Kamuolys (sfera)
Sferinis paviršius. Kamuolys (sfera). Kamuolio sekcijos: apskritimai.
Archimedo teorema. Rutulio dalys: sferinis segmentas,
sferinis sluoksnis, sferinis diržas, sferinis sektorius.
Sferinis paviršius - Tai taškų vieta(tie. daugvisų taškų skaičius)erdvėje, vienodu atstumu nuo vieno taško O , kuris vadinamas sferinio paviršiaus centru (90 pav.). Spindulys AOi skersmens AB nustatomi taip pat, kaip ir apskritime.
Kamuolys (sfera) - Tai kūnas, apribotas sferinio paviršiaus. Gali gaukite kamuolį sukdami puslankį ( arba apskritimas ) aplink skersmenį. Visos plokštumos rutulio dalys yra apskritimai ( 90 pav ). Didžiausias apskritimas yra atkarpoje, einančioje per rutulio centrą ir vadinamas didelis ratas. Jo spindulys lygus rutulio spinduliui. Bet kokie du dideli apskritimai susikerta išilgai rutulio skersmens ( AB, 91 pav ).Šis skersmuo taip pat yra susikertančių didžiųjų apskritimų skersmuo. Per du sferinio paviršiaus taškus, esančius to paties skersmens galuose(A ir B, 91 pav ), galite nupiešti daugybę didelių apskritimų. Pavyzdžiui, per Žemės ašigalius galima nubrėžti begalinį meridianų skaičių.
Sferos tūris yra pusantro karto mažesnis nei aplink jį apibrėžiamo cilindro tūris. (92 pav ), A rutulio paviršius yra pusantro karto mažesnis už bendrą to paties cilindro paviršių ( Archimedo teorema):
Čia S kamuolys Ir V kamuolys - atitinkamai rutulio paviršius ir tūris;
S cil Ir V cil - bendras apibrėžto cilindro paviršius ir tūris.
Kamuolio dalys. Rutulio dalis (sfera) ), atkirstas nuo jo kažkokia plokštuma ( ABC, 93 pav.), paskambino kamuolys(sferinės ) segmentas. Apskritimas ABC paskambino pagrindu rutulio segmentas. Linijos segmentas MN statmena nubrėžta iš centro N apskritimas ABC kol susikerta su sferiniu paviršiumi, vadinamas aukščio rutulio segmentas. Taškas M paskambino viršuje rutulio segmentas.
Rutulio dalis, uždaryta tarp dviejų lygiagrečių plokštumų ABC ir DEF, kertantys sferinį paviršių (93 pav.), paskambino sferinis sluoksnis; sferinio sluoksnio lenktasis paviršius vadinamas rutulinis diržas(zona). Apskritimai ABC ir DEF – pagrindu rutulinis diržas. Atstumas N.K. tarp sferinio diržo pagrindų – jos aukščio. Rutulio dalis, apribota sferinio segmento išlenkto paviršiaus ( AMCB, 93 pav.) ir kūginį paviršių OABC , kurio pagrindas yra segmento ( ABC ), o viršūnė yra rutulio centras O , paskambino sferinis sektorius.
Rutulys ir rutulys visų pirma yra geometrinės figūros, o jei rutulys yra geometrinis kūnas, tai rutulys yra rutulio paviršius. Šie skaičiai domino prieš daugelį tūkstančių metų prieš mūsų erą.
Vėliau, kai buvo atrasta, kad Žemė yra rutulys, o dangus yra dangaus sfera, buvo sukurta nauja žavi geometrijos kryptis - geometrija ant sferos arba sferinė geometrija. Norėdami kalbėti apie kamuoliuko dydį ir tūrį, pirmiausia turite jį apibrėžti.
Kamuolys
R spindulio rutulys, kurio centras yra taške O geometrijoje, yra kūnas, kurį sukuria visi erdvės taškai, turintys bendrą savybę. Šie taškai yra atstumu, neviršijančiu rutulio spindulio, tai yra, jie užpildo visą erdvę mažiau nei rutulio spindulys visomis kryptimis nuo jo centro. Jei atsižvelgsime tik į tuos taškus, kurie yra vienodu atstumu nuo rutulio centro, mes atsižvelgsime į jo paviršių arba rutulio apvalkalą.
Kaip aš galiu gauti kamuolį? Mes galime iškirpti apskritimą iš popieriaus ir pradėti jį sukti aplink savo skersmenį. Tai yra, apskritimo skersmuo bus sukimosi ašis. Suformuota figūra bus rutulys. Todėl kamuolys dar vadinamas revoliucijos kūnu. Nes jį galima suformuoti sukant plokščią figūrą – apskritimą.
Paimkime plokštumą ir supjaustykime ja savo rutulį. Lygiai taip pat, kaip peiliu pjaustome apelsiną. Gabalas, kurį nupjauname nuo rutulio, vadinamas sferiniu segmentu.
Senovės Graikijoje jie mokėjo ne tik dirbti su rutuliu ir rutuliu kaip geometrines figūras, pavyzdžiui, naudoti jas statyboje, bet ir mokėjo apskaičiuoti rutulio paviršiaus plotą bei rutulio tūrį.
Sfera yra kitas rutulio paviršiaus pavadinimas. Sfera nėra kūnas – tai revoliucijos kūno paviršius. Tačiau kadangi ir Žemė, ir daugelis kūnų turi sferinę formą, pavyzdžiui, vandens lašą, geometrinių santykių sferos viduje tyrimas tapo plačiai paplitęs.
Pavyzdžiui, jei du rutulio taškus sujungsime vienas su kitu tiesia linija, tada ši tiesi linija bus vadinama styga, o jei ši styga eina per rutulio centrą, kuris sutampa su rutulio centru, tada styga bus vadinama sferos skersmeniu.
Jei nubrėžsime tiesią liniją, kuri liečia sferą tik viename taške, tada ši linija bus vadinama liestine. Be to, ši rutulio liestinė šiame taške bus statmena rutulio, nubrėžto iki sąlyčio taško, spinduliui.
Jei stygą pratęsime iki tiesės viena ar kita kryptimi nuo sferos, tai ši styga bus vadinama sekantu. Arba galime sakyti kitaip – sekantas į sferą turi savo akordą.
Kamuolio tūris
Rutulio tūrio apskaičiavimo formulė yra tokia:
kur R yra rutulio spindulys.
Jei reikia rasti sferinio segmento tūrį, naudokite formulę:
V seg =πh 2 (R-h/3), h – sferinės atkarpos aukštis.
Rutulio ar rutulio paviršiaus plotas
Norėdami apskaičiuoti rutulio plotą arba rutulio paviršiaus plotą (jie yra tas pats):
kur R yra sferos spindulys.
Archimedas labai mėgo rutulį ir sferą, net prašė ant savo kapo palikti piešinį, kuriame cilindre buvo įrašytas rutulys. Archimedas manė, kad sferos tūris ir jo paviršius yra lygūs dviem trečdaliams cilindro, kuriame yra įrašyta rutulys, tūrio ir paviršiaus.
2 skyriuje tęsime „struktūrinę geometriją“ ir kalbėsime apie svarbiausių erdvinių figūrų – rutulio ir sferos, cilindrų ir kūgių, prizmių ir piramidžių – sandarą ir savybes . ir tt, susideda iš dalių, suformuotų kaip šios figūros.
§ 4. RUMULĖ IR KUMULYS
Po tiesių linijų ir plokštumų rutulys ir rutulys yra pačios paprasčiausios, bet labai svarbios erdvinės figūros, turtingos įvairių savybių. Apie kamuoliuko ir jo paviršiaus – rutulio geometrines savybes parašyta ištisos knygos. Kai kurios iš šių savybių buvo žinomos senovės Graikijos geometrams, o kai kurios buvo atrastos visai neseniai, pastaraisiais metais. Šios savybės (kartu su gamtos mokslų dėsniais) paaiškina, kodėl, pavyzdžiui, dangaus kūnai ir žuvų ikrai yra sferiniai, kodėl batiskafai ir futbolo kamuoliai gaminami kamuolio pavidalu, kodėl rutuliniai guoliai taip paplitę technikoje ir pan. Galime įrodyti tik pačias paprasčiausias kamuoliuko savybes. Kitoms, nors ir labai svarbioms savybėms įrodyti, dažnai reikia naudoti visiškai neelementarius metodus, nors tokių savybių formulavimas gali būti labai paprastas: pavyzdžiui, tarp visų kūnų, turinčių tam tikrą paviršiaus plotą, kamuoliukas turi didžiausią tūrį.
4.1. Rutulio ir rutulio apibrėžimai.
Rutulys ir rutulys erdvėje apibrėžiami lygiai taip pat, kaip apskritimas ir apskritimas plokštumoje. Sfera yra figūra, susidedanti iš visų erdvės taškų, nutolusių nuo nurodyto.
skirtingi taškai į tą patį (teigiamą) atstumą.
Šis taškas vadinamas sferos centru, o atstumas – jo spinduliu (4.1 pav.).
Taigi, rutulys, kurio centras O ir spindulys R, yra figūra, sudaryta iš visų erdvės taškų X, kuriems
Rutulys yra figūra, kurią sudaro visi erdvės taškai, esantys atstumu, ne didesniu nei nurodytas (teigiamas) atstumas nuo nurodyto taško. Šis taškas vadinamas rutulio centru, o šis atstumas yra jo spindulys.
Taigi, rutulys, kurio centras O ir spindulys R, yra figūra, sudaryta iš visų erdvės taškų X, kuriems
Tie rutulio, kurio centras O ir spindulys R, taškai X, kuriems jie sudaro sferą. Jie sako, kad ši sfera gaubia tam tikrą rutulį arba kad tai yra jo paviršius.
Maždaug tie patys rutulio taškai X, dėl kurių jie sako, kad guli rutulio viduje.
Rutulio (ir rutulio) spindulys vadinamas ne tik atstumu, bet ir bet kokia atkarpa, jungiančia centrą su rutulio tašku.
GEOMETRIJOS
II skyrius. STEREOMETRIJOS
§22. KAMULIS. SFERE.
1. Rutulio ir rutulio apibrėžimas. Rutulio ir rutulio elementai.
Kulka yra geometrinis kūnas, susidaręs sukant apskritimą aplink ašį, kurioje yra jos skersmuo (500 pav.).
Apskritimo centras, kuris sukasi, vadinamas rutulio centru, apskritimo spindulys yra rutulio spindulys, o apskritimo skersmuo yra rutulio skersmuo. 500 paveiksle taškas O yra rutulio centras, OA ir OB yra rutulio spindulys, o AB yra rutulio skersmuo.
Rutulio paviršius vadinamas rutuliu.
Rutulio centras, spindulys ir skersmuo taip pat yra rutulio centras, spindulys ir skersmuo.
Visi rutulio taškai yra vienodu atstumu, lygiu spinduliui, nuo rutulio centro. Kiti rutulio taškai, kurie nepriklauso sferai, vadinami vidiniais taškais. Vidiniai rutulio taškai yra nuo rutulio centro atstumu, kuris yra mažesnis už spindulį.
Taigi mes prieiname prie kito sferos ir rutulio apibrėžimo.
Sfera yra paviršius, susidedantis iš visų erdvės taškų, vienodu atstumu nuo to paties taško. Šis taškas vadinamas sferos centru, o atstumas nuo sferos centro iki bet kurio jo taško yra rutulio spindulys.
Kulka yra geometrinis kūnas, kurį sudaro visi erdvės taškai, esantys atstumu, ne didesniu nei duotas taškas nuo nurodyto taško. Šis taškas vadinamas rutulio centru, o šis atstumas vadinamas rutulio spinduliu.
Pavyzdys. Rutulio spindulys yra 3,5 cm. Taškas A yra rutulio viduje arba išorėje, jei jis yra nutolęs nuo rutulio centro: 1) cm, 2) cm.
Rutulys yra kūnas, susidedantis iš visų erdvės taškų, esančių ne didesniu nei duotasis atstumu nuo tam tikro taško. Šis taškas vadinamas rutulio centru, o šis atstumas vadinamas rutulio spinduliu. Rutulio riba vadinama sferiniu paviršiumi arba rutuliu. Rutulio taškai yra visi rutulio taškai, kurie yra pašalinti iš centro atstumu, lygiu spinduliui. Bet kuri atkarpa, jungianti rutulio centrą su tašku sferiniame paviršiuje, taip pat vadinama spinduliu. Atkarpa, einanti per rutulio centrą ir jungianti du taškus sferiniame paviršiuje, vadinama skersmeniu. Bet kokio skersmens galai vadinami diametraliai priešingais rutulio taškais.
Rutulys yra sukimosi kūnas, kaip ir kūgis ir cilindras. Rutulys gaunamas sukant puslankį aplink jo skersmenį kaip ašį.
Rutulio paviršiaus plotą galima rasti naudojant formules:
kur r yra rutulio spindulys, d yra rutulio skersmuo.
Rutulio tūris aptinkamas pagal formulę:
V = 4/3 πr 3,
kur r yra rutulio spindulys.
Teorema. Kiekviena rutulio atkarpa plokštuma yra apskritimas. Šio apskritimo centras yra statmens, nubrėžto iš rutulio centro į pjovimo plokštumą, pagrindas.
Remiantis šia teorema, jei rutulį, kurio centras O ir spindulys R, kerta plokštuma α, tada skerspjūvio rezultatas yra r spindulio apskritimas su centru K. Galima rasti rutulio pjūvio pagal plokštumą spindulį pagal formulę
Iš formulės aišku, kad vienodu atstumu nuo centro nutolusios plokštumos kerta rutulį vienodais apskritimais. Pjūvio spindulys yra didesnis, tuo arčiau pjovimo plokštuma yra rutulio centro, tai yra, tuo mažesnis atstumas OK. Didžiausias spindulys turi plokštumos, einančios per rutulio centrą, atkarpą. Šio apskritimo spindulys lygus rutulio spinduliui.
Plokštuma, einanti per rutulio centrą, vadinama centrine plokštuma. Rutulio pjūvis pagal diametrinę plokštumą vadinamas didžiuoju apskritimu, o rutulio pjūvis – didžiuoju apskritimu, o rutulio pjūvis – didžiuoju apskritimu.
Teorema. Bet kuri diametrali rutulio plokštuma yra jo simetrijos plokštuma. Rutulio centras yra jo simetrijos centras.
Plokštuma, einanti per sferinio paviršiaus tašką A ir statmena spinduliui, nubrėžtam taško A, vadinama liestinės plokštuma. Taškas A vadinamas liestinės tašku.
Teorema. Liestinės plokštuma turi tik vieną bendrą tašką su rutuliu – sąlyčio tašką.
Tiesi linija, einanti per sferinio paviršiaus tašką A, statmeną šiam taškui nubrėžtam spinduliui, vadinama liestine.
Teorema. Begalinis skaičius liestinių eina per bet kurį rutulio paviršiaus tašką, ir visos jos yra rutulio liestinės plokštumoje.
Sferinis segmentas yra rutulio dalis, nuo jos atkirsta plokštuma. Apskritimas ABC yra sferinio segmento pagrindas. Statmena atkarpa MN, nubrėžta nuo apskritimo ABC centro N iki sankirtos su sferiniu paviršiumi, yra rutulio atkarpos aukštis. Taškas M yra sferinės atkarpos viršūnė.
Sferinio segmento paviršiaus plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:
Sferinio segmento tūrį galima rasti naudojant formulę:
V = πh 2 (R – 1/3 val.),
kur R yra didžiojo apskritimo spindulys, h yra sferinės atkarpos aukštis.
Sferinis sektorius gaunamas iš sferinio segmento ir kūgio taip. Jei rutulio atkarpa yra mažesnė už pusrutulį, tai rutulio formos atkarpą papildo kūgis, kurio viršūnė yra rutulio centre, o pagrindas yra atkarpos pagrindas. Jei segmentas yra didesnis nei pusrutulis, nurodytas kūgis iš jo pašalinamas.
Sferinis sektorius yra rutulio dalis, kurią riboja lenktas sferinio segmento paviršius (mūsų paveiksle tai AMCB) ir kūginis paviršius (mūsų paveiksle tai OABC), kurio pagrindas yra rutulio pagrindas. segmentas (ABC), o viršūnė yra rutulio O centras.
Sferinio sektoriaus tūris randamas pagal formulę:
V = 2/3 πR 2 H.
Sferinis sluoksnis – tai rutulio dalis, uždaryta tarp dviejų lygiagrečių plokštumų (paveikslėlyje plokštumos ABC ir DEF), kertančių sferinį paviršių. Išlenktas sferinio sluoksnio paviršius vadinamas sferiniu diržu (zona). Apskritimai ABC ir DEF yra sferinio diržo pagrindas. Atstumas NK tarp sferinio diržo pagrindų yra jo aukštis.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
