Lygiosios funkcijos apibrėžimas. Sklandi funkcija

Dėl viso apibrėžimų rinkinio. Labai dažnai po sklandžiai Funkcijos reiškia funkcijas, kurios turi ištisines visų eilių išvestines.

Pagrindai[ | ]

Taip pat nagrinėjamos sklandžios aukštesnių laipsnių funkcijos, būtent funkcija su glotnumo tvarka r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) turi nuolatines visų eilučių išvestines iki r (\displaystyle r) imtinai (nulinės eilės išvestinė yra pati funkcija). Tokios funkcijos vadinamos r (\displaystyle r)-sklandžiai. Daugelis r (\displaystyle r)-Smooth funkcijos, apibrėžtos domene, žymimos C r (Ω) (\displaystyle C^(r)(\Omega)). Įrašas f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega)) reiškia tai f ∈ C r (Ω) (\displaystyle f\in C^(r)(\Omega)) bet kam r (\displaystyle r), tokios funkcijos vadinamos be galo-sklandžiai(kartais žemiau sklandžias funkcijas jie reiškia be galo lygūs). Kartais naudojamas ir užrašas f ∈ C ω (Ω) (\displaystyle f\in C^(\omega )(\Omega)) arba f ∈ C a (Ω) (\displaystyle f\in C^(a)(\Omega)), o tai reiškia f (\displaystyle f)– analitinis.

Pavyzdžiui, C 0 (Ω) (\displaystyle C^(0)(\Omega))- ištisinių rinkinys Ω (\displaystyle \Omega) funkcijas ir C 1 (Ω) (\displaystyle C^(1)(\Omega))- nuolat diferencijuojamų įjungimų rinkinys Ω (\displaystyle \Omega) funkcijos, tai yra funkcijos, kurios turi ištisinę išvestinę kiekviename šios srities taške.

Jei glotnumo tvarka nenurodyta, tada paprastai manoma, kad jos pakanka, kad visi veiksmai, atlikti su funkcija dabartinio samprotavimo metu, būtų prasmingi.

Aproksimacija pagal analitines funkcijas[ | ]

Tegul sritis Ω (\displaystyle \Omega) atidaryti val R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) Ir f ∈ C k (Ω) (\displaystyle f\in C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). Leiskite ( K p ) (\displaystyle $K_(p)$)- kompaktiškų poaibių seka Ω (\displaystyle \Omega) toks kad K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing ), K p ⊂ K p + 1 (\displaystyle K_(p)\pogrupis K_(p+1)) Ir ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega ). Leiskite ( n p ) (\displaystyle $n_(p)$)- savavališka teigiamų sveikųjų skaičių seka ir m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Galiausiai leisk ( ε p ) (\displaystyle $\varepsilon _(p)$)- savavališka seka teigiami skaičiai. Tada yra reali analitinė funkcija g (\displaystyle g), apibrėžta Ω (\displaystyle \Omega) toks visiems p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) nelygybė tenkinama

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Kur ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p)))((K_(p+1)\backslash K_(p))) ))žymi normų maksimumą (vienodos konvergencijos prasme, tai yra aibės modulio maksimumą K p + 1 ∖ K p (\displaystyle (K_(p+1)\backslash K_(p)))) funkcijos išvestiniai f − g (\displaystyle f-g) visi užsakymai nuo nulio iki m p (\displaystyle (m_(p))) imtinai.

Jo diferenciacijos taškai yra tankūs ir turi tęstinumą. Yra ištisinių funkcijų, kurios skaičių eilutėje yra lygios ir nesiskiria. G. f. turi išvestinę kiekviename lokalinio ekstremumo taške ir dėl to sklandžioms tolydžioms funkcijoms lieka galioti pagrindinės diferencialinio skaičiavimo teoremos - Rolle, Lagrange, Cauchy teoremos,

Darboux ir kiti V. F. Emelyanovas.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.

I. M. Vinogradovas.

1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „SMOOTH FUNCTION“ kituose žodynuose: Arba nuolat diferencijuojama funkcija yra funkcija, turinti ištisinę išvestinę visoje apibrėžimų aibėje. Pagrindinė informacija Taip pat atsižvelgiama į lygiąsias aukštesnio laipsnio funkcijas, būtent, funkcija su lygumo tvarka turi ... ... Vikipedija

Sklandi funkcija- funkcija, kurios visos dalinės išvestinės iki r eilės imtinai yra tolydžios. Tai reiškia „tvarkos sklandumą r“. ... sklandi funkcija

- Funkcija, kurios dalinės išvestinės iki r eilės imtinai yra tolydžios. Tai reiškia „užsakymo r sklandumą“.

Temos: ekonomika EN sklandžiai veikia…

Techninis vertėjo vadovas Daliai sklandi funkcija yra funkcija, apibrėžta realiųjų skaičių aibėje, diferencijuojama kiekviename intervale, sudarančioje apibrėžimo sritį. Formalus apibrėžimas Tegu pateikiami formulių kaitos taškai. Kaip ir viskas iš dalies... ... Vikipedija

Daliai duota funkcija yra funkcija, apibrėžta realiųjų skaičių aibėje, apibrėžta kiekviename intervale, kuris sudaro apibrėžimo sritį, atskira formule. Formalus apibrėžimas ir priskyrimas Tegu pateikiami formulių kaitos taškai... Vikipedija

1) P. f. trigonometrinių eilučių teorijoje – funkcija, kurią įvedė B. Riemann (B. Riemann, 1851) (žr.), kad ištirtų trigonometrinės funkcijos reprezentatyvumą. šalia. Tegul serija (*) pateikiama su ribota... ... Daliai sklandi funkcija yra funkcija, apibrėžta realiųjų skaičių aibėje, diferencijuojama kiekviename intervale, sudarančioje apibrėžimo sritį. Formalus apibrėžimas Tegu pateikiami formulių kaitos taškai. Kaip ir viskas iš dalies... ... Vikipedija

Lygiosios funkcijos sampratos apibendrinimas, įskaitant lygiąsias, išgaubtas, padalytas tiesines funkcijas. Apibrėžimas Funkcija vadinama pusiau lygia, jei kiekviename taške yra tiesinių operatorių poaibis, kad bet kuriai sekai ... Vikipedija

Spline funkcija- dalimis sklandi funkcija, naudojama laiko eilutėms suderinti. Prašymas S. f. vietoj įprastų trendo funkcijų jis efektyvus, kai analizuojamu laikotarpiu keičiasi eilučių tendencija ir kryptis. S. f. padeda...... Ekonomikos ir matematikos žodynas

Dėl viso apibrėžimų rinkinio.

Pagrindai

Taip pat nagrinėjamos sklandžios aukštesnių laipsnių funkcijos, būtent funkcija su glotnumo tvarka $r$ turi ištisinę eilės išvestinę $r$ . Šioje srityje yra apibrėžta daug tokių funkcijų $\Omega$ žymimas $C^r(\Omega)$ . $f\in C^\infty(\Omega)$ reiškia tai $f\in C^r(\Omega)$ bet kam $r$ , A $f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ reiškia tai $f$ – analitinis.

Pavyzdžiui, $C^0 (\Omega)$ - ištisinių rinkinys $\Omega$ funkcijas ir $C^1 (\Omega)$ - nuolat diferencijuojamų įjungimų rinkinys $\Omega$ funkcijos, t.y. funkcijos, turinčios ištisinę išvestinę kiekviename šios srities taške.

Jei glotnumo tvarka nenurodyta, tada paprastai manoma, kad jos pakanka, kad visi veiksmai, atlikti su funkcija dabartinio samprotavimo metu, būtų prasmingi.

Smulkiai diferencijuojamų funkcijų klasių analizei taip pat pristatoma sąvoka trupmeninis lygumas taške arba Hölderio eksponentas, kuris apibendrina visas aukščiau minėtas lygumo sąvokas.

Funkcija $f$ priklauso klasei $C^(r,\;\alpha)$ , Kur $r$ yra neneigiamas sveikasis skaičius ir $0<\alpha\leqslant 1$ , jei ji turi išvestinių priemonių iki užsakymo $r$ imtinai ir $f^((r))$ yra Hölderis su eksponentu $\alpha$ .

Verstinėje literatūroje kartu su terminu „Hölderio rodiklis“ vartojamas terminas „Lipschitz eksponentas“.

Nuolat diferencijuojamų funkcijų aproksimacija analitinėmis

Leiskite $\Omega$ atsidaryti $\R^n$ Ir $f\in C^k(\Omega)$ , $0\leqslant k\leqslant\infty$ . Leiskite $$K_p$$ - kompaktiškų poaibių seka $\Omega$ toks kad $K_0=\varnothing$ , $K_p\pogrupis K_(p+1)$ Ir $\bigcup K_p=\Omega$ . Leiskite $$n_p$$ - savavališka teigiamų sveikųjų skaičių seka ir $m_p=\min(k,\;n_p)$ . Galiausiai leisk $$\varepsilon_p$$ - savavališka teigiamų skaičių seka. Tada yra $\R$ - analitinė funkcija $g$ V $\Omega$ toks visiems $p\geqslant 0$ :

$||f-g||^(K_(p+1)\backslash K_p)_(m_p)<\varepsilon_p.$

Taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Smooth function"

Sklandžią funkciją apibūdinanti ištrauka

Kai Nikoluška buvo išvežta, princesė Marya vėl priėjo prie savo brolio, pabučiavo jį ir, negalėdama ilgiau atsispirti, pradėjo verkti.
Jis įdėmiai pažvelgė į ją.
– Ar tu kalbi apie Nikolušką? - pasakė jis.
Princesė Marya, verkdama, teigiamai nulenkė galvą.
„Marie, tu žinai Evaną...“, bet jis staiga nutilo.
-Ką tu sakai?
- Nieko. Nereikia čia verkti, - pasakė jis, žiūrėdamas į ją tokiu pat šaltu žvilgsniu.

Kai princesė Marya pradėjo verkti, jis suprato, kad ji verkia, kad Nikoluška liks be tėvo. Su didelėmis pastangomis jis bandė grįžti į gyvenimą ir buvo perkeltas į jų požiūrį.
„Taip, jiems tai turi būti apgailėtina! - pagalvojo jis. "Kaip tai paprasta!"
„Padangių paukščiai nei sėja, nei pjauna, bet tavo tėvas juos maitina“, – sakė jis sau ir tą patį norėjo pasakyti princesei. „Bet ne, jie tai supras savaip, nesupras! Jie negali suprasti, kad visi šie jausmai, kuriuos jie vertina, yra mūsų, visos šios mintys, kurios mums atrodo tokios svarbios, yra tai, kad jų nereikia. Mes negalime suprasti vienas kito“. - Ir jis nutilo.

Mažajam princo Andrejaus sūnui buvo septyneri metai. Jis vos mokėjo skaityti, nieko nežinojo. Po šios dienos jis daug patyrė, įgijo žinių, stebėjimo ir patirties; bet jei jis būtų tada turėjęs visus šiuos vėliau įgytus sugebėjimus, jis nebūtų galėjęs geriau, giliau suprasti tos scenos, kurią matė tarp savo tėvo princesės Marijos ir Natašos, prasmės, nei suprato dabar. Jis viską suprato ir neverkdamas išėjo iš kambario, tyliai priėjo prie Natašos, kuri jį išsekė ir nedrąsiai pažvelgė į ją mąsliomis, gražiomis akimis; jo pakelta, rausva viršutinė lūpa drebėjo, jis atsirėmė į ją galvą ir pradėjo verkti.
Nuo tos dienos jis vengė Desaleso, vengė jį glamonėjančios grafienės ir arba sėdėjo vienas, arba nedrąsiai prisiartino prie princesės Marijos ir Natašos, kurias, regis, mylėjo net labiau už tetą, ir tyliai bei nedrąsiai jas glamonėjo.
Princesė Marya, palikusi princą Andrejų, puikiai suprato viską, ką jai pasakė Natašos veidas. Ji daugiau nekalbėjo su Nataša apie viltį išgelbėti jo gyvybę. Ji pakaitomis su ja prie jo sofos ir nebeverkė, o nepaliaujamai meldėsi, nukreipdama sielą į tą amžinąjį, nesuprantamą, kurio buvimas dabar buvo toks apčiuopiamas virš mirštančiojo.

Princas Andrejus ne tik žinojo, kad mirs, bet ir jautė, kad miršta, kad jau pusiau miręs. Jis patyrė susvetimėjimą nuo visko, kas žemiška, ir džiaugsmingą bei keistą būties lengvumą. Jis neskubėdamas ir nesijaudindamas laukė to, kas jo laukia. Tas grėsmingas, amžinas, nežinomas ir tolimas, kurio buvimą jis nenustojo jausti per visą savo gyvenimą, dabar buvo jam artimas ir – dėl patirto keisto būties lengvumo – beveik suprantamas ir jaučiamas.