Tema Nr.2.

Algebrinių išraiškų konvertavimas

aš. Teorinė medžiaga

Pagrindinės sąvokos

Algebrinė išraiška: sveikasis skaičius, trupmeninė, racionali, neracionali.

Apibrėžimo sritis, galiojančios išraiškos reikšmės.

Algebrinės išraiškos reikšmė.

Monomialas, daugianaris.

Sutrumpintos daugybos formulės.

Faktorizavimas, bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų.

Pagrindinė trupmenos savybė.

Laipsnis, laipsnio savybės.

Kortym, šaknų savybės.

Racionalių ir neracionalių posakių transformacija.

Išraiška, sudaryta iš skaičių ir kintamųjų, naudojant sudėjimo, atimties, daugybos, dalybos, didinimo iki racionalaus laipsnio, šaknies ištraukimo ir skliaustų ženklus, vadinama algebrinė.

Pavyzdžiui: ;
;
;

;
;
;
.

Jei algebrinėje išraiškoje nėra padalijimo į kintamuosius ir kintamųjų šaknų (ypač didinimo iki laipsnio su trupmeniniu rodikliu), tada ji vadinama visa.

Pavyzdžiui:
;
;
.

Jei algebrinė išraiška sudaryta iš skaičių ir kintamųjų, naudojant sudėties, atimties, daugybos, eksponencijos su natūraliuoju rodikliu ir dalybos operacijas bei dalijimą į išraiškas su kintamaisiais, tada ji vadinama trupmeninis.

Pavyzdžiui:
;
.

Vadinamos sveikosios ir trupmeninės išraiškos racionalus posakius.

Pavyzdžiui: ;
;

.

Jei algebrinė išraiška apima kintamųjų šaknų paėmimą (arba kintamųjų didinimą iki trupmeninės laipsnio), tada tokia algebrinė išraiška vadinama neracionalus.

Pavyzdžiui:
;
.

Vadinamos kintamųjų, kuriems turi prasmę algebrinė išraiška, reikšmės galiojančios kintamųjų reikšmės.

Vadinamas visų galimų kintamųjų reikšmių rinkinys apibrėžimo sritis.

Visos algebrinės išraiškos apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė.

Dalinės algebrinės išraiškos apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus tuos, kurių vardiklis yra nulis, rinkinys.

Pavyzdžiui: prasminga, kai
;

prasminga, kai
, tai yra, kada
.

Iracionalios algebrinės išraiškos apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė, išskyrus tuos, kurie neigiamu skaičiumi paverčia išraišką po lyginio laipsnio šaknies ženklu arba po kėlimo į trupmeninę laipsnio ženklu.

Pavyzdžiui:
prasminga, kai
;

prasminga, kai
, tai yra, kada
.

Skaitinė reikšmė, gauta pakeičiant leistinas kintamųjų reikšmes į algebrinę išraišką, vadinama algebrinės išraiškos reikšmė.

Pavyzdžiui: išraiška
adresu
,
įgauna vertę
.

Vadinama algebrinė išraiška, kurioje yra tik skaičiai, natūraliosios kintamųjų galios ir jų sandaugos monominė.

Pavyzdžiui:
;
;
.

Monomialas, parašytas kaip skaitinio veiksnio ir įvairių kintamųjų laipsnių sandauga, sumažinamas iki standartinis vaizdas.

Pavyzdžiui:
;
.

Standartinio monomilo žymėjimo skaitinis koeficientas vadinamas monomialo koeficientas. Visų kintamųjų rodiklių suma vadinama monomijos laipsnis.

Padauginus monomiją iš monomio ir padidinus monomiją iki natūralios laipsnio, gauname monomiją, kuri turi būti sumažinta iki standartinės formos.

Monomių suma vadinama daugianario.

Pavyzdžiui:
; ;
.

Jei visi daugianario nariai parašyti standartine forma, o panašūs nariai redukuojami, tada gautasis standartinės formos daugianario.

Pavyzdžiui: .

Jei polinome yra tik vienas kintamasis, tada vadinamas didžiausias šio kintamojo eksponentas daugianario laipsnis.

Pavyzdžiui: Dauginamas turi penktąjį laipsnį.

