Sveiki, mieli Argemonos universiteto studentai!

Šiandien mes ir toliau mokysimės, kaip materializuoti objektus. Paskutinį kartą sukome plokščias figūras ir gavome tūrinius kūnus. Kai kurie iš jų yra labai viliojantys ir naudingi. Manau, kad daug to, ką sugalvoja magas, gali būti panaudota ateityje.

Šiandien pasuksime kreives. Aišku, kad tokiu būdu galime gauti kokį nors daiktą labai plonais krašteliais (kūgis ar butelis gėrimams, gėlių vaza, taurė gėrimams ir pan.), nes besisukanti kreivė gali sukurti būtent tokius objektus. Kitaip tariant, sukdami kreivę galime gauti kažkokį paviršių – uždarą iš visų pusių ar ne. Kodėl būtent dabar prisiminiau nesandarią taurę, iš kurios seras Šerfas Lonlis-Loklis visada gerdavo.

Taigi sukursime dubenį su skylutėmis ir dubenį be skylių ir apskaičiuosime sukurto paviršiaus plotą. Manau, kad jo (paviršiaus ploto apskritai) kažkam prireiks – na, bent jau specialių stebuklingų dažų tepimui. Kita vertus, magiškų artefaktų sritys gali būti reikalingos norint apskaičiuoti jiems taikomas magiškas jėgas ar dar ką nors. Išmoksime jį rasti ir rasime, kur pritaikyti.

Taigi, parabolės gabalas gali suteikti mums dubens formą. Paimkime paprasčiausią y=x 2 intervale. Matyti, kad sukant jį aplink OY ašį, gaunamas tiesiog dubuo. Nėra dugno.

Sukimosi paviršiaus ploto apskaičiavimo burtai yra tokie:

Čia |y| - tai atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio kreivės taško, kuris sukasi. Kaip žinote, atstumas yra statmenas.
Šiek tiek sunkiau su antruoju rašybos elementu: ds yra lanko diferencialas. Šie žodžiai mums nieko neduoda, todėl nesivarginkime, o pereikime prie formulių kalbos, kur šis skirtumas yra aiškiai pateiktas visais mums žinomais atvejais:
- Dekarto koordinačių sistema;
- kreivės įrašymas parametrine forma;
- polinė koordinačių sistema.

Mūsų atveju atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio kreivės taško yra x. Apskaičiuojame gauto skylės dubens paviršiaus plotą:

Norėdami pagaminti dubenį su dugnu, turite paimti kitą gabalėlį, bet su kitokia kreive: intervale tai yra eilutė y=1.

Akivaizdu, kad kai jis sukasi aplink OY ašį, dubens dugnas bus vienetinio spindulio apskritimo formos. Ir mes žinome, kaip apskaičiuojamas apskritimo plotas (naudojant formulę pi*r^2. Mūsų atveju apskritimo plotas bus lygus pi), bet apskaičiuokime jį naudodami naują formulę - patikrinti.
Atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio šios kreivės dalies taško taip pat lygus x.

Na, mūsų skaičiavimai teisingi, o tai yra gera žinia.

Ir dabar namų darbai.

1. Raskite paviršiaus plotą, gautą pasukus laužtinę liniją ABC, kur A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), aplink OX ašį.
Patarimas. Užrašykite visus segmentus parametrine forma.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Beje, kaip atrodo gautas daiktas?

2. Na, dabar sugalvokite ką nors patys. Manau, užteks trijų dalykų.

Jei kreivė pateikiama parametrinėmis lygtimis, tai paviršiaus plotas, gautas sukant šią kreivę aplink ašį, apskaičiuojamas pagal formulę . Šiuo atveju linijos „brėžimo kryptis“, apie kurią straipsnyje buvo nulaužta tiek daug kopijų, yra abejinga. Tačiau, kaip ir ankstesnėje pastraipoje, svarbu, kad kreivė būtų išdėstyta aukštesnė abscisių ašis - kitaip funkcija „atsakinga už žaidimus“ įgis neigiamas reikšmes ir prieš integralą turėsite įdėti „minuso“ ženklą.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite rutulio plotą, gautą sukant apskritimą aplink ašį.

Sprendimas: iš straipsnio pagal plotą ir tūrį parametriškai apibrėžtai linijai Jūs žinote, kad lygtys apibrėžia apskritimą, kurio centras yra 3 spindulio pradžioje.

Na sfera , tiems, kurie pamiršo, tai yra paviršius kamuolys(arba sferinis paviršius).

