Pamoka iš serijos „Geometriniai algoritmai“

Sveiki, mielas skaitytojau!

Šiandien pradėsime mokytis su geometrija susijusių algoritmų. Faktas yra tas, kad kompiuterių moksle yra gana daug olimpiadų uždavinių, susijusių su skaičiavimo geometrija, ir tokių problemų sprendimas dažnai sukelia sunkumų.

Per kelias pamokas apsvarstysime keletą elementarių antrinių užduočių, kuriomis grindžiamas daugumos skaičiavimo geometrijos uždavinių sprendimas.

Šioje pamokoje mes sukursime programą, skirtą tiesės lygties radimas, einantis per duotą du taškai. Norint išspręsti geometrines problemas, mums reikia tam tikrų skaičiavimo geometrijos žinių. Dalį pamokos skirsime jų pažinimui.

Įžvalgos iš skaičiavimo geometrijos

Skaičiavimo geometrija – kompiuterių mokslo šaka, tirianti geometrinių uždavinių sprendimo algoritmus.

Pradiniai tokių problemų duomenys gali būti taškų rinkinys plokštumoje, atkarpų rinkinys, daugiakampis (nurodytas, pavyzdžiui, jo viršūnių sąrašu pagal laikrodžio rodyklę) ir kt.

Rezultatas gali būti atsakymas į kokį nors klausimą (pvz., ar taškas priklauso atkarpai, ar du atkarpos susikerta, ...), arba koks nors geometrinis objektas (pavyzdžiui, mažiausias išgaubtas daugiakampis, jungiantis duotus taškus, plotas daugiakampis ir pan.).

Skaičiavimo geometrijos uždavinius nagrinėsime tik plokštumoje ir tik Dekarto koordinačių sistemoje.

Vektoriai ir koordinatės

Norint taikyti skaičiavimo geometrijos metodus, reikia geometrinius vaizdus išversti į skaičių kalbą. Darysime prielaidą, kad plokštumai duota Dekarto koordinačių sistema, kurioje sukimosi kryptis prieš laikrodžio rodyklę vadinama teigiama.

Dabar geometriniai objektai gauna analitinę išraišką. Taigi, norint nurodyti tašką, pakanka nurodyti jo koordinates: skaičių porą (x; y). Atkarpą galima nurodyti nurodant jo galų koordinates. Tiesė gali būti nurodyta nurodant jos taškų poros koordinates.

Tačiau pagrindinis mūsų įrankis problemoms spręsti bus vektoriai. Todėl leiskite man priminti šiek tiek informacijos apie juos.

Linijos segmentas AB, kuris turi prasmę A yra laikoma pradžia (taikymo tašku) ir tašku IN– galas, vadinamas vektoriumi AB ir žymimas, pavyzdžiui, arba paryškinta mažąja raide A .

Norėdami pažymėti vektoriaus ilgį (tai yra atitinkamo segmento ilgį), naudosime modulio simbolį (pavyzdžiui, ).

Savavališkas vektorius turės koordinates, lygias skirtumui tarp atitinkamų jo pabaigos ir pradžios koordinačių:

,

štai taškai A Ir B turėti koordinates atitinkamai.

Skaičiavimams naudosime sąvoką orientuotas kampas, tai yra kampas, kuriame atsižvelgiama į santykinę vektorių padėtį.

Orientuotas kampas tarp vektorių a Ir b teigiamas, jei sukimas vyksta iš vektoriaus a į vektorių b atliekama teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę), o kitu atveju – neigiama. Žr. 1a pav., 1b pav. Taip pat sakoma, kad vektorių pora a Ir b teigiamai (neigiamai) orientuotas.

Taigi, orientuoto kampo reikšmė priklauso nuo vektorių sąrašo eilės ir gali įgauti vertes intervale .

Daugelis skaičiavimo geometrijos problemų naudoja vektorinių (kreipinių arba pseudoskaliarinių) vektorių sandaugų sąvoką.

Vektorių a ir b vektorinė sandauga yra šių vektorių ilgių ir kampo tarp jų sinuso sandauga:

.

Kryžminė vektorių sandauga koordinatėse:

Dešinėje esanti išraiška yra antros eilės determinantas:

Skirtingai nuo apibrėžimo, pateikto analitinėje geometrijoje, tai yra skaliarinis.

Vektoriaus sandaugos ženklas nustato vektorių padėtį vienas kito atžvilgiu:

a Ir b pozityviai orientuotas.

Jei reikšmė yra , tada vektorių pora a Ir b neigiamai orientuotas.

Nulinių vektorių kryžminė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai jie yra kolineariniai ( ). Tai reiškia, kad jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose linijose.

Pažvelkime į keletą paprastų problemų, kurios būtinos sprendžiant sudėtingesnes.

Iš dviejų taškų koordinačių nustatykime tiesės lygtį.

Tiesės, einančios per du skirtingus taškus, apibrėžtus jų koordinatėmis, lygtis.

Tiesėje pateiksime du nesutampančius taškus: su koordinatėmis (x1; y1) ir su koordinatėmis (x2; y2). Atitinkamai vektorius, kurio pradžia taške ir pabaiga taške, turi koordinates (x2-x1, y2-y1). Jei P(x, y) yra savavališkas taškas mūsų tiesėje, tai vektoriaus koordinatės yra lygios (x-x1, y – y1).

Naudojant vektorių sandaugą, vektorių kolineariškumo sąlygą galima parašyti taip:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1) = 0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Paskutinę lygtį perrašome taip:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Taigi, tiesią liniją galima nurodyti (1) formos lygtimi.

1 uždavinys. Pateikiamos dviejų taškų koordinatės. Raskite jo atvaizdavimą forma ax + by + c = 0.

Šioje pamokoje sužinojome šiek tiek informacijos apie skaičiavimo geometriją. Išsprendėme tiesės lygties iš dviejų taškų koordinačių radimo uždavinį.

Kitoje pamokoje sukursime programą dviejų tiesių, pateiktų mūsų lygtimis, susikirtimo taškui rasti.

Bendroji tiesės lygtis:

Ypatingi bendrosios tiesės lygties atvejai:

ir jeigu C= 0, (2) lygtis turės formą

Ax + Autorius = 0,

o šios lygties apibrėžta tiesė eina per pradžios tašką, nes pradžios koordinatės yra x = 0, y= 0 tenkina šią lygtį.

b) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) B= 0, tada lygtis įgauna formą

Ax + SU= 0 arba .

Lygtyje nėra kintamojo y, o šia lygtimi apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Oy.

c) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) A= 0, tada ši lygtis įgis tokią formą

Autorius + SU= 0 arba ;

lygtyje nėra kintamojo x, o jo apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Jautis.

Reikėtų prisiminti: jei tiesė yra lygiagreti tam tikrai koordinačių ašiai, tada jos lygtyje nėra termino, turinčio tokio paties pavadinimo koordinatę kaip ši ašis.

d) Kada C= 0 ir A= 0 (2) lygtis įgauna formą Autorius= 0 arba y = 0.

Tai yra ašies lygtis Jautis.

d) Kada C= 0 ir B= 0 lygtis (2) bus parašyta forma Ax= 0 arba x = 0.

Tai yra ašies lygtis Oy.

Santykinė linijų padėtis plokštumoje. Kampas tarp tiesių plokštumoje. Lygiagrečių linijų sąlyga. Linijų statmenumo sąlyga.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektoriai S 1 ir S 2 vadinami jų linijų kreiptuvais.

Kampas tarp tiesių l 1 ir l 2 nustatomas pagal kampą tarp krypties vektorių.
1 teorema: kampo tarp l 1 ir l 2 cos = cos(l 1 ; l 2) =

2 teorema: Kad 2 eilutės būtų lygios, būtina ir pakanka:

3 teorema: Kad 2 tiesios linijos būtų statmenos, būtina ir pakanka:

L 1 l 2 – A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Bendrosios plokštumos lygtis ir jos specialieji atvejai. Plokštumos atkarpomis lygtis.

Bendroji plokštumos lygtis:

Ax + By + Cz + D = 0

Ypatingi atvejai:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – plokštuma eina per pradžios tašką

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plokštuma || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plokštuma || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plokštuma || JAUTIS

5. A=0 ir D=0 By+Cz = 0 – plokštuma eina per OX

6. B=0 ir D=0 Ax+Cz = 0 – plokštuma eina per OY

7. C=0 ir D=0 Ax+By = 0 – plokštuma eina per OZ

Santykinė plokštumų ir tiesių padėtis erdvėje:

1. Kampas tarp tiesių erdvėje yra kampas tarp jų krypties vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. Kampas tarp plokštumų nustatomas per kampą tarp jų normaliųjų vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Kampo tarp tiesės ir plokštumos kosinusą galima rasti per kampo tarp tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus sin.