Iškviečiama kintamojo reikšmė, kurioje daugianario reikšmė lygi nuliui daugianario šaknis.

Pavyzdžiui: daugianario šaknys
yra skaičiai 1,5 ir 2.

Sutrumpintos daugybos formulės

Ypatingi sutrumpintų daugybos formulių naudojimo atvejai

Kvadratų skirtumas:
arba

Kvadratinė suma:
arba

Skirtumas kvadratu:
arba

Kubų suma:
arba

Kubelių skirtumas:
arba

Sumos kubas:
arba

Skirtumo kubas:
arba

Polinomo pavertimas kelių faktorių sandauga (polinomais arba vienanariais) vadinamas faktoringo daugianario.

Pavyzdžiui:.

Polinomo faktorinavimo metodai

Pavyzdžiui: .

Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas.

Pavyzdžiui: .

Grupavimo metodas. Komutaciniai ir asociatyviniai dėsniai leidžia įvairiai grupuoti daugianario narius. Vienas iš būdų lemia tai, kad skliausteliuose gaunama ta pati išraiška, kuri savo ruožtu išimama iš skliaustų.

Pavyzdžiui:.

Bet kurią trupmeninę algebrinę išraišką galima parašyti kaip dviejų racionalių išraiškų, kurių vardiklyje yra kintamasis, koeficientą.

Pavyzdžiui:
.

Trupmena, kurioje skaitiklis ir vardiklis yra racionalios išraiškos, o vardiklis turi kintamąjį, vadinama racionalioji trupmena.

Pavyzdžiui:
;
;
.

Jei racionaliosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba dalijami iš to paties nulinio skaičiaus, vienanario ar daugianario, trupmenos reikšmė nesikeičia. Ši išraiška vadinama pagrindinė trupmenos savybė:

.

Vadinamas veiksmas, kai trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijamas iš to paties skaičiaus sumažinant dalį:

.

Pavyzdžiui:
;
.

Darbas n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus A, Kur A yra savavališka algebrinė išraiška arba tikrasis skaičius, ir n- natūralusis skaičius, vadinamas laipsnįA :

.

Algebrinė išraiška A paskambino laipsnio pagrindu, numeris
n – indikatorius.

Pavyzdžiui:
.

Pagal apibrėžimą manoma, kad bet kuriai A, nelygu nuliui:

Ir
.

Jeigu
, Tai
.

Laipsnio savybės

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

jei ,
, tada išraiška n-kurio laipsnis lygus A, paskambino šaknisn laipsnisA . Paprastai jis žymimas
. Tuo pačiu metu A paskambino radikali išraiška, n paskambino šaknies indeksas.

Pavyzdžiui:
;
;
.

Šaknų savybėsna laipsnis

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Apibendrindami laipsnio ir šaknies sąvokas, gauname laipsnio sąvoką su racionaliuoju rodikliu:

.

Visų pirma,
.

Veiksmai, atliekami su šaknimis

Pavyzdžiui: .

II. Praktinė medžiaga

Užduočių atlikimo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Raskite trupmenos vertę
.

Atsakymas: .

2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką
.

Transformuokime išraišką pirmuosiuose skliaustuose:

, Jei
.

Paverskime išraišką antruose skliaustuose:

.

Padalinkime rezultatą iš pirmojo skliausto iš rezultato iš antrojo skliausto:

Atsakymas:

3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

.

4 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.

Paverskime pirmąją trupmeną:

.

Paverskime antrąją trupmeną:

.

Rezultate gauname:
.

5 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką
.

Sprendimas. Nuspręskime dėl šių veiksmų:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Atsakymas:
.

6 pavyzdys.Įrodykite tapatybę
.

1)
;

2)
;

7 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

.

Sprendimas. Atlikite šiuos veiksmus:

;

2)
.

8 pavyzdys.Įrodykite tapatybę
.

Sprendimas. Atlikite šiuos veiksmus:

1)
;

2)

;

3)
.

Savarankiško darbo užduotys

1. Supaprastinkite posakį:

A)
;

b)
;

2. Atsižvelgti į:

A)
;

b)
;.dokumentas

Tema Nr. 5.1. Trigonometrinės lygtys I. Teorinismedžiaga Pagrindinės sąvokos Trigonometrinė lygtis... naudojant įvairius algebrinė ir trigonometrines formules ir transformacijos. II. Praktiška medžiaga Užduočių atlikimo pavyzdžiai...

Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.

Komutacinė sudėjimo savybė: terminų pertvarkymas nekeičia sumos vertės. Bet kokiems skaičiams a ir b lygybė yra teisinga

Sudėties jungtinė savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Komutacinė daugybos savybė: perstačius veiksnius sandaugos vertė nekeičiama. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Kombinacinė daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos.

Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Paskirstymo ypatybė: norėdami padauginti skaičių iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Iš komutacinės ir kombinacinės sudėties savybių išplaukia: bet kokia suma galite pertvarkyti terminus bet kokiu būdu ir savavališkai sujungti juos į grupes.

1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23+13,5+4,27.

Norėdami tai padaryti, patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Iš daugybos komutacinių ir kombinacinių savybių išplaukia: bet kuriame sandaugoje galite bet kokiu būdu pertvarkyti veiksnius ir savavališkai sujungti juos į grupes.

2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8·0,25·64·0,5.

Sujungę pirmąjį faktorių su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gauname:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Paskirstymo savybė taip pat teisinga, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.

Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė yra teisinga

a(b+c+d)=ab+ac+skelbimas.

Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant prie minuend priešingą atimties skaičių:

Tai leidžia a-b formos skaitinę išraišką laikyti skaičių a ir -b suma, o formos a+b-c-d skaitine išraiška laikyti skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. tokioms sumoms galioja ir laikomos veiksmų savybės.

3 pavyzdys Raskime reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėjimo savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36·().

Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos skirstomąją savybę, gauname:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Tapatybės

Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.

Apibrėžimas. Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Raskime reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmes, kai x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmės yra lygios.

Dabar panagrinėkime išraiškas 2x+y ir 2xy. Kai x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3(x+y)=x+3y, teisinga bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.

Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines operacijų su skaičiais savybes:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identiškos išraiškų transformacijos

Vienos išraiškos pakeitimas kita identiškai lygiaverte išraiška vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę nurodytoms x, y, z reikšmėms, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, kai x=2.3, y=0.8, z=0.2 gauname:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Šį rezultatą galima gauti atlikus tik du veiksmus, jei naudojate išraišką x(y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiška išraiška x(y-z).

Identiškos išraiškų transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurias identiškas transformacijas jau teko atlikti, pavyzdžiui, atvesti panašius terminus, atverti skliaustus. Prisiminkime šių transformacijų atlikimo taisykles:

norint pateikti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;

jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą;

Jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

1 pavyzdys Panašius terminus pateiksime suma 5x+2x-3x.

Naudokime panašių terminų mažinimo taisyklę:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ši transformacija grindžiama daugybos paskirstymo savybe.

2 pavyzdys Atverkime 2a+(b-3c) išraiškos skliaustus.

Naudojant taisyklę skliausteliams, prieš kuriuos rašomas pliuso ženklas:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Vykdoma transformacija grindžiama kombinacine pridėjimo savybe.

3 pavyzdys Atverkime išraiškos a-(4b-c) skliaustus.

Naudokime taisyklę skliausteliams, prieš kuriuos rašomas minuso ženklas:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Atlikta transformacija remiasi daugybos paskirstymo savybe ir kombinacine sudėties savybe. Parodykime. Pavaizduokime antrąjį terminą -(4b-c) šioje išraiškoje kaip sandaugą (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Taikydami nurodytas veiksmų savybes, gauname:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Skaičiai ir išraiškos, sudarantys pradinę išraišką, gali būti pakeisti vienodomis išraiškomis. Tokia pradinės išraiškos transformacija veda į išraišką, kuri jai yra identiška.

Pavyzdžiui, reiškinyje 3+x skaičius 3 gali būti pakeistas suma 1+2, todėl bus gauta išraiška (1+2)+x, kuri yra identiška pradinei išraiškai. Kitas pavyzdys: reiškinyje 1+a 5 laipsnį a 5 galima pakeisti identiškai lygiaverte sandauga, pavyzdžiui, formos a·a 4. Taip gausime išraišką 1+a·a 4 .

Ši transformacija neabejotinai yra dirbtinė ir dažniausiai yra pasirengimas kai kurioms tolimesnėms transformacijoms. Pavyzdžiui, sumoje 4 x 3 +2 x 2, atsižvelgiant į laipsnio savybes, terminas 4 x 3 gali būti pavaizduotas kaip sandauga 2 x 2 2 x. Po šios transformacijos pradinė išraiška bus 2 x 2 2 x+2 x 2. Akivaizdu, kad terminai gautoje sumoje turi bendrą koeficientą 2 x 2, todėl galime atlikti tokią transformaciją – skliaustą. Po jo prieiname prie išraiškos: 2 x 2 (2 x+1) .

To paties skaičiaus pridėjimas ir atėmimas

Kita dirbtinė išraiškos transformacija yra to paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir vienalaikis atėmimas. Ši transformacija yra identiška, nes iš esmės prilygsta nulio pridėjimui, o nulio pridėjimas reikšmės nekeičia.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime išraišką x 2 +2·x. Jei prie jo pridėsite vieną ir atimsite vieną, tai leis ateityje atlikti kitą identišką transformaciją - dvinario kvadratu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausių išteklių

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastinkite posakį“. Paprastai matome tokį pabaisą kaip ši:

„Tai daug paprasčiau“, – sakome, bet toks atsakymas dažniausiai nepasiteisina.

Dabar aš išmokysiu jus nebijoti tokių užduočių.

Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).

Tačiau prieš pradėdami šią veiklą, turite sugebėti tvarkyti trupmenas Ir faktorių daugianario.

Todėl, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Ar perskaitėte? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Eime! (Eime!)

Pagrindinės išraiškos supaprastinimo operacijos

Dabar pažvelkime į pagrindinius metodus, kurie naudojami posakiams supaprastinti.

Paprasčiausias yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs to ėmėtės 7 klasėje, kai matematikoje pirmą kartą pasirodė raidės, o ne skaičiai.

Panašus- tai terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį.

Pavyzdžiui, apibendrinant, panašūs terminai yra ir.

Ar prisimeni?

Duok panašiai- reiškia pridėti keletą panašių terminų ir gauti vieną terminą.

Kaip galime sujungti raides? - paklausi tu.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai.

Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kam lygi išraiška?

Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek jų bus? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką: .

Kad išvengtumėte painiavos, leiskite skirtingoms raidėms žymėti skirtingus objektus.

Pavyzdžiui, - yra (kaip įprasta) kėdė ir - yra stalas.

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai.

Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jame yra lygus.

Taigi, panašių atsinešimo taisyklė yra tokia:

Pavyzdžiai:

Pateikite panašių:

Atsakymai:

2. (ir panašiai, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Tai paprastai svarbiausia dalis supaprastinant posakius.

Po to, kai pateikiate panašius, dažniausiai reikia gautos išraiškos faktorizuoti, tai yra, pateikiama produkto pavidalu.

Ypač ši svarbu trupmenomis: galų gale, norint sumažinti trupmeną, Skaitiklis ir vardiklis turi būti pateikiami kaip sandauga.

Išsamiai išnagrinėjote faktoringo išraiškų metodus temoje „“, todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote.

Norėdami tai padaryti, išspręskite kelis pavyzdžius (reikia juos suskaidyti faktoriais)

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

3. Trupmenos mažinimas.

Na, o kas gali būti maloniau nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai ir yra mažinimo grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.

Pavyzdžiai:

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną tipišką klaidą trumpinant. Nors ši tema paprasta, daugelis žmonių viską daro ne taip, to nesuprasdami sumažinti– tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis yra tas pats skaičius.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: turime supaprastinti.

Kai kurie žmonės tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai:

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, o tai reiškia, kad jį galima sumažinti.

Bet ne: - tai yra tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra koeficientas.

Štai dar vienas pavyzdys: .

Ši išraiška yra suskaidyta faktoriais, o tai reiškia, kad galite ją sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto suskirstyti į:

Kad išvengtumėte tokių klaidų, atsiminkite paprastą būdą nustatyti, ar išraiška yra faktorizuota:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija.

Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas).

Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami tai sustiprinti, patys išspręskite keletą pavyzdžių:

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų mažinimas iki bendro vardiklio.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius.

Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su paprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius:

Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

Atsakymai:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;

· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;

· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:

Pabrėžkime bendrus veiksnius:

Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

· koeficientas vardiklius;

· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;

· vieną kartą užrašyti visus bendruosius veiksnius;

· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Taigi, eilės tvarka:

1) suskaičiuokite vardiklius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrėžtų) veiksnių:

Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui:.

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . ko išmokai?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?

Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:

Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais.

Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.

O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.

Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (prisimeni kodėl?).

Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš paniškai padaugindami šiuos vardiklius, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:

Supratai? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitinės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Prisiminkite apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, leiskite man jums priminti.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!

Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Ką gi, išsiaiškinome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinių operacijų reikia atlikti algebrines, tai yra, ankstesniame skyriuje aprašytus veiksmus: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai, norint suskirstyti faktorių, reikia naudoti I arba tiesiog iš skliaustų sudėti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Na, tai viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Sprendimas:

Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką.

Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, kad vietoj dviejų trupmenų gautume vieną.

Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena.

Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.

2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jų vardikliai yra tokie patys, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:

Atsakymai:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, manykite, kad įvaldėte temą.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIŠŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atveža panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo taikymas ir pan.
• Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, o tai nekeičia trupmenos reikšmės.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
  ;

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Skaitinės ir algebrinės išraiškos. Išraiškų konvertavimas.

Kas yra išraiška matematikoje? Kodėl mums reikia išraiškų konvertavimo?

Klausimas, kaip sakoma, įdomus... Faktas yra tas, kad šios sąvokos yra visos matematikos pagrindas. Visa matematika susideda iš išraiškų ir jų transformacijų. Nelabai aišku? Leisk man paaiškinti.

Tarkime, kad priešais jus yra blogas pavyzdys. Labai didelis ir labai sudėtingas. Tarkime, kad tau sekasi matematika ir nieko nebijai! Ar galite iš karto atsakyti?

Turėsite nuspręstišis pavyzdys. Nuosekliai, žingsnis po žingsnio, šis pavyzdys supaprastinti. Žinoma, pagal tam tikras taisykles. Tie. daryti išraiškos konvertavimas. Kuo sėkmingiau atliekate šias transformacijas, tuo stipresnis esate matematikoje. Jei nežinote, kaip atlikti tinkamas transformacijas, negalėsite jų atlikti matematikoje. Nieko...

Norint išvengti tokios nepatogios ateities (ar dabarties...), nepakenks suprasti šią temą.)

Pirma, išsiaiškinkime kas yra išraiška matematikoje. Kas atsitiko skaitinė išraiška ir kas yra algebrinė išraiška.

Kas yra išraiška matematikoje?

Išraiška matematikoje– tai labai plati sąvoka. Beveik viskas, su kuo susiduriame matematikoje, yra matematinių išraiškų rinkinys. Bet kokie pavyzdžiai, formulės, trupmenos, lygtys ir panašiai – visa tai susideda iš matematines išraiškas.

3+2 yra matematinė išraiška. s 2 - d 2– tai irgi matematinė išraiška. Tiek sveikoji trupmena, tiek net vienas skaičius yra matematinės išraiškos. Pavyzdžiui, lygtis yra tokia:

5x + 2 = 12

susideda iš dviejų matematinių išraiškų, sujungtų lygybės ženklu. Viena išraiška yra kairėje, kita - dešinėje.

Apskritai terminas " matematinė išraiška"naudojama, dažniausiai, kad būtų išvengta dūzgimo. Jie jūsų paklaus, kas yra, pavyzdžiui, paprastoji trupmena? O kaip atsakyti?!

Pirmas atsakymas: „Tai... mmmmmm... toks dalykas... kuriame... Ar galiu trupmena geriau parašyti? Kurio tu nori?"

Antrasis atsakymas: „Įprasta trupmena yra (linksmai ir džiaugsmingai!) matematinė išraiška , kurį sudaro skaitiklis ir vardiklis!

Antrasis variantas bus kažkaip įspūdingesnis, tiesa?)

Tai yra frazės " matematinė išraiška "labai geras. Ir teisingas, ir tvirtas. Bet norint naudoti praktiškai, reikia gerai suprasti specifiniai raiškos tipai matematikoje .

Konkretus tipas yra kitas dalykas. Tai Tai visiškai kitas reikalas! Kiekvienas matematinės išraiškos tipas turi mano taisyklių ir metodų rinkinys, kuris turi būti naudojamas priimant sprendimą. Darbui su trupmenomis – vienas rinkinys. Darbui su trigonometrinėmis išraiškomis – antrasis. Darbui su logaritmais – trečiasis. Ir taip toliau. Kai kur šios taisyklės sutampa, kai kur smarkiai skiriasi. Tačiau nebijokite šių baisių žodžių. Atitinkamuose skyriuose įvaldysime logaritmus, trigonometriją ir kitus paslaptingus dalykus.

Čia įvaldysime (arba – pakartosime, priklausomai nuo to, kas...) du pagrindinius matematinių išraiškų tipus. Skaitinės išraiškos ir algebrinės išraiškos.

Skaitmeninės išraiškos.

Kas atsitiko skaitinė išraiška? Tai labai paprasta koncepcija. Pats pavadinimas sufleruoja, kad tai išraiška su skaičiais. Taip, taip yra. Matematinė išraiška, sudaryta iš skaičių, skliaustų ir aritmetinių simbolių, vadinama skaitine išraiška.

7-3 yra skaitinė išraiška.

(8+3.2) 5.4 taip pat yra skaitinė išraiška.

Ir šis monstras:

taip pat skaitinė išraiška, taip...

Paprastas skaičius, trupmena, bet koks skaičiavimo pavyzdys be X ir kitų raidžių – visa tai yra skaitinės išraiškos.

Pagrindinis ženklas skaitinis išraiškos – joje jokių laiškų. Nėra. Tik skaičiai ir matematiniai simboliai (jei reikia). Tai paprasta, tiesa?

O ką jūs galite padaryti su skaitinėmis išraiškomis? Skaitmenines išraiškas dažniausiai galima suskaičiuoti. Norint tai padaryti, pasitaiko, kad tenka atplėšti skliaustus, keisti ženklus, trumpinti, sukeisti terminus – t.y. daryti išraiškos konversijos. Bet daugiau apie tai žemiau.

Čia mes nagrinėsime tokį juokingą atvejį, kai su skaitine išraiška tau nieko nereikia daryti. Na, visai nieko! Ši maloni operacija - nieko nedaryti)- vykdomas, kai išraiška neturi prasmės.

Kada skaitinė išraiška neturi prasmės?

Aišku, kad jei prieš save matome kažkokią abrakadabrą, pvz

tada nieko nedarysim. Nes neaišku, ką su tuo daryti. Kažkokia nesąmonė. Gal suskaičiuok pliusų skaičių...

Tačiau išoriškai yra gana padorių posakių. Pavyzdžiui tai:

(2+3) : (16–2 8)

Tačiau ši išraiška taip pat neturi prasmės! Dėl tos paprastos priežasties, kad antruose skliaustuose – jei skaičiuojate – gausite nulį. Bet jūs negalite dalyti iš nulio! Tai yra draudžiamas matematikos veiksmas. Todėl ir su šia išraiška nieko daryti nereikia. Į bet kurią užduotį su tokia išraiška atsakymas visada bus tas pats: "Posakis neturi prasmės!"

Norint pateikti tokį atsakymą, žinoma, turėjau paskaičiuoti, kas bus skliausteliuose. Ir kartais skliausteliuose yra daug dalykų... Na, nieko nepadarysi.

Matematikoje nėra tiek daug draudžiamų operacijų. Šioje temoje yra tik vienas. Padalijimas iš nulio. Papildomi apribojimai, atsirandantys šaknyse ir logaritmuose, aptariami atitinkamose temose.

Taigi, idėja, kas tai yra skaitinė išraiška- gavo. Koncepcija skaitinė išraiška neturi prasmės- suprato. Eikime toliau.

Algebrinės išraiškos.

Jei skaitinėje išraiškoje atsiranda raidžių, ši išraiška tampa... Išraiška tampa... Taip! Tai tampa algebrinė išraiška. Pavyzdžiui:

5a 2; 3x-2m; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Tokios išraiškos taip pat vadinamos pažodiniai posakiai. Arba išraiškos su kintamaisiais. Tai praktiškai tas pats. Išraiška 5a +c, pavyzdžiui, ir pažodinis, ir algebrinis, ir išraiška su kintamaisiais.

Koncepcija algebrinė išraiška - platesnis nei skaitinis. Tai apima ir visos skaitinės išraiškos. Tie. skaitinė išraiška taip pat yra algebrinė išraiška, tik be raidžių. Kiekviena silkė yra žuvis, bet ne kiekviena žuvis yra silkė...)

Kodėl abėcėlinis– Tai aišku. Na, kadangi yra raidžių... Frazė išraiška su kintamaisiais Tai taip pat nėra labai mįslinga. Jei suprantate, kad skaičiai paslėpti po raidėmis. Po raidėmis galima paslėpti visokius skaičius... Ir 5, ir -18, ir ką tik nori. Tai yra, laiškas gali būti pakeistiį skirtingus skaičius. Todėl ir vadinamos raidės kintamieji.

Išraiškoje y+5, Pavyzdžiui, adresu- kintamoji vertė. Arba jie tiesiog sako " kintamasis", be žodžio „didumas“. Skirtingai nuo penkių, kurie yra pastovi vertė. Arba tiesiog - pastovus.

Terminas algebrinė išraiška reiškia, kad norint dirbti su šia išraiška reikia naudoti įstatymus ir taisykles algebra. Jeigu aritmetika veikia su konkrečiais skaičiais algebra- su visais numeriais iš karto. Paprastas pavyzdys paaiškinimui.

Aritmetikoje galime tai parašyti

Bet jei tokią lygybę užrašysime algebrinėmis išraiškomis:

a + b = b + a

tuoj nuspręsime Visi klausimus. Už visi skaičiai vienu ypu. Už viską, kas begalinė. Nes po raidėmis A Ir b numanoma Visi numeriai. Ir ne tik skaičiai, bet net kitos matematinės išraiškos. Taip veikia algebra.

Kada algebrinė išraiška neturi prasmės?

Viskas apie skaitinę išraišką yra aišku. Čia negalima dalyti iš nulio. O su raidėmis galima sužinoti iš ko mes skirstome?!

Paimkime, pavyzdžiui, šią išraišką su kintamaisiais:

2: (A - 5)

Ar tai prasminga? Kas žino? A- bet koks skaičius...

Bet koks, bet koks... Bet yra viena prasmė A, kuriam ši išraiška tiksliai nėra prasmės! Ir koks čia skaičius? Taip! Tai yra 5! Jei kintamasis A pakeiskite (sakoma „pakeitimas“) skaičiumi 5, skliausteliuose gausite nulį. Kurių negalima padalinti. Taigi paaiškėja, kad mūsų išraiška neturi prasmės, Jei a = 5. Bet dėl ​​kitų vertybių A ar tai prasminga? Ar galite pakeisti kitus skaičius?

Žinoma. Tokiais atvejais jie tiesiog sako, kad išraiška

2: (A - 5)

turi prasmę bet kokioms vertybėms A, išskyrus a = 5 .

Visas skaičių rinkinys, kuris Gali pakaitalai į tam tikrą išraišką vadinamas priimtinų verčių diapazonąši išraiška.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo. Pažiūrėkime į išraišką su kintamaisiais ir išsiaiškinkime: kokia kintamojo reikšmė gaunama uždrausta operacija (dalyba iš nulio)?

Tada būtinai peržiūrėkite užduoties klausimą. Ko jie klausia?

neturi prasmės, mūsų uždrausta prasmė bus atsakymas.

Jei paklausite, kokia kintamojo reikšmė išraiška turi prasmę(pajuskite skirtumą!), atsakymas bus visi kiti skaičiai išskyrus tai, kas draudžiama.

Kodėl mums reikia posakio reikšmės? Jis yra, jo nėra... Koks skirtumas?! Esmė ta, kad ši sąvoka tampa labai svarbi vidurinėje mokykloje. Nepaprastai svarbu! Tai yra pagrindas tokioms tvirtoms sąvokoms kaip priimtinų reikšmių sritis arba funkcijos sritis. Be to jūs negalėsite išspręsti rimtų lygčių ar nelygybių. kaip tai.

Išraiškų konvertavimas. Tapatybės transformacijos.

Buvome supažindinti su skaitinėmis ir algebrinėmis išraiškomis. Supratome, ką reiškia frazė „išraiška neturi prasmės“. Dabar turime išsiaiškinti, kas tai yra išraiškos konvertavimas. Atsakymas paprastas, iki gėdos.) Tai bet koks veiksmas su išraiška. Tai viskas. Jūs darote šiuos pokyčius nuo pirmos klasės.

Paimkime šaunią skaitinę išraišką 3+5. Kaip jį galima konvertuoti? Taip, labai paprasta! Apskaičiuokite:

Šis skaičiavimas bus išraiškos transformacija. Tą pačią išraišką galite parašyti skirtingai:

Čia mes visiškai nieko neskaičiavome. Tiesiog užrašė išraišką kitokia forma. Tai taip pat bus išraiškos transformacija. Galite parašyti taip:

Ir tai taip pat yra išraiškos transformacija. Tokių transformacijų galite atlikti tiek, kiek norite.

Bet koks veiksmas dėl išraiškos bet koks jos užrašymas kita forma vadinamas išraiškos transformavimu. Ir viskas. Tai labai paprasta. Bet čia yra vienas dalykas labai svarbi taisyklė. Toks svarbus, kad jį galima drąsiai vadinti pagrindinė taisyklė visa matematika. Šios taisyklės pažeidimas neišvengiamai veda prie klaidų. Ar mes į tai įsitraukiame?)

Tarkime, mes netyčia pakeitėme savo išraišką taip:

Transformacija? Žinoma. Išraišką parašėme kita forma, kas čia negerai?

Taip nėra.) Esmė ta, kad transformacijos "atsitiktinai" visiškai nesidomi matematika.) Visa matematika remiasi transformacijomis, kurių metu keičiasi išvaizda, bet išraiškos esmė nesikeičia. Trys plius penki gali būti parašyti bet kokia forma, bet turi būti aštuoni.

Transformacijos, posakius, kurie nekeičia esmės yra vadinami identiški.

Būtent tapatybės transformacijos ir leiskite mums žingsnis po žingsnio sudėtingą pavyzdį paversti paprasta išraiška, išlaikant pavyzdžio esmė. Jei padarysime klaidą transformacijų grandinėje, padarysime NE identišką transformaciją, tada nuspręsime kitas pavyzdys. Su kitais atsakymais, kurie nesusiję su teisingais.)

Tai yra pagrindinė taisyklė sprendžiant bet kokius uždavinius: transformacijų tapatumo išlaikymas.

Aiškumo dėlei pateikiau pavyzdį su skaitine išraiška 3+5. Algebrinėse išraiškose tapatybės transformacijos pateikiamos formulėmis ir taisyklėmis. Tarkime, algebroje yra formulė:

a(b+c) = ab + ac

Tai reiškia, kad bet kuriame pavyzdyje galime vietoj išraiškos a(b+c) nedvejodami parašykite išraišką ab + ac. Ir atvirkščiai. Tai identiška transformacija. Matematika suteikia mums galimybę pasirinkti vieną iš šių dviejų posakių. O kurį rašyti priklauso nuo konkretaus pavyzdžio.

Kitas pavyzdys. Viena iš svarbiausių ir būtiniausių transformacijų yra pagrindinė trupmenos savybė. Daugiau informacijos galite pamatyti nuorodoje, bet čia tik priminsiu taisyklę: Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami (padalinami) iš to paties skaičiaus arba išraiškos, kuri nėra lygi nuliui, trupmena nepasikeis.Čia yra tapatybės transformacijų naudojant šią nuosavybę pavyzdys:

Kaip tikriausiai atspėjote, šią grandinę galima tęsti neribotą laiką...) Labai svarbi savybė. Būtent tai leidžia paversti visus pavyzdinius monstrus baltais ir puriais.)

Yra daug formulių, apibrėžiančių vienodas transformacijas. Tačiau patys svarbiausi yra gana pagrįstas skaičius. Viena iš pagrindinių transformacijų yra faktorizacija. Jis naudojamas visoje matematikoje – nuo ​​pradinių iki pažengusių. Pradėkime nuo jo. Kitoje pamokoje.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.