Gauso metodas neturi sprendimų. Tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra vienaskaita, sprendimas Gauso metodu

Šiandien mes žiūrime į Gauso metodą, skirtą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti. Apie tai, kas yra šios sistemos, galite perskaityti ankstesniame straipsnyje, skirtame tiems patiems SLAE išspręsti naudojant Cramer metodą. Gauso metodas nereikalauja jokių specifinių žinių, reikia tik atidumo ir nuoseklumo. Nepaisant to, kad matematiniu požiūriu mokyklinio pasirengimo pakanka jį taikyti, studentams dažnai sunku įsisavinti šį metodą. Šiame straipsnyje mes stengsimės juos sumažinti iki nieko!

Gauso metodas

M Gauso metodas– universaliausias SLAE sprendimo būdas (išskyrus labai dideles sistemas). Skirtingai nei buvo aptarta anksčiau, jis tinka ne tik sistemoms, kurios turi vieną sprendimą, bet ir sistemoms, kurios turi begalinį sprendimų skaičių. Čia yra trys galimi variantai.

1. Sistema turi unikalų sprendimą (sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui);
2. Sistema turi begalinį sprendimų skaičių;
3. Sprendimų nėra, sistema nesuderinama.

Taigi mes turime sistemą (tegul ji turi vieną sprendimą) ir ketiname ją išspręsti Gauso metodu. Kaip tai veikia?

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų – į priekį ir atvirkštinio.

Tiesioginis Gauso metodo smūgis

Pirmiausia užsirašykime išplėstinę sistemos matricą. Norėdami tai padaryti, į pagrindinę matricą pridėkite laisvų narių stulpelį.

Visa Gauso metodo esmė – elementariomis transformacijomis šią matricą perkelti į laiptuotą (arba, kaip dar sakoma, trikampę) formą. Šioje formoje po pagrindine matricos įstrižaine (arba aukščiau) turėtų būti tik nuliai.

Ką tu gali padaryti:

1. Galite pertvarkyti matricos eilutes;
2. Jei matricoje yra lygių (arba proporcingų) eilučių, galite pašalinti visas jas, išskyrus vieną;
3. Eilutę galite padauginti arba padalyti iš bet kurio skaičiaus (išskyrus nulį);
4. Nulinės eilutės pašalinamos;
5. Prie eilutės galite pridėti eilutę, padaugintą iš kito skaičiaus nei nulis.

Atvirkštinis Gauso metodas

Po to, kai mes transformavome sistemą tokiu būdu, vienas nežinomas Xn tampa žinomas, o visus likusius nežinomus galite rasti atvirkštine tvarka, sistemos lygtyse pakeisdami jau žinomus x iki pirmųjų.

Kai internetas visada yra po ranka, galite išspręsti lygčių sistemą naudodami Gauso metodą prisijungęs. Jums tereikia įvesti koeficientus į internetinę skaičiuotuvą. Tačiau reikia pripažinti, kad daug maloniau suvokti, kad pavyzdį išsprendė ne kompiuterinė programa, o jūsų pačių smegenys.

Lygčių sistemos sprendimo Gauso metodu pavyzdys

O dabar – pavyzdys, kad viskas taptų aišku ir suprantama. Pateikite tiesinių lygčių sistemą, kurią reikia išspręsti Gauso metodu:

Pirmiausia parašome išplėstinę matricą:

Dabar atlikime transformacijas. Mes prisimename, kad turime pasiekti trikampę matricos išvaizdą. Padauginkime 1 eilutę iš (3). Padauginkite 2 eilutę iš (-1). Pridėkite 2-ąją eilutę prie 1-osios ir gaukite:

Tada padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:

Padauginkime 1 eilutę iš (6). Padauginkime 2 eilutę iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Voila - sistema įvedama į atitinkamą formą. Belieka surasti nežinomuosius:

Šiame pavyzdyje pateikta sistema turi unikalų sprendimą. Sistemų su begaliniu skaičiumi sprendimus svarstysime atskirame straipsnyje. Galbūt iš pradžių nežinosite, nuo ko pradėti transformuoti matricą, bet po tinkamos praktikos susigausite ir gauso metodu kaip riešutus sulaužysite SLAE. Ir jei staiga susidursite su SLA, kuris pasirodo esąs per kietas riešutas, susisiekite su mūsų autoriais! galite palikę prašymą korespondencijos skyriuje. Kartu mes išspręsime bet kokią problemą!

Vienas iš universalių ir veiksmingų tiesinių algebrinių sistemų sprendimo būdų yra Gauso metodas , susidedantis iš nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo.

Prisiminkite, kad dvi sistemos vadinamos lygiavertis (ekvivalentas), jei jų sprendinių aibės sutampa. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas ir atvirkščiai. Lygiavertės sistemos gaunamos, kai elementarios transformacijos sistemos lygtys:

padauginus abi lygties puses iš kito skaičiaus nei nulis;

prie kokios nors lygties pridedamos atitinkamos kitos lygties dalys, padaugintos iš kito skaičiaus nei nulis;

pertvarkant dvi lygtis.

