Funkcijos sritis, apribota linijomis. Kaip apskaičiuoti plokštumos figūros plotą naudojant dvigubą integralą

Pradedame svarstyti tikrąjį dvigubo integralo skaičiavimo procesą ir susipažįstame su jo geometrine reikšme.

Dvigubas integralas yra skaičiais lygus plokštumos figūros plotui (integravimo sričiai). Tai paprasčiausia dvigubo integralo forma, kai dviejų kintamųjų funkcija lygi vienetui: .

Pirmiausia pažvelkime į problemą bendrai. Dabar būsite labai nustebinti, kaip viskas paprasta! Apskaičiuokime plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą. Tikslumo dėlei darome prielaidą, kad segmente . Šios figūros plotas yra lygus:

Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirinkime pirmąjį būdą pereiti teritoriją:

Taigi:

Ir iš karto svarbus techninis triukas: pasikartojančius integralus galima skaičiuoti atskirai. Pirmiausia vidinis integralas, tada išorinis integralas. Labai rekomenduoju šį metodą pradedantiesiems šioje srityje.

1) Apskaičiuokime vidinį integralą, o integravimas atliekamas per kintamąjį „y“:

Neapibrėžtas integralas čia yra paprasčiausias, o tada naudojama banali Niutono-Leibnizo formulė, tik tas skirtumas, kad integracijos ribos yra ne skaičiai, o funkcijos. Pirmiausia viršutinę ribą pakeitėme į "y" (antiderivatinė funkcija), tada apatinę ribą

2) Pirmoje pastraipoje gautas rezultatas turi būti pakeistas išoriniu integralu:

Kompaktiškesnis viso sprendimo vaizdas atrodo taip:

Gauta formulė yra būtent darbinė formulė plokštumos figūros plotui apskaičiuoti naudojant „įprastą“ apibrėžtąjį integralą! Žiūrėkite pamoką Ploto skaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą, jis yra kiekviename žingsnyje!

Tai yra, ploto apskaičiavimo naudojant dvigubą integralą problema nelabai skiriasi nuo srities suradimo naudojant apibrėžtąjį integralą problemos!

Tiesą sakant, tai tas pats!

Atitinkamai, jokių sunkumų neturėtų kilti! Aš nenagrinėsiu labai daug pavyzdžių, nes iš tikrųjų jūs ne kartą susidūrėte su šia užduotimi.

9 pavyzdys

Sprendimas: pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirenkame tokią zonos perėjimo tvarką:

Čia ir toliau nesigilinsiu į tai, kaip pereiti teritoriją, nes pirmoje pastraipoje buvo pateikti labai išsamūs paaiškinimai.

Kaip jau pastebėjau, pradedantiesiems geriau skaičiuoti iteruotus integralus atskirai, ir aš laikysiuosi to paties metodo:

1) Pirma, naudodamiesi Niutono-Leibnizo formule, sprendžiame vidinį integralą:

2) Pirmame žingsnyje gautas rezultatas pakeičiamas išoriniu integralu:

2 taškas iš tikrųjų yra plokštumos figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą.

Atsakymas:

Tai tokia kvaila ir naivi užduotis.

Įdomus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

10 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos figūros, apribotos tiesėmis , , plotą.

Apytikslis galutinio sprendimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

9-10 pavyzdžiuose daug pelningiau naudoti pirmąjį ploto įveikimo būdą smalsūs skaitytojai, beje, gali pakeisti važiavimo tvarką ir apskaičiuoti plotus naudodami antrąjį metodą. Jei neklysite, natūralu, kad gausite tas pačias ploto vertes.

Tačiau kai kuriais atvejais veiksmingesnis yra antrasis būdas pervažiuoti teritoriją, todėl jauno vėpla kurso pabaigoje pažvelkime į dar kelis pavyzdžius šia tema:

11 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą,

Sprendimas: laukiame dviejų parabolių su keistenybe, kurios guli ant šonų. Nereikia šypsotis, panašiai dažnai pasitaiko keliuose integraluose.

Koks yra lengviausias būdas padaryti piešinį?

