Gradientas funkcijas– vektorinis dydis, kurio nustatymas siejamas su funkcijos dalinių išvestinių nustatymu. Gradiento kryptis rodo sparčiausio funkcijos augimo kelią iš vieno skaliarinio lauko taško į kitą.
Instrukcijos
1. Funkcijos gradiento problemai išspręsti naudojami diferencialinio skaičiavimo metodai, ty trijų kintamųjų pirmos eilės dalinių išvestinių radimas. Daroma prielaida, kad pati funkcija ir visos jos dalinės išvestinės funkcijos apibrėžimo srityje turi tęstinumo savybę.
2. Gradientas yra vektorius, kurio kryptis rodo sparčiausio funkcijos F didėjimo kryptį. Tam grafike parenkami du taškai M0 ir M1, kurie yra vektoriaus galai. Gradiento dydis lygus funkcijos didėjimo greičiui nuo taško M0 iki taško M1.
3. Funkcija yra diferencijuojama visuose šio vektoriaus taškuose, todėl vektoriaus projekcijos koordinačių ašyse yra visos jos dalinės išvestinės. Tada gradiento formulė atrodo taip: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, kur i, j, k yra vieneto vektoriaus koordinatės . Kitaip tariant, funkcijos gradientas yra vektorius, kurio koordinatės yra jos dalinės išvestinės grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. Pavyzdys 1. Tegul funkcija F = sin(x z?)/y. Būtina aptikti jo gradientą taške (?/6, 1/4, 1).
5. Sprendimas Nustatykite kiekvieno kintamojo dalines išvestines: F'_х = 1/y сos(х z?) z? (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Pakeiskite garsiąsias taško koordinačių reikšmes: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2?/?3.
7. Taikykite funkcijos gradiento formulę:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. 2 pavyzdys. Raskite funkcijos F = y arсtg (z/x) gradiento taške (1, 2, 1) koordinates.
9. Sprendimas.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4; F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).
Skaliarinio lauko gradientas yra vektorinis dydis. Taigi, norint jį rasti, remiantis žiniomis apie skaliarinio lauko padalijimą, reikia nustatyti visus atitinkamo vektoriaus komponentus.
Instrukcijos
1. Kas yra skaliarinio lauko gradientas, perskaitykite aukštosios matematikos vadovėlyje. Kaip žinote, šis vektorinis dydis turi kryptį, kuriai būdingas didžiausias skaliarinės funkcijos mažėjimo greitis. Toks šio vektorinio dydžio aiškinimas pagrįstas jo komponentų nustatymo išraiška.
2. Atminkite, kad bet kurį vektorių lemia jo komponentų dydžiai. Vektoriaus komponentai iš tikrųjų yra šio vektoriaus projekcijos į vieną ar kitą koordinačių ašį. Taigi, jei atsižvelgiama į trimatę erdvę, vektorius turi turėti tris komponentus.
3. Užrašykite, kaip nustatomos vektoriaus, kuris yra tam tikro lauko gradientas, komponentai. Visos tokio vektoriaus koordinatės yra lygios skaliarinio potencialo išvestinei kintamojo, kurio koordinatė skaičiuojama, atžvilgiu. Tai yra, jei jums reikia apskaičiuoti lauko gradiento vektoriaus „x“ komponentą, tada skaliarinę funkciją turite atskirti nuo „x“ kintamojo. Atkreipkite dėmesį, kad išvestinė priemonė turi būti dalinė. Tai reiškia, kad diferenciacijos metu likę jame nedalyvaujantys kintamieji turi būti laikomi konstantomis.
4. Parašykite skaliarinio lauko išraišką. Kaip gerai žinoma, šis terminas reiškia tik kelių kintamųjų, kurie taip pat yra skaliariniai dydžiai, skaliarinę funkciją. Skaliarinės funkcijos kintamųjų skaičių riboja erdvės matmenys.
5. Atskirai atskirkite skaliarinę funkciją pagal kiekvieną kintamąjį. Dėl to gausite tris naujas funkcijas. Įrašykite bet kurią funkciją į skaliarinio lauko gradiento vektoriaus išraišką. Kiekviena iš gautų funkcijų iš tikrųjų yra tam tikros koordinatės vienetinio vektoriaus indikatorius. Taigi galutinis gradiento vektorius turėtų atrodyti kaip daugianomas, kurio eksponentai yra funkcijos išvestinių pavidalu.
Svarstant problemas, susijusias su gradiento vaizdavimu, įprasta galvoti apie funkcijas kaip apie skaliarinius laukus. Todėl būtina įvesti atitinkamą žymėjimą.
Jums reikės
- – bumas;
- - rašiklis.
