Kaip apskaičiuoti linijų susikirtimo taško koordinates. Skirtinguose rodiniuose apibrėžtų linijų susikirtimo taškas

Statmena linija

Ši užduotis turbūt viena populiariausių ir paklausiausių mokykliniuose vadovėliuose. Užduotys pagal šią temą yra įvairios. Tai yra dviejų tiesių susikirtimo taško apibrėžimas, taip pat lygties apibrėžimas tiesės, einančios per tašką pradinėje tiesėje bet kokiu kampu.

Šią temą apžvelgsime naudodami duomenis, gautus naudojant skaičiavimus

Būtent ten buvo svarstomas bendrosios tiesės lygties pavertimas lygtimi su kampiniu koeficientu ir atvirkščiai bei likusių tiesės parametrų nustatymas pagal pateiktas sąlygas.

Ko mums trūksta, kad išspręstume problemas, kurioms skirtas šis puslapis?

1. Vieno iš kampų tarp dviejų susikertančių tiesių apskaičiavimo formulės.

Jei turime dvi eilutes, kurias pateikia lygtys:

tada vienas iš kampų apskaičiuojamas taip:

2. Tiesės su nuolydžiu, einančiu per nurodytą tašką, lygtis

Iš 1 formulės matome dvi ribines būsenas

a) kai tada ir todėl šios dvi nurodytos tiesės yra lygiagrečios (arba sutampa)

b) kai , Tada , Ir todėl šios linijos yra statmenos, tai yra, susikerta stačiu kampu.

Kokie gali būti pradiniai duomenys sprendžiant tokias problemas, išskyrus pateiktą tiesę?

Tiesios linijos taškas ir kampas, kuriuo antroji tiesė jį kerta

Antroji tiesės lygtis

Kokias problemas gali išspręsti robotas?

1. Duotos dvi eilutės (aiškiai arba netiesiogiai, pavyzdžiui, dviem taškais). Apskaičiuokite susikirtimo tašką ir kampus, kuriais jie susikerta.

2. Duota viena tiesė, tiesės taškas ir vienas kampas. Nustatykite tiesės, kuri kerta tam tikrą tiesę tam tikru kampu, lygtį

Pavyzdžiai

Dvi eilutės pateikiamos lygtimis. Raskite šių tiesių susikirtimo tašką ir kampus, kuriais jos susikerta

eilutė_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Gauname tokį rezultatą

Pirmosios eilutės lygtis

y = 2,2 x + (1,2)

Antrosios eilutės lygtis

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Dviejų tiesių susikirtimo kampas (laipsniais)

-42.357454705937

Dviejų linijų susikirtimo taškas

x = -3,5

y = -6,5

Nepamirškite, kad dviejų eilučių parametrai yra atskirti kableliu, o kiekvienos eilutės parametrai – kabliataškiu.

Tiesi linija eina per du taškus (1:-4) ir (5:2). Raskite tiesės, einančios per tašką (-2:-8) ir kertančios pradinę tiesę 30 laipsnių kampu, lygtį.

Mes žinome vieną tiesią liniją, nes žinome du taškus, per kuriuos ji eina.

Belieka nustatyti antrosios eilutės lygtį. Mes žinome vieną tašką, bet vietoj antrojo nurodomas kampas, kuriuo pirmoji linija kerta antrąją.

Atrodo, kad viskas žinoma, bet čia svarbiausia nedaryti klaidų. Kalbame apie kampą (30 laipsnių) ne tarp x ašies ir linijos, o tarp pirmosios ir antrosios linijos.

Štai kodėl mes skelbiame taip. Nustatykime pirmosios eilutės parametrus ir išsiaiškinkime, kokiu kampu ji kerta x ašį.

eilutė xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Bendroji lygtis Ax+By+C = 0

Koeficientas A = -6

B faktorius = 4

C faktorius = 22

Koeficientas a= 3,666666666667

Koeficientas b = -5,5

Koeficientas k = 1,5

Pasvirimo kampas į ašį (laipsniais) f = 56,309932474019

Koeficientas p = 3,0508510792386

Koeficientas q = 2,5535900500422

Atstumas tarp taškų = 7,211102550928

Matome, kad pirmoji linija kerta ašį kampu 56,309932474019 laipsnių.