Pateikiame lygčių sistemą

Šios sistemos sprendimo Gauso metodu procesas susideda iš dviejų etapų. Pirmajame etape (tiesioginis judėjimas) sistema, naudojant elementarias transformacijas, redukuojama į laipsniškai , arba trikampis forma, o antrajame etape (atvirkščiai) yra nuoseklus, pradedant nuo paskutinio kintamojo skaičiaus, nežinomųjų nustatymas iš gautos žingsnių sistemos.

Tarkime, kad šios sistemos koeficientas
, kitu atveju sistemoje pirmą eilutę galima pakeisti bet kuria kita eilute taip, kad koeficientas ties skyrėsi nuo nulio.

Pakeiskime sistemą pašalindami nežinomybę visose lygtyse, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš ir pridėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi. Tada padauginkite abi pirmosios lygties puses iš ir pridėkite ją prie trečiosios sistemos lygties. Tęsdami šį procesą, gauname lygiavertę sistemą

Čia
– naujos koeficientų reikšmės ir laisvieji terminai, gauti po pirmojo žingsnio.

Panašiai, atsižvelgiant į pagrindinį elementą
, neįtraukti nežinomybės iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją ir antrąją. Tęskime šį procesą kuo ilgiau, ir dėl to gausime laipsnišką sistemą

,

Kur ,
,…,– pagrindiniai sistemos elementai
.

Jei redukuojant sistemą į laipsnišką formą atsiranda lygtys, t.y. formos lygybės
, jie atmetami, nes juos tenkina bet koks skaičių rinkinys
.
Jei pas

Jei pasirodo formos lygtis, kuri neturi sprendinių, tai rodo sistemos nesuderinamumą. Atbulinės eigos metu pirmasis nežinomasis išreiškiamas iš paskutinės transformuotos žingsnių sistemos lygties
per visus kitus nežinomuosius kurie vadinami . Laisvas Tada kintamoji išraiška
iš paskutinės sistemos lygties pakeičiama į priešpaskutinę lygtį ir iš jos išreiškiamas kintamasis
. Kintamieji apibrėžiami nuosekliai panašiu būdu
. Kintamieji , išreikšti laisvaisiais kintamaisiais, vadinami pagrindinis

(priklausomas). Rezultatas yra bendras tiesinių lygčių sistemos sprendimas. Rasti privatus sprendimas
sistemos, nemokama nežinoma
.

bendrame sprendime priskiriamos savavališkos reikšmės ir apskaičiuojamos kintamųjų reikšmės

.

Techniškai patogiau elementarioms transformacijoms atlikti ne pačias sistemų lygtis, o išplėstinę sistemos matricą
Gauso metodas yra universalus metodas, leidžiantis išspręsti ne tik kvadratines, bet ir stačiakampes sistemas, kuriose nežinomųjų skaičius
.

nelygu lygčių skaičiui
Šio metodo pranašumas taip pat yra tas, kad sprendimo procese mes vienu metu tikriname sistemos suderinamumą, nes, atsižvelgiant į išplėstinę matricą į laipsnišką formą, nesunku nustatyti matricos eiles
ir išplėstinė matrica ir kreiptis .

Kronecker-Capelli teorema Išspręskite sistemą Gauso metodu

Sprendimas. Lygčių skaičius
ir nežinomųjų skaičius
.

Sukurkime išplėstinę sistemos matricą, priskirdami koeficientus matricos dešinėje nemokamų narių skiltis .

Pateikiame matricą į trikampį vaizdą; Norėdami tai padaryti, mes gausime „0“ žemiau elementų, esančių pagrindinėje įstrižainėje, naudodami elementarias transformacijas.

Norėdami gauti „0“ antroje pirmojo stulpelio pozicijoje, padauginkite pirmąją eilutę iš (-1) ir pridėkite ją prie antrosios eilutės.

Šią transformaciją užrašome kaip skaičių (-1) prieš pirmąją eilutę ir pažymime ją rodykle, einančia iš pirmosios eilutės į antrąją eilutę.

Norėdami gauti "0" trečioje pirmojo stulpelio pozicijoje, padauginkite pirmąją eilutę iš (-3) ir pridėkite prie trečios eilutės; Parodykime šį veiksmą naudodami rodyklę, einanti iš pirmos eilutės į trečią.

.

Gautoje matricoje, įrašytoje antroje matricų grandinėje, gauname „0“ antrame stulpelyje trečioje pozicijoje. Norėdami tai padaryti, antrą eilutę padauginome iš (-4) ir pridėjome prie trečiosios. Gautoje matricoje antrą eilutę padauginkite iš (-1), o trečiąją padalinkite iš (-8). Visi šios matricos elementai, esantys žemiau įstrižainių, yra nuliai.

Nes , sistema yra bendradarbiaujanti ir apibrėžta.

Paskutinę matricą atitinkanti lygčių sistema turi trikampę formą:

Iš paskutinės (trečios) lygties
. Pakeiskite antrąją lygtį ir gaukite
.

Pakeiskime
Ir
į pirmąją lygtį, randame


.