Įsivaizduokime parabolę dviejų funkcijų pavidalu:
– viršutinė šaka ir – apatinė šaka.

Panašiai įsivaizduokite parabolę viršutinės ir apatinės formos šakos.

Kitas, taškinis grafikų taisyklių braižymas, dėl kurio gaunama tokia keista figūra:

Figūros plotą apskaičiuojame naudodami dvigubą integralą pagal formulę:

Kas atsitiks, jei pasirinksime pirmąjį būdą pereiti teritoriją? Pirma, ši sritis turės būti padalinta į dvi dalis. Ir, antra, stebėsime šį liūdną vaizdą: . Integralai, žinoma, nėra itin sudėtingo lygio, bet... yra senas matematinis posakis: tiems, kurie yra arti savo šaknų, testo nereikia.

Todėl iš sąlygoje pateikto nesusipratimo išreiškiame atvirkštines funkcijas:

Atvirkštinės funkcijos šiame pavyzdyje turi pranašumą, nes jos nurodo visą parabolę vienu metu be jokių lapų, gilių, šakų ir šaknų.

Pagal antrąjį metodą ploto perėjimas bus toks:

Čia ir toliau nesigilinsiu į tai, kaip pereiti teritoriją, nes pirmoje pastraipoje buvo pateikti labai išsamūs paaiškinimai.

Kaip sakoma, pajuskite skirtumą.

1) Mes susiduriame su vidiniu integralu:

Mes pakeičiame rezultatą į išorinį integralą:

Integravimas per kintamąjį „y“ neturėtų būti klaidinantis, jei būtų raidė „zy“, būtų puiku integruoti per ją. Nors kiekvienas, perskaitęs antrąją pamokos „Kaip apskaičiuoti sukimosi kūno tūrį“ pastraipą, nebejaučia nė menkiausio nepatogumo integruojant „Y“ metodu.

Taip pat atkreipkite dėmesį į pirmąjį žingsnį: integrandas yra lyginis, o integravimo intervalas yra simetriškas nuliui. Todėl segmentą galima sumažinti perpus, o rezultatą padvigubinti. Ši technika išsamiai komentuojama pamokoje Veiksmingi apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodai.

Ką pridėti... Viskas!

Atsakymas:

Norėdami patikrinti savo integravimo techniką, galite pabandyti apskaičiuoti . Atsakymas turėtų būti lygiai toks pat.

12 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Įdomu pastebėti, kad jei bandysite naudoti pirmąjį ploto įveikimo būdą, figūrą nebereikės dalyti į dvi, o į tris dalis! Ir atitinkamai gauname tris pasikartojančių integralų poras. Taip pat atsitinka.

Meistriškumo klasė baigėsi ir laikas pereiti į didmeistrio lygį - Kaip apskaičiuoti dvigubą integralą? Sprendimų pavyzdžiai. Antrame straipsnyje pasistengsiu nebūti tokia maniakiška =)

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas: Pavaizduokime sritį ant piešinio:

Pasirenkame tokią zonos perėjimo tvarką:

Taigi:
Pereikime prie atvirkštinių funkcijų:


Taigi:
Atsakymas:

4 pavyzdys:Sprendimas: Pereikime prie tiesioginių funkcijų:


Padarykime piešinį:

Pakeiskime teritorijos važiavimo tvarką:

Atsakymas:

Integralo taikymas taikomųjų uždavinių sprendimui

Ploto skaičiavimas

Ištisinės neneigiamos funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus kreivinės trapecijos plotui, kurį riboja kreivė y = f(x), O x ašis ir tiesės x = a ir x = b. Atsižvelgiant į tai, ploto formulė parašyta taip:

Pažvelkime į keletą plokštumos figūrų plotų skaičiavimo pavyzdžių.

Užduotis Nr.1. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Sprendimas. Sukonstruokime figūrą, kurios plotą turėsime apskaičiuoti.

y = x 2 + 1 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi aukštyn vienu vienetu (1 pav.).

1 pav. Funkcijos y = x 2 + 1 grafikas

Užduotis Nr. 2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 – 1, y = 0 intervale nuo 0 iki 1.

Sprendimas.Šios funkcijos grafikas yra šakų, nukreiptų į viršų, parabolė, o parabolė O y ašies atžvilgiu paslinkta žemyn vienu vienetu (2 pav.).

2 pav. Funkcijos y = x 2 – 1 grafikas

Užduotis Nr. 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4.

Sprendimas. Pirmoji iš šių dviejų tiesių yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas, o antroji linija yra tiesė, kertanti abi koordinačių ašis.

Parabolei sukonstruoti randame jos viršūnės koordinates: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – viršūnės abscisė; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 yra jo ordinatė, N(1;9) yra jo viršūnė.

Dabar išspręsdami lygčių sistemą suraskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus:

Lygties, kurios kairiosios pusės yra lygios, dešiniųjų kraštinių prilyginimas.

Gauname 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 arba x 2 – 12 = 0, iš kur .

Taigi taškai yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškai (1 pav.).

3 pav. Funkcijų y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4 grafikai

Sukonstruokime tiesę y = 2x – 4. Ji eina per taškus (0;-4), (2;0) koordinačių ašyse.

Norėdami sukurti parabolę, taip pat galite naudoti jos susikirtimo taškus su 0x ašimi, ty lygties šaknis 8 + 2x – x 2 = 0 arba x 2 – 2x – 8 = 0. Naudojant Vietos teoremą, tai paprasta rasti jo šaknis: x 1 = 2, x 2 = 4.

3 paveiksle parodyta figūra (parabolinė atkarpa M 1 N M 2), kurią riboja šios linijos.

Antroji problemos dalis – rasti šios figūros plotą. Jo plotą galima rasti naudojant apibrėžtąjį integralą pagal formulę .

Atsižvelgiant į šią sąlygą, gauname integralą:

2 Sukimosi kūno tūrio apskaičiavimas

Kūno tūris, gautas sukant kreivę y = f(x) aplink O x ašį, apskaičiuojamas pagal formulę:

Sukant aplink O y ašį formulė atrodo taip:

4 užduotis. Nustatykite kūno tūrį, gautą sukant lenktą trapeciją, kurią riboja tiesės x = 0 x = 3 ir kreivė y = aplink O x ašį.

Sprendimas. Nupieškime piešinį (4 pav.).

4 pav. Funkcijos y = grafikas

Reikalingas tūris yra

Užduotis Nr.5. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant lenktą trapeciją, kurią riboja kreivė y = x 2 ir tiesės y = 0 ir y = 4 aplink O y ašį.

Sprendimas. Turime:

Peržiūrėkite klausimus

A)

Sprendimas.

Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas yra piešimas.

Padarykime piešinį:

Lygtis y=0 nustato „x“ ašį;

- x=-2 Ir x=1- tiesus, lygiagretus ašiai Oi;

- y = x 2 + 2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).

komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi Oi ir išspręsdami atitinkamą kvadratinę lygtį, raskite sankirtą su ašimi Oi .

Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules:

Taip pat galite kurti linijas taškas po taško.

Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esantis virš ašies Jautis, Štai kodėl:

Atsakymas: S=9 kv.vnt

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

Ką daryti, jei po ašimi yra išlenkta trapecija O?

b) Apskaičiuokite figūros, kurią riboja linijos, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas.

Padarykime piešinį.

Jei lenkta trapecija yra visiškai po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:

Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv.vnt

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusiau plokštumoje.

c) Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x-x 2, y = -x.

Sprendimas.

Pirmiausia reikia užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus ir tiesiai Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis.

Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba a=0, viršutinė integracijos riba b = 3 .

Galite statyti linijas taškas po taško, o integracijos ribos tampa aiškios „pačios“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: S=4,5 kv

Kaip į svetainę įterpti matematines formules?

Jei kada nors reikės pridėti vieną ar dvi matematines formules į tinklalapį, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sugeneruoja Wolfram Alpha. . Be paprastumo, šis universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje reguliariai naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią „JavaScript“ biblioteką, kuri žiniatinklio naršyklėse, naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą, rodo matematinius žymėjimus.

Yra du būdai pradėti naudotis MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, prie savo svetainės galite greitai prijungti MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Bet kuris fraktalas konstruojamas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.