RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO MINISTERIJA

MASKAVOS VALSTYBINIO UNIVERSITETAS

DIZAINAS IR TECHNOLOGIJOS

FIZIKOS KATEDRA

CM. RAZINOVA, V.G. SIDOROVAS

Molekulinės fizikos skysčio paviršiaus įtempimo koeficiento nustatymas skysčio pakėlimo kapiliaruose metodu

Laboratorinių darbų vadovas Nr.23

Patvirtinta kaip mokymo priemonė

MGUDT redakcinė ir leidybos taryba

RIS kuratorius Kozlovas A.S.

Darbas buvo peržiūrėtas Fizikos katedros posėdyje ir rekomenduotas publikuoti.

Sidorovas V.G., docentas Ph.D.

Recenzentas: doc. Rode S.V., mokslų daktaras

R-23 Razinova S.M.Molekulinė fizika.Skysčio paviršiaus įtempimo koeficiento nustatymas skysčio pakėlimo kapiliaruose metodu.: Laboratorinių darbų metodiniai nurodymai Nr.23 / Razinova S.M., Sidorov V.G. - M.: IITs MGUDT, 2004 – 11 psl.

Laboratorinio darbo atlikimo gairėse Nr.23 tema „Molekulinė fizika Skysčio paviršiaus įtempimo koeficiento nustatymas skysčio pakėlimo kapiliaruose metodu“ yra teorinis skyrius, skirtas paviršiaus įtempimo jėgų apraiškoms, jų veikimo mechanizmui. papildomo slėgio atsiradimas ir jo vertės apskaičiavimas, reiškiniai prie skysčio ir kieto kūno ribos, taip pat įrengimo ir matavimo principo aprašymas, darbų atlikimo tvarka, laboratorinių darbų priėmimo ir apsaugos kontroliniai klausimai.

Skirta specialybių studentams: 06.08, 17.07, 21.02, 22.03, 25.06, 25.08, 25.09, 28.10, 28.11, 28.12, 33.02.

© Maskvos valstybinis universitetas

dizainas ir technologija, 2004 m

Laboratorinis darbas Nr.23.

“SKYSČIO PAVIRŠIAUS ĮTEMPIMO KOEFICIENTO NUSTATYMAS SKYSČIO KILĖJIMO KAPILIARUOSE METODU.

DARBO TIKSLAS: supažindinimas su paviršiaus įtempimo reiškinio teoriniais pagrindais ir paviršiaus įtempimo koeficiento nustatymas.

PRIETAISAI IR PRIEDAI: matavimo mikroskopas, indas su vandeniu, du kapiliarai, trikojis su laikikliu.

Įvadas

1. Slėgis po lenktu vandens paviršiumi. Laplaso formulė.

Viena iš paviršiaus įtempimo jėgų apraiškų yra papildomo slėgio atsiradimas po lenktu skysčio paviršiumi.

Panagrinėkime mechanizmą, kuriuo šis slėgis atsiranda, ir apskaičiuokime jo vertę.

Įsivaizduokime išlenktą sferinį paviršių, kurio kreivio spindulys R ir kreivio centras yra taške O. Šiame paviršiuje parinksime atkarpą, ribojamą apskrito kontūro, kurio spindulys r (1 pav.). Kiekvienam kontūro segmentui paviršiaus įtempimo jėgaF  i veiks, nukreipta liestinėje į paviršių, statmeną kontūro segmentui .

Papildomas slėgis susidaro dėl jėgos dedamosios F  i, statmenos spindulio r skerspjūvio paviršiui, kurio plotas S= r 2.

.

Paviršiaus įtempimo jėgą F galima išreikšti pagal paviršiaus įtempimo koeficiento apibrėžimą kaip F= = 2 r , tada

.

Kadangi cos=r/R, tai

Jei formulėje (1) vietoj spindulio R pakeisime paviršiaus kreivumo reikšmę H=1/R, gausime:

Laplasas įrodė, kad (2) formulė skirta bet kokios formos paviršiui, jei H reiškia vidutinį paviršiaus kreivumą taške, kuriame nustatomas papildomas slėgis. Geometrijoje įrodyta, kad dydis lygus

, (3)

išlieka pastovus bet kuriai viena kitai statmenų normaliųjų pjūvių porai, nubrėžtai per tašką savavališkame paviršiuje. Ši vertė vadinama vidutiniu paviršiaus kreivumu tam tikrame taške. Spinduliai R 1 ir R 2 gali turėti skirtingus ženklus, priklausomai nuo to, kur yra kreivio centras: jei kreivio centras yra po paviršiumi (2 pav., a), tai spindulys yra teigiamas, paviršiaus įtempimo jėgos komponentai. yra nukreipti žemyn, todėl papildomai slėgio jėga taip pat nukreipta žemyn; jei kreivumo centras yra virš paviršiaus (2 pav., b), tai spindulys yra neigiamas, paviršiaus įtempimo jėgų komponentai bus nukreipti į viršų, o jie sukuria slėgio jėgą, nukreiptą į viršų. Esant plokščiam paviršiui (2 pav., c), papildomo slėgio nėra (tempimo jėgos liestinė paviršiui neturi jai statmenos dedamosios).

Jei formulėje (2) pakeisime (3), gausime:

(4)

Ši formulė vadinama LAPLACE FORMULĖS, leidžia apskaičiuoti papildomą slėgį, atsirandantį po savavališkai išlenktu skysčio paviršiumi.