1. Tiesinių algebrinių lygčių sistema

1.1 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos samprata

Lygčių sistema yra sąlyga, susidedanti iš kelių lygčių vienu metu vykdymo kelių kintamųjų atžvilgiu. Tiesinių algebrinių lygčių sistema (toliau – SLAE), turinti m lygčių ir n nežinomųjų, vadinama tokios formos sistema:

kur skaičiai a ij vadinami sistemos koeficientais, skaičiai b i vadinami laisvaisiais terminais, a ij Ir b i(i=1,…, m; b=1,…, n) reiškia kai kuriuos žinomus skaičius ir x 1,…, x n– nežinomas. Koeficientų žymėjime a ij pirmasis indeksas i reiškia lygties skaičių, o antrasis j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas. Reikia rasti skaičius x n. Tokią sistemą patogu parašyti kompaktiška matrica: AX = B.Čia A yra sistemos koeficientų matrica, vadinama pagrindine matrica;

Apibrėžiama matricų A*X sandauga, nes matricoje A yra tiek stulpelių, kiek X matricoje eilučių (n vienetų).

Išplėstinė sistemos matrica yra sistemos matrica A, papildyta laisvųjų terminų stulpeliu

1.2 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas

Lygčių sistemos sprendimas yra sutvarkytas skaičių (kintamųjų reikšmių) rinkinys, kai juos pakeičiant vietoj kintamųjų, kiekviena sistemos lygtis virsta tikra lygybe.

Sistemos sprendimas yra n reikšmių nežinomųjų x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, kurias pakeitus visos sistemos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis. Bet koks sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip stulpelių matrica

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei ji turi bent vieną sprendinį, ir nenuoseklia, jei ji neturi sprendinio.

Sakoma, kad nuosekli sistema yra apibrėžta, jei ji turi vieną sprendimą, ir neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą. Pastaruoju atveju kiekvienas jo sprendimas vadinamas konkrečiu sistemos sprendimu. Visų konkrečių sprendimų rinkinys vadinamas bendruoju sprendimu.

Išspręsti sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji suderinama, ar nenuosekli. Jei sistema nuosekli, raskite jos bendrą sprendimą.

Dvi sistemos vadinamos lygiavertėmis (ekvivalentinėmis), jei jų bendrasis sprendimas yra toks pat. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas, ir atvirkščiai.

Transformacija, kurią taikant sistema paverčiama nauja sistema, lygiaverte pradinei, vadinama ekvivalentine arba lygiaverte transformacija. Lygiaverčių transformacijų pavyzdžiai apima šias transformacijas: dviejų sistemos lygčių sukeitimas, dviejų nežinomųjų sukeitimas kartu su visų lygčių koeficientais, abiejų bet kurios sistemos lygties pusių padauginimas iš nulinio skaičiaus.

Tiesinių lygčių sistema vadinama vienalyte, jei visi laisvieji nariai lygūs nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes x1=x2=x3=…=xn=0 yra sistemos sprendimas. Šis sprendimas vadinamas nuliniu arba trivialiu.

2. Gauso eliminacijos metodas

2.1 Gauso eliminacijos metodo esmė

Klasikinis tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo metodas yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Gauso metodas(jis dar vadinamas Gauso eliminacijos metodu). Tai kintamųjų nuoseklaus eliminavimo būdas, kai naudojant elementariąsias transformacijas lygčių sistema redukuojama į lygiavertę laipsniškos (arba trikampės) formos sistemą, iš kurios visi kiti kintamieji randami paeiliui, pradedant nuo paskutinio (pagal skaičius) kintamieji.

Sprendimo procesas naudojant Gauso metodą susideda iš dviejų etapų: judesių pirmyn ir atgal.

1. Tiesioginis smūgis.

Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariais transformavimais per eilutes sistema įvedama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nesuderinama. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirinkite ne nulį, perkelkite jį į aukščiausią padėtį pertvarkydami eilutes ir gautą pirmąją eilutę atimkite iš likusių eilučių po pertvarkymo, padaugindami ją iš reikšmės. lygus kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmosios eilutės pirmojo elemento santykiui, taigi po juo esantis stulpelis nulinis.

Atlikus nurodytas transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis mintyse perbraukiamos ir tęsiamos tol, kol lieka nulinio dydžio matrica. Jei bet kurioje iteracijoje tarp pirmojo stulpelio elementų nėra nulinio elemento, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

Pirmajame etape (tiesioginis smūgis) sistema sumažinama į laiptuotą (ypač trikampę).

Žemiau pateikta sistema turi laipsnišką formą:

Koeficientai aii vadinami pagrindiniais (pirmaujančiais) sistemos elementais.

Transformuokime sistemą pašalindami nežinomą x1 visose lygtyse, išskyrus pirmąją (naudojant elementariąsias sistemos transformacijas). Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš

Tęsdami šį procesą gauname lygiavertę sistemą:

Taigi, pirmame žingsnyje, visi koeficientai, esantys po pirmuoju pagrindiniu elementu a 11, yra sunaikinti

Jeigu redukuojant sistemą į pakopinę formą atsiranda nulinės lygtys, t.y. lygybės 0=0 formos, jos atmetamos. Jeigu atsiranda formos lygtis

Čia ir baigiasi tiesioginė Gauso metodo progresija.

2. Atbulinė eiga.

Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sukurti pagrindinę sprendimų sistemą arba, jei visi kintamieji yra pagrindiniai. , tada skaitiniu būdu išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendimą.

Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (joje yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis, ir taip toliau, einant „pakopomis“.

Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Pastaba: praktikoje patogiau dirbti ne su sistema, o su jos išplėstine matrica, atliekant visas elementarias transformacijas jos eilutėse. Patogu, kad koeficientas a11 būtų lygus 1 (pertvarkykite lygtis arba padalykite abi lygties puses iš a11).

2.2 SLAE sprendimo Gauso metodu pavyzdžiai

Šiame skyriuje, naudodami tris skirtingus pavyzdžius, parodysime, kaip Gauso metodas gali išspręsti SLAE.

1 pavyzdys. Išspręskite 3 eilės SLAE.

Iš naujo nustatykime koeficientus ties

Mes ir toliau svarstome tiesinių lygčių sistemas. Ši pamoka yra trečioji šia tema. Jei turite miglotą supratimą apie tai, kas apskritai yra tiesinių lygčių sistema, jei jaučiatės kaip arbatinukas, rekomenduoju pradėti nuo pagrindų puslapyje Kitas, naudinga studijuoti pamoką.

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Žymusis vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas per savo gyvenimą buvo pripažintas didžiausiu visų laikų matematiku, genijus ir netgi pravardžiuojamas „matematikos karaliumi“. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, pinigus gauna ne tik siurbtukai, bet ir genijai – Gauso portretas buvo ant 10 Vokietijos markių banknoto (prieš euro įvedimą), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įsisavinti PAKAKAN PENKTOS KLASĖS MOKINIO ŽINIŲ. Jūs turite žinoti, kaip pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų išskyrimo metodą mokykliniuose matematikos pasirenkamuosiuose dalykuose. Paradoksas, bet studentams Gauso metodas yra sunkiausias. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o apie metodo algoritmą pabandysiu pakalbėti prieinama forma.

Pirma, susisteminkime šiek tiek žinių apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą. 2) Turėkite be galo daug sprendimų. 3) Neturi sprendimų (būti ne sąnarių).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Ir nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas Šiaip ar taip nuves mus prie atsakymo! Šioje pamokoje dar kartą apžvelgsime Gauso metodą atvejui Nr. 1 (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas punktų Nr. 2-3 situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą? ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – užsirašyti išplėstinė sistemos matrica: . Manau, kiekvienas mato, kokiu principu rašomi koeficientai. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tiesiog perbraukta, kad būtų lengviau kurti.

Nuoroda : Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica – tai ta pati sistemos matrica ir laisvųjų terminų stulpelis, šiuo atveju: . Trumpumui bet kurią matricą galima tiesiog pavadinti matrica.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Egzistuoja šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos Gali pertvarkyti kai kuriose vietose. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite neskausmingai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba atsirado) proporcingų (ypatingu atveju - identiškų) eilučių, turėtumėte Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsiranda nulinė eilutė, tai taip pat turėtų būti Ištrinti. Aš, žinoma, nebraižysiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje visi nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti)į bet kurį skaičių ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš –3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas labai naudingas, nes supaprastina tolimesnes matricos transformacijas.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Pažvelkime į mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio: . Pirmiausia labai išsamiai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš –2: , Ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –2: . Dabar pirmąją eilutę galima padalyti „atgal“ iš –2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Visada pasikeičia eilutė, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie to nerašo taip išsamiai, bet parašo trumpai: Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Paprastai eilutė padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protinio skaičiavimo procesas vyksta maždaug taip:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

„Pirmoji kolona. Apačioje man reikia gauti nulį. Todėl viršuje esantį padauginu iš –2: , o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (–2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra kolona. Viršuje aš padauginu -1 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Ir trečia kolona. Viršuje padauginu -5 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: –7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome atidžiai suprasti šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai jūsų kišenėje. Bet, žinoma, mes vis tiek dirbsime ties šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negali naudoti, jei jums bus pasiūlyta užduotis, kai matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su „klasika“ operacijos su matricomis Jokiu būdu neturėtumėte nieko pertvarkyti matricų viduje! Grįžkime prie mūsų sistemos. Jis praktiškai suardomas į gabalus.

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš –2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – sumažinti matricą į laipsnišką formą: . Kurdami užduotį, jie tiesiog pažymi "laiptus" paprastu pieštuku, taip pat apibraukite skaičius, esančius ant "laiptų". Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis mokslinėje ir mokomojoje literatūroje trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Dėl elementarių transformacijų mes gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „išvynioti“ priešinga kryptimi - iš apačios į viršų, šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą: .

Panagrinėkime pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskime ja jau žinomą „y“ reikšmę:

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai Gauso metodu reikia išspręsti trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo metu: Ir kartoju, mūsų tikslas yra perkelti matricą į laipsnišką formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių: Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks –1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Mes gauname nulius naudodami „sudėtingą“ transformaciją. Pirmiausia susiduriame su antrąja eilute (2, –1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –2: (–2, –4, 2, –18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš –2:

Rezultatą rašome antroje eilutėje:

Su trečiąja eilute elgiamės taip pat (3, 2, –5, –1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –3: (–3, –6, 3, –27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –3:

Rezultatą rašome trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įvedimo“ tvarka nuoseklus ir dažniausiai būna taip: iš pradžių perrašome pirmąją eilutę ir pamažu pučiame ant savęs - nuosekliai ir DĖMESINGAI:
O pačių skaičiavimų protinį procesą aš jau aptariau aukščiau.

Šiame pavyzdyje tai padaryti lengva, antrą eilutę padalijame iš –5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę padalijame iš –2, nes kuo mažesni skaičiai, tuo paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementarių transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –2:
Pabandykite patys išsiaiškinti šį veiksmą – mintyse padauginkite antrą eilutę iš –2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Dėl elementariųjų transformacijų buvo gauta lygiavertė tiesinių lygčių sistema: Saunus.

Dabar pradedamas naudoti atvirkštinis Gauso metodas. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . Žodžio „zet“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Igrek“ ir „zet“ yra žinomi, tai tik smulkmenos:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai lengva ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų sprendimo eiga gali nesutapti su mano sprendimo procesu, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti vieną. Bėda ta, kad pirmajame stulpelyje iš viso nėra vienetų, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš tai padariau: (1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš –1 ir pridėjome pirmą ir antrą eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje yra "minusas vienas", kuris mums tinka. Visi norintys gauti +1 gali atlikti papildomą judesį: pirmąją eilutę padauginkite iš –1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš –1, iš esmės tai yra dėl grožio. Trečiosios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir ji perkelta į antrą vietą, kad antrame „žingsnyje“ būtų reikalingas vienetas.

(4) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 2.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į , žemiau ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galime teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Mes apmokestiname atvirkščiai, kurdami pavyzdžius jie dažnai neperrašo pačios sistemos, o lygtys yra „paimtos tiesiai iš pateiktos matricos“. Atvirkštinis potėpis, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano sprendimo.

Paskutinėje dalyje apžvelgsime kai kurias Gauso algoritmo ypatybes. Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie tai jau kalbėjau klasėje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius: Beje, tai gana lengvas pavyzdys, nes pirmame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose „žingsniuose“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar ten gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Viršutiniame kairiajame „žingsnyje“ turime du. Bet mes pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be liekanos - o kitas yra du ir šeši. Ir du viršuje kairėje mums tiks! Pirmame žingsnyje reikia atlikti tokias transformacijas: į antrą eilutę pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Taip pirmajame stulpelyje gausime reikiamus nulius.

Arba kitas įprastas pavyzdys: . Čia mums tinka ir trys antrojo „žingsnio“, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: į trečią eilutę pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš –4, todėl bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas naudodami kitus metodus (Cramerio metodas, matricos metodas) tiesiogine prasme pirmą kartą - jie turi labai griežtą algoritmą. Tačiau norint jaustis užtikrintai Gauso metodu, reikėtų „susikalti“ ir išspręsti bent 5–10 dešimties sistemų. Todėl iš pradžių skaičiavimuose gali kilti painiavos ir klaidų, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Už lango lietingas rudeniškas oras.... Todėl visiems, kas nori sudėtingesnio pavyzdžio patiems išspręsti:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite 4 tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, kad net arbatinukas, nuodugniai išstudijavęs šį puslapį, intuityviai supras tokios sistemos sprendimo algoritmą. Iš esmės viskas yra taip pat – tik veiksmų yra daugiau.

Pamokoje aptariami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perkelkime ją į laipsnišką formą.
Atliktos elementarios transformacijos: (1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1. Dėmesio! Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės. Labai rekomenduoju jos neatimti – klaidos rizika labai padidėja. Tiesiog sulenkite! (2) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. pastaba , kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir –1, o tai dar patogiau. (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 5. (4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkščiai:

Atsakymas : .

4 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos: (1) Prie pirmosios eilutės buvo pridėta antra eilutė. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“. (2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

Su antruoju "žingsniu" viskas blogėja , „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba –1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1. (4) Trečia eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –3. Antrame žingsnyje reikalinga prekė gauta . (5) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 6. (6) Antroji eilutė padauginta iš –1, trečioji – iš –83.

Atvirkščiai:

Atsakymas :

5 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos: (1) Pirmoji ir antroji eilutės buvo pakeistos. (2) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –3. (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 4. Antroji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –1. (4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta į trečiąją eilutę. (5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –5.

Atvirkščiai:

Atsakymas :

Gauso metodas Puikiai tinka tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemoms spręsti. Jis turi daug privalumų, palyginti su kitais metodais:

• pirma, nebūtina iš pradžių nagrinėti lygčių sistemos nuoseklumui;
• antra, Gauso metodu galima išspręsti ne tik SLAE, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o pagrindinė sistemos matrica yra ne vienaskaita, bet ir lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičius arba pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui;
• trečia, Gauso metodas leidžia gauti rezultatus su palyginti nedideliu skaičiavimo operacijų skaičiumi.

Trumpa straipsnio apžvalga.

Pirmiausia pateikiame reikiamus apibrėžimus ir įvedame žymėjimus.

