Raskite matricos daugianarį. Tiesinės sistemos matricinis žymėjimas

Matricos polinomas kintamajame yra formos išraiška

F(l) = Ao lm + A1 lm-1 + A2 lm-2 + … + Am, (1)

kur Ao, …, Am - kvadratinės matricos tos pačios eilės su elementais iš pagrindinio lauko K. Skaičius m vadinamas daugianario laipsniu, jei Ao?0. Sakoma, kad du daugianariai yra lygūs, jei šių daugianarių matricos yra lygios lygiais laipsniais kintamasis l. Matricos l-polinomai pridedami ir dauginami iš normalios taisyklės. Akivaizdu, kad kiekvienas l-polinomas gali būti parašytas vienos matricos forma, kurios elementai yra įprasti daugianariai iš l ir atvirkščiai. Pavyzdžiui,

1 2 + 5 6 l + 1 0 lI = lI + 5 l + 1 6 + 2

0 3 7 -2 0 1 7l lI-2l + 3 .

Todėl matricos n-polinomai yra tik ypatinga rūšis l-matricų įrašai.

Polinomas F(n) vadinamas reguliariuoju, jei matrica Ao yra apverčiama.

Dviejų suma (skirtumas). matricos polinomai tos pačios eilės gali būti pavaizduotas kaip daugianario, kurio laipsnis neviršija didžiausio iš šių daugianario laipsnių.

Dviejų matricinių polinomų sandauga yra lygi daugianariui, kurio laipsnis yra mažesnis arba lygus veiksnių laipsnių sumai. Jei bent vienas iš dviejų veiksnių yra taisyklingasis daugianario, tai šiuo atveju sandaugos laipsnis visada yra lygus veiksnių laipsnių sumai.

Tegu pateikiami du tos pačios eilės n matricos polinomai A(n) ir B(n), o B(n) yra taisyklingasis daugianomas:

A(l) = Aolm + A1lm-1 + … + Am (Ao?0),

В(л) = Volr + В1лр-1 + … + Вр(|Во|?0).

Sakysime, kad matricos polinomai Q(l) ir R(l) yra atitinkamai dešinysis koeficientas ir dešinioji liekana, dalijant A(l) iš B(l), jei

A(l) = Q(l)B(l) + R(l)(2)

o laipsnis R(l) yra mažesnis už laipsnį B(l).

Lygiai taip pat polinomus ^Q(l) ir ^R(l) vadinsime atitinkamai kairiuoju koeficientu ir kairiąja liekana, kai dalijame A(l) iš B(l), jei

A(l) = B(l) ^Q(l) + ^R(l)(3)

o laipsnis ^R(l) yra mažesnis už laipsnį B(l).

IN bendras atvejis daugianariai Q(l) ir R(l) nesutampa su ^Q(l) ir ^R(l).

Parodykime, kad tos pačios eilės matricos polinomų padalijimas į dešinę ir į kairę visada yra įmanomas ir unikalus, jei daliklis yra taisyklingasis daugianomas.

Apsvarstykite teisingą A(n) padalijimą iš B(n). Jeigu m

A(l)=AoBo -1lm-pB(l) + A(1)(l).(4)

Dauginamo A(1)(l) laipsnis m(1) yra mažesnis už m:

A(1)(l) = Ao(1) lm(1) + … (Ao(1)?0, m(1)

Jei m(1)?p, tai kartojant šį procesą, gauname:

A(1)(l) = Ao(1)Bo -1 lm(1)-p B(l) + A(2)(l), (6)

A(2)(l) = A(2)lm(2) + … (m(2)

Kadangi polinomų A(l), A(1)(l), A(2)(l), ... laipsniai mažėja, tam tikrame etape pasieksime liekaną R(l), kurios laipsnis yra mažesnis nei p. Tada nuo (4), (6) bus:

A(l) = Q(l) B(l) + R(l),

kur Q(l) = АoВо-1 lm-р + Ао(1)Во-1 lm(1)-р + …(7)

Dabar įrodykime teisingo padalijimo unikalumą. Leiskite tuo pačiu metu

A(l) = Q(l) B(l) + R(l)(8)

A(l) = Q*(l) B(l) + R*(l), (9)

kur daugianario R(l) ir R*(l) laipsniai mažesni už laipsnį B(l), t.y. mažiau nei p. Iš (9) atėmus terminą pagal terminą (8), gauname:

B(l) = R*(l) – R(l).(10)

Jei Q(l) - Q*(l) ? 0, tai kadangi |Во|?0, lygybės (10) kairės pusės laipsnis būtų lygus В(л) ir Q(л) - Q*(л) laipsnių sumai ir todėl būtų? р. Tai neįmanoma, nes polinomo laipsnis dešinėje lygybės (10) pusėje yra mažesnis nei p. Taigi, Q(l) - Q*(l)?0, o tada iš (10) R*(l) - R(l)?0, t.y.

Q(l) = Q*(l), R(l) = R*(l).

Lygiai taip pat nustatomas kairiojo koeficiento ir kairiosios liekanos egzistavimas ir unikalumas.

1 teorema. (Apibendrinta Bezouto teorema). Kai matricos polinomas F(n) padalytas į dešinę (kairę) iš dvejetainio lE-A, likusi dalybos dalis yra lygi F(A) (atitinkamai ^F(A)).

Įrodymas. Apsvarstykite savavališką n-osios eilės matricos polinomą

F(l) = Fо lm + F1 lm-1 + … + Fm (Fо?0) (11)

Šį daugianarį taip pat galima parašyti taip:

F(l) = lm Fo + lm-1 F1 + … + Fm (12)

Abu skaliarinio l įrašai duoda tą patį rezultatą. Tačiau, jei vietoj skaliarinio argumento l pakeisime n-osios eilės A kvadratinę matricą, tada (11) ir (12) keitimo rezultatai bus skirtingi, nes matricos A laipsniai gali būti nekeičiami su matricos koeficientai Fo, F1, ..., Fm.

F(A) = Fo Am+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

^F(A) = Am Fо + Am-1 F1 + … + Fm (14)

ir F(A) vadinsime dešine reikšme, o ^F(A) kairiąja daugianario F(l) reikšme, kai matricą A pakeisime l.

Padalinkime daugianarį F(l) iš dvinario le-A. Šiuo atveju dešinioji liekana R ir kairioji liekana ^R nepriklausys nuo l. Norėdami nustatyti tinkamą likutį, apsvarstykite įprastą padalijimo schemą:

F(l) = Fo lm + F1 lm-1 + … + Fm = Fo lm-1 (lE-A) + (Fo A + F1) lm-1 + F2 lm-2 + …=

= (lE-A) + (Fо А2 + F1А1+ F2) lm-2 + F3 lm-3 + … = …

… = (le-A) +

Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm

Mes tai radome

R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А).(15)

Visai panašiai

Iš įrodytos teoremos išplaukia, kad polinomas F(n) dalijasi iš dešinės (kairės) be liekanos iš dvinario lE-A tada ir tik tada, kai F(A)=0 (atitinkamai ^F(A)=0) .

Patikrinkite, ar A()=Q()B() + R().

А()= - 3 -2 2 +1 3 3 + =

1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0

1 3 -2 0 0 1 1 0 .

2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1

В()= -2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2,

1 1 3 5 2 +4 2 2 +13

|B o | = 1, B o -1 = 1 2, A 0 B 0 -1 = 2 5, A 0 B 0 -1 B() = - 2 +1 3 2 +12,

3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13

A (1) () = -3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 = -2 2 -+1 -11,

0 1 2 + -3 -13 + 0 0

A (1) () = -2 0 -1 -11 1 0,

A 0 (1) B 0 -1 () = -2 0 1 2 = -2 -2,

1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5

A 0 (1) B 0 -1 B()= -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6,

R()= A (1) () - A 0 (1) B 0 -1 B()=

3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5

2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 ,

3 5 + 1 2 3+1 5+2

Q() = A 0 B 0 -1 + A 0 (1) B 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2

Kiekviena kvadratinė matrica turi du su ja susietus polinomus: būdingąjį ir minimalųjį. Šie daugianariai vaidina svarbų vaidmenį sprendžiant įvairius matricos teorijos klausimus. Taigi, pavyzdžiui, matricos funkcijos samprata, kurią pristatysime kitame skyriuje, bus visiškai pagrįsta matricos minimalaus daugianario koncepcija. Šiame skyriuje aptariamos charakteringųjų ir minimalių daugianario savybės. Prieš šį tyrimą pateikiama pagrindinė informacija apie polinomus su matricos koeficientais ir operacijas su jais.

§ 1. Matricinių daugianario sudėjimas ir daugyba

Apsvarstykite kvadratinę daugianario matricą, ty kvadratinę matricą, kurios elementai yra daugianariai (su koeficientais iš tam tikro skaičiaus lauko):

Matrica gali būti pavaizduota kaip polinomas su matricos koeficientais, išdėstytais laipsniais:

. (3)

Skaičius vadinamas daugianario laipsniu, jei . Skaičius vadinamas daugianario tvarka. Polinomą (1) vadinsime reguliariuoju, jei .

