Labai dažnai trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra algebrinės išraiškos, kurios pirmiausia turi būti suskaičiuotos, o paskui, radusios identiškas, iš jų padalykite skaitiklį ir vardiklį, tai yra, sumažinkite trupmeną. Visas 7 klasės algebros vadovėlio skyrius skirtas daugianario faktoringo užduočiai. Galima atlikti faktorizavimą 3 būdai, taip pat šių metodų derinys.
1. Sutrumpintų daugybos formulių taikymas
Kaip žinoma, į padauginkite daugianarį iš daugianario, reikia padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario ir pridėti gautus sandaugus. Į sąvoką įtraukiami bent 7 (septyni) dažnai pasitaikantys daugianario dauginimo atvejai. Pavyzdžiui,
1 lentelė. Faktorizavimas 1-uoju būdu
2. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų
Šis metodas pagrįstas skirstomojo daugybos dėsnio taikymu. Pavyzdžiui,
Kiekvieną pradinės išraiškos narį padalijame iš koeficiento, kurį išimame, ir gauname išraišką skliausteliuose (tai yra, padalijus tai, kas buvo iš to, ką pašalinome, lieka skliausteliuose). Pirmiausia jums reikia teisingai nustatyti daugiklį, kurį reikia išimti iš laikiklio.
Bendras veiksnys taip pat gali būti daugianario skliausteliuose:
Atliekant „faktorizavimo“ užduotį, turite būti ypač atsargūs su ženklais, kai bendras koeficientas yra skliausteliuose. Norėdami pakeisti kiekvieno termino ženklą skliausteliuose (b – a), išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų -1 , ir kiekvienas terminas skliausteliuose bus padalintas iš -1: (b - a) = - (a - b) .
Jei išraiška skliausteliuose yra kvadratinė (arba bet kokia lyginė laipsnė), tada skaičiai skliausteliuose gali būti keičiami visiškai laisvai, nes iš skliaustų ištraukti minusai padauginus vis tiek virs pliusu: (b – a) 2 = (a – b) 2, (b – a) 4 = (a – b) 4 ir taip toliau…
3. Grupavimo metodas
Kartais ne visi išraiškos terminai turi bendrą veiksnį, o tik kai kurie. Tada galite pabandyti grupės terminai skliausteliuose, kad iš kiekvieno iš jų būtų galima išskirti kokį nors veiksnį. Grupavimo metodas- tai dvigubas bendrų veiksnių pašalinimas iš skliaustų.
4. Naudojant kelis metodus vienu metu
Kartais reikia naudoti ne vieną, o kelis daugianario faktoriaus metodus vienu metu.
Tai yra temos santrauka "Faktorizacija". Pasirinkite kitus veiksmus:
- Eikite į kitą santrauką:
Medžiagai konsoliduoti bus nagrinėjami keli pavyzdžiai ir nagrinėjama trupmenų skaidymo į paprasčiausias teorija. Išsamiai apsvarstysime neapibrėžtų koeficientų metodą ir dalinių reikšmių metodą, išnagrinėsime visas galimas kombinacijas.
Paprastosios trupmenos vadinamos elementariosiomis trupmenomis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Skiriamos trupmenos:
- A x - a ;
- A(x - a)n;
- Mx+Nx2+px+q;
- M x + N (x 2 + p x + q) n .
Iš kurių A, M, N, a, p, q yra skaičiai, o 3 ir 4 trupmenų diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai yra, išraiška neturi šaknų.
Supaprastinus išraišką, skaičiavimo funkcijos atliekamos greičiau. Racionaliosios trupmenos, kaip paprastųjų trupmenų sumos, vaizdavimas yra panašus. Norėdami tai padaryti, Laurent serijos naudojamos norint išplėsti galios serijas arba rasti integralus.
Pavyzdžiui, jei reikia imti trupmeninės racionaliosios funkcijos integralą formos ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . Po to integrandą reikia išskaidyti į paprastas trupmenas. Visa tai veda prie paprastų integralų susidarymo. Mes tai gauname
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C
1 pavyzdys
Išskaidykite formos trupmeną - 2 x + 3 x 3 + x.
Sprendimas
Kai polinomo skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklyje esančio daugianario laipsnį, vyksta skaidymas į paprastas trupmenas. Priešingu atveju dalijimas naudojamas visai daliai izoliuoti, o po to trupmeninė-racionali funkcija išskaidoma.
Taikykime padalijimą pagal kampą. Mes tai gauname
Iš to išplaukia, kad trupmena įgis formą
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Tai reiškia, kad toks išplėtimas lems, kad rezultatas bus lygus - 2 x + 3 x 3 + x.
Neapibrėžtinių koeficientų metodo algoritmas
Norėdami tinkamai atlikti skaidymą, turite laikytis kelių punktų:
- Faktorizuoti. Galite naudoti skliaustus, sutrumpintas daugybos formules ir šaknies pasirinkimą. Esamas pavyzdys x 3 + x = x x 2 + 1 dėl paprastumo išimamas iš skliaustų.
- Trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas su neapibrėžtais koeficientais.
Pažvelkime į kelis pavyzdžius:
2 pavyzdys
Kai vardiklis turi formos (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) išraišką, faktorių skaičius neturi reikšmės, trupmeną galima pavaizduoti kaip pirmojo tipo trupmeną A x - a + B x - b + C x - c + D x - d, kur a, b, c ir d yra skaičiai, A, B, C ir D yra neapibrėžti koeficientai.
3 pavyzdys
Kai vardiklis turi išraišką (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3, faktorių skaičius taip pat neturi reikšmės, o pati trupmena turi būti sumažinta iki antrojo arba pirmojo formos tipo :
A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c
kur turimi a, b, c yra skaičiai, o A 1, A 2, B 1, B 2, B 3, B 4, C 1, C 2, C 3 yra neapibrėžti koeficientai. Koks yra daugianario laipsnis, toks yra ir mūsų turimų terminų skaičius.
4 pavyzdys
Kai vardiklio forma yra x 2 + p x + q x 2 + r x + s, tada kvadratinių funkcijų skaičius neturi reikšmės, o trupmena įgauna trečiojo tipo P x + Q x 2 + p x formą. + q + R x + S x 2 + r x + s, kur turimi p, q, r ir s yra skaičiai, o P, Q, R ir S yra tam tikri koeficientai.
5 pavyzdys
Kai vardiklis turi formą x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2, faktorių skaičius neturi reikšmės, taip pat jų laipsniai, trupmena vaizduojama trečiojo ir keturkampio formos pavidalu.
P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
kur turimi p, q, r ir s yra skaičiai, o P 1, P 2, P 3, P 4, R 1, R 2, S 1, S 2 yra neapibrėžti koeficientai.
6 pavyzdys
Kai yra formos (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 vardiklis, tada trupmena turi būti pavaizduota ketvirtojo tipo forma
A x - a + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s
Pažvelkime į trupmenų pavyzdį. Kai trupmena išplečiama į trečiojo tipo sumą, kurios forma 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1, kur A , B ir C yra neapibrėžti koeficientai .
Sumažinę gautą paprastųjų trupmenų sumą, esant neapibrėžtam koeficientui, iki bendro vardiklio, taikome grupavimo metodą toms pačioms x laipsnėms ir nustatome, kad
2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x ( x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)
Kai x skiriasi nuo 0, tada sprendimas prilygsta dviem polinomams. Gauname 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A. Polinomai laikomi lygiais, kai sutampa vienodų laipsnių koeficientai.
- Koeficientų sulyginimas su tokiomis pačiomis x laipsnėmis. Gauname, kad tiesinių lygčių sistema, esant tam tikriems koeficientams:
A + B = 0 C = 2 A = - 3 - Gautos sistemos sprendimas bet kuriuo metodu neapibrėžtiems koeficientams rasti: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
- Įrašome atsakymą:
2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1
Turi būti atliekami nuolatiniai patikrinimai. Tai prisideda prie to, kad redukcija į bendrą vardiklį įgauna formą
2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x
Neapibrėžtųjų koeficientų metodu laikomas trupmenos išskaidymo į kitas paprasčiausias būdas.