2. Skysčio ir kietosios medžiagos sąsajos reiškiniai. Kai skystis ir kietoji medžiaga liečiasi su kieta medžiaga, būtina atsižvelgti ir į skysčio molekulių sąveikos jėgas, ir į sąveikos jėgas tarp skysčio ir kietos medžiagos molekulių. Jei skysčio ir kieto kūno sukibimo jėgos yra didesnės už skysčio dalelių sukibimo jėgas, skystis vadinamas DRĖKINIMAS duotas kietas kūnas, jei atvirkščiai, tada skystis bus NEDRĖKSTA tai yra kūnas. Tą patį kūną galima sudrėkinti vienu skysčiu, o ne kitu. Pavyzdžiui, stiklą drėkina vanduo, o ne gyvsidabris.

Pažiūrėkime, kaip drėkinamasis skystis elgiasi prie indo sienelių (3 pav., a). Panagrinėkime arčiausiai molekulės sienelės esančio skysčio paviršiaus molekulinio veikimo sferą. Šią molekulę veiks jėgos F 1 - iš kietojo kūno molekulių ir F 2 - iš skysčio molekulių. Kadangi drėkinamam skysčiui F 1 F 2 gautasis F bus nukreiptas giliai į skystį, statmenai jo paviršiui, todėl skysčio paviršius prie sienos nėra horizontalus, o lenkiamas aukštyn. Esant nešlapiam skysčiui, pagal analogiją skysčio paviršius prie sienų linksta į viršų (3 pav., b). Taigi, laisvo skysčio paviršius prie sienų yra išlenktas.

Skysčių drėkinimo laipsnis apibūdinamas KONTAKTINIU KAMPU, lygiu kampui tarp skysčio paviršiaus liestinių ir kietosios medžiagos paviršiaus. Drėkinimo atveju šis kampas (3 pav., a), jei, tada kalba apie visišką kieto kūno sudrėkinimą skysčiu. Nedrėkinimo atveju briaunos kampas yra bukas: (3 pav., b), jei, tada jie kalba apie visišką nesudrėkinimą.

4 paveiksle a parodytas drėkinančio skysčio lašo vaizdas ant horizontalaus paviršiaus, 4 paveiksle b - skysčio lašo, kuris nesudrėkina paviršiaus, vaizdas.

3. Kapiliarumas. Jei platus vamzdis panardinamas į skystį, tada pagal Fig. 3, skysčio paviršius prie sienų sulinks. Tokie lenkti paviršiai vadinami meniskais.

Jei vamzdelis yra pakankamai siauras, menisko paviršius įgaus sferinę arba arčiausiai jo esančią formą, o skysčio paviršiaus kreivio spindulys bus toks pat kaip ir vamzdelio spindulys. Atsiradęs skysčio paviršiaus kreivumas sukels papildomo slėgio atsiradimą, kurio dydis bendriausiu atveju nustatomas Laplaso formule (4). Susidaręs papildomas slėgis sušlapimo atveju sukels iki skysčio pakilimo siaurame vamzdelyje iki tam tikro aukščio (5 pav., a), o esant nedrėkinimui - iki jo nuleidimo(5 pav., b).

Panagrinėkime šį reiškinį išsamiai.

Jei, pavyzdžiui, skystis vamzdyje drėksta, tada papildomas skysčio slėgis po menisko paviršiumi bus nukreiptas į viršų (2 pav., b), o jo reikšmė pagal (1) bus lygi. į

čia  – paviršiaus įtempimo koeficientas, R – skysčio paviršiaus kreivio spindulys (kaip minėta aukščiau, skysčio paviršius siaurame vamzdyje gali būti laikomas R spindulio sferos dalimi).

Kadangi inde, į kurį nuleidžiamas vamzdis, po plokščiu paviršiumi papildomas slėgis lygus nuliui, skystis vamzdyje pakyla iki tokio aukščio, kuriame skysčio kolonėlės hidrostatinis slėgis subalansuoja Laplaso papildomą slėgį p. H aukščio skysčio stulpelio sukurtas hidrostatinis slėgis yra lygus gh, kur  yra skysčio tankis, g yra gravitacinis pagreitis, tada pusiausvyros sąlyga bus tokia:

Iš (5) paveikslo aišku, kad , kur  yra drėkinimo kontaktinis kampas, tai iš (5) formulės galima rasti ryšį tarp skysčio, kylančio siauru vamzdžiu, aukščio h ir vamzdžio spindulio r.

Iš (6) aišku, kad kuo didesnis siaurame vamzdyje kilimo aukštis, tuo mažesnis jo spindulys, todėl skysčių kilimas ypač pastebimas siauruose vamzdeliuose. Tokie vamzdžiai vadinami KAPILIARAI, o pats skysčių pakėlimo ar nuleidimo reiškinys juose yra KAPILIARUMAS.

Remiantis išdėstyta teorija, galima eksperimentiniu būdu nustatyti skysčio paviršiaus įtempimo koeficientą.

Šiame skyriuje tyrinėsime reiškinius, vykstančius šalia sąsajos tarp dviejų ištisinių terpių (realiai, žinoma, besiliečiančius kūnus skiria siauras pereinamasis sluoksnis, kuris dėl labai mažo storio gali būti laikomas paviršiumi ).

Jei sąsaja tarp dviejų terpių yra išlenkta, šalia jos slėgis abiejose terpėse skiriasi. Norėdami nustatyti šį slėgio skirtumą (vadinamą paviršiaus slėgiu), parašysime abiejų kūnų termodinaminės pusiausvyros sąlygą tarpusavyje, atsižvelgdami į jų sąsajos savybes.

Tegul sąsaja yra be galo maža. Kiekviename nepaslinkto paviršiaus taške nubrėžiame normalųjį. Normalus segmentas, esantis tarp jo susikirtimų su nepaslinktais ir pasislinkusiais paviršiais, žymimas Tada kiekvieno erdvės elemento, esančio tarp paviršių, tūris yra ten, kur paviršiaus elementas. Tegul yra slėgis pirmoje ir antroje laikmenoje ir laikysime jį teigiamu, jei sąsaja bus perkelta, tarkime, antrosios terpės link. Tada darbas, kurį reikia atlikti aprašytam tūrio pokyčiui, yra lygus

Visas paviršiaus poslinkio darbas bus pasiektas pridėjus daugiau darbo, susijusio su paties šio paviršiaus ploto pasikeitimu. Ši darbo dalis, kaip žinoma, yra proporcinga paviršiaus ploto pokyčiui ir yra lygi , kur a yra paviršiaus įtempis. Taigi bendras darbas lygus

Termodinaminės pusiausvyros sąlyga, kaip žinoma, nustatoma nykstant.

Tada paviršiaus ilgio elementai, nubrėžti jo pagrindinių pjūvių plokštumose, gauna prieaugius su be galo mažu paviršiaus poslinkiu, kurie atitinkamai yra lygūs ir laikomi apskritimų, kurių spindulys, lanko elementais. Todėl paviršiaus elementas po poslinkio bus lygus

y., ji keisis suma

Iš to matyti, kad bendras sąsajos srities pokytis yra

Gautas išraiškas pakeitę į (61.1) ir prilyginę jas nuliui, gauname pusiausvyros sąlygą formoje

Ši sąlyga turi būti įvykdyta savavališkam be galo mažam paviršiaus poslinkiui, t.y., savavališkam Todėl būtina, kad išraiška po integralu skliausteliuose identiškai išnyktų, t.y.

Tai yra formulė (Laplaso formulė), kuri nustato paviršiaus slėgį. Matome, kad jei jie teigiami, tada . Tai reiškia, kad iš dviejų kūnų slėgis yra didesnis tame, kurio paviršius yra išgaubtas. Jei, tai yra, sąsaja yra plokščia, slėgis abiejuose korpusuose, kaip ir turėtų būti, yra toks pat.

Taikykime (61.3) formulę besiliečiančių kūnų mechaninei pusiausvyrai tirti. Tarkime, kad nei sąsajos, nei pačių kūnų neveikia jokios išorinės jėgos. Tada kiekviename kūne slėgis yra pastovus. Turėdami omenyje (61.3) formulę, pusiausvyros sąlygą galime užrašyti formoje

(61,4)

Taigi atvirkštinių kreivio spindulių suma turi būti pastovi visoje laisvojoje sąsajoje. Jei visas paviršius laisvas, tai sąlyga (60.4) reiškia, kad paviršius turi būti sferinės formos (pavyzdžiui, nedidelio lašelio paviršius, kurio gravitacijos įtakos galima nepaisyti). Jei paviršius pritvirtintas išilgai tam tikros linijos (pavyzdžiui, skysta plėvelė ant kieto rėmo), tada jo forma yra sudėtingesnė.

Taikant plonų skysčio plėvelių, pritvirtintų prie kieto rėmo, pusiausvyrą, sąlygos (61.4) dešinėje turi būti nulis. Iš tiesų, suma turėtų būti vienoda visame laisvajame plėvelės paviršiuje ir tuo pačiu metu iš abiejų pusių ji turėtų turėti priešingą ženklą, nes jei viena pusė yra išgaubta, tai kita yra įgaubta su tokiu pat kreivio spinduliu , tačiau dabar tai turėtų būti laikoma neigiama. Iš to išplaukia, kad plonos plėvelės pusiausvyros sąlyga yra

Dabar panagrinėkime pusiausvyros sąlygą kūno, esančio gravitaciniame lauke, paviršiuje. Paprastumo dėlei tarkime, kad antroji terpė yra tiesiog atmosfera, kurios slėgis gali būti laikomas pastoviu kūno dydžiui. Nesuspaudžiamą skystį laikykime pačiu kūnu. Tada mes turime , o slėgis skystyje yra lygus (z koordinatė matuojama vertikaliai aukštyn). Taigi pusiausvyros sąlyga įgauna formą

(61,6)

Tačiau pažymėtina, kad norint konkrečiais atvejais nustatyti skysčio paviršiaus pusiausvyros formą, dažniausiai pusiausvyros sąlygą patogu naudoti ne forma (61.6), o tiesiogiai sprendžiant minimumo variacinę problemą. nemokama energija. Skysčio vidinė laisva energija priklauso tik nuo tūrio, bet ne nuo paviršiaus formos. Pirma, laisvoji paviršiaus energija priklauso nuo formos

ir, antra, energija išoriniame lauke (gravitacijos lauke), lygi

Taigi, pusiausvyros sąlyga gali būti parašyta kaip

Minimalus nustatymas turi būti atliktas pagal papildomą sąlygą

(61,8)

išreiškiantis viso skysčio tūrio pastovumą.

Konstantos patenka į pusiausvyros sąlygas (61,6-7) tik santykio pavidalu. Šis santykis turi ilgio kvadrato matmenį. Ilgis

vadinama kapiliarine konstanta. Skysčio paviršiaus formą lemia tik šis kiekis. Jei kapiliarinė konstanta yra didelė (lyginant su kūno dydžiu), tai nustatant paviršiaus formą galima nepaisyti gravitacinio lauko.

Norint nustatyti paviršiaus formą pagal sąlygą (61.4) arba (61.6), reikia turėti formules, kurios pagal paviršiaus formą nustato kreivio spindulius. Šios formulės yra žinomos iš diferencialinės geometrijos, tačiau paprastai jos turi gana sudėtingą formą. Jie labai supaprastinami, kai paviršiaus forma tik šiek tiek nukrypsta nuo plokščios. Čia mes išvesime atitinkamą apytikslę formulę tiesiogiai, nenaudodami bendrosios diferencialinės geometrijos formulės.

Leisti būti paviršiaus lygtis; darome prielaidą, kad visur yra mažas, t.y., kad paviršius šiek tiek nukrypsta nuo plokštumos Kaip žinoma, paviršiaus plotas f nustatomas integralu

arba maždaug maža

Apibrėžkime variaciją

Integruodami dalimis randame:

Palyginę šią išraišką su (61.2), gauname:

Tai yra reikalinga formulė, kuri nustato silpnai išlenkto paviršiaus atvirkštinio kreivio spindulių sumą.

Kai trys viena su kita besiliečiančios fazės yra pusiausvyroje, jų sąsajos nustatomos taip, kad trijų paviršiaus įtempimo jėgų, veikiančių bendrą trijų terpių sąlyčio liniją, rezultatas būtų lygus nuliui. Ši sąlyga lemia tai, kad sąsajos turi susikirsti viena su kita kampais (vadinamaisiais kontaktiniais kampais), kuriuos nustato paviršiaus įtempimo reikšmės.

Galiausiai apsistokime ties ribinėmis sąlygomis, kurių reikia laikytis ties dviejų judančių skysčių riba, atsižvelgiant į paviršiaus įtempimo jėgas. Jei neatsižvelgiama į paviršiaus įtempimą, tada ties dviejų skysčių riba turime:

kuri išreiškia abiejų skysčių paviršių veikiančių trinties jėgų lygybę. Atsižvelgiant į paviršiaus įtempimą, šios sąlygos dešinėje pusėje reikia parašyti papildomą jėgą, kurios dydis nustatomas Laplaso formule ir nukreiptas į paviršių:

Kitu atveju šią lygtį galite parašyti formoje

Tačiau būklė (61.13) dar nėra pati bendriausia. Faktas yra tas, kad paviršiaus įtempimo koeficientas a gali būti nevienodas visame paviršiuje (pavyzdžiui, dėl temperatūros svyravimų). Tada kartu su normalia jėga (išnyksta, kai paviršius lygus) atsiranda tam tikra papildoma jėga, nukreipta tangentiškai į paviršių. Panašiai, kaip esant netolygiam slėgiui, tūrinė jėga atrodo lygi (tūrio vienetui) - čia mes turime tangentinę jėgą, veikiančią sąsajos ploto vienetą, .

Gradientą čia rašome su pliuso ženklu priešais, o ne su minuso ženklu, kaip galioja – dėl to, kad paviršiaus įtempimo jėgos linkusios sumažinti paviršiaus plotą, o slėgio jėgos – didinti kūnas. Pridėjus šią jėgą prie dešinės lygybės (61.13) pusės, gauname ribinę sąlygą

(vienetinis normalus vektorius nukreiptas į pirmąjį skystį). Atminkite, kad ši sąlyga gali būti įvykdyta tik klampus skystis. Iš tikrųjų idealiam skysčiui kairioji lygybės pusė (61.14) bus vektorius, nukreiptas išilgai normalaus, o dešinė bus vektorius, nukreiptas tangentiškai į paviršių. Tačiau tokia lygybė neįmanoma (žinoma, išskyrus trivialų atvejį, kai kiekvienas iš šių dydžių yra lygus nuliui atskirai).

Kai Bernoulli formulė yra pakankamai didelė, ji atlieka sudėtingus skaičiavimus. Todėl tokiais atvejais naudojama Laplaso lokali teorema.

Teorema(lokalinė Laplaso teorema). Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo 0 ir 1, tada tikimybė
faktas, kad įvykis A pasirodys tiksliai k kartų n nepriklausomų bandymų, yra maždaug lygus funkcijos reikšmei:

,

.

Yra lentelių, kuriose yra funkcijų reikšmės
, esant teigiamoms reikšmėms x.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija
net

Taigi tikimybė, kad įvykis A pasirodys per n bandymų, yra lygiai k kartų apytiksliai lygi

, Kur
.

Pavyzdys. Bandomajame lauke pasėta 1500 sėklų. Raskite tikimybę, kad daigai išaugins 1200 sėklų, jei tikimybė, kad grūdas išdygs, yra 0,9.

Sprendimas.

Laplaso integralų teorema

Tikimybė, kad atliekant devynis nepriklausomus bandymus įvykis A pasirodys bent k1 ir daugiausiai k2 kartų, apskaičiuojama naudojant Laplaso integralinę teoremą.

Teorema(Laplaso integralų teorema). Jei tikimybė p, kad įvyks įvykis a kiekviename bandyme, yra pastovi ir skiriasi nuo 0 ir 1, tada tikimybė, kad įvykis A pasirodys bent k 1 kartą ir ne daugiau kaip k 2 kartus per n bandymų, yra apytiksliai lygi tam tikro integralo vertė:

.

Funkcija
vadinama Laplaso integralo funkcija, ji yra nelyginė ir jos reikšmė randama teigiamų reikšmių x lentelėje.

Pavyzdys. Laboratorijoje iš 90% daigumo sėklų partijos pasėta 600 sėklų, kurios sudygo, ne mažiau 520 ir ne daugiau 570.

Sprendimas.

