Raskite pagreitį momentu t. Sudėtingas taško judėjimas

Greitis – vektorinis dydis, apibūdinantis ne tik dalelės judėjimo trajektorija greitį, bet ir kryptį, kuria dalelė juda kiekvienu laiko momentu.

Vidutinis greitis laikui bėgant iš t 1 prieš t 2 yra lygus judėjimo per šį laiką ir laikotarpio, per kurį šis judėjimas įvyko, santykiui:

Atkreipsime dėmesį į tai, kad tai yra vidutinis greitis, vidutinę reikšmę įtraukdami į kampinius skliaustus:<...>, kaip padaryta aukščiau.

Aukščiau pateikta vidutinio greičio vektoriaus formulė yra tiesioginė bendrojo matematinio vidutinės reikšmės apibrėžimo pasekmė<f(x)> savavališka funkcija f(x) intervale [ a, b]:

Tikrai

Vidutinis greitis gali būti per grubus judėjimo matas. Pavyzdžiui, vidutinis greitis per svyravimų periodą visada yra lygus nuliui, neatsižvelgiant į šių svyravimų pobūdį, dėl paprastos priežasties, kad per tam tikrą laikotarpį – pagal periodo apibrėžimą – svyruojantis kūnas grįš į pradinį tašką ir todėl , poslinkis per laikotarpį visada lygus nuliui. Dėl šios ir daugybės kitų priežasčių įvedamas momentinis greitis – greitis tam tikru laiko momentu. Ateityje, reikšdami momentinį greitį, rašysime paprastai: „greitis“, praleisdami žodžius „akimirksniu“ arba „tam tikru momentu“, kai tai negali sukelti nesusipratimų t turime padaryti akivaizdų dalyką: apskaičiuoti santykio ribą, atsižvelgiant į laiko intervalo tendencijas t 2 – t 1 iki nulio. Atlikime keletą pertvarkymų: t 1 = t Ir t 2 = t + ir perrašykite viršutinį santykį taip:

Greitis laiku t lygi judėjimo per laiką santykio ribai per laikotarpį, per kurį šis judėjimas įvyko, nes pastarasis linkęs į nulį

Ryžiai. 2.5. Momentinio greičio apibrėžimo link.

Šiuo metu mes nesvarstome šios ribos egzistavimo klausimo, darydami prielaidą, kad ji egzistuoja. Atkreipkite dėmesį, kad jei yra baigtinis poslinkis ir baigtinis laiko periodas, tada ir yra jų ribinės vertės: be galo mažas poslinkis ir be galo mažas laiko periodas. Taigi dešinioji greičio apibrėžimo pusė

yra ne kas kita kaip trupmena - dalybos iš koeficientas, todėl paskutinis santykis gali būti perrašytas ir labai dažnai naudojamas formoje

Pagal geometrinę išvestinės reikšmę greičio vektorius kiekviename trajektorijos taške yra nukreiptas trajektorijos liestine šiame taške jos judėjimo kryptimi.

Vaizdo įrašas 2.1. Greičio vektorius nukreiptas trajektorijos liestine. Eksperimentuokite su galąstuvu.

Bet kurį vektorių galima išplėsti į pagrindą (pagrindo vienetiniams vektoriams, kitaip tariant, vienetiniams vektoriams, apibrėžiantiems teigiamas ašių kryptis JAUTIS,OY,OZ atitinkamai naudojame žymėjimą , arba ). Šio plėtimosi koeficientai yra vektoriaus projekcijos į atitinkamas ašis. Svarbu: vektorinėje algebroje įrodyta, kad plėtimasis pagrindo atžvilgiu yra unikalus. Išplėskime kurio nors judančio materialaus taško spindulio vektorių į pagrindą

Atsižvelgdami į Dekarto vienetų vektorių , , pastovumą, šią išraišką skiriame laiko atžvilgiu

Kita vertus, plėtimasis pagal greičio vektoriaus pagrindą turi formą

sugretinus paskutines dvi išraiškas, atsižvelgiant į bet kurio vektoriaus plėtimosi unikalumą pagrindo atžvilgiu, gaunamas toks rezultatas: greičio vektoriaus projekcijos į Dekarto ašis yra lygios atitinkamų koordinačių laiko išvestinėms, yra

Greičio vektoriaus dydis lygus

Gaukime kitą, svarbią, greičio vektoriaus dydžio išraišką.

Jau buvo pažymėta, kad kai reikšmė || vis mažiau skiriasi nuo atitinkamo kelio (žr. 2 pav.). Štai kodėl

ir riboje (>0)

Kitaip tariant, greičio modulis yra nuvažiuoto atstumo laiko atžvilgiu išvestinė.

Pagaliau turime:

Vidutinis greičio vektoriaus dydis, apibrėžiamas taip:

Vidutinė greičio vektoriaus modulio reikšmė yra lygi nuvažiuoto atstumo ir laiko, per kurį buvo nueita šis kelias, santykiui:

Čia s(t 1, t 2)- kelias laike nuo t 1 prieš t 2 ir atitinkamai, s(t 0, t 2)- kelias laike nuo t 0 prieš t 2 Ir s(t 0, t 2)- kelias laike nuo t 0 prieš t 1.

Vidutinio greičio vektorius arba tiesiog vidutinis greitis, kaip nurodyta aukščiau

Atkreipkite dėmesį, kad visų pirma tai yra vektorius, jo modulis - vidutinio greičio vektoriaus modulio nereikėtų painioti su vidutine greičio vektoriaus modulio reikšme. Bendru atveju jie nėra lygūs: vidutinio vektoriaus modulis visai nelygus šio vektoriaus vidutiniam moduliui. Dvi operacijos: modulio apskaičiavimas ir vidurkio apskaičiavimas, bendru atveju negali būti sukeistos.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Tegul taškas juda viena kryptimi. Fig. 2.6. rodo jos nueito kelio grafiką s nuo laiko (laikui nuo 0 prieš t). Naudodami fizinę greičio reikšmę, naudokite šį grafiką, kad surastumėte laiko momentą, kai momentinis greitis yra lygus vidutiniam važiavimo greičiui per pirmąsias taško judėjimo sekundes.

Ryžiai. 2.6. Momentinio ir vidutinio kūno greičio nustatymas

Greičio modulis tam tikru laiku

būdama kelio išvestinė laiko atžvilgiu, ji lygi svyravimo kampiniam koeficientui į taško, atitinkančio laiko momentą, priklausomybės grafiką t*. Vidutinio greičio modulis per tam tikrą laikotarpį nuo 0 prieš t* yra sekanto, einančio per pradžią atitinkančius to paties grafiko taškus, kampinis koeficientas t = 0 ir pabaiga t = t* laiko intervalas. Turime rasti tokį momentą t*, kai abu šlaitai sutampa. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite tiesią liniją per pradžią, liestinę trajektorijai. Kaip matyti iš paveikslo, šio tiesaus grafiko liesties taškas yra s(t) ir duoda t*. Mūsų pavyzdyje paaiškėja

Instrukcijos

Įveskite koordinačių sistemą, kurios atžvilgiu nustatysite kryptį ir modulis. Jei užduotyje jau yra priklausomybių greitis karts nuo karto nereikia įvesti koordinačių sistemos – daroma prielaida, kad ji jau egzistuoja.

Pagal esamą priklausomybės funkciją greitis nuo laiko galite rasti vertę greitis bet kuriuo metu t. Tarkime, v=2t²+5t-3. Jei reikia rasti modulis greitis momentu t=1, tiesiog pakeiskite šią reikšmę į ir apskaičiuokite v: v=2+5-3=4.

Šaltiniai:

• kaip rasti kelio priklausomybę nuo laiko

Modulis skaičių n reiškia vienetinių segmentų skaičių nuo pradžios iki taško n. Be to, nesvarbu, kuria kryptimi šis atstumas bus skaičiuojamas - į dešinę ar į kairę nuo nulio.

Instrukcijos

Modulis skaičių dar vadinama absoliučia verte skaičių. Tai trumpos vertikalios linijos, nubrėžtos kairėje ir dešinėje skaičių. Pavyzdžiui, modulis skaičių 15 rašomas taip: |15|.

Atminkite, kad modulis gali būti tik teigiamas skaičius arba . Modulis teigiamas skaičių lygus skaičiui. Modulis nulis. Tai yra, bet kam skaičių n, kuris yra didesnis arba lygus nuliui, bus teisinga |n| = n. Pavyzdžiui, |15| = 15, tai yra modulis skaičių 15 yra lygus 15.