Instrukcijos
1. Tegul funkcija nurodoma trimis argumentais u=f(x, y, z). Dalinė funkcijos išvestinė, pavyzdžiui, x atžvilgiu, apibrėžiama kaip išvestinė šio argumento atžvilgiu, gaunama fiksuojant likusius argumentus. Panašiai ir su kitais argumentais. Dalinės išvestinės žymėjimas rašomas tokia forma: df/dx = u’x ...
2. Bendras skirtumas bus lygus du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. Dalinės išvestinės gali būti suprantamos kaip išvestinės koordinačių ašių kryptimis. Vadinasi, kyla klausimas, kaip rasti išvestinę duoto vektoriaus s krypties atžvilgiu taške M(x, y, z) (nepamirškite, kad kryptį s lemia vienetinis vektorius s^o). Šiuo atveju argumentų (dx, dy, dz) vektorinis diferencialas = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).
3. Atsižvelgdami į suminio diferencialo du formą, galime daryti išvadą, kad išvestinė kryptimi s taške M yra lygi: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gama).Jei s = s(sx,sy,sz), tada krypties kosinusai (cos(alfa), cos(beta) ), apskaičiuojami cos(gama)) (žr. 1a pav.).
4. Kryptinės išvestinės apibrėžimas, laikant tašką M kintamuoju, gali būti perrašytas į skaliarinę sandaugą: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Ši išraiška bus objektyvi skaliariniam laukui. Jei funkcija yra laikoma lengvai, tai gradf yra vektorius, kurio koordinatės sutampa su dalinėmis išvestinėmis f(x, y, z). gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Čia (i, j, k) yra koordinačių ašių vienetiniai vektoriai stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje.
5. Jei naudosime Hamiltono diferencialinio vektoriaus operatorių, tai gradf galima parašyti kaip šio vektoriaus operatoriaus dauginimą iš skaliro f (žr. 1b pav.). Ryšio tarp gradf ir kryptinės išvestinės požiūriu priimtina lygybė (gradf, s^o)=0, jei šie vektoriai yra stačiakampiai. Todėl gradf dažnai apibrėžiamas kaip sparčiausios skaliarinio lauko metamorfozės kryptis. O diferencialinių operacijų požiūriu (vienas iš jų yra gradf), gradf savybės tiksliai atkartoja diferencijuojančių funkcijų savybes. Visų pirma, jei f=uv, tai gradf=(vgradu+u gradv).
Video tema
Gradientas Tai įrankis, kuris grafiniuose redaktoriuose užpildo siluetą sklandžiu perėjimu iš vienos spalvos į kitą. Gradientas gali suteikti siluetui apimties rezultatą, imituoti apšvietimą, šviesos blizgesį objekto paviršiuje ar saulėlydžio rezultatą nuotraukos fone. Šis įrankis yra plačiai naudojamas, todėl apdorojant nuotraukas ar kuriant iliustracijas labai svarbu išmokti juo naudotis.
Jums reikės
- Kompiuteris, grafikos redaktorius Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ar kitas.
Instrukcijos
1. Atidarykite vaizdą programoje arba padarykite naują. Padarykite siluetą arba pasirinkite norimą paveikslėlio sritį.
2. Įjunkite gradiento įrankį grafikos rengyklės įrankių juostoje. Užveskite pelės žymeklį ant taško, esančio pasirinktoje srityje arba siluete, kur prasidės 1-oji gradiento spalva. Spustelėkite ir palaikykite kairįjį pelės mygtuką. Perkelkite žymeklį į tašką, kuriame norite, kad gradientas pasikeistų į galutinę spalvą. Atleiskite kairįjį pelės mygtuką. Pasirinktas siluetas bus užpildytas gradiento užpildu.
3. Gradientas Tam tikrame užpildymo taške galite nustatyti skaidrumą, spalvas ir jų santykį. Norėdami tai padaryti, atidarykite gradiento redagavimo langą. Norėdami atidaryti redagavimo langą „Photoshop“, spustelėkite gradiento pavyzdį skydelyje Parinktys.
4. Atsidariusiame lange pavyzdžių pavidalu rodomos galimos gradiento užpildymo parinktys. Norėdami redaguoti vieną iš parinkčių, pasirinkite ją pelės paspaudimu.
5. Lango apačioje rodomas gradiento pavyzdys plačios skalės pavidalu, ant kurio yra slankikliai. Slankikliai nurodo taškus, kuriuose gradientas turi turėti nurodytus lygiavimus, o intervale tarp slankmačių spalva tolygiai pereina nuo pirmame taške nurodytos spalvos į 2-ojo taško spalvą.
6. Skalės viršuje esantys slankikliai nustato gradiento skaidrumą. Norėdami pakeisti skaidrumą, spustelėkite reikiamą slankiklį. Po skale pasirodys laukas, kuriame įvesite reikiamą skaidrumo laipsnį procentais.
7. Skalės apačioje esantys slankikliai nustato gradiento spalvas. Paspaudę vieną iš jų galėsite pasirinkti norimą spalvą.
