Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė. Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos

Tegul funkcija y =f(X) yra nuolatinis intervale [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija šiame segmente pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes. Funkcija gali gauti šias reikšmes arba vidiniame atkarpos taške [ a, b] arba ant atkarpos ribos.

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente [ a, b] būtina:

1) suraskite kritinius funkcijos taškus intervale ( a, b);

2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;

3) apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, tai yra, kada x=A ir x = b;

4) iš visų apskaičiuotų funkcijos reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

segmente.

Kritinių taškų paieška:

Šie taškai yra segmento viduje; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

taške x= 3 ir taške x= 0.

Išgaubtumo ir vingio taško funkcijos tyrimas.

Funkcija y = f (x) paskambino išgaubtas tarpais (a, b) , jei jo grafikas yra po liestine, nubrėžta bet kuriame šio intervalo taške, ir yra vadinamas išgaubtas žemyn (įgaubtas), jei jo grafikas yra virš liestinės.

Taškas, per kurį išgaubtumas pakeičiamas įdubimu arba atvirkščiai, vadinamas vingio taškas.

Išgaubtumo ir vingio taško tyrimo algoritmas:

1. Raskite antrosios rūšies kritinius taškus, tai yra taškus, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba jos nėra.

2. Nubrėžkite kritinius taškus skaičių tiesėje, padalydami jį intervalais. Kiekviename intervale raskite antrosios išvestinės ženklą; jei , tada funkcija yra išgaubta į viršų, jei, tada funkcija yra išgaubta žemyn.

3. Jei, einant per antrosios rūšies kritinį tašką, ženklas pasikeičia ir šioje vietoje antroji išvestinė lygi nuliui, tai šis taškas yra vingio taško abscisė. Raskite jo ordinates.

Funkcijos grafiko asimptotės. Asimptotų funkcijos tyrimas.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo bet kurio grafiko taško iki šios linijos linkęs į nulį, nes taškas grafike neribotai juda nuo pradžios.

Yra trys asimptotų tipai: vertikaliai, horizontaliai ir nuožulniai.

Apibrėžimas. Tiesi linija vadinama vertikali asimptota funkcinė grafika y = f(x), jei bent viena iš vienpusių funkcijos ribų šiame taške yra lygi begalybei, tai yra

kur yra funkcijos nepertraukiamumo taškas, tai yra, ji nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Pavyzdys.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – lūžio taškas.

Apibrėžimas. Tiesiai y =A paskambino horizontalioji asimptote funkcinė grafika y = f(x) prie , jei

Pavyzdys.

Apibrėžimas. Tiesiai y =kx +b (k≠ 0) vadinamas įstrižinė asimptotė funkcinė grafika y = f(x) adresu , kur

Bendra funkcijų tyrimo ir grafikų sudarymo schema.

Funkcijų tyrimo algoritmasy = f(x) :

1. Raskite funkcijos sritį D (y).

2. Raskite (jei įmanoma) grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (jei x= 0 ir at y = 0).

3. Ištirkite funkcijos lygumą ir nelygumą ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritetas; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nelyginis).

4. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus.

6. Raskite funkcijos kraštutinumą.

7. Raskite funkcijos grafiko išgaubimo (įgaubtumo) ir vingio taškų intervalus.

8. Remdamiesi atliktais tyrimais, sukonstruokite funkcijos grafiką.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką.

1) D (y) =

x= 4 – lūžio taškas.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – susikirtimo taškas su oi.

At y = 0,

3) y(‒ x)= bendros formos funkcija (nei lyginė, nei nelyginė).

4) Mes tiriame asimptotus.

a) vertikaliai

b) horizontaliai

c) suraskite pasvirusius asimptotus kur

‒pasviroji asimptotės lygtis

5) Šioje lygtyje nebūtina rasti funkcijos monotoniškumo intervalų.

6)

Šie kritiniai taškai padalija visą funkcijos apibrėžimo sritį į intervalą (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; +∞). Patogu gautus rezultatus pateikti šios lentelės forma.

Tegul funkcija $z=f(x,y)$ yra apibrėžta ir tęstinė tam tikrame ribotame uždarame domene $D$. Tegul duotoji funkcija šioje srityje turi baigtines pirmos eilės dalines išvestines (išskyrus, galbūt, baigtinį taškų skaičių). Norint rasti didžiausią ir mažiausią dviejų kintamųjų funkcijos reikšmes tam tikrame uždarame regione, reikia atlikti tris paprasto algoritmo veiksmus.

Algoritmas ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos $z=f(x,y)$ reikšmės uždarame domene $D$.

1. Raskite funkcijos $z=f(x,y)$, priklausančios domenui $D$, kritinius taškus. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes kritiniuose taškuose.
2. Ištirkite funkcijos $z=f(x,y)$ elgseną ant srities $D$ ribos, surasdami galimų didžiausių ir mažiausių reikšmių taškus. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes gautuose taškuose.
3. Iš ankstesnėse dviejose pastraipose gautų funkcijų reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Kas yra kritiniai taškai? rodyti\slėpti

Pagal kritinius taškus reiškia taškus, kuriuose abi pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui (t. y. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ir $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) arba bent vienos dalinės išvestinės nėra.

Dažnai vadinami taškai, kuriuose pirmosios eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui stacionarūs taškai. Taigi stacionarūs taškai yra kritinių taškų poaibis.

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $z=x^2+2xy-y^2-4x$ reikšmes uždaroje srityje, kurią riboja linijos $x=3$, $y=0$ ir $y=x +1$.

Mes vadovausimės tuo, kas išdėstyta aukščiau, bet pirmiausia užsiimsime tam tikros srities brėžiniu, kurią pažymėsime raide $D$. Pateikiamos trijų tiesių, ribojančių šią sritį, lygtys. Tiesė $x=3$ eina per tašką $(3;0)$ lygiagrečiai ordinačių ašiai (Oy ašiai). Tiesi linija $y=0$ yra abscisių ašies (Ox ašies) lygtis. Na, o tiesei $y=x+1$ sukonstruoti rasime du taškus, per kuriuos brėžsime šią tiesę. Žinoma, vietoj $x$ galite pakeisti keletą savavališkų verčių. Pavyzdžiui, pakeitę $x=10$, gauname: $y=x+1=10+1=11$. Mes radome tašką $(10;11)$, esantį tiesėje $y=x+1$. Tačiau geriau rasti tuos taškus, kuriuose tiesė $y=x+1$ kerta tieses $x=3$ ir $y=0$. Kodėl tai geriau? Nes vienu akmeniu užmušime porą paukščių: gausime du taškus tiesei $y=x+1$ sukonstruoti ir tuo pačiu išsiaiškinsime, kuriuose taškuose ši linija kerta kitas tieses, kurios riboja duotą plotą. Tiesė $y=x+1$ kerta tiesę $x=3$ taške $(3;4)$, o tiesė $y=0$ – taške $(-1;0)$. Kad sprendimo eiga nebūtų užgriozdinta pagalbiniais paaiškinimais, šių dviejų taškų gavimo klausimą pateiksiu pastaboje.

Kaip buvo gauti taškai $(3;4)$ ir $(-1;0)$? rodyti\slėpti

Pradėkime nuo tiesių $y=x+1$ ir $x=3$ susikirtimo taško. Norimo taško koordinatės priklauso ir pirmai, ir antrai tiesei, todėl norint rasti nežinomas koordinates, reikia išspręsti lygčių sistemą:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & y=x+1;\\ & x=3. \end (lygiuotas) \right. $$

Tokios sistemos sprendimas yra trivialus: pirmoje lygtyje pakeitę $x=3$, gausime: $y=3+1=4$. Taškas $(3;4)$ yra norimas tiesių $y=x+1$ ir $x=3$ susikirtimo taškas.

Dabar suraskime tiesių $y=x+1$ ir $y=0$ susikirtimo tašką. Dar kartą sudarykime ir išspręskime lygčių sistemą:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & y=x+1;\\ & y=0. \end (lygiuotas) \right. $$

Pirmoje lygtyje pakeitę $y=0$, gauname: $0=x+1$, $x=-1$. Taškas $(-1;0)$ yra norimas tiesių $y=x+1$ ir $y=0$ (x ašis) susikirtimo taškas.

Viskas paruošta sukurti piešinį, kuris atrodys taip:

Klausimas dėl užrašo atrodo akivaizdus, ​​nes viskas matosi iš nuotraukos. Tačiau verta atsiminti, kad piešinys negali būti įrodymas. Piešinys skirtas tik iliustracijai.

Mūsų sritis buvo apibrėžta naudojant tiesias lygtis, kurios ją riboja. Akivaizdu, kad šios linijos apibrėžia trikampį, tiesa? O gal tai nėra visiškai akivaizdu? O gal mums suteikiama kita sritis, kurią riboja tos pačios linijos:

Žinoma, sąlyga sako, kad teritorija uždara, todėl parodyta nuotrauka yra neteisinga. Tačiau norint išvengti tokių dviprasmybių, geriau regionus apibrėžti pagal nelygybę. Ar mus domina plokštumos dalis, esanti po tiese $y=x+1$? Gerai, taigi $y ≤ x+1$. Ar mūsų sritis turėtų būti virš linijos $y=0$? Puiku, tai reiškia $y ≥ 0$. Beje, paskutines dvi nelygybes galima nesunkiai sujungti į vieną: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right. $$

Šios nelygybės apibrėžia regioną $D$ ir apibrėžia jį vienareikšmiškai, neleisdamos jokios dviprasmybės. Bet kaip tai mums padeda išspręsti pastabos pradžioje pateiktą klausimą? Taip pat padės :) Reikia patikrinti ar taškas $M_1(1;1)$ priklauso regionui $D$. Pakeiskime $x=1$ ir $y=1$ į nelygybių sistemą, kuri apibrėžia šią sritį. Jei tenkinamos abi nelygybės, tada taškas yra regiono viduje. Jei bent viena iš nelygybių netenkinama, tai taškas nepriklauso regionui. Taigi:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right. \;\; \left \( \begin (sulygiuotas) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \pabaiga (sulygiuota) \dešinė $$.

Abi nelygybės galioja. Taškas $M_1(1;1)$ priklauso regionui $D$.

Dabar atėjo eilė tirti funkcijos elgesį ties regiono riba, t.y. eime į . Pradėkime nuo tiesės $y=0$.

Tiesi linija $y=0$ (abscisių ašis) riboja sritį $D$ esant sąlygai $-1 ≤ x ≤ 3$. Pakeiskime $y=0$ duotoje funkcijoje $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Vieno kintamojo $x$ funkciją, gautą pakeitus, pažymime kaip $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Dabar funkcijai $f_1(x)$ turime rasti didžiausias ir mažiausias reikšmes intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Raskime šios funkcijos išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Reikšmė $x=2$ priklauso segmentui $-1 ≤ x ≤ 3$, todėl į taškų sąrašą įtrauksime ir $M_2(2;0)$. Be to, apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmes atkarpos $-1 ≤ x ≤ 3$ galuose, t.y. taškuose $M_3(-1;0)$ ir $M_4(3;0)$. Beje, jei taškas $M_2$ nepriklausytų nagrinėjamam segmentui, tai, žinoma, nereikėtų skaičiuoti funkcijos $z$ reikšmės jame.

Taigi, apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmes taškuose $M_2$, $M_3$, $M_4$. Žinoma, galite pakeisti šių taškų koordinates į pradinę išraišką $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Pavyzdžiui, taškui $M_2$ gauname:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tačiau skaičiavimus galima šiek tiek supaprastinti. Norėdami tai padaryti, verta atsiminti, kad segmente $M_3M_4$ turime $z(x,y)=f_1(x)$. Aš tai parašysiu išsamiai:

\begin (sulygiuotas) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\ctaškas 3=-3. \pabaiga (sulygiuota)

Žinoma, dažniausiai tokių detalių įrašų nereikia, o ateityje visus skaičiavimus surašysime trumpai:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Dabar pasukkime į tiesę $x=3$. Ši tiesi linija riboja sritį $D$ su sąlyga $0 ≤ y ≤ 4$. Pakeiskime $x=3$ duotoje funkcijoje $z$. Dėl šio pakeitimo gauname funkciją $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funkcijos $f_2(y)$ turime rasti didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale $0 ≤ y ≤ 4$. Raskime šios funkcijos išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Reikšmė $y=3$ priklauso segmentui $0 ≤ y ≤ 4$, todėl prie anksčiau rastų taškų taip pat pridėsime $M_5(3;3)$. Be to, atkarpos $0 ≤ y ≤ 4$ galuose esančiuose taškuose reikia apskaičiuoti funkcijos $z$ reikšmę, t.y. taškuose $M_4(3;0)$ ir $M_6(3;4)$. Taške $M_4(3;0)$ mes jau apskaičiavome $z$ reikšmę. Apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmę taškuose $M_5$ ir $M_6$. Leiskite jums priminti, kad segmente $M_4M_6$ turime $z(x,y)=f_2(y)$, todėl:

\begin(lygiuotas) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \pabaiga (sulygiuota)

Ir galiausiai apsvarstykite paskutinę regiono $D$ ribą, t.y. tiesi $y=x+1$. Ši tiesi linija riboja sritį $D$ pagal sąlygą $-1 ≤ x ≤ 3$. Pakeitę $y=x+1$ į funkciją $z$, turėsime:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Dar kartą turime vieno kintamojo $x$ funkciją. Ir vėl turime rasti didžiausią ir mažiausią šios funkcijos reikšmes intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Raskime funkcijos $f_(3)(x)$ išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Reikšmė $x=1$ priklauso intervalui $-1 ≤ x ≤ 3$. Jei $x=1$, tai $y=x+1=2$. Į taškų sąrašą įtraukime $M_7(1;2)$ ir išsiaiškinkime, kokia yra funkcijos $z$ reikšmė šiuo metu. Taškai atkarpos galuose $-1 ≤ x ≤ 3$, t.y. taškai $M_3(-1;0)$ ir $M_6(3;4)$ buvo svarstomi anksčiau, juose jau radome funkcijos reikšmę.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Antrasis sprendimo žingsnis baigtas. Gavome septynias vertes:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Atsigręžkime į. Iš trečioje pastraipoje gautų skaičių pasirinkę didžiausias ir mažiausias reikšmes, turėsime:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6.$$

Problema išspręsta, belieka surašyti atsakymą.

Atsakymas: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $z=x^2+y^2-12x+16y$ reikšmes srityje $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pirmiausia sukurkime piešinį. Lygtis $x^2+y^2=25$ (tai yra nurodytos srities ribinė linija) apibrėžia apskritimą, kurio centras yra ištakoje (t. y. taške $(0;0)$) ir spindulys 5. Nelygybė $x^2 +y^2 ≤ $25 tenkina visus taškus, esančius minėto apskritimo viduje ir ant jo.

Mes elgsimės pagal. Raskime dalines išvestines ir išsiaiškinkime kritinius taškus.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nėra taškų, kuriuose rastos dalinės išvestinės neegzistuotų. Išsiaiškinkime, kuriuose taškuose abi dalinės išvestinės vienu metu yra lygios nuliui, t.y. suraskime stacionarius taškus.

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end (sulygiuotas) \right. \;\; \left \( \begin (lygiuotas) & x =6;\\ & y=-8 \pabaiga (sulygiuota) \dešinė $$.

Gavome stacionarų tašką $(6;-8)$. Tačiau rastas taškas nepriklauso regionui $D$. Tai lengva parodyti net nesiimant piešimo. Patikrinkime, ar galioja nelygybė $x^2+y^2 ≤ 25$, kuri apibrėžia mūsų regioną $D$. Jei $x=6$, $y=-8$, tai $x^2+y^2=36+64=100$, t.y. nelygybė $x^2+y^2 ≤ 25$ negalioja. Išvada: taškas $(6;-8)$ nepriklauso sričiai $D$.

Taigi regione $D$ nėra kritinių taškų. Pereikime prie... Turime ištirti funkcijos elgseną tam tikros srities ribose, t.y. apskritime $x^2+y^2=25$. Žinoma, $y$ galime išreikšti $x$, o tada gautą išraišką pakeisti funkcija $z$. Iš apskritimo lygties gauname: $y=\sqrt(25-x^2)$ arba $y=-\sqrt(25-x^2)$. Pakeisdami, pavyzdžiui, $y=\sqrt(25-x^2)$ į nurodytą funkciją, turėsime:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Tolesnis sprendimas bus visiškai identiškas funkcijos elgsenos prie regiono ribos tyrimui ankstesniame pavyzdyje Nr. Tačiau man atrodo, kad šioje situacijoje būtų protingiau naudoti Lagranžo metodas. Mus domina tik pirmoji šio metodo dalis. Pritaikę pirmąją Lagranžo metodo dalį, gausime taškus, kuriuose nagrinėsime funkcijos $z$ minimalias ir didžiausias reikšmes.

Mes sudarome Lagrange funkciją:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Randame dalines Lagranžo funkcijos išvestines ir sudarome atitinkamą lygčių sistemą:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (sulygiuotas) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin (lygiuotas) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sulygiuotas)\right.$ $

Norėdami išspręsti šią sistemą, iš karto atkreipkime dėmesį, kad $\lambda\neq -1$. Kodėl $\lambda\neq -1$? Pabandykime pirmoje lygtyje pakeisti $\lambda=-1$:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Gautas prieštaravimas $0=6$ rodo, kad reikšmė $\lambda=-1$ yra nepriimtina. Išvestis: $\lambda\neq -1$. Išreikškime $x$ ir $y$ kaip $\lambda$:

\begin(lygiuotas) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \pabaiga (sulygiuota)

Manau, kad čia tampa akivaizdu, kodėl mes konkrečiai nustatėme sąlygą $\lambda\neq -1$. Tai buvo padaryta, kad išraiška $1+\lambda$ būtų pritaikyta vardikliuose be trukdžių. Tai yra, įsitikinkite, kad vardiklis $1+\lambda\neq 0$.

Gautas $x$ ir $y$ išraiškas pakeisime trečiąja sistemos lygtimi, t.y. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iš gautos lygybės išplaukia, kad $1+\lambda=2$ arba $1+\lambda=-2$. Taigi turime dvi parametro $\lambda$ reikšmes, būtent: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Atitinkamai gauname dvi reikšmių poras $x$ ir $y$:

\begin(lygiuotas) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \pabaiga (sulygiuota)

Taigi, gavome du galimo sąlyginio ekstremumo taškus, t.y. $M_1(3;-4)$ ir $M_2(-3;4)$. Raskime funkcijos $z$ reikšmes taškuose $M_1$ ir $M_2$:

\begin (sulygiuotas) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \pabaiga (sulygiuota)

Turėtume pasirinkti didžiausias ir mažiausias reikšmes iš tų, kurias gavome pirmame ir antrame žingsnyje. Bet šiuo atveju pasirinkimas mažas :) Turime:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Atsakymas: $z_(min) = -75; \; z_(maks.) = 125 USD.

Pamoka tema: „Didžiausių ir mažiausių ištisinės funkcijos reikšmių radimas segmente“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Geometrijos uždavinių sprendimas. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl
Geometrijos uždavinių sprendimas. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje

Ką mes studijuosime:

Didžiausios ir mažiausios reikšmės radimas iš funkcijos grafiko

Vaikinai, mes jau anksčiau radome didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Pažiūrėjome į funkcijos grafiką ir nustatėme, kur funkcija pasiekė didžiausią vertę, o kur – mažiausią.
Pakartokime:

Iš mūsų funkcijos grafiko matome, kad didžiausia reikšmė pasiekiama taške x= 1, ji lygi 2. Mažiausia reikšmė pasiekiama taške x= -1, o ji lygi -2. Šiuo metodu gana paprasta rasti didžiausias ir mažiausias reikšmes, tačiau ne visada pavyksta nubraižyti funkcijos grafiką.

Didžiausios ir mažiausios reikšmės radimas naudojant išvestinę

Vaikinai, ką manote, kaip galite rasti didžiausią ir mažiausią vertę naudodami išvestinę priemonę?

Atsakymą galima rasti funkcijos temos ekstremalyje. Ten jūs ir aš radome maksimumo ir minimumo taškus, argi terminai nėra panašūs? Tačiau didžiausios ir mažiausios reikšmės neturėtų būti painiojamos su maksimalia ir mažiausia funkcijos sąvokomis.

Taigi, pristatykime taisykles:
a) Jei funkcija yra nepertraukiama intervale, tai šiame intervale ji pasiekia didžiausias ir mažiausias reikšmes.
b) Funkcija gali pasiekti maksimalias ir minimalias reikšmes tiek segmentų galuose, tiek jos viduje. Pažvelkime į šį punktą išsamiau.

A paveiksle funkcija pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes segmentų galuose.
B paveiksle funkcija pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes segmento viduje. C paveiksle mažiausias taškas yra atkarpos viduje, o didžiausias – atkarpos pabaigoje, taške b.
c) Jei didžiausios ir mažiausios vertės pasiekiamos segmento viduje, tada tik stacionariuose arba kritiniuose taškuose.

Algoritmas atkarpoje tolydžios funkcijos y= f(x) didžiausios ir mažiausios reikšmės radimui

• Raskite išvestinę f"(x).
• Raskite stacionarius ir kritinius taškus segmento viduje.
• Apskaičiuokite funkcijos reikšmę stacionariuose ir kritiniuose taškuose, taip pat f(a) ir f(b). Pasirinkite mažiausią ir didžiausią reikšmę; tai bus mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių taškai.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė atvirame intervale

Vaikinai, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes atvirame intervale? Norėdami tai padaryti, naudosime svarbią teoremą, kuri yra įrodyta aukštosios matematikos metu.

Teorema. Tegul funkcija y= f(x) yra tolydi intervale x ir turi unikalų stacionarų arba kritinį tašką x= x0 šiame intervale, tada:
a) jei x= x0 yra maksimalus taškas, tai y yra maksimumas. = f(x0).
b) jei x= x0 yra mažiausias taškas, tai y yra pavadinimas. = f(x0).

Pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 reikšmę segmente
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Sprendimas: Raskite išvestinę: y"= x 2 + 4x + 4.
Išvestinė egzistuoja visoje apibrėžimo srityje, tada turime rasti stacionarius taškus.
y" = 0, kai x = -2.
Atliksime tolesnius reikiamų segmentų skaičiavimus.
a) Raskite funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške.
Tada y vardas. = -122, kai x = -9; y maks. = y = -7$\frac(1)(3)$, kai x= -1.
b) Raskite funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške. Didžiausios ir mažiausios vertės pasiekiamos segmento galuose.
Tada y vardas. = -8, kai x = -3, y maks. = 34, kai x = 3.
c) Stacionarus taškas nepatenka į mūsų atkarpą, raskime reikšmes atkarpos galuose.
Tada y vardas. = 34, kai x = 3, y maks. = 436, kai x = 9.

Pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| segmente.
Sprendimas: Išplėskime modulį ir pakeiskime savo funkciją:
y = x 2 - 3x + 5 + 1 - x, jei x ≤ 1.
y = x 2 - 3x + 5 - 1 + x, jei x ≥ 1.

Tada mūsų funkcija bus tokia:
\begin(lygtis*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(atvejai) \end(lygtis*) Raskime kritinius taškus: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(atvejai) \pabaiga(lygtis*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(cases) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Taigi, turime du stacionarius taškus ir nepamirškime, kad mūsų funkcija susideda iš dviejų skirtingų funkcijų. x.
Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame funkcijos reikšmes stacionariuose taškuose ir segmento galuose:
Atsakymas: Funkcija pasiekia mažiausią reikšmę stacionariame taške x= 1, y yra mažiausia. = 3. Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę atkarpos pabaigoje taške x = 4, y max. = 12.

Pavyzdys

Raskite didžiausią funkcijos y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ reikšmę spindulyje: , b) , c) [-4;7].
b) Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| reikšmę. atkarpoje [-1;5].
c) Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y= $-2x-\frac(1)(2x)$ reikšmę (0;+∞).

Praktiniu požiūriu didžiausias susidomėjimas yra naudoti išvestinę, kad būtų galima rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Su kuo tai susiję? Maksimalus pelnas, kaštų minimizavimas, optimalios įrangos apkrovos nustatymas... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių tenka spręsti kai kurių parametrų optimizavimo problemas. Ir tai yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo užduotys.

Reikėtų pažymėti, kad didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės paprastai ieškomos tam tikrame intervale X, kuris yra arba visa funkcijos sritis, arba apibrėžimo srities dalis. Pats intervalas X gali būti atkarpa, atviras intervalas , begalinis intervalas.

Šiame straipsnyje kalbėsime apie tai, kaip rasti didžiausią ir mažiausią vieno kintamojo aiškiai nurodytos funkcijos reikšmes y=f(x) .

Puslapio naršymas.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos.

Trumpai pažvelkime į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcijos reikšmė kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Mažiausia funkcijos reikšmė y=f(x) intervale X vadinama tokia reikšme kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Šie apibrėžimai yra intuityvūs: didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimtina reikšmė nagrinėjamame intervale ties abscisėmis.

Stacionarūs taškai– tai yra argumento reikšmės, kurioms esant funkcijos išvestinė tampa nuliu.

Kodėl ieškant didžiausių ir mažiausių verčių reikia stacionarių taškų? Atsakymą į šį klausimą duoda Ferma teorema. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei diferencijuojama funkcija tam tikru momentu turi ekstremumą (lokalų minimumą arba vietinį maksimumą), tai šis taškas yra stacionarus. Taigi funkcija dažnai paima didžiausią (mažiausią) reikšmę intervale X viename iš šio intervalo stacionarių taškų.

Be to, funkcija dažnai gali įgyti didžiausias ir mažiausias reikšmes taškuose, kuriuose pirmoji šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, o pati funkcija yra apibrėžta.

Iš karto atsakykime į vieną dažniausių klausimų šia tema: „Ar visada įmanoma nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę“? Ne, ne visada. Kartais intervalo X ribos sutampa su funkcijos apibrėžimo srities ribomis arba intervalas X yra begalinis. O kai kurios funkcijos begalybėje ir apibrėžimo srities ribose gali turėti ir be galo dideles, ir be galo mažas reikšmes. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Aiškumo dėlei pateiksime grafinę iliustraciją. Pažvelkite į nuotraukas ir daug kas taps aiškiau.

Ant segmento

Pirmame paveikslėlyje funkcija užima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje [-6;6].

Apsvarstykite atvejį, pavaizduotą antrame paveikslėlyje. Pakeiskime segmentą į . Šiame pavyzdyje mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama stacionariame taške, o didžiausia – taške, kurio abscisė atitinka dešiniąją intervalo ribą.

3 paveiksle atkarpos [-3;2] ribiniai taškai yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, abscisės.

Atviru intervalu

Ketvirtajame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atviro intervalo viduje (-6;6).

Intervale negalima daryti išvadų apie didžiausią reikšmę.

Begalybėje

Septintame paveikslėlyje pateiktame pavyzdyje funkcija įgauna didžiausią reikšmę (max y) stacionariame taške, kurio abscisė x=1, o mažiausia reikšmė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y=3.

Per intervalą funkcija nepasiekia nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Artėjant x = 2 iš dešinės, funkcijos reikšmės linkusios atėmus begalybę (linija x = 2 yra vertikali asimptotė), o abscisei plius begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y = 3. Šio pavyzdžio grafinė iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas, leidžiantis rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos reikšmes segmente.

Parašykime algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmes.

1. Surandame funkcijos apibrėžimo sritį ir patikriname, ar joje yra visas segmentas.
2. Randame visus taškus, kuriuose pirmoji išvestinė neegzistuoja ir kurie yra segmente (dažniausiai tokie taškai randami funkcijose su argumentu po modulio ženklu ir laipsnio funkcijose su trupmeniniu-racionaliuoju rodikliu). Jei tokių taškų nėra, pereikite prie kito punkto.
3. Nustatome visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), taip pat x=a ir x=b.
5. Iš gautų funkcijos reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią – jos bus atitinkamai reikalingos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Išanalizuokime pavyzdžio sprendimo algoritmą, kad surastume didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.

Pavyzdys.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

• ant segmento;
• atkarpoje [-4;-1] .

Sprendimas.

Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus nulį, ty. Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Raskite funkcijos išvestinę, atsižvelgiant į:

Akivaizdu, kad funkcijos išvestinė egzistuoja visuose atkarpų taškuose ir [-4;-1].

Iš lygties nustatome stacionarius taškus. Vienintelė tikroji šaknis yra x=2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške, ty x=1, x=2 ir x=4:

Todėl didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama, kai x=1, ir mažiausia reikšmė – ties x=2.

Antruoju atveju funkcijų reikšmes apskaičiuojame tik atkarpos [-4;-1] galuose (nes jame nėra nė vieno stacionaraus taško):