Kvadratinio trinalio šaknų radimas. Kvadratinio trinalio šaknų vieta

Kvadratinis trinaris vadinamas trinario formos a*x 2 +b*x+c, kur a,b,c yra kai kurie savavališki realieji skaičiai, o x yra kintamasis. Be to, skaičius a neturėtų būti lygus nuliui.

Skaičiai a,b,c vadinami koeficientais. Skaičius a vadinamas pirmaujančiu koeficientu, skaičius b yra koeficientas x, o skaičius c vadinamas laisvuoju nariu.

Kvadratinio trinalio šaknis a*x 2 +b*x+c yra bet kokia kintamojo x reikšmė, kad kvadratinis trinaris a*x 2 +b*x+c išnyksta.

Norint rasti kvadratinio trinalio šaknis, reikia išspręsti a*x 2 +b*x+c=0 formos kvadratinę lygtį.

Kaip rasti kvadratinio trinalio šaknis

Norėdami tai išspręsti, galite naudoti vieną iš žinomų metodų.

• 1 būdas.

Kvadratinio trinalio šaknų radimas naudojant formulę.

1. Raskite diskriminanto reikšmę pagal formulę D =b 2 -4*a*c.

2. Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, apskaičiuokite šaknis pagal formules:

Jei D > 0, tada kvadratinis trinaris turi dvi šaknis.

x = -b±√D / 2*a

Jeigu D< 0, tada kvadratinis trinaris turi vieną šaknį.

Jei diskriminantas yra neigiamas, tai kvadratinis trinaris neturi šaknų.

• 2 būdas.

Kvadratinio trinalio šaknų radimas išskiriant tobulą kvadratą. Pažiūrėkime į pateikto kvadratinio trinalio pavyzdį. Sumažinta kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra lygus vienetui.

Raskime kvadratinio trinalio x 2 +2*x-3 šaknis. Tam išsprendžiame tokią kvadratinę lygtį: x 2 +2*x-3=0;

Transformuokime šią lygtį:

Kairėje lygties pusėje yra polinomas x 2 +2*x, norint jį pavaizduoti kaip sumos kvadratą, reikia, kad būtų dar vienas koeficientas, lygus 1. Sudėjus ir atėmus iš šios išraiškos 1, gauname :

(x 2 +2*x+1) -1 = 3

Kas gali būti pavaizduota skliausteliuose kaip dvinario kvadratas

Ši lygtis suskaidoma į du atvejus: x+1=2 arba x+1=-2.

Pirmuoju atveju gauname atsakymą x=1, o antruoju – x=-3.

Atsakymas: x=1, x=-3.

Dėl transformacijų kairėje pusėje turime gauti dvinario kvadratą, o dešinėje - tam tikrą skaičių. Dešinėje pusėje neturi būti kintamojo.

Pamokos tema: "Kvadratas trinaris ir jo šaknys."

Pamokos tikslas: supažindinti mokinius su kvadratinio trinalio samprata ir jo šaknimis, tobulinti įgūdžius sprendžiant dvinalio kvadrato išskyrimo nuo kvadratinio trinalio uždavinius.

Pamoka apima keturi pagrindiniai etapai:

Žinių kontrolė

Naujos medžiagos paaiškinimas

Reprodukcinis konsolidavimas.

Treniruotės pastiprinimas.

Atspindys.

1 etapas. Žinių kontrolė.

Mokytojas, remdamasis ankstesnio ciklo medžiaga, atlieka matematinį diktantą „kaip kopiją“. Diktantui naudojamos dviejų spalvų kortelės: mėlyna 1 variantui, raudona 2 variantams.

Iš pateiktų analitinių funkcijų modelių pasirinkite tik kvadratinius.

1 variantas. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

2 variantas. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Nubraižykite kvadratines funkcijas. Ar galima vienareikšmiškai nustatyti kvadratinės funkcijos padėtį koordinačių plokštumoje. Pabandykite pagrįsti savo atsakymą.

Išspręskite kvadratines lygtis.

1 variantas. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

2 variantas. a) x² -9x+20=0

B) x² -9 x =0

4. Neišsprendę lygties išsiaiškinkite, ar ji turi šaknis.

1 variantas. A) x² + x +12=0

2 variantas. A) x² + x - 12=0

Mokytojas patikrina atsakymus, gautus iš pirmųjų dviejų porų. Gauti neteisingi atsakymai aptariami su visa klase.

2 etapas. Sukurkime klasterį. Kokios asociacijos jums kyla nagrinėjant kvadratinį trinarį?

Klasterio kūrimas.

Galimi atsakymai:

kvadratinis trinaris naudojamas kvadratui laikyti. funkcijos;

galite rasti kvadrato nulius. funkcijas

Naudodami diskriminantinę reikšmę, įvertinkite šaknų skaičių.

Apibūdinkite realius procesus ir pan.

Naujos medžiagos paaiškinimas.

2 dalis.3 punktas 19-22 p.

Nagrinėjamos išraiškos, pateikiamas kvadratinio trinalio apibrėžimas ir daugianario šaknis (anksčiau aptartų išraiškų aptarimo metu)

Suformuluotas daugianario šaknies apibrėžimas.

Suformuluotas kvadratinio trinalio apibrėžimas.

Analizuojami trinalio sprendimo pavyzdžiai:

Raskite kvadratinio trinalio šaknis.

Išskirkime kvadratinį binomį nuo kvadratinio trinalio.

3x²-36x+140=0.

Sudaroma apytikslio veiksmo pagrindo schema.

Algoritmas, kaip atskirti dvinalį nuo kvadratinio trinalio.

1. Nustatykite pirmaujančio kvadrato koeficiento skaitinę reikšmę trinamis.

2. Atlikite identišką ir 2. Transformuokite išraišką,

ekvivalentinės transformacijos naudojant formules

(bendrąjį koeficientą išrašykite skliaustuose; sumos ir skirtumo kvadratą.

konvertuoti skliausteliuose esančią išraišką

sudarydami ją iki sumos kvadrato formulės

arba skirtumas)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a–c)²

3 etapas. Tipinių užduočių iš vadovėlio sprendimas (Nr. 60 a, c; 61 a, 64 a, c) Jos atliekamos prie lentos ir komentuojamos.

4 etapas. Savarankiškas darbas pagal 2 variantus (Nr. 60a, b; 65 a, b). Mokiniai patikrina sprendinių pavyzdžius lentoje.

Namų darbas: P.3 (išmok teoriją, Nr. 56, 61g, 64g)

Atspindys. Mokytojas duoda užduotį: įvertinkite savo pažangą kiekviename pamokos etape naudodami piešinį ir perduokite jį mokytojui. (užduotis pildoma ant atskirų lapų, pateikiamas pavyzdys).

Pavyzdys:

Naudodamiesi elementų tvarka paveikslėlyje, nustatykite, kuriame pamokos etape vyravo jūsų nežinojimas. Pažymėkite šį etapą raudonai.

Matematikos egzaminų praktika rodo, kad parametrų uždaviniai yra sunkiausi tiek logiškai, tiek techniškai, todėl gebėjimas juos išspręsti daugiausia lemia sėkmingą bet kokio lygio egzamino išlaikymą.

Parametrų problemose kartu su nežinomais dydžiais atsiranda dydžių, kurių skaitinės reikšmės, nors ir nėra konkrečiai nurodytos, laikomos žinomomis ir nurodytos tam tikroje skaitinėje aibėje. Šiuo atveju į sąlygą įtraukti parametrai reikšmingai įtakoja loginę ir techninę sprendimo eigą bei atsakymo formą. Tokių problemų galima rasti knygoje „514 uždaviniai su parametrais“. Tačiau dauguma jų apima siaurą klausimų spektrą, daugiausia dėmesio skiriant receptui, o ne problemų sprendimo logikai. Be to, sėkmingiausios iš knygų jau seniai tapo bibliografine retenybe. Darbo pabaigoje yra knygų sąrašas, iš kurių straipsniai padėjo sudaryti teiginių klasifikaciją darbo tema. Reikšmingiausias yra A. Khmeisterio vadovas Lygtys ir nelygybės su parametrais.

Pagrindinis šio darbo tikslas – užpildyti kai kurias esmines pagrindinio algebros kurso spragas ir nustatyti kvadratinės funkcijos savybių panaudojimo faktus, kurie gali žymiai supaprastinti uždavinių, susijusių su kvadratinės lygties šaknų vieta, sprendimą. kai kurių būdingų punktų atžvilgiu.

Darbo tikslai:

Nustatyti galimus kvadratinio trinario šaknų išsidėstymo skaičių tiesėje atvejus;

Nustatyti algoritmus, kurie leidžia išspręsti kvadratines lygtis su parametru pagal kvadratinio trinalio šaknų vietą skaičių tiesėje;

Išmoks spręsti sudėtingesnio nei reikalaujamo lygio problemas; įvaldyti daugybę techninių ir intelektinių matematinių įgūdžių laisvo naudojimo lygiu; tobulinti matematinę kultūrą kaip mokyklos matematikos kurso dalį.

Tyrimo objektas: kvadratinio trinalio šaknų išsidėstymas koordinačių tiesėje.

Tyrimo objektas: kvadratinės lygtys su parametru.

Tyrimo metodai. Pagrindiniai problemų su parametru tyrimo metodai: analitinis, grafinis ir kombinuotas (funkcinis – grafinis). Analitinis – tai vadinamojo tiesioginio sprendimo metodas, kartojantis standartines procedūras ieškant atsakymo į uždavinius be parametro. Grafika yra metodas, kuris naudoja grafikus koordinačių plokštumoje (x; y). Grafinio metodo aiškumas padeda rasti greitą problemos sprendimo būdą. Iš šių dviejų metodų pastarasis yra ne tik elegantiškas, bet ir pats svarbiausias, nes parodo ryšį tarp visų tipų matematinių modelių: žodinis problemos aprašymas, geometrinis modelis – kvadratinio trinalio grafikas, analitinis. modelis – geometrinio modelio aprašymas nelygybių sistema, sudaryta remiantis matematiniais teiginiais, nustatytais iš kvadratinės funkcijos grafiko.

Daugeliu atvejų kvadratinių lygčių sprendimas naudojant parametrą sukelia sudėtingas transformacijas. Hipotezė: panaudojus kvadratinės funkcijos ypatybes sprendimas bus gerokai supaprastintas, sumažinant jį iki racionaliųjų nelygybių sprendimo.

Pagrindinė dalis. Kvadratinio trinalio šaknų vieta koordinačių tiesėje

Panagrinėkime kai kuriuos teiginius, susijusius su kvadratinio trinalio f(x)=ax2+bx+c šaknų vieta skaičių tiesėje taškais m ir n, kad m

x1 ir x2 yra kvadratinio trinalio šaknys,

D=b2-4ac- kvadratinio trinalio diskriminantas, D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 – duoti skaičiai.

Visi argumentai laikomi a>0, atvejis a

Teiginys vienas

Kad skaičius m būtų tarp kvadratinio trinalio šaknų (x1

Įrodymas.

pateikta x1

Geometrinė interpretacija

Tegul x1 ir x2 yra lygties šaknys. Jei > 0 f(x)

1 uždavinys. Kokioms k reikšmėms lygtis x2-(2k+1)x + 3k-4=0 turi dvi šaknis, kurių viena mažesnė už 2, o kita didesnė už 2?

Sprendimas. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

Jei k>-2, lygtis x2-(2k+1)x + 3k-4=0 turi dvi šaknis, iš kurių viena mažesnė už 2, o kita didesnė už 2.

Atsakymas: k>-2.

2 uždavinys. Kokioms k reikšmėms lygtis kx2+(3k-2)x + k-3=0 turi skirtingų ženklų šaknis?

Šią problemą galima suformuluoti taip: kokioms k reikšmėms skaičius 0 yra tarp šios lygties šaknų.

Sprendimas (1 kryptis) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

2 metodas (naudojant Vietos teoremą). Jei kvadratinė lygtis turi šaknis (D>0) ir c/a

3 uždavinys. Kokioms k reikšmėms lygtis (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 turi dvi šaknis, kurių viena mažesnė už k, o kita didesnė už k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Pakeitę k reikšmes iš rastos aibės, įsitikiname, kad šioms k reikšmėms D>0.

Antrasis teiginys (a)

Kad kvadratinio trinalio šaknys būtų mažesnės už skaičių m (x1

Įrodymas: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

4 uždavinys. Kokiomis parametro reikšmėmis lygties x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 šaknys mažesnės už -1?

D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- bet koks; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Antrasis teiginys (b)

Kad kvadratinio trinalio šaknys būtų didesnės už skaičių m (m

D ≥0; x0>m; af(m)>0.

Jei sąlyga m m. Kadangi m nepriklauso intervalui (x1; x2), tada f(m) > O, jei a > 0 ir f(m)

Ir atvirkščiai, tegu tenkina nelygybių sistemą. Sąlyga D > 0 reiškia, kad egzistuoja šaknys x1 ir x2 (x1 m.

Belieka parodyti, kad x1 > m. Jei D = 0, tai x1 = x2 > m. Jei D > 0, tada f(x0) = -D/4a ir af(x0) 0, todėl taškuose x0 ir m funkcija įgauna priešingų ženklų reikšmes, o x1 priklauso intervalui (m; x0).

5 uždavinys. Kurioms parametro m reikšmėms lygties x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) šaknys yra didesnės už 1? b) mažiau nei -1?

Sprendimas a) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0; m – bet koks m>1/3; m>1/3;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Atsakymas: m>3/2.

b) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - bet koks x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

6 uždavinys. Kokiomis parametro reikšmėmis lygties kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 šaknys yra didesnės už 1?

Sprendimas. Akivaizdu, kad problema yra lygiavertė tokiai: kokioms parametro m reikšmėms kvadratinio trinalio šaknys yra didesnės nei 1?

D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k)>1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

Išsprendę šią sistemą, mes tai nustatome

Trečias teiginys

Kad kvadratinio trinalio šaknys būtų didesnės už skaičių m ir mažesnės už n (m

D ≥0; m 0 af(n)>0.

Atkreipkime dėmesį į būdingus grafiko bruožus.

1) Lygtis turi šaknis, o tai reiškia, kad D > 0.

2) Simetrijos ašis yra tarp tiesių x = m ir x = n, o tai reiškia m

3) Taškuose x = m ir x = n grafikas yra virš OX ašies, todėl f(m) > 0 ir f(n) > 0 (prie m

Aukščiau išvardytos sąlygos (1; 2; 3) yra būtinos ir pakankamos norimoms parametrų reikšmėms.

7 uždavinys. Kuriems m x2-2mx+m2-2m+5=0 skaičiai absoliučia reikšme neviršija 4?

Sprendimas. Uždavinio sąlygą galima suformuluoti taip: kam m priklauso santykis -4

Iš sistemos randame m reikšmes

D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;

4 ≤ x0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; kurio sprendimas yra atkarpa . Atsakymas: m.

8 uždavinys. Kokioms m reikšmėms yra kvadratinio trinalio šaknys

(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 yra didesnis nei -1, bet mažesnis nei 0?

Sprendimas. M reikšmes galima rasti iš sistemos

D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2) (2m -2 -m -1 +1) > 0;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Atsakymas: m > 2.

Keturi teiginiai

Kad kvadratinio trinalio mažesnė šaknis priklausytų intervalui (m;n), o didesnė – nepriklausytų (m

D ≥0; af(m)>0 af(n)

Kvadratinio trinalio grafikas intervale (m; n) kerta OX ašį tiksliai vieną kartą. Tai reiškia, kad taškuose x=m ir x=n kvadratinis trinaris įgyja skirtingų ženklų reikšmes.

10 uždavinys. Kokioms parametro a reikšmėms intervalui X(0;3) priklauso tik mažesnė kvadratinės lygties x2+2ax+a=0 šaknis.

Sprendimas. Apsvarstykite kvadratinį trinarį y(x) = x2-2ax+a. Grafikas yra parabolė. Parabolės šakos nukreiptos į viršų. Tegu x1 yra mažesnė kvadratinio trinalio šaknis. Pagal uždavinio sąlygas x1 priklauso intervalui (0;3). Pavaizduokime geometrinį problemos modelį, atitinkantį uždavinio sąlygas.

Pereikime prie nelygybių sistemos.

1) Pastebime, kad y(0)>0 ir y(3) 0. Todėl šios sąlygos nereikia įrašyti į nelygybių sistemą.

Taigi gauname tokią nelygybių sistemą:

Atsakymas: a>1,8.

Ketvirtas teiginys (b)

Kad didesnė kvadratinio trinalio šaknis priklausytų intervalui (m; n), o mažesnė – nepriklausytų (x1

D ≥0; af(m) 0.

Ketvirtas teiginys (sudėtas)

komentuoti. Uždavinį suformuluosime taip: kokioms parametro reikšmėms viena lygties šaknis priklauso intervalui (b;m), o kita – ne? Norėdami išspręsti šią problemą, nereikia atskirti dviejų atvejų, atsakymą randame iš nelygybės f(m) f(n);

D ≥0; f(m) f(n)

11 uždavinys. Kokiam m tik viena lygties šaknis x2-mх+6=0 tenkina 2 sąlygą

Sprendimas. Remdamiesi 4(b) teiginiu, randame m reikšmę iš sąlygos f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, t.y., kai m = ±2√6, Jei m = -2√6 x = - √6, kuris nepriklauso intervalui (2; 5), kai m = 2√6 x =√6, priklausantis intervalui (2; 5).

Atsakymas: m (2√6) U (5; 31/5).

Penktas teiginys

Kad kvadratinio trinalio šaknys patenkintų santykį (x1

D ≥0; af(m) 12 uždavinys. Raskite visas m reikšmes, kurioms nelygybė x2+2(m-3)x + m2-6m

Sprendimas. Pagal sąlygą intervalas (0; 2) turi būti įtrauktas į nelygybės x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m sprendinių aibę. Remiantis 5 teiginiu, iš sistemos randame m reikšmes nelygybių f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], iš kur m.

Atsakymas: m.

Šeštas teiginys

Kad kvadratinio trinalio mažesnė šaknis priklausytų intervalui (m1; m2), o didesnė – intervalui (n1; n2) (m2)

D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Šis teiginys yra 4a ir 4b teiginių derinys. Pirmosios dvi nelygybės garantuoja, kad x1(m1, n1), o paskutinės dvi nelygybės garantuoja, kad x2(m2, n2),

13 uždavinys. Kuriame m yra viena iš lygties x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 šaknų, esančios tarp skaičių 1 ir 3, o antroji - tarp skaičių 4 ir 6?

Sprendimas. 1 būdas. Atsižvelgiant į tai, kad a = 1, m reikšmes galima rasti iš sistemos f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), iš kur m(2; 4).

Atsakymas: m(2; 4).

Taigi nustatėme teiginius, susijusius su kvadratinio trinalio f(x)=ax2+bx+ šaknų vieta skaičių tiesėje tam tikrų taškų atžvilgiu.

Išvada

Dirbdamas mokyklinio matematikos kurso metu įvaldžiau daugybę techninių ir matematinių įgūdžių laisvo naudojimo lygiu ir patobulinau savo matematinę kultūrą.

Darbo rezultatu buvo pasiektas užsibrėžtas tikslas: nustatytos kvadratinės funkcijos savybės, leidžiančios gerokai supaprastinti uždavinių, susijusių su kvadratinės lygties šaknų išsidėstymu tam tikrų charakteringų taškų atžvilgiu, sprendimą. Nustatyti galimi kvadratinio trinalio šaknų išsidėstymo skaičių tiesėje atvejai. Nustatyti algoritmai, leidžiantys spręsti kvadratines lygtis su parametru, pagrįstu kvadratinio trinalio šaknų vieta skaičių tiesėje; buvo išspręstos sudėtingesnio nei reikalaujamo lygio uždaviniai. Darbe pateikiamas tik 12 problemų sprendimas dėl riboto darbo puslapių skaičiaus. Žinoma, darbe aptartos problemos gali būti sprendžiamos ir kitais būdais: naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, naudojant šaknų savybę (Vietos teorema).

Tiesą sakant, nemažai problemų buvo išspręsta. Todėl buvo nuspręsta sukurti uždavinių rinkinį projektavimo ir tiriamojo darbo tema „Kvadratinio trinalio savybių, susijusių su jo šaknų išsidėstymu koordinačių linijoje, taikymo uždavinių sprendimas“. Be to, darbo rezultatas (projektavimo ir tiriamojo darbo produktas) yra kompiuterinis pristatymas, kuris gali būti naudojamas pasirenkamojo dalyko „Parametrų uždavinių sprendimas“ pamokose.

Kvadratinio trinalio šaknų radimas

Tikslai: supažindinti su kvadratinio trinalio samprata ir jo šaknimis; ugdyti gebėjimą rasti kvadratinio trinalio šaknis.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas.

II. Darbas žodžiu.

Kuris iš skaičių: –2; –1; 1; 2 – ar yra lygčių šaknys?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Naujos medžiagos paaiškinimas turėtų būti atliekamas pagal šią schemą:

1) Supažindinkite su daugianario šaknies sąvoka.

2) Supažindinti su kvadratinio trinalio samprata ir jo šaknimis.

3) Išanalizuokite galimo kvadratinio trinalio šaknų skaičiaus klausimą.

Klausimą, kaip atskirti dvinario kvadratą nuo trinalio kvadrato, geriausia aptarti kitoje pamokoje.

Kiekviename naujos medžiagos aiškinimo etape būtina studentams pasiūlyti žodinę užduotį, kad patikrintų, kaip jie supranta pagrindinius teorijos dalykus.

Užduotis 1. Kuris iš skaičių: –1; 1; ; 0 – daugianario šaknys X 4 + 2X 2 – 3?

2 užduotis. Kurie iš šių daugianarių yra kvadratiniai trinadžiai?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Kurių kvadratinių trinalių šaknis yra 0?

3 užduotis. Ar kvadratinis trinaris gali turėti tris šaknis? Kodėl? Kiek šaknų turi kvadratinis trinaris? X 2 + X – 5?

IV. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas.

Pratimai:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nr.59 (a, c, d), Nr.60 (a, c).

Atliekant šią užduotį, nereikia ieškoti kvadratinių trinadžių šaknų. Pakanka rasti jų diskriminatorių ir atsakyti į pateiktą klausimą.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, o tai reiškia, kad šis kvadratinis trinaris turi dvi šaknis.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, o tai reiškia, kad kvadratinis trinaris turi vieną šaknį.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Jei liko laiko, galite padaryti Nr.63.

Sprendimas

Leiskite kirvis 2 + bx + c yra duotas kvadratinis trinaris. Nes a+ b +
+ c= 0, tada viena iš šio trinalio šaknų lygi 1. Pagal Vietos teoremą, antroji šaknis lygi . Pagal būklę, Su = 4A, todėl šio kvadratinio trinalio antroji šaknis yra lygi
.

ATSAKYMAS: 1 ir 4.

V. Pamokos santrauka.

Dažniausiai užduodami klausimai:

– Kas yra daugianario šaknis?

– Kuris daugianaris vadinamas kvadratiniu trinomu?

– Kaip rasti kvadratinio trinalio šaknis?

– Kas yra kvadratinio trinalio diskriminantas?

– Kiek šaknų gali turėti kvadratinis trinaris? Nuo ko tai priklauso?

Namų darbai: 57, 59 (b, d, f), 60 (b, d), 62 Nr.

Kvadratinio trinalio šaknį galite rasti naudodami diskriminantą. Be to, redukuotajam antrojo laipsnio daugianariui taikoma Vietos teorema, pagrįsta koeficientų santykiu.

Instrukcijos

• Kvadratinės lygtys yra gana plati mokyklos algebros tema. Kairioji tokios lygties pusė yra A x² + B x + C formos antrojo laipsnio daugianario, t.y. trijų įvairaus laipsnio nežinomo x monomijų išraiška. Norėdami rasti kvadratinio trinalio šaknį, turite apskaičiuoti x reikšmę, kuriai esant ši išraiška yra lygi nuliui.
• Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, turite rasti diskriminantą. Jo formulė yra viso daugianario kvadrato išskyrimo pasekmė ir parodo tam tikrą jo koeficientų santykį: D = B² – 4 A C.
• Diskriminantas gali įgyti įvairių vertybių, įskaitant neigiamą. Ir jei jaunesni moksleiviai gali su palengvėjimu pasakyti, kad tokia lygtis neturi šaknų, tai gimnazistai jau gali jas nustatyti remdamiesi kompleksinių skaičių teorija. Taigi, gali būti trys variantai: Diskriminuojantis – teigiamas skaičius. Tada lygties šaknys lygios: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B – √D)/2 A;
  Diskriminantas sumažėjo iki nulio. Teoriškai šiuo atveju lygtis taip pat turi dvi šaknis, tačiau praktiškai jos yra vienodos: x1 = x2 = -B/2 A;
  Diskriminantas yra mažesnis už nulį. Į skaičiavimą įvedama tam tikra reikšmė i² = -1, kuri leidžia parašyti kompleksinį sprendinį: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• Diskriminantinis metodas galioja bet kuriai kvadratinei lygčiai, tačiau yra situacijų, kai patartina naudoti greitesnį metodą, ypač mažų sveikųjų skaičių koeficientams. Šis metodas vadinamas Vietos teorema ir susideda iš poros ryšių tarp koeficientų redukuotame trinalyje: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Belieka tik rasti šaknis.
• Reikėtų pažymėti, kad lygtis gali būti sumažinta iki panašios formos. Norėdami tai padaryti, visus trinalio narius turite padalyti iš didžiausios galios A koeficiento: A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.