Matematinis programavimas Lagranžo metodas. Lagranžo daugiklio metodas

Lagranžo metodas─ yra suvaržytos optimizavimo problemos sprendimo metodas, kai apribojimai, užrašyti kaip numanomos funkcijos, sujungiami su tiksline funkcija naujos lygties forma, vadinama Lagranžas.

Panagrinėkime specialų bendrosios netiesinio programavimo problemos atvejį:

Pateikta netiesinių lygčių sistema (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Raskite mažiausią (arba didžiausią) funkcijos reikšmę (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

jei nėra sąlygų, kad kintamieji būtų neneigiami, o f(x1,x2,…,xn) ir gi(x1,x2,…,xn) yra tolydžios funkcijos kartu su jų dalinėmis išvestinėmis.

Norėdami rasti šios problemos sprendimą, galite taikyti šį metodą: 1. Įveskite kintamųjų λ1, λ2,…, λm rinkinį, vadinamą Lagranžo daugikliais, sudarykite Lagranžo funkciją (3).

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Raskite Lagranžo funkcijos dalines išvestines kintamųjų xi ir λi atžvilgiu ir prilyginkite jas nuliui.

3. Spręsdami lygčių sistemą, raskite taškus, kuriuose uždavinio tikslinė funkcija gali turėti ekstremumą.

4. Tarp taškų, kurie yra įtartini, o ne ekstremumas, suraskite tuos, kuriuose pasiekiamas ekstremumas, ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes šiuose taškuose .

4. Palyginkite gautas funkcijos f reikšmes ir pasirinkite geriausią.

Pagal gamybos planą įmonei reikia pagaminti 180 gaminių. Šie gaminiai gali būti gaminami dviem technologiniais būdais. Gaminant x1 gaminius I metodu, sąnaudos yra 4*x1+x1^2 rubliai, o gaminant x2 gaminius II būdu – 8*x2+x2^2 rubliai. Nustatykite, kiek gaminių turi būti pagaminta naudojant kiekvieną metodą, kad bendros gamybos sąnaudos būtų minimalios.

Sprendimas: Matematinė uždavinio formuluotė susideda iš dviejų kintamųjų mažiausios funkcijos reikšmės nustatymo:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, jei x1 +x2 = 180.

Sukurkime Lagrange funkciją:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Apskaičiuokime jo dalines išvestines x1, x2, λ atžvilgiu ir prilyginkime jas 0:

Perkelkime λ į dešiniąsias pirmųjų dviejų lygčių puses ir sulyginkime jų kairiąsias puses, gausime 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 arba x1 − x2 = 2.

Išspręsdami paskutinę lygtį kartu su lygtimi x1 + x2 = 180, randame x1 = 91, x2 = 89, tai yra, gavome sprendinį, kuris tenkina sąlygas:

Raskime tikslo funkcijos f reikšmę šioms kintamųjų reikšmėms:

F(x1, x2) = 17278

Šis taškas yra įtartinas kraštutiniam taškui. Naudojant antrąsias dalines išvestines, galime parodyti, kad taške (91.89) funkcija f turi minimumą.

Rasti daugianarį reiškia nustatyti jo koeficiento reikšmes . Norėdami tai padaryti, naudodami interpoliacijos sąlygą, galite sudaryti tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemą.

Šio SLAE determinantas paprastai vadinamas Vandermonde determinantu. Vandermonde determinantas nėra lygus nuliui už , ty tuo atveju, kai paieškos lentelėje nėra atitinkančių mazgų. Tačiau galima teigti, kad SLAE turi sprendimą ir šis sprendimas yra unikalus. Išsprendę SLAE ir nustatę nežinomus koeficientus galite sukurti interpoliacijos daugianarį.

Dauginamas, kuris tenkina interpoliacijos sąlygas, kai interpoliuojamas Lagranžo metodu, sudaromas kaip tiesinis n-ojo laipsnio daugianario derinys:

Dažniausiai vadinami polinomai pagrindinis daugianario. Tam, kad Lagranžo daugianario tenkina interpoliacijos sąlygas, labai svarbu, kad jos baziniams polinomams būtų tenkinamos šios sąlygos:

Dėl .

Jei tenkinamos šios sąlygos, mes turime:

Be to, nurodytų bazinių polinomų sąlygų įvykdymas reiškia, kad tenkinamos ir interpoliacijos sąlygos.

Nustatykime bazinių polinomų tipą pagal jiems taikomus apribojimus.

1 sąlyga: adresu .

2 sąlyga: .

Galiausiai pagrindiniam polinomui galime parašyti:

Tada, pakeisdami gautą bazinių polinomų išraišką į pradinį daugianarį, gauname galutinę Lagranžo daugianario formą:

Tam tikra Lagranžo polinomo forma paprastai vadinama tiesine interpoliacijos formule:

.

Lagranžo daugianomas, paimtas ties, paprastai vadinamas kvadratine interpoliacijos formule:

Lagranžo metodas. - koncepcija ir rūšys. Kategorijos „Lagranžo metodas“ klasifikacija ir ypatybės. 2017 m., 2018 m.

Sąlyginio ekstremumo nustatymo metodas prasideda sukūrus pagalbinę Lagrange funkciją, kuri galimų sprendimų srityje pasiekia maksimumą toms pačioms kintamųjų reikšmėms x 1 , x 2 , ..., x n , kuri yra tokia pati kaip tikslo funkcija z . Tegu išspręsta funkcijos sąlyginio ekstremumo nustatymo uždavinys z = f(X) pagal apribojimus φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Sudarykime funkciją

kuris vadinamas Lagrange funkcija. X , - pastovūs veiksniai ( Lagranžo daugikliai). Atkreipkite dėmesį, kad Lagranžo daugikliams gali būti suteikta ekonominė reikšmė. Jeigu f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - pajamos atitinka planą X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , ir funkcija φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - i-ojo resurso, atitinkančio šį planą, išlaidos X , yra i-ojo ištekliaus kaina (įvertis), apibūdinanti tikslo funkcijos kraštutinės reikšmės pokytį priklausomai nuo i-ojo ištekliaus dydžio pokyčio (ribinis įvertis). L(X) - funkcija n+m kintamieji (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Nustačius šios funkcijos stacionarius taškus, sprendžiama lygčių sistema

Tai nesunku pastebėti . Taigi uždavinys rasti sąlyginį funkcijos ekstremumą z = f(X) sumažina iki vietos funkcijos ekstremumo suradimo L(X) . Jei randamas stacionarus taškas, tada ekstremumo egzistavimo klausimas paprasčiausiais atvejais išsprendžiamas remiantis pakankamomis ekstremumo sąlygomis - ištyrus antrojo diferencialo ženklą. d 2 L(X) stacionariame taške, su sąlyga, kad kintamasis didėja Δx i – sieja santykiai

gautas diferencijuojant sukabinimo lygtis.

Netiesinių lygčių sistemos sprendimas dviejuose nežinomuose naudojant įrankį Find Solution

Nustatymai Sprendimo paieška leidžia rasti netiesinių lygčių sistemos su dviem nežinomaisiais sprendimą:

Kur
- netiesinė kintamųjų funkcija x Ir y ,
- savavališka konstanta.

Yra žinoma, kad pora ( x , y ) yra lygčių sistemos (10) sprendimas tada ir tik tada, kai jis yra šios lygties su dviem nežinomaisiais sprendimas:

SU kita vertus, sistemos (10) sprendimas yra dviejų kreivių susikirtimo taškai: f ] (x, y) = C Ir f 2 (x, y) = C 2 ant paviršiaus XOY.

Tai veda prie metodo, kaip rasti sistemos šaknis. netiesinės lygtys:

Nustatykite (bent apytiksliai) lygčių sistemos (10) arba (11) sprendinio egzistavimo intervalą. Čia reikia atsižvelgti į į sistemą įtrauktų lygčių tipą, kiekvienos jų lygties apibrėžimo sritį ir pan. Kartais pasirenkamas pradinis sprendinio aproksimavimas;

Sudarykite pasirinkto intervalo kintamųjų x ir y lygties (11) sprendimą arba sukurkite funkcijų grafikus f 1 (x, y) = C ir f 2 (x,y) = C 2 (sistema(10)).

Lokalizuokite tariamas lygčių sistemos šaknis – raskite keletą minimalių verčių iš lentelės, kurioje pateikiamos lygties šaknys (11), arba nustatykite į sistemą įtrauktų kreivių susikirtimo taškus (10).

4. Raskite lygčių sistemos (10) šaknis naudodami priedą Sprendimo paieška.

Trumpa teorija

Lagranžo daugiklio metodas yra klasikinis metodas matematinėms programavimo problemoms (ypač išgaubtoms) spręsti. Deja, praktinis metodo taikymas gali susidurti su dideliais skaičiavimo sunkumais, susiaurinant jo taikymo sritį. Lagranžo metodą čia nagrinėjame daugiausia todėl, kad tai aparatas, kuris aktyviai naudojamas įvairiems šiuolaikiniams skaitiniams metodams, plačiai naudojamiems praktikoje, pagrįsti. Kalbant apie Lagrando funkciją ir Lagrando daugiklius, jie atlieka nepriklausomą ir nepaprastai svarbų vaidmenį ne tik matematinio programavimo teorijoje ir taikymuose.

Apsvarstykite klasikinę optimizavimo problemą:

Tarp šios problemos apribojimų nėra nelygybių, nėra sąlygų kintamųjų neneigiamumui, jų diskretumui, o funkcijos yra tolydžios ir turi bent antros eilės dalines išvestines.

Klasikinis problemos sprendimo būdas pateikia lygčių sistemą (būtinąsias sąlygas), kurias turi tenkinti taškas, suteikiantis funkcijai lokalinį ekstremumą taškų, kurie tenkina apribojimus, aibėje (išgaubtam programavimo uždaviniui – rastas taškas taip pat bus pasaulinis ekstremumo taškas).

Tarkime, kad taške funkcija (1) turi vietinį sąlyginį ekstremumą ir matricos rangas yra lygus . Tada reikiamos sąlygos bus parašytos formoje:

yra Lagranžo funkcija; – Lagranžo daugikliai.

Taip pat yra pakankamai sąlygų, kurioms esant (3) lygčių sistemos sprendimas nustato funkcijos ekstremalų tašką. Šis klausimas išspręstas remiantis Lagranžo funkcijos antrojo diferencialo ženklo tyrimu. Tačiau pakankamos sąlygos daugiausia svarbios teoriškai.

Galite nurodyti šią užduočių (1), (2) sprendimo procedūrą naudodami Lagranžo daugiklio metodą:

1) sudaryti Lagranžo funkciją (4);

2) rasti Lagranžo funkcijos dalines išvestines visų kintamųjų atžvilgiu ir jas sulyginti

nulis. Taip bus gauta sistema (3), susidedanti iš lygčių. Išspręskite gautą sistemą (jei tai pasirodys įmanoma!) ir taip suraskite visus Lagranžo funkcijos stacionarius taškus.

3) iš stacionarių taškų, paimtų be koordinačių, pasirinkti taškus, kuriuose funkcija turi sąlyginius lokalinius kraštutinumus esant apribojimams (2). Toks pasirinkimas daromas, pavyzdžiui, naudojant pakankamas sąlygas vietiniam ekstremumui. Dažnai tyrimas supaprastinamas, jei naudojamos konkrečios problemos sąlygos.

Problemos sprendimo pavyzdys

Užduotis

Įmonė gamina dviejų rūšių prekes kiekiais ir . Naudingų kaštų funkcija nustatoma pagal ryšį. Šių prekių kainos rinkoje yra vienodos ir atitinkamai.

Nustatykite, kokiomis produkcijos apimtimis pasiekiamas maksimalus pelnas ir kam jis lygus, jei bendrosios sąnaudos neviršija

Sunku suprasti sprendimo eigą? Svetainėje siūloma paslauga Problemų sprendimas naudojant optimalių sprendimų būdus pagal užsakymą

Problemos sprendimas

Ekonominis ir matematinis problemos modelis

Pelno funkcija:

Išlaidų apribojimai:

Gauname tokį ekonominį ir matematinį modelį:

Be to, pagal užduoties prasmę

Lagranžo daugiklio metodas

Sukurkime Lagrange funkciją:

Randame pirmos eilės dalinius išvestinius:

Sukurkime ir išspręskime lygčių sistemą:

Nuo tada

Maksimalus pelnas:

Atsakymas

Taigi, būtina išleisti maistą. 1 tipo prekės ir vienetai. 2 tipo prekės. Tokiu atveju pelnas bus maksimalus ir sieks 270.
Pateiktas kvadratinio išgaubto programavimo uždavinio sprendimo grafiniu metodu pavyzdys.

Tiesinio uždavinio sprendimas grafiniu metodu
Nagrinėjamas grafinis linijinio programavimo uždavinio (LPP) sprendimo būdas su dviem kintamaisiais. Naudojant uždavinio pavyzdį, pateikiamas detalus brėžinio konstravimo ir sprendimo paieškos aprašymas.

Wilsono atsargų valdymo modelis
Naudojant problemos sprendimo pavyzdį, nagrinėjamas pagrindinis atsargų valdymo modelis (Wilson modelis). Apskaičiuoti tokie modelio rodikliai kaip optimalus užsakymo partijos dydis, metinės sandėliavimo išlaidos, intervalas tarp pristatymų ir užsakymo pateikimo taškas.

Tiesioginių sąnaudų santykio matrica ir įvesties-išvesties matrica
Naudojant problemos sprendimo pavyzdį, nagrinėjamas Leontjevo tarpsektorinis modelis. Parodyta tiesioginių medžiagų sąnaudų koeficientų matrica, matrica „sąnaudos-produkcijos“, netiesioginių kaštų koeficientų, galutinio vartojimo ir bendrosios produkcijos vektorių matrica.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

susideda iš savavališkų konstantų ck pakeitimo bendrame sprendime

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

atitinkamą homogeninę lygtį

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

pagalbinėms funkcijoms ck(t), kurių išvestinės tenkina tiesinę algebrinę sistemą

Sistemos (1) determinantas yra funkcijų z1,z2,...,zn Vronskis, užtikrinantis jos unikalų sprendžiamumą .

Jei yra antidariniai , imami fiksuotomis integravimo konstantų reikšmėmis, tada funkcija

yra pradinės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas. Nehomogeninės lygties integravimas esant bendram atitinkamos homogeninės lygties sprendiniui, yra sumažinamas iki kvadratų.

Lagranžo metodas (savavališkų konstantų keitimo metodas)

Nehomogeninės lygties bendro sprendinio gavimo būdas, žinant bendrą vienarūšės lygties sprendinį, nerandant konkretaus sprendinio.

N-osios eilės tiesinei vienalytei diferencialinei lygčiai

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

kur y = y(x) yra nežinoma funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) yra žinomi, tolydi, tiesa: 1) tiesiškai yra n nepriklausomų sprendinių lygtys y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) bet kurioms konstantų c1, c2, ..., cn reikšmėms funkcija y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) yra lygties sprendimas; 3) bet kurioms pradinėms reikšmėms x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 yra reikšmės c*1, c*n, ..., c*n, kad sprendimas y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) tenkina pradines sąlygas y*(x0)=y0, (y), kai x = x0 *)"(x0) =y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Išraiška y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) vadinama n-osios eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties bendruoju sprendiniu.

n-osios eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties y1(x), y2(x), ..., yn(x) n tiesiškai nepriklausomų sprendinių aibė vadinama pagrindine lygties sprendinių sistema.

Tiesinei vienalytei diferencialinei lygčiai su pastoviais koeficientais yra paprastas algoritmas, kaip sudaryti pagrindinę sprendinių sistemą. Ieškosime lygties sprendinio formoje y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, t.y. skaičius l yra charakteristikų lygties ln + a1ln-1 + šaknis. .. + an-1l + an = 0. Charakteristinės lygties kairioji pusė vadinama charakteringuoju tiesinės diferencialinės lygties polinomu: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Taigi n-osios eilės tiesinės homogeninės lygties su konstantų koeficientų sprendimas redukuojasi į algebrinės lygties sprendimą.

Jei charakteristinė lygtis turi n skirtingų realiųjų šaknų l1№ l2 № ... № ln, tai pagrindinė sprendinių sistema susideda iš funkcijų y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), o bendras homogeninės lygties sprendinys yra: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

fundamentali sprendinių sistema ir bendras sprendimas paprastų realių šaknų atveju.

Jei kuri nors iš tikrosios charakteristikos lygties šaknų kartojasi r kartų (r-daugiašakis), tai pamatinėje sprendinių sistemoje yra ją atitinkančių r funkcijų; jei lk=lk+1 = ... = lk+r-1, tai pagrindinė lygties sprendinių sistema apima r funkcijų: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx) ), yk +2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).

2 PAVYZDYS. Fundamentali sprendinių sistema ir bendras sprendimas kelių realių šaknų atveju.

Jei charakteristinė lygtis turi sudėtingas šaknis, tai kiekviena paprastų (su daugybe 1) kompleksinių šaknų pora lk,k+1=ak ± ibk pagrindinėje sprendinių sistemoje atitinka funkcijų porą yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

4 PAVYZDYS. Pagrindinė sprendinių sistema ir bendras sprendimas paprastų kompleksinių šaknų atveju. Įsivaizduojamos šaknys.

