Apibrėžimas. Prizmė yra daugiakampis, kurio visos viršūnės yra dviejose lygiagrečiose plokštumose ir tose pačiose dviejose plokštumose yra du prizmės paviršiai, kurie yra lygūs daugiakampiai su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis, o visos briaunos, kurios nėra šiose plokštumose, yra lygiagrečios.

Vadinami du vienodi veidai prizmių pagrindai(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Visi kiti prizmės veidai vadinami šoniniai veidai(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Susidaro visi šoniniai veidai šoninis prizmės paviršius .

Visi prizmės šoniniai paviršiai yra lygiagretainiai .

Kraštai, kurie nėra prie pagrindo, vadinami šoniniais prizmės kraštais ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmės įstrižainė yra atkarpa, kurios galai yra dvi prizmės viršūnės, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (AD 1).

Atkarpos, jungiančios prizmės pagrindus ir statmenos abiem pagrindams vienu metu, ilgis vadinamas prizmės aukštis .

Pavadinimas:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pirmiausia, perėjimo tvarka nurodomos vieno pagrindo viršūnės, o paskui ta pačia tvarka – kito; kiekvieno šoninio krašto galai žymimi tomis pačiomis raidėmis, tik viršūnės yra viename pagrinde yra žymimi raidėmis be rodyklės, o kitoje - su indeksu)

Prizmės pavadinimas siejamas su kampų skaičiumi figūroje, gulinčioje jos pagrindu, pavyzdžiui, 1 paveiksle prie pagrindo yra penkiakampis, todėl prizmė vadinama penkiakampė prizmė. Bet todėl tokia prizmė turi 7 veidus, tada ji septynetas(2 paviršiai - prizmės pagrindai, 5 paviršiai - lygiagretainiai, - jos šoniniai paviršiai)

Tarp tiesių prizmių išsiskiria tam tikras tipas: įprastos prizmės.

Tiesi prizmė vadinama teisinga, jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Lygiagretaus vamzdžio

Stačiakampis gretasienis- stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis.

Savybės ir teoremos:

,

čia d yra kvadrato įstrižainė;
a yra kvadrato kraštinė.

Prizmės idėją pateikia:

• įvairios architektūrinės konstrukcijos;
• Vaikiški žaislai;
• pakavimo dėžės;
• dizainerių dirbiniai ir kt.

Prizmės viso ir šoninio paviršiaus plotas

S pilnas = S pusė + 2S pagrindinis,

Kur S pilnas- bendras paviršiaus plotas, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S bazė- bazinis plotas

Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.

S pusė= P pagrindinis * h,

Kur S pusė- tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas,

P pagrindinis - tiesios prizmės pagrindo perimetras,

h – tiesios prizmės aukštis, lygus šoniniam kraštui.

Prizmės tūris

Prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Prizmė. Lygiagretaus vamzdžio

Prizmė yra daugiakampis, kurio du paviršiai yra lygūs n kampams (bazės) , esantis lygiagrečiose plokštumose, o likę n paviršiai yra lygiagretainiai (šoniniai veidai) . Šoninis šonkaulis Prizmės pusė, kuri nepriklauso pagrindui, vadinama prizmės puse.

Vadinama prizmė, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms tiesioginis prizmė (1 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindų plokštumoms, vadinasi prizmė linkęs . Teisingai Prizmė yra stačioji prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Aukštis prizmė – atstumas tarp pagrindų plokštumų. Įstrižainė Prizmė yra atkarpa, jungianti dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam paviršiui. Įstrižainė pjūvis vadinama prizmės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui. Statmenas pjūvis vadinamas prizmės pjūviu plokštuma, statmena prizmės šoniniam kraštui.

Šoninio paviršiaus plotas prizmės yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų prizmės paviršių plotų suma (t.y. šoninių paviršių ir pagrindų plotų suma).

Savavališkai prizmei yra teisingos šios formulės::

Kur l– šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis;

P

K

S pusė

S pilnas

S bazė– pagrindų plotas;

V– prizmės tūris.

Tiesiai prizmei tinka šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

l– šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis.

gretasienis vadinama prizme, kurios pagrindas yra lygiagretainis. Vadinamas gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindams tiesioginis (2 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindams, vadinasi gretasienis linkęs . Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampis. Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas

Vadinami gretasienio paviršiai, neturintys bendrų viršūnių priešinga . Vadinami briaunų ilgiai, išeinantys iš vienos viršūnės matavimai gretasienis. Kadangi gretasienis yra prizmė, pagrindiniai jos elementai apibrėžiami taip pat, kaip ir prizmės.

Teoremos.

1. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir juo dalijamos pusiau.

2. Stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trijų jo matmenų kvadratų sumai:

3. Visos keturios stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios viena kitai.

Savavališkam gretasieniui galioja šios formulės:

Kur l– šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis;

P– statmenos pjūvio perimetras;

K– Statmens skerspjūvio plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S bazė– pagrindų plotas;

V– prizmės tūris.

Dešiniajam gretasieniui tinka šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

l– šoninio šonkaulio ilgis;

H– dešiniojo gretasienio aukštis.

Stačiakampio gretasienio atveju teisingos šios formulės:

(3)

Kur p– bazinis perimetras;

H- aukštis;

d– įstrižainė;

a,b,c– gretasienio išmatavimai.

Šios formulės yra teisingos kubui:

Kur a– šonkaulių ilgis;

d- kubo įstrižainė.

1 pavyzdys. Stačiakampio gretasienio įstrižainė yra 33 dm, o jo matmenys yra santykiu 2: 6: 9. Raskite gretasienio matmenis.

Sprendimas. Norėdami rasti gretasienio matmenis, naudojame formulę (3), t.y. tuo, kad stačiakampio kampo kvadratas yra lygus jo matmenų kvadratų sumai. Pažymėkime pagal k proporcingumo koeficientas. Tada gretasienio matmenys bus lygūs 2 k, 6k ir 9 k. Parašykime problemos duomenų formulę (3):

Sprendžiant šią lygtį k, gauname:

Tai reiškia, kad gretasienio matmenys yra 6 dm, 18 dm ir 27 dm.

Atsakymas: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2 pavyzdys. Raskite pasvirusios trikampės prizmės, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 8 cm, tūrį, jei šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei ir pasvirusi 60º kampu į pagrindą.

Sprendimas . Padarykime piešinį (3 pav.).

Norėdami rasti pasvirusios prizmės tūrį, turite žinoti jos pagrindo ir aukščio plotą. Šios prizmės pagrindo plotas yra lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 8 cm, plotas.

Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų. Iš viršaus A 1 viršutinio pagrindo, nuleiskite statmeną apatinio pagrindo plokštumai A 1 D. Jo ilgis bus prizmės aukštis. Apsvarstykite D A 1 AD: kadangi tai yra šoninio krašto pasvirimo kampas A 1 Aį bazinę plokštumą, A 1 A= 8 cm Iš šio trikampio randame A 1 D:

Dabar apskaičiuojame tūrį pagal formulę (1):

Atsakymas: 192 cm3.

3 pavyzdys. Taisyklingos šešiakampės prizmės šoninis kraštas yra 14 cm. Didžiausios įstrižainės pjūvio plotas yra 168 cm 2. Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (4 pav.)

Didžiausia įstrižainė dalis yra stačiakampis A.A. 1 DD 1 nuo įstrižainės AD taisyklingas šešiakampis ABCDEF yra didžiausias. Norint apskaičiuoti prizmės šoninio paviršiaus plotą, būtina žinoti pagrindo kraštą ir šoninio krašto ilgį.

Žinodami įstrižainės pjūvio (stačiakampio) plotą, randame pagrindo įstrižainę.

Nuo tada

Nuo tada AB= 6 cm.

Tada pagrindo perimetras yra:

Raskime prizmės šoninio paviršiaus plotą:

Taisyklingo šešiakampio, kurio kraštinė yra 6 cm, plotas yra:

Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Dešiniojo gretasienio pagrindas yra rombas. Įstrižainės skerspjūvio plotai yra 300 cm2 ir 875 cm2. Raskite gretasienio šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.).

Pažymėkime rombo kraštą A, rombo įstrižainės d 1 ir d 2, gretasienio aukštis h. Norint rasti dešiniojo gretasienio šoninio paviršiaus plotą, pagrindo perimetrą reikia padauginti iš aukščio: (2 formulė). Bazinis perimetras p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, nes ABCD- rombas H = AA 1 = h. Tai. Reikia surasti A Ir h.

Panagrinėkime įstrižaines dalis. AA 1 SS 1 – stačiakampis, kurio viena kraštinė yra rombo įstrižainė AC = d 1, antrasis – šoninis kraštas AA 1 = h, Tada

Panašiai ir skyrelyje BB 1 DD 1 gauname:

Naudodami lygiagretainio savybę, kad įstrižainių kvadratų suma būtų lygi visų jo kraštinių kvadratų sumai, gauname lygybę Gauname taip.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Skirtingos prizmės skiriasi viena nuo kitos. Tuo pačiu metu jie turi daug bendro. Norėdami rasti prizmės pagrindo plotą, turėsite suprasti, kokio tipo ji yra.

Bendroji teorija

Prizmė yra bet koks daugiakampis, kurio kraštinės yra lygiagretainio formos. Be to, jo pagrindas gali būti bet koks daugiakampis - nuo trikampio iki n kampo. Be to, prizmės pagrindai visada yra lygūs vienas kitam. Šoniniams paviršiams netinka tai, kad jų dydis gali labai skirtis.

Sprendžiant problemas susiduriama ne tik su prizmės pagrindo plotu. Tam gali prireikti žinių apie šoninį paviršių, tai yra, visus veidus, kurie nėra pagrindai. Visas paviršius bus visų prizmę sudarančių veidų sąjunga.

Kartais problemos yra susijusios su ūgiu. Jis yra statmenas pagrindams. Daugiakampio įstrižainė yra atkarpa, jungianti poromis bet kurias dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Reikėtų pažymėti, kad tiesios arba pasvirusios prizmės pagrindo plotas nepriklauso nuo kampo tarp jų ir šoninių paviršių. Jei jų viršuje ir apačioje yra vienodos figūros, tada jų plotai bus vienodi.

Trikampė prizmė

Jo pagrinde yra figūra su trimis viršūnėmis, tai yra, trikampis. Kaip žinote, gali būti kitaip. Jei taip, pakanka prisiminti, kad jo plotą lemia pusė kojų sandaugos.

Matematinis žymėjimas atrodo taip: S = ½ vid.

Norint sužinoti pagrindo plotą apskritai, naudingos formulės: garnys ir ta, kurioje pusę šono paima į jį nubrėžtas aukštis.

Pirmąją formulę reikia parašyti taip: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Šiame žymėjime yra pusiau perimetras (p), ty trijų kraštinių suma, padalyta iš dviejų.

Antra: S = ½ n a * a.

Jei norite sužinoti trikampės prizmės pagrindo plotą, kuris yra taisyklingas, tada trikampis pasirodo lygiakraštis. Tam yra formulė: S = ¼ a 2 * √3.

Keturkampė prizmė

Jo pagrindas yra bet kuris iš žinomų keturkampių. Tai gali būti stačiakampis arba kvadratas, gretasienis arba rombas. Kiekvienu atveju, norint apskaičiuoti prizmės pagrindo plotą, jums reikės savo formulės.

Jei pagrindas yra stačiakampis, tai jo plotas nustatomas taip: S = ab, kur a, b yra stačiakampio kraštinės.

Kalbant apie keturkampę prizmę, taisyklingos prizmės pagrindo plotas apskaičiuojamas naudojant kvadrato formulę. Nes būtent jis guli prie pamatų. S = a 2.

Tuo atveju, kai pagrindas yra gretasienis, reikės tokios lygybės: S = a * n a. Pasitaiko, kad duota gretasienio kraštinė ir vienas iš kampų. Tada, norėdami apskaičiuoti aukštį, turėsite naudoti papildomą formulę: n a = b * sin A. Be to, kampas A yra greta „b“ kraštinės, o aukštis n yra priešingas šiam kampui.

Jei prizmės pagrinde yra rombas, tada jo plotui nustatyti reikės tos pačios formulės kaip ir lygiagretainiam (nes tai ypatingas atvejis). Bet galite naudoti ir tai: S = ½ d 1 d 2. Čia d 1 ir d 2 yra dvi rombo įstrižainės.

Taisyklinga penkiakampė prizmė

Šiuo atveju daugiakampis yra padalintas į trikampius, kurių plotus lengviau sužinoti. Nors pasitaiko, kad figūros gali turėti skirtingą viršūnių skaičių.

Kadangi prizmės pagrindas yra taisyklingas penkiakampis, ją galima padalyti į penkis lygiakraščius trikampius. Tada prizmės pagrindo plotas lygus vieno tokio trikampio plotui (formulę galima pamatyti aukščiau), padaugintam iš penkių.

Taisyklinga šešiakampė prizmė

Taikant penkiakampei prizmei aprašytą principą, pagrindo šešiakampį galima padalyti į 6 lygiakraščius trikampius. Tokios prizmės pagrindo ploto formulė yra panaši į ankstesnę. Tik ją reikėtų padauginti iš šešių.

Formulė atrodys taip: S = 3/2 a 2 * √3.

Užduotys

Nr. 1. Duota taisyklinga tiesė, jos įstrižainė yra 22 cm, daugiakampio aukštis yra 14 cm Apskaičiuokite prizmės pagrindo ir viso paviršiaus plotą.

Sprendimas. Prizmės pagrindas yra kvadratas, bet jo kraštinė nežinoma. Jo reikšmę galite rasti iš kvadrato įstrižainės (x), kuri yra susijusi su prizmės įstriža (d) ir jos aukščiu (h). x 2 = d 2 – n 2. Kita vertus, ši atkarpa „x“ yra trikampio, kurio kojos yra lygios kvadrato kraštinei, hipotenuzė. Tai yra, x 2 = a 2 + a 2. Taigi išeina, kad a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Vietoj d pakeiskite skaičių 22 ir pakeiskite „n“ jo reikšme - 14, paaiškėja, kad kvadrato kraštinė yra 12 cm Dabar tiesiog sužinokite pagrindo plotą: 12 * 12 = 144 cm 2.

Norėdami sužinoti viso paviršiaus plotą, turite pridėti du kartus pagrindinį plotą ir keturis kartus padidinti šoninį plotą. Pastarąjį nesunkiai galima rasti naudojant stačiakampio formulę: padauginkite daugiakampio aukštį ir pagrindo kraštinę. Tai yra, 14 ir 12, šis skaičius bus lygus 168 cm 2. Pasirodo, kad bendras prizmės paviršiaus plotas yra 960 cm2.

Atsakymas. Prizmės pagrindo plotas yra 144 cm2. Visas paviršius yra 960 cm2.

Nr. 2. Duota Prie pagrindo yra trikampis, kurio kraštinė yra 6 cm. Šiuo atveju šoninio paviršiaus įstrižainė yra 10 cm.

Sprendimas. Kadangi prizmė yra taisyklinga, jos pagrindas yra lygiakraštis trikampis. Todėl jo plotas yra lygus 6 kvadratui, padaugintam iš ¼ ir kvadratinės šaknies iš 3. Paprastas skaičiavimas leidžia gauti rezultatą: 9√3 cm 2. Tai yra vieno prizmės pagrindo plotas.

Visi šoniniai paviršiai yra vienodi ir yra stačiakampiai, kurių kraštinės yra 6 ir 10 cm. Norėdami apskaičiuoti jų plotus, tiesiog padauginkite šiuos skaičius. Tada padauginkite juos iš trijų, nes prizmė turi lygiai tiek šoninių paviršių. Tada žaizdos šoninio paviršiaus plotas yra 180 cm 2.

Atsakymas. Plotas: pagrindas - 9√3 cm 2, šoninis prizmės paviršius - 180 cm 2.