4. 2 tiesūs || erdvėje, kai jų || vektoriniai kreiptuvai

5. 2 lėktuvai || kada || normalūs vektoriai

6. Panašiai įvedamos tiesių ir plokštumų statmenumo sąvokos.

Klausimas Nr.14

Įvairių tipų tiesės lygtis plokštumoje (tiesės lygtis atkarpose, su kampo koeficientu ir kt.)

Tiesios linijos atkarpomis lygtis:
Tarkime, kad bendrojoje tiesės lygtyje:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – tiesė eina per pradžią.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis:

Bet kuri tiesi linija, kuri nėra lygi op-amp ašiai (B ne = 0), gali būti užrašoma kitoje eilutėje. forma:

k = tanα α – kampas tarp tiesės ir teigiamai nukreiptos linijos OX

b – tiesės susikirtimo taškas su operacinės stiprintuvo ašimi

Dokumentas:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Tiesios linijos lygtis, pagrįsta dviem taškais:

Klausimas Nr.16

Baigtinė funkcijos riba taške ir x→∞

Pabaigos riba ties x0:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x→x 0, jei bet kuriam E > 0 yra b > 0, kad esant x ≠x 0, tenkinanti nelygybę |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške +∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x → + ∞ , jei bet kuriam E > 0 yra C > 0, kad x > C nelygybė |f(x) - A|< Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške -∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) for riba x→-∞, jei dėl kokių nors E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų tiesių. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas

1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

2. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2), parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę

3. Kampas tarp tiesių linijų A Ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu

y = k 1 x + B 1 ,

Tegul tiesė eina per taškus M 1 (x 1; y 1) ir M 2 (x 2; y 2). Tiesės, einančios per tašką M 1, lygtis yra y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Kur k – dar nežinomas koeficientas.

Kadangi tiesė eina per tašką M 2 (x 2 y 2), šio taško koordinatės turi atitikti (10.6) lygtį: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Iš čia randame Rastos vertės pakeitimą k į (10.6) lygtį gauname tiesės, einančios per taškus M 1 ir M 2, lygtį:

Daroma prielaida, kad šioje lygtyje x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jei x 1 = x 2, tai tiesė, einanti per taškus M 1 (x 1,y I) ir M 2 (x 2,y 2), yra lygiagreti ordinačių ašiai. Jo lygtis yra x = x 1 .

Jei y 2 = y I, tai tiesės lygtį galima parašyti kaip y = y 1, tiesė M 1 M 2 lygiagreti abscisių ašiai.

Atkarpų tiesės lygtis

Tegul tiesė kerta Ox ašį taške M 1 (a;0), o Oy ašį taške M 2 (0;b). Lygtis bus tokia:
tie.
. Ši lygtis vadinama tiesės lygtis atkarpose, nes skaičiai a ir b nurodo, kuriuos atkarpas linija nukerta koordinačių ašyse.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis

Raskime tiesės, einančios per duotą tašką Mo (x O; y o), statmeną duotam nuliniam vektoriui n = (A; B), lygtį.

Paimkime savavališką tiesės tašką M(x; y) ir apsvarstykime vektorių M 0 M (x - x 0; y - y o) (žr. 1 pav.). Kadangi vektoriai n ir M o M yra statmeni, jų skaliarinė sandauga lygi nuliui: tai yra

A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)

Lygtis (10.8) vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis .

Vektorius n= (A; B), statmenas tiesei, vadinamas normaliuoju šios linijos normalusis vektorius .

Lygtį (10.8) galima perrašyti kaip Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A ir B yra normaliojo vektoriaus koordinatės, C = -Ax o - Vu o yra laisvasis narys. Lygtis (10.9) yra bendroji linijos lygtis(žr. 2 pav.).

1 pav.2 pav

Kanoninės tiesės lygtys

,

Kur
- taško, per kurį linija eina, koordinates ir
- krypties vektorius.

Antros eilės kreivės Apskritimas

Apskritimas yra visų plokštumos taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo tam tikro taško, vadinamo centru, rinkinys.

Kanoninė spindulio apskritimo lygtis R centruojamas taške
:

Visų pirma, jei statymo centras sutampa su koordinačių pradžia, lygtis atrodys taip:

Elipsė

Elipsė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma Ir , kurie vadinami židiniais, yra pastovus dydis
, didesnis nei atstumas tarp židinių
.

Kanoninė elipsės lygtis, kurios židiniai yra ant Ox ašies, o koordinačių pradžia viduryje tarp židinių turi formą
G de a pusiau pagrindinės ašies ilgis; b – pusiau mažosios ašies ilgis (2 pav.).

Tiesės lygtis plokštumoje.
Krypties vektorius yra tiesus. Normalus vektorius

Tiesi linija plokštumoje yra viena iš paprasčiausių geometrinių figūrų, jums pažįstama iš pradinės mokyklos, ir šiandien mes išmoksime su ja elgtis naudodamiesi analitinės geometrijos metodais. Norėdami įvaldyti medžiagą, turite mokėti nutiesti tiesią liniją; žinoti, kokia lygtis apibrėžia tiesią liniją, ypač tiesią, einančią per koordinačių pradžią ir lygiagrečias koordinačių ašims. Šią informaciją galite rasti vadove Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės, sukūriau jį Mathanui, bet skyrius apie tiesinę funkciją pasirodė labai sėkmingas ir išsamus. Todėl, mieli arbatinukai, pirmiausia pasišildykite ten. Be to, jūs turite turėti pagrindinių žinių apie vektoriai, kitaip medžiagos supratimas bus nepilnas.

Šioje pamokoje apžvelgsime būdus, kaip galite sukurti tiesios linijos lygtį plokštumoje. Rekomenduoju neapleisti praktinių pavyzdžių (net jei tai atrodo labai paprasta), nes pateiksiu jiems elementarių ir svarbių faktų, techninių technikų, kurių prireiks ateityje, taip pat ir kitose aukštosios matematikos dalyse.

• Kaip parašyti tiesės lygtį su kampo koeficientu?
• kaip?
• Kaip rasti krypties vektorių naudojant bendrąją tiesės lygtį?
• Kaip parašyti tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtį?

ir pradedame:

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis

Yra vadinama gerai žinoma „mokyklinė“ tiesės lygties forma tiesės su nuolydžiu lygtis. Pavyzdžiui, jei tiesė nurodyta lygtimi, tai jos nuolydis yra: . Panagrinėkime geometrinę šio koeficiento reikšmę ir kaip jo vertė veikia linijos vietą:

Geometrijos kurse tai įrodyta tiesės nuolydis lygus kampo liestinė tarp teigiamos ašies kryptiesir ši linija: , o kampas „atsuka“ prieš laikrodžio rodyklę.

Kad brėžinys nebūtų netvarkingas, kampus nubrėžiau tik dviem tiesioms linijoms. Panagrinėkime „raudoną“ liniją ir jos nuolydį. Pagal tai, kas išdėstyta pirmiau: („alfa“ kampas pažymėtas žaliu lanku). „Mėlynos“ tiesios linijos su kampo koeficientu lygybė yra teisinga („beta“ kampas rodomas rudu lanku). Ir jei kampo liestinė žinoma, tada, jei reikia, ją lengva rasti ir pats kampas naudojant atvirkštinę funkciją – arctangentas. Kaip sakoma, trigonometrinė lentelė arba mikroskaičiuotuvas rankose. Taigi, kampinis koeficientas apibūdina tiesės polinkio į abscisių ašį laipsnį.

Galimi šie atvejai:

1) Jei nuolydis neigiamas: tada linija, grubiai tariant, eina iš viršaus į apačią. Pavyzdžiai yra "mėlynos" ir "avietės" tiesios linijos brėžinyje.

2) Jei nuolydis teigiamas: , tada linija eina iš apačios į viršų. Pavyzdžiai - „juodos“ ir „raudonos“ tiesios linijos brėžinyje.

3) Jei nuolydis lygus nuliui: , tai lygtis įgauna formą , o atitinkama tiesė yra lygiagreti ašiai. Pavyzdys yra "geltona" tiesi linija.

4) tiesių šeimai, lygiagrečiai ašiai (brėžinyje nėra pavyzdžio, išskyrus pačią ašį), kampo koeficientas neegzistuoja (90 laipsnių liestinė neapibrėžta).