Jei kompleksinė šaknų pora turi daugumą r, tai tokia pora lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, pagrindinėje sprendinių sistemoje atitinka funkcijas exp(akx)cos( bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

5 PAVYZDYS. Fundamentali sprendinių sistema ir bendras sprendimas kelių kompleksinių šaknų atveju.

Taigi, norint rasti bendrą tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimą, reikėtų: užrašyti charakteristinę lygtį; rasti visas charakteristikos lygties l1, l2, ... , ln šaknis; užrašykite pamatinę sprendinių y1(x), y2(x), ..., yn(x) sistemą; užrašykite bendrojo sprendinio y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) išraišką. Norint išspręsti Koši problemą, bendrojo sprendimo išraišką reikia pakeisti pradinėmis sąlygomis ir nustatyti konstantų c1,..., cn reikšmes, kurios yra tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendiniai c1 y1( x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0 ,1, ......... , c1 y1 (n-1) (x0) + c2 y2 (n-1) (x0) + ... + cn yn(n-1) (x0) = y0, n-1

Tiesinei nehomogeninei n-osios eilės diferencialinei lygčiai

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

kur y = y(x) yra nežinoma funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) yra žinomi, tęstiniai, galiojantys: 1 ) jei y1(x) ir y2(x) yra du nehomogeninės lygties sprendiniai, tai funkcija y(x) = y1(x) - y2(x) yra atitinkamos vienarūšės lygties sprendinys; 2) jei y1(x) yra nehomogeninės lygties sprendinys, o y2(x) yra atitinkamos vienalytės lygties sprendinys, tai funkcija y(x) = y1(x) + y2(x) yra sprendinys nehomogeninė lygtis; 3) jei y1(x), y2(x), ..., yn(x) yra n tiesiškai nepriklausomų vienalytės lygties sprendinių, o ych(x) yra savavališkas nehomogeninės lygties sprendinys, tada bet kurioms pradinėms reikšmėms x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 yra reikšmės c*1, c*n, ..., c*n, kad sprendimas y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) tenkina pradines sąlygas y*(x0)=y0, (y*), kai x = x0 )"(x0)=y0,1, ..,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Išraiška y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) vadinama n-osios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties bendruoju sprendiniu.

Rasti nehomogeninių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais dalinius sprendinius su formos dešiniosiomis pusėmis: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), kur Pk(x) ), Qm(x ) yra atitinkamai k ir m laipsnio polinomai, yra paprastas tam tikro sprendimo konstravimo algoritmas, vadinamas atrankos metodu.

Pasirinkimo metodas arba neapibrėžtų koeficientų metodas yra toks. Reikalingas lygties sprendimas rašomas tokia forma: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, kur Pr(x), Qr(x ) yra r = max(k, m) laipsnio daugianariai su nežinomais koeficientais pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Koeficientas xs vadinamas rezonansiniu faktoriumi. Rezonansas atsiranda tais atvejais, kai tarp charakteringosios lygties šaknų yra daugybos s šaknis l =a ± ib. Tie. jei tarp atitinkamos vienalytės lygties charakteristikų lygties šaknų yra tokia, kurios tikroji dalis sutampa su koeficientu, esančiu eksponente, o menamoji dalis sutampa su koeficientu trigonometrinės funkcijos argumente dešinėje lygties pusėje, o šios šaknies dauginys yra s, tada norimame konkrečiame sprendime yra rezonansinis koeficientas xs. Jei tokio sutapimo nėra (s=0), tai nėra ir rezonansinio faktoriaus.

Pakeitę konkretaus sprendinio išraišką į kairę lygties pusę, gauname tos pačios formos apibendrintą daugianarį kaip ir dešinėje lygties pusėje esantis daugianomas, kurio koeficientai nežinomi.

Du apibendrinti daugianariai yra lygūs tada ir tik tada, kai xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) formų koeficientai su vienodomis galiomis t yra lygūs. Sulyginę tokių veiksnių koeficientus, gauname 2(r+1) tiesinių algebrinių lygčių sistemą 2(r+1) nežinomiesiems. Galima parodyti, kad tokia sistema yra nuosekli ir turi unikalų sprendimą.