Daugelis problemų verčia mus ieškoti funkcijų reikšmių rinkinio tam tikrame segmente arba visoje apibrėžimo srityje. Tokios užduotys apima įvairius posakių vertinimus ir nelygybių sprendimą.
Šiame straipsnyje apibrėžsime funkcijos reikšmių diapazoną, apsvarstysime jos radimo būdus ir išsamiai išanalizuosime pavyzdžių sprendimą nuo paprastų iki sudėtingesnių. Visa medžiaga aiškumo dėlei bus pateikta su grafinėmis iliustracijomis. Taigi šis straipsnis yra išsamus atsakymas į klausimą, kaip rasti funkcijos diapazoną.
Apibrėžimas.
Funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinys intervale X yra visų funkcijos reikšmių rinkinys, kurio reikia, kai kartojama per visus .
Apibrėžimas.
Funkcijų diapazonas y = f(x) yra visų funkcijos reikšmių rinkinys, kurio reikia, kai kartojama per visus x iš apibrėžimo srities.
Funkcijos diapazonas žymimas E(f) .
Funkcijos diapazonas ir funkcijos reikšmių rinkinys nėra tas pats dalykas. Šias sąvokas laikysime lygiaverčiomis, jei intervalas X ieškant funkcijos y = f(x) reikšmių aibės sutampa su funkcijos apibrėžimo sritimi.
Be to, nepainiokite funkcijos diapazono su kintamuoju x, skirtu reiškiniui dešinėje lygties y=f(x) pusėje. Kintamojo x leistinų reikšmių diapazonas išraiškai f(x) yra funkcijos y=f(x) apibrėžimo sritis.
Paveiksle pateikti keli pavyzdžiai.
Funkcijų grafikai rodomi storomis mėlynomis linijomis, plonos raudonos linijos yra asimptotės, raudoni taškai ir linijos Oy ašyje rodo atitinkamos funkcijos reikšmių diapazoną.
Kaip matote, funkcijos reikšmių diapazonas gaunamas projektuojant funkcijos grafiką į y ašį. Tai gali būti vienas skaičius (pirmasis atvejis), skaičių rinkinys (antrasis atvejis), segmentas (trečiasis atvejis), intervalas (ketvirtasis atvejis), atviras spindulys (penktasis atvejis), sąjunga (šeštasis atvejis) ir kt. .
Taigi, ką reikia padaryti norint rasti funkcijos reikšmių diapazoną?
Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo: parodysime, kaip nustatyti ištisinės funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį segmente.
Yra žinoma, kad funkcija, kuri tęsiasi tam tikru intervalu, pasiekia didžiausią ir mažiausią reikšmes. Taigi segmento pradinės funkcijos reikšmių rinkinys bus segmentas 
. Todėl mūsų užduotis yra surasti didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.
Pavyzdžiui, suraskime arcsininės funkcijos verčių diapazoną.
Pavyzdys.
Nurodykite funkcijos y = arcsinx diapazoną.
Sprendimas.
Arsinuso apibrėžimo sritis yra atkarpa [-1; 1]. Raskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę šiame segmente. 
Išvestinė yra teigiama visiems x iš intervalo (-1; 1), tai yra, arcsininė funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Todėl ji įgauna mažiausią reikšmę, kai x = -1, ir didžiausią, kai x = 1. 
Gavome arcsininės funkcijos diapazoną 
.
Pavyzdys.
Raskite funkcijų reikšmių rinkinį 
segmente.
Sprendimas.
Raskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame segmente.
Nustatykime segmentui priklausančius ekstremumo taškus: 
Apskaičiuojame pradinės funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir taškuose 
:
Todėl funkcijos reikšmių rinkinys intervale yra intervalas 
.
Dabar parodysime, kaip rasti nuolatinės funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervaluose (a; b) , .
Pirma, mes nustatome ekstremumo taškus, funkcijos ekstremumus, funkcijos padidėjimo ir sumažėjimo intervalus tam tikrame intervale. Toliau apskaičiuojame intervalo galuose ir (arba) ribas begalybėje (tai yra, tiriame funkcijos elgseną intervalo arba begalybės ribose). Šios informacijos pakanka, kad būtų galima rasti funkcijų reikšmių rinkinį tokiais intervalais.