Dalinės vertės metodo naudojimas padeda pateikti linijinius veiksnius tokiu būdu:
x - a x - b x - c x - d .
7 pavyzdys
Išskaidykite trupmeną 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x.
Sprendimas
Pagal sąlygą turime, kad skaitiklio daugianario laipsnis yra mažesnis už vardiklio daugianario laipsnį, tada dalyti nereikia. Būtina pereiti prie faktorizavimo. Pirmiausia turite pašalinti x iš skliaustų. Mes tai gauname
x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)
Kvadratinis trinaris x 2 - 5 x + 6 turi šaknis, kurias randa ne diskriminantas, o Vietos teorema. Mes gauname:
x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2
Trinaris gali būti parašytas kaip x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .
Tada vardiklis pasikeis: x 2 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)
Turėdami tokį vardiklį, trupmeną išskaidome į paprastas trupmenas su neapibrėžtais koeficientais. Išraiška bus tokia:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2
Gautas rezultatas turi būti sumažintas iki bendro vardiklio. Tada gauname:
2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)
Supaprastinus gauname formos nelygybę
2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)
Dabar pereiname prie neapibrėžtų koeficientų paieškos. Gautas reikšmes reikia pakeisti lygybe taip, kad vardiklis būtų lygus nuliui, tai yra, reikšmės x = 0, x = 2 ir x = 3.
Jei x = 0, gauname:
2 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B 0 (0 - 2) + C 0 (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6
Jei x = 2, tada
2 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B 2 (2 - 2) + C 2 (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2
Jei x = 3, tada
2 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B 3 (3 - 2) + C 3 (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3
Atsakymas: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 1 x + 8 3 1 x - 3 + 1 2 1 x - 2
Koeficientų metodas ir dalinės vertės metodas skiriasi tik tuo, kaip jie suranda nežinomus. Šiuos metodus galima derinti norint greitai supaprastinti išraišką.
8 pavyzdys
Išskaidykite išraišką x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 į paprastas trupmenas.
Sprendimas
Pagal sąlygą turime, kad daugianario skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklį, o tai reiškia, kad lygtis įgis tokią formą
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3
Sumažiname iki bendro vardiklio. Mes tai turime
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3 ) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3
Sulyginkime skaitiklius ir gaukime tai
x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Iš to, kas parašyta aukščiau, aišku, kad vardiklio nuliai yra x = 1, x = - 1 ir x = 3. Tada taikome dalinių sprendinių metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskime x reikšmes. gauname, jei x=1:
5 = - 16 A ⇒ A = 5 16
Jei x = - 1
15 = 128 B ⇒ B = - 15 128
157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8
Iš to išplaukia, kad turime rasti C 1 ir C 3 reikšmes.
Todėl gautą reikšmę pakeičiame skaitikliu
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2
Atidarykime skliaustus, kad pateiktume panašius terminus su vienodomis galiomis. Prieikime prie formos išraiškos
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128
Būtina sulyginti atitinkamus koeficientus su tais pačiais laipsniais, tada galime rasti norimą C 1 ir C 3 reikšmę. Dabar turime išspręsti sistemą:
25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11
Pirmoji lygtis leidžia rasti C 1 = 103 128, o antroji C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 103 128 = 293 32.