Polinomą su matricos koeficientais kartais vadinsime matricos polinomu. Skirtingai nuo matricos daugianario, paprastąjį daugianarį su skaliariniais koeficientais vadinsime skaliariniu daugianario.

Panagrinėkime pagrindines operacijas su matricos polinomais. Tegul du tos pačios eilės matricos daugianariai ir yra pateikti. Pažymime didžiausią iš šių daugianario laipsnių. Šie daugianariai gali būti parašyti kaip

y., dviejų tos pačios eilės matricinių daugianarių sumą (skirtumą) galima pavaizduoti kaip daugianarį, kurio laipsnis neviršija didžiausio iš šių daugianario laipsnių.

Tegu pateikiami du laipsnių matricos polinomai ta pačia tvarka:

Jei padaugintume iš (ty pakeistume veiksnių tvarką), tada paprastai gautume skirtingą daugianarį.

Matricos polinomų dauginimas turi dar vieną specifinę savybę. Priešingai nei skaliarinių daugianarių sandauga, matricinių polinomų sandauga (4) gali turėti laipsnį, mažesnį nei , tai yra, mažesnį už faktorių laipsnių sumą. Iš tiesų, (4) matricų sandauga gali būti lygi nuliui ir . Tačiau, jei bent viena iš matricų yra ne vienaskaita, tai reiškia: . Taigi dviejų matricinių daugianarių sandauga yra lygi daugianariui, kurio laipsnis yra mažesnis arba lygus veiksnių laipsnių sumai. Jei bent vienas iš dviejų veiksnių yra taisyklingasis daugianario, tai šiuo atveju sandaugos laipsnis visada yra lygus veiksnių laipsnių sumai.

Tosios eilės matricos polinomas gali būti parašytas dviem būdais:

Abu skaliariniai įrašai duoda tą patį rezultatą. Tačiau, jei vietoj skaliarinio argumento norime pakeisti kvadratinę matricą, kurios eilės tvarka, tada (5) ir (5") keitimų rezultatai paprastai skirsis, nes matricos galios gali nesiskirti. būti keičiami su matricos koeficientais.

o dešinę ir kairę matricos reikšmes vadinsime polinomu, kai pakeisime vietoj matricos .

Dar kartą apsvarstykite du matricos polinomus

,

ir jų darbas

Tapatybės (7") transformacijos lieka galioti, kai pakeičiamos antros eilės matrica, jei tik matrica keičiasi su visais matricos koeficientais. Panašiai tapatybėje (7") skaliarą galite pakeisti matrica, jei matrica važinėja su visais koeficientais. Pirmuoju atveju gauname: bet kuri eilės matrica visada tenkina tapatybes

, . (9)

Instrukcijos. Internetiniam sprendimui reikia nurodyti matricos išraišką. Antrame etape reikės išsiaiškinti matricų matmenis.

Tinkamos operacijos: daugyba (*), sudėtis (+), atimta (-), atvirkštinė matrica A^(-1), eksponencija (A^2, B^3), matricos perkėlimas (A^T).
Norėdami atlikti operacijų sąrašą, naudokite kabliataškio (;) skyriklį. Pavyzdžiui, atlikti tris operacijas:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
reikės parašyti taip: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica yra stačiakampė skaitmeninė lentelė su m eilučių ir n stulpelių, todėl matricą galima schematiškai pavaizduoti kaip stačiakampį.
Nulinė matrica (nulinė matrica) yra matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui ir žymimi 0.
Tapatybės matrica vadinama formos kvadratine matrica

Apibrėžkime pagrindinės operacijos su matricomis.

Matricos papildymas

6 pavyzdys. .
Matricos pridėjimo operacija apima bet kokį terminų skaičių. Akivaizdu, kad A+0=A.
Dar kartą pabrėžkime, kad galima pridėti tik tokio pat dydžio matricas; Skirtingų dydžių matricoms sudėjimo operacija neapibrėžiama.

Matricų atėmimas

Matricos daugyba

7 pavyzdys. Duotos matricos Ir . Raskite matricas C = A·B ir D = B·A.
Sprendimas. Visų pirma atkreipkite dėmesį, kad sandauga A·B egzistuoja, nes A stulpelių skaičius yra lygus B eilučių skaičiui.

8 pavyzdys. Duota matrica . Raskite 3A 2 – 2A.
Sprendimas.

.
; .
.
Atkreipkime dėmesį į įdomų faktą.
Kaip žinote, dviejų nulinių skaičių sandauga nėra lygi nuliui. Matricose panašios aplinkybės gali ir nebūti, tai yra, nulinių matricų sandauga gali pasirodyti lygi nulinei matricai.