Pavyzdys.
Apibrėžkite funkcijų reikšmių rinkinį intervale (-2; 2) .
Sprendimas.
Raskime funkcijos ekstremalius taškus, patenkančius į intervalą (-2; 2): 
Taškas x = 0 yra maksimalus taškas, nes eidama per jį išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o funkcijos grafikas pereina iš didėjančio į mažėjantį. 
yra atitinkamas funkcijos maksimumas.
Išsiaiškinkime funkcijos elgseną, kai x yra linkęs į -2 dešinėje, o kaip x linkęs į 2 kairėje, tai yra, rasime vienpuses ribas: 
Ką mes gavome: kai argumentas pasikeičia iš -2 į nulį, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki minus ketvirtadalio (funkcijos maksimumas, kai x = 0), kai argumentas pasikeičia iš nulio į 2, funkcijų reikšmės sumažėja iki minus begalybės. Taigi intervalo (-2; 2) funkcijų reikšmių rinkinys yra .
Pavyzdys.
Nurodykite tangentinės funkcijos y = tgx verčių rinkinį intervale.
Sprendimas.
Intervalo liestinės funkcijos išvestinė yra teigiama 
, o tai rodo funkcijos padidėjimą. Ištirkime funkcijos elgesį intervalo ribose: 
Taigi, kai argumentas pasikeičia iš į, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki plius begalybės, tai yra, liestinės verčių rinkinys šiame intervale yra visų realiųjų skaičių rinkinys.
Pavyzdys.
Raskite natūraliojo logaritmo funkcijos diapazoną y = lnx.
Sprendimas.
Natūralaus logaritmo funkcija yra apibrėžta teigiamoms argumento reikšmėms 
. Šiame intervale išvestinė yra teigiama 
, tai rodo jo funkcijos padidėjimą. Raskime vienpusę funkcijos ribą, nes argumentas linkęs į nulį dešinėje, o riba kaip x linkusi į plius begalybę: 
Matome, kad x keičiant iš nulio į pliuso begalybę, funkcijos reikšmės didėja nuo minus begalybės iki plius begalybės. Todėl natūraliojo logaritmo funkcijos diapazonas yra visa realiųjų skaičių rinkinys.
Pavyzdys.
Sprendimas.
Ši funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms. Nustatykime ekstremumo taškus, taip pat funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus. 
Vadinasi, funkcija mažėja ties , didėja ties , x = 0 yra didžiausias taškas, 
atitinkamą funkcijos maksimumą.
Pažvelkime į funkcijos elgseną begalybėje: 
Taigi begalybėje funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie nulio.
Mes nustatėme, kad argumentui pasikeitus iš minus begalybės į nulį (maksimalaus taško), funkcijos reikšmės padidėja nuo nulio iki devynių (iki funkcijos maksimumo), o kai x keičiasi iš nulio į pliuso begalybę, funkcijos reikšmės sumažės nuo devynių iki nulio.
Pažiūrėkite į scheminį brėžinį.
Dabar aiškiai matoma, kad funkcijos reikšmių diapazonas yra .
Norint rasti funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervaluose, reikia panašių tyrimų. Šiuo metu mes plačiau nenagrinėsime šių atvejų. Su jais vėl susitiksime toliau pateiktuose pavyzdžiuose.
Tegul funkcijos y = f(x) apibrėžimo sritis yra kelių intervalų sąjunga. Surandant tokios funkcijos reikšmių diapazoną, nustatomos kiekvieno intervalo reikšmių rinkiniai ir imamasi jų sujungimo.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos diapazoną.
Sprendimas.
Mūsų funkcijos vardiklis neturi eiti į nulį, tai yra, .
Pirma, suraskime funkcijų reikšmių rinkinį atvirame spindulie.
Funkcijos išvestinė 
yra neigiamas šiame intervale, tai yra, funkcija jame sumažėja. 
Mes nustatėme, kad argumentui atėmus begalybę, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie vienybės. Kai x keičiasi iš minus begalybės į du, funkcijos reikšmės sumažėja nuo vienos iki minus begalybės, tai yra, nagrinėjamame intervale funkcija įgauna reikšmių rinkinį. Vienybės neįtraukiame, nes funkcijos reikšmės jos nepasiekia, o tik asimptotiškai linksta prie minus begalybės.