Šaltinio duomenys tiksliai nepasako, kaip antroji eilutė susikerta su pirmąja. Galų gale, jūs galite sukurti dvi linijas, atitinkančias sąlygas: pirmoji pasukama 30 laipsnių pagal laikrodžio rodyklę, o antroji - 30 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę.

Suskaičiuokime juos

Jei antroji linija pasukta 30 laipsnių PRIEŠ laikrodžio rodyklę, tada antroji eilutė turės susikirtimo su x ašimi laipsnį 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 laipsnių

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Tiesios linijos parametrai pagal nurodytus parametrus

Bendroji lygtis Ax+By+C = 0

Koeficientas A = 23,011106998916

Koeficientas B = -1,4840558255286

Koeficientas C = 34,149767393603

Tiesės lygtis atkarpose x/a+y/b = 1

Koeficientas a= -1,4840558255286

Koeficientas b = 23,011106998916

Tiesės lygtis su kampiniu koeficientu y = kx + b

Koeficientas k = 15,505553499458

Pasvirimo kampas į ašį (laipsniais) f = 86,309932474019

Normali tiesės x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 lygtis

Koeficientas p = -1,4809790664999

Koeficientas q = 3,0771888256405

Atstumas tarp taškų=23,058912962428

Atstumas nuo taško iki tiesės li =

tai yra, mūsų antrosios eilutės lygtis yra y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

1. Norėdami rasti funkcijų grafikų susikirtimo taško koordinates, turite abi funkcijas prilyginti viena kitai, perkelti visus terminus, kuriuose yra $ x $ į kairę pusę, o likusius į dešinę, ir rasti šios funkcijos šaknis. gautą lygtį.
2. Antrasis būdas – sukurti lygčių sistemą ir ją išspręsti vieną funkciją pakeičiant kita
3. Trečiasis metodas apima grafinį funkcijų konstravimą ir vizualinį sankirtos taško nustatymą.

Dviejų tiesinių funkcijų atvejis

Apsvarstykite dvi tiesines funkcijas $ f(x) = k_1 x+m_1 $ ir $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Šios funkcijos vadinamos tiesioginėmis. Sukurti juos gana paprasta, reikia paimti bet kurias dvi reikšmes $ x_1 $ ir $ x_2 $ ir rasti $ f(x_1) $ ir $ (x_2) $. Tada pakartokite tą patį su funkcija $ g(x) $. Toliau vizualiai raskite funkcijų grafikų susikirtimo taško koordinates.

Turėtumėte žinoti, kad tiesinės funkcijos turi tik vieną susikirtimo tašką ir tik tada, kai $ k_1 \neq k_2 $. Priešingu atveju, $ k_1=k_2 $ atveju funkcijos yra lygiagrečios viena kitai, nes $ k $ yra nuolydžio koeficientas. Jei $ k_1 \neq k_2 $, bet $ m_1=m_2 $, tada susikirtimo taškas bus $ M(0;m) $. Norint greitai išspręsti problemas, patartina atsiminti šią taisyklę.

Dviejų netiesinių funkcijų atvejis

Norint išspręsti geometrinę problemą koordinačių metodu, reikalingas susikirtimo taškas, kurio koordinatės naudojamos sprendime. Susidaro situacija, kai reikia ieškoti dviejų tiesių susikirtimo plokštumoje koordinačių arba nustatyti tų pačių tiesių koordinates erdvėje. Šiame straipsnyje nagrinėjami atvejai, kai galima rasti taškų, kuriuose nurodytos linijos susikerta, koordinates.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Būtina apibrėžti dviejų tiesių susikirtimo taškus.

Atkarpa apie tiesių santykinę padėtį plokštumoje rodo, kad jos gali sutapti, būti lygiagrečios, susikirsti viename bendrame taške arba susikirsti. Dvi tiesės erdvėje vadinamos susikertančiomis, jei jos turi vieną bendrą tašką.

Tiesų susikirtimo taško apibrėžimas skamba taip:

1 apibrėžimas

Taškas, kuriame susikerta dvi tiesės, vadinamas jų susikirtimo tašku. Kitaip tariant, susikertančių linijų taškas yra susikirtimo taškas.

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Prieš surandant dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates, būtina atsižvelgti į žemiau pateiktą pavyzdį.

Jei plokštuma turi koordinačių sistemą O x y, tai nurodomos dvi tiesės a ir b. Tiesė a atitinka A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 formos bendrąją lygtį, tiesei b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada M 0 (x 0 , y 0) yra tam tikras plokštumos taškas, reikia nustatyti, ar taškas M 0 bus šių tiesių susikirtimo taškas.

Norint išspręsti problemą, būtina laikytis apibrėžimo. Tada tiesės turi susikirsti taške, kurio koordinatės yra duotų lygčių A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sprendinys. Tai reiškia, kad susikirtimo taško koordinatės pakeičiamos į visas pateiktas lygtis. Jei po pakeitimo jie suteikia teisingą tapatybę, tada M 0 (x 0 , y 0) laikomas jų susikirtimo tašku.

1 pavyzdys

Duotos dvi susikertančios tiesės 5 x - 2 y - 16 = 0 ir 2 x - 5 y - 19 = 0. Ar taškas M 0 su koordinatėmis (2, - 3) bus susikirtimo taškas.

Sprendimas

Kad tiesių sankirta būtų teisinga, būtina, kad taško M 0 koordinatės atitiktų tiesių lygtis. Tai galima patikrinti juos pakeičiant. Mes tai gauname

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Abi lygybės yra teisingos, o tai reiškia, kad M 0 (2, - 3) yra duotųjų tiesių susikirtimo taškas.

Pavaizduokime šį sprendimą žemiau esančio paveikslo koordinačių tiesėje.

Atsakymas: duotas taškas su koordinatėmis (2, - 3) bus duotų tiesių susikirtimo taškas.

2 pavyzdys

Ar tiesės 5 x + 3 y - 1 = 0 ir 7 x - 2 y + 11 = 0 susikirs taške M 0 (2, - 3)?

Sprendimas

Norėdami išspręsti problemą, visose lygtyse turite pakeisti taško koordinates. Mes tai gauname

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Antroji lygybė nėra teisinga, tai reiškia, kad duotasis taškas nepriklauso tiesei 7 x - 2 y + 11 = 0. Iš to gauname, kad taškas M 0 nėra tiesių susikirtimo taškas.

Brėžinyje aiškiai matyti, kad M 0 nėra linijų susikirtimo taškas. Jie turi bendrą tašką su koordinatėmis (- 1, 2).

Atsakymas: taškas su koordinatėmis (2, - 3) nėra duotųjų tiesių susikirtimo taškas.

Tęsiame dviejų tiesių susikirtimo taškų koordinates, naudodami pateiktas lygtis plokštumoje.

Dvi susikertančios tiesės a ir b yra nurodytos A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 formos lygtimis, esančiomis O × y. Nurodydami susikirtimo tašką M 0, pastebime, kad turėtume tęsti koordinačių paiešką pagal lygtis A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Iš apibrėžimo akivaizdu, kad M 0 yra bendras tiesių susikirtimo taškas. Šiuo atveju jo koordinatės turi tenkinti lygtis A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Kitaip tariant, tai yra gautos sistemos A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sprendimas.

Tai reiškia, kad norint rasti susikirtimo taško koordinates, reikia visas lygtis sudėti į sistemą ir ją išspręsti.

3 pavyzdys

Duotos dvi tiesės x - 9 y + 14 = 0 ir 5 x - 2 y - 16 = 0 plokštumoje. būtina rasti jų sankirtą.

Sprendimas

Duomenys apie lygties sąlygas turi būti surinkti į sistemą, po to gauname x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Norėdami tai išspręsti, išspręskite pirmąją x lygtį ir pakeiskite išraišką antrąja:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Gauti skaičiai yra koordinatės, kurias reikėjo rasti.

Atsakymas: M 0 (4, 2) yra tiesių x - 9 y + 14 = 0 ir 5 x - 2 y - 16 = 0 susikirtimo taškas.

Koordinačių paieška reiškia tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Jei pagal sąlygą pateikiama kitokio tipo lygtis, ji turėtų būti sumažinta iki normalios formos.

4 pavyzdys

Nustatykite tiesių x - 5 = y - 4 - 3 ir x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R susikirtimo taškų koordinates.

Sprendimas

Pirmiausia turite perkelti lygtis į bendrą formą. Tada gauname, kad x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R transformuojamas taip:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x – 9 y + 14 = 0

Tada paimame kanoninės formos x - 5 = y - 4 - 3 lygtį ir ją transformuojame. Mes tai gauname

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Iš čia matome, kad koordinatės yra susikirtimo taškas

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Koordinatėms rasti naudokime Cramerio metodą:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

Atsakymas: M 0 (- 5, 1) .

Taip pat yra būdas rasti plokštumoje esančių linijų susikirtimo taško koordinates. Jis taikomas, kai viena iš eilučių pateikiama parametrinėmis lygtimis, kurių forma yra x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Tada vietoj reikšmės x pakeičiame x = x 1 + a x · λ ir y = y 1 + a y · λ, kur gauname λ = λ 0, atitinkantį susikirtimo tašką, kurio koordinatės x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

5 pavyzdys

Nustatykite tiesės x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ir x - 5 = y - 4 - 3 susikirtimo taško koordinates.

Sprendimas

Būtina atlikti pakeitimą x - 5 = y - 4 - 3 su išraiška x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, tada gauname:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Spręsdami nustatome, kad λ = - 1. Iš to išplaukia, kad tarp tiesių x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ir x - 5 = y - 4 - 3 yra susikirtimo taškas. Norėdami apskaičiuoti koordinates, parametrinėje lygtyje turite pakeisti išraišką λ = - 1. Tada gauname, kad x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Atsakymas: M 0 (- 5, 1) .

Norėdami visiškai suprasti temą, turite žinoti kai kuriuos niuansus.

Pirmiausia turite suprasti linijų vietą. Kai jie susikerta, kitais atvejais rasime koordinates, sprendimo nebus. Norėdami išvengti šio patikrinimo, galite sukurti sistemą, kurios forma yra A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Jei yra sprendimas, darome išvadą, kad tiesės susikerta. Jei sprendimo nėra, jie yra lygiagretūs. Kai sistemoje yra begalinis sprendinių skaičius, sakoma, kad jie sutampa.

6 pavyzdys

Duotos eilutės x 3 + y - 4 = 1 ir y = 4 3 x - 4. Nustatykite, ar jie turi bendrą tašką.

Sprendimas

Supaprastinus pateiktas lygtis, gauname 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ir 4 3 x - y - 4 = 0.

Lygtys turėtų būti surinktos į sistemą tolesniam sprendimui:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Iš to matome, kad lygtys išreiškiamos viena per kitą, tada gauname begalinį sprendinių skaičių. Tada lygtys x 3 + y - 4 = 1 ir y = 4 3 x - 4 apibrėžia tą pačią tiesę. Todėl nėra susikirtimo taškų.

Atsakymas: pateiktos lygtys apibrėžia tą pačią tiesę.

7 pavyzdys

Raskite susikertančių tiesių 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ir 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 taško koordinates.

Sprendimas

Pagal sąlygą tai įmanoma, linijos nesusikirs. Būtina sukurti lygčių sistemą ir išspręsti. Norint išspręsti, būtina naudoti Gauso metodą, nes jo pagalba galima patikrinti lygties suderinamumą. Gauname tokios formos sistemą:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Gavome neteisingą lygybę, o tai reiškia, kad sistema neturi sprendimų. Darome išvadą, kad linijos yra lygiagrečios. Sankirtos taškų nėra.

Antras sprendimas.

Pirmiausia turite nustatyti linijų sankirtos buvimą.

n 1 → = (2, 2 - 3) yra tiesės 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 normalusis vektorius, tada vektorius n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 yra normalusis vektorius tiesei 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Būtina patikrinti vektorių n 1 → = (2, 2 - 3) ir n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) kolineariškumą. Gauname lygybę, kurios forma yra 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Tai teisinga, nes 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Iš to išplaukia, kad vektoriai yra kolineariniai. Tai reiškia, kad linijos yra lygiagrečios ir neturi susikirtimo taškų.

Atsakymas: sankirtos taškų nėra, tiesės lygiagrečios.

