrt[n](a)=b\Rodyklė dešinėn ((b)^(n))=a\]

Aš nesiginčiju: dažnai šios šaknys yra lengvai apskaičiuojamos - aukščiau matėme keletą tokių pavyzdžių. Tačiau daugeliu atvejų, jei sugalvosite savavališką skaičių ir bandysite iš jo išgauti savavališko laipsnio šaknį, jūsų laukia siaubingas bėdas.

Kas ten! Netgi paprasčiausias ir žinomiausias $\sqrt(2)$ negali būti pavaizduotas mums įprasta forma – kaip sveikasis skaičius arba trupmena. Ir jei įvesite šį skaičių į skaičiuotuvą, pamatysite tai:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kaip matote, po kablelio yra begalinė skaičių seka, kuri nepaklūsta jokiai logikai. Žinoma, galite suapvalinti šį skaičių, kad greitai palygintumėte su kitais skaičiais. Pavyzdžiui:

\[\sqrt(2)=1,4142...\apytiksliai 1,4 \lt 1,5\]

Arba štai kitas pavyzdys:

\[\sqrt(3)=1,73205...\apytiksliai 1,7 \gt 1,5\]

Tačiau visi šie apvalinimai, pirma, yra gana grubūs; ir, antra, jūs taip pat turite mokėti dirbti su apytikslėmis reikšmėmis, kitaip galite pagauti krūvą neakivaizdžių klaidų (beje, lyginimo ir apvalinimo įgūdžius reikia patikrinti profilyje „Vieningas valstybinis egzaminas“).

Todėl rimtoje matematikoje neapsieisite be šaknų - jie yra tokie patys lygūs visų realiųjų skaičių aibės $\mathbb(R)$ atstovai, kaip ir mums seniai žinomos trupmenos ir sveikieji skaičiai.

Nesugebėjimas pavaizduoti šaknies kaip formos $\frac(p)(q)$ trupmenos reiškia, kad ši šaknis nėra racionalus skaičius. Tokie skaičiai vadinami iracionaliais ir negali būti tiksliai pavaizduoti, nebent naudojant radikalą ar kitas specialiai tam skirtas konstrukcijas (logaritmus, laipsnius, ribas ir kt.). Bet apie tai plačiau kitą kartą.

Panagrinėkime kelis pavyzdžius, kai po visų skaičiavimų atsakyme vis tiek liks neracionalūs skaičiai.

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\apytiksliai 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\apytiksliai -1,2599... \\ \end(lygiuoti)\]

Natūralu, kad iš šaknies atsiradimo beveik neįmanoma atspėti, kokie skaičiai bus po kablelio. Tačiau galite pasikliauti skaičiuotuvu, tačiau net ir pažangiausia datos skaičiuoklė mums pateikia tik kelis pirmuosius neracionalaus skaičiaus skaitmenis. Todėl daug teisingiau atsakymus rašyti formomis $\sqrt(5)$ ir $\sqrt(-2)$.

Būtent dėl ​​to jie buvo išrasti. Norėdami patogiai įrašyti atsakymus.

Kodėl reikalingi du apibrėžimai?

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai jau pastebėjo, kad visos pavyzdžiuose pateiktos kvadratinės šaknys paimtos iš teigiamų skaičių. Na, bent jau nuo nulio. Tačiau kubo šaknis galima ramiai išgauti iš absoliučiai bet kokio skaičiaus – ar tai būtų teigiama, ar neigiama.

Kodėl tai vyksta? Pažvelkite į funkcijos $y=((x)^(2))$ grafiką:

Pabandykime apskaičiuoti $\sqrt(4)$ naudodami šį grafiką. Tam grafike nubrėžiama horizontali linija $y=4$ (pažymėta raudona spalva), kuri susikerta su parabole dviejuose taškuose: $((x)_(1))=2$ ir $((x) )_(2)) = -2 $. Tai gana logiška, nes

Su pirmuoju skaičiumi viskas aišku - jis yra teigiamas, taigi tai yra šaknis:

Bet ką tada daryti su antruoju punktu? Kaip keturi turi dvi šaknis vienu metu? Juk jei skaičių −2 padalinsime kvadratu, gausime ir 4. Kodėl tada neparašius $\sqrt(4)=-2$? O kodėl mokytojai į tokius įrašus žiūri taip, lyg norėtų tave suėsti :)

Bėda ta, kad jei nekelsite jokių papildomų sąlygų, keturkampis turės dvi kvadratines šaknis - teigiamą ir neigiamą. Ir bet kuris teigiamas skaičius taip pat turės du iš jų. Bet neigiami skaičiai iš viso neturės šaknų – tai matyti iš to paties grafiko, nes parabolė niekada nenukrenta žemiau ašies y, t.y. nepriima neigiamų verčių.

Panaši problema iškyla visoms šaknims su lygiu eksponentu:

1. Griežtai kalbant, kiekvienas teigiamas skaičius turės dvi šaknis su lyginiu eksponentu $n$;
2. Iš neigiamų skaičių šaknis su net $n$ iš viso neišgaunama.

Štai kodėl lyginio laipsnio $n$ šaknies apibrėžime konkrečiai nurodyta, kad atsakymas turi būti neneigiamas skaičius. Taip atsikratome dviprasmybių.

Tačiau nelyginiams $n$ tokios problemos nėra. Norėdami tai pamatyti, pažvelkime į funkcijos $y=((x)^(3))$ grafiką:

Iš šio grafiko galima padaryti dvi išvadas:

1. Kubinės parabolės šakos, skirtingai nei įprastos, eina į begalybę abiem kryptimis – ir aukštyn, ir žemyn. Todėl nesvarbu, kokio aukščio nubrėžtume horizontalią liniją, ši linija tikrai susikirs su mūsų grafiku. Vadinasi, kubo šaknį visada galima paimti iš absoliučiai bet kokio skaičiaus;
2. Be to, tokia sankryža visada bus unikali, todėl jums nereikės galvoti, kuris skaičius laikomas „teisinga“ šaknimi, o kurį ignoruoti. Štai kodėl nelyginio laipsnio šaknis nustatyti yra paprasčiau nei lyginiam (neneigiamumo reikalavimo nėra).

Gaila, kad daugumoje vadovėlių šie paprasti dalykai nepaaiškinami. Vietoj to, mūsų smegenys pradeda sklandyti su visomis aritmetinėmis šaknimis ir jų savybėmis.

Taip, aš nesiginčiju: jūs taip pat turite žinoti, kas yra aritmetinė šaknis. Ir apie tai išsamiai pakalbėsiu atskiroje pamokoje. Šiandien apie tai taip pat pakalbėsime, nes be jos visos mintys apie $n$-osios daugumos šaknis būtų neišsamios.

Bet pirmiausia turite aiškiai suprasti apibrėžimą, kurį pateikiau aukščiau. Priešingu atveju dėl terminų gausos galvoje prasidės tokia netvarka, kad galiausiai išvis nieko nesuprasi.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai suprasti skirtumą tarp lyginių ir nelyginių rodiklių. Todėl dar kartą surinkime viską, ką tikrai reikia žinoti apie šaknis:

1. Lyginio laipsnio šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus ir pati visada yra neneigiamas skaičius. Neigiamų skaičių šaknis neapibrėžta.
2. Tačiau nelyginio laipsnio šaknis egzistuoja iš bet kurio skaičiaus ir pati gali būti bet koks skaičius: teigiamiems skaičiams jis yra teigiamas, o neigiamiems skaičiams, kaip rodo viršutinė riba, neigiama.

Ar tai sunku? Ne, tai nėra sunku. Tai aišku? Taip, tai visiškai akivaizdu! Taigi dabar šiek tiek pasipraktikuosime su skaičiavimais.

Pagrindinės savybės ir apribojimai

Šaknys turi daug keistų savybių ir apribojimų – apie tai bus kalbama atskiroje pamokoje. Todėl dabar mes apsvarstysime tik svarbiausią „gudrybę“, kuri taikoma tik šaknims su lygiu indeksu. Parašykime šią savybę kaip formulę:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Kitaip tariant, jei skaičių padidinsime iki lyginės laipsnio ir tada ištrauksime tos pačios laipsnio šaknį, gausime ne pradinį skaičių, o jo modulį. Tai paprasta teorema, kurią galima nesunkiai įrodyti (pakanka atskirai nagrinėti neneigiamus $x$, o po to atskirai neigiamus). Mokytojai apie tai nuolat kalba, tai pateikiama kiekviename mokykliniame vadovėlyje. Tačiau kai tik reikia išspręsti neracionalias lygtis (t. y. lygtis, kuriose yra radikalus ženklas), mokiniai vienbalsiai pamiršta šią formulę.

Norėdami išsamiai suprasti problemą, minutei pamirškime visas formules ir pabandykite iš karto apskaičiuoti du skaičius:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Tai labai paprasti pavyzdžiai. Daugelis žmonių išspręs pirmąjį pavyzdį, tačiau daugelis žmonių įstringa ties antrajam. Kad be problemų išspręstumėte tokius nešvarumus, visada apsvarstykite procedūrą:

1. Pirma, skaičius padidinamas iki ketvirtosios laipsnio. Na, tai kažkaip lengva. Gausite naują skaičių, kurį galite rasti net daugybos lentelėje;
2. Ir dabar iš šio naujo skaičiaus reikia išgauti ketvirtą šaknį. Tie. nevyksta šaknų ir galių „sumažinimas“ - tai nuoseklūs veiksmai.

Pažiūrėkime į pirmąją išraišką: $\sqrt(((3)^(4)))$. Akivaizdu, kad pirmiausia turite apskaičiuoti išraišką po šaknimi:

\[((3)^(4))=3\ctaškas 3\ctaškas 3\ctaškas 3=81\]

Tada ištraukiame ketvirtąją skaičiaus 81 šaknį:

Dabar padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmiausia skaičių −3 pakeliame iki ketvirtosios laipsnio, kurį reikia padauginti iš savęs 4 kartus:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ kairysis(-3 \dešinė)=81\]

Gavome teigiamą skaičių, nes bendras gaminio minusų skaičius yra 4 ir jie visi vienas kitą panaikins (juk minusas už minusą duoda pliusą). Tada vėl ištraukiame šaknį:

Iš principo šios eilutės negalėjo būti parašytos, nes negalvojama, kad atsakymas bus toks pat. Tie. tos pačios lygiosios galios lygi šaknis „sudegina“ minusus, ir šia prasme rezultatas nesiskiria nuo įprasto modulio:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Šie skaičiavimai gerai sutampa su lyginio laipsnio šaknies apibrėžimu: rezultatas visada yra neneigiamas, o radikaliame ženkle taip pat visada yra neneigiamas skaičius. Priešingu atveju šaknis neapibrėžta.

Pastaba apie procedūrą

1. Žymėjimas $\sqrt(((a)^(2)))$ reiškia, kad iš pradžių skaičių $a$ paimame kvadratu, o tada gaunamos reikšmės kvadratinę šaknį. Todėl galime būti tikri, kad po šaknies ženklu visada yra neneigiamas skaičius, nes $((a)^(2))\ge 0$ bet kuriuo atveju;
2. Tačiau žymėjimas $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, priešingai, reiškia, kad pirmiausia paimame tam tikro skaičiaus $a$ šaknį ir tik po to rezultatą kvadratu. Todėl skaičius $a$ jokiu būdu negali būti neigiamas – tai privalomas reikalavimas, įtrauktas į apibrėžimą.

Taigi jokiu būdu nereikėtų neapgalvotai mažinti šaknų ir laipsnių, taip tariamai „supaprastinant“ pirminę išraišką. Nes jei šaknis turi neigiamą skaičių, o jos rodiklis lyginis, gauname krūvą problemų.

Tačiau visos šios problemos aktualios tik lygiems rodikliams.

Minuso ženklo pašalinimas iš po šaknies ženklo

Natūralu, kad šaknys su nelyginiais rodikliais taip pat turi savo bruožą, kurio iš esmės nėra su lyginiais. Būtent:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Trumpai tariant, minusą galite pašalinti iš po nelyginio laipsnio šaknų ženklo. Tai labai naudinga savybė, leidžianti „išmesti“ visus trūkumus:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(lygiuoti)\]

Ši paprasta savybė labai supaprastina daugelį skaičiavimų. Dabar jums nereikia jaudintis: o kas, jei neigiama išraiška būtų paslėpta po šaknimi, o laipsnis prie šaknies pasirodė lygus? Užtenka tik „išmesti“ visus minusus už šaknų ribų, po to juos galima dauginti vienas iš kito, dalytis ir apskritai padaryti daug įtartinų dalykų, kurie „klasikinių“ šaknų atveju mus garantuotai prives prie klaida.

Ir čia pasirodo kitas apibrėžimas – tas pats, kuriuo dauguma mokyklų pradeda neracionalių posakių tyrimą. Ir be kurio mūsų samprotavimai būtų neišsamūs. Susitikti!

Aritmetinė šaknis

Trumpam manykime, kad po šaknies ženklu gali būti tik teigiami skaičiai arba, kraštutiniais atvejais, nulis. Pamirškime lyginius/nelyginius rodiklius, pamirškime visus aukščiau pateiktus apibrėžimus – dirbsime tik su neneigiamais skaičiais. Kas tada?

Ir tada gausime aritmetinę šaknį - ji iš dalies sutampa su mūsų „standartiniais“ apibrėžimais, bet vis tiek skiriasi nuo jų.

Apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus $a$ $n$-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius $b$, kad $((b)^(n))=a$.

Kaip matome, mūsų nebedomina paritetas. Vietoj to atsirado naujas apribojimas: radikali išraiška dabar visada yra neneigiama, o pati šaknis taip pat yra neneigiama.

Norėdami geriau suprasti, kuo aritmetinė šaknis skiriasi nuo įprastos, pažvelkite į mums jau pažįstamus kvadratinės ir kubinės parabolės grafikus:

Kaip matote, nuo šiol mus domina tik tie grafikų fragmentai, kurie yra pirmajame koordinačių ketvirtyje – kur koordinatės $x$ ir $y$ yra teigiamos (arba bent jau nulis). Jums nebereikia žiūrėti į indikatorių, kad suprastumėte, ar mes turime teisę dėti neigiamą skaičių po šaknimi, ar ne. Nes neigiami skaičiai iš esmės nebelaikomi.

Galite paklausti: „Na, kam mums reikia tokio sterilizuoto apibrėžimo? Arba: „Kodėl negalime susitvarkyti su aukščiau pateiktu standartiniu apibrėžimu?

Na, aš pateiksiu tik vieną savybę, dėl kurios naujas apibrėžimas tampa tinkamas. Pavyzdžiui, eksponencijos taisyklė:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Atkreipkite dėmesį: radikaliąją išraišką galime pakelti iki bet kokios laipsnio ir tuo pačiu padauginti šaknies eksponentą iš tos pačios laipsnio – ir rezultatas bus toks pat! Štai pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(lygiuoti)\]

Taigi, kas per didelis? Kodėl mes negalėjome to padaryti anksčiau? Štai kodėl. Panagrinėkime paprastą išraišką: $\sqrt(-2)$ - šis skaičius yra gana normalus mūsų klasikiniu supratimu, bet visiškai nepriimtinas aritmetinės šaknies požiūriu. Pabandykime konvertuoti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(lygiuoti)$

Kaip matote, pirmuoju atveju pašalinome minusą iš po radikalo (turime visas teises, nes rodiklis yra nelyginis), o antruoju atveju naudojome aukščiau pateiktą formulę. Tie. Matematikos požiūriu viskas daroma pagal taisykles.

WTF?! Kaip tas pats skaičius gali būti teigiamas ir neigiamas? Negali būti. Tiesiog eksponencijos formulė, kuri puikiai tinka teigiamiems skaičiams ir nuliui, neigiamų skaičių atveju pradeda kelti visišką ereziją.

Siekiant atsikratyti tokio neaiškumo, buvo išrastos aritmetinės šaknys. Jiems skirta atskira didelė pamoka, kurioje išsamiai aptariame visas jų savybes. Taigi dabar apie juos nesigilinsime - pamoka jau pasirodė per ilga.

Algebrinė šaknis: norintiems sužinoti daugiau

Ilgai galvojau, ar dėti šią temą į atskirą pastraipą, ar ne. Galiausiai nusprendžiau tai palikti čia. Ši medžiaga skirta tiems, kurie nori dar geriau suprasti šaknis – jau ne vidutinio „mokyklinio“, o artimo olimpiados lygiui.

Taigi: be „klasikinio“ skaičiaus $n$-osios šaknies apibrėžimo ir su juo susijusio padalijimo į lyginius ir nelyginius rodiklius, yra ir labiau „suaugusiųjų“ apibrėžimas, kuris visiškai nepriklauso nuo pariteto ir kitų subtilybių. Tai vadinama algebrine šaknimi.

Apibrėžimas. Bet kurio $a$ algebrinė $n$-oji šaknis yra visų skaičių $b$ rinkinys, kad $((b)^(n))=a$. Tokioms šaknims nėra nustatyto pavadinimo, todėl viršuje uždėsime brūkšnį:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Esminis skirtumas nuo standartinio apibrėžimo, pateikto pamokos pradžioje, yra tas, kad algebrinė šaknis yra ne konkretus skaičius, o aibė. Kadangi dirbame su tikraisiais skaičiais, šis rinkinys yra tik trijų tipų:

1. Tuščias komplektas. Atsiranda, kai reikia rasti lyginio laipsnio algebrinę šaknį iš neigiamo skaičiaus;
2. Rinkinys, susidedantis iš vieno elemento. Į šią kategoriją patenka visos nelyginių galių šaknys, taip pat lyginių nulio laipsnių šaknys;
3. Galiausiai rinkinyje gali būti du skaičiai – tie patys $((x)_(1))$ ir $((x)_(2))=-((x)_(1))$, kuriuos matėme grafiko kvadratinė funkcija. Atitinkamai, toks išdėstymas galimas tik iš teigiamo skaičiaus išimant lyginio laipsnio šaknį.

Paskutinis atvejis nusipelno išsamesnio svarstymo. Suskaičiuokime keletą pavyzdžių, kad suprastume skirtumą.

Pavyzdys. Įvertinkite posakius:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Sprendimas. Su pirmąja išraiška viskas paprasta:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Tai du skaičiai, kurie yra rinkinio dalis. Nes kiekvienas iš jų kvadratu duoda ketvertą.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Čia matome rinkinį, kurį sudaro tik vienas skaičius. Tai gana logiška, nes šaknies rodiklis yra nelyginis.

Galiausiai paskutinė išraiška:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Gavome tuščią komplektą. Nes nėra nė vieno realaus skaičiaus, kurį pakėlus iki ketvirtosios (t.y. lyginės!) laipsnio, gautume neigiamą skaičių −16.

Baigiamoji pastaba. Atkreipkite dėmesį: neatsitiktinai visur pažymėjau, kad dirbame su tikraisiais skaičiais. Nes yra ir kompleksinių skaičių - ten visai įmanoma suskaičiuoti $\sqrt(-16)$, ir daug kitų keistų dalykų.

Tačiau šiuolaikiniuose mokykliniuose matematikos kursuose sudėtingi skaičiai beveik niekada nepasirodo. Jie buvo pašalinti iš daugumos vadovėlių, nes mūsų pareigūnai mano, kad tema „per sunku suprasti“.