Perėjimas prie naujo pagrindo. Logaritminės formulės

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Šiandien kalbėsime apie logaritmines formules ir pateiksime orientacinius sprendimų pavyzdžiai.

Jie patys reiškia sprendimų modelius pagal pagrindines logaritmų savybes. Prieš spręsdami taikydami logaritmines formules, priminsime visas savybes:

Dabar, remdamiesi šiomis formulėmis (ypatybėmis), parodysime logaritmų sprendimo pavyzdžiai.

Logaritmų sprendimo pagal formules pavyzdžiai.

Logaritmas teigiamas skaičius b bazei a (žymimas log a b) yra eksponentas, į kurį reikia pakelti a, kad gautume b, kai b > 0, a > 0 ir 1.

Pagal apibrėžimą log a b = x, kuris yra ekvivalentas a x = b, todėl log a a x = x.

Logaritmai, pavyzdžiai:

log 2 8 = 3, nes 2 3 = 8

log 7 49 = 2, nes 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, nes 5 -1 = 1/5

Dešimtainis logaritmas- tai paprastas logaritmas, kurio pagrindas yra 10. Jis žymimas kaip lg.

log 10 100 = 2, nes 10 2 = 100

Natūralus logaritmas- taip pat paprastasis logaritmas, logaritmas, bet su baze e (e = 2,71828... - neracionalus skaičius). Žymima kaip ln.

Patartina įsiminti logaritmų formules ar savybes, nes vėliau jų prireiks sprendžiant logaritmus, logaritmines lygtis ir nelygybes. Dar kartą panagrinėkime kiekvieną formulę su pavyzdžiais.

• Pagrindinė logaritminė tapatybė
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Produkto logaritmas lygus logaritmų sumai
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Logaritminio skaičiaus laipsnio ir logaritmo pagrindo savybės

  Logaritminio skaičiaus eksponentas log a b m = mlog a b

  Logaritmo pagrindo eksponentas log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jei m = n, gauname log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Perėjimas prie naujo pagrindo
  log a b = log c b/log c a,

  jei c = b, gauname log b b = 1

  tada log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kaip matote, logaritmų formulės nėra tokios sudėtingos, kaip atrodo. Dabar, pažvelgę ​​į logaritmų sprendimo pavyzdžius, galime pereiti prie logaritminių lygčių. Išsamiau pažvelgsime į logaritminių lygčių sprendimo pavyzdžius straipsnyje: "". Nepraleisk!

Jei vis dar turite klausimų apie sprendimą, parašykite juos straipsnio komentaruose.

Pastaba: nusprendėme įgyti kitos klasės išsilavinimą ir studijuoti užsienyje.

Visuomenei vystantis ir gamybai vis sudėtingėjant, vystėsi ir matematika. Judėjimas nuo paprasto iki sudėtingo. Nuo įprastos apskaitos naudojant sudėjimo ir atimties metodus, juos kartojant, priėjome prie daugybos ir dalybos sampratos. Pakartotinės daugybos operacijos mažinimas tapo eksponencijos sąvoka. Pirmąsias skaičių priklausomybės nuo bazės ir eksponencijos skaičiaus lenteles dar VIII amžiuje sudarė indų matematikas Varasena. Iš jų galite suskaičiuoti logaritmų atsiradimo laiką.

Istorinis eskizas

Europos atgimimas XVI amžiuje paskatino ir mechanikos raidą. T pareikalavo daug skaičiavimų susiję su daugiaženklių skaičių daugyba ir dalyba. Senoviniai stalai buvo labai naudingi. Jie leido sudėtingas operacijas pakeisti paprastesnėmis - sudėtimi ir atimti. Didelis žingsnis į priekį buvo matematiko Michaelo Stiefelio darbas, paskelbtas 1544 m., kuriame jis įgyvendino daugelio matematikų idėją. Tai leido lenteles naudoti ne tik pirminių skaičių laipsniams, bet ir savavališkiems racionaliems skaičiams.

1614 m. škotas Johnas Napier, plėtodamas šias idėjas, pirmą kartą įvedė naują terminą „skaičiaus logaritmas“. Sinusų ir kosinusų logaritmams, taip pat liestims apskaičiuoti buvo sudarytos naujos sudėtingos lentelės. Tai labai sumažino astronomų darbą.