Puasono formulė

Tegu atlikta n nepriklausomų bandymų, įvykio A atsiradimo tikimybė kiekviename bandyme yra pastovi ir lygi p. Kaip jau minėjome, įvykio A atsiradimo tikimybę nepriklausomuose bandymuose galima rasti tiksliai k kartų naudojant Bernulio formulę. Kai n yra pakankamai didelis, naudojama Laplaso lokali teorema. Tačiau ši formulė netinkama, kai kiekvieno bandymo įvykio tikimybė yra maža arba artima 1. O kai p=0 arba p=1 ji visai netaikoma. Tokiais atvejais naudokite Puasono teoremą.

Teorema(Puasono teorema). Jei įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi ir artima 0 arba 1, o bandymų skaičius yra pakankamai didelis, tada tikimybė, kad n nepriklausomų bandymų metu įvykis A pasirodys lygiai k kartų, nustatoma pagal formulė:

.

Pavyzdys. Rankraštis yra tūkstantis puslapių spausdinto teksto ir jame yra tūkstantis rašybos klaidų. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai paimtame puslapyje yra bent viena rašybos klaida.

Sprendimas.

Klausimai Dėl savikontrolės

Suformuluokite klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą.

Tikimybių sudėties ir daugybos būsenos teoremos.

Apibrėžkite visą įvykių grupę.

Užrašykite bendrosios tikimybės formulę.

Užrašykite Bayes formulę.

Užrašykite Bernulio formulę.

Užrašykite Puasono formulę.

Užsirašykite vietinę Laplaso formulę.

Užrašykite Laplaso integralo formulę.

13 tema. Atsitiktinis dydis ir jo skaitinės charakteristikos

Literatūra: ,,,,,.

Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra atsitiktinio dydžio sąvoka. Tai yra bendras kintamojo dydžio pavadinimas, kurio reikšmės priklauso nuo atvejo. Yra dviejų tipų atsitiktiniai dydžiai: diskretieji ir nuolatiniai. Atsitiktiniai kintamieji paprastai žymimi kaip X,Y,Z.

Atsitiktinis dydis X vadinamas nuolatiniu (diskrečiu), jei jis gali turėti tik baigtinį arba suskaičiuojamą skaičių reikšmių. Diskretusis atsitiktinis dydis X apibrėžiamas, jei visos galimos jo reikšmės x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (kurių skaičius gali būti baigtinis arba begalinis) ir atitinkamos tikimybės p 1 , p 2 , p 3, ... p pateikiami n.

Diskretaus atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis paprastai pateikiamas lentelėje:

Pirmąją eilutę sudaro galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės, o antroji eilutė nurodo šių reikšmių tikimybes. Tikimybių, su kuriomis atsitiktinis kintamasis X įgauna visas savo reikšmes, suma yra lygi vienetui, tai yra

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

Diskretinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį galima pavaizduoti grafiškai. Norėdami tai padaryti, taškai M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) sukonstruojami stačiakampiu koordinačių sistema ir sujungta atkarpomis tiesiai Gauta figūra vadinama atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo daugiakampiu.

Pavyzdys. Diskrečiąją reikšmę X suteikia toks skirstymo dėsnis:

Reikia apskaičiuoti: a) matematinį lūkestį M(X), b) dispersiją D(X), c) standartinį nuokrypį σ.

Sprendimas . a) Diskretaus atsitiktinio dydžio X matematinis lūkestis M(X) yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių porinių sandaugų suma pagal atitinkamas šių galimų dydžių tikimybes. Jei diskretinis atsitiktinis dydis X nurodomas naudojant lentelę (1), tada matematinė tikėtis M(X) apskaičiuojama naudojant formulę

M(X) = x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)

Matematinis lūkestis M(X) dar vadinamas vidutine atsitiktinio dydžio X reikšme. Taikydami (2) gauname:

M(X)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

b) Jei M(X) yra matematinė atsitiktinio dydžio X lūkestis, tai skirtumas X-M(X) vadinamas nukrypimas atsitiktinis kintamasis X nuo vidutinės reikšmės. Šis skirtumas apibūdina atsitiktinio dydžio sklaidą.

Dispersija Diskretaus atsitiktinio dydžio X (sklaida) yra atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio kvadrato matematinis lūkestis (vidutinė vertė). Taigi pagal apibrėžimą turime:

D(X)=M2. (3)

Apskaičiuokime visas galimas kvadratinio nuokrypio vertes.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Norėdami apskaičiuoti dispersiją D(X), sudarome kvadratinio nuokrypio pasiskirstymo dėsnį ir taikome (2) formulę.

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Pažymėtina, kad dispersijai apskaičiuoti dažnai naudojama tokia savybė: dispersija D(X) yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato, t.

D(X)-M(X 2)- 2. (4)

Norėdami apskaičiuoti dispersiją pagal (4) formulę, sudarome atsitiktinio dydžio X 2 pasiskirstymo dėsnį:

Dabar suraskime matematinį lūkestį M(X 2).

M(X 2) = (48) 2 ∙ 0,2 + (53) 2 ∙ 0,4 + (57) 2 ∙ 0,3 + (61) 2 ∙ 0,1 =

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Taikydami (4), gauname:

D(X) = 2931,2-(54) 2 = 2931,2-2916 = 15,2.

Kaip matote, gavome tą patį rezultatą.

c) Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio matmens kvadratui. Todėl, norint apibūdinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę, patogiau atsižvelgti į vertę, lygią dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinei vertei, ty
. Ši reikšmė vadinama atsitiktinio dydžio X standartiniu nuokrypiu ir žymima σ. Taigi

σ=
. (5)

Taikant (5), gauname: σ=
.

Pavyzdys. Atsitiktinis dydis X pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį. Matematinė lūkestis M(X)=5; dispersijaD(X)=0,64. Raskite tikimybę, kad atlikus testą X įgis reikšmę intervale (4;7).

Sprendimas Yra žinoma, kad jei atsitiktinis dydis X nurodomas diferencine funkcija f(x), tai tikimybė, kad X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (α, β), apskaičiuojama pagal formulę

. (1)

Jei reikšmė X pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį, tai diferencialinė funkcija

,

Kur A=M(X) ir σ=
. Šiuo atveju gauname iš (1)

. (2)

Formulė (2) gali būti transformuojama naudojant Laplaso funkciją.

Padarykime pakaitalą. Leisti
. Tada
arba dx=σ∙ dt.

Vadinasi
, kur t 1 ir t 2 yra atitinkamos kintamojo t ribos.

Sumažinus σ, turime

Iš įvesto pakeitimo
seka tuo
Ir
.

Taigi,

(3)

Pagal uždavinio sąlygas turime: a=5; σ=
=0,8; α=4; β=7. Pakeitę šiuos duomenis į (3), gauname:

=Ф(2.5)-Ф(-1.25)=

=F(2,5)+F(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Pavyzdys. Manoma, kad pagamintų detalių ilgio nuokrypis nuo standarto yra atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal normalų dėsnį. Standartinis ilgis (matematinis lūkestis) a=40 cm, standartinis nuokrypis σ=0,4 cm Raskite tikimybę, kad ilgio nuokrypis nuo etalono absoliučia verte bus ne didesnis kaip 0,6 cm.

Sprendimas.Jei X yra detalės ilgis, tai pagal uždavinio sąlygas ši reikšmė turėtų būti intervale (a-δ,a+δ), kur a=40 ir δ=0,6.

Į (3) formulę įdėję α= a-δ ir β= a+δ, gauname

. (4)

Pakeitę turimus duomenis į (4), gauname:

Todėl tikimybė, kad pagamintų detalių ilgis bus nuo 39,4 iki 40,6 cm, yra 0,8664.

Pavyzdys. Gamyklos pagamintų dalių skersmuo yra atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal įprastą dėsnį. Standartinis skersmens ilgis a = 2,5 cm, standartinis nuokrypis σ=0,01. Kokiose ribose galima praktiškai garantuoti šios detalės skersmens ilgį, jei patikimu laikomas įvykis, kurio tikimybė yra 0,9973?

Sprendimas. Pagal problemos sąlygas turime:

a = 2,5; σ = 0,01; .

Taikydami formulę (4), gauname lygybę:

arba
.

Iš 2 lentelės matome, kad Laplaso funkcijos reikšmė yra x=3. Vadinasi,
; iš kur σ=0,03.

Tokiu būdu galima garantuoti, kad skersmens ilgis svyruos tarp 2,47 ir 2,53 cm.

Yra žinoma, kad skysčio paviršius prie indo sienelių yra išlenktas. Laisvas skysčio paviršius, išlenktas šalia indo sienelių, vadinamas menisku(145 pav.).

Panagrinėkime ploną skystą plėvelę, kurios storio galima nepaisyti. Siekdama sumažinti savo laisvąją energiją, plėvelė sukuria slėgio skirtumą iš skirtingų pusių. Dėl paviršiaus įtempimo jėgų skysčio lašeliuose ir muilo burbulų viduje, papildomo slėgio(plėvelė suspaudžiama tol, kol slėgis burbulo viduje viršija atmosferos slėgį papildomo plėvelės slėgio dydžiu).

Ryžiai. 146.

Akivaizdu, kad papildomo slėgio dydis turėtų didėti didėjant paviršiaus įtempimo koeficientui ir paviršiaus kreivumui.

Ryžiai. 147.

.

Ši jėga spaudžia abu pusrutulius vienas prie kito išilgai paviršiaus ir todėl sukelia papildomą spaudimą:

Sferinio paviršiaus kreivumas visur yra vienodas ir jį lemia rutulio spindulys. Akivaizdu, kad kuo mažesnis , tuo didesnis sferinio paviršiaus kreivumas.

Perteklinis slėgis muilo burbulo viduje yra dvigubai didesnis, nes plėvelė turi du paviršius:

Papildomas slėgis sukelia skysčio lygio pasikeitimą siauruose vamzdeliuose (kapiliaruose), dėl ko jis kartais vadinamas kapiliarinis slėgis.

Savavališko paviršiaus kreivumas paprastai apibūdinamas taip vadinamu vidutiniu kreivumu, kuris gali skirtis įvairiuose paviršiaus taškuose.

Vertė nurodo sferos kreivumą. Geometrijoje įrodyta, kad bet kurios tarpusavyje statmenų normaliųjų pjūvių poros abipusių kreivio spindulių pusės sumos reikšmė yra tokia pati:

. (1)

Ši vertė yra vidutinis paviršiaus kreivumas tam tikrame taške. Šioje formulėje spinduliai yra algebriniai dydžiai. Jei normalios pjūvio kreivio centras yra žemiau nurodyto paviršiaus, atitinkamas kreivio spindulys yra teigiamas; jei kreivio centras yra virš paviršiaus, kreivio spindulys yra neigiamas (148 pav.).

Ryžiai. 148.

Pavyzdžiui, rutulio kreivumo centrai bet kuriame paviršiaus taške sutampa su sferos centru, todėl . Apvalaus spindulio cilindro paviršiaus atveju turime: , ir .

Galima įrodyti, kad bet kokios formos paviršiui galioja santykis:

Pakeitę (1) išraišką į (2) formulę, gauname papildomo slėgio formulę pagal savavališką paviršių, vadinamą Laplaso formulė(148 pav.):

. (3)

Spindulys ir formulėje (3) yra algebriniai dydžiai. Jei normalios pjūvio kreivio centras yra žemiau nurodyto paviršiaus, atitinkamas kreivio spindulys yra teigiamas; jei kreivio centras yra virš paviršiaus, kreivio spindulys yra neigiamas.

Pavyzdys. Jei skystyje yra dujų burbulas, tada burbulo paviršius, linkęs trauktis, darys papildomą slėgį dujoms . Raskime burbulo spindulį vandenyje, kuriam esant papildomas slėgis lygus 1 atm. .Vandens paviršiaus įtempimo koeficientas lygus . Todėl gaunama tokia vertė: .

Susilietus su kita terpe, jis yra ypatingomis sąlygomis, palyginti su likusia skystos masės dalimi. Jėgos, veikiančios kiekvieną skysčio paviršiaus sluoksnio, besiribojančio su garais, molekulę, yra nukreiptos į skysčio tūrį, tai yra į skystį. Dėl to reikia dirbti norint perkelti molekulę iš skysčio gylio į paviršių. Jei esant pastoviai temperatūrai paviršiaus plotas padidėja be galo mažu dydžiu dS, tai tam reikalingas darbas bus lygus. Paviršiaus ploto didinimo darbai atliekami prieš paviršiaus įtempimo jėgas, kurios linkusios sumažinti paviršių. Todėl paviršiaus įtempimo darbas verčia save padidinti skysčio paviršiaus plotą bus lygus:

Čia vadinamas proporcingumo koeficientas σ paviršiaus įtempimo koeficientas ir nustatomas pagal paviršiaus įtempimo jėgų atliktą darbo kiekį, pagrįstą paviršiaus ploto pokyčiu vienetui. SI, paviršiaus įtempimo koeficientas matuojamas J/m 2.

Skysčio paviršinio sluoksnio molekulės turi perteklinę potencinę energiją, palyginti su giliosiomis molekulėmis, kuri yra tiesiogiai proporcinga skysčio paviršiaus plotui:

Paviršinio sluoksnio potencinės energijos padidėjimas siejamas tik su paviršiaus ploto padidėjimu: . Paviršiaus įtempimo jėgos yra konservatyvios jėgos, todėl galioja lygybė: . Paviršiaus įtempimo jėgos linkusios sumažinti potencialią skysčio paviršiaus energiją. Paprastai energija, kurią galima paversti darbu, vadinama laisva energija U S. Todėl galime užsirašyti. Naudodamiesi laisvosios energijos sąvoka, formulę (6.36) galime užrašyti taip: . Naudodami paskutinę lygybę galime nustatyti paviršiaus įtempimo koeficientas kaip fizikinį dydį, skaitinį lygų skysčio paviršiaus vieneto laisvajai energijai.

Paviršiaus įtempimo jėgų poveikį galima stebėti atliekant paprastą eksperimentą su plona skysčio plėvele (pavyzdžiui, muilo tirpalu), kuri gaubia stačiakampį vielos karkasą, kurio vieną pusę galima maišyti (6.11 pav.). Tarkime, kad judamąją pusę, ilgis l, veikia išorinė jėga F B , tolygiai judanti slankiąją rėmo pusę labai mažu atstumu dh. Šios jėgos elementarus darbas bus lygus , nes jėga ir poslinkis yra nukreipti kartu. Kadangi plėvelė turi du paviršius ir išilgai jų yra nukreiptos paviršiaus įtempimo jėgos F, kurių vektorinė suma lygi išorinei jėgai. Išorinės jėgos modulis lygus dvigubam vienos iš paviršiaus įtempimo jėgų moduliui: . Mažiausias išorinės jėgos atliktas darbas yra lygus paviršiaus įtempimo jėgų atliekamų darbų sumai: . Paviršiaus įtempimo jėgos atliekamo darbo kiekis bus nustatytas taip:

, Kur. Iš čia. Tai yra paviršiaus įtempimo koeficientas Galima apibrėžti kaip vertę, lygią paviršiaus įtempimo jėgai, veikiančiai liestine skysčio paviršių skiriančiosios linijos ilgio vienetui. Paviršiaus įtempimo jėgos sumažina skysčio paviršiaus plotą. Tai pastebima esant nedideliam skysčio kiekiui, kai jis yra lašelių-rutuliukų pavidalu. Kaip žinoma, sferinis paviršius turi minimalų tam tikro tūrio plotą. Skystis, paimtas dideliais kiekiais, veikiamas gravitacijos, pasklinda paviršiuje, ant kurio jis yra. Kaip žinoma, gravitacijos jėga priklauso nuo kūno masės, todėl mažėjant masei jos reikšmė taip pat mažėja ir prie tam tikros masės tampa palyginama arba net daug mažesnė už paviršiaus įtempimo jėgos reikšmę. Šiuo atveju gravitacijos jėgos galima nepaisyti. Jei skystis yra nesvarumo būsenoje, net esant dideliam tūriui, jo paviršius yra sferinis. Tai patvirtina garsioji Plateau patirtis. Jei pasirinksite du vienodo tankio skysčius, gravitacijos poveikis vienam iš jų (paimtas mažesniu kiekiu) bus kompensuojamas Archimedo jėgos ir jis įgaus rutulio formą. Esant tokioms sąlygoms, jis plūduriuos kito skysčio viduje.

Panagrinėkime, kas nutinka skysčio 1 lašui, iš vienos pusės besiribojančiam su garais 3, iš kitos pusės su skysčiu 2 (6.12 pav.). Pasirinkime labai mažą sąsajos tarp visų trijų medžiagų elementą dl. Tada paviršiaus įtempimo jėgos sąsajose tarp terpių bus nukreiptos liestiniu būdu į sąsajos kontūrą ir yra lygios:

Mes nepaisome gravitacijos poveikio. Skysčio lašas 1 yra pusiausvyroje, jei tenkinamos šios sąlygos:

(6.38)

Pakeitę (6.37) į (6.38), abi lygybių (6.38) puses sumažinę dl, abi lygybių (6.38) puses padalijus kvadratu ir sudėję, gauname:

kur kampas tarp terpės skiriamųjų linijų liestinių, vadinamas krašto kampas.

(6.39) lygties analizė rodo, kad kai gauname ir skystis 1 visiškai sudrėkina skysčio 2 paviršių, pasklisdamas ant jo plonu sluoksniu ( visiško drėkinimo reiškinys ).

Panašų reiškinį galima pastebėti plonam skysčio 1 sluoksniui pasklidus ant kieto kūno paviršiaus 2. Kartais, atvirkščiai, skystis neplinta kieto kūno paviršiumi. Jeigu , Tai ir skystis 1 nevisiškai sušlapina kietą kūną 2 ( visiško nesušlapimo reiškinys ). Šiuo atveju tarp skysčio 1 ir kietos medžiagos 2 yra tik vienas sąlyčio taškas. Visiškas sudrėkinimas arba nesudrėkimas yra ribojantys atvejai. Tikrai gali žiūrėti dalinis drėkinimas , kai kontaktinis kampas smailus () ir dalinis nedrėkimas , kai kontaktinis kampas yra bukas ( ).

6.13 pav A parodyti dalinio drėkinimo atvejai, o 6.13 pav b pateikiami dalinio nedrėkinimo pavyzdžiai. Nagrinėjami atvejai rodo, kad gretimų skysčių ar skysčių paviršiaus įtempimo jėgų buvimas kieto kūno paviršiuje sukelia skysčių paviršių kreivumą.

Panagrinėkime jėgas, veikiančias išlenktą paviršių. Skysčio paviršiaus kreivumas lemia, kad po juo esantį skystį veikia jėgos. Jei paviršius yra sferinis, tai bet kurį apskritimo elementą (žr. 6.14 pav.) veikia paviršiaus įtempimo jėgos, nukreiptos liestiniu būdu į paviršių ir linkusios jį trumpinti. Šių jėgų rezultatas yra nukreiptas į sferos centrą.

Paviršiaus ploto vienetui ši atsirandanti jėga daro papildomą slėgį, kurį patiria skystis po lenktu paviršiumi. Šis papildomas slėgis vadinamas Laplaso slėgis . Jis visada nukreiptas į paviršiaus kreivumo centrą. 6.15 paveiksle pateikti įgaubtų ir išgaubtų sferinių paviršių pavyzdžiai ir atitinkamai parodytas Laplaso slėgis.

Nustatykime Laplaso slėgio reikšmę sferiniam, cilindriniam ir bet kokiam paviršiui.

Sferinis paviršius. Skysčio lašas. Rutulio spinduliui mažėjant (6.16 pav.), paviršiaus energija mažėja, o darbą atlieka laše veikiančios jėgos. Dėl to skysčio tūris po sferiniu paviršiumi visada yra šiek tiek suspaustas, tai yra, jis patiria Laplaso slėgį, nukreiptą radialiai į kreivio centrą. Jei, veikiamas šio slėgio, rutulys sumažina savo tūrį dV, tada suspaudimo darbo kiekis bus nustatytas pagal formulę:

Paviršiaus energija sumažėjo dydžiu, nustatytu pagal formulę: (6.41)

Paviršiaus energija sumažėjo dėl suspaudimo darbo, todėl dA = dU S. Sulyginus dešiniąsias lygybių (6.40) ir (6.41) puses, taip pat atsižvelgiant į tai ir , gauname Laplaso slėgį: (6.42)

Skysčio tūris po cilindriniu paviršiumi, taip pat po sferiniu, visada yra šiek tiek suspaustas, tai yra, jis patiria Laplaso slėgį, nukreiptą radialiai į kreivio centrą. Jei, veikiant šiam slėgiui, cilindras sumažina savo tūrį dV, tada suspaudimo darbo dydis bus nustatytas pagal formulę (6.40), skirsis tik Laplaso slėgio dydis ir tūrio prieaugis. Paviršiaus energijos sumažėjimas įvyko pagal (6.41) formulę nustatytu kiekiu. Paviršiaus energija sumažėjo dėl suspaudimo darbo, todėl dA = dU S. Sulyginus dešiniąsias lygybių (6.40) ir (6.41) puses, taip pat atsižvelgiant į tai, kad cilindriniam paviršiui ir , gauname Laplaso slėgį:

Naudodami formulę (6.45), galime pereiti prie (6.42) ir (6.44) formulių. Taigi sferiniam paviršiui formulė (6.45) bus supaprastinta iki formulės (6.42); cilindriniam paviršiui r 1 = r, a , tada formulė (6.45) bus supaprastinta iki formulės (6.44). Norint atskirti išgaubtą paviršių nuo įgaubto, įprasta daryti prielaidą, kad Laplaso slėgis yra teigiamas išgaubtam paviršiui, todėl išgaubto paviršiaus kreivio spindulys taip pat bus teigiamas. Įgaubtam paviršiui kreivio spindulys ir Laplaso slėgis laikomi neigiamais.