Panašiai elgiamės su atvira sija.
Šiuo intervalu funkcija taip pat mažėja. 
Funkcijų reikšmių rinkinys šiame intervale yra rinkinys .
Taigi, norimas funkcijos reikšmių diapazonas yra rinkinių ir sąjunga.
Grafinė iliustracija.
Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas periodinėms funkcijoms. Periodinių funkcijų reikšmių diapazonas sutampa su verčių rinkiniu intervale, atitinkančiame šios funkcijos laikotarpį.
Pavyzdys.
Raskite sinusinės funkcijos y = sinx diapazoną.
Sprendimas.
Ši funkcija yra periodinė su dviejų pi periodu. Paimkime segmentą ir apibrėžkime jame esančių reikšmių rinkinį. 
Segmentą sudaro du ekstremumo taškai ir .
Šiuose taškuose ir atkarpos ribose apskaičiuojame funkcijos reikšmes, pasirenkame mažiausią ir didžiausią reikšmes: 
Vadinasi, 
.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos diapazoną 
.
Sprendimas.
Mes žinome, kad lanko kosinuso diapazonas yra atkarpa nuo nulio iki pi, tai yra, 
arba kitame įraše. Funkcija 
galima gauti iš arccosx perkeliant ir ištempiant išilgai abscisių ašies. Tokios transformacijos neturi įtakos reikšmių diapazonui, todėl 
. Funkcija 
gauta iš ištempti tris kartus išilgai Oy ašies, tai yra, 
. Ir paskutinis transformacijos etapas yra keturių vienetų poslinkis žemyn išilgai ordinatės. Tai mus veda į dvigubą nelygybę 
Taigi reikalingas verčių diapazonas yra 
.
Pateiksime sprendimą kitam pavyzdžiui, bet be paaiškinimų (jie nebūtini, nes yra visiškai panašūs).
Pavyzdys.
Apibrėžkite funkcijų diapazoną 
.
Sprendimas.
Parašykime pradinę funkciją formoje 
. Galios funkcijos verčių diapazonas yra intervalas. Tai yra, . Tada 
Vadinasi, 
.
Norėdami užbaigti vaizdą, turėtume kalbėti apie funkcijos reikšmių diapazono suradimą, kuris nėra tęstinis apibrėžimo srityje. Šiuo atveju apibrėžimo sritį padalijame į intervalus pagal lūžio taškus ir kiekviename iš jų randame reikšmių rinkinius. Sujungę gautus reikšmių rinkinius, gauname pradinės funkcijos reikšmių diapazoną. Rekomenduojame prisiminti
Vieno kintamojo priklausomybė nuo kito vadinama funkcinė priklausomybė. Priklausomybės kintamasis y iš kintamojo x paskambino funkcija, jei kiekviena vertė x atitinka vieną reikšmę y.
Pavadinimas:
Kintamasis x vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentas, ir kintamasis y- priklausomas. Jie taip sako y yra funkcija x. Reikšmė y, atitinkanti nurodytą vertę x, paskambino funkcijos reikšmė.
Visos vertybės, kurias jis priima x, forma funkcijos sritis; visos reikalingos vertybės y, forma funkcijų reikšmių rinkinys.
Pavadinimai: 
D(f)- argumentų vertybės. E(f)- funkcijų reikšmės. Jei funkcija pateikiama formule, apibrėžimo sritis laikoma sudaryta iš visų kintamojo, kuriam ši formulė yra prasminga, reikšmių.
Funkcijų grafikas yra visų koordinačių plokštumos taškų, kurių abscisės yra lygios argumento reikšmėms, o ordinatės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms, rinkinys. Jei kokia nors vertė x=x 0 atitinka kelias vertes (ne tik vieną) y, tada toks atitikimas nėra funkcija. Kad koordinačių plokštumos taškų aibė būtų tam tikros funkcijos grafikas, būtina ir pakanka, kad bet kuri tiesė, lygiagreti Oy ašiai, susikerta su grafiku ne daugiau kaip viename taške.
Funkcijos nustatymo metodai
1) Funkciją galima nustatyti analitiškai formulės pavidalu. Pavyzdžiui, 
2) Funkciją galima nurodyti daugelio porų lentele (x; y).
3) Funkciją galima nurodyti grafiškai. Vertybių poros (x; y) yra pavaizduoti koordinačių plokštumoje.
Funkcijos monotoniškumas
Funkcija f(x) paskambino didėja duotame skaitiniame intervale, jei didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Įsivaizduokite, kad tam tikras taškas juda grafike iš kairės į dešinę. Tada taškas tarsi „lips“ grafike aukštyn.
Funkcija f(x) paskambino mažėja duotame skaitiniame intervale, jei didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę. Įsivaizduokite, kad tam tikras taškas juda grafike iš kairės į dešinę. Tada atrodys, kad taškas „riedės“ grafike žemyn.
Iškviečiama funkcija, kuri tik didėja arba tik mažėja tam tikru skaitiniu intervalu monotoniškasšiuo intervalu.
Funkcijos nuliai ir pastovaus ženklo intervalai
Vertybės X, kuriame y=0, paskambino funkcijos nuliai. Tai funkcijos grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškų abscisės.
Tokie verčių diapazonai x, ant kurių funkcijos reikšmės y vadinami tik teigiami arba tik neigiami funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Lyginės ir nelyginės funkcijos
Netgi funkcija
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu, tai yra, jei taškas a priklauso apibrėžimo sričiai, tada taškui -a taip pat priklauso apibrėžimo sričiai.
2) Bet kokiai vertei x f(-x)=f(x)
3) Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas Oy ašiai.
Keista funkcija turi šias savybes:
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu.
2) bet kokiai vertei x, priklausantis apibrėžimo sričiai, lygybei f(-x)=-f(x)
3) Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios (0; 0) atžvilgiu.
Ne kiekviena funkcija yra lyginė ar nelyginė. Funkcijos bendras vaizdas nėra nei lyginiai, nei nelyginiai.
Periodinės funkcijos
Funkcija f vadinamas periodiniu, jei yra toks skaičius, kad bet kuriam x iš apibrėžimo srities lygybė f(x)=f(x-T)=f(x+T). T yra funkcijos laikotarpis.
Kiekviena periodinė funkcija turi begalinį periodų skaičių. Praktikoje dažniausiai atsižvelgiama į mažiausią teigiamą laikotarpį.
Periodinės funkcijos reikšmės kartojasi po intervalo, lygaus periodui. Tai naudojama kuriant grafikus.
Pažiūrėkime, kaip išnagrinėti funkciją naudojant grafiką. Pasirodo, pažvelgę į grafiką galime sužinoti viską, kas mus domina, būtent:
- funkcijos sritis
- funkcijų diapazonas
- funkcijos nuliai
- didėjimo ir mažėjimo intervalai
- maksimalus ir minimalus balas
- didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė.
Paaiškinkime terminologiją:
Abscisė yra taško horizontalioji koordinatė.
Ordinatė- vertikali koordinatė.
Abscisių ašis- horizontalioji ašis, dažniausiai vadinama ašimi.
Y ašis- vertikali ašis arba ašis.
Argumentas- nepriklausomas kintamasis, nuo kurio priklauso funkcijos reikšmės. Dažniausiai nurodoma.
Kitaip tariant, pasirenkame , pakeičiame funkcijas į formulę ir gauname .
Domenas Funkcijos - tų (ir tik tų) argumentų reikšmių, kurioms funkcija egzistuoja, rinkinys.
Nurodoma: arba .
Mūsų paveiksle funkcijos apibrėžimo sritis yra segmentas. Būtent šiame segmente nubraižytas funkcijos grafikas. Tai vienintelė vieta, kur egzistuoja ši funkcija.
Funkcijų diapazonas yra reikšmių rinkinys, kurį turi kintamasis. Mūsų paveiksle tai yra segmentas - nuo mažiausios iki didžiausios vertės.
Funkcijos nuliai- taškai, kuriuose funkcijos reikšmė lygi nuliui, tai yra. Mūsų paveiksle tai yra taškai ir .
Funkcijų reikšmės yra teigiamos kur . Mūsų paveiksle tai yra intervalai ir .
Funkcijų reikšmės yra neigiamos kur . Mums tai yra intervalas (arba intervalas) nuo iki .
Svarbiausios sąvokos - didina ir mažina funkciją kažkokiame rinkinyje. Kaip rinkinį galite paimti atkarpą, intervalą, intervalų sąjungą arba visą skaičių eilutę.
Funkcija dideja
Kitaip tariant, kuo daugiau, tuo daugiau, tai yra, grafikas eina į dešinę ir į viršų.
Funkcija mažėja ant rinkinio, jei bet ir priklausantis rinkiniui, nelygybė reiškia nelygybę .
Mažėjančiai funkcijai didesnė reikšmė atitinka mažesnę reikšmę. Grafikas eina į dešinę ir žemyn.
Mūsų paveiksle funkcija didėja intervale ir mažėja intervalais ir .
Apibrėžkime, kas tai yra maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.
Maksimalus taškas- tai vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra didesnė nei visuose pakankamai arti jos taškuose.
Kitaip tariant, maksimalus taškas yra taškas, kuriame funkcijos reikšmė daugiau nei kaimyninėse. Tai vietinė „kalva“ diagramoje.
Mūsų paveiksle yra maksimalus taškas.
Minimalus taškas- vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra mažesnė nei visuose pakankamai artimuose taškuose.
Tai yra, minimalus taškas yra toks, kad funkcijos reikšmė jame yra mažesnė nei jos kaimynėse. Tai vietinė „skylė“ grafike.
Mūsų paveiksle yra minimalus taškas.
Esmė yra riba. Tai nėra vidinis apibrėžimo srities taškas ir todėl netinka maksimalaus taško apibrėžimui. Juk kairėje kaimynų ji neturi. Taip pat mūsų diagramoje negali būti minimalaus taško.
Didžiausias ir mažiausias taškai kartu vadinami funkcijos ekstremalūs taškai. Mūsų atveju tai yra ir .
Ką daryti, jei reikia rasti, pvz. minimali funkcija segmente? Šiuo atveju atsakymas yra toks:. Nes minimali funkcija yra jo vertė minimaliame taške.
Panašiai mūsų funkcijos maksimumas yra . Jis pasiekiamas taške.
Galime sakyti, kad funkcijos ekstremumai yra lygūs ir .
Kartais reikia rasti problemų didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės tam tikrame segmente. Jie nebūtinai sutampa su kraštutinumais.
Mūsų atveju mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje yra lygus ir sutampa su funkcijos minimumu. Tačiau didžiausia jo vertė šiame segmente yra lygi . Jis pasiekiamas kairiajame segmento gale.
Bet kokiu atveju didžiausios ir mažiausios ištisinės funkcijos reikšmės segmente pasiekiamos ekstremaliuose taškuose arba atkarpos galuose.
SACHALINO REGIONO ŠVIETIMO MINISTERIJA
GBPOU "STATYBOS TECHNIKA"
Praktinis darbas
„Matematikos“ disciplinoje
Skyrius: " Funkcijos, jų savybės ir grafikai“.
Tema: Funkcijos. Funkcijos domenas ir reikšmių rinkinys. Lyginės ir nelyginės funkcijos.
(didaktinė medžiaga)
Parengė:
Mokytojas
Kazantseva N.A.
Južno-Sachalinskas-2017 m
Praktinis matematikos darbaspagal skyrių« ir metodiniusjų įgyvendinimo instrukcijos skirtos mokiniamsGBPOU „Sachalino statybos koledžas“
Parengė : Kazantseva N. A., matematikos mokytoja
Medžiagoje pateikiami praktiniai matematikos darbai« Funkcijos, jų savybės ir grafikai“ Ir jų įgyvendinimo instrukcijos. Gairės sudarytos pagal matematikos darbo programą ir skirtos Sachalino statybos kolegijos studentams, besimokančių studentų bendrojo ugdymo programas.
1) Praktinė pamoka Nr.1. Funkcijos. Funkcijos apibrėžimo sritis ir reikšmių rinkinys.…………………………………………………………………4
2)Praktinė pamoka Nr.2 . Lyginės ir nelyginės funkcijos………………….6
Praktinė pamoka Nr.1
Funkcijos. Funkcijos domenas ir reikšmių rinkinys.
Tikslai: įtvirtinti įgūdžius ir problemų sprendimo įgūdžius tema: „Funkcijos apibrėžimo sritis ir verčių rinkinys.
Įranga:
Pastaba. Pirmiausia turėtumėte pakartoti teorinę medžiagą tema: „Apibrėžimo sritis ir funkcijos reikšmių rinkinys“, po kurios galite pradėti vykdyti praktinę dalį.
Gairės:
Apibrėžimas: Funkcijos domenas– tai visų argumento x reikšmių rinkinys, kuriame nurodyta funkcija (arba x rinkinys, kuriam funkcija turi prasmę).
Pavadinimas:D(y),D( f)- funkcijos apibrėžimo sritis.
Taisyklė: Norėdami rasti oblastiNorint nustatyti funkciją iš grafiko, būtina sukurti OX grafiką.
Apibrėžimas:Funkcijų diapazonasyra y aibė, kuriai funkcija turi prasmę.
Pavadinimas: E(y), E(f)- funkcijos diapazonas.
Taisyklė: Norėdami rasti oblastiFunkcijos reikšmės pagal grafiką, grafikas turi būti projektuojamas ant operacinės sistemos stiprintuvo.
№ 1. Raskite funkcijos reikšmes:
a) f(x) = 4 x+ taškuose 2;20 ;
b) f(x) = 2 · cos(x) taškuose; 0;
V) f(x) = taškuose 1;0; 2;
G) f(x) = 6 nuodėmė 4 x taškuose; 0;
e) f(x) = 2 9 x+ 10 2 taškuose; 0; 5.
№ 2. Raskite funkcijos domeną:
a) f(x) = ; b ) f(x) = ; V ) f(x) = ;
G) f(x) = ; d) f(x) = ; e) f (x) = 6 x +1;
ir) f(x) = ; h) f(x) = .
№3. Raskite funkcijos diapazoną:
A) f(x) = 2+3 x; b) f(x) = 2 7 x + 3.
№ 4. Raskite funkcijos, kurios grafikas parodytas paveiksle, apibrėžimo sritį ir reikšmės sritį:
Praktinė pamoka Nr.2
Lyginės ir nelyginės funkcijos.
Tikslai: įtvirtinti įgūdžius ir problemų sprendimo įgūdžius tema: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“.
Įranga: sąsiuvinis praktiniams darbams, rašiklis, darbo atlikimo gairės
Pastaba. Pirmiausia turėtumėte pakartoti teorinę medžiagą tema: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, po kurios galite pradėti atlikti praktinę dalį.
Nepamirškite apie teisingą sprendimo formatavimą.
Gairės:
Svarbiausios funkcijų savybės yra lygumas ir nelygumas.
Apibrėžimas: Funkcija vadinamanelyginis pokyčius jo prasmė priešingai,
tie. f (x) = f (x).
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei (0;0).
Pavyzdžiai : nelyginės funkcijos yra y=x, y=, y= nuodėmė x ir kiti
Pavyzdžiui, y= grafikas iš tikrųjų yra simetriškas kilmės atžvilgiu (žr. 1 pav.):
1 pav. G grafikas y= (kubinė parabolė)
Apibrėžimas: Funkcija vadinamanet , jei keičiant argumento ženklą, tainesikeičia jo prasmė, t.y. f (x) = f (x).
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu.
Pavyzdžiai : lyginės funkcijos yra funkcijos y=, y= ,
y= cosx ir kt.
Pavyzdžiui, parodykime grafiko y= simetriją operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu:
2 pav. Grafikas =
Praktinio darbo užduotys:
№1. Analitiškai ištirkite lyginio ar nelyginio funkciją:
1) f (x) = 2 x 3 – 3; 2) f (x) = 5 x 2 + 3;
3) g (x) = – +; 4) g (x) = –2 x 3 + 3;
5) y(x)= 7xc tgx; 6) y(x)= + cosx;
7) t(x)= tgx 3; 8) t(x) = + nuodėmėx.
№2. Analitiškai ištirkite lyginio ar nelyginio funkciją:
1) f (x) = ; 2) f (x) = 6 + · nuodėmė 2 x· cosx;
3) f (x) = ; 4) f (x) = 2 + · cos 2 x· nuodėmėx;
5) f (x) = ; 6) f (x) = 3 + · nuodėmė 4 x· cosx;
7) f (x) = ; 8) f (x) = 3 + · cos 4 x· nuodėmėx.
№3. Išnagrinėkite lyginių ar nelyginių funkciją pagal grafiką:
№4. Patikrinkite, ar funkcija lyginė ar nelyginė?
Instrukcijos
Atminkite, kad funkcija yra kintamojo Y priklausomybė nuo kintamojo X taip, kad kiekviena kintamojo X reikšmė atitinka vieną kintamojo Y reikšmę.
Kintamasis X yra nepriklausomas kintamasis arba argumentas. Y kintamasis yra priklausomas kintamasis. Taip pat manoma, kad kintamasis Y yra kintamojo X funkcija. Funkcijos reikšmės yra lygios priklausomo kintamojo reikšmėms.
Aiškumo dėlei užrašykite posakius. Jeigu kintamojo Y priklausomybė nuo kintamojo X yra funkcija, tai ji rašoma taip: y=f(x). (Skaityti: y lygus f iš x.) Naudokite simbolį f(x), norėdami pažymėti funkcijos reikšmę, atitinkančią argumento reikšmę, lygią x.
Funkcijos tyrimas paritetas arba nelyginis- vienas iš bendro funkcijos tyrimo algoritmo žingsnių, būtinas funkcijos grafikui sudaryti ir jos savybėms tirti. Šiame žingsnyje turite nustatyti, ar funkcija lygi, ar nelyginė. Jei funkcijos negalima sakyti, kad ji yra lyginė ar nelyginė, tada sakoma, kad ji yra bendrosios formos funkcija.
Instrukcijos
Pakeiskite argumentą x (-x) ir pažiūrėkite, ką gausite. Palyginkite su pradine funkcija y(x). Jei y(-x)=y(x), turime lyginę funkciją. Jei y(-x)=-y(x), turime nelyginę funkciją. Jei y(-x) nelygus y(x) ir nelygus -y(x), turime bendrosios formos funkciją.
Visas operacijas su funkcija galima atlikti tik rinkinyje, kuriame ji apibrėžta. Todėl, tiriant funkciją ir kuriant jos grafiką, pirmasis vaidmuo tenka apibrėžimo srities paieškai.
Instrukcijos
Jei funkcija y=g(x)/f(x), išspręskite f(x)≠0, nes trupmenos vardiklis negali būti lygus nuliui. Pavyzdžiui, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. Tai yra, apibrėžimo sritis bus aibė (-∞; 4)∪(4; +∞).
Kai funkcijos apibrėžime yra lygi šaknis, išspręskite nelygybę, kai reikšmė yra didesnė arba lygi nuliui. Lyginę šaknį galima paimti tik iš neneigiamo skaičiaus. Pavyzdžiui, y=√(x−2), x−2≥0. Tada apibrėžimo sritis yra aibė, tai yra, jei y=arcsin(f(x)) arba y=arccos(f(x)), reikia išspręsti dvigubą nelygybę -1≤f(x)≤1. Pavyzdžiui, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Apibrėžimo sritis bus segmentas [-3; -1].
Galiausiai, jei pateikiamas skirtingų funkcijų derinys, tada apibrėžimo sritis yra visų šių funkcijų apibrėžimo sričių sankirta. Pavyzdžiui, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). Pirmiausia suraskite visų terminų apibrėžimo sritį. Sin(2*x) yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Funkcijai x/√(x+2) išspręskite nelygybę x+2>0 ir apibrėžimo sritis bus (-2; +∞). Funkcijos arcsin(x−6) apibrėžimo sritis pateikiama dviguba nelygybe -1≤x-6≤1, tai yra, gaunama atkarpa. Logaritmui galioja nelygybė x−6>0, ir tai yra intervalas (6; +∞). Taigi funkcijos apibrėžimo sritis bus aibė (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), tai yra (6; 7]).
Video tema
Šaltiniai:
- funkcijos sritis su logaritmu
Funkcija yra sąvoka, atspindinti ryšį tarp aibių elementų, arba, kitaip tariant, tai „dėsnis“, pagal kurį kiekvienas vienos aibės elementas (vadinamas apibrėžimo sritimi) yra susietas su kokiu nors kitos aibės elementu (vadinamasis). vertybių sritis).
