Pagrindinės aritmetinės trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, jų grafikai ir formulės

32-33 pamokos. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

Tikslas: apsvarstykite atvirkštines trigonometrines funkcijas ir jų naudojimą rašant trigonometrinių lygčių sprendinius.

I. Pamokų temos ir tikslo perteikimas

II. Naujos medžiagos mokymasis

1. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

Pradėkime diskusiją šia tema nuo šio pavyzdžio.

1 pavyzdys

Išspręskime lygtį: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Ordinačių ašyje pavaizduojame reikšmę 1/2 ir sudarome kampus x 1 ir x2, kuriems nuodėmė x = 1/2. Šiuo atveju x1 + x2 = π, iš kur x2 = π – x 1 . Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų verčių lentele, randame reikšmę x1 = π/6, tadaAtsižvelgkime į sinusinės funkcijos periodiškumą ir užrašykime šios lygties sprendinius:kur k ∈ Z.

b) Akivaizdu, kad lygties sprendimo algoritmas nuodėmė x = a yra toks pat, kaip ir ankstesnėje pastraipoje. Žinoma, dabar reikšmė a brėžiama išilgai ordinačių ašies. Reikia kažkaip pažymėti kampą x1. Sutarėme šį kampą pažymėti simboliu arcsin A. Tada šios lygties sprendinius galima parašyti formaŠios dvi formulės gali būti sujungtos į vieną: kurioje

Likusios atvirkštinės trigonometrinės funkcijos įvedamos panašiai.

Labai dažnai reikia nustatyti kampo dydį pagal žinomą jo trigonometrinės funkcijos reikšmę. Tokia problema yra daugiareikšmė – yra begalė kampų, kurių trigonometrinės funkcijos lygios tai pačiai reikšmei. Todėl, remiantis trigonometrinių funkcijų monotoniškumu, įvedamos šios atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, kad būtų galima vienareikšmiškai nustatyti kampus.

Skaičiaus a arcsinusas (arcsin , kurio sinusas lygus a, t.y.

Skaičiaus lankinis kosinusas a (arccos a) yra kampas a iš intervalo, kurio kosinusas lygus a, t.y.

Skaičiaus arktangentas a(arctg a) – toks kampas a nuo intervalokurio liestinė lygi a, t.y.tg a = a.

Skaičiaus arkotangentas a(arcctg a) yra kampas a iš intervalo (0; π), kurio kotangentas yra lygus a, t.y. ctg a = a.

2 pavyzdys

Raskime:

Atsižvelgdami į atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus, gauname:

3 pavyzdys

Paskaičiuokime

Tegul kampas a = arcsin 3/5, tada pagal apibrėžimą sin a = 3/5 ir . Todėl turime rasti cos A. Naudodami pagrindinę trigonometrinę tapatybę, gauname:Atsižvelgiama į tai, kad cos a ≥ 0. Taigi,

Pateiksime keletą tipiškesnių pavyzdžių, susijusių su atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimais ir pagrindinėmis savybėmis.

4 pavyzdys

Raskime funkcijos apibrėžimo sritį

Kad funkcija y būtų apibrėžta, būtina tenkinti nelygybękuri yra lygiavertė nelygybių sistemaiPirmosios nelygybės sprendimas yra intervalas x∈ (-∞; +∞), antra -Šis intervalas ir yra nelygybių sistemos sprendimas, taigi ir funkcijos apibrėžimo sritis

5 pavyzdys

Raskime funkcijos keitimo sritį

Panagrinėkime funkcijos elgseną z = 2x - x2 (žr. paveikslėlį).

Aišku, kad z ∈ (-∞; 1]. Atsižvelgiant į tai, kad argumentas z lanko kotangento funkcija kinta nurodytose ribose, tai gauname iš lentelės duomenųTaigi, pokyčių sritis

6 pavyzdys

Įrodykime, kad funkcija y = arctg x nelyginis. LeistiTada tg a = -x arba x = - tg a = tg (- a), ir Todėl - a = arctg x arba a = - arctg X. Taigi mes tai matomey(x) yra nelyginė funkcija.

7 pavyzdys

Išreikškime per visas atvirkštines trigonometrines funkcijas

Leisti Tai akivaizdu Tada nuo

Supažindinkime su kampu Nes Tai

Panašiai todėl Ir

Taigi,

8 pavyzdys

Sukurkime funkcijos y = grafiką cos(arcsin x).

Tada pažymėkime a = arcsin x Atsižvelkime į tai, kad x = sin a ir y = cos a, t.y. x 2 + y2 = 1, ir apribojimai x (x∈ [-1; 1]) ir y (y ≥ 0). Tada funkcijos y = grafikas cos (arcsin x) yra puslankis.

9 pavyzdys

Sukurkime funkcijos y = grafiką arccos (cos x ).

Kadangi cos funkcija x pasikeičia intervale [-1; 1], tada funkcija y apibrėžiama visoje skaitinėje ašyje ir kinta atkarpoje . Turėkime omenyje, kad y = arccos (cosx) = x segmente; funkcija y yra lygi ir periodinė su periodu 2π. Atsižvelgiant į tai, kad funkcija turi šias savybes cos x Dabar lengva sukurti grafiką.

Pažymėkime keletą naudingų lygybių:

10 pavyzdys

Raskime mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes Pažymėkime Tada Paimkime funkciją Ši funkcija taške turi minimumą z = π/4, ir jis yra lygus Didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama taške z = -π/2, ir jis yra lygus Taigi, ir

11 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Atsižvelgkime į tai Tada lygtis atrodo taip:arba kur Pagal arctangento apibrėžimą gauname:

2. Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas

Panašiai kaip 1 pavyzdyje, galite gauti paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimus.

12 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Kadangi sinuso funkcija yra nelyginė, rašome lygtį formojeŠios lygties sprendimai:is kur mes tai randame?

13 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Naudodami pateiktą formulę užrašome lygties sprendinius:ir rasime

Atkreipkite dėmesį, kad ypatingais atvejais (a = 0; ±1) sprendžiant lygtis sin x = a ir cos x = ir lengviau ir patogiau naudoti ne bendras formules, o užrašyti sprendimus pagal vieneto apskritimą:

lygčiai sin x = 1 sprendimas

lygčiai sin x = 0 sprendiniai x = π k;

lygties sin x = -1 sprendimas

cos lygčiai x = 1 sprendimas x = 2π k ;

lygčiai cos x = 0 sprendinių

lygties cos x = -1 sprendimas

14 pavyzdys

Išspręskime lygtį

Kadangi šiame pavyzdyje yra ypatingas lygties atvejis, sprendimą parašysime naudodami atitinkamą formulę:is kur mes tai randame?

III. Kontroliniai klausimai (priekinė apklausa)

1. Apibrėžkite ir išvardinkite pagrindines atvirkštinių trigonometrinių funkcijų savybes.

2. Pateikite atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikus.

3. Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas.

IV. Pamokos užduotis

§ 15, Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, Nr. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Namų darbai

§ 15, Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, Nr. 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kūrybinės užduotys

1. Raskite funkcijos domeną:

Atsakymai:

2. Raskite funkcijos diapazoną:

Atsakymai:

3. Nubraižykite funkciją:

VII. Apibendrinant pamokas

Pateikti atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai ir jų grafikai. Taip pat formulės, jungiančios atvirkštines trigonometrines funkcijas, sumų ir skirtumų formulės.

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimas

Kadangi trigonometrinės funkcijos yra periodinės, jų atvirkštinės funkcijos nėra unikalios. Taigi, lygtis y = nuodėmė x, atsižvelgiant į , turi be galo daug šaknų. Iš tiesų, dėl sinuso periodiškumo, jei x yra tokia šaknis, tada taip yra x + 2πn(kur n yra sveikas skaičius) taip pat bus lygties šaknis. Taigi, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra daugiareikšmės. Kad su jais būtų lengviau dirbti, pristatoma pagrindinių jų reikšmių samprata. Apsvarstykite, pavyzdžiui, sinusą: y = nuodėmė x. nuodėmė x Jei argumentą x apribosime intervalu , tai jame funkcija y = didėja monotoniškai. Todėl ji turi unikalią atvirkštinę funkciją, kuri vadinama arcsinusu: x =.

arcsin y

Jei nenurodyta kitaip, atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis turime omenyje jų pagrindines reikšmes, kurias lemia šie apibrėžimai. Arcsine ( y =) arcsin x yra atvirkštinė sinuso funkcija ( x =

nuodėmingas Arcsine ( Lanko kosinusas () arccos x yra atvirkštinė sinuso funkcija ( yra atvirkštinė kosinuso funkcija ( cos y

), turintis apibrėžimo sritį ir reikšmių rinkinį. Arcsine ( Arktangentas () arctan x yra atvirkštinė sinuso funkcija ( yra atvirkštinė tangento funkcija ( cos y

tg y Arcsine ( Arkotangentas () arcctg x yra atvirkštinė sinuso funkcija ( yra atvirkštinė kotangento funkcija ( cos y

ctg y

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai

Arcsine ( y =

Arcsine ( Lanko kosinusas (

Arcsine ( Arktangentas (

Arcsine ( Arkotangentas (

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai gaunami iš trigonometrinių funkcijų grafikų veidrodiniu atspindžiu tiesės y = x atžvilgiu.

Žr. skyrius Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas.

Pagrindinės formulėsČia turėtumėte atkreipti ypatingą dėmesį į intervalus, kuriems formulės galioja.
arcsin(sin x) = x
adresuČia turėtumėte atkreipti ypatingą dėmesį į intervalus, kuriems formulės galioja.
sin(arcsin x) = x

arccos(cos x) = xČia turėtumėte atkreipti ypatingą dėmesį į intervalus, kuriems formulės galioja.
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = xČia turėtumėte atkreipti ypatingą dėmesį į intervalus, kuriems formulės galioja.
tg(arctg x) = x

arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Formulės, susijusios su atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis

Sumos ir skirtumo formulės

arba

Formulės, susijusios su atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis

Sumos ir skirtumo formulės

arba

ir

ir

ir

ir

adresu adresu

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

yra plačiai naudojami matematinėje analizėje. Tačiau daugumai aukštųjų mokyklų mokinių užduotys, susijusios su tokio tipo funkcija, sukelia didelių sunkumų. Taip yra daugiausia dėl to, kad daugelyje vadovėlių ir mokymo priemonių tokio pobūdžio užduotims skiriama per mažai dėmesio. Ir jei studentai bent kažkaip susidoroja su atvirkštinių trigonometrinių funkcijų verčių skaičiavimo problemomis, tada lygtys ir nelygybės, kuriose yra tokių funkcijų, dažniausiai glumina vaikus. Tiesą sakant, tai nestebina, nes praktiškai jokiame vadovėlyje nepaaiškinama, kaip išspręsti net pačias paprasčiausias lygtis ir nelygybes, turinčias atvirkštines trigonometrines funkcijas.

Pažvelkime į keletą lygčių ir nelygybių, susijusių su atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis, ir išspręskime jas išsamiai paaiškindami.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

arccos (2x + 3) = 5π/6. Dabar naudokime lanko kosinuso apibrėžimą.

Tam tikro skaičiaus a lankinis kosinusas, priklausantis atkarpai nuo -1 iki 1, yra kampas y nuo atkarpos nuo 0 iki π, kad jo kosinusas būtų lygus skaičiui x. Todėl galime parašyti taip:

2x + 3 = cos 5π/6.

Parašykime gautos lygties dešinę pusę naudodami redukcijos formulę:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Dešinę pusę sumažinkime iki bendro vardiklio.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Atsakymas: -(6 + √3) / 4 .

2 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

1 pavyzdys.

Kadangi cos (arcсos x) = x, kai x priklauso [-1; 1], tada ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Išspręskime į sistemą įtrauktą lygtį.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Jis yra kvadratinis, todėl mes tai gauname

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9–5) / 2 = 2.

Išspręskime į sistemą įtrauktą dvigubą nelygybę.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Prie visų dalių pridėkite 9, turime:

8 ≤ 4x ≤ 10. Kiekvieną skaičių padaliname iš 4, gauname:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Dabar sujungkime gautus atsakymus. Nesunku pastebėti, kad šaknis x = 7 netenkina atsakymo į nelygybę. Todėl vienintelis lygties sprendimas yra x = 2.

Atsakymas: 2.

3 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

1 pavyzdys.

Kadangi tg (arctg x) = x visiems realiesiems skaičiams, ši lygtis yra lygiavertė lygčiai:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Išspręskime gautą kvadratinę lygtį naudodami diskriminantą, pirmiausia įvedę ją į standartinę formą.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Atsakymas: 1; 2.

4 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

1 pavyzdys.

Kadangi arcctg f(x) = arcctg g(x) tada ir tik tada, kai f(x) = g(x), tada

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Išspręskime gautą kvadratinę lygtį:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Pagal Vietos teoremą gauname tai

x = 1 arba x = 2.

Atsakymas: 1; 2.

5 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

1 pavyzdys.

Kadangi lygtis, kurios formos arcsin f(x) = arcsin g(x) yra lygiavertė sistemai

(f(x) = g(x),
(f(x) EUR [-1; 1],

tada pradinė lygtis yra lygiavertė sistemai:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Išspręskime gautą sistemą:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Iš pirmosios lygties, naudojant Vietos teoremą, gauname, kad x = 1 arba x = 7. Išspręsdami antrąją sistemos nelygybę, gauname, kad 7 ≤ x ≤ 8. Todėl galutinei tinka tik šaknis x = 7 atsakyti.

Atsakymas: 7.

6 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: (arkos x) 2 – 6 lankai x + 8 = 0.

1 pavyzdys.

Tegul arccos x = t, tada t priklauso atkarpai ir lygtis įgauna tokią formą:

t 2 – 6t + 8 = 0. Išspręskite gautą kvadratinę lygtį naudodamiesi Vietos teorema, rastume, kad t = 2 arba t = 4.

Kadangi atkarpai t = 4 nepriklauso, gauname, kad t = 2, t.y. arccos x = 2, o tai reiškia, kad x = cos 2.

Atsakymas: cos 2.

7 pavyzdys.

Išspręskite lygtį: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

1 pavyzdys.

Naudokime lygybę arcsin x + arccos x = π/2 ir parašykime lygtį į formą

(arcin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Tegu arcsin x = t, tada t priklauso atkarpai [-π/2; π/2] ir lygtis yra tokia:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Išspręskime gautą lygtį:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Kiekvieną narį padauginę iš 9, kad lygtyje atsikratytume trupmenų, gauname:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Raskime diskriminantą ir išspręskime gautą lygtį:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 arba t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 arba t = 12π/36.

Po sumažinimo turime:

t = π/6 arba t = π/3. Tada

arcsin x = π/6 arba arcsin x = π/3.

Taigi x = sin π/6 arba x = sin π/3. Tai yra, x = 1/2 arba x =√3/2.

Atsakymas: 1/2; √3/2.

8 pavyzdys.

Raskite išraiškos 5nx 0 reikšmę, kur n yra šaknų skaičius, o x 0 yra neigiama lygties 2 arcsin šaknis x = - π – (x + 1) 2.

1 pavyzdys.

Kadangi -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, tai -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Be to, (x + 1) 2 ≥ 0 visiems realiesiems x,
tada -(x + 1) 2 ≤ 0 ir -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Taigi lygtis gali turėti sprendinį, jei abi jos pusės vienu metu lygios –π, t.y. lygtis yra lygiavertė sistemai:

(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Išspręskime gautą lygčių sistemą:

(arcin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Iš antrosios lygties gauname, kad x = -1, atitinkamai n = 1, tada 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Atsakymas: -5.

Kaip rodo praktika, gebėjimas spręsti lygtis atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis yra būtina sąlyga norint sėkmingai išlaikyti egzaminus. Štai kodėl mokymas sprendžiant tokias problemas yra tiesiog būtinas ir privalomas ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygtis?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra matematinės funkcijos, kurios yra atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms.

Funkcija y=arcsin(x)

Skaičiaus α arcsinusas yra skaičius α iš intervalo [-π/2;π/2], kurio sinusas lygus α.
Funkcijos grafikas
Funkcija у= sin⁡(x) intervale [-π/2;π/2] yra griežtai didėjanti ir tolydi; todėl ji turi atvirkštinę funkciją, griežtai didėjančią ir nuolatinę.
Funkcijos y= sin⁡(x), kur x ∈[-π/2;π/2], atvirkštinė funkcija vadinama arcsinusu ir žymima y=arcsin(x), kur x∈[-1;1 ].
Taigi, pagal atvirkštinės funkcijos apibrėžimą, arcsinuso apibrėžimo sritis yra atkarpa [-1;1], o reikšmių rinkinys yra atkarpa [-π/2;π/2].
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos y=arcsin(x), kur x ∈[-1;1], grafikas yra simetriškas funkcijos y= sin(⁡x) grafikui, kur x∈[-π/2;π /2], koordinačių kampų pirmojo ir trečiojo ketvirčių pusiausvyros atžvilgiu.

Funkcijų diapazonas y=arcsin(x).

1 pavyzdys.

Rasti arcsin(1/2)?

Kadangi funkcijos arcsin(x) reikšmių diapazonas priklauso intervalui [-π/2;π/2], tada tinka tik reikšmė π/6, todėl arcsin(1/2) =π/. 6.
Atsakymas:π/6

2 pavyzdys.
Rasti arcsin(-(√3)/2)?

Kadangi reikšmių diapazonas arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], tada tinka tik reikšmė -π/3, todėl arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funkcija y=arccos(x)

Skaičiaus α lankinis kosinusas yra skaičius α iš intervalo, kurio kosinusas lygus α.

Funkcijos grafikas

Funkcija y= cos(⁡x) atkarpoje yra griežtai mažėjanti ir nuolatinė; todėl ji turi atvirkštinę funkciją, griežtai mažėjančią ir nuolatinę.
Iškviečiama atvirkštinė funkcija y= cos⁡x, kur x ∈ lanko kosinusas ir žymimas y=arccos(x),kur x ∈[-1;1].
Taigi, pagal atvirkštinės funkcijos apibrėžimą, lanko kosinuso apibrėžimo sritis yra atkarpa [-1;1], o reikšmių rinkinys yra atkarpa.
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos y=arccos(x), kur x ∈[-1;1], grafikas yra simetriškas funkcijos y= cos(⁡x) grafikui, kur x ∈, atsižvelgiant į pirmojo ir trečiojo ketvirčių koordinačių kampai.

Funkcijų diapazonas y=arccos(x).

3 pavyzdys.

Rasti arccos (1/2)?

Kadangi funkcijos arccos(x) reikšmių diapazonas priklauso intervalui, tada tinka tik reikšmė 3π/4, todėl arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Atsakymas: 3π/4

Funkcija y=arctg(x)

Skaičiaus α arctangentas yra skaičius α iš intervalo [-π/2;π/2], kurio liestinė lygi α.

Funkcijos grafikas

Liestinės funkcija yra ištisinė ir griežtai didėjanti intervale (-π/2;π/2); todėl ji turi atvirkštinę funkciją, kuri yra nuolatinė ir griežtai didėjanti.
Funkcijos y= tan⁡(x) atvirkštinė funkcija, kur x∈(-π/2;π/2); vadinamas arctangentu ir žymimas y=arctg(x), kur x∈R.
Taigi, pagal atvirkštinės funkcijos apibrėžimą, arctangento apibrėžimo sritis yra intervalas (-∞;+∞), o reikšmių rinkinys yra intervalas
(-π/2; π/2).
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos y=arctg(x), kur x∈R, grafikas yra simetriškas funkcijos y= tan⁡x grafikui, kur x ∈ (-π/2;π/2), atsižvelgiant į pirmojo ir trečiojo ketvirčių koordinačių kampų bisektorius.

Funkcijų diapazonas y=arctg(x).

Pavyzdys Nr. 5?

Raskite arctan((√3)/3).

Kadangi reikšmių diapazonas arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tada tinka tik reikšmė π/6, todėl arctg((√3)/3) =π/6.
6 pavyzdys.
Rasti arctg(-1)?

Kadangi reikšmių diapazonas arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tada tinka tik reikšmė -π/4, todėl arctg(-1) = - π/4.

Funkcija y=arcctg(x)

Funkcijos grafikas

Intervale (0;π) kotangentinė funkcija griežtai mažėja; be to, jis yra tęstinis kiekviename šio intervalo taške; todėl intervale (0;π) ši funkcija turi atvirkštinę funkciją, kuri griežtai mažėja ir yra nuolatinė.
Funkcijos y=ctg(x), kur x ∈(0;π), atvirkštinė funkcija vadinama arckotangentine ir žymima y=arcctg(x), kur x∈R.
Taigi pagal atvirkštinės funkcijos apibrėžimą arkotangento apibrėžimo sritis bus R, o reikšmių rinkinys bus intervalas (0;π Funkcijos y=arcctg(x) grafikas). , kur x∈R yra simetriškas funkcijos y=ctg(x) x∈(0 ;π) grafikui, atsižvelgiant į pirmojo ir trečiojo ketvirčių koordinačių kampų pusiausvyrą.

Funkcijų diapazonas y=arcctg(x).

8 pavyzdys.
Rasti arcctg(-(√3)/3)?

Kadangi reikšmių diapazonas yra arcctg(x) x∈(0;π), tada tinka tik reikšmė 2π/3, todėl arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Redaktorės: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna