Ar bet kokia begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Begalinis periodinis dešimtainis skaičius

Prisiminkite, kaip pačioje pirmoje pamokoje apie dešimtainius aš sakiau, kad yra skaitinių trupmenų, kurių negalima pavaizduoti kaip po kablelio (žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“)? Taip pat sužinojome, kaip apskaičiuoti trupmenų vardiklius, kad pamatytume, ar yra kitų skaičių, išskyrus 2 ir 5.

Taigi: melavau. Ir šiandien mes išmoksime, kaip absoliučiai bet kokią skaitinę trupmeną paversti dešimtainiu. Tuo pačiu metu susipažinsime su visa trupmenų klase, turinčia begalinę reikšmingą dalį.

Periodinis dešimtainis skaičius yra bet koks dešimtainis skaičius, kuris:

1. Reikšmingąją dalį sudaro begalinis skaičius skaitmenų;
2. Tam tikrais intervalais skaičiai reikšmingojoje dalyje kartojami.

Pasikartojančių skaitmenų rinkinys, sudarantis reikšmingąją dalį, vadinamas periodine trupmenos dalimi, o skaitmenų skaičius šioje aibėje vadinamas trupmenos periodu. Likęs reikšmingosios dalies segmentas, kuris nesikartoja, vadinamas neperiodine dalimi.

Kadangi yra daug apibrėžimų, verta išsamiai apsvarstyti keletą šių trupmenų:

Ši dalis dažniausiai atsiranda problemų atveju. Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: 1.

Neperiodinė dalis: 0,58; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: vėl 1.

Neperiodinė dalis: 1; periodinė dalis: 54; laikotarpio trukmė: 2.

Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 641025; periodo ilgis: 6. Patogumui pasikartojančios dalys viena nuo kitos atskiriamos tarpu – tai šiame sprendime nėra būtina.

Neperiodinė dalis: 3066; periodinė dalis: 6; laikotarpio trukmė: 1.

Kaip matote, periodinės trupmenos apibrėžimas grindžiamas sąvoka reikšminga skaičiaus dalis. Todėl, jei pamiršote, kas tai yra, rekomenduoju tai pakartoti - žiūrėkite pamoką „“.

Perėjimas prie periodinės dešimtainės trupmenos

Apsvarstykite paprastąją formos a /b trupmeną. Išskaidykime jo vardiklį į pirminius veiksnius. Yra dvi parinktys:

1. Išplėtimas apima tik koeficientus 2 ir 5. Šios trupmenos lengvai konvertuojamos į dešimtainę dalį – žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“. Mums tokie žmonės neįdomūs;
2. Išplėtime yra dar kažkas, išskyrus 2 ir 5. Šiuo atveju trupmena negali būti pavaizduota kaip dešimtainė dalis, tačiau ją galima paversti periodine dešimtaine dalimi.

Norėdami apibrėžti periodinę dešimtainę trupmeną, turite rasti jos periodines ir neperiodines dalis. Kaip? Konvertuokite trupmeną į netinkamą trupmeną, tada kampu padalykite skaitiklį iš vardiklio.

Tai atsitiks:

1. Išsiskirs pirmas visa dalis, jei jis yra;
2. Po kablelio gali būti keli skaičiai;
3. Po kurio laiko prasidės skaičiai kartoti.

Tai viskas! Pasikartojantys skaičiai po kablelio žymimi periodine dalimi, o esantys priekyje – neperiodine.

Užduotis. Paprastąsias trupmenas konvertuoti į periodines dešimtaines:

Visos trupmenos be sveikosios dalies, todėl skaitiklį tiesiog padalijame iš vardiklio su „kampu“:

Kaip matote, likučiai kartojasi. Parašykime trupmeną „teisinga“ forma: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultatas yra trupmena: 0,5833 ... = 0,58(3).

Rašome normalia forma: 4.0909 ... = 4,(09).

Gauname trupmeną: 0,4141 ... = 0.(41).

Perėjimas iš periodinės dešimtainės trupmenos į paprastąją trupmeną

Apsvarstykite periodinę dešimtainę trupmeną X = abc (a 1 b 1 c 1). Jį reikia paversti klasikiniu „dviejų aukštų“. Norėdami tai padaryti, atlikite keturis paprastus veiksmus:

1. Raskite trupmenos periodą, t.y. suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra periodinėje dalyje. Tegul tai yra skaičius k;
2. Raskite išraiškos X · 10 k reikšmę. Tai prilygsta kablelio perkėlimui į dešinę visą tašką – žr. pamoką „Dešimtainių skaičių dauginimas ir dalijimas“;
3. Pradinė išraiška turi būti atimta iš gauto skaičiaus. Tokiu atveju periodinė dalis „sudeginama“ ir lieka bendroji trupmena;
4. Gautoje lygtyje raskite X. Visas dešimtaines trupmenas paverčiame paprastosiomis trupmenomis.

