Pasvirosios prizmės tūris
Visos prizmės skirstomos į tiesiai Ir linkęs .
Tiesi prizmė, pagrindas
kuris tarnauja teisingam
vadinamas daugiakampis
teisinga prizmė.
Taisyklingos prizmės savybės:
1. Taisyklingosios prizmės pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai. 2. Taisyklingos prizmės šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai. 3. Taisyklingosios prizmės šoninės briaunos yra lygios .
PRISM skerspjūvis.
Stačiakampis prizmės pjūvis yra pjūvis, sudarytas iš plokštumos, statmenos šoniniam kraštui.
Prizmės šoninis paviršius lygus stačiakampio pjūvio perimetro ir šoninės briaunos ilgio sandaugai.
S b =P orth.C skyrius
1. Atstumai tarp pasvirusių briaunų
trikampės prizmės yra lygios: 2cm, 3cm ir 4cm
Prizmės šoninis paviršius 45cm 2 .Suraskite jo šoninį kraštą.
Sprendimas:
Prizmės statmenoje pjūvyje yra trikampis, kurio perimetras yra 2+3+4=9
Tai reiškia, kad šoninis kraštas yra lygus 45:9 = 5 (cm)
Raskite nežinomus elementus
taisyklingas trikampis
Prizmės
lentelėje nurodytais elementais.
ATSAKYMAI.
Ačiū už pamoką.
Namų darbai.
Tūris yra bet kurios figūros, kurios matmenys nėra nuliniai visuose trijuose erdvės matmenyse, charakteristika. Šiame straipsnyje stereometrijos (erdvinių figūrų geometrijos) požiūriu pažvelgsime į prizmę ir parodysime, kaip rasti įvairių tipų prizmių tūrius.
Stereometrija turi tikslų atsakymą į šį klausimą. Jame prizmė suprantama kaip figūra, sudaryta iš dviejų daugiakampių vienodų paviršių ir kelių lygiagretainių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotos keturios skirtingos prizmės.
Kiekvieną iš jų galima gauti taip: reikia paimti daugiakampį (trikampį, keturkampį ir kt.) ir tam tikro ilgio atkarpą. Tada kiekviena daugiakampio viršūnė turi būti perkelta lygiagrečiais segmentais į kitą plokštumą. Naujoje plokštumoje, kuri bus lygiagreti pradinei, bus gautas naujas daugiakampis, panašus į iš pradžių pasirinktą.
Prizmės gali būti įvairių tipų. Taigi, jie gali būti tiesūs, pasvirę ir taisyklingi. Jei prizmės šoninė briauna (atkarpa, jungianti pagrindų viršūnes) yra statmena figūros pagrindams, tai pastaroji yra tiesi. Atitinkamai, jei ši sąlyga neįvykdyta, mes kalbame apie pasvirusią prizmę. Taisyklinga figūra yra tiesi prizmė, kurios pagrindas yra lygiakampis ir lygiakraštis.
Taisyklingų prizmių tūris
Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo. Pateikiame taisyklingosios prizmės tūrio formulę su n kampu. Bet kurios nagrinėjamos klasės figūros V tūrio formulė yra tokia:
Tai yra, norint nustatyti tūrį, pakanka apskaičiuoti vienos iš bazių S o plotą ir padauginti jį iš paveikslo aukščio h.
Taisyklingosios prizmės atveju jos pagrindo kraštinės ilgį žymime raide a, o aukštį, kuris lygus šoninės briaunos ilgiui, raide h. Jei pagrindas yra įprastas n-kampis, tada jo plotui apskaičiuoti lengviausia naudoti šią universalią formulę:
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
Į lygtį pakeisdami kraštinių skaičių n ir vienos kraštinės a ilgį, galite apskaičiuoti n kampo pagrindo plotą. Atkreipkite dėmesį, kad kotangentinė funkcija čia apskaičiuojama kampui pi/n, kuris išreiškiamas radianais.
Atsižvelgdami į lygybę, parašytą S n, gauname galutinę taisyklingosios prizmės tūrio formulę:
V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Kiekvienu konkrečiu atveju galite užrašyti atitinkamas V formules, tačiau visos jos vienareikšmiškai išplaukia iš parašytos bendrosios išraiškos. Pavyzdžiui, taisyklingai keturkampei prizmei, kuri paprastai yra stačiakampė gretasienis, gauname:
V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Jei šioje išraiškoje imsime h=a, tai gausime kubo tūrio formulę.
Tiesiųjų prizmių tūris
Iš karto atkreipkime dėmesį, kad tiesioms figūroms nėra bendros tūrio skaičiavimo formulės, kuri buvo pateikta aukščiau įprastoms prizmėms. Ieškant svarstomos reikšmės, reikia naudoti pradinę išraišką:
Čia h yra šoninio krašto ilgis, kaip ir ankstesniu atveju. Kalbant apie bazinį plotą S o , jis gali įgauti įvairias reikšmes. Tiesios prizmės tūrio apskaičiavimo problema kyla norint rasti jos pagrindo plotą.
S o vertė turėtų būti apskaičiuojama remiantis pačios bazės savybėmis. Pavyzdžiui, jei tai trikampis, plotą galima apskaičiuoti taip:
Čia h a yra trikampio apotemas, tai yra jo aukštis nuleistas iki pagrindo a.
Jei pagrindas yra keturkampis, tai gali būti trapecija, lygiagretainis, stačiakampis arba visiškai savavališko tipo. Visais šiais atvejais, norėdami nustatyti plotą, turėtumėte naudoti atitinkamą planimetrijos formulę. Pavyzdžiui, trapecijos formulė atrodo taip:
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .
Kur h a yra trapecijos aukštis, a 1 ir a 2 yra jos lygiagrečių kraštinių ilgiai.
Norint nustatyti aukštesnio laipsnio daugiakampių plotą, reikėtų juos padalinti į paprastas figūras (trikampius, keturkampius) ir apskaičiuoti pastarųjų plotų sumą.
Pasvirusių prizmių tūris
Tai pats sunkiausias prizmės tūrio skaičiavimo atvejis. Taip pat galioja bendroji tokių skaičių formulė:
Tačiau prie sunkumų rasti pagrindo plotą, vaizduojantį bet kokio tipo daugiakampį, pridedama figūros aukščio nustatymo problema. Pasvirusioje prizmėje jis visada mažesnis už šoninės briaunos ilgį.
Lengviausias būdas rasti šį aukštį, jei žinomas koks nors figūros kampas (plokščias arba dvikampis). Jei toks kampas yra duotas, tuomet prizmės viduje reikia sukonstruoti stačiakampį trikampį, kurio viena iš kraštinių būtų aukštis h ir, naudojant trigonometrines funkcijas bei Pitagoro teoremą, raskite h reikšmę.
Geometrinė problema tūriui nustatyti
Duota taisyklinga prizmė su trikampiu pagrindu, kurios aukštis 14 cm, o kraštinės ilgis 5 cm. Koks yra trikampės prizmės tūris?
Kadangi kalbame apie teisingą figūrą, turime teisę naudoti gerai žinomą formulę. Turime:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Trikampė prizmė yra gana simetriška figūra, kurios forma dažnai naudojama įvairiose architektūrinėse konstrukcijose. Ši stiklinė prizmė naudojama optikoje.
Prizmės samprata. Įvairių tipų prizmių tūrio formulės: taisyklingos, tiesios ir įstrižos. Problemos sprendimas – viskas apie kelionę į svetainę
Kurių du paviršiai yra sutapę daugiakampiai lygiagrečios plokštumos, o likę paviršiai yra lygiagrečiai, turintys bendras kraštines su šiais daugiakampiais. Šie lygiagretainiai vadinami prizmės šoniniais paviršiais, o likę du daugiakampiai – jos pagrindais.
Prizmė yra ypatingas cilindro atvejis. Lygiagretainis yra ypatingas prizmės atvejis.
Prizmė turi šias savybes:
Bet kuri prizmės pjūvis plokštuma, lygiagreti jos pagrindui, padalija šią prizmę į dvi prizmes taip, kad šių prizmių šoninių paviršių ir tūrių santykis būtų lygus jų šoninių briaunų ilgių santykiui. Bet kuri prizmės pjūvis plokštuma, lygiagreti jos šoninei briaunai, padalija šią prizmę į dvi prizmes taip, kad šių prizmių tūrių santykis būtų lygus jų šoninių briaunų ilgių santykiui. Bet kuri prizmės pjūvis plokštuma, lygiagreti jos šoniniam kraštui, padalija šią prizmę į dvi prizmes taip, kad šių prizmių tūrių santykis būtų lygus jų pagrindo plotų santykiui.
Prizmių tipai
Tiesi prizmė. Tiesios prizmės šoniniai šonkauliai statmenai plokštumai pagrindu.
Įstriža prizmė. Pasvirusios prizmės šoniniai kraštai yra išdėstyti pagrindo plokštumos atžvilgiu kampu, kuris skiriasi nuo $ 90^\circ $.
Teisinga prizmė. Tiesiosios prizmės pagrindas yra taisyklingas daugiakampis. Jo šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai.
Pusiau taisyklingas daugiakampis yra taisyklingoji prizmė, kurios šoniniai paviršiai yra kvadratai.
Tiesios prizmės tūris
Norėdami gauti taisyklingosios prizmės tūrio apskaičiavimo formulę, paimkime prizmę, kurios pagrinde yra trikampis. Pastatykime jį iki stačiakampio gretasienio (1 pav.).
1 pav. Tetraedras išsiplėtęs iki gretasienio
Iš ankstesnio skyriaus žinome, kad stačiakampio gretasienio tūris yra lygus:
Nes gautą gretasienį sudaro pradinė prizmė ir prizmė, kurios tūris yra lygus, tada pradinės prizmės tūris bus lygus
kur $a$, $b$, $c$ yra atitinkamai kraštinių $AB$, $BC$, $AC$ ilgiai, o jų sandauga lygi pradinės prizmės pagrindo plotui, tada bendra forma parašome tiesios prizmės tūrio nustatymo formulę:
kur $S_(pagrindinis)$ yra prizmės pagrindo plotas, $H$ yra prizmės pagrindo aukštis.
Ši formulė tinka tiesiajai prizmei, kurios pagrindas yra bet koks daugiakampis.
Pasvirosios prizmės tūris
Norėdami gauti pasvirosios prizmės tūrio nustatymo formulę, apsvarstykite trikampę pasvirusią prizmę $ABCDFE$. Per kraštinę $DC$, statmeną pradinės prizmės pagrindui $ABCD$, nubrėžkime plokštumą $\alpha $ ir sukonstruosime trikampę nupjautą prizmę (2 pav.).
2 pav. Pasvirusi prizmė, $\alpha $ plokštuma
Dabar per kraštinę $AB$ nubrėžiame plokštumą $\beta $ lygiagrečiai plokštumai $\alpha $ (3 pav.).
3 pav. Pasvirusi prizmė, $\alpha $ ir $\beta $ plokštumos
Jei šią transformaciją dar kartą pritaikysime pasvirusiems paviršiams, gausime prizmę, kurioje visi šoniniai paviršiai yra statmeni pagrindui. Dar kartą rezultatas yra tiesi prizmė.
Jei jai taikoma panaši transformacija (pirmiausia papildyta pirmąja nupjautąja prizme, po to nupjaunama antra nupjauta prizmė), tada užbaigtos ir nupjautos prizmės sujungiamos lygiagrečiai perkeliant į segmentas$AB$. Iš to matyti, kad figūrų tūris yra toks pat.
Vadinasi, sukonstruotos tiesios prizmės tūris yra lygus pradinės pasvirosios prizmės tūriui.
Pasvirosios prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai:
Išvada
Bet kurios prizmės (įstrižos ir tiesios) tūris randamas pagal formulę:
kur $a\cdot b$ yra pagrindo plotas, $c$ yra prizmės aukštis.
Prizmės apibrėžimas:
А1А2…АnВ1В2Вn– prizmė
Daugiakampiai A1A2…An ir B1B2…Bn – prizmės pagrindas
Lygiagretės А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – šoniniai veidai
Sekcijos A1B1, A2B2…АnBn – šoniniai prizmės šonkauliai
Prizmių tipai
Šešiakampė trikampė Keturkampė prizmė prizmė prizmė
Įstrižinė ir tiesi prizmė
Jei prizmės šoninės briaunos yra statmenos pagrindams, tai prizmė vadinama tiesioginis , kitaip - linkęs .
Teisinga prizmė
Prizmė vadinama teisinga , jei jis yra tiesus ir jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.
Bendras prizmės paviršiaus plotas
Prizmės šoninio paviršiaus plotas
Teorema
Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugos.
Pasvirosios prizmės tūris
Teorema
Pasvirusios prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.
Įrodymas
Įrodymas
Pirmiausia įrodykime teoremą trikampei prizmei, o tada savavališkai prizmei.
1. Apsvarstykite trikampę prizmę, kurios tūris V, pagrindo plotas S ir aukštis h. Pažymėkime tašką O viename iš prizmės pagrindų ir nukreipkime Ox ašį statmenai pagrindams. Nagrinėkime prizmės skerspjūvį plokštuma, statmena Ox ašiai ir todėl lygiagrečia pagrindo plokštumai. Raide x pažymėkime šios plokštumos susikirtimo su Ox ašimi taško abscisę, o S (x) gautos atkarpos plotą.
Įrodykime, kad plotas S (x) yra lygus prizmės pagrindo plotui S. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad trikampiai ABC (prizmės pagrindas) ir A1B1C1 (prizmės skerspjūvis pagal nagrinėjamą plokštumą) yra lygūs. Tiesą sakant, keturkampis AA1BB1 yra lygiagretainis (atkarpos AA1 ir BB1 yra lygios ir lygiagrečios), todėl A1B1 = AB. Panašiai įrodyta, kad B1C1 = BC ir A1C1 = AC. Taigi trikampiai A1B1C1 ir ABC yra lygūs iš trijų kraštinių. Todėl S(x)=S. Dabar taikydami pagrindinę kūnų tūrių apskaičiavimo formulę, kai a=0 ir b=h, gauname
2. h h h, S S*h. Teorema įrodyta.
2. Dabar įrodykime savavališkos prizmės su aukščiu teoremą h ir pagrindo plotas S. Tokią prizmę galima suskirstyti į trikampes prizmes, kurių bendras aukštis h. Išreikškime kiekvienos trikampės prizmės tūrį pagal mūsų įrodytą formulę ir pridėkime šiuos tūrius. Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų h, skliausteliuose gauname trikampių prizmių pagrindų plotų sumą, t.y plotą S pradinės prizmės pagrindai. Taigi pradinės prizmės tūris lygus S*h. Teorema įrodyta.
