Kaip supaprastinti sudėtingą radikalą. Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad kvadratinės šaknies faktoringo procedūra yra sudėtinga ir neprieinama. Bet tai netiesa. Šiame straipsnyje parodysime, kaip priartėti prie kvadratinių šaknų ir faktorių bei lengvai išspręsti kvadratines šaknis naudojant du patikrintus metodus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šaknies faktorius

Pirma, apibrėžkime kvadratinės šaknies faktorizavimo procedūros tikslą. Tikslas- supaprastinkite kvadratinę šaknį ir parašykite ją skaičiavimams patogia forma.

1 apibrėžimas

Kvadratinės šaknies faktoriaus nustatymas yra dviejų ar daugiau skaičių, kuriuos padauginus vienas iš kito, skaičius bus lygus pradiniam. Pavyzdžiui: 4x4 = 16.

Jei galite rasti veiksnius, galite lengvai supaprastinti kvadratinės šaknies išraišką arba visiškai ją pašalinti:

1 pavyzdys

Padalinkite radikalųjį skaičių iš 2, jei jis lygus.

Radikalus skaičius visada turėtų būti padalintas iš pirminių skaičių, nes bet kokia pirminio skaičiaus reikšmė gali būti suskirstyta į pirminius veiksnius. Jei turite nelyginį skaičių, pabandykite jį padalyti iš 3. Nedalijus iš 3? Tęskite dalijimą iš 5, 7, 9 ir kt.

Užrašykite išraišką kaip dviejų skaičių sandaugos šaknį.

Pavyzdžiui, galite supaprastinti 98 tokiu būdu: = 98 ÷ 2 = 49. Iš to seka, kad 2 × 49 = 98, todėl uždavinį galime perrašyti taip: 98 = (2 × 49).

Tęskite skaičių skaidymą, kol po šaknimi liks dviejų identiškų skaičių ir kitų skaičių sandauga.

Paimkime mūsų pavyzdį (2 × 49):

Kadangi 2 jau yra maksimaliai supaprastintas, reikia supaprastinti 49. Mes ieškome pirminio skaičiaus, kurį būtų galima padalyti iš 49. Akivaizdu, kad nei 3, nei 5 netinka. Tai lieka 7: 49 ÷ 7 = 7, taigi 7 × 7 = 49.

Pavyzdį rašome tokia forma: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Supaprastinkite kvadratinės šaknies išraišką.

Kadangi skliausteliuose turime sandaugą iš 2 ir dviejų identiškų skaičių (7), skaičių 7 galime išimti iš šaknies ženklo.

2 pavyzdys

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

Tuo metu, kai po šaknimi yra du identiški skaičiai, nustokite skaičiuoti skaičius. Žinoma, jei visas galimybes išnaudojote maksimaliai.

Atminkite: yra šaknų, kurias galima daug kartų supaprastinti.

Tokiu atveju padauginami skaičiai, kuriuos išimame iš po šaknies, ir skaičiai, esantys priešais ją.

3 pavyzdys

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

bet 45 galima koeficientuoti ir vėl supaprastinti šaknį.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Kai po šaknies ženklu neįmanoma gauti dviejų identiškų skaičių, tai reiškia, kad tokios šaknies negalima supaprastinti.

Jei išskaidžius radikaliąją išraišką į pirminių skaičių sandaugą, nepavyko gauti dviejų vienodų skaičių, tai tokios šaknies supaprastinti negalima.

4 pavyzdys

70 = 35 × 2, taigi 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, taigi (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Kaip matote, visi trys veiksniai yra pirminiai skaičiai, kurių negalima koeficientuoti. Tarp jų nėra identiškų skaičių, todėl sveikojo skaičiaus iš po šaknies pašalinti neįmanoma. Supaprastinti 70 tai draudžiama.

Pilnas kvadratas

Atsiminkite keletą pirminių skaičių kvadratų.

Skaičiaus kvadratas gaunamas padauginus jį iš savęs, t.y. kai kvadratūra. Jei prisiminsite dešimt pirminių skaičių kvadratų, tai labai supaprastins jūsų gyvenimą ir dar labiau supaprastins šaknis.

5 pavyzdys

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Jei po kvadratinės šaknies ženklu yra visas kvadratas, tuomet turėtumėte pašalinti šaknies ženklą ir užsirašyti viso kvadrato kvadratinę šaknį.

Sunku? Ne:

6 pavyzdys

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Pabandykite išskaidyti skaičių po šaknies ženklu į tobulo kvadrato ir kito skaičiaus sandaugą.

Jei matote, kad radikali išraiška yra išskaidyta į tobulo kvadrato ir kažkokio skaičiaus sandaugą, prisiminę kelis pavyzdžius žymiai sutaupysite laiko ir nervų:

7 pavyzdys

50 = (25 × 2) = 5 2. Jei radikalusis skaičius baigiasi 25, 50 arba 75, visada galite įtraukti jį į 25 ir tam tikro skaičiaus sandaugą.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Jei radikalus skaičius baigiasi 00, visada galite jį įtraukti į 100 ir tam tikro skaičiaus sandaugą.

72 = (9 × 8) = 3 8. Jei radikalaus skaičiaus skaitmenų suma yra 9, visada galite ją įskaičiuoti į 9 ir tam tikro skaičiaus sandaugą.

Pabandykite išskaidyti radikalų skaičių į kelių pilnų kvadratų sandaugą: išimkite juos iš po šaknies ženklo ir padauginkite.

8 pavyzdys

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šakninės formulės. Kvadratinių šaknų savybės.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome, kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kurie iš jų egzistuoja šaknų formulės kokie yra šaknų savybės, ir ką su visa tai galima padaryti.

Šaknų formulės, šaknų savybės ir darbo su šaknimis taisyklės- Iš esmės tai yra tas pats. Yra stebėtinai mažai kvadratinių šaknų formulių. Kas mane tikrai džiugina! Tiksliau, galite parašyti daugybę skirtingų formulių, tačiau praktiškam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis pakanka tik trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis žmonių susipainioja trijose šaknies formulėse, taip...

Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai jis:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Radikali išraiška yra algebrinė išraiška, kuri yra po šaknies ženklu (kvadratinė, kubinė arba aukštesnė tvarka). Kartais skirtingų posakių reikšmės gali būti vienodos, pvz., 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Radikalios posakio supaprastinimu siekiama ją perkelti į kokią nors kanoninę žymėjimo formą. Jei dvi išraiškos, parašytos kanonine forma, vis tiek skiriasi, jų reikšmės nėra lygios. Matematikoje manoma, kad kanoninė radikalių išraiškų (taip pat ir išraiškų su šaknimis) rašymo forma atitinka šias taisykles:

• Jei įmanoma, atsikratykite frakcijos po šaknies ženklu
• Atsikratykite išraiškų su trupmeniniais rodikliais
• Jei įmanoma, atsikratykite vardiklio šaknų
• Atsikratykite daugybos operacijos iš šaknų
• Po šaknies ženklu reikia palikti tik tuos terminus, iš kurių neįmanoma išgauti sveikosios šaknies

Šios taisyklės gali būti taikomos atliekant testo užduotis. Pavyzdžiui, jei išsprendėte užduotį, bet rezultatas neatitinka nė vieno iš pateiktų atsakymų, parašykite rezultatą kanonine forma. Nepamirškite, kad atsakymai į testo užduotis pateikiami kanonine forma, taigi, jei rezultatą parašysite ta pačia forma, nesunkiai nustatysite teisingą atsakymą. Jei problema reikalauja „supaprastinti atsakymą“ arba „supaprastinti radikalias išraiškas“, rezultatą būtina parašyti kanonine forma. Be to, kanoninė forma palengvina lygčių sprendimą, nors kai kurias lygtis lengviau išspręsti, jei kuriam laikui pamiršite kanoninį žymėjimą.

Žingsniai

Atsikratyti pilnų kvadratų ir pilnų kubelių

Išraiškos su trupmeniniu rodikliu atsikratymas

Konvertuokite išraišką su trupmeniniu rodikliu į radikaliąją išraišką. Arba, jei reikia, paverskite radikaliąją išraišką trupmenine išraiška, bet niekada nemaišykite tokių išraiškų vienoje lygtyje, pavyzdžiui, taip: √5 + 5^(3/2). Tarkime, kad nuspręsite dirbti su šaknimis; Kvadratinę šaknį iš n žymėsime kaip √n, o kubinę n – kaip kubą√n.

Atsikratyti frakcijų po šaknies ženklu

Pagal kanoninę žymėjimo formą trupmenos šaknis turi būti vaizduojama kaip sveikųjų skaičių šaknų padalinys.

Pažvelkite į radikalią išraišką. Jei tai trupmena, pereikite prie kito veiksmo.

Pakeiskite trupmenos šaknį dviejų šaknų santykiu pagal šią tapatybę:√(a/b) = √a/√b.

• Nenaudokite šios tapatybės, jei vardiklis yra neigiamas arba apima kintamąjį, kuris gali būti neigiamas. Tokiu atveju pirmiausia supaprastinkite trupmeną.

1. Supaprastinkite tobulus kvadratus (jei turite). Pavyzdžiui, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Šaknų dauginimosi operacijos pašalinimas

Atsikratyti veiksnių, kurie yra tobuli kvadratai

Padalinkite radikalųjį skaičių. Veiksniai yra kai kurie skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, 5 ir 4 yra du skaičiaus 20 faktoriai. Jei sveikosios šaknies negalima išskirti iš radikalaus skaičiaus, įtraukite skaičių į galimus veiksnius ir raskite tarp jų tobulą kvadratą.

• Pavyzdžiui, užrašykite visus koeficientus 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 yra koeficientas 45 (9 x 5 = 45) ir tobulas kvadratas (9 = 3^2).

1. Paimkite daugiklį, kuris yra tobulas kvadratas, už šaknies ženklo. 9 yra tobulas kvadratas, nes 3 x 3 = 9. Atsikratykite 9 po šaknies ženklu ir prieš šaknies ženklą parašykite 3; po šaknies ženklu bus 5. Jei po šaknies ženklu įdėsite skaičių 3, jis bus padaugintas iš savęs ir iš skaičiaus 5, tai yra, 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Taigi 3 √ 5 yra supaprastinta žymėjimo √45 forma.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Raskite tobulą kvadratą radikalioje išraiškoje su kintamuoju. Atminkite: √(a^2) = |a|. Tokią išraišką galima supaprastinti iki „a“, bet tik tuo atveju, jei kintamasis turi teigiamas reikšmes. √(a^3) galima išskaidyti į √a * √(a^2), nes dauginant identiškus kintamuosius, jų eksponentai sumuojasi (a * a^2 = a^3).

   • Taigi išraiškoje a^3 tobulas kvadratas yra a^2.

3. Išimkite kintamąjį, kuris yra tobulas kvadratas už šaknies ženklo ribų. Atsikratykite a^2 po šaknies ženklu ir prieš šaknies ženklą parašykite „a“. Taigi √(a^3) = a√a.

   Pateikite panašius terminus ir supaprastinkite visas racionalias išraiškas.

Vardiklio šaknų atsikratymas (vardiklio racionalizavimas)

1. Pagal kanoninę formą vardiklis, jei įmanoma, turėtų apimti tik sveikuosius skaičius (arba daugianarį, jei yra kintamasis).

   • Jei vardiklis yra radikalus monomialas, pvz., [skaitiklis]/√5, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šios šaknies: ([skaitiklis] * √5)/(√5 * √5) = ([skaitiklis] * √5 )/5.
     • Kubo šaknies ar didesnės šaknies atveju skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šaknies su radikalu iki atitinkamos galios, kad vardiklis būtų racionalus. Jei, pavyzdžiui, vardiklis yra √5 kubas, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš kubo √(5^2).
   • Jei vardiklis yra kvadratinių šaknų suma arba skirtumas, pvz., √2 + √6, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš konjugato, tai yra, išraiškos su priešingu ženklu tarp jos narių. Pavyzdžiui: [skaitiklis]/(√2 + √6) = ([skaitiklis] * (√2 – √6))/((√2 + √6) * (√2 – √6)). Tada naudokite kvadratų skirtumo formulę ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2), kad racionaluotumėte vardiklį: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2) )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Kvadratų skirtumo formulė taip pat gali būti taikoma 5 + √3 formos išraiškai, nes bet kuris sveikasis skaičius yra kito sveikojo skaičiaus kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22
     • Šis metodas gali būti taikomas kvadratinių šaknų sumai, pvz., √5 - √6 + √7. Jei šią išraišką sugrupuosite į formą (√5 - √6) + √7 ir padauginsite iš (√5 - √6) - √7, neatsikratysite šaknų, o gausite formos išraišką. a + b * √30, kur "a" ir "b" yra vienanariai be šaknies. Tada gautą išraišką galima padauginti iš jos konjugato: (a + b * √30) (a - b * √30), kad atsikratytumėte šaknų. Tai yra, jei konjuguotą išraišką galima naudoti vieną kartą norint atsikratyti tam tikro skaičiaus šaknų, tada ją galima naudoti tiek kartų, kiek reikia norint atsikratyti visų šaknų.
     • Šis metodas taip pat taikomas aukštesnio laipsnio šaknims, pvz., posakiui „4 šaknis iš 3 plius 7 šaknis iš 9“. Šiuo atveju skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš vardiklio konjuguotos išraiškos. Tačiau čia konjuguota išraiška bus šiek tiek kitokia, nei aprašyta aukščiau. Apie šį atvejį galite pasiskaityti algebros vadovėliuose.
2. Aprašyti metodai negali būti taikomi kai kurioms paprastoms problemoms spręsti. Kai kurioms sudėtingoms problemoms spręsti šiuos metodus reikia taikyti daugiau nei vieną kartą. Žingsnis po žingsnio supaprastinkite gautas išraiškas ir patikrinkite, ar galutinis atsakymas parašytas kanonine forma, kurios kriterijai pateikti pačioje šio straipsnio pradžioje. Jei atsakymas pateikiamas kanonine forma, problema išspręsta; kitu atveju dar kartą naudokite vieną iš aprašytų metodų.
3. Paprastai kanoninė žymėjimo forma galioja ir kompleksiniams skaičiams (i = √(-1)). Net jei kompleksinis skaičius parašytas kaip i, o ne kaip šaknis, geriau atsisakyti i vardiklyje.
4. Kai kurie čia aprašyti metodai apima darbą su kvadratinėmis šaknimis. Bendrieji principai yra tokie patys kubinėms šaknims arba aukštesnėms šaknims, tačiau kai kuriuos metodus (ypač vardiklio racionalizavimo metodą) jiems gali būti gana sunku pritaikyti. Be to, paklauskite savo mokytojo apie teisingą šaknų žymėjimą (kubas√4 arba kubas√(2^2)).
5. Kai kuriose šio straipsnio dalyse sąvoka „kanoninė forma“ vartojama neteisingai; iš tikrųjų turėtume kalbėti apie „standartinę žymėjimo formą“. Skirtumas tas, kad kanoninei formai reikia rašyti arba 1 + √2 arba √2 +1; standartinė forma reiškia, kad abu posakiai (1 + √2 ir √2 +1) neabejotinai yra vienodi, net jei parašyti skirtingai. Čia „tikrai“ reiškia aritmetines (sudėtis yra komutacinės), o ne algebrines savybes (√2 ​​yra neneigiama x^2-2 šaknis).
6. Jei aprašyti metodai atrodo dviprasmiški ar prieštarauja vienas kitam, atlikite nuoseklius ir nedviprasmiškus matematinius veiksmus, o atsakymą parašykite taip, kaip reikalauja mokytojas arba kaip nurodyta vadovėlyje.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Kvadratinės šaknies supaprastinimo tikslas yra perrašyti ją į formą, kurią būtų lengviau naudoti skaičiavimuose.

Skaičiaus faktoriaus nustatymas – tai dviejų ar daugiau skaičių radimas, kuriuos padauginus bus gautas pradinis skaičius, pavyzdžiui, 3 x 3 = 9. Suradę koeficientus, galite supaprastinti kvadratinę šaknį arba visai jos atsikratyti. Pavyzdžiui, √9 = √(3x3) = 3. Jei radikalusis skaičius lyginis, padalykite jį iš 2.

Jei radikalusis skaičius nelyginis, pabandykite jį padalyti iš 3 (jei skaičius nesidalija iš 3, padalykite jį iš 5, 7 ir tt pirminių skaičių sąraše). Radikalųjį skaičių padalinkite tik į pirminius skaičius, nes bet kurį skaičių galima padalyti į pirminius veiksnius. Pavyzdžiui, jums nereikia dalyti radikalo iš 4, nes 4 dalijasi iš 2, o jūs jau padalinote radikalą iš 2. Perrašykite uždavinį kaip dviejų skaičių sandaugos šaknį.