Bendras parabolės lygties vaizdas. Hiperbolė ir jos kanoninė lygtis

Parabolė yra taškų rinkinys plokštumoje, nutolusių vienodu atstumu nuo nurodyto taško(sutelkti dėmesį)o iš duotosios tiesės, nekertančios tam tikro taško (direktorės), esantis toje pačioje plokštumoje(5 pav.).

Tokiu atveju koordinačių sistema parenkama taip, kad ašis
eina statmenai krypčiai per židinį, jo teigiama kryptis pasirenkama nuo krypties židinio link. Ordinačių ašis eina lygiagrečiai krypčiai, viduryje tarp krypties ir židinio, iš kur krypčių lygtis
, fokusavimo koordinates
. Kilmė yra parabolės viršūnė, o x ašis yra jos simetrijos ašis. Parabolės ekscentriškumas
.

Kai kuriais atvejais atsižvelgiama į paraboles, apibrėžtas lygtimis

A)

b)
(visiems atvejams
)

V)
.

A) atveju parabolė yra simetriška ašiai
ir yra nukreiptas jo neigiama kryptimi (6 pav.).

b) ir c) atvejais simetrijos ašis yra ašis
(6 pav.). Fokuso koordinates šiais atvejais:

A)
b)
V)
.

Krypties lygtis:

A)
b)
V)
.

4 pavyzdys. Parabolė, kurios viršūnė yra pradžioje, eina per tašką
ir simetriškas ašies atžvilgiu
. Parašykite jos lygtį.

Sprendimas:

Kadangi parabolė yra simetriška ašies atžvilgiu
ir eina per tašką su teigiama abscise, tada ji turi tokią formą, kaip parodyta 5 pav.

Taško koordinačių pakeitimas į tokios parabolės lygtį
, mes gauname
, t.y.
.

Todėl reikalinga lygtis

,

šios parabolės židinys
, krypties lygtis
.

4. Antros eilės tiesinės lygties pavertimas kanonine forma.

Bendroji antrojo laipsnio lygtis turi formą

kur yra koeficientai
tuo pačiu metu neikite į nulį.

Bet kuri tiesė, apibrėžta (6) lygtimi, vadinama antros eilės linija. Naudojant koordinačių sistemos transformaciją, antros eilės tiesės lygtis gali būti sumažinta iki paprasčiausios (kanoninės) formos.

1. (6) lygtyje
. Šiuo atveju (6) lygtis turi formą

Jis konvertuojamas į paprasčiausią formą, naudojant lygiagretų koordinačių ašių vertimą pagal formules

(8)

Kur
– naujos pradžios koordinatės
(senoje koordinačių sistemoje). Naujos ašys
Ir
lygiagrečiai seniesiems. Taškas
yra elipsės arba hiperbolės centras ir viršūnė parabolės atveju.

Patogu sumažinti (7) lygtį iki paprasčiausios formos, naudojant pilnų kvadratų išskyrimo metodą, panašiai kaip tai buvo daroma apskritimui.

5 pavyzdys. Sumažinkite antros eilės linijos lygtį iki paprasčiausios formos. Nustatykite šios linijos tipą ir vietą. Raskite židinių koordinates. Padarykite piešinį.

Sprendimas:

Mes grupuojame narius, kuriuose yra tik bet tik , atimant koeficientus Ir už laikiklio:

Užpildome skliausteliuose esančias išraiškas, kad užbaigtume kvadratus:

Taigi ši lygtis transformuojama į formą

Mes skiriame

arba

Lyginant su (8) lygtimis, matome, kad šios formulės nustato lygiagretų koordinačių ašių perkėlimą į tašką
. Naujoje koordinačių sistemoje lygtis bus parašyta taip:

Perkeldami laisvąjį terminą į dešinę ir padalydami iš jo, gauname:

.

Taigi, ši antros eilės eilutė yra elipsė su pusiau ašimis
,
. Elipsės centras yra naujoje vietoje
, o jo židinio ašis yra ašis
. Fokusavimo atstumas nuo centro, todėl naujos dešinės židinio koordinatės
. Senosios to paties židinio koordinatės randamos iš lygiagrečių vertimo formulių:

Taip pat naujos kairiojo židinio koordinatės
,
. Jo senosios koordinatės:
,
.

Taip gavę elipsės viršūnes, nubrėžiame pačią elipsę (7 pav.). komentuoti
. Norint patikslinti brėžinį, naudinga rasti šios tiesės (7) susikirtimo taškus su senosiomis koordinačių ašimis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turime įvesti formulę (7)
, ir tada

ir išspręskite gautas lygtis.

Sudėtingų šaknų atsiradimas reikš, kad linija (7) nesikerta su atitinkama koordinačių ašimi.

Pavyzdžiui, ką tik aptartos problemos elipsės atveju gaunamos šios lygtys:
Antroji iš šių lygčių turi sudėtingas šaknis, taigi elipsės ašį

nekerta. Pirmosios lygties šaknys:
Ir
Taškuose
elipsė kerta ašį

(7 pav.). 6 pavyzdys.

Sprendimas:

Sumažinkite antros eilės eilutės lygtį iki jos paprasčiausios formos. Nustatykite linijos tipą ir vietą, suraskite židinio koordinates. Kadangi narys su :

trūksta, tada reikia pasirinkti visą kvadratą tik pagal

.

Mes skiriame

arba

Taip pat išimame koeficientą už
Dėl to koordinačių sistema perkeliama lygiagrečiai į tašką

.

Didumas

.

lygus jai.

Todėl židinys turi naujas koordinates
Jo senos koordinatės
Jei įdėsime šią lygtį
arba
, tada mes nustatome, kad parabolė kerta ašį
taške

2. , ir ašis
. Antrojo laipsnio bendroji lygtis (1) transformuojama į formą (2), t.y. į tai, kas aptarta 1 dalyje. atveju, pasukant koordinačių ašis kampu
pagal formules

(9)

Kur
– naujos koordinatės. Kampas
randama iš lygties

Koordinačių ašys pasukamos taip, kad naujos ašys
Ir
buvo lygiagrečios antros eilės linijos simetrijos ašims.

Žinant
, galima rasti
Ir
naudojant trigonometrines formules

,
.

Jei sukimosi kampas
sutikti būti laikomas ūminiu, tada šiose formulėse turime paimti pliuso ženklą ir už
taip pat turime priimti teigiamą (5) lygties sprendimą.

Visų pirma, kai
koordinačių sistema turi būti pasukta kampu
. Anglies sukimosi formulės atrodo taip:

(11)

7 pavyzdys. Sumažinkite antros eilės linijos lygtį iki paprasčiausios formos. Nustatykite šios eilutės tipą ir vietą.

Sprendimas:

Tokiu atveju
, 1
,
, todėl sukimosi kampas
randama iš lygties

.

Šios lygties sprendimas
Ir
. Apribojimas smailiu kampu
, paimame pirmąjį iš jų. Tada

,

,
.

Pakeičiant šias reikšmes Ir į šią lygtį

Atidarę skliaustus ir atnešę panašius, gauname

.

Galiausiai, padalijant iš fiktyvaus nario, gauname elipsės lygtį

.

Tai seka
,
, o didžioji elipsės ašis nukreipta išilgai ašies
, o mažoji – išilgai ašies
.

Gauni tašką
, kurio spindulys
pasviręs į ašį
kampu
, kuriam
. Todėl per šį tašką
ir praeis nauja x ašis. Tada pažymime ant ašių
Ir
elipsės viršūnes ir nubrėžti elipsę (9 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad ši elipsė kerta senąsias koordinačių ašis taškuose, kurie randami iš kvadratinių lygčių (jei įdėsime šią lygtį
Jo senos koordinatės
):

Ir
.

Kaip sukurti parabolę? Yra keli kvadratinės funkcijos grafiko būdai. Kiekvienas iš jų turi savo pliusų ir minusų. Panagrinėkime du būdus.

Pradėkime nuo kvadratinės funkcijos y=x²+bx+c ir y= -x²+bx+c formų braižymo.

Pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y=x²+2x-3.

Sprendimas:

y=x²+2x-3 yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis į viršų. Parabolės viršūnių koordinatės

Iš viršūnės (-1;-4) sudarome parabolės y=x² grafiką (kaip nuo koordinačių pradžios. Vietoj (0;0) - viršūnė (-1;-4). Iš (-1; -4) einame 1 vienetu į dešinę ir 1 vienetu aukštyn, tada 1 vienetu į kairę ir 1 aukštyn, tada: 2 - dešinėn, 4 - aukštyn, 2 - kairėn, 3 - 9 - aukštyn; kairėn, 9 - aukštyn Jei šių 7 taškų nepakanka, tada 4 į dešinę, 16 į viršų ir tt).

Kvadratinės funkcijos y= -x²+bx+c grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn. Norėdami sudaryti grafiką, ieškome viršūnės koordinačių ir iš jos sukuriame parabolę y= -x².

Pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y= -x²+2x+8.

Sprendimas:

y= -x²+2x+8 yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis žemyn. Parabolės viršūnių koordinatės

Iš viršaus statome parabolę y= -x² (1 – į dešinę, 1 – žemyn; 1 – kairėn, 1 – žemyn; 2 – dešinėn, 4 – žemyn; 2 – kairėn, 4 – žemyn ir tt):

Šis metodas leidžia greitai sukurti parabolę ir nesukelia sunkumų, jei žinote, kaip pavaizduoti funkcijas y=x² ir y= -x². Trūkumas: jei viršūnės koordinatės yra trupmeniniai skaičiai, tai nėra labai patogu kurti grafiką. Jei reikia žinoti tikslias grafiko susikirtimo su Ox ašimi reikšmes, papildomai teks išspręsti lygtį x²+bx+c=0 (arba -x²+bx+c=0), net jei šiuos taškus galima tiesiogiai nustatyti iš brėžinio.

Kitas būdas sudaryti parabolę yra taškais, tai yra, galite rasti keletą grafiko taškų ir per juos nubrėžti parabolę (atsižvelgiant į tai, kad tiesė x=xₒ yra jos simetrijos ašis). Paprastai tam jie ima parabolės viršūnę, grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis ir 1-2 papildomus taškus.

Nubraižykite funkcijos y=x²+5x+4 grafiką.

Sprendimas:

y=x²+5x+4 yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis į viršų. Parabolės viršūnių koordinatės

tai yra, parabolės viršūnė yra taškas (-2,5; -2,25).

Ieškote. Sankirtos su Ox ašimi taške y=0: x²+5x+4=0. Kvadratinės lygties šaknys x1=-1, x2=-4, tai yra, grafike gavome du taškus (-1; 0) ir (-4; 0).

Grafiko susikirtimo su Oy ašimi taške x=0: y=0²+5∙0+4=4. Gavome tašką (0; 4).

Norėdami patikslinti grafiką, galite rasti papildomą tašką. Paimkime x=1, tada y=1²+5∙1+4=10, tai yra, kitas grafiko taškas yra (1; 10). Šiuos taškus pažymime koordinačių plokštumoje. Atsižvelgdami į parabolės simetriją tiesės, einančios per jos viršūnę, atžvilgiu, pažymime dar du taškus: (-5; 6) ir (-6; 10) ir per juos nubrėžiame parabolę:

Nubraižykite funkciją y= -x²-3x.

Sprendimas:

y= -x²-3x yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis žemyn. Parabolės viršūnių koordinatės

Viršūnė (-1,5; 2,25) yra pirmasis parabolės taškas.

Grafiko susikirtimo taškuose su abscisių ašimi y=0, tai yra, išsprendžiame lygtį -x²-3x=0. Jo šaknys yra x=0 ir x=-3, tai yra (0;0) ir (-3;0) – dar du taškai grafike. Taškas (o; 0) taip pat yra parabolės susikirtimo su ordinačių ašimi taškas.

Esant x=1 y=-1²-3∙1=-4, tai yra (1; -4) yra papildomas braižymo taškas.

Parabolės konstravimas iš taškų yra daug darbo reikalaujantis metodas, palyginti su pirmuoju. Jei parabolė nesikerta su Jaučio ašimi, reikės daugiau papildomų taškų.

Prieš tęsdami y=ax²+bx+c formos kvadratinių funkcijų grafikus, panagrinėkime funkcijų grafikų konstravimą naudojant geometrines transformacijas. Taip pat patogiausia y=x²+c formos funkcijų grafikus sudaryti naudojant vieną iš šių transformacijų – lygiagretųjį vertimą.

Šiame skyriuje daroma prielaida, kad plokštumoje (kurioje yra visos toliau nurodytos figūros) buvo pasirinkta tam tikra skalė; Nagrinėjamos tik stačiakampės koordinačių sistemos su šia masteliu.

§ 1. Parabolė

Parabolė skaitytojui yra žinoma iš mokyklinio matematikos kurso kaip kreivė, kuri yra funkcijos grafikas

(76 pav.). (1)

Bet kurio kvadratinio trinalio grafikas

taip pat yra parabolė; galima tiesiog perkeliant koordinačių sistemą (kokiu vektoriumi OO), t.y. transformuojant

užtikrinti, kad funkcijos grafikas (antrojoje koordinačių sistemoje) sutaptų su grafiku (2) (pirmojoje koordinačių sistemoje).

Tiesą sakant, pakeiskime (3) lygybe (2). Mes gauname

Norime pasirinkti taip, kad dešinėje šios lygybės pusėje polinomo koeficientas ties ir laisvasis narys (atsižvelgiant į ) būtų lygus nuliui. Norėdami tai padaryti, mes nustatome iš lygties

kuris duoda

Dabar nustatome iš sąlygos

į kurią pakeičiame jau rastą reikšmę. Mes gauname

Taigi, naudojant pamainą (3), kurioje

mes perėjome prie naujos koordinačių sistemos, kurioje parabolės (2) lygtis įgavo formą

(77 pav.).

Grįžkime prie (1) lygties. Tai gali būti parabolės apibrėžimas. Prisiminkime paprasčiausias jo savybes. Kreivė turi simetrijos ašį: jei taškas tenkina (1) lygtį, tai taškas, simetriškas taškui M ordinačių ašies atžvilgiu, tenkina ir (1) lygtį – kreivė yra simetriška ordinačių ašies atžvilgiu (76 pav.). .

Jei , tada parabolė (1) yra viršutinėje pusiau plokštumoje, turinti vieną bendrą tašką O su abscisių ašimi.

Neribotai padidėjus abscisių absoliučiai vertei, ordinatės taip pat didėja neribotai. Bendras kreivės vaizdas parodytas fig. 76, a.

Jei (76 pav., b), tai kreivė yra apatinėje pusplokštumoje simetriškai abscisių ašies atžvilgiu kreivės atžvilgiu.

Jei pereisime prie naujos koordinačių sistemos, gautos iš senosios pakeitus teigiamą ordinačių ašies kryptį priešinga, tai parabolė, kurios senojoje sistemoje yra lygtis y, naujojoje gaus lygtį y. koordinačių sistema. Todėl tirdami paraboles galime apsiriboti (1) lygtimis, kuriose .

Pagaliau pakeisime ašių pavadinimus, t.y., pereisime prie naujos koordinačių sistemos, kurioje ordinačių ašis bus senoji abscisių ašis, o abscisių ašis – senoji ordinačių ašis. Šioje naujoje sistemoje (1) lygtis bus parašyta forma

Arba, jei skaičius žymimas , formoje

(4) lygtis analitinėje geometrijoje vadinama kanonine parabolės lygtimi; stačiakampė koordinačių sistema, kurioje tam tikra parabolė turi lygtį (4), vadinama kanonine koordinačių sistema (šiai parabolei).

Dabar nustatysime koeficiento geometrinę reikšmę. Norėdami tai padaryti, imamės taško

vadinama parabolės židiniu (4) ir tiese d, apibrėžta lygtimi

Ši linija vadinama parabolės (4) kryptine (žr. 78 pav.).

Leisti būti savavališkai taškas parabolė (4). Iš (4) lygties matyti, kad taško M atstumas nuo krypties d yra skaičius

M taško atstumas nuo židinio F yra

Tačiau, todėl

Taigi visi parabolės taškai M yra vienodu atstumu nuo jos židinio ir krypties:

Ir atvirkščiai, kiekvienas taškas M, kuris tenkina sąlygą (8), yra ant parabolės (4).

Iš tikrųjų,

Vadinasi,

ir, atidarius skliaustus ir įtraukus panašius terminus,

Įrodėme, kad kiekviena parabolė (4) yra taškų, vienodu atstumu nuo židinio F ir nuo šios parabolės krypties d, vieta.

Tuo pačiu metu (4) lygtyje nustatėme geometrinę koeficiento reikšmę: skaičius lygus atstumui tarp židinio ir parabolės krypties.

Tarkime, kad taškas F ir tiesė d, nekertantys šio taško, plokštumoje pateikti savavališkai. Įrodykime, kad egzistuoja parabolė, kurios židinys F ir kryptis d.

Norėdami tai padaryti, per tašką F nubrėžkite tiesę g (79 pav.), statmeną tiesei d; abiejų tiesių susikirtimo tašką pažymėkime D; atstumas (t. y. atstumas tarp taško F ir tiesės d) bus žymimas .

Tiesę g paverskime ašimi, kryptį DF laikykime teigiama. Padarykime šią ašį stačiakampės koordinačių sistemos abscisių ašimi, kurios pradžia yra atkarpos vidurys O

Tada tiesė d taip pat gauna lygtį .

Dabar galime parašyti kanoninę parabolės lygtį pasirinktoje koordinačių sistemoje:

kur taškas F bus židinys, o tiesi linija d bus parabolės (4) kryptis.

Aukščiau nustatėme, kad parabolė yra taškų M vieta vienodu atstumu nuo taško F ir tiesės d. Taigi, galime pateikti tokį geometrinį (t. y. nepriklausomą nuo jokios koordinačių sistemos) parabolės apibrėžimą.

Apibrėžimas. Parabolė yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo fiksuoto taško (parabolės židinio) ir tam tikros fiksuotos linijos (parabolės krypties), vieta.

Atstumą tarp židinio ir parabolės krypties pažymėdami , visada galime rasti stačiakampę koordinačių sistemą, kuri yra kanoninė tam tikrai parabolei, ty tokią, kurioje parabolės lygtis turi kanoninę formą:

Ir atvirkščiai, bet kuri kreivė, turinti tokią lygtį kokioje nors stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra parabolė (ko tik nustatyta geometrine prasme).

Atstumas tarp židinio ir parabolės krypties vadinamas židinio parametru arba tiesiog parabolės parametru.

Tiesė, einanti per židinį, statmeną parabolės krypčiai, vadinama jos židinio ašimi (arba tiesiog ašimi); tai parabolės simetrijos ašis - tai išplaukia iš to, kad parabolės ašis yra abscisių ašis koordinačių sistemoje, kurios atžvilgiu parabolės lygtis turi formą (4).

Jei taškas tenkina (4) lygtį, tai taškas, simetriškas taškui M abscisių ašies atžvilgiu, taip pat tenkina šią lygtį.

Parabolės ir jos ašies susikirtimo taškas vadinamas parabolės viršūne; tai yra koordinačių sistemos kanoninė tam tikros parabolės pradžia.

Pateikime kitą geometrinę parabolės parametro interpretaciją.

Per parabolės židinį nubrėžkime tiesią liniją, statmeną parabolės ašiai; ji kirs parabolę dviejuose taškuose (žr. 79 pav.) ir nustatys vadinamąją parabolės židinio stygą (t. y. styga, einanti per židinį lygiagrečiai parabolės krypčiai). Pusė židinio stygos ilgio yra parabolės parametras.

Tiesą sakant, pusė židinio stygos ilgio yra absoliuti bet kurio taško ordinatės reikšmė, kurių kiekvieno abscisė yra lygi židinio abscisei, t.y. Todėl kiekvieno mūsų turimo taško ordinatėms

Q.E.D.

- (graikų parabolė, iš parabolo suartina). 1) alegorija, parabolė. 2) lenkta linija, kylanti iš kūgio pjūvio plokštuma, lygiagrečia kai kurioms jį generuojančioms plokštumoms. 3) lenkta linija, susidariusi skrendant bombai, patrankos sviediniui ir pan. Žodynas... ... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

Alegorija, parabolė (Dahl) Žr. pavyzdį... Sinonimų žodynas

- (graikų parabolė) plokščia kreivė (2 eilės). Parabolė yra taškų M aibė, kurių atstumai iki duoto taško F (fokusas) ir tam tikros tiesės D1D2 (kryptis) yra lygūs. Tinkamoje koordinačių sistemoje parabolės lygtis yra tokia: y2=2px, kur p=2OF.… … Didysis enciklopedinis žodynas

PARABOLĖ, ​​matematinė kreivė, KŪGINIS PRIEŽIŪRA, sudaryta taško, judančio taip, kad jo atstumas iki fiksuoto taško, židinio, yra lygus atstumui iki fiksuotos tiesės, krypties. Pjaunant kūgį susidaro parabolė... ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

Moteris, graikas alegorija, parabolė. | mat. lenkta linija iš kūginių sekcijų; cukraus kepalą supjaustykite įstrižai, lygiagrečiai priešingai pusei. Paraboliniai skaičiavimai. Parabolinė kalba, nevienalytiškumas, svetima kalba, perkeltinė... ... Dahlio aiškinamasis žodynas

parabolė- y, w. parabolė f. gr. parabolis. 1. pasenęs Parabolė, alegorija. BAS 1. Prancūzas, norėdamas pasijuokti iš į Paryžių atvykstančio ruso, paklausė: Ką reiškia parabolis, faribolis ir obolis? Bet netrukus jis jam atsakė: Parabolai, tu kažko nesupranti;... ... Istorinis rusų kalbos galicizmų žodynas

PARABOLA- (1) atvira kreivė 2 eilės plokštumoje, kuri yra funkcijos y2 = 2px grafikas, kur p yra parametras. Parabolė gaunama, kai apskritimo plokštuma (žr.) kerta plokštumą, kuri nekerta jos viršūnės ir yra lygiagreti vienam iš jos generatorių.... ... Didžioji politechnikos enciklopedija

- (iš graikų parabolės), plokščia kreivė, kurios bet kurio taško M atstumai iki nurodyto taško F (fokusas) ir iki nurodytos tiesės D 1D1 (kryptis) yra lygūs (MD=MF) ... Šiuolaikinė enciklopedija

PARABOLA, parabolės, moterys. (gr. parabolis). 1. Antros eilės kreivė, vaizduojanti stačiojo apskrito kūgio kūginę pjūvį plokštuma, lygiagrečia vienai iš generatricų (mat.). || Kelias, aprašytas sunkiu kūnu (pavyzdžiui, kulka), mestu po... ... Ušakovo aiškinamasis žodynas

PARABOLA, s, patelė. Matematikoje: atvira kreivė, susidedanti iš vienos šakos, kuri susidaro, kai kūginis paviršius kerta plokštumą. | adj. parabolė, oi, oi. Ožegovo aiškinamąjį žodyną. S.I. Ožegovas, N. Yu. Švedova. 1949 1992… Ožegovo aiškinamasis žodynas

- “PARABOLA”, Rusija, 1992, spalvota, 30 min. Dokumentinis rašinys. Bandymas suprasti mistinę pasakų apie udmurtus – mažą Volgos krašto tautą – esmę. Režisierė: Svetlana Stasenko (žr. Svetlana STASENKO). Scenarijaus autorė: Svetlana Stasenko (žr. STASENKO... ... Kino enciklopedija

Knygos

• Svajonių darbo paieškos plano parabolė. Personalo vadovų archetipai..., Marina Zorina. Marinos Zorinos knyga „Svajonių darbo paieškos plano parabolė“ yra paremta tikra autorės patirtimi ir joje gausu naudingos informacijos apie vidinio įdarbinimo proceso šablonus.…
• Mano gyvenimo parabolė, Titta Ruffo. Knygos autorė – garsiausia italų dainininkė, garsiausių pasaulio operos teatrų solistė. Ryškiai ir betarpiškai parašytuose Titta Ruffo atsiminimuose yra pirmosios...

Klasė 10 . Antros eilės kreivės.

10.1. Elipsė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, grafikas.

10.2. Hiperbolė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, asimptotės, grafikas.

10.3. Parabolė. Kanoninė lygtis. Parabolės parametras, grafikas.

Antros eilės kreivės plokštumoje yra linijos, kurių numanomas apibrėžimas turi tokią formą:

Kur
- pateikti tikrieji skaičiai,
- kreivės taškų koordinates. Svarbiausios antros eilės kreivių linijos yra elipsė, hiperbolė ir parabolė.

10.1. Elipsė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, grafikas.

Elipsės apibrėžimas.Elipsė yra plokštumos kreivė, kurios atstumų suma nuo dviejų fiksuotų taškų
lėktuvu į bet kurį tašką

(tie.). Taškai
vadinami elipsės židiniais.

Kanoninė elipsės lygtis:
. (2)

(arba ašis
) eina per gudrybes
, o esmė yra kilmė - yra segmento centre
(1 pav.). Elipsė (2) yra simetriška koordinačių ašių ir pradžios (elipsės centro) atžvilgiu. Nuolatinis
,
yra vadinami elipsės pusiau ašys.

Jei elipsė pateikiama pagal (2) lygtį, tai elipsės židiniai randami taip.

1) Pirmiausia nustatome, kur yra židiniai: židiniai yra ant koordinačių ašies, ant kurios yra pagrindinės pusašys.

2) Tada apskaičiuojamas židinio nuotolis (atstumas nuo židinio iki kilmės).

At
židiniai guli ant ašies
;
;
.

At
židiniai guli ant ašies
;
;
.

Ekscentriškumas elipsė vadinama kiekiu: (at
);(at
).

Visada elipsė
.

Ekscentriškumas yra elipsės suspaudimo charakteristika.

,
Jei elipsė (2) perkeliama taip, kad elipsės centras patektų į tašką

.

, tada gautos elipsės lygtis turi formą

10.2. Hiperbolė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, asimptotės, grafikas.Hiperbolės apibrėžimas.
lėktuvu į bet kurį tašką
Hiperbolė yra plokštumos kreivė, kurioje atstumų nuo dviejų fiksuotų taškų skirtumo absoliuti reikšmė yra
(tie.). ši kreivė turi pastovią vertę, nepriklausomą nuo taško
Taškai

vadinami hiperbolės židiniais.:
Jo senos koordinatės
. (3)

Kanoninė hiperbolės lygtis
(arba ašis
) eina per gudrybes
, o esmė yra kilmė - yra segmento centre
Ši lygtis gaunama, jei koordinačių ašis
,
yra vadinami ..

Hiperbolės (3) yra simetriškos koordinačių ašims ir pradžiai. Nuolatinis

hiperbolės pusiau ašys
židiniai guli ant ašies
:
Hiperbolės židiniai randami taip.

hiperbolės pusiau ašys
židiniai guli ant ašies
:
Prie hiperbolės

(2.a pav.). (2.b pav.)
.

EkscentriškumasČia

- židinio nuotolis (atstumas nuo židinio iki pradžios). Jis apskaičiuojamas pagal formulę:
);- židinio nuotolis (atstumas nuo židinio iki pradžios). Jis apskaičiuojamas pagal formulę:
).

hiperbolė yra kiekis:
.

Hiperbolių asimptotės(3) yra dvi tiesios linijos:
. Abi hiperbolės šakos didėja be apribojimų artėja prie asimptotų .

Hiperbolinės grafikos konstravimas turėtų būti atliekamas taip: pirmiausia išilgai pusiau ašių
statome pagalbinį stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims; tada per priešingas šio stačiakampio viršūnes nubrėžkite tiesias linijas, tai yra hiperbolės asimptotės; galiausiai pavaizduojame hiperbolės šakas, kurios liečia atitinkamų pagalbinio stačiakampio kraštinių vidurio taškus ir augant artėja į asimptotus (2 pav.).

Jei hiperbolės (3) perkeliamos taip, kad jų centras patektų į tašką
, o pusiau ašys liks lygiagrečios ašims
,
, tada gautų hiperbolių lygtis bus parašyta forma

,
.

10.3. Parabolė. Kanoninė lygtis. Parabolės parametras, grafikas.

Parabolės apibrėžimas.Parabolė yra plokštumos kreivė, kurios bet kuriame taške
ši kreivė yra atstumas nuo
į fiksuotą tašką plokštuma (vadinama parabolės židiniu) yra lygi atstumui nuo
iki fiksuotos tiesės plokštumoje(vadinama parabolės kryptine) .

Kanoninė parabolės lygtis:
, (4)

Kur - vadinama konstanta parametras parabolės.

Taškas
parabolė (4) vadinama parabolės viršūne. Ašis
yra simetrijos ašis. Parabolės (4) židinys yra taške
, krypties lygtis
.
Ir
Paraboliniai grafikai (4) su reikšmėmis

yra parodytos fig. 3.a ir 3.b atitinkamai.
Lygtis
taip pat apibrėžia parabolę plokštumoje
,
, kurios ašys, palyginti su parabole (4),

apsikeitė vietomis.
Jei parabolė (4) perkeliama taip, kad jos viršūnė patektų į tašką
, o simetrijos ašis išliks lygiagreti ašiai

.