Kuo didesnis nuolydžio koeficientas absoliučia verte, tuo statesnis tiesiosios linijos grafikas..

Pavyzdžiui, apsvarstykite dvi tiesias linijas. Todėl čia tiesi linija turi didesnį nuolydį. Priminsiu, kad modulis leidžia ignoruoti ženklą, mus tik domina absoliučios vertės kampiniai koeficientai.

Savo ruožtu tiesi linija yra statesnė nei tiesi .

Ir atvirkščiai: kuo mažesnis nuolydžio koeficientas absoliučia verte, tuo plokštesnė tiesė.

Tiesioms linijoms nelygybė yra teisinga, todėl tiesė yra plokštesnė. Vaikiška čiuožykla, kad nesusidarytumėte sumušimų ir nelygumų.

Kodėl tai būtina?

Pratęskite kankinimą Žinodami aukščiau išvardintus faktus, galite iš karto pamatyti savo klaidas, ypač klaidas kuriant grafikus - jei brėžinyje pasirodo „akivaizdžiai kažkas negerai“. Patartina, kad jūs iškarto buvo aišku, kad, pavyzdžiui, tiesė yra labai stati ir eina iš apačios į viršų, o tiesioji labai plokščia, prispausta prie ašies ir eina iš viršaus į apačią.

Geometriniuose uždaviniuose dažnai atsiranda kelios tiesios linijos, todėl patogu jas kažkaip pažymėti.

Pavadinimai: tiesios linijos žymimos mažomis lotyniškomis raidėmis: . Populiarus pasirinkimas yra pažymėti juos ta pačia raide su natūraliais indeksais. Pavyzdžiui, penkios eilutės, kurias ką tik žiūrėjome, gali būti pažymėtos .

Kadangi bet kurią tiesią liniją vienareikšmiškai lemia du taškai, ją galima žymėti šiais taškais: ir tt Pavadinimas aiškiai reiškia, kad taškai priklauso linijai.

Atėjo laikas šiek tiek sušilti:

Kaip parašyti tiesės lygtį su kampo koeficientu?

Jei žinomas tam tikrai tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės kampinis koeficientas, tai šios tiesės lygtis išreiškiama formule:

1 pavyzdys

Parašykite tiesės su nuolydžiu lygtį, jei žinoma, kad taškas priklauso duotai tiesei.

Sprendimas: Sudarykime tiesės lygtį naudodami formulę . Tokiu atveju:

Atsakymas:

Apžiūra daroma paprastai. Pirmiausia žiūrime į gautą lygtį ir įsitikiname, kad mūsų nuolydis yra vietoje. Antra, taško koordinatės turi tenkinti šią lygtį. Įtraukime juos į lygtį:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad taškas tenkina gautą lygtį.

Išvada: lygtis rasta teisingai.

Sudėtingesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

2 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį, jei žinoma, kad jos polinkio kampas teigiamai ašies kryptimi yra , o taškas priklauso šiai tiesei.

Jei turite kokių nors sunkumų, dar kartą perskaitykite teorinę medžiagą. Tiksliau, praktiškiau, praleidžiu daugybę įrodymų.

Nuskambėjo paskutinis skambutis, baigėsi diplomų įteikimo šventė, o už gimtosios mokyklos vartų mūsų laukia pati analitinė geometrija. Anekdotai baigėsi... O gal jie tik prasideda =)

Nostalgiškai mojuojame rašikliu pažįstamam ir susipažįstame su bendra tiesės lygtimi. Kadangi analitinėje geometrijoje naudojama būtent tai:

Bendroji tiesės lygtis turi formą: , kur keli skaičiai. Tuo pačiu ir koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui, nes lygtis praranda prasmę.

Apsirengkime kostiumu ir susiekime lygtį su nuolydžio koeficientu. Pirmiausia perkelkime visus terminus į kairę pusę:

Pirmoje vietoje turi būti terminas su „X“:

Iš esmės lygtis jau turi formą , tačiau pagal matematinio etiketo taisykles pirmojo nario koeficientas (šiuo atveju) turi būti teigiamas. Keičiasi ženklai:

Prisiminkite šią techninę savybę! Pirmąjį koeficientą (dažniausiai) darome teigiamą!

Analitinėje geometrijoje tiesės lygtis beveik visada bus pateikta bendra forma. Na, o prireikus jį galima lengvai redukuoti iki „mokyklos“ formos su kampiniu koeficientu (išskyrus tieses, lygiagrečias ordinačių ašiai).

Paklauskime savęs, ką pakankamai mokate statyti tiesią liniją? Du taškai. Bet daugiau apie šį vaikystės įvykį, dabar laikosi strėlių taisyklės. Kiekviena tiesi linija turi labai specifinį nuolydį, prie kurio lengva „prisitaikyti“. vektorius.

Vektorius, kuris yra lygiagretus tiesei, vadinamas tos tiesės krypties vektoriumi. Akivaizdu, kad bet kuri tiesi linija turi begalinį krypties vektorių skaičių ir visi jie bus kolinearūs (bendrakrypčiai ar ne - nesvarbu).

Krypties vektorių pažymėsiu taip: .

Tačiau vieno vektoriaus neužtenka tiesei sukurti, vektorius yra laisvas ir nesusietas su jokiu plokštumos tašku. Todėl papildomai būtina žinoti tam tikrą tašką, kuris priklauso linijai.

Kaip parašyti tiesės lygtį naudojant tašką ir krypties vektorių?

Jei žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios linijos krypties vektorius, tada šios tiesės lygtį galima sudaryti naudojant formulę:

Kartais tai vadinama kanoninė tiesės lygtis .

Ką daryti kada viena iš koordinačių yra lygus nuliui, suprasime praktiniuose pavyzdžiuose žemiau. Beje, atkreipkite dėmesį - abu iš karto koordinatės negali būti lygios nuliui, nes nulinis vektorius nenurodo konkrečios krypties.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Sprendimas: Sudarykime tiesės lygtį naudodami formulę. Tokiu atveju:

Naudodamiesi proporcijų savybėmis, atsikratome trupmenų:

Ir mes pateikiame lygtį į bendrą formą:

Atsakymas:

Paprastai tokiuose pavyzdžiuose piešti nereikia, tačiau siekiant suprasti:

Brėžinyje matome pradinį tašką, pradinį krypties vektorių (jis gali būti braižytas iš bet kurio plokštumos taško) ir sukonstruotą tiesę. Beje, daugeliu atvejų patogiausia tiesiąją liniją konstruoti naudojant lygtį su kampiniu koeficientu. Nesunku paversti mūsų lygtį į formą ir lengvai pasirinkti kitą tašką tiesei sukurti.

Kaip pažymėta pastraipos pradžioje, tiesi linija turi be galo daug krypties vektorių ir visi jie yra kolineariniai. Pavyzdžiui, aš nupiešiau tris tokius vektorius: . Kad ir kokią krypties vektorių pasirinktume, rezultatas visada bus ta pati tiesios linijos lygtis.

Sukurkime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Proporcijos sprendimas:

Padalinkite abi puses iš –2 ir gaukite pažįstamą lygtį:

Besidomintys vektorius gali išbandyti lygiai taip pat arba bet kuris kitas kolinearinis vektorius.

Dabar išspręskime atvirkštinę problemą:

Kaip rasti krypties vektorių naudojant bendrąją tiesės lygtį?

Labai paprasta:

Jei tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiama bendra lygtimi, tai vektorius yra šios tiesės krypties vektorius.

Tiesių linijų krypties vektorių radimo pavyzdžiai:

Teiginys leidžia mums rasti tik vieną krypties vektorių iš begalinio skaičiaus, bet mums nereikia daugiau. Nors kai kuriais atvejais patartina sumažinti krypties vektorių koordinates:

Taigi lygtis nurodo tiesę, kuri yra lygiagreti ašiai, o gauto krypties vektoriaus koordinatės patogiai padalinamos iš –2, kaip krypties vektorius gaunamas tiksliai bazinis vektorius. Logiška.

Lygiai taip pat lygtis nurodo tiesę, lygiagrečią ašiai, o vektoriaus koordinates padalijus iš 5, kaip krypties vektorių gauname vienetinį vektorių.

Dabar padarykime tai patikrinimas 3 pavyzdys. Pavyzdys pakilo, todėl primenu, kad jame mes sudarėme tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Pirmiausia, naudodamiesi tiesės lygtimi rekonstruojame jos krypties vektorių: – viskas gerai, gavome pradinį vektorių (kai kuriais atvejais rezultatas gali būti kolinearinis vektorius pirminiam, ir tai paprastai nesunku pastebėti pagal atitinkamų koordinačių proporcingumą).

Antra, taško koordinatės turi tenkinti lygtį. Mes juos pakeičiame į lygtį:

Gauta teisinga lygybė, kuo labai džiaugiamės.

Išvada: Užduotis atlikta teisingai.

4 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje. Labai patartina patikrinti naudojant ką tik aptartą algoritmą. Stenkitės visada (jei įmanoma) patikrinti juodraštį. Kvaila daryti klaidas ten, kur jų galima 100% išvengti.

Jei viena iš krypties vektoriaus koordinačių yra lygi nuliui, atlikite labai paprastai:

5 pavyzdys

Sprendimas: Formulė netinka, nes vardiklis dešinėje yra nulis. Yra išėjimas! Naudodamiesi proporcijų savybėmis, formulę perrašome į formą, o likusią dalį riedame gilia provėža:

Atsakymas:

Apžiūra:

1) Atkurkite linijos nukreipimo vektorių:
– gautas vektorius yra kolinearinis pradiniam krypties vektoriui.

2) Pakeiskite taško koordinates į lygtį:

Gaunama teisinga lygybė

Išvada: teisingai atlikta užduotis

Kyla klausimas, kam sukti galvą dėl formulės, jei yra universali versija, kuri tiks bet kokiu atveju? Yra dvi priežastys. Pirma, formulė yra trupmenos forma daug geriau atsimena. Ir antra, universalios formulės trūkumas yra tas žymiai padidėja rizika susipainioti pakeičiant koordinates.

6 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Grįžkime prie dviejų visur paplitusių dalykų:

Kaip parašyti tiesės lygtį naudojant du taškus?

Jei žinomi du taškai, tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis gali būti sudaryta naudojant formulę:

Tiesą sakant, tai yra formulės tipas ir štai kodėl: jei žinomi du taškai, vektorius bus nurodytos linijos krypties vektorius. Pamokoje Manekenų vektoriai svarstėme paprasčiausią uždavinį – kaip rasti vektoriaus koordinates iš dviejų taškų. Pagal šią problemą krypties vektoriaus koordinatės yra šios:

Pastaba : taškus galima „sukeisti“ ir naudoti formulę . Toks sprendimas bus lygiavertis.

7 pavyzdys

Parašykite tiesės lygtį naudodami du taškus .

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Sujungus vardiklius:

Ir sumaišyk kaladę:

Dabar pats laikas atsikratyti trupmeninių skaičių. Tokiu atveju turite padauginti abi puses iš 6:

Atidarykite skliaustus ir prisiminkite lygtį:

Atsakymas:

Apžiūra akivaizdu – pradinių taškų koordinatės turi tenkinti gautą lygtį:

1) Pakeiskite taško koordinates:

Tikra lygybė.

2) Pakeiskite taško koordinates:

Tikra lygybė.

Išvada: tiesės lygtis parašyta teisingai.

Jeigu mažiausiai vienas taškų netenkina lygtis, ieškokite klaidos.

Verta paminėti, kad grafinis patikrinimas šiuo atveju yra sudėtingas, nes sukonstruokite tiesią liniją ir pažiūrėkite, ar taškai priklauso jai , ne taip paprasta.

Pažymėsiu dar keletą techninių sprendimo aspektų. Galbūt šioje problemoje pelningiau naudoti veidrodinę formulę ir tuose pačiuose taškuose sudaryti lygtį:

Mažiau frakcijų. Jei norite, sprendimą galite atlikti iki galo, rezultatas turėtų būti ta pati lygtis.

Antras dalykas – pažvelgti į galutinį atsakymą ir išsiaiškinti, ar jį būtų galima dar labiau supaprastinti? Pavyzdžiui, jei gaunate lygtį , patartina ją sumažinti dviem: – lygtis apibrėžs tą pačią tiesę. Tačiau tai jau yra pokalbio tema santykinė linijų padėtis.

Gavęs atsakymą 7 pavyzdyje tik tuo atveju patikrinau, ar VISI lygties koeficientai dalijasi iš 2, 3 ar 7. Nors dažniausiai tokie sumažinimai daromi sprendimo metu.

8 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per taškus, lygtį .

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, kuris leis geriau suprasti ir praktikuoti skaičiavimo būdus.

Panašiai kaip ir ankstesnėje pastraipoje: jei formulėje vienas iš vardiklių (krypties vektoriaus koordinatė) tampa nuliu, tada perrašome į formą . Vėlgi, atkreipkite dėmesį, kaip ji atrodo nejaukiai ir sutrikusi. Nematau prasmės pateikti praktinių pavyzdžių, nes šią problemą jau iš tikrųjų išsprendėme (žr. Nr. 5, 6).

Tiesioginis normalus vektorius (normalus vektorius)

Kas yra normalu? Paprastais žodžiais tariant, normalus yra statmenas. Tai yra, normalusis linijos vektorius yra statmenas nurodytai tiesei. Akivaizdu, kad bet kuri tiesė turi begalinį jų skaičių (taip pat ir krypties vektorių), o visi normalūs tiesės vektoriai bus kolineariniai (bendrakrypčiai ar ne, nesvarbu).

Susitvarkyti su jais bus dar lengviau nei su orientaciniais vektoriais:

Jei tiesė yra pateikta bendra lygtimi stačiakampėje koordinačių sistemoje, tai vektorius yra normalusis šios tiesės vektorius.

Jei krypties vektoriaus koordinates reikia atsargiai „ištraukti“ iš lygties, tai normalaus vektoriaus koordinates galima tiesiog „pašalinti“.

Normalusis vektorius visada yra statmenas tiesės krypties vektoriui. Patikrinkite šių vektorių ortogonalumą naudodami taškinis produktas:

Pateiksiu pavyzdžius su tomis pačiomis lygtimis kaip ir krypties vektoriui:

Ar galima sudaryti tiesės, duotos vieno taško ir normaliojo vektoriaus, lygtį? Jaučiu tai savo žarnyne, tai įmanoma. Jei žinomas normalus vektorius, tada pačios tiesės kryptis yra aiškiai apibrėžta - tai yra „standžia konstrukcija“, kurios kampas yra 90 laipsnių.

Kaip parašyti tiesės iš taško ir normalaus vektoriaus lygtį?

Jei žinomas tam tikras tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės normalusis vektorius, tada šios tiesės lygtis išreiškiama formule:

Čia viskas pavyko be trupmenų ir kitų netikėtumų. Tai yra mūsų normalus vektorius. Mylėk jį. Ir pagarba =)

9 pavyzdys

Parašykite tiesės su tašku ir normaliuoju vektoriumi lygtį. Raskite linijos krypties vektorių.

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Gauta bendroji tiesės lygtis, patikrinkime:

1) „Pašalinkite“ normalaus vektoriaus koordinates iš lygties: – taip, iš tiesų, pirminis vektorius buvo gautas iš sąlygos (arba turėtų būti gautas kolinearinis vektorius).

2) Patikrinkime, ar taškas tenkina lygtį:

Tikra lygybė.

Įsitikinus, kad lygtis sudaryta teisingai, atliksime antrąją, lengvesnę užduoties dalį. Išimame tiesės nukreipimo vektorių:

Atsakymas:

Brėžinyje situacija atrodo taip:

Mokymo tikslais panaši užduotis sprendžiant savarankiškai:

10 pavyzdys

Parašykite tiesės su tašku ir normaliuoju vektoriumi lygtį. Raskite linijos krypties vektorių.

Paskutinė pamokos dalis bus skirta retesniems, bet ir svarbiems plokštumos tiesės lygčių tipams.

Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Parametrinės formos tiesės lygtis

Tiesių linijų lygtis segmentuose turi formą , kur yra nulinės konstantos. Kai kurių tipų lygtys negali būti pavaizduotos šia forma, pavyzdžiui, tiesioginis proporcingumas (nes laisvasis narys yra lygus nuliui ir nėra galimybės gauti vieneto dešinėje).

Tai, vaizdžiai tariant, yra „techninio“ lygties tipas. Dažna užduotis yra pavaizduoti bendrąją linijos lygtį kaip linijos lygtį atkarpomis. Kaip tai patogu? Tiesės lygtis atkarpomis leidžia greitai rasti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, o tai gali būti labai svarbu kai kuriuose aukštosios matematikos uždaviniuose.

Raskime tiesės susikirtimo su ašimi tašką. Iš naujo nustatome „y“ į nulį, o lygtis įgauna formą . Norimas taškas gaunamas automatiškai: .

Tas pats su ašimi – taškas, kuriame tiesė kerta ordinačių ašį.