Toliau aprašysime Gauso metodo algoritmą paprasčiausiu atveju, tai yra tiesinių algebrinių lygčių sistemoms lygčių skaičius, kuriose sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi ir pagrindinės sistemos matricos determinantas yra nelygu nuliui. Sprendžiant tokias lygčių sistemas, aiškiausiai matoma Gauso metodo esmė – nežinomų kintamųjų nuoseklus eliminavimas. Todėl Gauso metodas dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu. Parodysime išsamius kelių pavyzdžių sprendimus.

Apibendrinant, mes apsvarstysime tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba vienaskaita, sprendimą Gauso metodu. Tokių sistemų sprendimas turi tam tikrų ypatybių, kurias mes išsamiai išnagrinėsime naudodami pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimai.

Apsvarstykite p tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų (p gali būti lygi n):

Kur yra nežinomi kintamieji, skaičiai (tikrieji arba kompleksiniai) ir laisvieji terminai.

Jeigu , tada vadinama tiesinių algebrinių lygčių sistema vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Nežinomų kintamųjų, kuriems visos sistemos lygtys tampa tapatybėmis, reikšmių rinkinys vadinamas SLAU sprendimą.

Jei tiesinių algebrinių lygčių sistemoje yra bent vienas sprendinys, tada ji vadinama Bendras, kitaip - ne sąnarių.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras. Jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada sistema iškviečiama neapibrėžtas.

Jie sako, kad sistema yra įrašyta koordinačių forma, jei ji turi formą
.

Ši sistema yra matricos formaįrašai turi formą , kur - pagrindinė SLAE matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelio matrica, - laisvųjų terminų matrica.

Jei prie matricos A kaip (n+1) stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricą-stulpelį, gausime vadinamąjį. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai išplėstinė matrica žymima raide T, o laisvųjų terminų stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusių stulpelių, ty

Kvadratinė matrica A vadinama išsigimęs, jei jo determinantas yra nulis. Jei , vadinasi matrica A neišsigimęs.

Reikėtų atkreipti dėmesį į šį punktą.

Jei atliksite šiuos veiksmus su tiesinių algebrinių lygčių sistema

• sukeisti dvi lygtis,
• padauginkite abi bet kurios lygties puses iš savavališko ir nenulinio tikrojo (arba kompleksinio) skaičiaus k,
• prie abiejų bet kurios lygties pusių pridėkite atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš savavališko skaičiaus k,

tada gausite lygiavertę sistemą, kuri turi tuos pačius sprendimus (arba, kaip ir originalioji, neturi sprendimų).

Išplėstinei tiesinių algebrinių lygčių sistemos matricai šie veiksmai reikš elementariųjų transformacijų atlikimą su eilutėmis:

• sukeisti dvi eilutes,
• padauginus visus bet kurios matricos T eilutės elementus iš nulinio skaičiaus k,
• prie bet kurios matricos eilutės elementų pridėjus atitinkamus kitos eilutės elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k.

Dabar galime pereiti prie Gauso metodo aprašymo.

Gauso metodu sprendžiamos tiesinių algebrinių lygčių sistemos, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra nevienskaita.

Ką darytume mokykloje, jei gautume užduotį rasti lygčių sistemos sprendimą? .

Kai kurie tai padarytų.

Atkreipkite dėmesį, kad pridėję kairę pirmosios pusės prie kairiosios antrosios lygties pusės, o dešinę - prie dešinės pusės, galite atsikratyti nežinomų kintamųjų x 2 ir x 3 ir iš karto rasti x 1:

Rastą reikšmę x 1 =1 pakeičiame į pirmąją ir trečiąją sistemos lygtis:

Jei abi trečiosios sistemos lygties puses padauginsime iš -1 ir pridėsime jas prie atitinkamų pirmosios lygties dalių, atsikratysime nežinomo kintamojo x 3 ir galime rasti x 2:

Gautą reikšmę x 2 = 2 pakeičiame trečiąja lygtimi ir randame likusį nežinomą kintamąjį x 3:

Kiti būtų pasielgę kitaip.

Išspręskime pirmąją sistemos lygtį nežinomo kintamojo x 1 atžvilgiu ir gautą išraišką pakeisime antrąja ir trečiąja sistemos lygtimis, kad šis kintamasis iš jų neįtrauktų:

Dabar išspręskime antrąją x 2 sistemos lygtį ir gautą rezultatą pakeiskime trečiąja lygtimi, kad pašalintume iš jos nežinomą kintamąjį x 2:

Iš trečiosios sistemos lygties aišku, kad x 3 =3. Iš antrosios lygties randame , o iš pirmosios lygties gauname .

Pažįstami sprendimai, tiesa?

Įdomiausia yra tai, kad antrasis sprendimo metodas iš esmės yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas, tai yra Gauso metodas. Kai išreiškėme nežinomus kintamuosius (pirmasis x 1, kitame etape x 2) ir pakeitėme juos į likusias sistemos lygtis, tokiu būdu juos išskyrėme. Atlikome eliminavimą, kol paskutinėje lygtyje liko tik vienas nežinomas kintamasis. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo procesas vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Atlikę judėjimą pirmyn, turime galimybę apskaičiuoti nežinomą kintamąjį, rastą paskutinėje lygtyje. Jos pagalba randame kitą nežinomą kintamąjį iš priešpaskutinės lygties ir pan. Vadinamas procesas, kai nuosekliai surandami nežinomi kintamieji pereinant nuo paskutinės lygties prie pirmosios atvirkštinis Gauso metodas.

