Vidutinės vertės teorema. Jei f(x) yra tęstinis intervale, tada yra taškas, kuriame 
. Dok. Funkcija, kuri tęsiasi intervale, šiame segmente įgyja mažiausią m ir didžiausią M reikšmes. Tada 
. Skaičius 
sudaroma tarp minimalių ir didžiausių segmento funkcijos verčių. Viena iš funkcijos, kuri yra ištisinė intervale, savybių yra ta, kad ši funkcija įgauna bet kokią reikšmę, esančią tarp m ir M. Taigi yra taškas, 
. Ši savybė turi paprastą geometrinį aiškinimą: jei ištisinė atkarpoje , tada yra taškas, kuriame kreivinės trapecijos ABCD plotas yra lygus stačiakampio plotui su pagrindu ir aukščiu f(c) (paryškinta paveiksle).
7. Integralas su kintama viršutine riba. Jo tęstinumas ir diferencijuotumas.
Panagrinėkime funkciją f (x), kuri yra Riemano integruojama į intervalą . Kadangi jis yra integruojamas , tada jis taip pat yra integruojamas ∀x ∈ . Tada kiekvienam x ∈ išraiška turi prasmę, o kiekvienam x ji yra lygi tam tikram skaičiui.
Taigi kiekvienas x ∈ yra susietas su tam tikru skaičiumi,
tie. suteikiama funkcija:
(3.1)
Apibrėžimas:
Iškviečiama (3.1) apibrėžta funkcija F (x), kaip ir pati išraiška
integralas su kintama viršutine riba. Jis apibrėžiamas visame segmente
funkcijos f (x) integruojamumas.
Sąlyga: f (t) yra tęstinis įjungtas , o funkcija F (x) pateikiama pagal (3.1) formulę.
Teiginys: funkcija F(x) yra diferencijuojama ir F (x) = f (x).
(Taške a jis yra diferencijuojamas dešinėje, o taške b – kairiajame.)
Įrodymas:
Kadangi vieno kintamojo F (x) funkcijai diferencijavimas yra lygiavertis išvestinės egzistavimui visuose taškuose (taške a dešinėje ir taške b kairėje), rasime F (x) išvestinę . Panagrinėkime skirtumą
Taigi,
šiuo atveju taškas ξ yra atkarpoje (arba jei ∆x< 0).
Dabar atminkite, kad funkcijos F(x) išvestinė duotame taške x ∈ yra lygi skirtumo santykio ribai: . Iš lygybės turime:
,
Dabar nukreipus ∆x → 0, kairėje šios lygybės pusėje gauname F’(x), o dešinėje
Prisiminkime funkcijos f (t) tęstinumo taške x apibrėžimą:
Tegul x1 šiame apibrėžime yra lygus ξ. Kadangi ξ ∈ (ξ ∈ ), ir
∆x → 0, tada |x − ξ| → 0, o pagal tęstinumo apibrėžimą f (ξ) → f (x). Iš čia turime:
F’(x) = f (x).
Pasekmė:
Sąlyga: f (x) yra nuolatinis įjungtas .
Teiginys: bet kokia funkcijos f (x) antidarinė turi formą
kur C ∈ R yra kokia nors konstanta.
Įrodymas. Pagal 3.1 teoremą funkcija yra antidarinys, skirtas f(x). Tarkime, kad G(x) yra kitas f (x) antidarinys. Tada G’(x) = f(x) ir funkcijai F(x) − G(x) turime: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Vadinasi, funkcijos F (x)−G išvestinė (x)
lygi nuliui, todėl ši funkcija yra pastovi: F(x) − G(x) = const.
8. Niutono-Leibnizo formulė apibrėžtajam integralui.
Teorema:
Būklė: f(t) yra tęstinis, o F(x) yra bet koks jo antidarinys.