Užduotis. Paverskite skaičių į įprastą neteisingą trupmeną:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Dirbame su pirmąja trupmena: X = 9, (6) = 9,666 ...

Skliausteliuose yra tik vienas skaitmuo, taigi taškas yra k = 1. Toliau šią trupmeną padauginame iš 10 k = 10 1 = 10. Turime:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Dabar pažvelkime į antrąją trupmeną. Taigi X = 32, (39) = 32,393939...

Laikotarpis k = 2, todėl viską padauginkite iš 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Dar kartą atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Pereikime prie trečiosios trupmenos: X = 0,30(5) = 0,30555... Diagrama ta pati, todėl pateiksiu tik skaičiavimus:

Laikotarpis k = 1 ⇒ viską padauginti iš 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Galiausiai paskutinė trupmena: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Vėlgi, patogumo dėlei periodinės dalys viena nuo kitos atskirtos tarpais. Mes turime:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Jau pradinėje mokykloje mokiniai susiduria su trupmenomis. Ir tada jie pasirodo kiekvienoje temoje. Negalite pamiršti veiksmų su šiais skaičiais. Todėl jūs turite žinoti visą informaciją apie paprastas ir dešimtaines trupmenas. Šios sąvokos nėra sudėtingos, svarbiausia viską suprasti iš eilės.

Kodėl reikalingos trupmenos?

Mus supantis pasaulis susideda iš ištisų objektų. Todėl akcijų nereikia. Tačiau kasdienybė nuolat verčia žmones dirbti su daiktų dalimis ir daiktais.

Pavyzdžiui, šokoladas susideda iš kelių gabalėlių. Apsvarstykite situaciją, kai jo plytelę sudaro dvylika stačiakampių. Jei padalinsite į dvi dalis, gausite 6 dalis. Jį galima nesunkiai suskirstyti į tris. Tačiau penkiems žmonėms viso šokolado gabalėlių skaičiaus duoti nepavyks.

Beje, šie griežinėliai jau yra trupmenos. Ir tolesnis jų padalijimas lemia sudėtingesnių skaičių atsiradimą.

Kas yra "frakcija"?

Tai skaičius, sudarytas iš vieneto dalių. Išoriškai tai atrodo kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Ši savybė vadinama trupmeniniu. Skaičius, parašytas viršuje (kairėje), vadinamas skaitikliu. Tai, kas yra apačioje (dešinėje), yra vardiklis.

Iš esmės pasvirasis brūkšnys yra padalijimo ženklas. Tai yra, skaitiklis gali būti vadinamas dividendu, o vardiklis gali būti vadinamas dalikliu.

Kokios ten trupmenos?

Matematikoje yra tik dviejų tipų: paprastosios ir dešimtainės trupmenos. Su pirmaisiais moksleiviai susipažįsta pradinėje mokykloje, vadindami juos tiesiog „trupelėmis“. Pastarųjų bus mokomasi 5 klasėje. Tada ir pasirodo šie vardai.

Paprastosios trupmenos yra visos tos, kurios parašytos kaip du skaičiai, atskirti linija. Pavyzdžiui, 4/7. Dešimtainė dalis yra skaičius, kurio trupmeninė dalis turi padėties žymėjimą ir yra atskirta nuo sveikojo skaičiaus kableliu. Pavyzdžiui, 4.7. Mokiniai turi aiškiai suprasti, kad pateikti du pavyzdžiai yra visiškai skirtingi skaičiai.

Kiekvieną paprastą trupmeną galima parašyti po kablelio. Šis teiginys beveik visada teisingas atvirkščiai. Yra taisyklių, leidžiančių parašyti dešimtainę trupmeną kaip bendrąją trupmeną.

Kokius potipius turi šių tipų trupmenos?

Geriau pradėti chronologine tvarka, nes jie yra tiriami. Paprastosios trupmenos yra pirmiausia. Tarp jų galima išskirti 5 porūšius.

Teisingai. Jo skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį.

Neteisingai. Jo skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Sumažinamas / nesumažinamas. Gali pasirodyti, kad tai teisinga arba neteisinga. Kitas svarbus dalykas – ar skaitiklis ir vardiklis turi bendrų veiksnių. Jei yra, tuomet reikia iš jų padalyti abi trupmenos dalis, tai yra sumažinti.

Mišrus. Sveikasis skaičius priskiriamas įprastai taisyklingai (netaisyklingai) trupmeninei daliai. Be to, jis visada yra kairėje.

Sudėtinis. Jis sudarytas iš dviejų frakcijų, padalintų viena iš kitos. Tai reiškia, kad jame vienu metu yra trys trupmeninės eilutės.

Dešimtainės trupmenos turi tik du potipius:

baigtinis, tai yra toks, kurio trupmeninė dalis yra ribota (turi pabaigą);

begalinis – skaičius, kurio skaitmenys po kablelio nesibaigia (juos galima rašyti be galo).

Kaip paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Jei tai baigtinis skaičius, tai asociacija taikoma remiantis taisykle – kaip girdžiu, taip ir rašau. Tai reiškia, kad reikia teisingai perskaityti ir užsirašyti, bet be kablelio, bet su trupmenine juostele.

Kaip užuomina apie reikalingą vardiklį, turite atsiminti, kad tai visada yra vienas ir keli nuliai. Pastarųjų reikia parašyti tiek, kiek skaitmenų yra aptariamo skaičiaus trupmeninėje dalyje.

Kaip dešimtaines trupmenas paversti paprastosiomis trupmenomis, jei trūksta jų sveikosios dalies, tai yra lygi nuliui? Pavyzdžiui, 0,9 arba 0,05. Pritaikius nurodytą taisyklę, paaiškėja, kad reikia parašyti nulį sveikųjų skaičių. Bet tai nenurodyta. Belieka užsirašyti trupmenines dalis. Pirmojo skaičiaus vardiklis bus 10, antrojo – 100. Tai yra, pateiktuose pavyzdžiuose kaip atsakymai bus tokie skaičiai: 9/10, 5/100. Be to, paaiškėja, kad pastarąjį galima sumažinti 5. Todėl jo rezultatą reikia parašyti kaip 1/20.

Kaip galite paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną, jei jos sveikoji dalis yra ne nulis? Pavyzdžiui, 5.23 arba 13.00108. Abiejuose pavyzdžiuose skaitoma visa dalis ir užrašoma jos reikšmė. Pirmuoju atveju jis yra 5, antruoju - 13. Tada reikia pereiti prie trupmeninės dalies. Su jais turėtų būti atliekama ta pati operacija. Pirmasis skaičius rodomas 23/100, antrasis - 108/100000. Antrąją vertę reikia dar kartą sumažinti. Atsakyme pateikiamos tokios mišrios trupmenos: 5 23/100 ir 13 27/25000.

Kaip paversti begalinę dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Jei ji neperiodinė, tai tokia operacija nebus įmanoma. Taip yra dėl to, kad kiekviena dešimtainė trupmena visada konvertuojama į baigtinę arba periodinę trupmeną.

Vienintelis dalykas, kurį galite padaryti su tokia frakcija, yra apvalinti. Bet tada dešimtainis skaičius bus maždaug lygus tai begalinei. Jį jau galima paversti įprastu. Tačiau atvirkštinis procesas: konvertuojant į dešimtainę, pradinės vertės niekada nebus. Tai yra, begalinės neperiodinės trupmenos nėra paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Tai reikia atsiminti.

Kaip parašyti begalinę periodinę trupmeną kaip paprastąją trupmeną?

Šiuose skaičiuose visada yra vienas ar keli skaitmenys po kablelio, kurie kartojasi. Jie vadinami periodu. Pavyzdžiui, 0,3 (3). Čia "3" yra laikotarpis. Jos priskiriamos racionaliosioms, nes jas galima paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tie, kurie susidūrė su periodinėmis trupmenomis, žino, kad jos gali būti grynos arba mišrios. Pirmuoju atveju taškas prasideda iš karto nuo kablelio. Antroje trupmeninė dalis prasideda kai kuriais skaičiais, o tada prasideda kartojimas.

Taisyklė, pagal kurią reikia rašyti begalinį dešimtainį skaičių kaip bendrąją trupmeną, skirsis dviejų nurodytų tipų skaičiams. Gana lengva grynąsias periodines trupmenas užrašyti kaip paprastąsias trupmenas. Kaip ir baigtinius, juos reikia konvertuoti: skaitiklyje užrašyti tašką, o vardiklis bus skaičius 9, kartojamas tiek kartų, kiek taške yra skaitmenų.

Pavyzdžiui, 0, (5). Skaičius neturi sveikosios dalies, todėl reikia nedelsiant pradėti nuo trupmeninės dalies. Parašykite 5 kaip skaitiklį ir 9 kaip vardiklį. Tai yra, atsakymas bus trupmena 5/9.

Taisyklė, kaip rašyti įprastą periodinę dešimtainę trupmeną, kuri sumaišoma.

Pažiūrėkite į laikotarpio trukmę. Tiek 9s turės vardiklis.

Užrašykite vardiklį: iš pradžių devyni, paskui nuliai.

Norėdami nustatyti skaitiklį, turite užrašyti dviejų skaičių skirtumą. Visi skaičiai po kablelio bus sumažinti kartu su tašku. Išskaita – tai be laikotarpio.

Pavyzdžiui, 0,5(8) – periodinę dešimtainę trupmeną parašykite kaip bendrąją trupmeną. Trupmeninėje dalyje prieš tašką yra vienas skaitmuo. Taigi bus vienas nulis. Laikotarpyje taip pat yra tik vienas skaičius – 8. Tai yra tik vienas devynetas. Tai yra, vardiklyje reikia įrašyti 90.

Norint nustatyti skaitiklį, iš 58 reikia atimti 5. Pasirodo, 53. Pavyzdžiui, atsakymą tektų parašyti kaip 53/90.

Kaip trupmenos konvertuojamos į dešimtaines?

Paprasčiausias variantas yra skaičius, kurio vardiklis yra skaičius 10, 100 ir kt. Tada vardiklis tiesiog atmetamas, o tarp trupmeninės ir sveikosios dalies dedamas kablelis.

Būna situacijų, kai vardiklis lengvai virsta 10, 100 ir tt Pavyzdžiui, skaičiai 5, 20, 25. Pakanka juos padauginti atitinkamai iš 2, 5 ir 4. Tereikia iš to paties skaičiaus padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį.

Visais kitais atvejais naudinga paprasta taisyklė: skaitiklį padalinkite iš vardiklio. Tokiu atveju galite gauti du galimus atsakymus: baigtinę arba periodinę dešimtainę trupmeną.

Operacijos su paprastosiomis trupmenomis

Sudėjimas ir atėmimas

Mokiniai su jais susipažįsta anksčiau nei kiti. Be to, iš pradžių trupmenos turi tuos pačius vardiklius, o vėliau – skirtingus. Bendrosios taisyklės gali būti sumažintos iki šio plano.

Raskite mažiausią bendrą vardiklių kartotinį.

Parašykite papildomų koeficientų visoms paprastosioms trupmenoms.

Padauginkite skaitiklius ir vardiklius iš jiems nurodytų koeficientų.

Sudėkite (atimkite) trupmenų skaitiklius ir palikite bendrą vardiklį nepakeistą.

Jei minuendo skaitiklis yra mažesnis už potraukį, turime išsiaiškinti, ar turime mišrų skaičių, ar tinkamą trupmeną.

Pirmuoju atveju reikia pasiskolinti vieną iš visos dalies. Prie trupmenos skaitiklio pridėkite vardiklį. Ir tada atlikite atimtį.

Antruoju atveju reikia taikyti taisyklę iš mažesnio skaičiaus atimti didesnį skaičių. Tai yra, iš subtrahend modulio atimkite minuend modulį ir atsakydami įdėkite ženklą „-“.

Atidžiai pažiūrėkite į sudėjimo (atimties) rezultatą. Jei gausite netinkamą trupmeną, turite pasirinkti visą dalį. Tai yra, padalinkite skaitiklį iš vardiklio.

Daugyba ir dalyba

Norint juos atlikti, trupmenų nereikia redukuoti iki bendro vardiklio. Taip lengviau atlikti veiksmus. Tačiau jie vis tiek reikalauja laikytis taisyklių.

Dauginant trupmenas reikia žiūrėti į skaičius skaitikliuose ir vardikliuose. Jei kuris nors skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą, tada juos galima sumažinti.

Padauginkite skaitiklius.

Padauginkite vardiklius.

Jei rezultatas yra sumažinama trupmena, ji turi būti dar kartą supaprastinta.

Dalindami pirmiausia turite pakeisti dalybą daugyba, o daliklį (antrąją trupmeną) - atsakomąją trupmeną (sukeisti skaitiklį ir vardiklį).

Tada atlikite daugybos veiksmus (pradedant nuo 1 punkto).

Užduotyse, kuriose reikia padauginti (padalyti) iš sveikojo skaičiaus, pastarasis turėtų būti rašomas kaip netinkamoji trupmena. Tai yra, kai vardiklis yra 1. Tada elkitės taip, kaip aprašyta aukščiau.



Veiksmai su dešimtainėmis dalimis

Sudėjimas ir atėmimas

Žinoma, dešimtainį skaičių visada galite konvertuoti į trupmeną. Ir elkitės pagal jau aprašytą planą. Tačiau kartais patogiau veikti be šio vertimo. Tada jų pridėjimo ir atėmimo taisyklės bus lygiai tokios pačios.

Išlyginkite skaitmenų skaičių trupmeninėje skaičiaus dalyje, ty po kablelio. Pridėkite trūkstamą nulių skaičių.

Parašykite trupmenas taip, kad kablelis būtų žemiau kablelio.

Sudėkite (atimkite) kaip natūraliuosius skaičius.

Pašalinkite kablelį.

Daugyba ir dalyba

Svarbu, kad čia nereikėtų pridėti nulių. Trupmenos turėtų būti paliktos tokios, kokios pateiktos pavyzdyje. Ir tada eik pagal planą.

Norėdami padauginti, turite rašyti trupmenas vieną po kitos, nekreipdami dėmesio į kablelius.

Padauginkite kaip natūraliuosius skaičius.

Atsakyme padėkite kablelį, nuo dešiniojo atsakymo galo skaičiuodami tiek skaitmenų, kiek jų yra abiejų faktorių trupmeninėse dalyse.

Norėdami padalyti, pirmiausia turite transformuoti daliklį: padaryti jį natūraliu skaičiumi. Tai yra, padauginkite jį iš 10, 100 ir tt, priklausomai nuo to, kiek skaitmenų yra daliklio trupmeninėje dalyje.

Padauginkite dividendą iš to paties skaičiaus.

Padalinkite dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Kai baigiasi visos dalies padalijimas, atsakyme dėkite kablelį.



Ką daryti, jei viename pavyzdyje yra abiejų tipų trupmenos?

Taip, matematikoje dažnai yra pavyzdžių, kai reikia atlikti operacijas su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis. Tokiose užduotyse galimi du sprendimai. Reikia objektyviai pasverti skaičius ir pasirinkti optimaliausią.

Pirmasis būdas: pavaizduokite įprastus dešimtainius

Jis tinkamas, jei padalijus arba išvertus gaunamos baigtinės trupmenos. Jei bent vienas skaičius suteikia periodinę dalį, tada ši technika yra draudžiama. Todėl, net jei jums nepatinka dirbti su paprastosiomis trupmenomis, turėsite jas skaičiuoti.

Antrasis būdas: dešimtaines trupmenas rašykite kaip įprastas

Ši technika yra patogi, jei dalyje po kablelio yra 1–2 skaitmenys. Jei jų yra daugiau, galite gauti labai didelę bendrąją trupmeną, o dešimtainis žymėjimas padės greičiau ir lengviau apskaičiuoti užduotį. Todėl visada reikia blaiviai įvertinti užduotį ir pasirinkti paprasčiausią sprendimo būdą.

Tai, kad daug kvadratinių šaknų yra neracionalūs skaičiai, visiškai nesumenkina jų reikšmės, skaičius $\sqrt2$ labai dažnai naudojamas įvairiuose inžineriniuose ir moksliniuose skaičiavimuose. Šį skaičių galima apskaičiuoti kiekvienu konkrečiu atveju reikalingu tikslumu. Šį skaičių galite gauti tiek skaičių po kablelio, kiek turite kantrybės.

Pavyzdžiui, skaičių $\sqrt2$ galima nustatyti šešių skaičių po kablelio tikslumu: $\sqrt2=1.414214$. Ši vertė labai nesiskiria nuo tikrosios vertės, nes $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Šis atsakymas nuo 2 skiriasi vos daugiau nei viena milijonine dalimi. Todėl $\sqrt2$ vertė, lygi $1,414214$, laikoma gana priimtina daugeliui praktinių problemų išspręsti. Tais atvejais, kai reikalingas didesnis tikslumas, nesunku gauti tiek reikšmingų skaitmenų po kablelio, kiek šiuo atveju reikia.

Tačiau jei parodysite retą užsispyrimą ir bandysite išgauti Kvadratinė šaknis nuo numerio $\sqrt2$, kol nepasieksite tikslaus rezultato, niekada nepabaigsite savo darbo. Tai nesibaigiantis procesas. Kad ir kiek skaičių po kablelio gautumėte, visada liks dar keletas.

Šis faktas gali jus nustebinti lygiai taip pat, kaip $\frac13$ pavertimas begaliniu dešimtainiu skaičiumi $0,333333333…$ ir taip toliau neribotą laiką, arba $\frac17$ pavertimas $0,142857142857142857…$ ir taip toliau neribotą laiką. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šios begalinės ir neracionalios kvadratinės šaknys yra tos pačios eilės reiškiniai, tačiau taip nėra. Juk šios begalinės trupmenos turi trupmeninį ekvivalentą, o $\sqrt2$ tokio ekvivalento neturi. Kodėl būtent? Faktas yra tas, kad $\frac13$ ir $\frac17$ dešimtainis atitikmuo, taip pat begalinis skaičius kitų trupmenų yra periodinės begalinės trupmenos.

Tuo pačiu metu $\sqrt2$ dešimtainis ekvivalentas yra neperiodinė trupmena. Šis teiginys taip pat tinka bet kuriam neracionaliam skaičiui.

Problema ta, kad bet koks dešimtainis skaičius, kuris yra apytikslis kvadratinės šaknies iš 2, yra neperiodinė trupmena. Kad ir kaip toli eitume skaičiavimuose, bet kokia gauta trupmena bus neperiodinė.

Įsivaizduokite trupmeną su daugybe neperiodinių skaitmenų po kablelio. Jei staiga po milijono skaitmens kartojasi visa kablelio seka, tai reiškia dešimtainis- periodinis ir jam yra ekvivalentas sveikųjų skaičių santykio forma. Jei trupmena, turinti didžiulį skaičių (milijardų ar milijonų) neperiodinių skaitmenų po kablelio, tam tikru momentu turi begalę pasikartojančių skaitmenų, pavyzdžiui, $...55555555555...$, tai taip pat reiškia, kad ši trupmena yra periodinė ir yra sveikųjų skaičių santykio forma ekvivalentas.

Tačiau tuo atveju, kai jų dešimtainiai ekvivalentai yra visiškai neperiodiniai ir negali tapti periodiniais.

Žinoma, galite užduoti tokį klausimą: „Kas gali žinoti ir tiksliai pasakyti, kas nutinka trupmenai, tarkime, po trilijono ženklo? Kas gali garantuoti, kad trupmena netaps periodine? Yra būdų, kaip įtikinamai įrodyti, kad neracionalieji skaičiai yra neperiodiniai, tačiau tokiems įrodymams reikia sudėtingos matematikos. Bet jei staiga paaiškėtų, kad neracionalus skaičius tampa periodinė trupmena, tai reikštų visišką matematinių mokslų pagrindų žlugimą. Ir iš tikrųjų tai vargu ar įmanoma. Jums nėra lengva mesti jį iš vienos pusės į kitą ant pirštų, čia yra sudėtinga matematinė teorija.

Kad jei jie žino serijų teoriją, tai be jos negalima įvesti metamatinių sąvokų. Be to, šie žmonės mano, kad visi, kurie jo nenaudoja plačiai, yra neišmanantys. Šių žmonių nuomonę palikime jų sąžinei. Geriau supraskime, kas yra begalinė periodinė trupmena ir kaip mes, neišsilavinę, ribų nepažįstantys žmonės, turėtume su ja elgtis.

Padalinkime 237 iš 5. Ne, jums nereikia paleisti skaičiuoklės. Geriau prisiminkime vidurinę (ar net pradinę?) mokyklą ir tiesiog suskirstykime į stulpelį:

Na, ar prisiminei? Tada galite kibti į verslą.

Sąvoka „trupmena“ matematikoje turi dvi reikšmes:

1. Ne sveikasis skaičius.
2. Ne sveikųjų skaičių forma.

1. Paprasta (arba vertikaliai) trupmenomis, pvz., 1/2 arba 237/5.
2. Dešimtainės trupmenos, pvz., 0,5 arba 47,4.

Matematikoje apskritai visada buvo priimtas dešimtainis skaičiavimas, todėl dešimtainės trupmenos yra patogesnės nei paprastosios, tai yra trupmenos su dešimtainiu vardikliu (Vladimiras Dal. Aiškinamasis gyvosios didžiosios rusų kalbos žodynas. „Dešimt“) .

Net visiškai neišsilavinęs žmogus pastebės: kad ir kiek tai užtruktų, neatsiskirs: trynukai ir toliau atsiras iki begalybės. Taigi užsirašykime: 0,33... Turime omenyje „skaičius, kuris gaunamas padalijus 1 iš 3“, arba, trumpai tariant, „trečdalis“. Natūralu, kad trečdalis yra trupmena pirmąja šio žodžio prasme, o „1/3“ ir „0,33...“ yra trupmenos antrąja to žodžio prasme, tai yra registracijos formas skaičius, esantis skaičių eilutėje tokiu atstumu nuo nulio, kad tris kartus atidėjus į šalį, gausite vieną.

Dabar pabandykime padalinti 5 iš 6:

Užrašykime dar kartą: 0,833... Turime omenyje „skaičius, kurį gausite, kai 5 padalysite iš 6“, arba, trumpai tariant, „penkios šeštosios“. Tačiau čia kyla painiavos: ar tai reiškia 0,83333 (ir tada pasikartoja trynukai), ar 0,833833 (o tada kartojasi 833). Todėl žymėjimas elipsėmis mums netinka: neaišku, kur prasideda pasikartojanti dalis (tai vadinama „tašku“). Todėl tašką dėsime skliausteliuose taip: 0,(3); 0,8(3).

0, (3) nėra lengva lygus trečdalis, tai Yra trečdalis, nes mes specialiai sugalvojome šį žymėjimą, kad šis skaičius būtų pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena.

Šis įrašas vadinamas begalinė periodinė trupmena, arba tiesiog periodinė trupmena.

Kai dalijame vieną skaičių iš kito, jei negauname baigtinės trupmenos, gauname begalinę periodinę trupmeną, tai yra, kada nors skaičių sekos tikrai pradės kartotis. Kodėl taip yra, galima suprasti grynai spekuliatyviai, atidžiai pažvelgus į stulpelių padalijimo algoritmą:

Varnele pažymėtose vietose ne visada galima gauti skirtingas skaičių poras (nes iš esmės tokių porų yra baigtinis skaičius). Ir kai tik ten atsiras tokia pora, kuri jau egzistavo, skirtumas taip pat bus toks pat - tada visas procesas pradės kartotis. To tikrinti nereikia, nes visiškai akivaizdu, kad pakartojus tuos pačius veiksmus rezultatai bus tokie patys.

Dabar, kai gerai suprantame esmė periodinė trupmena, pabandykime trečdalį padauginti iš trijų. Taip, žinoma, gausite vieną, bet parašykime šią trupmeną dešimtaine forma ir padauginkime stulpelyje (dėl elipsės čia nekyla dviprasmybės, nes visi skaičiai po kablelio yra vienodi):

Ir vėl pastebime, kad po kablelio visą laiką atsiras devynetai, devynetai ir devynetai. Tai yra, naudojant atvirkštinį skliaustą, gauname 0, (9). Kadangi žinome, kad trečdalio ir trijų sandauga yra vienas, tai 0.(9) yra toks įmantrus vieneto rašymo būdas. Tačiau šią įrašymo formą naudoti netikslinga, nes vienetą galima puikiai parašyti nenaudojant taško, pavyzdžiui: 1.

Kaip matote, 0, (9) yra vienas iš tų atvejų, kai visas skaičius rašomas trupmenos forma, pavyzdžiui, 3/3 arba 7,0. Tai yra, 0, (9) yra trupmena tik antrąja šio žodžio prasme, bet ne pirmąja.

Taigi, be jokių apribojimų ar serijų, išsiaiškinome, kas yra 0.(9) ir kaip su juo elgtis.

Tačiau prisiminkime, kad iš tikrųjų esame protingi ir studijavome analizę. Iš tiesų sunku paneigti, kad:

Bet, ko gero, niekas nesiginčys su tuo, kad:

Visa tai, žinoma, tiesa. Iš tiesų, 0, (9) yra ir sumažintų eilučių suma, ir nurodyto kampo dvigubas sinusas, ir Eulerio skaičiaus natūralusis logaritmas.

Tačiau nei vienas, nei kitas, nei trečias nėra apibrėžimas.

Teigti, kad 0, (9) yra begalinės serijos 9/(10 n) suma, kai n lygus vienetui, yra tas pats, kas sakyti, kad sinusas yra begalinės Teiloro serijos suma:

Tai visiškai teisus, ir tai yra pats svarbiausias skaičiavimo matematikos faktas, bet tai nėra apibrėžimas ir, svarbiausia, nepriartina žmogaus prie supratimo iš esmės sinusas Tam tikro kampo sinuso esmė yra ta tik viskas kampui priešingos kojos santykis su hipotenuze.

Taigi, periodinė trupmena yra tik viskas dešimtainė trupmena, kuri gaunama, kai dalijant stulpeliu bus kartojamas tas pats skaičių rinkinys. Čia nėra jokios analizės pėdsako.

Ir čia kyla klausimas: iš kur tai? iš viso ar paėmėme skaičių 0, (9)? Iš ko padalijame su stulpeliu, kad gautume? Iš tiesų, nėra tokių skaičių, kuriuos suskirstę į stulpelį be galo pasirodytume devynetukai. Bet mums pavyko gauti šį skaičių 0,(3) padauginus iš 3 su stulpeliu? Ne visai. Juk reikia dauginti iš dešinės į kairę, kad teisingai atsižvelgtumėte į skaitmenų perkėlimus, o mes tai padarėme iš kairės į dešinę, gudriai pasinaudodami tuo, kad pervedimai ir taip niekur nevyksta. Todėl 0,(9) rašymo teisėtumas priklauso nuo to, ar pripažįstame tokio daugybos iš stulpelio teisėtumą, ar ne.

Todėl paprastai galime teigti, kad žymėjimas 0,(9) yra neteisingas – ir tam tikru mastu būti teisingas. Tačiau, kadangi yra priimtas užrašas a ,(b ), tiesiog negražu jo atsisakyti, kai b = 9; Geriau nuspręskite, ką toks įrašas reiškia. Taigi, jei mes paprastai priimame žymėjimą 0, (9), tada šis žymėjimas, žinoma, reiškia skaičių vienas.

Belieka tik pridurti, kad jei naudotume, tarkime, trinarė skaičių sistemą, tai dalindami iš vieno (1 3) stulpelio iš trijų (10 3) gautume 0,1 3 (skaitykite „nulis taško vienas trečdalis“), o padalijus Vieną iš dviejų būtų 0,(1) 3.

Taigi trupmenos skaičiaus periodiškumas yra ne kokia nors objektyvi trupmenos skaičiaus charakteristika, o tik šalutinis poveikis naudojant vieną ar kitą skaičių sistemą.

Yra dar vienas racionalaus skaičiaus 1/2 vaizdavimas, kuris skiriasi nuo 2/4, 3/6, 4/8 ir tt vaizdų. Turime omenyje vaizdavimą dešimtainės trupmenos 0,5 forma. Kai kurios trupmenos turi baigtinį dešimtainį atvaizdavimą, pvz.

o kitų trupmenų dešimtainės dalys yra begalinės:

Šiuos begalinius dešimtainius skaičius galima gauti iš atitinkamų racionalių trupmenų, padalijus skaitiklį iš vardiklio. Pavyzdžiui, trupmenos 5/11 atveju, padalijus 5000... iš 11, gaunama 0,454545...

Kurios racionalios trupmenos turi baigtinį dešimtainį atvaizdavimą? Prieš atsakydami į šį klausimą apskritai, pažvelkime į konkretų pavyzdį. Paimkime, tarkime, galutinę dešimtainę trupmeną 0,8625. Mes tai žinome

ir kad bet kurią baigtinę dešimtainę trupmeną galima parašyti kaip racionalią dešimtainę trupmeną, kurios vardiklis lygus 10, 100, 1000 arba kokia nors kita 10 laipsniu.

Dešinėje esančią trupmeną sumažinę iki nesumažinamos trupmenos, gauname

Vardiklis 80 gaunamas 10 000 padalijus iš 125 – didžiausias bendras 10 000 ir 8625 daliklis. Todėl pirminis skaičiaus 80 faktorius, kaip ir skaičius 10 000, apima tik du pirminius veiksnius: 2 ir 5. Jei to nepadarytume. Pradėkite nuo 0, 8625 ir bet kurios kitos baigtinės dešimtainės trupmenos, tada gauta neredukuojama racionali trupmena taip pat turėtų šią savybę. Kitaip tariant, vardiklio b išplėtimas į pirminius veiksnius galėtų apimti tik pirminius skaičius 2 ir 5, nes b yra tam tikros 10 laipsnio a daliklis. Ši aplinkybė pasirodo esanti lemiama, būtent galioja toks bendras teiginys:

Neredukuojama racionali trupmena turi baigtinį dešimtainį vaizdą tada ir tik tada, kai skaičius b neturi pirminių koeficientų 2 ir 5.

Atkreipkite dėmesį, kad b tarp pirminių koeficientų nebūtinai turi būti ir 2, ir 5: jis gali dalytis tik iš vieno iš jų arba iš viso nesidalyti. Pavyzdžiui,

čia b yra lygus atitinkamai 25, 16 ir 1. Svarbu tai, kad b neturi kitų daliklių, išskyrus 2 ir 5.

Aukščiau pateiktame sakinyje yra posakis tada ir tik tada. Kol kas įrodėme tik tą dalį, kuri yra susijusi su apyvarta tik tada. Būtent mes parodėme, kad racionalaus skaičiaus išskaidymas į dešimtainę trupmeną bus baigtinis tik tuo atveju, kai b neturi kitų pirminių faktorių, išskyrus 2 ir 5.

(Kitaip tariant, jei b dalijasi iš pirminio skaičiaus, kuris nėra 2 ir 5, tada neredukuojama trupmena neturi baigtinės dešimtainės išraiškos.)

Tolesnė sakinio dalis teigia, kad jei sveikasis skaičius b neturi kitų pirminių koeficientų, išskyrus 2 ir 5, tai neredukuojama racionalioji trupmena gali būti pavaizduota baigtine dešimtaine trupmena. Norėdami tai įrodyti, turime paimti savavališką neredukuojamą racionaliąją trupmeną, kurioje b neturi kitų pirminių koeficientų, išskyrus 2 ir 5, ir patikrinti, ar atitinkama dešimtainė trupmena yra baigtinė. Pirmiausia pažiūrėkime į pavyzdį. Leisti

Norėdami gauti dešimtainį išplėtimą, šią trupmeną paverčiame trupmena, kurios vardiklis yra sveikasis skaičius dešimties. Tai galima pasiekti skaitiklį ir vardiklį padauginus iš:

Aukščiau pateiktą samprotavimą galima išplėsti bendruoju atveju taip. Tarkime, b yra formos , kur tipas yra neneigiami sveikieji skaičiai (t. y. teigiami skaičiai arba nulis). Galimi du atvejai: arba mažesnis arba lygus (ši sąlyga parašyta), arba didesnis (kuris parašyta). Kai trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš