Atvejis, kai lygčių skaičius m daugiau kintamųjų n, nuosekliai pašalinus nežinomuosius iš lygčių veda prie atvejo m= n arba m n.
Pirmasis atvejis buvo aptartas anksčiau. m n Antruoju atveju, kai lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių m o lygtys nepriklausomos, išsiskiria pagrindiniai kintamieji n- m)Ir ( nepagrindiniai kintamieji . Pagrindiniai kintamieji yra tie, kurie tenkina sąlygą: determinantas, sudarytas iš šių kintamųjų koeficientų, nėra lygus nuliui. Pagrindinės gali būti skirtingos kintamųjų grupės. Bendras tokių grupių skaičius N n lygus derinių skaičiui m:
elementai pagal Jei sistema turi bent vieną pagrindinių kintamųjų grupę, tada ši sistema yra neapibrėžtas
, tai yra, ji turi daug sprendimų. Jei sistema neturi vienos pagrindinių kintamųjų grupės, tai sistema yra nesuderinamas
, tai yra, jis neturi vieno sprendimo.
Tuo atveju, kai sistema turi daug sprendimų, tarp jų išskiriamas pagrindinis sprendimas.
Bazinis sprendimas 
yra sprendimas, kuriame smulkieji kintamieji yra lygūs nuliui. Sistema neturi daugiau nei
pagrindiniai sprendimai. Sisteminiai sprendimai skirstomi į priimtina Ir .
nepriimtina Priimtina
Tai sprendimai, kuriuose visų kintamųjų reikšmės yra neneigiamos. Jei bent viena kintamojo reikšmė yra neigiama, tada iškviečiamas sprendimas .
nepriimtina
4.5 pavyzdys
Raskite pagrindinius lygčių sistemos sprendimus
.
Raskime pagrindinių sprendimų skaičių Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai X Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 1 ir
.
2. Patikriname determinantą iš jų koeficientų Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 1 ,Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai Kadangi šis determinantas nėra lygus nuliui, tada kintamieji
2 yra pagrindiniai. Dabar tarkime, kad X
3 = 0. Tada gauname sistemą formoje
,
.
Išspręskime tai naudodami Cramerio formules:
Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 1 =1,Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 2 =0,Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 3 =0 .
Taigi, pirmasis pagrindinis sprendimas turi formą Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai X Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 3 .
.
Dabar patikrinkime, ar kintamieji priklauso pagrindiniams Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai X Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai Mes tai gauname Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 3 – antra pagrindinių kintamųjų grupė. Padėkime
,
.
2 =0 ir išspręskite sistemą
Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 1 =1,Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 2 =0,Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 3 =0.
Antrasis pagrindinis sprendimas turi formą Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai Dabar patikrinkime, ar kintamieji priklauso pagrindiniams Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai 3 .
2 ir Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai Dabar patikrinkime, ar kintamieji priklauso pagrindiniams Taigi tarp daugelio sistemos sprendimų yra ne daugiau kaip trys pagrindiniai. Išskirkime du pagrindinius kintamuosius iš trijų. Tarkime, kad tai tai yra kintamieji
M tiesinių lygčių sistemos su n kintamųjų suderinamumo sąlyga pateikiama naudojant matricos rango sąvoką.
Matricos rangas – tai skaičius, lygus didžiausiam nepilnamečio laipsniui, išskyrus nulį.
Dėl matricos A
nepilnametis k – įsakymas tarnauja kaip determinantas, sudarytas iš bet kurių elementų k linijos ir k stulpelius.
Pavyzdžiui,
2 pavyzdys
Raskite matricos rangą
Apskaičiuokime matricos determinantą
Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmąją eilutę iš (-4) ir pridėkite ją prie antrosios eilutės, tada padauginkite pirmąją eilutę iš (-7) ir pridėkite ją su trečiąja eilute, todėl gausime determinantą
Nes gauto determinanto eilutės yra proporcingos, tada 
.
Iš to matome, kad 3 eilės minoras yra lygus 0, o 2 eilės minoras nėra lygus 0.
Todėl matricos rangas yra r=2.
Išplėstinė matrica sistema turi formą
Kronecker-Capelli teorema
Kad tiesinė sistema būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad išplėstinės matricos rangas būtų lygus pagrindinės matricos rangui. 
.
Jeigu 
,
tada sistema nenuosekli.
Vienu metu veikiančiai tiesinių lygčių sistemai galimi trys atvejai:
1) Jei 
, tada LU sistema turi (m-r) tiesiškai priklausomas lygtis, jos gali būti išbrauktos iš sistemos;
2) Jei 
, tuomet LU sistema turi unikalų sprendimą;
3) Jei 
, tada LU sistema turi daug sprendimų
A 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2p x p= b 2 ,
........................................
A s 1 x 1 + a s 2 x 2 +...+ a s p x p= b s.
Jame atliksime elementarias transformacijas. Norėdami tai padaryti, išrašome (1) sistemos nežinomųjų koeficientų matricą, pridėdami laisvųjų terminų stulpelį, kitaip tariant išplėstinė matrica Ā sistemai (1):
Tarkime, kad tokių transformacijų pagalba buvo galima sumažinti matricą Ā į formą:
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n = c 2,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r ,
kuri gaunama iš sistemos (1), naudojant tam tikrą elementariųjų transformacijų skaičių ir todėl yra lygiavertė sistemai (1). Jei sistemoje (4) r=n, tada iš paskutinės lygties, kuri turi formą b nn x n =c n(Kur b nn≠ 0), randame vienintelę reikšmę x n, iš priešpaskutinės lygties – reikšmė xn-1(nes x n jau žinoma) ir tt, galiausiai, iš pirmosios lygties – reikšmės x 1 . Taigi, tuo atveju) r=n sistema turi unikalų sprendimą. Jeigu r
X 1 =a 1, r+1 x r+1 +...+a 1 n X n+b 1,
|
|
............................................
X r=a r, r+1 x r+1 +...+a r n X n+b r.
kuri iš esmės yra bendras sprendimas sistemos (1).
Nežinomieji x r+1, ..., x n vadinami laisvaisiais. Iš sistemos (5) bus galima rasti reikšmes x1,..., x r.
Matricos mažinimas Ā į formą (3) galima tik tuo atveju, kai pirminė (1) lygčių sistema yra nuosekli. Jei sistema (1) nenuosekli, toks sumažinimas neįmanomas. Ši aplinkybė išreiškiama tuo, kad matricos transformacijų procese Ā joje atsiranda eilutė, kurioje visi elementai yra lygūs nuliui, išskyrus paskutinį. Ši eilutė atitinka formos lygtį:
0*x 1 +0*x 2 +...+0*x n=b,
kurio netenkina jokios nežinomybės vertybės, nes b≠0. Šiuo atveju sistema yra nenuosekli.
Perkeliant sistemą (1) į laipsnišką formą, galima gauti 0=0 formos lygtis. Juos galima atmesti, nes taip susidaro lygčių sistema, lygiavertė ankstesnei.
Sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, patogiau į laipsnišką formą redukuoti ne pačią lygčių sistemą, o išplėstinę šios sistemos matricą, atliekant visas transformacijas jos eilutėse. Transformacijų metu gautos nuoseklios matricos dažniausiai sujungiamos lygiavertiškumo ženklu.
Išspręskime šią lygčių sistemą su 4 nežinomaisiais:
2x1 +5x2 +4x3 +x4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,
2x1 +10x2 +9x3 +7x4 =40,
3x 1 +8x 2 +9x 3 +2x 4 =37.
Išrašykime išplėstinę nežinomųjų koeficientų matricą, pridėdami laisvųjų terminų stulpelį.
Išanalizuokime išplėstinės matricos eilutes:
Prie 2-osios eilutės elementų pridedame 1-osios elementus, padalintus iš (-2);
Iš 3 eilutės atimkite 1 eilutę;
Prie 4-osios eilutės pridedame 1-ąją, padaugintą iš (-3/2).
Kaip skaičiavimo įrankį naudosime programos įrankius Excel-97.
1. Įjunkite kompiuterį.
2. Palaukite, kol bus paleista operacinė sistema Windows, tada atidarykite „Microsoft Excel“ langą.
3. Užpildykite ląsteles lentelės su išplėstinės matricos reikšmėmis (11.1 pav.)
Ryžiai. 11.1 pav. 11.2
4. Norėdami atlikti pasirinktą žodinį algoritmą, atlikite šiuos veiksmus.
· Suaktyvinkite ląstelę A5 ir iš klaviatūros įveskite formulę formos =A2+A1/(-2), po kurios automatinis užbaigimasįveskite skaitinius rezultatus į langelius B5¸E5;
· A6 langelyje patalpinsime 1-osios eilutės atėmimo iš 3-osios rezultatą ir vėl naudodami automatinis užbaigimas, užpildykite langelius B6¸E6;
· langelyje A7 rašome formulę formos =A4+A1*(-3/2) ir automatinis užbaigimasĮveskime skaitinius rezultatus į langelius B7¸E7.
5. Dar kartą paanalizuokime eilutes, gautas iš elementariųjų matricos transformacijų, kad gautume ją į trikampę formą.
·Prie 6-os eilutės pridėkite 5-ą, padaugintą iš skaičiaus (-10);
· iš 7 eilutės atimkite 5-ąją.
Įrašytą algoritmą įgyvendiname ląstelėse A8, A9, po kurių pasislėpkim 6 ir 7 – linijos (žr. 11.3 pav.).
Ryžiai. 11.3 pav. 11.4
6. Ir paskutinis dalykas, kurį reikia padaryti, kad matrica būtų trikampė, yra pridėti 8 prie 9 eilutę, padaugintą iš (-3/5), po kurios paslėpti 9-oji eilutė (11.4 pav.).
Kaip matote, gautos matricos elementai yra 1, 5, 8 ir 10 eilutėse, o gautos matricos rangas yra r = 4, todėl ši lygčių sistema turi unikalų sprendimą. Išrašykime gautą sistemą:
2x1 +5x2 +4x3 +x4 =20,
0,5 x 2 + 0,5 x 4 = 1,
5x3 +x4 =10,
Iš paskutinės lygties nesunkiai randame x 4 =0; iš 3 lygties randame x 3 =2; iš 2 – x 2 =2 ir iš 1 – atitinkamai x 1 =1.
Savarankiško darbo užduotys.
Norėdami išspręsti lygčių sistemas, naudokite Gauso metodą:
Laboratorinis darbas Nr. 15. Lygties f(x)=0 šaknų radimas
Tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo būdai buvo žinomi senovės graikams. Trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygčių sprendimas buvo gautas italų matematikų S. Ferro, N. Tartaglia, G. Cartano, L. Ferrari pastangomis Renesanso laikais. Tada atėjo laikas ieškoti formulių, kaip rasti penktojo ir aukštesnio laipsnio lygčių šaknis. Atkaklūs, bet bevaisiai bandymai tęsėsi apie 300 metų ir baigėsi 21-ojo amžiaus 20-aisiais Norvegijos matematiko N. Abelio darbo dėka. Jis įrodė, kad bendrosios penktosios ir aukštesnės galios lygtys yra neišsprendžiamos radikaluose. N-ojo laipsnio bendrosios lygties sprendimas
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
kai n³5 negalima išreikšti koeficientais, naudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos, eksponencijos ir šaknies ištraukimo operacijas.
Nealgebrinėms lygtims, pvz
x–cos(x)=0 (2)
užduotis tampa dar sunkesnė. Šiuo atveju retai įmanoma rasti aiškių šaknų posakių.
Sąlygomis, kai formulės „neveikia“, kai jomis galima pasikliauti tik pačiais paprasčiausiais atvejais, universalūs skaičiavimo algoritmai įgauna ypatingą reikšmę. Yra keletas žinomų algoritmų, kurie leidžia išspręsti nagrinėjamą problemą.
Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo. Lygtys su keturiais nežinomaisiais gali turėti daug galimų sprendimų. Matematikoje dažnai susiduriama su tokio tipo lygtimis. Norint teisingai išspręsti tokias lygtis, būtina išnaudoti visas lygčių ypatybes, kad jos sprendimas būtų supaprastintas ir sutrumpintas.
Pažvelkime į šio pavyzdžio sprendimą:
Sudėjus pirmąją ir antrąją lygtis dalimis, galite gauti labai paprastą lygtį:
\ arba \
Atlikime panašius veiksmus su 2 ir 3 lygtimis:
\ arba \
Išsprendžiame gautas lygtis \ ir \
mes gauname \ ir \
Gautus skaičius pakeičiame į 1 ir 3 lygtis:
\ arba \
\ arba \
Pakeitus šiuos skaičius antrąja ir ketvirtąja lygtimis, gautos lygiai tokios pat lygtys.
Bet tai dar ne viskas, nes liko išspręsti 2 lygtys su 2 nežinomaisiais. Šio tipo lygties sprendimą galite pamatyti čia esančiuose straipsniuose.
Kur galiu internete išspręsti lygtį su keturiais nežinomaisiais?
Galite išspręsti lygtis su nežinomaisiais internete adresu https://site. Nemokamas internetinis sprendimas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetines lygtis. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų VKontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.