Pareiškimas:
Įrodymas: Apsvarstykite funkcijos f (x) antidarinį F (x). Remiantis teoremos „Dėl integralo su kintamąja viršutine riba diferencijavimo“ išvada (žr. ankstesnį klausimą), jis turi formą . Iš čia
=>
c=
F(a)
, Ir
Perkelkime F(a) paskutinėje lygybėje į kairę pusę, integravimo kintamąjį perskirkime kaip x ir gaukime Niutono – Leibnizo formulę:
Teorema. Jei funkcija f(x) integruojamas intervale [ a, b], kur a< b , ir visiems x ∈ nelygybė galioja
Naudojant teoremos nelygybes, galima įvertinti apibrėžtąjį integralą, t.y. nurodykite ribas, tarp kurių yra jo reikšmė. Šios nelygybės išreiškia apibrėžtojo integralo įvertį.
Teorema [Mean Theorem]. Jei funkcija f(x) integruojamas intervale [ a, b] ir visiems x ∈ nelygybės tenkinamos m ≤ f(x) ≤ M, Tai
Kur m ≤ μ ≤ M.
komentuoti. Tuo atveju, kai funkcija f(x) yra nuolatinis intervale [ a, b], lygybė iš teoremos įgauna formą
Kur c ∈. Skaičius μ=f(c), apibrėžiamas šia formule, vadinamas Vidutinė vertė funkcijas f(x) segmente [ a, b]. Ši lygybė turi šiuos dalykus geometrine prasme: išlenktos trapecijos, apribotos ištisine linija, plotas y=f(x) (f(x) ≤ 0), yra lygus stačiakampio plotui su tuo pačiu pagrindu ir aukščiu, lygus kurio nors šios linijos taško ordinatėms.
Antidarinio buvimas nuolatinei funkcijai
Pirmiausia pristatome integralo su kintama viršutine riba sąvoką.
Tegul funkcija f(x) integruojamas intervale [ a, b]. Tada kad ir koks būtų skaičius x iš [ a, b], funkcija f(x) integruojamas intervale [ a, b]. Todėl intervalu [ a, b] funkcija apibrėžta
kuris vadinamas integralu su kintamąja viršutine riba.
Teorema. Jei integrandas yra tęstinis intervale [ a, b], tada apibrėžtojo integralo su kintamąja viršutine riba išvestinė egzistuoja ir yra lygi šios ribos integrando reikšmei, tai yra
Pasekmė. Apibrėžtas integralas su kintama viršutine riba yra vienas iš tęstinio integrando antidarinių. Kitaip tariant, bet kuriai funkcijai, kuri tęsiasi intervale, yra antidarinys.
1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcija f(x) integruojamas intervale [ a, b], tada integralas su kintama viršutine riba yra viršutinės ribos funkcija, ištisinė šiame segmente. Iš tiesų, iš St.2 ir vidutinės vertės teoremos turime
Užrašas 2. Integralas su kintama viršutine integravimo riba naudojamas apibrėžiant daugybę naujų funkcijų, pavyzdžiui, 
. Šios funkcijos nėra pagrindinės; kaip jau buvo pažymėta, nurodytų integrandų antidariniai nėra išreikšti elementariomis funkcijomis.
Pagrindinės integracijos taisyklės
Niutono-Leibnizo formulė
Kadangi bet kurios dvi antiderivatinės funkcijos f(x) skiriasi konstanta, tai pagal ankstesnę teoremą galima teigti, kad bet koks antidarinys Φ(x) ištisinis segmente [ a, b] funkcijas f(x) atrodo kaip
Kur C- kai kurie pastovūs.
Darant prielaidą, kad šioje formulėje x=a Ir x=b, naudojant st.1 apibrėžtuosius integralus, randame
Šios lygybės reiškia santykį
kuris vadinamas Niutono-Leibnizo formulė.
Taigi mes įrodėme tokią teoremą:
Teorema. Nenutrūkstamos funkcijos apibrėžtasis integralas yra lygus skirtumui tarp bet kurio iš jo antidarinių verčių viršutinei ir apatinei integracijos riboms.
Niutono-Leibnizo formulę galima perrašyti kaip
Kintamojo keitimas apibrėžtajame integrale
Teorema. Jeigu
- funkcija f(x) yra nuolatinis intervale [ a, b];
- linijos segmentas [ a, b] yra funkcijos reikšmių rinkinys φ(t), apibrėžtas segmente α ≤ t ≤ β ir turintis ištisinę išvestinę priemonę;
- φ(α)=a, φ(β)=b
tada formulė teisinga
Integravimo pagal dalis formulė
Teorema. Jei funkcijos u=u(x), v=v(x) turi tęstines išvestines intervale [ a, b], tada formulė galioja
Programos vertė vidutinės vertės teoremos
slypi galimybėje gauti kokybinį tam tikro integralo vertės įvertį jo neskaičiuojant. Suformuluokime
: jei funkcija yra ištisinė intervale, tai šiame intervale yra taškas, kad 
.
Ši formulė yra gana tinkama apytiksliai įvertinti sudėtingos ar sudėtingos funkcijos integralą. Vienintelis dalykas, kuris sudaro formulę apytikslis , yra būtinybė nepriklausomas pasirinkimas taškais Jei eisime paprasčiausiu keliu – integravimo intervalo viduriu (kaip siūloma daugelyje vadovėlių), tai klaida gali būti gana didelė. Norėdami gauti tikslesnį rezultatą mes rekomenduojame atlikite skaičiavimus tokia seka:
Sukurkite funkcijos grafiką intervale ;
Nubrėžkite viršutinę stačiakampio ribą taip, kad funkcijos grafiko ribinės dalys būtų maždaug vienodo ploto (būtent tai pavaizduota aukščiau esančiame paveikslėlyje – du kreiviniai trikampiai yra beveik identiški);
Nustatykite pagal figūrą;
Naudokite vidutinės vertės teoremą.
Kaip pavyzdį apskaičiuokime paprastą integralą:
Tiksli vertė ;
Intervalo viduriui 
taip pat gauname apytikslę reikšmę, t.y. aiškiai netikslus rezultatas;
Sudarę grafiką, kurio viršutinė stačiakampio pusė nubrėžta pagal rekomendacijas, gauname , taigi apytikslę reikšmę . Gana patenkinamas rezultatas, paklaida 0,75%.
Trapecijos formulė
Skaičiavimų, naudojant vidutinės vertės teoremą, tikslumas labai priklauso, kaip buvo parodyta, nuo vizualinis tikslas pagal punktų tvarkaraštį. Iš tiesų, tame pačiame pavyzdyje pasirinkę taškus arba , galite gauti kitas integralo reikšmes ir paklaida gali padidėti. Subjektyvūs veiksniai, grafiko mastelis ir piešimo kokybė labai įtakoja rezultatą. Tai nepriimtina atliekant kritinius skaičiavimus, todėl vidutinės reikšmės teorema taikoma tik greitai kokybės integraliniai įverčiai.
Šiame skyriuje apžvelgsime vieną iš populiariausių apytikslės integracijos metodų - trapecijos formos formulė . Pagrindinė šios formulės sukūrimo idėja pagrįsta tuo, kad kreivę galima apytiksliai pakeisti laužta linija, kaip parodyta paveikslėlyje.
Tikslumui (ir pagal paveikslą) tarkime, kad integravimo intervalas yra padalintas į lygus (tai neprivaloma, bet labai patogu) dalių. Kiekvienos iš šių dalių ilgis apskaičiuojamas pagal formulę ir vadinamas žingsnis . Perskirstymo taškų abscisės, jei nurodytos, nustatomos pagal formulę, kur . Naudojant žinomas abscises, lengva apskaičiuoti ordinates. Taigi,
Tai yra atvejo trapecijos formos formulė. Atkreipkite dėmesį, kad pirmasis skliausteliuose esantis narys yra pradinių ir galutinių ordinačių pusė, prie kurios pridedamos visos tarpinės ordinatės. Savavališkam integravimo intervalo skaidinių skaičiui bendroji trapecijos formulė turi formą: kvadratūros formulės: stačiakampiai, Simpsonai, Gauso ir kt. Jie pagrįsti ta pačia idėja vaizduoti kreivinę trapeciją įvairių formų elementariais plotais, todėl įvaldžius trapecijos formulę suprasti panašias formules nebus sunku. Daugelis formulių nėra tokios paprastos kaip trapecijos formos formulės, tačiau jos leidžia gauti didelio tikslumo rezultatus su nedideliu skaičiumi skaidinių.
Naudodami trapecijos formulę (ar panašias), praktikoje reikalaujamu tikslumu galite apskaičiuoti ir „neatliekamus“ integralus, ir sudėtingų ar sudėtingų funkcijų integralus.
Pagal apibrėžtą integralą iš nuolatinės funkcijos f(x) paskutiniame segmente [ a, b] (kur ) yra kai kurių jo antidarinių padidėjimas šiame segmente. (Apskritai, supratimas bus pastebimai lengvesnis, jei kartosite neapibrėžto integralo temą) Šiuo atveju naudojamas žymėjimas
Kaip matyti iš toliau pateiktų grafikų (antidarinės funkcijos padidėjimas pažymėtas ), apibrėžtasis integralas gali būti teigiamas arba neigiamas skaičius(Jis apskaičiuojamas kaip skirtumas tarp antidarinio vertės viršutinėje riboje ir vertės apatinėje riboje, t.y. F(b) - F(a)).
Skaičiai a Ir b vadinamos atitinkamai apatine ir viršutine integracijos ribomis, o segmentas [ a, b] – integracijos segmentas.
Taigi, jei F(x) – tam tikra antiderivatinė funkcija f(x), tada pagal apibrėžimą
(38)
Lygybė (38) vadinama Niutono-Leibnizo formulė . Skirtumas F(b) – F(a) trumpai parašyta taip:
Todėl Niutono-Leibnizo formulę parašysime taip:
(39)
Įrodykime, kad apibrėžtasis integralas nepriklauso nuo to, kuri integrando antidarinė imama jį skaičiuojant. Leisti F(x) ir F( X) yra savavališki integrando antidariniai. Kadangi tai yra tos pačios funkcijos antidariniai, jie skiriasi pastoviu terminu: Ф( X) = F(x) + C. Štai kodėl
Tai nustato, kad segmente [ a, b] visų funkcijos antidarinių priedai f(x) suderinti.
Taigi, norint apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, reikia rasti bet kurią integrando antidarinę, t.y. Pirmiausia reikia rasti neapibrėžtą integralą. Pastovus SU neįtraukti į tolesnius skaičiavimus. Tada taikoma Niutono-Leibnizo formulė: viršutinės ribos reikšmė pakeičiama antiderivatine funkcija b , toliau – apatinės ribos reikšmė a ir skirtumas apskaičiuojamas F(b) – F(a) . Gautas skaičius bus apibrėžtas integralas..
At a = b pagal apibrėžimą priimtas
1 pavyzdys.
Sprendimas. Pirmiausia suraskime neapibrėžtą integralą:
Niutono-Leibnizo formulės taikymas antidariniui
(at SU= 0), gauname
Tačiau skaičiuojant apibrėžtąjį integralą, geriau neieškoti antidarinio atskirai, o iš karto integralą rašyti formoje (39).
2 pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą
Sprendimas. Naudojant formulę
Apibrėžtinio integralo savybės
2 teorema.Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo kintamojo žymėjimo, t.y.
(40)
Leisti F(x) – antidarinis skirtas f(x). Dėl f(t) antidarinys atlieka tą pačią funkciją F(t), kuriame nepriklausomas kintamasis žymimas tik skirtingai. Vadinasi,
Remiantis (39) formule, paskutinė lygybė reiškia integralų lygybę
3 teorema.Pastovųjį veiksnį galima išimti iš apibrėžtojo integralo ženklo, t.y.
(41)
4 teorema.Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos apibrėžtasis integralas yra lygus šių funkcijų apibrėžtųjų integralų algebrinei sumai, t.y.
(42)
5 teorema.Jei integralinis segmentas yra padalintas į dalis, tai viso segmento apibrėžtasis integralas yra lygus jo dalių apibrėžtųjų integralų sumai, t.y. Jeigu
(43)
6 teorema.Perstatant integravimo ribas, absoliuti apibrėžtojo integralo reikšmė nekinta, o keičiasi tik jo ženklas, t.y.
(44)
7 teorema(vidutinės vertės teorema). Apibrėžiamasis integralas yra lygus integravimo atkarpos ilgio sandaugai ir integrando vertei tam tikrame jo viduje, t.y.
(45)
8 teorema.Jei integravimo viršutinė riba yra didesnė už apatinę, o integrandas yra neneigiamas (teigiamas), tai apibrėžtasis integralas taip pat yra neneigiamas (teigiamas), t.y. Jeigu
9 teorema.Jei integracijos viršutinė riba yra didesnė už apatinę, o funkcijos ir yra tolydžios, tada nelygybė
gali būti integruotas po termino, t.y.
(46)
Apibrėžtinio integralo savybės leidžia supaprastinti tiesioginį integralų skaičiavimą.
5 pavyzdys. Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą
Naudodami 4 ir 3 teoremas ir radę antidarinius - lentelės integralus (7) ir (6), gauname
Apibrėžiamasis integralas su kintama viršutine riba
Leisti f(x) – ištisinis segmente [ a, b] funkcija ir F(x) yra jo antidarinys. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą
(47)
ir per t integravimo kintamasis nurodomas taip, kad nebūtų painiojamas su viršutine riba. Kai pasikeičia X kinta ir apibrėžtasis integralas (47), t.y. tai yra viršutinės integracijos ribos funkcija X, kurį žymime F(X), t.y.
(48)
Įrodykime, kad funkcija F(X) yra antidarinys, skirtas f(x) = f(t). Iš tiesų, diferencijavimas F(X), mes gauname
nes F(x) – antidarinis skirtas f(x), A F(a) yra pastovi reikšmė.
Funkcija F(X) – vienas iš begalinio skaičiaus antidarinių, skirtų f(x), būtent tą x = a eina į nulį. Šis teiginys gaunamas, jei į lygybę (48) įdedame x = a ir naudokite ankstesnės pastraipos 1 teoremą.
Apibrėžtinių integralų skaičiavimas integravimo dalimis metodu ir kintamojo kaitos metodu
kur pagal apibrėžimą F(x) – antidarinis skirtas f(x). Jei integrande pakeisime kintamąjį
tada pagal (16) formulę galime rašyti
Šioje išraiškoje
antiderivatinė funkcija
Tiesą sakant, jo išvestinė, anot sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklė, yra lygus
Tegul α ir β yra kintamojo reikšmės t, kuriai skirta funkcija
atitinkamai paima vertybes a Ir b, t.y.
Tačiau pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(b) – F(a) Yra
Trapecijos metodas
Pagrindinis straipsnis:Trapecijos metodas
Jei funkcija kiekviename iš dalinių atkarpų yra aproksimuota tiese, einančia per baigtines reikšmes, tada gauname trapecijos metodą.
Trapecijos plotas kiekviename segmente:
Apytikslė kiekvieno segmento klaida:
Kur 
Visa trapecijos formulė, padalijus visą integravimo intervalą į vienodo ilgio segmentus:
Kur
Trapecijos formulės klaida:
Kur 
Simpsono metodas.
Integrand f(x) pakeičiamas antrojo laipsnio interpoliacijos daugianario P(x)– parabolė, einanti per tris mazgus, pavyzdžiui, kaip parodyta paveikslėlyje ((1) – funkcija, (2) – daugianomas).
Panagrinėkime du integravimo etapus ( h= const = x i+1 – x i), tai yra trys mazgai x 0, x 1, x 2, per kurią nubrėžiame parabolę naudodami Niutono lygtį:
Leisti z = x - x 0,
Tada
Dabar, naudodamiesi gautu ryšiu, apskaičiuojame integralą per šį intervalą:
.
Dėl vienodas tinklelis Ir lyginis žingsnių skaičius n Simpsono formulė yra tokia:
Čia 
, A 
darant ketvirtosios integrando išvestinės tęstinumo prielaidą.
[Redaguoti] Padidėjęs tikslumas
Funkcijos aproksimavimas vienu polinomu per visą integravimo intervalą, kaip taisyklė, lemia didelę integralo vertės įvertinimo paklaidą.
Siekiant sumažinti paklaidą, integravimo segmentas yra padalintas į dalis ir kiekvienoje iš jų integralas įvertinamas skaitmeniniu metodu.
Kadangi skaidinių skaičius linkęs į begalybę, integralo įvertis linkęs į jo tikrąją reikšmę bet kurio skaitmeninio metodo analitinėms funkcijoms.
Aukščiau pateikti metodai leidžia atlikti paprastą žingsnio sumažinimo per pusę procedūrą, kai kiekvieno žingsnio funkcijos reikšmės turi būti skaičiuojamos tik naujai pridėtuose mazguose. Skaičiavimo paklaidai įvertinti naudojama Runge's taisyklė.
Runge taisyklės taikymas
redaguoti]Tam tikro integralo skaičiavimo tikslumo įvertinimas
Integralas apskaičiuojamas naudojant pasirinktą formulę (stačiakampiai, trapecijos, Simpsono parabolės), kai žingsnių skaičius lygus n, o tada žingsnių skaičius lygus 2n. Klaida apskaičiuojant integralo vertę, kai žingsnių skaičius lygus 2n, nustatoma pagal Runge formulę:
, stačiakampių ir trapecijų formulėms bei Simpsono formulei.
Taigi integralas apskaičiuojamas nuoseklioms žingsnių skaičiaus reikšmėms, kur n 0 yra pradinis žingsnių skaičius. Skaičiavimo procesas baigiasi, kai įvykdoma kitos reikšmės N sąlyga, kur ε yra nurodytas tikslumas.
Klaidų elgesio ypatybės.
Atrodytų, kam analizuoti skirtingus integravimo metodus, jei didelio tikslumo galime pasiekti tiesiog sumažinę integravimo žingsnio dydį. Tačiau apsvarstykite užpakalinės klaidos elgesio grafiką R skaitinio skaičiavimo rezultatai priklausomai nuo 
ir iš numerio n intervalų skaidiniai (tai yra žingsnyje . (1) skyriuje paklaida sumažėja dėl h žingsnio sumažėjimo. Tačiau (2) skyriuje pradeda dominuoti skaičiavimo paklaida, kuri kaupiasi dėl daugybės aritmetinių operacijų. Taigi , kiekvienas metodas turi savo Rmin, kuris priklauso nuo daugelio veiksnių, bet pirmiausia nuo metodo klaidos a priori reikšmės R.
Rombergo aiškinamoji formulė.
Rombergo metodas susideda iš nuoseklaus integralo vertės patikslinimo, daug kartų padidinus skaidinių skaičių. Kaip pagrindą galima paimti vienodų žingsnių trapecijos formulę h.
Pažymime integralą skaidinių skaičiumi n= 1 as 
.
Sumažinus žingsnį per pusę, gauname 
.
Jei paeiliui sumažinsime žingsnį 2 n kartų, gausime pasikartojimo santykį, skirtą apskaičiuoti .