Neigiamas modulis skaičių bus tas pats skaičius, bet su priešingu ženklu. Tai yra, bet kam skaičių n, kuri yra mažesnė už nulį, formulė |n| = -n. Pavyzdžiui, |-28| = 28. Modulis skaičių-28 yra lygus 28.

Galite rasti ne tik sveikuosius skaičius, bet ir skaičius. Be to, tos pačios taisyklės taikomos trupmeniniams skaičiams. Pavyzdžiui, |0,25| = 25, tai yra modulis skaičių 0,25 bus lygus 0,25. A |-¾| = ¾, tai yra modulis skaičių-¾ bus lygus ¾.

Dirbant pravartu žinoti, kad moduliai visada yra lygūs vienas kitam, tai yra |n| =|-n|. Tai yra pagrindinis turtas. Pavyzdžiui, |10| = |-10|. Modulis skaičių 10 yra lygus 10, kaip ir modulis skaičių-10. Be to, |a - b| = |b - a|, nes atstumas nuo taško a iki taško b ir atstumas nuo b iki a yra lygūs vienas kitam. Pavyzdžiui, |25 - 5| = |5 - 25|, tai yra |20| = |- 20|.

Norėdami rasti pokytį greitis nuspręsti dėl kūno judėjimo tipo. Jei kūnas juda tolygiai, pakeisti greitis lygus nuliui. Jei kūnas juda su pagreičiu, tada pakeisti jo greitis kiekvienu laiko momentu galima sužinoti, jei atimsime iš momentinio greitis tam tikru laiko momentu pradinis greitis.

Jums reikės

• Chronometras, spidometras, radaras, matuoklis, akselerometras.

Instrukcijos

Pokyčio apibrėžimas greitis savavališkai judanti trajektorija Spidometru arba radaru išmatuokite kūno greitį kelio atkarpos pradžioje ir pabaigoje. Tada iš galutinio rezultato atimkite pradinį rezultatą, tai bus pakeisti greitis kūnai.

Pokyčio apibrėžimas greitis su pagreičiu judančio kūno Raskite kūno pagreitį. Naudokite akselerometrą arba dinamometrą. Jei kūno masė yra žinoma, tada kūną veikiančią jėgą padalinkite iš jo masės (a=F/m). Po to išmatuokite laiką, per kurį įvyko pokyčiai greitis. Rasti pakeisti greitis, padauginkite pagreičio reikšmę iš laiko, per kurį tai įvyko pakeisti(Δv=a t). Jei pagreitis matuojamas metrais per sekundę, o laikas matuojamas sekundėmis, tada greitis matuojamas metrais per sekundę. Jei neįmanoma išmatuoti laiko, bet greitis pasikeitė tam tikroje kelio atkarpoje, naudokite spidometrą arba radarą, išmatuokite greitį šios atkarpos pradžioje, tada naudokite matavimo juostą arba nuotolio ieškiklį, kad išmatuotų ilgį. šis kelias. Naudodami bet kurį iš aukščiau aprašytų metodų, išmatuokite pagreitį, kuris paveikė kūną. Po to suraskite galutinį kūno greitį kelio pabaigoje. Norėdami tai padaryti, padidinkite pradinį greitį iki , pridėkite atkarpos sandaugą, padaugintą iš pagreičio ir skaičių 2. Iš rezultato ištraukite . Rasti pakeisti greitis, iš gauto rezultato atimkite pradinę reikšmę greitis.

Pokyčio apibrėžimas greitis kūnai sukant Jei ne tik dydis, bet ir kryptis greitis, tada surask pakeisti pradinio ir galutinio vektoriaus skirtumas greitis. Norėdami tai padaryti, išmatuokite kampą tarp vektorių. Tada iš greičių kvadratų sumos atimkite jų dvigubą sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso: v1²+v2²-2v1v2 Cos(α). Paimkite gauto skaičiaus kvadratinę šaknį.

Video tema

Norėdami nustatyti įvairių tipų greitį judėjimas jums reikės skirtingų formulių. Siekiant nustatyti greitis tolygus judėjimas, atstumą padalinkite iš kelionės laiko. Raskite vidutinį judėjimo greitį, pridėdami visus segmentus, kuriuos kūnas įveikė iki bendro judėjimo laiko. Esant tolygiai pagreitėjusiam judėjimui, išsiaiškinkite, kokiu pagreičiu judėjo kūnas, o laisvo kritimo atveju – iš kokio aukščio jis pradėjo judėti.

Jums reikės

• nuotolio ieškiklis, chronometras, akselerometras.

Instrukcijos

Vienodo judėjimo greitis ir vidutinis greitis Išmatuokite kūno nuvažiuotą atstumą nuotolio ieškikliu ir laiką, kurio prireikė jį įveikti, naudodami chronometrą. Po to kūno nuvažiuotą atstumą padalinkite iš jo nukeliauto laiko, gausime tolygaus judėjimo greitį (v=S/t). Jei kūnas juda netolygiai, atlikite tuos pačius matavimus ir pritaikykite tą pačią formulę – tada gausite vidutinį kūno greitį. Tai reiškia, kad jei kūnas judėtų tam tikra kelio atkarpa gautu greičiu, jis būtų kelyje laiką, lygų išmatuotam. Jei kūnas juda išilgai , išmatuokite jį ir laiką, kurio reikia apsisukimui, tada spindulį padauginkite iš 6,28 ir padalinkite iš laiko (v=6,28 R/t). Visais atvejais rezultatas bus metrais per sekundę. Norėdami konvertuoti į valandą, padauginkite ją iš 3,6.

Tolygiai pagreitinto judėjimo greitis Išmatuokite kūno pagreitį akselerometru arba dinamometru, jei kūno masė yra žinoma. Chronometru išmatuokite kūno judėjimo laiką ir pradinį jo greitį, jei kūnas nepradeda judėti iš ramybės būsenos. Jei kūnas pajuda iš ramybės būsenos, jis lygus nuliui. Po to sužinokite kūno greitį, prie pradinio greičio pridėdami pagreičio ir laiko sandaugą (v=v0+at).

Laisvai krentančio kūno greitis Tolimačiu išmatuokite kūno greitį metrais. Norėdami sužinoti, kokiu greičiu jis pasieks Žemės paviršių (nepaisant pasipriešinimo), aukštį padauginkite iš 2 ir skaičiaus 9,81 (gravitacinis pagreitis). Iš rezultato ištraukite kvadratą. Norėdami rasti kūno greitį bet kuriame aukštyje, naudokite tą patį metodą, tik iš pradinio, atimkite dabartinį ir pakeiskite gautą vertę, o ne aukštį.

Video tema

Žmogus yra įpratęs suvokti sąvoką " greitis"kaip kažkas paprastesnio, nei yra iš tikrųjų. Iš tiesų, per sankryžą lekiantis automobilis juda su tam tikru greitis yu, o žmogus stovi ir jį stebi. Bet jei žmogus juda, tada prasmingiau kalbėti ne apie absoliutų greitį, o apie jo santykinę vertę. Surask giminaitį greitis labai lengva.

Instrukcijos

Galite ir toliau svarstyti automobilio judėjimo į sankryžą temą. Prie pravažiuojančio automobilio stovi ir prie raudono šviesoforo signalo stovintis žmogus. Žmogus yra nejudantis, todėl paimkime jį kaip atskaitos sistemą. Atskaitos sistema yra sistema, kurios atžvilgiu juda bet kuris kūnas ar kitas materialus taškas.

Tarkime, automobilis juda greitis 50 km/val. Bet tarkime, kad jis bėgo paskui automobilį (galite, pavyzdžiui, vietoj automobilio įsivaizduoti mikroautobusą ar pro šalį važiuojantį žmogų). Bėgimo greitis 12 km/val. Taigi, greitisšios mechaninės transporto priemonės neatrodys tokia greita, kaip buvo anksčiau! Tai yra visa santykinio greičio esmė. greitis visada matuojamas judančio atskaitos rėmo atžvilgiu. Taigi, greitis nebus automobilio pėstiesiems 50 km/h, o 50 - 12 = 38 km/val.

Galite apsvarstyti dar vieną. Užtenka prisiminti bet kurią akimirką, kai žmogus, sėdėdamas prie autobuso lango, stebi pro šalį lekiančius automobilius. Išties, iš autobuso lango jie greitis Tai tiesiog atrodo stulbinančiai. Ir tai nenuostabu, nes jei autobusą imsime kaip atskaitos sistemą, tada greitis automobilis ir greitis autobusą reikės sulankstyti. Tarkime, kad autobusas juda greitis u 50 km/h ir 60 km/h. Tada 50 + 60 = 110 km/val. Būtent su šituo greitis Tie patys automobiliai lekia pro autobusą ir jame esančius keleivius.
Tai tas pats greitis bus teisinga ir galiojanti, net jei atskaitos sistema bus laikomas kuris nors pro autobusą važiuojantis automobilis.

Kinematika tiria įvairius judėjimo tipus kūnas tam tikru greičiu, kryptimi ir trajektorija. Norėdami nustatyti jo padėtį kelio pradžios taško atžvilgiu, turite rasti juda kūnas.

Instrukcijos

Judėjimas kūnas vyksta tam tikra trajektorija. Esant tiesiam tiesės judėjimui, todėl raskite juda kūnas gana paprasta: jis lygus nuvažiuotam atstumui. Priešingu atveju jį galima nustatyti pagal pradinę ir galutinę padėtį erdvėje.

Bendrais tikslais objekto greičio (v) nustatymas yra paprastas uždavinys: tam tikro laiko (-ių) poslinkį (-ius) reikia padalyti iš šio laiko (t), tai yra, naudokite formulę v = s. /t. Tačiau tokiu būdu gaunamas vidutinis kūno greitis. Naudodami kai kuriuos skaičiavimus, galite rasti kūno greitį bet kuriame kelio taške. Šis greitis vadinamas momentinis greitis ir apskaičiuojamas pagal formulę v = (ds)/(dt), tai yra kūno vidutinio greičio skaičiavimo formulės išvestinė. .

Žingsniai

1 dalis

1. Norėdami apskaičiuoti momentinį greitį, turite žinoti lygtį, apibūdinančią kūno judėjimą (jo padėtį tam tikru laiko momentu), tai yra lygtį, kurios vienoje pusėje yra s (kūno judėjimas), o kitoje pusėje yra terminai su kintamuoju t (laikas).
   

   Pavyzdžiui:

   • s = -1,5 t 2 + 10 t + 4 s. Poslinkis yra kelias, kurį nukeliauja objektas. Pavyzdžiui, jei kūnas pasislenka 10 m į priekį ir 7 m atgal, tada bendras kūno poslinkis yra 10 - 7 = 3 m (ir 10 + 7 = 17 m). t Laikas =

2. . Paprastai matuojama sekundėmis.

   • Norėdami rasti momentinį kūno greitį, kurio poslinkis aprašytas aukščiau pateikta lygtimi, turite apskaičiuoti šios lygties išvestinę.
     

     Pavyzdžiui:
     Išvestinė yra lygtis, leidžianti apskaičiuoti grafiko nuolydį bet kuriame taške (bet kuriuo laiko momentu). Norėdami rasti išvestinę, diferencijuokite funkciją taip: jei y = a*x n, tai išvestinė = a*n*x n-1. Ši taisyklė taikoma kiekvienam daugianario nariui.
     Kitaip tariant, kiekvieno nario su kintamuoju t išvestinė yra lygi koeficiento (prieš kintamąjį) ir kintamojo galios sandaugai, padaugintam iš kintamojo iki galios, lygios pradinei galiai atėmus 1. fiktyvus terminas (terminas be kintamojo, tai yra skaičius) išnyksta, nes jis padauginamas iš 0. Mūsų pavyzdyje:
     (2)–1,5 t (2–1) + (1) 10 t 1–1 + (0) 4 t 0

3. -3t 1 + 10t 0

   • -3t+10
     

     Pakeiskite „s“ į „ds/dt“, kad parodytumėte, jog naujoji lygtis yra pradinės lygties išvestinė (ty s išvestinė iš t).

4. Išvestinė yra grafiko nuolydis tam tikru momentu (tam tikru momentu). Pavyzdžiui, norėdami rasti funkcijos s = -1,5t 2 + 10t + 4 apibūdintos tiesės nuolydį, kai t = 5, išvestinėje lygtyje tiesiog pakeiskite 5.
   

   Pakeiskite „s“ į „ds/dt“, kad parodytumėte, jog naujoji lygtis yra pradinės lygties išvestinė (ty s išvestinė iš t).
   Mūsų pavyzdyje išvestinė lygtis turėtų atrodyti taip:
   ds/dt = -3t + 10 Pakeiskite atitinkamą t reikšmę išvestinėje lygtyje, kad surastumėte momentinį greitį tam tikru laiko momentu.

   • Pavyzdžiui, jei norite rasti momentinį greitį, kai t = 5, tiesiog pakeiskite 5 (t) išvestinėje lygtyje ds/dt = -3 + 10. Tada išspręskite lygtį:

   ds/dt = -3(5) + 10

   ds/dt = -15 + 10 =

   1. -5 m/s Atkreipkite dėmesį į momentinio greičio matavimo vienetą: m/s. Kadangi mums duota poslinkio reikšmė metrais, o laikas sekundėmis, o greitis lygus poslinkio ir laiko santykiui, tai matavimo vienetas m/s yra teisingas.

      • Y ašis yra poslinkis, o X ašis yra laikas. Taškų koordinatės (x, y) gaunamos pakeičiant įvairias t reikšmes į pradinę poslinkio lygtį ir apskaičiuojant atitinkamas s reikšmes.
      • Grafikas gali nukristi žemiau X ašies Jei kūno judėjimo grafikas nukrenta žemiau X ašies, tai reiškia, kad kūnas juda priešinga kryptimi nuo judėjimo pradžios. Paprastai grafikas neviršys Y ašies (neigiamos x reikšmės) – mes nematuojame objektų, judančių laiku atgal, greičio!

   2. Grafike (kreivėje) pasirinkite tašką P ir arti jo esantį tašką Q. Norėdami rasti grafiko nuolydį taške P, naudojame ribos sąvoką. Riba – būsena, kai per 2 kreivėje esančius taškus P ir Q nubrėžto sekanto reikšmė linkusi į nulį.

      • Pavyzdžiui, apsvarstykite taškus P(1,3) ir Q(4,7) ir apskaičiuokite momentinį greitį taške P.

   3. Raskite atkarpos PQ nuolydį. Atkarpos PQ nuolydis yra lygus taškų P ir Q „y“ koordinačių reikšmių skirtumo santykiui su taškų P ir Q „x“ koordinačių reikšmių skirtumu. Kitaip tariant, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), kur H – atkarpos PQ nuolydis. Mūsų pavyzdyje segmento PQ nuolydis yra:
      

      H = (y Q - y P) / (x Q - x P)
      H = (7–3)/(4–1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Pakartokite procesą keletą kartų, priartindami tašką Q prie taško P. Kuo mažesnis atstumas tarp dviejų taškų, tuo gautų atkarpų nuolydis yra arčiau grafiko nuolydžio taške P. Mūsų pavyzdyje atliksime taško Q skaičiavimus su koordinatėmis (2,4,8), (1,5,3,95). ) ir (1.25,3.49) (taško P koordinatės išlieka tos pačios):
      

      Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5, 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1,25, 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Kuo mažesnis atstumas tarp taškų P ir Q, tuo H reikšmė arčiau grafiko nuolydžio taške P. Jei atstumas tarp taškų P ir Q yra labai mažas, H reikšmė bus lygi grafiko nuolydžiui taške P. Kadangi negalime išmatuoti ar apskaičiuoti itin mažo atstumo tarp dviejų taškų, grafinis metodas suteikia įvertinimą grafiko nuolydis taške P.

      • Mūsų pavyzdyje, kai Q artėjo prie P, gavome šias H reikšmes: 1,8; 1,9 ir 1,96. Kadangi šie skaičiai linkę į 2, galime sakyti, kad grafiko nuolydis taške P yra 2.
      • Atminkite, kad grafiko nuolydis tam tikrame taške yra lygus funkcijos (iš kurios brėžiamas grafikas) išvestinei tame taške. Grafike rodomas kūno judėjimas laikui bėgant ir, kaip minėta ankstesniame skyriuje, momentinis kūno greitis yra lygus šio kūno poslinkio lygties išvestinei. Taigi galime teigti, kad esant t = 2 momentinis greitis yra 2 m/s (tai yra įvertis).

   3 dalis

   Pavyzdžiai

   1. Apskaičiuokite momentinį greitį, kai t = 4, jei kūno judėjimas apibūdinamas lygtimi s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9.Šis pavyzdys yra panašus į pirmojo skyriaus problemą, tačiau vienintelis skirtumas yra tas, kad čia turime trečios eilės lygtį (o ne antrąją).

      • Pirmiausia apskaičiuokime šios lygties išvestinę:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3) 5 t (3 - 1) - (2) 3 t (2 - 1) + (1) 2 t (1 - 1) + (0) 9 t 0 - 1
        15 t (2) – 6 t (1) + 2 t (0)
        15t (2) – 6t + 2

        t = 1,01: s = 4 (1,01) 2 - (1,01)
        4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, taigi Q = (1.01, 3.0704)

      • Dabar apskaičiuokime H:
        

        Q = (2,14): H = (14–3)/(2–1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1,5, 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
        H = (4,5) / (,5) = 9

        Q = (1,1, 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1.01, 3.0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Kadangi gautos H reikšmės siekia 7, galime teigti, kad momentinis kūno greitis taške (1.3) yra lygus 7 m/s (numatoma vertė).
   • Norėdami rasti pagreitį (greičio pokytį laikui bėgant), naudokite pirmosios dalies metodą, kad gautumėte poslinkio funkcijos išvestinę. Tada vėl paimkite gautos išvestinės išvestinę. Tai suteiks jums lygtį, kaip rasti pagreitį tam tikru metu – tereikia įvesti laiko reikšmę.
   • Lygtis, apibūdinanti y (poslinkį) ir x (laiką), gali būti labai paprasta, pvz.: y = 6x + 3. Šiuo atveju nuolydis yra pastovus ir norint jį rasti nereikia imti išvestinės. Pagal tiesinių grafikų teoriją jų nuolydis lygus kintamojo x koeficientui, tai mūsų pavyzdyje = 6.
   • Poslinkis yra kaip atstumas, tačiau jis turi tam tikrą kryptį, todėl jis yra vektorinis dydis. Poslinkis gali būti neigiamas, o atstumas bus tik teigiamas.

Paskutiniame straipsnyje mes šiek tiek išsiaiškinome, kas yra mechanika ir kodėl jos reikia. Mes jau žinome, kas yra atskaitos sistema, judėjimo reliatyvumas ir materialus taškas. Na, laikas judėti toliau! Čia apžvelgsime pagrindines kinematikos sąvokas, sudėliosime naudingiausias kinematikos pagrindų formules ir pateiksime praktinį problemos sprendimo pavyzdį.

Aristotelis studijavo kinematiką. Tiesa, tada ji nebuvo vadinama kinematika. Tada labai didelį indėlį į mechanikos, o ypač kinematikos, vystymąsi įnešė Galilėjus Galilėjus, tyrinėjęs kūnų laisvąjį kritimą ir inerciją.

Taigi, kinematika išsprendžia klausimą: kaip kūnas juda. Priežastys, kodėl ji pradėjo veikti, jos nedomina. Kinematikai nesvarbu, ar automobilis važiavo pats, ar jį stūmė milžiniškas dinozauras. Visai nesvarbu.

Trajektorija, spindulio vektorius, kūno judėjimo dėsnis

Dabar mes apsvarstysime paprasčiausią kinematiką - taško kinematiką. Įsivaizduokime, kad kūnas (materialus taškas) juda. Nesvarbu, koks tai kūnas, mes vis tiek laikome jį materialiu tašku. Galbūt tai NSO danguje, o gal tai popierinis lėktuvas, kurį paleidome pro langą. Dar geriau, kad tai būtų naujas automobilis, kuriuo mes leidžiamės į kelionę. Judant iš taško A į tašką B, mūsų taškas apibūdina įsivaizduojamą liniją, kuri vadinama judėjimo trajektorija. Kitas trajektorijos apibrėžimas yra hodografas, spindulio vektorius, tai yra linija, kurią apibūdina materialaus taško spindulio vektoriaus galas judėjimo metu.

Spindulio vektorius – vektorius, nurodantis taško vietą erdvėje .

Norint sužinoti kūno padėtį erdvėje bet kuriuo laiko momentu, reikia žinoti kūno judėjimo dėsnį – koordinačių (arba taško spindulio vektoriaus) priklausomybę nuo laiko.

Kūnas persikėlė iš taško A į tašką B. Šiuo atveju kūno – atkarpos, tiesiogiai jungiančios šiuos taškus – judėjimas yra vektorinis dydis. Kūno nueitas kelias yra jo trajektorijos ilgis. Akivaizdu, kad judėjimas ir kelias neturėtų būti painiojami. Poslinkio vektoriaus dydis ir kelio ilgis sutampa tik esant tiesiam judėjimui.

SI sistemoje poslinkis ir kelio ilgis matuojami metrais.

Poslinkis yra lygus skirtumui tarp spindulio vektorių pradiniu ir galutiniu laiku. Kitaip tariant, tai yra vektoriaus spindulio prieaugis.

Greitis ir pagreitis

Vidutinis greitis yra vektoriaus fizinis dydis, lygus poslinkio vektoriaus ir laiko periodo, per kurį jis įvyko, santykiui

Dabar įsivaizduokime, kad laiko tarpas mažėja, mažėja ir tampa labai trumpas, linkęs į nulį. Šiuo atveju nereikia kalbėti apie vidutinį greitį, greitis tampa momentinis. Tie, kurie prisimena matematinės analizės pagrindus, iš karto supras, kad ateityje neapsieisime be išvestinės.

Momentinis greitis yra vektoriaus fizinis dydis, lygus spindulio vektoriaus laiko išvestinei. Momentinis greitis visada nukreipiamas tangentiškai į trajektoriją.

SI sistemoje greitis matuojamas metrais per sekundę.

Jei kūnas nejuda tolygiai ir tiesiškai, tada jis turi ne tik greitį, bet ir pagreitį.

Pagreitis (arba momentinis pagreitis) yra vektoriaus fizinis dydis, antroji spindulio vektoriaus išvestinė laiko atžvilgiu ir atitinkamai pirmoji momentinio greičio išvestinė

Pagreitis parodo, kaip greitai keičiasi kūno greitis. Tiesiojo judėjimo atveju greičio ir pagreičio vektorių kryptys sutampa. Kreivinio judėjimo atveju pagreičio vektorius gali būti padalytas į du komponentus: tangentinis pagreitis, Ir pagreitis normalus .

Tangentinis pagreitis parodo, kaip greitai keičiasi kūno greičio dydis ir yra nukreiptas tangentiškai į trajektoriją

Normalus pagreitis apibūdina greičio pasikeitimo kryptimi greitį. Normalusis ir tangentinis pagreičio vektoriai yra vienas kitam statmeni, o normalusis pagreičio vektorius nukreiptas į apskritimo, kuriuo juda taškas, centrą.

Čia R yra apskritimo, kuriuo juda kūnas, spindulys

Čia – x ​​yra nulis – pradinė koordinatė. v nulis – pradinis greitis. Atskirkime pagal laiką ir gaukime greitį

Greičio išvestinė su laiku duos pagreičio a reikšmę, kuri yra konstanta.

Problemos sprendimo pavyzdys

Dabar, kai išnagrinėjome fizinius kinematikos pagrindus, laikas įtvirtinti savo žinias praktikoje ir išspręsti kai kurias problemas. Be to, kuo greičiau, tuo geriau.

Pavyzdžiui tai: taškas juda apskritimu, kurio spindulys yra 4 metrai. Jo judėjimo dėsnis išreiškiamas lygtimi S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. Kuriuo laiko momentu normalus taško pagreitis yra lygus 9 m/s^2? Raskite taško greitį, tangentinį ir bendrą pagreitį šiam laiko momentui.

Sprendimas: žinome, kad norint rasti greitį, reikia paimti pirmą kartą judėjimo dėsnio išvestinę, o normalusis pagreitis yra lygus greičio kvadrato ir apskritimo, išilgai kurio taškas, spindulio daliniui. juda. Apsiginklavę šiomis žiniomis, surasime reikiamus kiekius.

Mieli draugai, sveikiname! Jei perskaitėte šį straipsnį apie kinematikos pagrindus ir, be to, sužinojote ką nors naujo, jau padarėte gerą darbą! Nuoširdžiai tikimės, kad mūsų „manekenų kinematika“ jums bus naudinga. Išdrįskite ir atsiminkite – mes visada pasiruošę padėti jums išspręsti sudėtingus galvosūkius su klastingais pigiais spąstais. . Sėkmės mokantis mechanikos!