8 pavyzdys

Raskite duotųjų tiesių 2 x - 1 = 0 ir y = 5 4 x - 2 susikirtimo koordinates.

Sprendimas

Norėdami išspręsti, sudarome lygčių sistemą. Mes gauname

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Raskime pagrindinės matricos determinantą. Tam 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Kadangi jis nėra lygus nuliui, sistema turi 1 sprendimą. Iš to išplaukia, kad linijos susikerta. Išspręskime sankirtos taškų koordinačių nustatymo sistemą:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Mes nustatėme, kad pateiktų tiesių susikirtimo taškas turi koordinates M 0 (1 2, - 11 8).

Atsakymas: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Dviejų tiesių erdvėje susikirtimo taško koordinačių radimas

Lygiai taip pat randami tiesių susikirtimo taškai erdvėje.

Kai koordinačių plokštumoje O x y z tiesės a ir b pateiktos susikertančių plokštumų lygtimis, tai yra tiesė a, kurią galima nustatyti naudojant duotąją sistemą A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 ir tiesė b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Kai taškas M 0 yra tiesių susikirtimo taškas, tai jo koordinatės turi būti abiejų lygčių sprendiniai. Sistemoje gauname tiesines lygtis:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Pažvelkime į panašias užduotis naudodami pavyzdžius.

9 pavyzdys

Raskite duotųjų tiesių x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ir 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 susikirtimo taško koordinates

Sprendimas

Sudarome sistemą x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ir ją išsprendžiame. Norėdami rasti koordinates, turite išspręsti per matricą. Tada gauname A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 formos pagrindinę matricą ir išplėstinę matricą T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Mes nustatome matricos Gauso rangą.

Mes tai gauname

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Iš to išplaukia, kad išplėstinės matricos rangas yra 3. Tada lygčių sistema x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 duoda tik vieną sprendimą.

Bazinis minoras turi determinantą 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , tada paskutinė lygtis netaikoma. Gauname, kad x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y – 3. Sistemos x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = sprendimas - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Tai reiškia, kad susikirtimo taškas x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ir 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 turi koordinates (1, - 3, 0).

Atsakymas: (1 , - 3 , 0) .

Formos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 sistema = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 turi tik vieną sprendinį. Tai reiškia, kad linijos a ir b susikerta.

Kitais atvejais lygtis neturi sprendinio, tai yra ir bendrų taškų. Tai yra, neįmanoma rasti taško su koordinatėmis, nes jo nėra.

Todėl A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z sistema + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sprendžiama Gauso metodu. Jei jis nesuderinamas, linijos nesikerta. Jei sprendinių yra be galo daug, tai jie sutampa.

Galite išspręsti apskaičiuodami pagrindinį ir išplėstinį matricos rangą, tada pritaikykite Kronecker-Capelli teoremą. Mes gauname vieną, daug sprendimų arba iš viso jų nėra.

10 pavyzdys

Pateikiamos tiesių x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ir x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 lygtys. Raskite susikirtimo tašką.

Sprendimas

Pirmiausia sukurkime lygčių sistemą. Gauname, kad x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Mes išsprendžiame tai naudodami Gauso metodą:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Akivaizdu, kad sistema neturi sprendimų, o tai reiškia, kad linijos nesikerta. Sankryžos taško nėra.

Atsakymas: sankirtos taško nėra.

Jei linijos pateiktos naudojant kūgines arba parametrines lygtis, jas reikia sumažinti iki susikertančių plokštumų lygčių ir tada rasti koordinates.

11 pavyzdys

Duotos dvi eilutės x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R ir x 2 = y - 3 0 = z 5 O x y z. Raskite susikirtimo tašką.

Sprendimas

Tieses apibrėžiame dviejų susikertančių plokštumų lygtimis. Mes tai gauname

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Randame koordinates 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, tam apskaičiuojame matricos eiles. Matricos rangas yra 3, o bazinis minoras yra 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, o tai reiškia, kad paskutinė lygtis turi būti pašalinta iš sistemos. Mes tai gauname

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Išspręskime sistemą Kramerio metodu. Gauname, kad x = - 2 y = 3 z = - 5. Iš čia gauname, kad duotųjų tiesių sankirta duoda tašką su koordinatėmis (- 2, 3, - 5).

Atsakymas: (- 2 , 3 , - 5) .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Naudodami šį internetinį skaičiuotuvą galite rasti linijų susikirtimo tašką plokštumoje. Pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami rasti linijų susikirtimo taško koordinates, nustatykite tiesių lygties tipą („kanoninė“, „parametrinė“ arba „bendra“), langeliuose įveskite linijų lygčių koeficientus ir spustelėkite „Spręsti“. “ mygtuką. Žr. toliau pateiktą teorinę dalį ir skaitinius pavyzdžius.

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Tiesių susikirtimo taškas plokštumoje – teorija, pavyzdžiai ir sprendimai

1. Bendra forma pateiktas tiesių susikirtimo taškas.

Oxy L 1 ir L 2:

Sukurkime išplėstinę matricą:

Jeigu B" 2 = 0 ir SU" 2 =0, tai tiesinių lygčių sistema turi daug sprendinių. Todėl tiesiai L 1 ir L 2 rungtynės. Jeigu B" 2 = 0 ir SU" 2 ≠0, tada sistema yra nenuosekli, todėl tiesės yra lygiagrečios ir neturi bendro taško. Jeigu B" 2 ≠0, tai tiesinių lygčių sistema turi unikalų sprendimą. Iš antrosios lygties randame y: y=SU" 2 /B" 2 ir gautą reikšmę pakeisdami pirmąja rasta lygtimi x: x=−SU 1 −B 1 y. Gavome linijų susikirtimo tašką L 1 ir L 2: M(x, y).

2. Kanonine forma pateiktas tiesių susikirtimo taškas.

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Oxy ir tebūnie šioje koordinačių sistemoje nurodytos tiesės L 1 ir L 2:

Atidarykime skliaustus ir atliksime transformacijas:

Panašiu metodu gauname bendrąją tiesės (7) lygtį:

Iš (12) lygčių išplaukia:

Kaip rasti kanonine forma pateiktų linijų susikirtimo tašką, aprašyta aukščiau.

4. Skirtinguose rodiniuose nurodytų linijų susikirtimo taškas.

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Oxy ir tebūnie šioje koordinačių sistemoje nurodytos tiesės L 1 ir L 2:

Mes surasime t:

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą atžvilgiu x, y. Norėdami tai padaryti, naudosime Gauso metodą. Mes gauname:

2 pavyzdys. Raskite tiesių susikirtimo tašką L 1 ir L 2:

(21)

Norėdami rasti linijų susikirtimo tašką L 1 ir L 2 reikia išspręsti tiesinių lygčių (20) ir (21) sistemą. Pateikime lygtis matricine forma.

Pateikiamos dvi linijos ir reikia rasti jų susikirtimo tašką. Kadangi šis taškas priklauso kiekvienai iš dviejų nurodytų tiesių, jo koordinatės turi atitikti ir pirmosios, ir antrosios linijos lygtis.

Taigi, norint rasti dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti lygčių sistemą

Pavyzdys 1. Raskite tiesių ir sankirtos tašką

Sprendimas. Norimo susikirtimo taško koordinates rasime spręsdami lygčių sistemą

Susikirtimo taškas M turi koordinates

Parodykime, kaip sukurti tiesią liniją naudojant jos lygtį. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka žinoti du jos taškus. Norėdami sukurti kiekvieną iš šių taškų, nurodome savavališką vienos iš jo koordinačių reikšmę, o tada iš lygties randame atitinkamą kitos koordinatės reikšmę.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje abu koeficientai esamose koordinatėse nėra lygūs nuliui, tai norint sukurti šią tiesę, geriausia rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus.

2 pavyzdys. Sukurkite tiesę.

Sprendimas. Randame šios linijos susikirtimo tašką su abscisių ašimi. Norėdami tai padaryti, kartu išsprendžiame jų lygtis:

ir gauname. Taigi rastas šios tiesės susikirtimo su abscisių ašimi taškas M (3; 0) (40 pav.).

Tada kartu išspręskite šios tiesės lygtį ir ordinačių ašies lygtį

randame tiesės susikirtimo su ordinačių ašimi tašką. Galiausiai iš dviejų jos taškų M ir statome tiesę