Pradėjo pasirodyti naujos lentelės, kurias mokslininkai sėkmingai naudojo tris šimtmečius. Praėjo daug laiko, kol nauja algebros operacija įgavo galutinę formą. Pateiktas logaritmo apibrėžimas ir ištirtos jo savybės.

Tik XX amžiuje, atsiradus skaičiuotuvui ir kompiuteriui, žmonija atsisakė senovinių lentelių, kurios sėkmingai veikė XIII amžių.

Šiandien mes vadiname b logaritmu, pagrįstu a skaičiumi x, kuris yra a galia sudaryti b. Tai parašyta kaip formulė: x = log a(b).

Pavyzdžiui, log 3(9) būtų lygus 2. Tai akivaizdu, jei laikotės apibrėžimo. Jei pakelsime 3 iki 2 laipsnio, gausime 9.

Taigi suformuluotas apibrėžimas nustato tik vieną apribojimą: skaičiai a ir b turi būti tikri.

Logaritmų tipai

Klasikinis apibrėžimas vadinamas tikruoju logaritmu ir iš tikrųjų yra lygties a x = b sprendimas. Variantas a = 1 yra ribinis ir nėra įdomus. Dėmesio: 1 bet kuriai galiai yra lygus 1.

Tikroji logaritmo vertė apibrėžiamas tik tada, kai bazė ir argumentas yra didesni nei 0, o bazė neturi būti lygi 1.

Ypatinga vieta matematikos srityježaisti logaritmus, kurie bus pavadinti atsižvelgiant į jų bazės dydį:

Taisyklės ir apribojimai

Pagrindinė logaritmų savybė yra taisyklė: sandaugos logaritmas yra lygus logaritminei sumai. log abp = log a(b) + log a(p).

Kaip šio teiginio variantas bus: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), koeficiento funkcija lygi funkcijų skirtumui.

Iš ankstesnių dviejų taisyklių nesunku suprasti, kad: log a(b p) = p * log a(b).

Kitos savybės apima:

komentuoti. Nereikia daryti įprastos klaidos – sumos logaritmas nelygus logaritmų sumai.

Daugelį amžių logaritmo paieškos operacija buvo gana daug laiko reikalaujanti užduotis. Matematikai naudojo gerai žinomą logaritminės daugianario plėtimosi teorijos formulę:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kur n yra didesnis už 1 natūralusis skaičius, kuris lemia skaičiavimo tikslumą.

Logaritmai su kitais pagrindais buvo apskaičiuoti naudojant teoremą apie perėjimą iš vienos bazės į kitą ir sandaugos logaritmo savybę.

Kadangi šis metodas yra labai daug darbo jėgos ir sprendžiant praktines problemas sunkiai įgyvendinamas, naudojome iš anksto sudarytas logaritmų lenteles, kurios gerokai paspartino visą darbą.

Kai kuriais atvejais buvo naudojami specialiai sukurti logaritmų grafikai, kurie davė mažesnį tikslumą, tačiau žymiai pagreitino norimos reikšmės paiešką. Funkcijos y = log a(x) kreivė, sudaryta keliuose taškuose, leidžia naudoti įprastą liniuotę, norint rasti funkcijos reikšmę bet kuriame kitame taške. Ilgą laiką inžinieriai šiems tikslams naudojo vadinamąjį grafinį popierių.

XVII amžiuje atsirado pirmosios pagalbinės analoginio skaičiavimo sąlygos, kurios iki XIX amžiaus įgavo pilną formą. Sėkmingiausias įrenginys buvo vadinamas slydimo taisykle. Nepaisant įrenginio paprastumo, jo išvaizda žymiai paspartino visų inžinerinių skaičiavimų procesą, ir tai sunku pervertinti. Šiuo metu mažai žmonių yra susipažinę su šiuo įrenginiu.

Atsiradus skaičiuotuvams ir kompiuteriams, bet kokių kitų prietaisų naudojimas tapo beprasmis.

Lygtys ir nelygybės

Norint išspręsti įvairias lygtis ir nelygybes naudojant logaritmus, naudojamos šios formulės:

• Perėjimas iš vienos bazės į kitą: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Dėl ankstesnės parinkties: log a(b) = 1 / log b(a).

Norint išspręsti nelygybes, naudinga žinoti:

• Logaritmo reikšmė bus teigiama tik tuo atveju, jei bazė ir argumentas yra didesni arba mažesni už vieną; jei pažeidžiama bent viena sąlyga, logaritmo reikšmė bus neigiama.
• Jei logaritmo funkcija taikoma nelygybės dešinėje ir kairėje pusėje, o logaritmo pagrindas yra didesnis už vienetą, tai nelygybės ženklas išsaugomas; kitaip pasikeičia.

Pavyzdinės problemos

Panagrinėkime keletą logaritmų ir jų savybių naudojimo variantų. Lygčių sprendimo pavyzdžiai:

Apsvarstykite galimybę logaritmą įdėti į laipsnį:

• 3 uždavinys. Apskaičiuokite 25^log 5(3). Sprendimas: problemos sąlygomis įrašas panašus į (5^2)^log5(3) arba 5^(2 * log 5(3)). Parašykime kitaip: 5^log 5(3*2), arba skaičiaus kvadratą kaip funkcijos argumentą galima parašyti kaip pačios funkcijos kvadratą (5^log 5(3))^2. Naudojant logaritmų savybes, ši išraiška yra lygi 3^2. Atsakymas: atlikę skaičiavimus gauname 9.

Praktinis naudojimas

Kadangi logaritmas yra grynai matematinis įrankis, atrodo toli nuo tikrojo gyvenimo, kad logaritmas staiga įgijo didelę reikšmę aprašant objektus realiame pasaulyje. Sunku rasti mokslą, kur jis nebūtų naudojamas. Tai visiškai taikoma ne tik gamtinėms, bet ir humanitarinėms žinių sritims.

Logaritminės priklausomybės

Štai keletas skaitinių priklausomybių pavyzdžių:

Mechanika ir fizika

Istoriškai mechanika ir fizika visada vystėsi naudojant matematinius tyrimo metodus ir tuo pat metu buvo paskata plėtoti matematiką, įskaitant logaritmus. Daugumos fizikos dėsnių teorija parašyta matematikos kalba. Pateiksime tik du fizinių dėsnių apibūdinimo logaritmu pavyzdžius.

Tokio sudėtingo dydžio kaip raketos greitis apskaičiavimo problema gali būti išspręsta naudojant Ciolkovskio formulę, kuri padėjo pagrindą kosmoso tyrinėjimo teorijai:

V = I * ln (M1/M2), kur

• V – galutinis orlaivio greitis.
• I – specifinis variklio impulsas.
• M 1 – pradinė raketos masė.
• M 2 – galutinė masė.

Kitas svarbus pavyzdys- tai panaudota kito puikaus mokslininko Maxo Plancko formulėje, kuri skirta termodinamikos pusiausvyros būsenai įvertinti.

S = k * ln (Ω), kur

• S – termodinaminė savybė.
• k – Boltzmanno konstanta.
• Ω yra skirtingų būsenų statistinis svoris.

Chemija

Mažiau akivaizdu, kad chemijoje naudojamos formulės, kuriose yra logaritmų santykis. Pateikiame tik du pavyzdžius:

• Nernsto lygtis, terpės redokso potencialo sąlyga medžiagų aktyvumo ir pusiausvyros konstantos atžvilgiu.
• Tokios konstantos kaip autolizės indeksas ir tirpalo rūgštingumas taip pat negali būti apskaičiuojamos be mūsų funkcijos.

Psichologija ir biologija

Ir visai neaišku, ką su tuo susijusi psichologija. Pasirodo, kad jutimo stiprumą ši funkcija gerai apibūdina kaip atvirkštinį stimulo intensyvumo reikšmės ir mažesnio intensyvumo vertės santykį.

Po minėtų pavyzdžių nebestebina, kad logaritmų tema plačiai naudojama biologijoje. Apie biologines formas, atitinkančias logaritmines spirales, būtų galima parašyti ištisus tomus.

Kitos sritys

Atrodo, kad pasaulio egzistavimas neįmanomas be ryšio su šia funkcija, ir jis valdo visus dėsnius. Ypač kai gamtos dėsniai siejami su geometrine progresija. Verta užsukti į „MatProfi“ svetainę ir yra daug tokių pavyzdžių šiose veiklos srityse:

Sąrašas gali būti begalinis. Įvaldę pagrindinius šios funkcijos principus, galite pasinerti į begalinės išminties pasaulį.

Pažvelkime į logaritminių lygčių pavyzdžius.

1 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Norėdami tai išspręsti, naudojame stiprinimo metodą. Nelygybės >0 ir >0 nulems priimtinų lygties verčių diapazoną. Nelygybė >0 galioja bet kurioms x reikšmėms, nes 5x>0 tik teigiamoms x reikšmėms. Tai reiškia, kad ODZ lygtis yra skaičių rinkinys nuo nulio iki plius begalybės. Lygtis yra lygi kvadratinei lygčiai. Šios lygties šaknys yra skaičiai 2 ir 3, nes šių skaičių sandauga lygi 6, o šių skaičių suma lygi 5 – priešinga koeficiento b reikšmė? Abu šie skaičiai yra intervale, o tai reiškia, kad jie yra šios lygties šaknys. Atkreipkite dėmesį, kad mes lengvai išsprendėme šią lygtį.

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį

(išreiškimo dešimt x atėmus devynis iki pagrindinio trijų logaritmas yra lygus logaritmui x iki bazinio trečdalio)

Ši lygtis nuo ankstesnės skiriasi tuo, kad logaritmai turi skirtingus pagrindus. Ir čia jau nebegalima naudoti nagrinėjamo lygties sprendimo metodo, nors galite rasti priimtinų reikšmių diapazoną ir pabandyti išspręsti lygtį naudodami funkcinį grafinį metodą. Nelygybės >0 ir x>0 nustato lygties leistinų verčių diapazoną, o tai reiškia. Pažvelkime į grafinę šios lygties iliustraciją. Norėdami tai padaryti, sukurkime funkcijos ir taškinį grafiką. Galime tik pasakyti, kad ši lygtis turi vieną šaknį, ji yra teigiama ir yra intervale nuo 1 iki 2. Tikslios šaknies reikšmės pateikti neįmanoma.

Žinoma, ši lygtis nėra vienintelė, kurioje yra logaritmai su skirtingais pagrindais. Tokias lygtis galima išspręsti tik pereinant prie naujos logaritmų bazės. Su skirtingų bazių logaritmais susijusiais sunkumais galima susidurti ir atliekant kitų tipų užduotis. Pavyzdžiui, lyginant skaičius ir.

Padėjėjas sprendžiant tokias problemas yra teorema

Teorema: Jei a,b,c yra teigiami skaičiai, o a ir c skiriasi nuo 1, tada galioja lygybė

Ši formulė vadinama perkėlimo į naują bazę formule)

Taigi, nuo ir daugiau. Kadangi pagal perkėlimo į naują bazę formulę lygūs ir lygūs

Įrodykime teoremą apie perėjimą prie naujos logaritmo bazės.

Norėdami tai įrodyti, įvedame žymą = m, =n, =k(skaičiaus BE logaritmas bazei a lygus em, skaičiaus BE logaritmas bazei CE lygus en, skaičiaus a logaritmas bazei CE lygus ka Tada, by logaritmo apibrėžimas: skaičius b yra a laipsnio m, skaičius b yra c laipsnio n, skaičius a yra c laipsnio k. Taigi, pakeiskime jo reikšmę į laipsnį keliant laipsniu, laipsnių laipsniai padauginami, gauname, kad =, bet todėl =, jei laipsnio bazės yra lygios, tai duoto laipsnio rodikliai yra lygūs =. Taigi = grįžkime prie atvirkštinio pakeitimo: (skaičiaus BE logaritmas su pagrindu a yra lygus skaičiaus BE logaritmo santykiui su baze CE ir skaičiaus a logaritmu su baze CE)

Panagrinėkime dvi šios teoremos pasekmes.

Pirmoji pasekmė. Šioje teoremoje norime pereiti į bazę b. Tada

(skaičiaus BE logaritmas iki pagrindo BE, padalytas iš skaičiaus a logaritmo pagal bazę BE)

yra lygus vienetui, tada jis lygus

Tai reiškia, kad jei a ir b yra teigiami skaičiai ir skiriasi nuo 1, tada lygybė yra teisinga

Išvada 2. Jei a ir b yra teigiami skaičiai, ir A skaičius nelygus vienetui, tada bet koks skaičius m, nelygu nuliui, lygybė yra teisinga

logaritmas b remiantis A lygus logaritmui b iki laipsnio m remiantis a iki laipsnio m.

Įrodykime šią lygybę iš dešinės į kairę. Pereikime nuo išraiškos (skaičiaus logaritmas yra laipsniu em iki bazės a iki laipsnio em) prie logaritmo su baze A. Pagal logaritmo savybę sublogaritminės išraiškos eksponentas gali būti perkeltas į priekį - prieš logaritmą. =1. Sulauksime. (skaitiklio em trupmena, padauginta iš skaičiaus logaritmo, turi būti iki pagrindo, o vardiklyje em) Skaičius m nėra lygus nuliui pagal sąlygą, o tai reiškia, kad gautą trupmeną galima sumažinti m. Sulauksime. Q.E.D.

Tai reiškia, kad norint pereiti prie naujos logaritmo bazės, naudojamos trys formulės

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį

(išraiškos dešimt x atėmus devynis iki pagrindinio trijų logaritmas yra lygus logaritmui x iki bazinio trečdalio)

Šios lygties priimtinų verčių diapazoną radome anksčiau. Perkelkime 3 į naują bazę. Norėdami tai padaryti, įrašykite jį kaip trupmeną. Skaitiklis bus logaritmas nuo x iki pagrindinės trys, vardiklis bus logaritmas nuo vieno trečdalio iki trijų. yra lygus minus vienam, tada dešinioji lygties pusė bus lygi minusui

Perkelkime jį į kairę lygties pusę ir parašykime taip: Pagal savybę logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o tai reiškia (išreiškimo logaritmas dešimt x atėmus devynis iki pagrindo trys plius logaritmas iš x iki trijų) gali būti parašytas kaip (logaritmas iš sandauga dešimt x atėmus devynis ir x iki trijų) Padauginkime ir gaukime lygties dalis

ir dešinėje pusėje rašysime nulį kaip, nes trys iki nulio laipsniai yra vienas.

Naudodami potenciavimo metodą gauname kvadratinę lygtį =0. Pagal koeficientų a+b+c=0 savybę lygties šaknys lygios 1 ir 0,1.

Tačiau apibrėžimo srityje yra tik viena šaknis. Tai numeris vienas.

3 pavyzdys. Apskaičiuokite. (trys iki keturių kartų logaritmo iš dviejų laipsnio iki pagrindinio trijų plius dviejų šaknies logaritmas iki pagrindo penkių kartų logaritmo iš dvidešimt penkių iki pagrindinio keturių)

Pirmiausia pažvelkime į trijų galią. Jei laipsniai padauginami, tada atliekamas laipsnio pakėlimo į laipsnį veiksmas, todėl trijų laipsnį galima užrašyti kaip tris į keturių laipsnį. Logaritmai sandaugoje su skirtingomis bazėmis patogiau sumažinti logaritmą su keturiais pagrindais į bazę, susietą su penkiomis. Todėl pakeiskime jį identiška išraiška. Pagal persikėlimo į naują bazę formulę.

Pagal pagrindinę logaritminę tapatybę (ir pagal laipsnį, be skaičiaus logaritmas iki pagrindo a yra lygus be skaičiui)

vietoj to gauname Išreiškime pasirenkame bazės kvadratą ir poblogaritminę išraišką. Sulauksime. Pagal perėjimo prie naujos bazės formulę rašoma sprendinio dešinėje, gauname vietoj tik. Kvadratinę šaknį iš dviejų įrašome kaip du iki pusės laipsnio ir pagal logaritmo savybę dedame eksponentą prieš logaritmą. Supraskime išraišką. Taigi, apskaičiuota išraiška įgis tokią formą...

Be to, tai yra 16, o sandauga yra lygi vienetui, o tai reiškia, kad išraiškos reikšmė yra 16,5.

4 pavyzdys. Apskaičiuokite, jei log2= a,log3= b

Norėdami apskaičiuoti, naudosime logaritmo savybes ir perėjimo prie naujos bazės formules.

Įsivaizduokime 18 kaip šešių ir trijų sandaugą. Produkto logaritmas yra lygus logaritmų koeficientų sumai, tai yra, kur lygus 1. Kadangi žinome dešimtainius logaritmus, pereiname nuo logaritmo su baze 6 prie dešimtainio logaritmo ir gauname trupmeną skaitiklis (dešimtainis trijų skaičių logaritmas) ir vardiklis (šešių dešimtainis logaritmas). Tokiu atveju jau galite jį pakeisti b. Padalinkime šešis koeficientus iš dviejų ir trijų. Gautą sandaugą įrašome kaip logaritmų sumą lg2 ir lg 3. Pakeiskite juos atitinkamai a ir b. Išraiška bus tokia: . Jei ši išraiška paverčiama trupmena sumažinant iki bendro vardiklio, atsakymas bus toks

Norėdami sėkmingai atlikti užduotis, susijusias su perėjimu prie naujos logaritmų bazės, turite žinoti perėjimo prie naujos logaritmų bazės formules

1. , kur a,b,c yra teigiami skaičiai, a, c
2. , kur a, b yra teigiami skaičiai, a, b
3. , kur a, b yra teigiami skaičiai a, m

Teigiamo skaičiaus b logaritmas bazei a (a>0, a nelygus 1) yra toks skaičius c, kad a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Atkreipkite dėmesį, kad neteigiamojo skaičiaus logaritmas yra neapibrėžtas. Be to, logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, kuris nėra lygus 1. Pavyzdžiui, jei kvadratu -2 gauname skaičių 4, tačiau tai nereiškia, kad 4 bazinis -2 logaritmas yra lygus iki 2.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Svarbu, kad šios formulės dešinės ir kairės pusės apibrėžimo apimtis būtų skirtinga. Kairioji pusė apibrėžiama tik b>0, a>0 ir a ≠ 1. Dešinė pusė apibrėžiama bet kuriam b ir visiškai nepriklauso nuo a. Taigi pagrindinio logaritminio „tapatumo“ taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes gali lemti OD pasikeitimą.

Dvi akivaizdžios logaritmo apibrėžimo pasekmės

Išties, keldami skaičių a iki pirmo laipsnio, gauname tą patį skaičių, o pakeldami iki nulinio laipsnio – vienetą.

Produkto logaritmas ir koeficiento logaritmas

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Norėčiau perspėti moksleivius, kad sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes neapgalvotai nenaudotų šių formulių. Naudojant juos „iš kairės į dešinę“, ODZ susiaurėja, o pereinant nuo logaritmų sumos ar skirtumo prie sandaugos ar koeficiento logaritmo, ODZ plečiasi.

Iš tiesų, išraiška log a (f (x) g (x)) apibrėžiama dviem atvejais: kai abi funkcijos yra griežtai teigiamos arba kai f (x) ir g (x) yra mažesnės už nulį.

Pavertę šią išraišką į sumą log a f (x) + log a g (x), esame priversti apsiriboti tik tuo atveju, kai f(x)>0 ir g(x)>0. Priimtinų verčių diapazonas susiaurėja, o tai kategoriškai nepriimtina, nes gali būti prarasti sprendimai. Panaši problema yra su (6) formule.

Laipsnį galima paimti iš logaritmo ženklo

Ir dar kartą norėčiau paraginti būti atsargiems. Apsvarstykite šį pavyzdį:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Kairioji lygybės pusė akivaizdžiai apibrėžta visoms f(x) reikšmėms, išskyrus nulį. Dešinė pusė skirta tik f(x)>0! Išimdami laipsnį iš logaritmo, vėl susiauriname ODZ. Atvirkštinė procedūra leidžia išplėsti priimtinų verčių diapazoną. Visos šios pastabos galioja ne tik 2 galiai, bet ir bet kuriai lygiai galiai.

Perėjimo prie naujo pagrindo formulė

Tas retas atvejis, kai transformacijos metu ODZ nesikeičia. Jei bazę c pasirinkote išmintingai (teigiama ir nelygu 1), perkėlimo į naują bazę formulė yra visiškai saugi.

Jei pasirinksime skaičių b kaip naują bazę c, gausime svarbų specialų (8) formulės atvejį:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Keletas paprastų logaritmų pavyzdžių

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite: log2 + log50.
Sprendimas. log2 + log50 = log100 = 2. Naudojome logaritmų sumos formulę (5) ir dešimtainio logaritmo apibrėžimą.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite: lg125/lg5.
Sprendimas. log125/log5 = log 5 125 = 3. Naudojome perėjimo į naują bazę formulę (8).

Su logaritmais susijusių formulių lentelė