Reikėtų pažymėti, kad kai išreiškiame x 1 kaip x 2 ir x 3 pirmoje lygtyje, o gautą išraišką pakeičiame į antrąją ir trečiąją lygtis, tokie veiksmai duoda tą patį rezultatą:

Iš tiesų, tokia procedūra taip pat leidžia pašalinti nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Nežinomų kintamųjų pašalinimo naudojant Gauso metodą niuansai atsiranda tada, kai sistemos lygtyse nėra kai kurių kintamųjų.

Pavyzdžiui, SLAU pirmoje lygtyje nėra nežinomo kintamojo x 1 (kitaip tariant, prieš jį esantis koeficientas lygus nuliui). Todėl negalime išspręsti pirmosios x 1 sistemos lygties, kad pašalintume šį nežinomą kintamąjį iš likusių lygčių. Išeitis iš šios situacijos yra sukeisti sistemos lygtis. Kadangi nagrinėjame tiesinių lygčių sistemas, kurių pagrindinių matricų determinantai skiriasi nuo nulio, visada yra lygtis, kurioje yra reikalingas kintamasis, ir mes galime pertvarkyti šią lygtį į mums reikalingą padėtį. Mūsų pavyzdyje pakanka sukeisti pirmąją ir antrąją sistemos lygtis , tada galite išspręsti pirmąją x 1 lygtį ir neįtraukti ją iš likusių sistemos lygčių (nors antrojoje lygtyje x 1 nebėra).

Tikimės, kad supratote esmę.

Aprašykime Gauso metodo algoritmas.

Tarkime, kad turime išspręsti n tiesinių algebrinių lygčių sistemą su n nežinomų formos kintamųjų , ir tegul jo pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Pašalinkime nežinomą kintamąjį x 1 iš visų sistemos lygčių, pradėdami nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir .

Mes būtume gavę tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje būtume išreiškę x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeitę visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su dalimi gautos sistemos, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , prie ketvirtosios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Tada pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, o panašiai elgiamės su paveikslėlyje pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginį Gauso metodo progresą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinį Gauso metodą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudodamiesi gauta x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir tt randame x 1 iš pirmosios lygties .

Pažvelkime į algoritmą naudodami pavyzdį.

Pavyzdys.

Gauso metodas.

Sprendimas.

Koeficientas a 11 skiriasi nuo nulio, todėl pereikime prie tiesioginės Gauso metodo progresijos, tai yra, neįtraukdami nežinomo kintamojo x 1 iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, į kairę ir dešinę antrosios, trečiosios ir ketvirtosios lygčių puses pridėkite pirmosios lygties kairę ir dešinę puses, atitinkamai padaugintas iš . Ir:

Nežinomas kintamasis x 1 buvo pašalintas, pereikime prie x 2 pašalinimo. Prie trečiosios ir ketvirtosios sistemos lygčių kairės ir dešinės pusės pridedame kairę ir dešinę antrosios lygties puses, padaugintą atitinkamai iš Ir :

Norėdami užbaigti Gauso metodo progresavimą, turime pašalinti nežinomą kintamąjį x 3 iš paskutinės sistemos lygties. Prie ketvirtosios lygties kairiosios ir dešiniosios pusės pridėkime atitinkamai trečiosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš :

Galite pradėti atvirkštinį Gauso metodą.

Iš paskutinės mūsų turimos lygties ,
iš trečiosios lygties gauname,
nuo antrojo,
nuo pirmos.

Norėdami patikrinti, gautas nežinomų kintamųjų reikšmes galite pakeisti pradine lygčių sistema. Visos lygtys virsta tapatybėmis, o tai rodo, kad sprendimas Gauso metodu buvo rastas teisingai.

Atsakymas:

Dabar pateikime sprendimą to paties pavyzdžio naudojant Gauso metodą matricos žymėjime.

Pavyzdys.

Raskite lygčių sistemos sprendimą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išplėstinė sistemos matrica turi formą . Kiekvieno stulpelio viršuje yra nežinomi kintamieji, atitinkantys matricos elementus.

Tiesioginis Gauso metodo požiūris čia apima išplėstinės sistemos matricos sumažinimą iki trapecijos formos, naudojant elementariąsias transformacijas. Šis procesas panašus į nežinomų kintamųjų pašalinimą, kurį atlikome su sistema koordinačių forma. Dabar tai pamatysite.

Transformuokime matricą taip, kad visi pirmojo stulpelio elementai, pradedant nuo antrojo, taptų nuliais. Norėdami tai padaryti, prie antrosios, trečiosios ir ketvirtosios eilučių elementų pridedame atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš , ir atitinkamai:

Toliau gautą matricą transformuojame taip, kad antrajame stulpelyje visi elementai, pradedant nuo trečiojo, taptų nuliais. Tai atitiktų nežinomo kintamojo x 2 pašalinimą. Norėdami tai padaryti, prie trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridedame atitinkamus pirmosios matricos eilutės elementus, padaugintus iš atitinkamai Ir :

Belieka iš paskutinės sistemos lygties neįtraukti nežinomo kintamojo x 3. Norėdami tai padaryti, prie gautos matricos paskutinės eilutės elementų pridedame atitinkamus priešpaskutinės eilutės elementus, padaugintus iš :

Reikia pažymėti, kad ši matrica atitinka tiesinių lygčių sistemą

kuris buvo gautas anksčiau po ėjimo į priekį.

Atėjo laikas pasukti atgal. Matricos žymėjime atvirkštinis Gauso metodo metodas apima gautos matricos transformavimą taip, kad matrica pažymėta paveiksle

tapo įstrižai, tai yra įgavo formą

kur yra keletas skaičių.

Šios transformacijos yra panašios į Gauso metodo tiesiogines transformacijas, tačiau atliekamos ne nuo pirmos eilutės iki paskutinės, o iš paskutinės į pirmą.

Prie trečios, antros ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus paskutinės eilutės elementus, padaugintus iš , vėl ir vėl atitinkamai:

Dabar prie antrosios ir pirmosios eilučių elementų pridėkime atitinkamus trečiosios eilutės elementus, padaugintus atitinkamai iš ir iš:

Paskutiniame atvirkštinio Gauso metodo žingsnyje prie pirmosios eilutės elementų pridedame atitinkamus antrosios eilutės elementus, padaugintus iš:

Gauta matrica atitinka lygčių sistemą , iš kur randame nežinomus kintamuosius.

Atsakymas:

PASTABA.

Naudojant Gauso metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, reikėtų vengti apytikslių skaičiavimų, nes tai gali lemti visiškai neteisingus rezultatus. Rekomenduojame neapvalinti po kablelio. Geriau nuo dešimtainių trupmenų pereiti prie paprastųjų trupmenų.

Pavyzdys.

Gauso metodu išspręskite trijų lygčių sistemą .

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje nežinomi kintamieji turi skirtingą pavadinimą (ne x 1, x 2, x 3, o x, y, z). Pereikime prie paprastųjų trupmenų:

Išskirkime nežinomą x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Gautoje sistemoje nežinomo kintamojo y antrojoje lygtyje nėra, o y yra trečioje lygtyje, todėl sukeiskime antrąją ir trečiąją lygtis:

Tai užbaigia tiesioginį Gauso metodo progresavimą (nereikia išskirti y iš trečiosios lygties, nes šio nežinomo kintamojo nebėra).

Pradėkime atvirkštinį judėjimą.

Iš paskutinės lygties randame ,
iš priešpaskutinės


iš pirmosios mūsų turimos lygties

Atsakymas:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra vienaskaita, sprendimas Gauso metodu.

Lygčių sistemos, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba kvadratinė vienaskaita, gali neturėti sprendinių, gali turėti vieną sprendinį arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių.

Dabar suprasime, kaip Gauso metodas leidžia nustatyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ar nenuoseklumą, o jos suderinamumo atveju nustatyti visus sprendinius (arba vieną vienintelį sprendimą).

Iš esmės nežinomų kintamųjų pašalinimo procesas tokių SLAE atveju išlieka toks pat. Tačiau verta išsamiai išnagrinėti kai kurias situacijas, kurios gali kilti.

Pereikime prie svarbiausio etapo.

Taigi, darykime prielaidą, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema, atlikus Gauso metodo progresavimą į priekį, įgauna formą ir nebuvo redukuota nei viena lygtis (tokiu atveju darytume išvadą, kad sistema nesuderinama). Kyla logiškas klausimas: „Ką daryti toliau“?

Užrašykime nežinomus kintamuosius, kurie yra pirmieji visose gautos sistemos lygtyse:

Mūsų pavyzdyje tai yra x 1, x 4 ir x 5. Kairiosiose sistemos lygčių pusėse paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra įrašyti nežinomi kintamieji x 1, x 4 ir x 5, likusieji nariai perkeliami į dešinę lygčių pusę su priešingu ženklu:

Nežinomiems kintamiesiems, esantiems dešiniosiose lygčių pusėse, suteikime savavališkas reikšmes, kur - savavališki skaičiai:

Po to visų mūsų SLAE lygčių dešiniosiose pusėse yra skaičiai ir galime pereiti prie Gauso metodo atvirkštinės pusės.

Iš paskutinės mūsų turimos sistemos lygties, iš priešpaskutinės lygties, kurią randame, iš pirmosios lygties gauname

Lygčių sistemos sprendimas yra nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys

Suteikti skaičius skirtingos reikšmės, gausime skirtingus lygčių sistemos sprendinius. Tai yra, mūsų lygčių sistemoje yra be galo daug sprendinių.

Atsakymas:

Kur - savavališki skaičiai.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išsamiai išanalizuosime dar kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Išspręskite vienarūšę tiesinių algebrinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, kairėje ir dešinėje antrosios lygties pusėse atitinkamai pridedame pirmosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš , o į kairę ir dešinę trečiosios lygties puses pridedame kairę ir dešinę pirmosios lygties dešinės pusės, padaugintos iš:

Dabar išskirkime y iš gautos lygčių sistemos trečiosios lygties:

Gautas SLAE yra lygiavertis sistemai .

Kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra nežinomi kintamieji x ir y, o terminus su nežinomu kintamuoju z perkeliame į dešinę: