Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės. Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė išgaubimo ir vingio taško tyrimas.

Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių samprata.

Didžiausių ir mažiausių verčių sąvoka yra glaudžiai susijusi su funkcijos kritinio taško samprata.

1 apibrėžimas

$x_0$ vadinamas kritiniu funkcijos $f(x)$ tašku, jei:

1) $x_0$ - vidinis apibrėžimo srities taškas;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ arba neegzistuoja.

Dabar pristatysime didžiausių ir mažiausių funkcijos reikšmių apibrėžimus.

2 apibrėžimas

Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, pasiekia didžiausią reikšmę, jei X$ yra taškas $x_0\, todėl nelygybė galioja visiems $x\in X$

3 apibrėžimas

Funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, pasiekia mažiausią reikšmę, jei yra taškas $x_0\in X$, todėl nelygybė galioja visiems $x\in X$

Weierstrasso teorema apie funkciją, kuri tęsiasi intervale

Pirmiausia pristatykime funkcijos tęstinumo intervale sąvoką:

4 apibrėžimas

Laikoma, kad funkcija $f\left(x\right)$ yra ištisinė intervale $$, jei ji yra ištisinė kiekviename intervalo $(a,b)$ taške, o taške taip pat yra ištisinė dešinėje. $x=a$ ir kairėje taške $x =b$.

Suformuluokime teoremą apie funkciją, kuri tęsiasi intervale.

1 teorema

Weierstrasso teorema

Funkcija $f\left(x\right)$, kuri yra ištisinė intervale $$, šiame intervale pasiekia didžiausią ir mažiausią reikšmes, tai yra $\alpha ,\beta \in $ taškai, kad visa $x\in $ nelygybė $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

Teoremos geometrinis aiškinimas parodytas 1 pav.

Čia funkcija $f(x)$ pasiekia mažiausią reikšmę taške $x=\alpha $ pasiekia didžiausią reikšmę taške $x=\beta $.

Schema, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos $f(x)$ reikšmes segmente $$

1) Raskite išvestinę $f"(x)$;

2) Raskite taškus, kuriuose išvestinė $f"\left(x\right)=0$;

3) Raskite taškus, kuriuose išvestinė $f"(x)$ neegzistuoja;

4) Iš 2 ir 3 žingsniuose gautų taškų pasirinkite tuos, kurie priklauso segmentui $$;

5) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taškuose, gautuose 4 žingsnyje, taip pat atkarpos $$ galuose;

6) Iš gautų reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmę.

Problemos ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių segmente

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę segmente: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Sprendimas.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\in \kairėje,\ 3\in $;

5) Vertybės:

\ \ \ \

6) Didžiausia rasta vertė yra 33 USD, mažiausia - 1 USD. Taigi gauname:

Atsakymas:$maks.=33,\min=1$.

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę segmente: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Sprendimas.

Mes atliksime sprendimą pagal aukščiau pateiktą schemą.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ egzistuoja visuose apibrėžimo srities taškuose;

4) $-3\notin \left,\ 5\in $;

5) Vertybės:

\ \ \

6) Didžiausia rasta vertė yra 225 USD, mažiausia rasta 50 USD. Taigi gauname:

Atsakymas:$max = 225,\ min = 50 $.

3 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę intervale [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Sprendimas.

Mes atliksime sprendimą pagal aukščiau pateiktą schemą.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ taške $x=1$ neegzistuoja

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, tačiau 1 nepriklauso apibrėžimo sričiai;

5) Vertybės:

\ \ \

6) Didžiausia rasta reikšmė yra $1$, mažiausia rasta vertė yra $-8\frac(1)(3)$. Taigi gauname: \end(enumerate)

Atsakymas:$max=1,\min==-8\frac(1)(3)$.

Vieningo valstybinio matematikos egzamino B14 užduotyje reikia rasti mažiausią arba didžiausią vieno kintamojo funkcijos reikšmę. Tai gana nereikšminga matematinės analizės problema, ir būtent dėl ​​šios priežasties kiekvienas abiturientas gali ir turėtų išmokti ją normaliai išspręsti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius, kuriuos moksleiviai išsprendė per matematikos diagnostinį darbą, vykusį Maskvoje 2011 m. gruodžio 7 d.

Priklausomai nuo intervalo, per kurį norite rasti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę, šiai problemai išspręsti naudojamas vienas iš šių standartinių algoritmų.

I. Algoritmas ieškant didžiausios arba mažiausios funkcijos reikšmės segmente:

• Raskite funkcijos išvestinę.
• Pasirinkite iš taškų, kurie, kaip įtariama, yra ekstremumai, kurie priklauso tam tikram segmentui ir funkcijos apibrėžimo sričiai.
• Apskaičiuokite vertes funkcijas(ne išvestinė!) šiuose taškuose.
• Iš gautų reikšmių pasirinkite didžiausią arba mažiausią, tai bus norima.

1 pavyzdys. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 segmente.

Sprendimas: Norėdami rasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente, vadovaujamės algoritmu:

• Funkcijos apimtis nėra ribojama: D(y) = R.
• Funkcijos išvestinė lygi: tu = 3x 2 – 36x+ 81. Funkcijos išvestinės apibrėžimo sritis taip pat neribojama: D(y') = R.
• Išvestinės nuliai: tu = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, tai reiškia x 2 – 12x+ 27 = 0, iš kur x= 3 ir x= 9, mūsų intervalas apima tik x= 9 (vienas taškas įtartinas už ekstremumą).
• Funkcijos reikšmę randame taške, kuris įtartinas dėl ekstremumo, ir tarpo kraštuose. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, funkciją pavaizduojame tokia forma: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Taigi iš gautų verčių mažiausia yra 23. Atsakymas: 23.

II. Didžiausios arba mažiausios funkcijos reikšmės radimo algoritmas:

• Raskite funkcijos apibrėžimo sritį.
• Raskite funkcijos išvestinę.
• Nurodykite taškus, įtartinus ekstremumui (tuos, kuriuose funkcijos išvestinė išnyksta, ir taškus, kuriuose nėra dvipusės baigtinės išvestinės).
• Pažymėkite šiuos taškus ir funkcijos apibrėžimo sritį skaičių eilutėje ir nustatykite ženklus išvestinė(ne funkcijos!) gautais intervalais.
• Apibrėžkite vertybes funkcijas(ne išvestinė!) minimaliuose taškuose (tuose taškuose, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą), mažiausia iš šių reikšmių bus mažiausia funkcijos reikšmė. Jei nėra minimalių taškų, tada funkcija neturi minimalios reikšmės.
• Apibrėžkite vertybes funkcijas(ne išvestinė!) didžiausiuose taškuose (tuose taškuose, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą), didžiausia iš šių reikšmių bus didžiausia funkcijos reikšmė. Jei maksimalaus taškų nėra, tada funkcija neturi didžiausios vertės.

2 pavyzdys. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę.

Praktiniu požiūriu didžiausias susidomėjimas yra naudoti išvestinę, kad būtų galima rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Su kuo tai susiję? Maksimalus pelnas, kaštų minimizavimas, optimalios įrangos apkrovos nustatymas... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių tenka spręsti kai kurių parametrų optimizavimo problemas. Ir tai yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo užduotys.

Reikėtų pažymėti, kad didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės paprastai ieškomos tam tikrame intervale X, kuris yra arba visa funkcijos sritis, arba apibrėžimo srities dalis. Pats intervalas X gali būti atkarpa, atviras intervalas , begalinis intervalas.

Šiame straipsnyje kalbėsime apie tai, kaip rasti didžiausią ir mažiausią aiškiai nurodytos vieno kintamojo funkcijos reikšmes y=f(x) .

Puslapio naršymas.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos.

Trumpai pažvelkime į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcijos reikšmė kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Mažiausia funkcijos reikšmė y=f(x) intervale X vadinama tokia reikšme kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Šie apibrėžimai yra intuityvūs: didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimtina reikšmė nagrinėjamame intervale ties abscisėmis.

Stacionarūs taškai– tai yra argumento reikšmės, kurioms esant funkcijos išvestinė tampa nuliu.

Kodėl mums reikia stacionarių taškų ieškant didžiausių ir mažiausių verčių? Atsakymą į šį klausimą duoda Ferma teorema. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei diferencijuojama funkcija tam tikru momentu turi ekstremumą (lokalų minimumą arba vietinį maksimumą), tai šis taškas yra stacionarus. Taigi funkcija dažnai paima didžiausią (mažiausią) reikšmę intervale X viename iš šio intervalo stacionarių taškų.

Be to, funkcija dažnai gali įgyti didžiausias ir mažiausias reikšmes taškuose, kuriuose nėra pirmosios šios funkcijos išvestinės, o pati funkcija yra apibrėžta.

Iš karto atsakykime į vieną dažniausių klausimų šia tema: „Ar visada įmanoma nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę“? Ne ne visada. Kartais intervalo X ribos sutampa su funkcijos apibrėžimo srities ribomis arba intervalas X yra begalinis. O kai kurios funkcijos begalybėje ir apibrėžimo srities ribose gali turėti ir be galo dideles, ir be galo mažas reikšmes. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Aiškumo dėlei pateiksime grafinę iliustraciją. Pažvelkite į nuotraukas ir daug kas taps aiškiau.

Ant segmento

Pirmame paveikslėlyje funkcija užima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje [-6;6].

Apsvarstykite atvejį, pavaizduotą antrame paveikslėlyje. Pakeiskime segmentą į . Šiame pavyzdyje mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama stacionariame taške, o didžiausia – taške, kurio abscisė atitinka dešiniąją intervalo ribą.

3 paveiksle atkarpos [-3;2] ribiniai taškai yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, abscisės.

Atviru intervalu

Ketvirtajame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atviro intervalo viduje (-6;6).

Intervale negalima daryti išvadų apie didžiausią reikšmę.

Begalybėje

Septintame paveikslėlyje pateiktame pavyzdyje funkcija įgauna didžiausią reikšmę (max y) stacionariame taške, kurio abscisė x=1, o mažiausia reikšmė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y=3.

Per intervalą funkcija nepasiekia nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Artėjant x = 2 iš dešinės, funkcijos reikšmės linkusios atėmus begalybę (linija x = 2 yra vertikali asimptotė), o abscisei plius begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y = 3. Šio pavyzdžio grafinė iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas, skirtas rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos reikšmes segmente.

Parašykime algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmes.

1. Surandame funkcijos apibrėžimo sritį ir patikriname, ar joje yra visas segmentas.
2. Randame visus taškus, kuriuose pirmoji išvestinė neegzistuoja ir kurie yra segmente (dažniausiai tokie taškai randami funkcijose su argumentu po modulio ženklu ir laipsnio funkcijose su trupmeniniu-racionaliuoju rodikliu). Jei tokių taškų nėra, pereikite prie kito punkto.
3. Nustatome visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), taip pat x=a ir x=b.
5. Iš gautų funkcijos reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią – jos bus atitinkamai reikalingos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Išanalizuokime pavyzdžio sprendimo algoritmą, kad surastume didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.

Pavyzdys.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

• ant segmento;
• atkarpoje [-4;-1] .

Sprendimas.

Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus nulį, ty. Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Raskite funkcijos išvestinę, atsižvelgiant į:

Akivaizdu, kad funkcijos išvestinė egzistuoja visuose atkarpų taškuose ir [-4;-1].

Iš lygties nustatome stacionarius taškus. Vienintelė tikroji šaknis yra x=2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške, ty x=1, x=2 ir x=4:

Todėl didžiausia funkcijos vertė pasiekiama, kai x=1, ir mažiausia reikšmė – ties x=2.

Antruoju atveju funkcijų reikšmes apskaičiuojame tik atkarpos [-4;-1] galuose (nes jame nėra nė vieno stacionaraus taško):

Sprendimas.

Pradėkime nuo funkcijos srities. Kvadratinis trinaris trupmenos vardiklyje neturi išnykti:

Nesunku patikrinti, ar visi problemos teiginio intervalai priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai.

Išskirkime funkciją:

Akivaizdu, kad išvestinė egzistuoja visoje funkcijos apibrėžimo srityje.

Raskime stacionarius taškus. Išvestinė eina į nulį ties . Šis stacionarus taškas patenka į intervalus (-3;1] ir (-3;2).

Dabar kiekviename taške gautus rezultatus galite palyginti su funkcijos grafiku. Mėlynos punktyrinės linijos rodo asimptotes.

Šiuo metu galime baigti suradę didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Šiame straipsnyje aptariami algoritmai leidžia pasiekti rezultatų atliekant minimalius veiksmus. Tačiau gali būti naudinga pirmiausia nustatyti didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus ir tik po to daryti išvadas apie didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes bet kuriame intervale. Tai suteikia aiškesnį vaizdą ir tikslesnį rezultatų pagrindimą.

