Bendrasis nevienalytės sistemos sprendinys yra vienalytės sistemos bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės sistemos sprendinio suma.
Norėdami rasti bendrą nehomogeninės sistemos sprendimą, galite taikyti Lagranžo savavališkų konstantų kitimo metodą.
Panagrinėkime tiesinę homogeninę įprastų formos diferencialinių lygčių sistemą
kuri vektorine forma parašyta kaip
Matrica Φ , kurios stulpeliai yra n tiesiškai nepriklausomų vienalytės tiesinės sistemos Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) sprendinių Y" = A(x)Y vadinama pagrindine sistemos sprendinių matrica. sistema:
Pagrindinė vienalytės tiesinės sistemos Y" = A(x)Y sprendinių matrica tenkina matricos lygtį Φ" = A(x)Φ.
Prisiminkime, kad tiesiškai nepriklausomų sprendinių Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) Vronskio determinantas yra nulis nelygus .
Apsvarstykite tiesinę n-osios eilės diferencialinių lygčių sistemą:
Tiesinė sistema yra stabili Lyapunov, kai t ≥ t0, jei kiekvienas jos sprendinys x = φ(t) yra stabilus Lyapunov, kai t ≥ t0.
Tiesinė sistema yra asimptotiškai stabili Lyapunov kaip t → ∞, jei kiekvienas jos sprendinys x = φ(t) yra Lyapunov stabilus kaip t → ∞.
Tiesinės sistemos sprendimai yra arba visi stabilūs vienu metu, arba visi nestabilūs. Šie teiginiai yra teisingi.
Tiesinės diferencialinių lygčių sistemos sprendinių stabilumo teorema. Tegul nehomogeninėje tiesinėje sistemoje x" = A(t)x + b(t) matrica A(t) ir vektorinė funkcija b(t) yra tolydžios intervale )