8. Gradientas gali turėti keletą pereinamųjų spalvų. Norėdami nustatyti kitą spalvą, spustelėkite laisvą vietą skalės apačioje. Ant jo atsiras kitas slankiklis. Suteikite jam reikiamą spalvą. Skalėje bus rodomas gradiento pavyzdys su dar vienu tašku. Galite perkelti slankiklius laikydami juos kairiuoju pelės klavišu, kad pasiektumėte norimą derinį.
9. Gradientas Jie būna kelių tipų, kurie gali suteikti formą plokštiems siluetams. Pavyzdžiui, norint apskritimui suteikti rutulio formą, naudojamas radialinis gradientas, o norint suteikti kūgio formą – kūgio formos gradientas. Norėdami suteikti paviršiui išgaubtumo iliuziją, galite naudoti veidrodinį gradientą, o deimanto formos gradientą galima sukurti akcentams.
Video tema
Video tema
Jei kiekviename erdvės taške ar erdvės dalyje nustatoma tam tikro dydžio reikšmė, tada jie sako, kad šio dydžio laukas yra nurodytas. Laukas vadinamas skaliariniu, jei nagrinėjamas dydis yra skaliarinis, t.y. visiškai charakterizuojamas jo skaitine verte. Pavyzdžiui, temperatūros laukas. Skaliarinis laukas pateikiamas skaliarinio taško funkcija u = /(M). Jeigu erdvėje įvesta Dekarto koordinačių sistema, tai yra trijų kintamųjų funkcija x, yt z – taško M koordinatės: Apibrėžimas. Skaliarinio lauko lygus paviršius yra taškų, kuriuose funkcija f(M) įgyja tą pačią reikšmę, rinkinys. Lygio paviršiaus lygtis Pavyzdys 1. Raskite lygius skaliarinio lauko paviršius VEKTORIŲ ANALIZĖ Skaliarinis laukas Paviršiai ir lygio linijos Krypties išvestinė Išvestinė Skaliarinio lauko gradientas Pagrindinės gradiento savybės Nekintamas gradiento apibrėžimas Gradiento skaičiavimo taisyklės -4 Pagal apibrėžimą , lygaus paviršiaus lygtis bus. Tai lygtis sferos (su Ф 0), kurios centras yra pradžioje. Skaliarinis laukas vadinamas plokščiuoju, jei laukas yra vienodas visose plokštumose, lygiagrečiose tam tikrai plokštumai. Jei nurodyta plokštuma yra xOy plokštuma, tai lauko funkcija nepriklausys nuo z koordinatės, t.y., ji bus tik argumentų x ir y funkcija. Plokštumos lauką galima apibūdinti naudojant lygio linijas - a plokštumos taškų rinkinys, kuriame funkcija /(x, y) turi vieną ir reikšmę. Lygio tiesės lygtis – 2 pavyzdys. Raskite skaliarinio lauko lygių tieses Lygių linijos pateikiamos lygtimis Kai c = 0 gauname tiesių porą, gauname hiperbolių šeimą (1 pav.). 1.1. Kryptinė išvestinė Tegul yra skaliarinis laukas, apibrėžtas skaliarine funkcija u = /(Af). Paimkime tašką Afo ir pasirinkite kryptį, kurią nustato vektorius I. Paimkime kitą tašką M, kad vektorius M0M būtų lygiagretus vektoriui 1 (2 pav.). MoM vektoriaus ilgį pažymėkime A/, o funkcijos /(Af) - /(Afo), atitinkančios D1 poslinkį, prieaugį – Di. Santykis nustato vidutinį skaliarinio lauko pokyčio greitį, tenkantį ilgio vienetui, tam tikra kryptimi, kad vektorius M0M liktų lygiagretus vektoriui I. Jei taške D/O yra baigtinė ryšio (5) riba, tai ji vadinama funkcijos išvestine duotame taške Afo nurodyta kryptimi I ir žymima simboliu 3!^. Taigi pagal apibrėžimą Šis apibrėžimas nėra susijęs su koordinačių sistemos pasirinkimu, ty jis yra **varianto pobūdžio. Raskime krypties išvestinės Dekarto koordinačių sistemoje išraišką. Tegul funkcija / yra diferencijuojama taške. Panagrinėkime /(Af) reikšmę taške. Tada suminis funkcijos prieaugis gali būti parašytas tokia forma: kur ir simboliai reiškia, kad dalinės išvestinės skaičiuojamos taške Afo. Taigi čia dydžiai jfi, ^ yra vektoriaus krypties kosinusai. Kadangi vektoriai MoM ir I yra bendros krypties, jų krypties kosinusai yra vienodi: Kadangi M Afo visada yra tiesėje, lygiagrečioje vektoriui 1, kampai yra pastovūs, todėl galiausiai iš lygybių (7) ir (8) gauname Eamuan yra 1. Duomenų išvestinės yra funkcijos išvestinės koordinačių ašių kryptimis, taigi-3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę taško kryptimi. Vektorius turi ilgį. Jo krypties kosinusai: Pagal (9) formulę turėsime Tai, kad reiškia, kad skaliarinis laukas taške tam tikra amžiaus kryptimi - Plokščiam laukui išvestinė krypties I atžvilgiu taške yra apskaičiuojamas pagal formulę, kur a yra vektoriaus I sudarytas kampas su ašimi Oh. Зммчмм 2. Išvestinės I kryptimi apskaičiavimo formulė (9) duotame taške Afo lieka galioti, kai taškas M linkęs į tašką Mo išilgai kreivės, kurios vektorius I yra liestinė taške PrIShr 4. Apskaičiuokite skaliarinės išvestinę laukas taške Afo(l, 1). priklausančiai parabolei šios kreivės kryptimi (didėjimo abscisių kryptimi). Parabolės taške kryptis ] laikoma parabolės liestinės kryptimi šiame taške (3 pav.). Tegul parabolės liestinė taške Afo sudaro kampą o su Ox ašimi. Tada iš kur atsiranda liestinės krypties kosinusai Apskaičiuokime taško ir reikšmes? Mes turime Dabar naudodami formulę (10), gauname. Raskite skaliarinio lauko išvestinę taške išilgai apskritimo krypties Apskritimo vektoriaus lygtis. Apskritimo liestinės vieneto vektorius m. Taškas atitinka parametro reikšmę taške Afo. Iš čia gauname apskritimo liestinės krypties kosinusus taškas Apskaičiuokime duoto skaliarinio lauko dalinių išvestinių reikšmes. Skaliarinio lauko gradientas Tegul skaliarinį lauką apibrėžia skaliarinė funkcija, kuri laikoma diferencijuota. Apibrėžimas. Skaliarinio lauko gradientas „duotame taške M yra vektorius, žymimas simboliu grad ir apibrėžiamas lygybe Aišku, kad šis vektorius priklauso ir nuo funkcijos /, ir nuo taško M, kuriame apskaičiuojama jo išvestinė. Tegu 1 yra krypties vienetinis vektorius Tada krypties išvestinės formulę galima parašyti tokia forma: . Taigi funkcijos u 1 krypties išvestinė lygi funkcijos u(M) gradiento ir I krypties vieneto vektoriaus 1° skaliarinei sandaugai. 2.1. Pagrindinės gradiento savybės Teorema 1. Skaliarinio lauko gradientas yra statmenas lygiam paviršiui (arba lygiai linijai, jei laukas plokščias). (2) Nubraižykime lygų paviršių u = const per savavališką tašką M ir šiame paviršiuje parinksime lygią kreivę L, einančią per tašką M (4 pav.). Tegu I kreivės L vektoriaus liestinė taške M. Kadangi lygiame paviršiuje u(M) = u(M|) bet kuriam taškui Mj e L, tai, kita vertus, = (gradu, 1°). Štai kodėl. Tai reiškia, kad vektoriai grad ir ir 1° yra stačiakampiai. Taigi vektorius grad ir yra statmenas bet kokiai lygaus paviršiaus liestims taške M. Taigi jis yra statmenas pačiam lygiam paviršiui taške M. 2 teorema. gradientas nukreiptas į lauko funkcijos didinimą. Anksčiau įrodėme, kad skaliarinio lauko gradientas nukreiptas išilgai normalės į lygų paviršių, kuris gali būti orientuotas arba funkcijos u(M) didėjimo, arba jos mažėjimo kryptimi. Pažymėkime n lygaus paviršiaus normalę, orientuotą funkcijos ti(M) didėjimo kryptimi, ir raskime funkcijos u išvestinę šios normalės kryptimi (5 pav.). Turime Since pagal 5 pav. sąlygą ir todėl VEKTORINĖ ANALIZĖ Skaliarinis laukas Paviršiai ir lygio linijos Išvestinė kryptimi Išvestinė Skaliarinio lauko gradientas Pagrindinės gradiento savybės Nekintamas gradiento apibrėžimas Gradiento apskaičiavimo taisyklės Iš to seka, kad grad yra nukreipta ta pačia kryptimi kaip ir ta, kurią pasirinkome normaliąją n, t.y. funkcijos u(M) didėjimo kryptimi. 3 teorema. Gradiento ilgis lygus didžiausiai išvestinei krypties atžvilgiu tam tikrame lauko taške (čia tikrinama visomis galimomis kryptimis duotame taške M). Turime kur yra kampas tarp vektorių 1 ir grad n. Kadangi didžiausia reikšmė yra 1 pavyzdys. Raskite didžiausio skaliarinio lauko pokyčio kryptį taške ir šio didžiausio pokyčio dydį nurodytame taške. Didžiausio skaliarinio lauko pokyčio kryptis nurodoma vektoriumi. Turime taip, kad Šis vektorius nustato didžiausio lauko padidėjimo kryptį taške. Didžiausio lauko pokyčio dydis šiuo metu yra 2,2. Nekintamasis gradiento apibrėžimas Kiekiai, apibūdinantys tiriamo objekto savybes ir nepriklausomi nuo koordinačių sistemos pasirinkimo, vadinami duoto objekto invariantais. Pavyzdžiui, kreivės ilgis yra šios kreivės invariantas, bet kreivės liestinės kampas su Ox ašimi nėra invariantas. Remdamiesi trimis aukščiau įrodytomis skaliarinio lauko gradiento savybėmis, galime pateikti tokį nekintamą gradiento apibrėžimą. Apibrėžimas. Skaliarinis lauko gradientas yra vektorius, nukreiptas normaliai į lygų paviršių lauko funkcijos didėjimo kryptimi ir kurio ilgis lygus didžiausiai krypties išvestinei (tam tikrame taške). Leisti būti vieneto normalusis vektorius, nukreiptas didėjančio lauko kryptimi. Tada 2 pavyzdys. Raskite atstumo gradientą - koks nors fiksuotas taškas, o M(x,y,z) - dabartinis. 4 Turime kur yra vieneto krypties vektorius. Gradiento apskaičiavimo taisyklės, kur c yra pastovus skaičius. Pateiktos formulės gaunamos tiesiogiai iš gradiento apibrėžimo ir išvestinių savybių. Pagal sandaugų diferenciacijos taisyklę įrodymas panašus į savybės įrodymą. Tegul F(u) yra diferencijuojama skaliarinė funkcija. Tada 4 Pagal fadiento apibrėžimą turime Taikykite sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę visiems dešinėje esantiems terminams. Konkrečiai, formulė (6) išplaukia iš formulės 3 pavyzdys. Raskite išvestinę spindulio vektoriaus r krypties atžvilgiu iš funkcijos Naudodami (3) formulę ir naudodami formulę. Rezultate gauname, kad 4 pavyzdys Tegu pateiktas plokštumos skaliarinis laukas – atstumai nuo kurios nors taško plokštumos iki dviejų fiksuotų šios plokštumos taškų. Panagrinėkime savavališką elipsę su židiniais Fj ir F] ir įrodykime, kad kiekvienas šviesos spindulys, atsirandantis iš vieno elipsės židinio, atsispindėjęs nuo elipsės, atsiduria kitame židinyje. Funkcijos (7) lygio linijos yra VEKTORIAUS ANALIZĖ Skaliarinis laukas Paviršiai ir lygio linijos Krypties išvestinė Išvestinė Skaliarinio lauko gradientas Pagrindinės gradiento savybės Nekintamasis gradiento apibrėžimas Gradiento skaičiavimo taisyklės (8) lygtys apibūdina elipsių šeimą su židiniais taškai F) ir Fj. Pagal 2 pavyzdžio rezultatą, turime Taigi, duoto lauko gradientas yra lygus rombo įstrižainės vektoriui PQ, sudarytam ant vienetinių vektorių r? ir spindulio vektorius. nubrėžtas į tašką P(x, y) iš židinių F| ir Fj, todėl yra ant kampo tarp šių spindulių vektorių bisektoriaus (6 pav.). Pagal Tooromo 1 gradientas PQ yra statmenas elipsei (8) taške. Todėl 6 pav. elipsės (8) normalioji bet kuriame taške padalija kampą tarp spindulio vektorių, nubrėžtų į šį tašką. Iš to ir iš to, kad kritimo kampas lygus atspindžio kampui, gauname: iš vieno elipsės židinio išeinantis šviesos spindulys, atsispindėjęs nuo jo, tikrai pateks į kitą šios elipsės židinį.
1 0 Gradientas nukreiptas normaliai į lygų paviršių (arba į lygio liniją, jei laukas plokščias).
2 0 Gradientas nukreiptas į lauko funkcijos didinimą.
3 0 Gradiento modulis yra lygus didžiausiai krypties išvestinei tam tikrame lauko taške:
Šios savybės suteikia nekintamą gradiento charakteristiką. Jie sako, kad vektorius gradU rodo didžiausio skaliarinio lauko pokyčio tam tikrame taške kryptį ir dydį.
Pastaba 2.1. Jei funkcija U(x,y) yra dviejų kintamųjų funkcija, tai vektorius
(2.3)
slypi deguonies plokštumoje.
Tegul U=U(x,y,z) ir V=V(x,y,z) yra diferencijuojamos funkcijos taške М 0 (x,y,z). Tada galioja šios lygybės:
a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = 
, V ;
e) gradU( = gradU, kur , U=U() turi išvestinę .
2.1 pavyzdys. Pateikta funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Nustatykite funkcijos gradientą taške M(-2;3;4).
Sprendimas. Pagal (2.2) formulę turime
.
Šio skaliarinio lauko lygūs paviršiai yra rutulių šeima x 2 +y 2 +z 2 , vektorius gradU=(-4;6;8) yra normalusis plokštumų vektorius.
2.2 pavyzdys. Raskite skaliarinio lauko gradientą U=x-2y+3z.
Sprendimas. Pagal (2.2) formulę turime
Tam tikro skaliarinio lauko lygūs paviršiai yra plokštumos
x-2y+3z=C; vektorius gradU=(1;-2;3) yra normalusis šios šeimos plokštumų vektorius.
2.3 pavyzdys. Raskite didžiausią paviršiaus kilimo U=x y statumą taške M(2;2;4).
Sprendimas. Mes turime: 
2.4 pavyzdys. Raskite skaliarinio lauko lygaus paviršiaus vienetinį normalųjį vektorių U=x 2 +y 2 +z 2 .
Sprendimas. Tam tikro skaliarinio lauko sferos lygūs paviršiai x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
Gradientas nukreiptas normaliai į lygų paviršių, taigi
Apibrėžia normalųjį vektorių lygiam paviršiui taške M(x,y,z). Vienetinio normalaus vektoriaus atveju gauname išraišką
, Kur 
.
2.5 pavyzdys. Raskite lauko gradientą U= 
, kur ir yra pastovūs vektoriai, r yra taško spindulio vektorius.
Sprendimas. Leisti
Tada: 
. Pagal determinanto diferenciacijos taisyklę gauname
Vadinasi,
2.6 pavyzdys. Raskite atstumo gradientą, kur P(x,y,z) yra tiriamas lauko taškas, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) yra koks nors fiksuotas taškas.
Sprendimas. Turime vieneto krypties vektorių .
2.7 pavyzdys. Raskite kampą tarp funkcijų gradientų taške M 0 (1,1).
Sprendimas.Šių funkcijų gradientus randame taške M 0 (1,1), turime
; Kampas tarp gradU ir gradV taške M 0 nustatomas iš lygybės
Taigi =0.
2.8 pavyzdys. Raskite krypties išvestinę, spindulio vektorius lygus
(2.4)
Sprendimas. Raskite šios funkcijos gradientą:
Pakeitę (2.5) į (2.4), gauname
2.9 pavyzdys. Raskite taške M 0 (1;1;1) didžiausio skaliarinio lauko pokyčio kryptį U=xy+yz+xz ir šio didžiausio pokyčio dydį šiame taške.
Sprendimas. Didžiausio lauko pokyčio kryptis nurodoma vektoriumi grad U(M). Mes jį randame:
O tai reiškia... Šis vektorius nustato didžiausio šio lauko padidėjimo kryptį taške M 0 (1;1;1). Didžiausio lauko pokyčio dydis šiame taške yra lygus
.
3.1 pavyzdys. Raskite vektoriaus lauko vektorines linijas 
kur yra pastovus vektorius.
Sprendimas. Mes taip turime
(3.3)
Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš x, antrosios – iš y, trečiosios – iš z ir sudėkite terminą po termino. Naudodamiesi proporcijų savybe, gauname
Taigi xdx+ydy+zdz=0, o tai reiškia
x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Dabar padauginus pirmosios trupmenos (3.3) skaitiklį ir vardiklį iš c 1, antrosios iš c 2, trečiosios iš c 3 ir sudėjus terminą po termino, gauname
Kur iš 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
Ir todėl su 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-konst.
Reikalingos vektorinių linijų lygtys
Šios lygtys rodo, kad vektorinės linijos gaunamos rutulių, turinčių bendrą centrą pradinėje vietoje, susikirtimo su vektoriui statmenomis plokštumomis. 
. Iš to išplaukia, kad vektorinės linijos yra apskritimai, kurių centrai yra tiesėje, einančioje per pradžią vektoriaus c kryptimi. Apskritimų plokštumos yra statmenos nurodytai tiesei.
3.2 pavyzdys. Raskite vektoriaus lauko liniją 
einantis per tašką (1,0,0).
Sprendimas. Vektorinių linijų diferencialinės lygtys
vadinasi, turime 
. Pirmosios lygties sprendimas. Arba jei įvesime parametrą t, tada turėsime Šiuo atveju lygtį 
įgauna formą 
arba dz=bdt, iš kur z=bt+c 2.
Leisti Z= F(M) – funkcija, apibrėžta tam tikroje taško kaimynystėje M(y; x);L={ Cos; Cos} – vieneto vektorius (33 pav. 1= , 2= ); L– nukreipta tiesė, einanti per tašką M; M1(x1; y1), kur x1=x+x ir y1=y+y– taškas tiesėje L; L– atkarpos ilgis MM1; Z= F(x+х, y+у)-F(X, Y) – funkcijos padidėjimas F(M) taške M(x; y).
Apibrėžimas. Santykio riba, jei ji yra, vadinama Funkcijos išvestinė Z = F ( M ) taške M ( X ; Y ) vektoriaus kryptimi L .
Paskyrimas.
|
|
Jei funkcija F(M) taške skiriasi M(x;y), tada taške M(x;y) yra išvestinė bet kuria kryptimi L sklindantis iš M; jis apskaičiuojamas pagal šią formulę:
(8)
Kur Cos IR Cos- vektoriaus krypties kosinusai L.
46 pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos išvestinę Z= X2 + Y2 X taške M(1; 2) vektoriaus kryptimi MM1, Kur M1– taškas su koordinatėmis (3; 0).
. Raskime vieneto vektorių L, turintis šią kryptį:
Kur Cos= ; Cos=- .
Apskaičiuokime funkcijos dalines išvestines taške M(1; 2):
Pagal (8) formulę gauname 
47 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę U = Xy2 Z3 taške M(3; 2; 1) Vektoriaus kryptimi MN, Kur N(5; 4; 2) .
. Raskime vektorių ir jo krypties kosinusus:
Apskaičiuokime dalinių išvestinių reikšmes taške M:
Vadinasi, 
Apibrėžimas. Gradientas FunkcijosZ= F(M) taške M(x; y) yra vektorius, kurio koordinatės lygios atitinkamoms dalinėms išvestinėms ir paimtos taške M(x; y).
Paskyrimas. 
48 pavyzdys. Raskite funkcijos gradientą Z= X2 +2 Y2 -5 taške M(2; -1).
Sprendimas. Dalinių išvestinių radimas: 
ir jų vertės taške M(2; -1):
49 pavyzdys.
Raskite funkcijos gradiento dydį ir kryptį taške 
Sprendimas. Raskime dalines išvestines ir apskaičiuokime jų reikšmes taške M:
Vadinasi,
Trijų kintamųjų funkcijos kryptinė išvestinė nustatoma panašiai U= F(X, Y, Z) , rodomos formulės
Supažindinama su gradiento sąvoka 
Pabrėžkime tai Pagrindinės gradiento funkcijos savybės svarbesnis ekonominio optimizavimo analizei: gradiento kryptimi funkcija didėja. Ekonominėse problemose naudojamos šios gradiento savybės:
1) Tegu funkcija duota Z= F(X, Y) , turintys dalines išvestines apibrėžimo srityje. Panagrinėkime kai kuriuos dalykus M0(x0, y0) iš apibrėžimo srities. Tegul funkcijos reikšmė šiame taške yra lygi F(X0 , Y0 ) . Pažiūrėkime į funkcijos grafiką. Per tašką (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) trimatėje erdvėje nubrėžiame funkcijos grafiko paviršiaus plokštumą. Tada funkcijos gradientas, apskaičiuotas taške (x0, y0), geometriškai laikomas vektoriumi, pritaikytu taške (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , bus statmena liestinės plokštumai. Geometrinė iliustracija parodyta fig. 34.
2) Gradiento funkcija F(X, Y) taške M0(x0, y0) nurodo sparčiausio funkcijos padidėjimo taške kryptį M0. Be to, bet kuri kryptis, kuri sudaro smailų kampą su gradientu, yra funkcijos augimo taške kryptis M0. Kitaip tariant, mažas judesys iš taško (x0, y0) funkcijos gradiento kryptimi šioje vietoje lemia funkcijos padidėjimą ir didžiausiu mastu.
Apsvarstykite vektorių, priešingą gradientui. Tai vadinama Anti-gradientas . Šio vektoriaus koordinatės yra šios:
Antigradiento funkcija F(X, Y) taške M0(x0, y0) nurodo sparčiausio funkcijos mažėjimo taške kryptį M0. Bet kuri kryptis, kuri sudaro smailų kampą su antigradientu, yra ta kryptimi, kuria funkcija mažėja tame taške.
3) Tiriant funkciją, dažnai reikia rasti tokias poras (x, y) iš funkcijos apibrėžimo srities, kurioje funkcija įgauna tas pačias reikšmes. Apsvarstykite taškų rinkinį (X, Y) iš funkcijos srities F(X, Y) , toks F(X, Y)= Konst, kur yra įrašas “ Konst” reiškia, kad funkcijos reikšmė yra fiksuota ir lygi tam tikram skaičiui iš funkcijų diapazono.
Apibrėžimas. Funkcijos lygio linija U = F ( X , Y ) vadinama linijaF(X, Y)=C lėktuveXOy, taškuose, kuriuose funkcija išlaiko pastovią reikšmęU= C.
Lygio linijos yra geometriškai pavaizduotos nepriklausomų kintamųjų kitimo plokštumoje lenktų linijų pavidalu. Lygių linijų gavimą galima įsivaizduoti taip. Apsvarstykite rinkinį SU, kurį sudaro trimatės erdvės taškai su koordinatėmis (X, Y, F(X, Y)= Konst), kurios, viena vertus, priklauso funkcijos grafikui Z= F(X, Y), kita vertus, jie guli plokštumoje, lygiagrečioje koordinačių plokštumai HOU, ir atskirtas nuo jo dydžiu, lygiu nurodytai konstantai. Tada, norint sukonstruoti lygio tiesę, užtenka susikirsti funkcijos grafiko paviršių su plokštuma Z= Konst ir projektuoti sankirtos liniją į plokštumą HOU. Aukščiau pateiktas samprotavimas pateisina galimybę tiesiogiai statyti lygių linijas plokštumoje HOU.
Apibrėžimas. Daugelis lygių linijų vadinamos Lygio linijos žemėlapis.
Gerai žinomi lygių linijų pavyzdžiai yra vienodo aukščio lygiai topografiniame žemėlapyje ir vienodo barometrinio slėgio linijos orų žemėlapyje.
Apibrėžimas.
Vadinama kryptis, kuria funkcijos didėjimo greitis yra didžiausias „pageidautina“ kryptis, arba Sparčiausio augimo kryptis.
„Pageidaujamą“ kryptį nurodo funkcijos gradiento vektorius. Fig. 35 parodytas dviejų kintamųjų funkcijos optimizavimo, kai nėra apribojimų, didžiausias, minimalus ir balno taškas. Apatinėje paveikslo dalyje pavaizduotos sparčiausio augimo lygio ir krypties linijos.
50 pavyzdys. Raskite funkcijų lygio linijas U= X2 + Y2 .
Sprendimas. Lygių linijų šeimos lygtis turi formą X2 + Y2 = C (C>0) . Dovanoti SU skirtingos tikrosios vertės, gauname koncentrinius apskritimus, kurių centras yra ištakoje.
Lygių linijų tiesimas. Jų analizė plačiai naudojama sprendžiant mikro ir makro lygmens ekonomines problemas, pusiausvyros teoriją ir efektyvius sprendimus. Izokostai, izokvantai, abejingumo kreivės – visa tai lygių linijos, sukonstruotos skirtingoms ekonominėms funkcijoms.
51 pavyzdys. Apsvarstykite tokią ekonominę situaciją. Leiskite aprašyti gaminių gamybą Cobb-Douglas funkcija F(X, Y)=10x1/3y2/3, Kur X- darbo kiekis, U– kapitalo dydis. Ištekliams įsigyti buvo skirta 30 USD. vnt., darbo kaina 5 USD. vnt., kapitalas – 10 USD. vienetų Paklauskime savęs: kokia yra didžiausia produkcija, kurią galima gauti tokiomis sąlygomis? Čia „duotos sąlygos“ reiškia tam tikras technologijas, išteklių kainas ir gamybos funkcijos tipą. Kaip jau minėta, funkcija Cobbas-Douglasas yra monotoniškai didėjantis kiekvienam kintamajam, t.y., kiekvienos rūšies išteklių padidėjimas padidina produkciją. Esant tokioms sąlygoms, aišku, kad galima padidinti išteklių įsigijimą tol, kol yra pakankamai pinigų. Išteklių rinkiniai, kurių kaina yra 30 USD. vienetų, tenkina sąlygą:
5x + 10y = 30,
Tai yra, jie nustato funkcijos lygio eilutę:
G(X, Y) = 5x + 10 m.
Kita vertus, naudojant lygias linijas Cobb-Douglas funkcijos (36 pav.) galite parodyti funkcijos padidėjimą: bet kuriame lygio linijos taške gradiento kryptis yra didžiausio padidėjimo kryptis, o gradientui sukurti taške pakanka nubrėžti liestinę. iki lygio linijos šiame taške nubrėžkite statmeną liestinei ir nurodykite gradiento kryptį. Iš pav. 36 matyti, kad Cobb-Douglas funkcijos lygio linija turi būti perkelta palei gradientą, kol ji taps lygiagrečios linijos liestinė. 5x + 10y = 30. Taigi, naudojant lygio linijos, gradiento ir gradiento savybių sąvokas, galima sukurti geriausio išteklių panaudojimo būdus produkcijos apimties didinimo požiūriu.
Apibrėžimas. Paviršiaus lygio funkcija U = F ( X , Y , Z ) vadinamas paviršiumiF(X, Y, Z)=С, kurios taškuose funkcija išlaiko pastovią reikšmęU= C.
52 pavyzdys. Raskite funkcinio lygio paviršius U= X2 + Z2 - Y2 .
Sprendimas. Lygių paviršių šeimos lygtis turi formą X2 + Z2 - Y2 =C. Jeigu С=0, tada gauname X2 + Z2 - Y2 =0 – kūgis; Jeigu C<0 , Tai X2 + Z2 - Y2 =C – Dviejų lakštų hiperboloidų šeima.