, tada gautos parabolės lygtis turi formą

Pereikime prie pavyzdžių. 1 pavyzdys
. Antrosios eilės kreivė pateikiama lygtimi
.

. Suteikite šiai kreivei pavadinimą. Raskite jo židinius ir ekscentriškumą. Nubrėžkite kreivę ir jos židinius plokštumoje
Sprendimas. Ši kreivė yra elipsė, kurios centras yra taške
ir ašių velenus
. Tai galima lengvai patikrinti pakeitus
. Ši transformacija reiškia perėjimą nuo nurodytos Dekarto koordinačių sistemos
į naują Dekarto koordinačių sistemą
, kurio ašis
,
lygiagrečiai ašims
. Ši koordinačių transformacija vadinama sistemos poslinkiu
tiksliai
. Naujoje koordinačių sistemoje

kreivės lygtis paverčiama kanonine elipsės lygtimi
, jo grafikas parodytas fig. 4.
Raskime gudrybių.
, taigi gudrybės
:
elipsė, esanti ašyje
.. Koordinačių sistemoje
.

Nes, senojoje koordinačių sistemoje

Sprendimas. Pasirinkime tobulus kvadratus pagal terminus, kuriuose yra kintamųjų Ir .

Dabar kreivės lygtį galima perrašyti taip:

Todėl duota kreivė yra elipsė, kurios centras yra taške
Sprendimas. Ši kreivė yra elipsė, kurios centras yra taške
. Gauta informacija leidžia nubraižyti jos grafiką.

3 pavyzdys. Nurodykite linijos pavadinimą ir grafiką
.

Sprendimas. .
Sprendimas. Ši kreivė yra elipsė, kurios centras yra taške
.

Tai yra kanoninė elipsės, kurios centras yra taške, lygtis
Nes,
, darome išvadą: duotoji lygtis nustato plokštumoje

apatinė elipsės pusė (5 pav.). 4 pavyzdys
. Nurodykite antrosios eilės kreivės pavadinimą

. Raskite jo židinius, ekscentriškumą. Pateikite šios kreivės grafiką.
.

- kanoninė hiperbolės su pusiau ašimis lygtis

Židinio nuotolis. , jo grafikas parodytas fig. 4.
Minuso ženklas yra prieš terminą su
ant ašies guli hiperbolės
.

:.

Hiperbolės šakos yra aukščiau ir žemiau ašies

- hiperbolės ekscentriškumas.

Hiperbolės asimptotės:.Šios hiperbolės grafiko konstravimas atliekamas aukščiau aprašyta tvarka: statome pagalbinį stačiakampį, nubrėžiame hiperbolės asimptotes, nubraižome hiperbolės šakas (žr. 2.b pav.).
5 pavyzdys

. Išsiaiškinkite lygties pateiktos kreivės tipą
ir suplanuoti.

- hiperbolė su centru taške
ir ašių velenus.
Nes , darome išvadą: pateikta lygtis nustato tą hiperbolės dalį, kuri yra į dešinę nuo tiesės
.
Hiperbolę geriau braižyti pagalbinėje koordinačių sistemoje

, gautas iš koordinačių sistemos pamaina

, o tada paryškinta linija paryškinkite norimą hiperbolės dalį :

6 pavyzdys

. Išsiaiškinkite kreivės tipą ir nubrėžkite jos grafiką.
Sprendimas. Pasirinkime visą kvadratą pagal terminus su kintamuoju
Perrašykime kreivės lygtį. Tai parabolės, kurios viršūnė yra taške, lygtis
.
Naudojant poslinkio transformaciją, parabolės lygtis perkeliama į kanoninę formą
, iš kurio aišku, kad tai yra parabolės parametras. Fokusas

parabolės sistemoje.

turi koordinates
, ir sistemoje

(pagal pamainos transformaciją). Parabolės grafikas parodytas fig. 7.
Namų darbai

1. Nubraižykite elipses, pateiktas pagal lygtis:
Raskite jų pusašius, židinio nuotolį, ekscentriškumą ir elipsių grafikuose nurodykite jų židinių vietas.

2. Nubraižykite hiperboles, pateiktas lygtimis:
apibrėžia 2 eilės kreivės dalį. Raskite šios kreivės kanoninę lygtį, užrašykite jos pavadinimą, nubraižykite jos grafiką ir pažymėkite joje tą kreivės dalį, kuri atitinka pradinę lygtį.