Kartais problemose B15 yra „blogų“ funkcijų, kurioms sunku rasti išvestinę. Anksčiau tai atsitikdavo tik pavyzdinių testų metu, o dabar šios užduotys tokios įprastos, kad ruošiantis tikrajam vieningam valstybiniam egzaminui jų ignoruoti nebegalima.

Šiuo atveju veikia kiti metodai, iš kurių vienas yra monotoniškas.

Laikoma, kad funkcija f (x) monotoniškai didėja atkarpoje, jei bet kuriuose šios atkarpos taškuose x 1 ir x 2 galioja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Laikoma, kad funkcija f (x) monotoniškai mažėja atkarpoje, jei bet kuriuose šios atkarpos taškuose x 1 ir x 2 galioja:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Kitaip tariant, didėjančiai funkcijai, kuo didesnis x, tuo didesnis f(x). Mažėjančiai funkcijai yra atvirkščiai: kuo didesnis x, tuo mažiau f(x).

Pavyzdžiui, logaritmas didėja monotoniškai, jei bazė a > 1, ir monotoniškai mažėja, jei 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetinė kvadratinė (ir ne tik kvadratinė) šaknis monotoniškai didėja visoje apibrėžimo srityje:

Eksponentinė funkcija veikia panašiai kaip logaritmas: ji didėja, kai a > 1 ir mažėja, kai 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Galiausiai laipsniai su neigiamu rodikliu. Galite rašyti juos kaip trupmeną. Jie turi lūžio tašką, kuriame nutrūksta monotonija.

Visos šios funkcijos niekada nerandamos gryna forma. Jie prideda daugianario, trupmenos ir kitų nesąmonių, todėl sunku apskaičiuoti išvestinę. Pažiūrėkime, kas atsitiks šiuo atveju.

Parabolės viršūnių koordinatės

Dažniausiai funkcijos argumentas pakeičiamas kvadratinis trinaris formos y = ax 2 + bx + c. Jos grafikas yra standartinė parabolė, kuri mus domina:

1. Parabolės šakos gali kilti aukštyn (> 0) arba žemyn (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Parabolės viršūnė yra kvadratinės funkcijos ekstremalus taškas, kuriame ši funkcija įgyja savo minimumą (jeigu a > 0) arba maksimumą (a< 0) значение.

Didžiausią susidomėjimą kelia parabolės viršūnė, kurios abscisė apskaičiuojama pagal formulę:

Taigi, mes radome kvadratinės funkcijos ekstremalų tašką. Bet jei pradinė funkcija yra monotoniška, jai taškas x 0 taip pat bus kraštutinis taškas. Taigi, suformuluosime pagrindinę taisyklę:

Kvadratinio trinalio ir kompleksinės funkcijos, į kurią jis įtrauktas, ekstremalūs taškai sutampa. Todėl galite ieškoti kvadratinio trinario x 0 ir pamiršti apie funkciją.

Iš aukščiau pateiktų samprotavimų lieka neaišku, kurį tašką gauname: maksimalų ar minimumą. Tačiau užduotys yra specialiai sukurtos, kad tai nebūtų svarbu. Spręskite patys:

1. Problemos teiginyje nėra segmento. Todėl f(a) ir f(b) skaičiuoti nereikia. Belieka atsižvelgti tik į kraštutinius dalykus;
2. Tačiau toks taškas yra tik vienas – tai parabolės x 0 viršūnė, kurios koordinatės skaičiuojamos pažodžiui žodžiu ir be jokių išvestinių.

Taigi problemos sprendimas yra labai supaprastintas ir susideda tik iš dviejų žingsnių:

1. Užrašykite parabolės y = ax 2 + bx + c lygtį ir pagal formulę raskite jos viršūnę: x 0 = −b /2a ;
2. Raskite pradinės funkcijos reikšmę šiame taške: f (x 0). Jei nėra papildomų sąlygų, tai bus atsakymas.

Iš pirmo žvilgsnio šis algoritmas ir jo pagrindimas gali atrodyti sudėtingi. Aš sąmoningai neskelbiu „plikos“ sprendimo diagramos, nes neapgalvotas tokių taisyklių taikymas yra kupinas klaidų.

Pažvelkime į tikras problemas iš vieningo valstybinio matematikos egzamino – čia ši technika randama dažniausiai. Tuo pačiu pasirūpinsime, kad tokiu būdu daugelis B15 problemų taptų kone oralinėmis.

Po šaknimi yra kvadratinė funkcija y = x 2 + 6x + 13. Šios funkcijos grafikas yra parabolė su šakomis į viršų, nes koeficientas a = 1 > 0.

Parabolės viršūnė:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Kadangi parabolės šakos nukreiptos į viršų, taške x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 įgyja mažiausią reikšmę.

Šaknis didėja monotoniškai, o tai reiškia, kad x 0 yra mažiausias visos funkcijos taškas. Mes turime:

Užduotis. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Po logaritmu vėl yra kvadratinė funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Grafas yra parabolė su šakomis į viršų, nes a = 1 > 0.

Parabolės viršūnė:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Taigi taške x 0 = −1 kvadratinė funkcija įgyja mažiausią reikšmę. Tačiau funkcija y = log 2 x yra monotoniška, todėl:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Rodyklėje yra kvadratinė funkcija y = 1 − 4x − x 2 . Perrašykime jį normalia forma: y = −x 2 − 4x + 1.

Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra parabolė, išsišakojanti žemyn (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Pradinė funkcija yra eksponentinė, ji yra monotoniška, todėl didžiausia reikšmė bus rastame taške x 0 = −2:

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai pastebės, kad mes nenurašėme šaknies ir logaritmo leistinų verčių diapazono. Tačiau to nereikėjo: viduje yra funkcijų, kurių vertės visada yra teigiamos.

Išvados iš funkcijos srities

Kartais užduočiai B15 išspręsti neužtenka vien rasti parabolės viršūnę. Vertė, kurios ieškote, gali meluoti segmento pabaigoje, ir visai ne kraštutiniame taške. Jei problema iš viso nenurodo segmento, pažiūrėkite priimtinų verčių diapazoną originali funkcija. Būtent:

Dar kartą atkreipkite dėmesį: nulis gali būti po šaknimi, bet niekada – trupmenos logaritme ar vardiklyje. Pažiūrėkime, kaip tai veikia su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę:

Po šaknimi vėl yra kvadratinė funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Jo grafikas yra parabolė, bet išsišakoja žemyn, nes a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Išrašome leistinų verčių diapazoną (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Dabar suraskime parabolės viršūnę:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Taškas x 0 = −1 priklauso atkarpai ODZ – ir tai gerai. Dabar apskaičiuojame funkcijos reikšmę taške x 0, taip pat ODZ galuose:

y(−3) = y(1) = 0

Taigi, gavome skaičius 2 ir 0. Mūsų prašoma rasti didžiausią – tai skaičius 2.

Užduotis. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritmo viduje yra kvadratinė funkcija y = 6x − x 2 − 5. Tai parabolė su šakomis žemyn, bet logaritme negali būti neigiamų skaičių, todėl išrašome ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Atkreipkite dėmesį: nelygybė yra griežta, todėl galai nepriklauso ODZ. Tai skiriasi logaritmu nuo šaknies, kur segmento galai mums tinka gana gerai.

Ieškome parabolės viršūnės:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Parabolės viršūnė tinka pagal ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet kadangi mums neįdomūs atkarpos galai, funkcijos reikšmę apskaičiuojame tik taške x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Praktikoje gana įprasta naudoti išvestinę didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. Šį veiksmą atliekame tada, kai išsiaiškiname, kaip sumažinti išlaidas, padidinti pelną, apskaičiuoti optimalų gamybos apkrovą ir pan., tai yra tais atvejais, kai reikia nustatyti optimalią parametro reikšmę. Norėdami teisingai išspręsti tokias problemas, turite gerai suprasti, kokios yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Paprastai šias reikšmes apibrėžiame per tam tikrą intervalą x, kuris savo ruožtu gali atitikti visą funkcijos sritį arba jos dalį. Tai gali būti kaip atkarpa [a; b ] , ir atvirasis intervalas (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), begalinis intervalas (a ; b), (a ; b ], [a ; b) arba begalinis intervalas - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šioje medžiagoje mes jums pasakysime, kaip apskaičiuoti didžiausias ir mažiausias aiškiai apibrėžtos funkcijos reikšmes su vienu kintamuoju y=f(x) y = f (x) .

Pagrindiniai apibrėžimai

Pradėkime, kaip visada, nuo pagrindinių apibrėžimų formulavimo.

1 apibrėžimas

Didžiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m a x y = f (x 0) x ∈ X, kuri bet kuriai reikšmei x x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f (x) ≤ f (x) galioja 0) .

2 apibrėžimas

Mažiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m i n x ∈ X y = f (x 0) , kuri bet kuriai reikšmei x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Šie apibrėžimai yra gana akivaizdūs. Dar paprasčiau, galime pasakyti taip: didžiausia funkcijos reikšmė yra jos didžiausia reikšmė žinomame intervale ties abscisėmis x 0, o mažiausia yra mažiausia priimtina reikšmė tame pačiame intervale ties x 0.

3 apibrėžimas

Stacionarieji taškai yra tos funkcijos argumento reikšmės, kuriose jo išvestinė tampa 0.

Kodėl turime žinoti, kas yra stacionarūs taškai? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime prisiminti Ferma teoremą. Iš to išplaukia, kad stacionarus taškas yra taškas, kuriame yra diferencijuojamos funkcijos ekstremumas (t. y. jos vietinis minimumas arba maksimumas). Vadinasi, funkcija įgaus mažiausią arba didžiausią reikšmę tam tikru intervalu būtent viename iš stacionarių taškų.

Funkcija taip pat gali įgyti didžiausią arba mažiausią reikšmę tuose taškuose, kuriuose pati funkcija yra apibrėžta ir neegzistuoja pirmoji jos išvestinė.

Pirmas klausimas, kylantis studijuojant šią temą: ar visais atvejais galime nustatyti didžiausią ar mažiausią funkcijos reikšmę duotame intervale? Ne, mes negalime to padaryti, kai tam tikro intervalo ribos sutampa su apibrėžimo srities ribomis arba jei turime reikalą su begaliniu intervalu. Taip pat atsitinka, kad funkcija tam tikrame segmente arba begalybėje įgaus be galo mažas arba be galo dideles reikšmes. Tokiais atvejais neįmanoma nustatyti didžiausios ir (arba) mažiausios vertės.

Šie taškai taps aiškesni, kai bus pavaizduoti diagramose:

Pirmajame paveikslėlyje pavaizduota funkcija, kuri stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpoje [-6 ; 6].

Išsamiai panagrinėkime antroje diagramoje nurodytą atvejį. Pakeiskime atkarpos reikšmę į [ 1 ; 6 ] ir mes nustatome, kad maksimali funkcijos reikšmė bus pasiekta taške, kurio abscisė yra dešinėje intervalo riboje, o mažiausia – stacionariame taške.

Trečiame paveiksle taškų abscisės žymi atkarpos ribinius taškus [ - 3 ; 2]. Jie atitinka didžiausią ir mažiausią tam tikros funkcijos reikšmę.

Dabar pažiūrėkime į ketvirtą paveikslėlį. Jame funkcija ima m a x y (didžiausia reikšmė) ir m i n y (mažiausią reikšmę) atviro intervalo stacionariuose taškuose (- 6 ; 6).

Jei imtume intervalą [ 1 ; 6), tada galime pasakyti, kad mažiausia joje esančios funkcijos reikšmė bus pasiekta stacionariame taške. Didžiausia vertybė mums bus nežinoma. Funkcija gali gauti didžiausią reikšmę, kai x yra lygi 6, jei x = 6 priklausytų intervalui. Būtent toks atvejis parodytas 5 diagramoje.

6 grafike ši funkcija mažiausią reikšmę įgyja ties dešiniąja intervalo riba (- 3; 2 ] ir negalime daryti konkrečių išvadų apie didžiausią reikšmę.

7 paveiksle matome, kad funkcija m a x y stacionariame taške, kurio abscisė lygi 1. Funkcija pasieks mažiausią vertę ties intervalo riba dešinėje pusėje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3.

Jei imtume intervalą x ∈ 2 ; + ∞ , tada pamatysime, kad duotoji funkcija neužims nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Jei x linkęs į 2, tada funkcijos reikšmės bus linkusios atėmus begalybę, nes tiesė x = 2 yra vertikali asimptotė. Jei abscisė linkusi padidinti begalybę, tada funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3. Būtent toks atvejis parodytas 8 paveiksle.

Šioje pastraipoje pateiksime veiksmų, kuriuos reikia atlikti, norint rasti didžiausią arba mažiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmę, seką.

1. Pirmiausia suraskime funkcijos apibrėžimo sritį. Patikrinkime, ar sąlygoje nurodytas segmentas į jį įtrauktas.
2. Dabar apskaičiuokime taškus, esančius šiame segmente, kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Dažniausiai juos galima rasti funkcijose, kurių argumentas parašytas po modulio ženklu, arba laipsnio funkcijose, kurių eksponentas yra trupmeninis racionalusis skaičius.
3. Toliau išsiaiškinsime, kurie stacionarūs taškai pateks duotoje atkarpoje. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti funkcijos išvestinę, tada prilyginti ją 0 ir išspręsti gautą lygtį, o tada pasirinkti atitinkamas šaknis. Jei negauname nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą segmentą, pereiname prie kito žingsnio.
4. Nustatome, kokias reikšmes funkcija įgis tam tikruose stacionariuose taškuose (jei tokių yra) arba tuose taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), arba apskaičiuojame x = a ir reikšmes. x = b.
5. 5. Turime keletą funkcijų reikšmių, iš kurių dabar turime pasirinkti didžiausią ir mažiausią. Tai bus didžiausios ir mažiausios funkcijos, kurią turime rasti, reikšmės.

Pažiūrėkime, kaip teisingai pritaikyti šį algoritmą sprendžiant problemas.

1 pavyzdys

Būklė: pateikta funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nustatykite jo didžiausias ir mažiausias reikšmes segmentuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Sprendimas:

Pradėkime nuo nurodytos funkcijos apibrėžimo srities. Šiuo atveju tai bus visų realiųjų skaičių, išskyrus 0, rinkinys. Kitaip tariant, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Abu sąlygoje nurodyti segmentai bus apibrėžimo srityje.

Dabar apskaičiuojame funkcijos išvestinę pagal trupmenų diferenciacijos taisyklę:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Sužinojome, kad funkcijos išvestinė egzistuos visuose atkarpų taškuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Dabar turime nustatyti stacionarius funkcijos taškus. Padarykime tai naudodami lygtį x 3 – 8 x 3 = 0. Jis turi tik vieną tikrą šaknį, kuri yra 2. Tai bus stacionarus funkcijos taškas ir pateks į pirmąjį segmentą [1; 4].

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes pirmojo segmento galuose ir šiame taške, t.y. jei x = 1, x = 2 ir x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos m a x y x ∈ reikšmė [1; 4 ] = y (2) = 3 bus pasiektas esant x = 1, o mažiausias m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – kai x = 2.

Antrasis segmentas neapima vieno stacionaraus taško, todėl funkcijų reikšmes turime apskaičiuoti tik nurodyto segmento galuose:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tai reiškia m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atsakymas: Segmentui [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 atkarpai [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Žiūrėti paveikslėlį:

Prieš studijuojant šį metodą, patariame peržvelgti, kaip teisingai apskaičiuoti vienpusę ribą ir ribą begalybėje, taip pat išmokti pagrindinius jų radimo būdus. Norėdami rasti didžiausią ir (arba) mažiausią funkcijos reikšmę atvirame arba begaliniame intervale, nuosekliai atlikite šiuos veiksmus.

1. Pirmiausia turite patikrinti, ar nurodytas intervalas yra šios funkcijos apibrėžimo srities poaibis.
2. Nustatykime visus taškus, esančius reikiamame intervale ir kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Paprastai jie atsiranda funkcijose, kuriose argumentas yra įterptas į modulio ženklą, ir laipsnio funkcijose su trupmeniniu racionaliuoju rodikliu. Jei šių taškų trūksta, galite pereiti prie kito veiksmo.
3. Dabar nustatykime, kurie stacionarūs taškai pateks į nurodytą intervalą. Pirmiausia išvestinę prilyginame 0, išsprendžiame lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei neturime nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą intervalą, nedelsdami pereiname prie tolesnių veiksmų. Jie nustatomi pagal intervalo tipą.

• Jei intervalas yra [ a ; b) , tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = a ir vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) .
• Jei intervalas turi formą (a; b ], tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = b ir vienpusę ribą lim x → a + 0 f (x).
• Jei intervalas turi formą (a; b), tada turime apskaičiuoti vienpuses ribas lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Jei intervalas yra [ a ; + ∞), tada turime apskaičiuoti reikšmę taške x = a ir ribą plius begalybėje lim x → + ∞ f (x) .
• Jei intervalas atrodo taip (- ∞ ; b ] , apskaičiuojame reikšmę taške x = b ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x) .
• Jei - ∞ ; b , tada atsižvelgsime į vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x)
• Jei - ∞; + ∞ , tada atsižvelgiame į minuso ir pliuso begalybės ribas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Pabaigoje, remiantis gautomis funkcijų reikšmėmis ir ribomis, reikia padaryti išvadą. Čia yra daug variantų. Taigi, jei vienpusė riba yra lygi minus begalybei arba plius begalybei, tada iš karto aišku, kad nieko negalima pasakyti apie mažiausias ir didžiausias funkcijos reikšmes. Žemiau apžvelgsime vieną tipišką pavyzdį. Išsamūs aprašymai padės suprasti, kas yra kas. Jei reikia, galite grįžti prie 4 - 8 paveikslų pirmoje medžiagos dalyje.

Sąlyga: duota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Apskaičiuokite jo didžiausią ir mažiausią reikšmę intervaluose - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2), [ 1 ; 2 ), 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Sprendimas

Pirmiausia randame funkcijos apibrėžimo sritį. Trupmenos vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kuris neturėtų virsti 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Gavome funkcijos apibrėžimo sritį, kuriai priklauso visi sąlygoje nurodyti intervalai.

Dabar atskirkime funkciją ir gaukime:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​× + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Vadinasi, funkcijos išvestiniai egzistuoja visoje jos apibrėžimo srityje.

Pereikime prie stacionarių taškų paieškos. Funkcijos išvestinė tampa 0, kai x = - 1 2 . Tai yra stacionarus taškas, esantis intervaluose (- 3 ; 1 ] ir (- 3 ; 2).

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę esant x = - 4 intervalui (- ∞ ; - 4 ], taip pat ribą minus begalybėje:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kadangi 3 e 1 6 - 4 > - 1, tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tai neleidžia vienareikšmiškai nustatyti mažiausios Galime tik daryti išvadą, kad yra apribojimas, esantis žemiau - 1, nes iki šios reikšmės funkcija asimptotiškai artėja prie minus begalybės.

Antrojo intervalo ypatumas yra tas, kad jame nėra nei vieno stacionaraus taško, nei vienos griežtos ribos. Vadinasi, negalėsime apskaičiuoti nei didžiausios, nei mažiausios funkcijos reikšmės. Apibrėžę ribą minus begalybėje ir kairėje pusėje esant argumentui - 3, gauname tik reikšmių intervalą:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tai reiškia, kad funkcijų reikšmės bus intervale - 1; +∞

Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę trečiajame intervale, nustatome jos reikšmę stacionariame taške x = - 1 2, jei x = 1. Taip pat turėsime žinoti vienpusę ribą tuo atveju, kai argumentas linkęs į - 3 dešinėje:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Paaiškėjo, kad funkcija įgaus didžiausią reikšmę stacionariame taške m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kalbant apie mažiausią reikšmę, mes negalime jos nustatyti. Viskas, ką mes žinome , yra apatinės ribos iki -4 buvimas.

Intervalui (- 3 ; 2) paimkite ankstesnio skaičiavimo rezultatus ir dar kartą apskaičiuokite, kam lygi vienpusė riba, kai kairėje pusėje linkstama į 2:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, o mažiausia reikšmė negali būti nustatyta, o funkcijos reikšmės iš apačios ribojamos skaičiumi - 4 .

Remdamiesi tuo, ką gavome atlikdami du ankstesnius skaičiavimus, galime pasakyti, kad intervale [1; 2) funkcija įgis didžiausią reikšmę, kai x = 1, bet neįmanoma rasti mažiausios.

Intervale (2 ; + ∞) funkcija nepasieks nei didžiausios, nei mažiausios reikšmės, t.y. jis paims vertes iš intervalo - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

Apskaičiavę, kokiai funkcijos reikšmė bus lygi, kai x = 4, sužinome, kad m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , o duotoji funkcija plius begalybėje asimptotiškai priartės prie tiesės y = - 1 .

Palyginkime tai, ką gavome kiekviename skaičiavime, su pateiktos funkcijos grafiku. Paveiksle asimptotės pavaizduotos punktyrinėmis linijomis.

Tai viskas, ką norėjome jums pasakyti apie didžiausių ir mažiausių funkcijos verčių radimą. Mūsų pateiktos veiksmų sekos padės kuo greičiau ir paprasčiau atlikti reikiamus skaičiavimus. Tačiau atminkite, kad dažnai pravartu pirmiausia išsiaiškinti, kokiais intervalais funkcija mažės, o kokiais didės, o po to galite padaryti tolesnes išvadas. Taip galite tiksliau nustatyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes bei pagrįsti gautus rezultatus.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter