Apskritimas aplink trikampį Į apskritimą įbrėžtas trikampis. Sinusų teorema

Šiame straipsnyje pateikiamas minimalus informacijos rinkinys apie ratą, kurio reikia norint sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą.

Apimtis yra taškų rinkinys, esantis tokiu pat atstumu nuo nurodyto taško, kuris vadinamas apskritimo centru.

Bet kurio taško, esančio apskritime, lygybė tenkinama (atkarpos ilgis lygus apskritimo spinduliui.

Vadinama atkarpa, jungianti du apskritimo taškus akordas.

Vadinamas styga, einanti per apskritimo centrą skersmens ratas () .

Apimtis:

Apskritimo plotas:

Apskritimo lankas:

Apskritimo dalis, esanti tarp dviejų taškų, vadinama lankas apskritimai. Du apskritimo taškai apibrėžia du lankus. Akordas subtens du lankus: ir . Lygios stygos sudaro vienodus lankus.

Kampas tarp dviejų spindulių vadinamas centrinis kampas :

Norėdami rasti lanko ilgį, sudarome proporciją:

a) kampas nurodytas laipsniais:

b) kampas pateikiamas radianais:

Skersmuo statmenas stygai , padalija šią stygą ir lankus, kuriuos ji išskiria per pusę:

Jeigu akordai Ir apskritimai susikerta taške , tada stygos atkarpų, į kurias jos padalintos tašku, sandaugos yra lygios viena kitai:

Apskritimo liestinė.

Vadinama tiesė, turinti vieną bendrą tašką su apskritimu liestinėį ratą. Vadinama tiesė, turinti du bendrus taškus su apskritimu sekantas

Apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam iki liesties taško.

Jei iš tam tikro taško į apskritimą nubrėžtos dvi liestinės, tada liestinės atkarpos yra lygios viena kitai o apskritimo centras yra ant kampo su viršūne pusiau skirstytuvo šiame taške:

Jei iš tam tikro taško į apskritimą nubrėžta liestinė ir sekantas, tada liestinės atkarpos ilgio kvadratas lygus viso atkarpos ir jo išorinės dalies sandaugai :

Pasekmė: vieno sekanto viso segmento ir jo išorinės dalies sandauga yra lygi kito sekanto viso segmento ir jo išorinės dalies sandaugai:

Kampai apskritime.

Centrinio kampo laipsnio matas yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio matui:

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio šonuose yra stygos, vadinamas įrašytas kampas . Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra:

∠∠

Įrašytas kampas, kurį sudaro skersmuo, yra teisingas:

∠∠∠

Vieno lanko įbrėžti kampai yra lygūs :

Įbrėžti kampai, surišantys vieną stygą, yra lygūs arba jų suma yra lygi

∠∠

Trikampių su duotu pagrindu ir lygiais kampais viršūnėje viršūnės yra tame pačiame apskritime:

Kampas tarp dviejų akordų (kampas su viršūne apskritimo viduje) yra lygus pusei apskritimo lankų, esančių tam tikrame kampe ir vertikalaus kampo viduje, kampinių verčių sumos.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Kampas tarp dviejų sekantų (kampas su viršūne už apskritimo) yra lygus kampo viduje esančių apskritimo lankų kampinių verčių pusei skirtumo.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Įrašytas apskritimas.

Apskritimas vadinamas įrašytas į daugiakampį , jei paliečia jo šonus. Įbrėžto apskritimo centras yra daugiakampio kampų pusiaukampių susikirtimo taške.

Ne kiekvienas daugiakampis gali tilpti apskritime.

Daugiakampio plotas, kuriame įbrėžtas apskritimas galima rasti naudojant formulę

čia yra daugiakampio pusiau perimetras ir įbrėžto apskritimo spindulys.

Iš čia įrašytas apskritimo spindulys lygus

Jei apskritimas įrašytas į išgaubtą keturkampį, tada priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios . Ir atvirkščiai: jei išgaubtame keturkampyje priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios, tada į keturkampį galima įrašyti apskritimą:

Galite įrašyti apskritimą į bet kurį trikampį ir tik vieną. Apskritimo centras yra trikampio vidinių kampų pusiausvyros susikirtimo taške.

Įrašytas apskritimo spindulys lygus . Čia

Apribotas ratas.

Apskritimas vadinamas aprašyta apie daugiakampį , jei jis eina per visas daugiakampio viršūnes. Apskritimo apskritimo centras yra daugiakampio kraštinių statmenų bisektorių susikirtimo taške. Spindulys apskaičiuojamas kaip apskritimo, kurį riboja trikampis, apibrėžtas bet kuriomis trimis nurodyto daugiakampio viršūnėmis, spindulys:

Apskritimas gali būti aprašytas aplink keturkampį tada ir tik tada, kai jo priešingų kampų suma yra lygi .

Aplink bet kurį trikampį galite apibūdinti apskritimą ir tik vieną. Jo centras yra trikampio kraštinių statmenų bisektorių susikirtimo taške:

Circumradius apskaičiuojamas pagal formules:

Kur yra trikampio kraštinių ilgiai ir jo plotas.

Ptolemėjo teorema

Cikliniame keturkampyje įstrižainių sandauga yra lygi priešingų jo kraštinių sandaugų sumai:

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Apibrėžimas

Apskritimas \(S\) yra apibrėžtas apie daugiakampį \(P\), jei visos daugiakampio \(P\) viršūnės yra apskritime \(S\) .

Šiuo atveju daugiakampis \(P\) yra įrašytas į apskritimą.

Apibrėžimas

Atkarpos statmuo yra tiesė, einanti per tam tikros atkarpos vidurį, statmeną jai.

Teorema

Kiekvienas atkarpos statmenosios pusės taškas yra vienodu atstumu nuo tos atkarpos galų.

Įrodymas

Apsvarstykite atkarpą \(AB\) ir jai statmeną pusiausvyrą \(a\). Įrodykime, kad bet kuriam taškui \(X\in a\) galioja: \(AX=BX\) .

Apsvarstykite \(\trikampis AXB\) : atkarpa \(XO\) yra mediana ir aukštis virš jūros lygio, todėl \(\trikampis AXB\) yra lygiašonis, todėl \(AX=BX\) .

Teorema

Trikampio kraštinėms statmenos pusės susikerta viename taške.

Įrodymas

Apsvarstykite \(\trikampis ABC\) . Į kraštines \(AB\) ir \(AC\) nubrėžkime statmenas pusiausvyras. Jie susikirs taške \(O\) .

Remiantis ankstesne teorema, statmenajam bisektoriui \(C_1O\) galioja: \(AO=BO\) , o \(B_1O\) - \(AO=CO\) . Todėl \(BO=CO\) . Tai reiškia, kad \(\trikampis BOC\) yra lygiašonis, todėl aukštis \(OA_1\), nubrėžtas iki pagrindo \(BC\), taip pat bus mediana. Tai reiškia, kad \(OA_1\) yra statmena atkarpos \(BC\) pusiausvyra.

Taigi, visi trys statmenieji bisektoriai susikerta viename taške \(O\) .

Pasekmė

Jei taškas yra vienodu atstumu nuo atkarpos galų, tada jis yra ant jo statmeno bisektoriaus.

Teorema

Aplink bet kurį trikampį galima apibrėžti vieną apskritimą, o apibrėžiamo apskritimo centras yra trikampio kraštinių statmenų bisektorių susikirtimo taškas.

Įrodymas

Iš aukščiau įrodytos teoremos išplaukia, kad \(AO=BO=CO\) . Tai reiškia, kad visos trikampio viršūnės yra vienodu atstumu nuo taško \(O\), todėl jos yra tame pačiame apskritime.

Yra tik vienas toks ratas. Tarkime, kad aplink \(\trikampį ABC\) galima aprašyti kitą apskritimą. Tada jo centras turi sutapti su tašku \(O\) (kadangi tai vienintelis taškas, nutolęs vienodai nuo trikampio viršūnių), o spindulys turi būti lygus atstumui nuo centro iki kai kurių viršūnių, t.y. \(OA\) . Nes Jei šie apskritimai turi tą patį centrą ir spindulį, tada šie apskritimai taip pat sutampa.

Įbrėžto trikampio ploto teorema

Jei \(a, b, c\) yra trikampio kraštinės, o \(R\) yra aplink jį apibrėžto apskritimo spindulys, tada trikampio plotas \

įrodymas*
Su šios teoremos įrodymu rekomenduojama susipažinti išstudijavus temą „Sinesų teorema“.

Kampą tarp kraštinių \(a\) ir \(c\) pažymėkime kaip \(\alpha\) . Tada \(S_(\trikampis)=\frac12 ac\cdot \sin \alpha\).

Pagal sinusų teoremą \(\dfrac b(\sin\alpha)=2R\) , iš kur \(\sin \alpha=\dfrac b(2R)\) . Vadinasi, \(S_(\trikampis)=\dfrac(abc)(4R)\).

Teorema

Apskritimas aplink keturkampį gali būti aprašytas tada ir tik tada, kai jo priešingų kampų suma yra lygi \(180^\circ\) .

Įrodymas

Būtinybė.

Jei aplink keturkampį \(ABCD\) galima apibūdinti apskritimą, tada \(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC) = 360^\circ\), kur \(\angle ABC + \angle ADC = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ABC) + \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ADC) = \frac(1 )(2)(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC)) = 180^\circ\). Kampams \(BCD\) ir \(BAD\) jis panašus.

Tinkamumas.

Apibūdinkime apskritimą aplink trikampį \(ABC\) . Tegul šio apskritimo centras yra taškas \(O\) . Tiesėje, einančioje per taškus \(O\) ir \(D\), pažymime šios tiesės ir apskritimo susikirtimo tašką \(D"\). Tarkime, kad taškai \(D\) ir \(D"\) nesutampa, tada apsvarstykite keturkampį \(CD"AD\) .

Kampai \(CD"A\) ir \(CDA\) papildo kampas \(ABC\) į \(180^\circ\) (\(\angle CDA\) papildo sąlyga, o \(\angle CD"A) \) kaip įrodyta aukščiau), todėl jie yra lygūs, bet tada keturkampio \(AD"CD\) kampų suma yra didesnė už \(360^\circ\), kuri negali būti (suma šio keturkampio kampai yra dviejų trikampių kampų suma, todėl taškai \(D\) ir \(D"\) sutampa.

komentuoti. Paveiksle taškas \(D\) yra už apskritimo, kurį riboja apskritimas, kurį riboja \(\trikampis ABC\), tačiau tuo atveju, kai \(D\) yra viduje, įrodymas taip pat galioja.

Teorema

Apskritimas gali būti aprašytas aplink išgaubtą keturkampį \(ABCD\) tada ir tik tada, kai \(\kampas ABD=\kampas ACD\) .

Įrodymas

Būtinybė. Jei apskritimas yra apibrėžtas aplink \(ABCD\), tada kampai \(\kampas ABD\) ir \(\kampas ACD\) yra įrašyti ir remiasi į vieną lanką \(\buildrel\smile\over(AD)\) , todėl jie yra lygūs.

Tinkamumas. Leisti \(\angle ABD=\angle ACD=\alpha\). Įrodykime, kad apskritimas gali būti aprašytas aplink \(ABCD\).

Apibūdinkime apskritimą aplink \(\trikampis ABD\) . Tegul tiesė \(CD\) kerta šį apskritimą taške \(C"\). Tada \(\angle ABD=\angle AC"D \RightArrow \angle AC"D=\angle ACD\).

Vadinasi, \(\angle CAD=\angle C"AD=180^\circ-\angle ADC-\angle AC"D\), tai yra \(\trikampis AC"D=\trikampis ACD\) išilgai bendros pusės \(AD\) ir dviejų gretimų kampų (\(\angle C"AD=\angle CAD\) , \(\angle ADC"=\kampas ADC\) – bendras). Tai reiškia \(DC"=DC\), tai yra, taškai \(C"\) ir \(C\) sutampa.

Teoremos

1. Jei aplink lygiagretainį apibrėžiamas apskritimas, tai jis yra stačiakampis (1 pav.).

2. Jeigu apie rombą aprašomas apskritimas, tai jis yra kvadratas (2 pav.).

3. Jei aplink trapeciją aprašomas apskritimas, tai jis yra lygiašonis (3 pav.).

Teisingi ir atvirkštiniai teiginiai: aplink stačiakampį, rombą ir lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimą ir tik vieną.

Įrodymas

1) Aplink lygiagretainį \(ABCD\) apibrėžiamas apskritimas. Tada jos priešingų kampų sumos yra lygios \(180^\circ: \quad \angle A+\angle C=180^\circ\). Tačiau lygiagretainyje priešingi kampai yra lygūs, nes \(\kampas A=\kampas C\) . Vadinasi, \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Tai reiškia, kad pagal apibrėžimą \(ABCD\) yra stačiakampis.

2) Aplink rombą \(MNKP\) apibrėžiame apskritimą. Panašiai kaip ir ankstesniame taške (kadangi rombas yra lygiagretainis), įrodyta, kad \(MNKP\) yra stačiakampis. Bet visos šio stačiakampio kraštinės yra lygios (nes tai yra rombas), o tai reiškia, kad \(MNKP\) yra kvadratas.

Priešingas teiginys yra akivaizdus.

3) Aplink trapeciją \(QWER\) apibrėšime apskritimu. Tada \(\angle Q+\angle E=180^\circ\). Tačiau iš trapecijos apibrėžimo išplaukia, kad \(\angle Q+\angle W=180^\circ\). Todėl \(\kampas W=\kampas E\) . Nes trapecijos pagrindo \(WE\) kampai yra lygūs, tada ji lygiašonė.

Priešingas teiginys yra akivaizdus.

Teoremų apie trikampio apibrėžtojo apskritimo savybes įrodymai

Statmena tiesės atkarpa

1 apibrėžimas. Statmena atkarpai vadinama tiese, statmena šiai atkarpai ir einanti per jos vidurį (1 pav.).

1 teorema. Kiekvienas atkarpai statmenos pusiausvyros taškas yra tokiu pat atstumu nuo galų šis segmentas.

Įrodymas . Panagrinėkime savavališką tašką D, esantį ant atkarpos AB statmenos pusės (2 pav.), ir įrodykime, kad trikampiai ADC ir BDC yra lygūs.

Tiesą sakant, šie trikampiai yra stačiakampiai, kuriuose kojos AC ir BC yra lygios, o kojos DC yra dažnos. Trikampių ADC ir BDC lygybė reiškia atkarpų AD ir DB lygybę. 1 teorema įrodyta.

2 teorema (konvertuoti su 1 teorema). Jei taškas yra tokiu pat atstumu nuo atkarpos galų, tada jis yra ant šios atkarpos statmenos pusės.

Įrodymas . Įrodykime 2 teoremą prieštaravimu. Šiuo tikslu tarkime, kad tam tikras taškas E yra tokiu pat atstumu nuo atkarpos galų, bet ne guli ant šios atkarpos statmenos pusės. Perkelkime šią prielaidą į prieštaravimą. Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai taškai E ir A yra priešingose statmeno bisektoriaus pusėse (3 pav.). Šiuo atveju atkarpa EA tam tikrame taške kerta statmeną pusiausvyrą, kurią pažymėsime raide D.

Įrodykime, kad atkarpa AE yra ilgesnė už atkarpą EB. tikrai,

Taigi, tuo atveju, kai taškai E ir A yra priešingose statmeno bisektoriaus pusėse, turime prieštaravimą.

Dabar apsvarstykite atvejį, kai taškai E ir A yra toje pačioje statmenos pusiausvyros pusėje (4 pav.). Įrodykime, kad atkarpa EB yra ilgesnė už atkarpą AE. tikrai,

Gautas prieštaravimas užbaigia 2 teoremos įrodymą

Apskritimas apie trikampį

2 apibrėžimas. Apskritimas apie trikampį, vadinamas apskritimu, einančiu per visas tris trikampio viršūnes (5 pav.). Šiuo atveju vadinamas trikampis į apskritimą įbrėžtas trikampis arba įrašytas trikampis.

Trikampio apibrėžtojo apskritimo savybės. Sinusų teorema

Paveikslas	Piešimas	Nuosavybė
Statmenos pusiausvyros į trikampio šonus		susikerta viename taške .

centras apskritimas, apibrėžtas apie smailųjį trikampį		Centras aprašytas apie smailaus kampo viduje trikampis.
centras apskritimas, apibrėžtas apie statųjį trikampį		Centras aprašytas apie stačiakampio formos hipotenuzės vidurys .
centras apskritimas, apibrėžtas apie bukąjį trikampį		Centras aprašytas apie bukas kampinis trikampio apskritimo guli lauke trikampis.
		,
Kvadratas trikampis		S = 2R 2 nuodėmė A nuodėmė B nuodėmė C ,
Circumradius		Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga:

Statmenys trikampio kraštinėms

Visos statmenos pusiausvyros , nubrėžtas į savavališko trikampio kraštines, susikerta viename taške .