Mes laikomės nustatytos sprendimo schemos. Raskime išvestinius:

Sudarykite ir supaprastinkime „formulės“ šaknį:

Nereikia nė sakyti, kad tai buvo saldainiai. Palyginimui patikrinkite, kaip Fichtenholtz sumušė galvą su sritimi revoliucijos elipsoidas.

Pagal teorinę pastabą mes laikome viršutinį puslankį. Jis „nutraukiamas“, kai parametro reikšmė keičiasi ribose (tai nesunku pastebėti šiuo intervalu), taigi:

Atsakymas:

Jei išspręsite problemą bendra forma, gausite tiksliai sferos ploto mokyklos formulę, kur yra jos spindulys.

Tai buvo tokia skausmingai paprasta užduotis, man net buvo gėda... Siūlau ištaisyti šią klaidą =)

4 pavyzdys

Apskaičiuokite paviršiaus plotą, gautą sukant pirmąjį cikloido lanką aplink ašį.

Užduotis kūrybinga. Pabandykite išvesti arba intuityviai atspėti paviršiaus ploto, gauto sukant kreivę aplink ordinačių ašį, apskaičiavimo formulę. Ir, žinoma, vėlgi reikėtų pažymėti parametrinių lygčių pranašumą – jų jokiu būdu nereikia keisti; nereikia vargti ieškant kitų integravimo ribų.

Cikloidų grafiką galima peržiūrėti puslapyje Plotas ir tūris, jei linija nurodyta parametriškai. Sukimosi paviršius primins... net nežinau su kuo lyginti su... kažkuo nežemiško - apvalios formos su smailiu įdubimu viduryje. Kalbant apie cikloido sukimąsi aplink ašį, akimirksniu į galvą atėjo asociacija - pailgas regbio kamuolys.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Įdomią apžvalgą užbaigiame šiuo atveju poliarines koordinates. Taip, tik apžvalga, jei pažvelgsite į matematinės analizės vadovėlius (Fichtenholtzo, Bokhano, Piskunovo ir kitų autorių), galite gauti gerą tuziną (ar net daug daugiau) standartinių pavyzdžių, tarp kurių galite rasti problemą. reikia.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo paviršiaus plotą,
jei tiesė nurodyta polinėje koordinačių sistemoje?

Jei kreivė duota poliarines koordinates lygtis, o funkcija turi nuolatinę išvestinę tam tikrame intervale, tada paviršiaus plotas, gautas sukant šią kreivę aplink polinę ašį, apskaičiuojamas pagal formulę , kur yra kampinės vertės, atitinkančios kreivės galus.

Pagal uždavinio geometrinę reikšmę integrando funkcija , ir tai pasiekiama tik esant sąlygoms (ir akivaizdžiai nėra neigiamos). Todėl būtina atsižvelgti į kampo reikšmes iš diapazono, kitaip tariant, kreivė turėtų būti išdėstyta aukštesnė poliarinė ašis ir jos tęsinys. Kaip matote, ta pati istorija kaip ir dviejose ankstesnėse pastraipose.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kardioidą aplink poliarinę ašį.

Sprendimas: šios kreivės grafiką galima pamatyti pamokos apie 6 pavyzdyje poliarinė koordinačių sistema. Kardioidas yra simetriškas poliarinei ašiai, todėl mes atsižvelgiame į jo viršutinę pusę intervale (kas iš tikrųjų yra dėl aukščiau pateiktos pastabos).

Sukimosi paviršius bus panašus į akis.

Sprendimo technika yra standartinė. Raskime išvestinę „phi“ atžvilgiu:

Sukurkime ir supaprastinkime šaknį:

Tikiuosi su reguliariais trigonometrines formules niekas neturėjo jokių sunkumų.

Mes naudojame formulę:

Tarpais , todėl: (Straipsnyje išsamiai kalbėjau apie tai, kaip tinkamai atsikratyti šaknies Kreivės lanko ilgis).

Atsakymas:

Įdomi ir trumpa užduotis, kurią galite išspręsti patys:

6 pavyzdys

Apskaičiuokite sferinio diržo plotą,

Kas yra rutulinis diržas? Padėkite ant stalo apvalų, nenuluptą apelsiną ir pasiimkite peilį. Padaryk du lygiagrečiai supjaustyti, taip padalydami vaisius į 3 savavališko dydžio dalis. Dabar paimkite centrą, kurio abiejose pusėse yra sultingas minkštimas. Šis kūnas vadinamas sferinis sluoksnis ir jį ribojantis paviršius (apelsino žievelė) – rutulinis diržas.

Skaitytojai, susipažinę su poliarines koordinates, lengvai pateikiamas problemos brėžinys: lygtis nurodo apskritimą, kurio centras yra spindulio poliuje, iš kurio spinduliai nupjauti mažiau lankas. Šis lankas sukasi aplink poliarinę ašį ir taip sukuria sferinį diržą.

Dabar galite valgyti apelsiną ramia sąžine ir lengva širdimi, o šiuo skaniu užrašu baigsime pamoką, negadinkite apetito kitais pavyzdžiais =)

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas : apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis viršutinei šakai aplink abscisių ašį. Mes naudojame formulę .
Šiuo atveju: ;

Taigi:


Atsakymas:

4 pavyzdys:Sprendimas : naudokite formulę . Pirmasis cikloido lankas yra apibrėžtas segmente .
Raskime išvestinius:

Sukurkime ir supaprastinkime šaknį:

Taigi sukimosi paviršiaus plotas yra:

Tarpais , Štai kodėl

Pirmasis integralasintegruoti dalimis :

Antrame integre naudojametrigonometrinė formulė .


Atsakymas:

6 pavyzdys:Sprendimas : naudokite formulę:


Atsakymas:

Aukštoji matematika neakivaizdiniams studentams ir daugiau >>>

(Eiti į pagrindinį puslapį)

Kaip apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą
naudojant trapecijos formulę ir Simpsono metodą?

Skaitiniai metodai yra gana didelė aukštosios matematikos dalis, o rimtuose vadovėliuose šia tema yra šimtai puslapių. Praktikoje bandomuosiuose darbuose kai kurias problemas tradiciškai siūloma išspręsti skaitiniais metodais, o viena iš dažniausiai pasitaikančių problemų yra apytikslis skaičiavimas. apibrėžtieji integralai. Šiame straipsnyje apžvelgsiu du apytiksliai apibrėžtojo integralo apskaičiavimo būdus - trapecijos metodas Ir Simpsono metodas.

Ką reikia žinoti norint įvaldyti šiuos metodus? Galbūt tai skamba juokingai, bet jūs negalite priimti integralų. Ir net nesupranti, kas yra integralai. Iš techninių priemonių jums reikės mikroskaičiuotuvo. Taip, taip, mūsų laukia įprasti mokykliniai skaičiavimai. Dar geriau, atsisiųskite mano pusiau automatinis skaičiuotuvas trapecijos metodui ir Simpsono metodui. Skaičiuoklė parašyta „Excel“ programa ir sutrumpins užduočių sprendimo ir užbaigimo laiką dešimtimis kartų. „Excel“ manekenams pridedamas vaizdo įrašo vadovas! Beje, pirmasis vaizdo įrašas su mano balsu.

Pirmiausia paklauskime savęs: kam iš viso reikalingi apytiksliai skaičiavimai? Atrodo, kad galite rasti funkcijos antidarinį ir naudoti Niutono-Leibnizo formulę, apskaičiuodami tikslią apibrėžtojo integralo reikšmę. Norėdami atsakyti į klausimą, iš karto pažvelkime į demonstracinį pavyzdį su nuotrauka.

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Viskas būtų gerai, bet šiame pavyzdyje integralas nėra paimtas - priešais jus yra nepaimtas integralas, vadinamasis. integralinis logaritmas. Ar šis integralas išvis egzistuoja? Brėžinyje pavaizduokime integrando funkcijos grafiką:

Viskas gerai. Integrand tęstinis atkarpoje ir apibrėžtasis integralas yra skaitiniu požiūriu lygus nuspalvintam plotui. Yra tik viena klaida: integralo negalima paimti. Ir tokiais atvejais gelbsti skaitiniai metodai. Šiuo atveju problema iškyla dviem formuluotėmis:

1) Apytiksliai apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą , apvalinant rezultatą iki tam tikros dešimtosios dalies. Pavyzdžiui, iki dviejų skaitmenų po kablelio, iki trijų skaičių po kablelio ir pan. Tarkime, kad apytikslis atsakymas yra 5,347. Tiesą sakant, tai gali būti ne visai teisinga (tikrybėje, tarkime, tikslesnis atsakymas yra 5,343). Mūsų užduotis yra tik tai suapvalinti rezultatą iki trijų skaičių po kablelio.

2) Apytiksliai apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą, su tam tikru tikslumu. Pavyzdžiui, apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą apytiksliai 0,001 tikslumu. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad jei apytikslis atsakymas yra 5,347, tada Visi skaičiai turi būti gelžbetonio teisinga. Tiksliau, atsakymas 5,347 turėtų skirtis nuo tiesos absoliučia verte (viena ar kita kryptimi) ne daugiau kaip 0,001.

Yra keli pagrindiniai metodai, kaip apytiksliai apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, kuris atsiranda problemose:

Stačiakampio metodas. Integravimo segmentas yra padalintas į keletą dalių ir sudaroma žingsninė figūra ( histograma), kurios plotas yra arti norimos srities:

Griežtai nevertinkite pagal brėžinius, tikslumas nėra idealus – jie tik padeda suprasti metodų esmę.

Šiame pavyzdyje integravimo segmentas yra padalintas į tris segmentus:
. Akivaizdu, kad kuo dažnesnis skirstymas (daugiau mažesnių tarpinių segmentų), tuo didesnis tikslumas. Stačiakampio metodas duoda apytikslį ploto apytikslį vaizdą, matyt, todėl praktikoje jis sutinkamas labai retai (pamenu tik vieną praktinį pavyzdį). Šiuo atžvilgiu aš nenagrinėsiu stačiakampio metodo ir net nepateiksiu paprastos formulės. Ne todėl, kad tingiu, o dėl mano sprendimo knygos principo: tai, kas praktinėse problemose yra itin reta, nėra svarstoma.

Trapecijos metodas. Idėja panaši. Integravimo segmentas yra padalintas į keletą tarpinių segmentų, o integravimo ir funkcijos metodų grafikas nutrūkusi linija eilutė:

Taigi mūsų plotas (mėlynas atspalvis) yra apytikslis trapecijos (raudona) plotų suma. Taigi metodo pavadinimas. Nesunku pastebėti, kad trapecijos metodas suteikia daug geresnį aproksimaciją nei stačiakampio metodas (su tuo pačiu skaičiumi skaidinių segmentų). Ir, žinoma, kuo daugiau mažesnių tarpinių segmentų atsižvelgsime, tuo didesnis bus tikslumas. Praktinėse užduotyse retkarčiais aptinkamas trapecijos metodas, o šiame straipsnyje bus aptariami keli pavyzdžiai.

Simpsono metodas (parabolės metodas). Tai pažangesnis metodas – integrando grafikas aproksimuojamas ne laužta linija, o mažomis parabolėmis. Mažų parabolių yra tiek, kiek tarpinių segmentų. Jei imsime tuos pačius tris segmentus, tai Simpsono metodas duos dar tikslesnį aproksimaciją nei stačiakampio metodas arba trapecijos metodas.

Nematau prasmės kurti brėžinį, nes vizualinis aproksimacija bus uždėta ant funkcijos grafiko (ankstesnės pastraipos laužyta linija - ir net tada ji beveik sutapo).

Apibrėžtinio integralo apskaičiavimo naudojant Simpsono formulę problema yra pati populiariausia užduotis praktikoje. O parabolės metodui bus skiriamas didelis dėmesys.

Sukimosi paviršius- paviršius, suformuotas sukantis apie savavališkos linijos (tiesios, plokščios ar erdvinės kreivės) tiesią liniją (paviršiaus ašį). Pavyzdžiui, jei tiesė kerta sukimosi ašį, tada, kai ji sukasi, bus gautas kūginis paviršius, jei jis yra lygiagretus ašiai, jis bus cilindrinis, jei kerta ašį, vieno lapo hiperboloidas; bus gauta revoliucija. Tą patį paviršių galima gauti sukant įvairiausias kreives. Apsisukimo paviršiaus plotas, susidarantis sukant baigtinio ilgio plokštumos kreivę aplink ašį, esančią kreivės plokštumoje, bet nekertančią kreivės, yra lygus kreivės ilgio ir kreivės ilgio sandaugai. apskritimas, kurio spindulys lygus atstumui nuo ašies iki kreivės masės centro. Šis teiginys vadinamas antrąja Gyldeno teorema arba Pappuo centroidine teorema.

Apsisukimo paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivei aplink ašį, galima apskaičiuoti naudojant formulę

Tuo atveju, kai kreivė nurodyta polinėje koordinačių sistemoje, galioja formulė

Mechaniniai apibrėžtojo integralo taikymai (jėgų darbas, statiniai momentai, svorio centras).

Jėgų darbo skaičiavimas

Materialus taškas juda išilgai nuolat diferencijuojamos kreivės, o jį veikia jėga, nukreipta liestine į trajektoriją judėjimo kryptimi. Visas darbas, atliktas jėga F:

Jei taško padėtis judėjimo trajektorijoje apibūdinama kitu parametru, tada formulė įgauna tokią formą:

Statinių momentų ir svorio centro skaičiavimas
Tegul koordinačių plokštumoje Oxy tam tikra masė M pasiskirsto tankiu p = p(y) tam tikroje taškų aibėje S (tai gali būti kreivės lankas arba apribota plokščia figūra). Pažymime s(y) – nurodytos aibės matą (lanko ilgį arba plotą).

Apibrėžimas 2. Skaičius vadinamas k-uoju masės momentu M Ox ašies atžvilgiu.
Kai k = 0 M 0 = M - masė,
k = 1 M 1 – statinis momentas,
k = 2 M 2 - inercijos momentas.

Akimirkos apie Oy ašį pristatomos panašiai. Erdvėje masės momentų koordinačių plokštumų atžvilgiu sąvokos įvedamos panašiai.
Jei p = 1, tai atitinkami momentai vadinami geometriniais. Vienalytės (p - const) plokščios figūros svorio centro koordinatės nustatomos pagal formules:

čia M 1 y, M 1 x yra geometriniai statiniai figūros momentai Oy ir Ox ašių atžvilgiu; S yra figūros plotas.

Ši formulė vadinama kūno tūrio pagal lygiagrečių pjūvių plotą formule.

Pavyzdys. Raskite elipsoido tūrį x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Pjaudami elipsoidą plokštuma, lygiagrečia Oyz plokštumai ir atstumais nuo jos (-а ≤х ≤а), gauname elipsę (žr. 15 pav.):

Šios elipsės plotas yra

Todėl pagal (16) formulę turime

Apsisukimo paviršiaus ploto apskaičiavimas

Tegul AB kreivė yra funkcijos y = f (x) ≥ 0 grafikas, kur x [a,b], funkcija y = f (x) ir jos išvestinė y" = f" (x) yra tolydžios. segmentas.

Tada paviršiaus plotas S, kurį sudaro kreivės AB sukimasis aplink Ox ašį, apskaičiuojamas pagal formulę

Jei AB kreivė pateikiama parametrinėmis lygtimis х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤ t 2, tada sukimosi paviršiaus ploto formulė įgauna tokią formą

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Pavyzdys Raskite rutulio, kurio spindulys yra R, paviršiaus plotą. Sprendimas:

Galima daryti prielaidą, kad rutulio paviršius susidaro puslankiu y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, aplink Ox ašį. Naudodami (19) formulę randame

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

− R

Pavyzdys. Duotas cikloidas x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1– kaina) ,

Raskite paviršiaus plotą, susidariusį sukant jį aplink Ox ašį. Sprendimas:

Kai pusė cikloido lanko sukasi aplink Ox ašį, sukimosi paviršiaus plotas yra lygus

Plokštumos kreivės lanko ilgio apskaičiavimas

Stačiakampės koordinatės

Leiskite į lanką, kai trūkinės linijos grandžių skaičius neribotai didėja, o didžiausių stačiakampių koordinačių ilgiui suteikiama plokščia kreivė AB, kurios lygtis yra y = f(x), kur a ≤ x≤ b .

Lanko AB ilgis suprantamas kaip riba, iki kurios šioje nuorodoje įrašytos trūkinės linijos ilgis linkęs į nulį. Parodykime, kad jei funkcija y = f(x) ir jos išvestinė y′ = f′ (x) yra ištisinės atkarpoje [a ,b ], tai kreivės AB ilgis lygus

Jeigu AB kreivės lygtis pateikta parametrine forma

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y = y(t) ,

kur x (t) ir y (t) yra tolydžios funkcijos su ištisinėmis išvestinėmis ir x (α) = a, x (β) = b, tai kreivės AB ilgis l randamas pagal formulę

Tai reiškia l = 2π R. Jei apskritimo lygtis parašyta parametrine forma = R kaina, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), tada

Polinės koordinatės

Tegu kreivė AB pateikiama pagal lygtį polinėmis koordinatėmis r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Tarkime, kad r (ϕ ) ir r" (ϕ ) yra tolydžios intervale [α , β ].

Jei lygybėse x = r cosϕ, y = r sinϕ, jungiančiose polines ir Dekarto koordinates,

kampas ϕ laikomas parametru, tada kreivę AB galima nustatyti parametriškaix = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

Taikydami formulę (15), gauname l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Pavyzdys Raskite kardioido ilgį r =a (1 + cosϕ ). Sprendimas:

Kardioidas r =a (1 + cosϕ) turi tokią formą, kaip parodyta 14 paveiksle. Jis yra simetriškas poliarinės ašies atžvilgiu. Raskime pusę kardioido ilgio:

Taigi 1 2 l = 4 a. Tai reiškia, kad l = 8a.