Sprendimo rezultatas yra norimas frakcijos suskaidymas į paprasčiausią formą:
x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3
Pastaba
Jei neapibrėžtųjų koeficientų metodas būtų taikomas tiesiogiai, reikėtų išspręsti visas penkias tiesines lygtis, sujungtas į sistemą. Šis metodas supaprastina kintamųjų reikšmių paiešką ir tolesnį sprendimą suvestinėje. Kartais naudojami keli metodai. Tai būtina norint greitai supaprastinti visą išraišką ir rasti rezultatą.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Pradėkime nuo kai kurių apibrėžimų. N-ojo laipsnio (arba n-osios eilės) daugianomas bus $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0) išraiška )x ^(n)+a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ltaškai+a_(n-1)x+a_n$. Pavyzdžiui, išraiška $4x^(14)+87x^2+4x-11$ yra daugianaris, kurio laipsnis yra $14$. Jį galima žymėti taip: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Dviejų daugianario $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ santykis vadinamas racionali funkcija arba racionalioji trupmena. Tiksliau, tai yra racionali vieno kintamojo (ty kintamojo $x$) funkcija.
Racionalioji trupmena vadinama teisinga, jei $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется negerai.
1 pavyzdys
Nurodykite, kurios iš šių trupmenų yra racionalios. Jei trupmena yra racionali, išsiaiškinkite, ar ji teisinga, ar ne.
- $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
- $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
- $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
- $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.
1) Ši trupmena nėra racionali, nes joje yra $\sin x$. Racionali trupmena to neleidžia.
2) Turime dviejų daugianarių santykį: $5x^2+3x-8$ ir $11x^9+25x^2-4$. Todėl pagal apibrėžimą išraiška $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ yra racionali trupmena. Kadangi daugianario laipsnis skaitiklyje yra lygus $2$, o polinomo laipsnis vardiklyje yra lygus $9$, tai ši trupmena yra tinkama (nes $2< 9$).
3) Ir šios trupmenos skaitiklyje, ir vardiklyje yra daugianario (pakopinio koeficiento). Mums visiškai nesvarbu, kokia forma pateikiami skaitiklio ir vardiklio daugianariai: ar jie suskaidyti faktoriais, ar ne. Kadangi turime dviejų daugianarių santykį, tai pagal apibrėžimą išraiška $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ yra racionali trupmena.
Norint atsakyti į klausimą, ar duota trupmena yra tinkama, reikia nustatyti skaitiklio ir vardiklio daugianario laipsnius. Pradėkime nuo skaitiklio, t.y. iš išraiškos $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Norėdami nustatyti šio daugianario laipsnį, galite, žinoma, atidaryti skliaustus. Tačiau tikslinga tai padaryti daug paprasčiau, nes mus domina tik didžiausia kintamojo $x$ galia. Iš kiekvieno skliausto didžiausiu laipsniu pasirenkame kintamąjį $x$. Iš skliaustelio $(2x^3+8x+4)$ imame $x^3$, iš skliausto $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ imame $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$, o iš skliausto $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ pasirenkame $x^7$. Tada, atidarius skliaustus, didžiausia kintamojo $x$ galia bus tokia:
$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$
Skaitiklyje esančio daugianario laipsnis yra 46 USD. Dabar pereikime prie vardiklio, t.y. į išraišką $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Šio daugianario laipsnis nustatomas taip pat kaip ir skaitiklio, t.y.
$$ x\ctaškas (x^2)^(15)\ctaškas x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$
Vardiklyje yra 41 laipsnio daugianario. Kadangi daugianario laipsnis skaitiklyje (t. y. 46) yra ne mažesnis už vardiklyje esančio daugianario laipsnį (t. y. 41), tai racionalioji trupmena yra $\frac((2x^3+8x+4)(8x) ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ yra neteisingas.
4) Trupmenos $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ skaitiklyje yra skaičius $3$, t.y. nulinio laipsnio daugianario. Formaliai skaitiklis gali būti parašytas taip: $3x^0=3\cdot1=3$. Vardiklyje turime daugianarį, kurio laipsnis lygus $6\cdot 4=24$. Dviejų daugianario santykis yra racionalioji trupmena. Nuo 0 USD< 24$, то данная дробь является правильной.
Atsakymas: 1) trupmena nėra racionali; 2) racionalioji trupmena (tinkamoji); 3) racionalioji trupmena (netaisyklinga); 4) racionalioji trupmena (tikroji).
Dabar pereikime prie elementariųjų trupmenų sąvokos (jos dar vadinamos paprasčiausiomis racionaliosiomis trupmenomis). Yra keturi elementariųjų racionaliųjų trupmenų tipai:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Pastaba (pageidautina norint geriau suprasti tekstą): rodyti\slėpti
Kodėl reikalinga sąlyga $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Pavyzdžiui, išraiškai $x^2+5x+10$ gauname: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kadangi $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Beje, šiam patikrinimui visai nebūtina, kad koeficientas prieš $x^2$ būtų lygus 1. Pavyzdžiui, $5x^2+7x-3=0$ gauname: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 USD. Kadangi $D > 0$, išraišką $5x^2+7x-3$ galima koeficientuoti.
Užduotis tokia: duota teisinga vaizduoti racionaliąją trupmeną kaip elementariųjų racionaliųjų trupmenų sumą. Šiame puslapyje pateikta medžiaga skirta šios problemos sprendimui. Pirmiausia turite įsitikinti, kad įvykdyta ši sąlyga: tinkamos racionaliosios trupmenos vardiklyje esantis polinomas faktorinuojamas taip, kad šiame skilime būtų tik $(x-a)^n$ arba $(x^) formos skliausteliuose 2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Kiekvienas formos $(x-a)$ skliaustas, esantis vardiklyje, atitinka trupmeną $\frac(A)(x-a)$.
- Kiekvienas vardiklyje esančios formos $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) skliaustas atitinka $n$ trupmenų sumą: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ltaškai+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
- Kiekvienas formos $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q) skliaustas< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- Kiekvienas formos $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q) skliaustas< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Jei trupmena neteisinga, prieš taikydami aukščiau pateiktą schemą, turėtumėte ją padalinti į sveikosios dalies (polinomo) ir tinkamos racionaliosios trupmenos sumą. Toliau pažiūrėsime, kaip tiksliai tai daroma (žr. pavyzdį Nr. 2, 3 punktą). Keletas žodžių apie raidžių žymėjimą skaitikliuose (t. y. $A$, $A_1$, $C_2$ ir panašiai). Galite naudoti bet kokias raides pagal savo skonį. Tik svarbu, kad šios raidės būtų įvairių visose elementariosiose trupmenose. Norėdami rasti šių parametrų reikšmes, naudokite neapibrėžtų koeficientų metodą arba dalinių verčių pakeitimo metodą (žr. pavyzdžius Nr. 3, Nr. 4 ir Nr. 5).
2 pavyzdys
Duotas racionaliąsias trupmenas išskaidykite į elementarias (nerandant parametrų):
- $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
- $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
- $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.
1) Turime racionaliąją trupmeną. Šios trupmenos skaitiklyje yra 4 laipsnio daugianario, o vardiklyje yra daugianario, kurio laipsnis lygus $17$ (kaip nustatyti šį laipsnį, išsamiai paaiškinta 1 pavyzdžio 3 pastraipoje). Kadangi daugianario laipsnis skaitiklyje yra mažesnis už vardiklio daugianario laipsnį, ši trupmena yra tinkama. Pereikime prie šios trupmenos vardiklio. Pradėkime nuo skliaustų $(x-5)$ ir $(x+2)^4$, kurie visiškai patenka į $(x-a)^n$ formą. Be to, taip pat yra skliausteliuose $(x^2+3x+10)$ ir $(x^2+11)^5$. Išraiška $(x^2+3x+10)$ turi formą $(x^2+px+q)^n$, kur $p=3$; $q=10$, $n=1$. Kadangi $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$
Rezultatą galima parašyti taip:
$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$
Tada trupmeną $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ galima pavaizduoti kita forma:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$
Trupmena $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ yra tinkama racionalioji trupmena, nes daugianario laipsnis skaitiklyje (t.y. 2) yra mažesnis nei polinomo laipsnis vardiklyje (t.y. 3). Dabar pažvelkime į šios trupmenos vardiklį. Vardiklyje yra daugianomas, kurį reikia koeficientuoti. Kartais Hornerio schema praverčia faktorizuojant, tačiau mūsų atveju lengviau išsiversti naudojant standartinį „mokyklinį“ terminų grupavimo metodą:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x) -2)\cdot(x^2+4)) $$
Naudodami tuos pačius metodus, kaip ir ankstesnėse pastraipose, gauname:
$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$
Taigi, pagaliau turime:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$
Ši tema bus tęsiama antroje dalyje.
Jis pagrįstas jų pagrindine savybe: jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra padalinti iš to paties nenulinio daugianario, tada bus gauta lygi trupmena.
Galite tik sumažinti daugiklius!
Daugiavardžių nariai negali būti trumpinami!
Norint sumažinti algebrinę trupmeną, skaitiklio ir vardiklio daugianariai pirmiausia turi būti koeficientai.
Pažvelkime į trupmenų mažinimo pavyzdžius.
Trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra monomijų. Jie atstovauja dirbti(skaičiai, kintamieji ir jų galios), daugikliai galime sumažinti.
Skaičius sumažiname didžiausiu jų bendruoju dalikliu, ty didžiausiu skaičiumi, iš kurio padalytas kiekvienas iš šių skaičių. 24 ir 36 tai yra 12. Sumažinus iš 24 lieka 2, o iš 36 - 3.
Mes sumažiname laipsnius laipsniu su mažiausiu indeksu. Sumažinti trupmeną reiškia padalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties daliklio ir atimti rodiklius.
a² ir a⁷ sumažinami iki a². Šiuo atveju a² skaitiklyje lieka vienas (1 rašome tik tuo atveju, kai po redukavimo nebelieka kitų faktorių. Iš 24 lieka 2, todėl iš a² likęs 1 nerašome). Iš a⁷ po sumažinimo lieka a⁵.
b ir b redukuojami b; gaunami vienetai nerašomi.
c³º ir c⁵ sutrumpinami iki c⁵. Iš c³º tai, kas lieka, yra c²⁵, iš c⁵ yra vienas (mes to nerašome). Taigi,
Šios algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Negalite atšaukti daugianario terminų! (negalite sumažinti, pavyzdžiui, 8x² ir 2x!). Norėdami sumažinti šią dalį, jums reikia. Skaitiklis turi bendrą koeficientą 4x. Išimkime jį iš skliaustų:
Tiek skaitiklis, tiek vardiklis turi tą patį koeficientą (2x-3). Šiuo koeficientu sumažiname trupmeną. Skaitiklyje gavome 4x, vardiklyje - 1. Pagal 1 algebrinių trupmenų savybę trupmena lygi 4x.
Galite tik sumažinti veiksnius (negalite sumažinti šios dalies 25x²!). Todėl trupmenos skaitiklio ir vardiklio polinomai turi būti koeficientai.
Skaitiklis yra visas sumos kvadratas, vardiklis yra kvadratų skirtumas. Išskaidę naudojant sutrumpintas daugybos formules, gauname:
Sumažiname trupmeną (5x+1) (kad tai padarytumėte, skaitiklyje du išbraukite kaip eksponentą, palikdami (5x+1)² (5x+1)):
Skaitiklis turi bendrą koeficientą 2, išimkime jį iš skliaustų. Vardiklis yra kubelių skirtumo formulė:
Dėl išplėtimo skaitiklis ir vardiklis gavo tą patį koeficientą (9+3a+a²). Juo sumažiname trupmeną:
Dauginamas skaitiklyje susideda iš 4 narių. pirmąjį terminą su antruoju, trečiąjį su ketvirtuoju ir pašalinkite bendrą koeficientą x² iš pirmųjų skliaustų. Vardiklį išskaidome naudodami kubų sumos formulę:
Skaitiklyje išimkime bendrą koeficientą (x+2) iš skliaustų:
Sumažinkite trupmeną (x+2):