Apskritimas apie trikampį

Bet koks trikampis gali būti apsuptas apskritimu . Aplink trikampį apibrėžto apskritimo centras yra taškas, kuriame susikerta visi statmenai į trikampio kraštines nubrėžti pusiausvyrai.

Smailaus trikampio apibrėžtojo apskritimo centras

Centras aprašytas apie smailaus kampo trikampio apskritimo guli viduje trikampis.

Stačiojo trikampio apibrėžtojo apskritimo centras

Centras aprašytas apie stačiakampio formos trikampio apskritimas yra hipotenuzės vidurys .

Bukojo trikampio apibrėžtojo apskritimo centras

Centras aprašytas apie bukas kampinis trikampio apskritimo guli lauke trikampis.

Bet kuriam trikampiui yra teisingos šios lygybės (sinuso teorema):

čia a, b, c – trikampio kraštinės, A, B, C – trikampio kampai, R – apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Trikampio plotas

Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga:

S = 2R 2 nuodėmė A nuodėmė B nuodėmė C ,

kur A, B, C yra trikampio kampai, S yra trikampio plotas, R yra apibrėžto apskritimo spindulys.

Circumradius

Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga:

kur a, b, c yra trikampio kraštinės, S yra trikampio plotas, R yra apibrėžto apskritimo spindulys.

Teoremų apie trikampio apibrėžtojo apskritimo savybes įrodymai

3 teorema. Visi statmenos pusiausvyros, nubrėžtos į savavališko trikampio kraštines, susikerta viename taške.

Įrodymas . Panagrinėkime du statmenus bisektorius, nubrėžtus į trikampio ABC kraštines AC ir AB, ir pažymėkime jų susikirtimo tašką raide O (6 pav.).

Kadangi taškas O yra ant atkarpos AC statmenos pusės, tai pagal 1 teoremą lygybė yra teisinga.

Pirma, supraskime skirtumą tarp apskritimo ir apskritimo. Norint pamatyti šį skirtumą, pakanka apsvarstyti, kokie yra abu skaičiai. Tai yra begalinis taškų skaičius plokštumoje, esančių vienodu atstumu nuo vieno centrinio taško. Bet jei apskritimas taip pat susideda iš vidinės erdvės, tada jis nepriklauso apskritimui. Pasirodo, apskritimas yra ir apskritimas, kuris jį riboja (circle(r)), ir nesuskaičiuojamas skaičius taškų, esančių apskritimo viduje.

Bet kuriam taškui L, esančiam ant apskritimo, galioja lygybė OL=R. (Atkarpos OL ilgis lygus apskritimo spinduliui).

Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, yra jos akordas.

Tiesiogiai per apskritimo centrą einanti styga yra skersmensšis ratas (D). Skersmenį galima apskaičiuoti pagal formulę: D=2R

Apimtis apskaičiuojamas pagal formulę: C=2\pi R

Apskritimo plotas: S=\pi R^(2)

Apskritimo lankas vadinama ta jo dalimi, kuri yra tarp dviejų taškų. Šie du taškai apibrėžia du apskritimo lankus. Akordas CD apima du lankus: CMD ir CLD. Identiškos stygos sudaro vienodus lankus.

Centrinis kampas Kampas, esantis tarp dviejų spindulių, vadinamas.

Arkos ilgis galima rasti naudojant formulę:

Naudojant laipsnio matą: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Naudojant radianinį matą: CD = \alpha R

Skersmuo, kuris yra statmenas stygai, padalija stygą ir jos sutrauktus lankus per pusę.

Jeigu apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške N, tai tašku N atskirtų stygų atkarpų sandaugos yra lygios viena kitai.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Apskritimo liestinė

Apskritimo liestinėĮprasta vadinti tiesę, kuri turi vieną bendrą tašką su apskritimu.

Jei tiesė turi du bendrus taškus, ji vadinama sekantas.

Jei nubrėžiate spindulį į liestinės tašką, jis bus statmenas apskritimo liestinei.

Iš šio taško į mūsų apskritimą nubrėžkime dvi liestes. Pasirodo, kad liestinės atkarpos bus lygios viena kitai, o apskritimo centras bus kampo, kurio viršūnė yra šiame taške, pusiaukelėje.

AC = CB

Dabar nubrėžkime apskritimo liestinę ir sekantą nuo mūsų taško. Gauname, kad liestinės atkarpos ilgio kvadratas bus lygus viso atkarpos ir jo išorinės dalies sandaugai.

AC^(2) = CD \cdot BC

Galime daryti išvadą: viso pirmojo sekanto segmento ir jo išorinės dalies sandauga yra lygi viso antrojo sekanto segmento ir jo išorinės dalies sandaugai.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kampai apskritime

Centrinio kampo ir lanko, ant kurio jis remiasi, laipsniai yra vienodi.

\angle COD = \puodelis CD = \alpha ^(\circ)

Įrašytas kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio šonuose yra stygos.

Galite jį apskaičiuoti žinodami lanko dydį, nes jis yra lygus pusei šio lanko.

\angle AOB = 2 \kampas ADB

Remiantis skersmeniu, įbrėžtu kampu, stačiu kampu.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Įbrėžti kampai, kurie sudaro tą patį lanką, yra identiški.

Įbrėžti kampai, esantys ant vienos stygos, yra identiški arba jų suma lygi 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Tame pačiame apskritime yra trikampių su vienodais kampais ir duotu pagrindu viršūnės.

Kampas su viršūne apskritimo viduje ir esantis tarp dviejų stygų yra identiškas pusei apskritimo lankų, esančių duotame ir vertikaliame kampuose, kampinių verčių sumos.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Kampas su viršūne, esančia už apskritimo ir esantis tarp dviejų sekantų, yra identiškas pusei apskritimo lankų, esančių kampo viduje, kampinių verčių skirtumo.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Įrašytas apskritimas

Įrašytas apskritimas yra apskritimo liestinė su daugiakampio kraštinėmis.

Toje vietoje, kur susikerta daugiakampio kampų pusiausvyros, yra jo centras.

Apskritimas negali būti įrašytas į kiekvieną daugiakampį.

Daugiakampio su įrašytu apskritimu plotas randamas pagal formulę:

S = pr,

p yra daugiakampio pusperimetras,

r yra įbrėžto apskritimo spindulys.

Iš to išplaukia, kad įbrėžto apskritimo spindulys yra lygus:

r = \frac(S)(p)

Priešingų kraštinių ilgių sumos bus vienodos, jei apskritimas įrašytas į išgaubtą keturkampį. Ir atvirkščiai: apskritimas telpa į išgaubtą keturkampį, jei priešingų kraštinių ilgių sumos yra vienodos.

AB + DC = AD + BC

Į bet kurį iš trikampių galima įbrėžti apskritimą. Tik vienas vienintelis. Toje vietoje, kur susikerta figūros vidinių kampų pusiausvyros, bus šio įbrėžto apskritimo centras.

Įbrėžto apskritimo spindulys apskaičiuojamas pagal formulę:

r = \frac(S)(p) ,

kur p = \frac(a + b + c)(2)

Apskritimas

Jei apskritimas eina per kiekvieną daugiakampio viršūnę, tada toks apskritimas paprastai vadinamas aprašyta apie daugiakampį.

Šios figūros kraštinių statmenų bisektorių susikirtimo taške bus apibrėžto apskritimo centras.

Spindulį galima rasti apskaičiuojant jį kaip apskritimo, kurį apibrėžia bet kurios 3 daugiakampio viršūnės apibrėžtą trikampį, spindulį.

Yra tokia sąlyga: apskritimą galima apibūdinti aplink keturkampį tik tada, kai jo priešingų kampų suma lygi 180^( \circ) .

\kampas A + \kampas C = \kampas B + \kampas D = 180^ (\circ)

Aplink bet kurį trikampį galite apibūdinti apskritimą ir tik vieną. Tokio apskritimo centras bus toje vietoje, kur susikerta statmenos trikampio kraštinių pusės.