Tikimybių sudėties ir daugybos teoremos.
Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Pavadinimas atrodo bauginantis, bet iš tikrųjų viskas labai paprasta. Šioje pamokoje susipažinsime su įvykių tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis, taip pat analizuosime tipines problemas, kurios kartu su Klasikinio tikimybės nustatymo problema tikrai susitiks arba, greičiausiai, jau susitiko savo kelyje. Norėdami efektyviai išstudijuoti šio straipsnio medžiagą, turite žinoti ir suprasti pagrindinius terminus tikimybių teorija ir mokėti atlikti nesudėtingus aritmetinius veiksmus. Kaip matote, reikia labai nedaug, todėl beveik garantuotas didelis turto pliusas. Bet kita vertus, dar kartą perspėju dėl paviršutiniško požiūrio į praktinius pavyzdžius – čia irgi apstu subtilybių. Sėkmės:

Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui: tikimybė, kad atsiras vienas iš dviejų nesuderinamasįvykius arba (Nesvarbu kas), yra lygus šių įvykių tikimybių sumai:

Panašus faktas galioja ir didesniam nesuderinamų įvykių skaičiui, pavyzdžiui, trims nesuderinamiems įvykiams ir:

Teorema yra sapnas =) Tačiau toks sapnas turi būti įrodytas, kurį galima rasti, pavyzdžiui, vadovėlyje V.E. Gmurmanas.

Susipažinkime su naujomis, iki šiol nežinomomis sąvokomis:

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Pradėkime nuo nepriklausomų įvykių. Renginiai yra nepriklausomas , jei atsiradimo tikimybė bet kuris iš jų nepriklauso dėl kitų nagrinėjamo rinkinio įvykių atsiradimo/nepasirodymo (visais įmanomais deriniais). ...Bet kam vargti bendromis frazėmis:

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema: nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė ir yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Grįžkime prie paprasčiausio 1-osios pamokos pavyzdžio, kuriame mestos dvi monetos ir šie įvykiai:

– ant 1-osios monetos atsiras galvos;
– ant 2-osios monetos atsiras galvos.

Raskime įvykio tikimybę (galvos atsiras ant 1-osios monetos Ir ant 2-osios monetos atsiras erelis - prisimink, kaip skaityti įvykių produktas!) . Galvų tikimybė ant vienos monetos niekaip nepriklauso nuo kitos monetos išmetimo rezultato, todėl įvykiai yra nepriklausomi.

Taip pat:
– tikimybė, kad 1-oji moneta nusileis galvas Ir ant 2 uodegos;
– tikimybė, kad ant 1-osios monetos atsiras galvos Ir ant 2 uodegos;
– tikimybė, kad 1-oji moneta parodys galvas Ir ant 2-ojo erelio.

Atkreipkite dėmesį, kad įvykiai formuojasi pilna grupė o jų tikimybių suma lygi vienetui: .

Daugybos teorema akivaizdžiai išplečiama ir didesniam nepriklausomų įvykių skaičiui, pavyzdžiui, jei įvykiai yra nepriklausomi, tai jų bendro atsiradimo tikimybė yra lygi: . Praktikuokime su konkrečiais pavyzdžiais:

3 problema

Kiekvienoje iš trijų dėžučių yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8 standartinės dalys, antroje – 7, trečioje – 9. Iš kiekvienos dėžės atsitiktinai išimama po vieną dalį. Raskite tikimybę, kad visos dalys bus standartinės.

Sprendimas: Tikimybė nupiešti standartinę ar nestandartinę dalį iš bet kurios dėžės nepriklauso nuo to, kokios dalys paimtos iš kitų dėžių, todėl problema susijusi su nepriklausomais įvykiais. Apsvarstykite šiuos nepriklausomus įvykius:

– iš 1 dėžės išimama standartinė dalis;
– iš 2 dėžės išimta standartinė dalis;
– iš 3 dėžės pašalinama standartinė dalis.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
yra atitinkamos tikimybės.

Mus dominantis renginys (standartinė dalis bus pašalinta iš 1 dėžutės Ir nuo 2 standarto Ir nuo 3 standarto) išreiškiamas gaminiu.

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

– tikimybė, kad iš trijų dėžių bus pašalinta viena standartinė dalis.

Atsakymas: 0,504

Po gaivinančių pratimų su dėžėmis mūsų laukia ne mažiau įdomios urnos:

4 problema

Trijose urnose yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš kiekvienos urnos atsitiktine tvarka ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad: a) visi trys rutuliai bus balti; b) visi trys rutuliai bus vienodos spalvos.

Remdamiesi gauta informacija, atspėkite, kaip elgtis su tašku „būti“ ;-) Apytikslis sprendimo pavyzdys yra sukurtas akademiniu stiliumi su išsamiu visų įvykių aprašymu.

Priklausomi įvykiai. Renginys vadinamas priklausomas , jei jo tikimybė priklauso nuo vieno ar kelių jau įvykusių įvykių. Jums nereikia toli ieškoti pavyzdžių – tiesiog eikite į artimiausią parduotuvę:

– rytoj 19.00 bus parduodama šviežia duona.

Šio įvykio tikimybė priklauso nuo daugelio kitų įvykių: ar rytoj bus pristatyta šviežia duona, ar ji bus išparduota iki 19 val., ar ne ir pan. Atsižvelgiant į įvairias aplinkybes, šis įvykis gali būti patikimas arba neįmanomas. Taigi renginys yra priklausomas.

Duona... ir, kaip reikalavo romėnai, cirkai:

– egzamino metu mokinys gaus paprastą bilietą.

Jei nesate pirmas, tada įvykis priklausys, nes jo tikimybė priklausys nuo to, kokius bilietus jau ištraukė klasės draugai.

Kaip nustatyti įvykių priklausomybę/nepriklausomybę?

Kartais tai tiesiogiai nurodoma problemos pareiškime, tačiau dažniausiai turite atlikti nepriklausomą analizę. Čia nėra vienareikšmės gairės, o įvykių priklausomybės ar nepriklausomybės faktas išplaukia iš natūralaus loginio samprotavimo.

Kad nesugrūstum visko į vieną krūvą, užduotys priklausomiems įvykiams Pabrėžsiu šią pamoką, tačiau kol kas apsvarstysime praktikoje dažniausiai pasitaikančias teoremas:

Nesuderinamų tikimybių sudėjimo teoremų uždaviniai
ir padauginus nepriklausomų įvykių tikimybes

Šis tandemas, mano subjektyviu vertinimu, veikia maždaug 80% užduočių nagrinėjama tema. Hitas ir tikra tikimybių teorijos klasika:

5 problema

Du šauliai paleido po vieną šūvį į taikinį. Pirmajam šauliui pataikymo tikimybė yra 0,8, antrajam - 0,6. Raskite tikimybę, kad:

a) į taikinį pataikys tik vienas šaulys;
b) bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Sprendimas: vieno šaulio pataikymas / nepataikymas rodiklis akivaizdžiai nepriklauso nuo kito šaulio pasirodymo.

Panagrinėkime įvykius:
– 1-asis šaulys pataikys į taikinį;
– 2-asis šaulys pataikys į taikinį.

Pagal sąlygą:.

Raskime priešingų įvykių tikimybes – kad atitinkamos rodyklės praleis:

a) Apsvarstykite įvykį: – į taikinį pataikys tik vienas šaulys. Šį įvykį sudaro du nesuderinami rezultatai:

Pataikys 1-asis šaulys Ir 2-as bus praleistas
arba
1 bus praleistas Ir Patiks 2-asis.

Ant liežuvio įvykių algebrašis faktas bus parašytas tokia formule:

Pirmiausia naudojame teoremą nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui, tada teoremą nepriklausomų įvykių tikimybių padauginimui:

– tikimybė, kad bus tik vienas smūgis.

b) Apsvarstykite įvykį: – bent vienas iš šaulių pataiko į taikinį.

Visų pirma, PAGALVOKIM – ką reiškia sąlyga „BENT VIENA“? Šiuo atveju tai reiškia, kad arba 1-asis šaulys pataikys (antrasis nepataikys) arba 2-oji (1-oji praleis) arba abu šauliai iš karto – iš viso 3 nesuderinami rezultatai.

Pirmasis metodas: atsižvelgiant į paruoštą ankstesnio punkto tikimybę, įvykį patogu vaizduoti kaip šių nesuderinamų įvykių sumą:

kažkas ten pateks (įvykis, kurį sudaro 2 nesuderinami rezultatai) arba
Jei pataikė abi rodyklės, šį įvykį pažymime raide .

Taigi:

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
– tikimybė, kad pataikys 1-asis šaulys Ir Pataikys 2-asis šaulys.

Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą:
– bent vieno smūgio į taikinį tikimybė.

Antras metodas: Apsvarstykite priešingą įvykį: – abu šauliai praleis.

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Kaip rezultatas:

Ypatingą dėmesį atkreipkite į antrąjį metodą – apskritai jis racionalesnis.

Be to, yra alternatyvus, trečiasis jo sprendimo būdas, pagrįstas bendrų įvykių sudėjimo teorema, kuri nebuvo paminėta aukščiau.

! Jei su medžiaga susipažįstate pirmą kartą, norint išvengti painiavos, kitą pastraipą geriau praleisti.

Trečias būdas : įvykiai yra suderinami, o tai reiškia, kad jų suma išreiškia įvykį „bent vienas šaulys pataikys į taikinį“ (žr. įvykių algebra). Autorius bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema:

Patikrinkime: įvykius ir (atitinkamai 0, 1 ir 2 smūgiai) sudaryti visą grupę, todėl jų tikimybių suma turi būti lygi vienetui:
, ką reikėjo patikrinti.

Atsakymas:

Nuodugniai išstudijavę tikimybių teoriją, susidursite su dešimtimis militaristinio turinio problemų ir, būdinga, po to nebenorėsite niekuo šaudyti - problemos yra beveik dovana. Kodėl taip pat nesupaprastinus šablono? Sutrumpinkime įrašą:

Sprendimas: pagal sąlygą: , yra tikimybė pataikyti į atitinkamus šaulius. Tada jų praleidimo tikimybė:

a) Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:
– tikimybė, kad į taikinį pataikys tik vienas šaulys.

b) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
– tikimybė, kad abu šauliai nepataikys.

Tada: yra tikimybė, kad bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Atsakymas:

Praktiškai galite naudoti bet kurią dizaino parinktį. Žinoma, kur kas dažniau jie eina trumpuoju maršrutu, tačiau nereikia pamiršti ir 1 būdo – nors jis ilgesnis, bet prasmingesnis – aiškesnis, kas, kodėl ir kodėl prideda ir daugina. Kai kuriais atvejais tinka hibridinis stilius, kai patogu didžiosiomis raidėmis nurodyti tik kai kuriuos įvykius.

Panašios užduotys savarankiškam sprendimui:

6 problema

Gaisro signalui įtaisyti du nepriklausomai veikiantys jutikliai. Tikimybė, kad jutiklis veiks gaisro atveju, yra atitinkamai 0,5 ir 0,7 pirmajam ir antrajam jutikliams. Raskite tikimybę, kad kilus gaisrui:

a) suges abu jutikliai;
b) veiks abu jutikliai.
c) Naudojant įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių sudėjimo teorema, raskite tikimybę, kad gaisro metu veiks tik vienas jutiklis. Patikrinkite rezultatą tiesiogiai apskaičiuodami šią tikimybę (naudojant sudėties ir daugybos teoremas).

Čia įrenginių veikimo nepriklausomumas yra tiesiogiai nurodytas būsenoje, o tai, beje, yra svarbus paaiškinimas. Pavyzdinis sprendimas sukurtas akademiniu stiliumi.

Ką daryti, jei panašioje užduotyje pateikiamos tos pačios tikimybės, pavyzdžiui, 0,9 ir 0,9? Jūs turite nuspręsti lygiai taip pat! (kas iš tikrųjų jau buvo parodyta pavyzdyje su dviem monetomis)

7 problema

Tikimybė, kad pirmasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį, yra 0,8. Tikimybė, kad taikinys nepataikytas pirmajam ir antrajam šauliui paleidus po vieną šūvį, yra 0,08. Kokia tikimybė, kad antrasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį?

Ir tai yra mažas galvosūkis, kuris yra sukurtas trumpai. Sąlygą galima performuluoti glausčiau, bet originalo neperdarysiu – praktiškai tenka gilintis į puošnesnius prasimanymus.

Susipažinkite su juo – jis yra tas, kuris jums suplanavo daugybę smulkmenų =):

8 problema

Darbuotojas valdo tris mašinas. Tikimybė, kad per pamainą pirmai mašinai reikės reguliuoti, yra 0,3, antrosios - 0,75, trečiosios - 0,4. Raskite tikimybę, kad pamainos metu:

a) visas mašinas reikės reguliuoti;
b) tik vieną mašiną reikės reguliuoti;
c) reikės sureguliuoti bent vieną mašiną.

Sprendimas: kadangi sąlyga nieko nesako apie vieną technologinį procesą, tai kiekvienos mašinos veikimas turėtų būti laikomas nepriklausomu nuo kitų mašinų veikimo.

Analogiškai su užduotimi Nr. 5, čia galima atsižvelgti į įvykius, kuriuos atitinkamoms mašinoms reikės koreguoti pamainos metu, užsirašyti tikimybes, rasti priešingų įvykių tikimybes ir pan. Bet su trimis objektais aš tikrai nebenoriu taip formatuoti užduoties - ji pasirodys ilga ir varginanti. Todėl pastebimai pelningiau čia naudoti „greitąjį“ stilių:

Pagal sąlygą: – tikimybė, kad pamainos metu atitinkamas mašinas reikės derinti. Tada tikimybė, kad jiems nereikės dėmesio, yra:

Vienas iš skaitytojų čia rado šaunią rašybos klaidą, net netaisysiu =)

a) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
– tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti visas tris mašinas.

b) Įvykis „Pamainos metu reikės reguliuoti tik vieną mašiną“ susideda iš trijų nesuderinamų rezultatų:

1) 1 mašina pareikalaus dėmesį Ir 2-oji mašina nereikės Ir 3 mašina nereikės
arba:
2) 1-oji mašina nereikės dėmesį Ir 2-oji mašina pareikalaus Ir 3 mašina nereikės
arba:
3) 1-oji mašina nereikės dėmesį Ir 2-oji mašina nereikės Ir 3 mašina pareikalaus.

Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:

– tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik vieną mašiną.

Manau, kad dabar jūs turėtumėte suprasti, iš kur kilo posakis

c) Apskaičiuokime tikimybę, kad mašinos nereikės koreguoti, o tada priešingo įvykio tikimybę:
– kad bent vieną mašiną reikės reguliuoti.

Atsakymas:

Taškas „ve“ taip pat gali būti išspręstas per sumą , kur yra tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik dvi mašinas. Šis įvykis savo ruožtu apima 3 nesuderinamus rezultatus, kurie apibūdinami pagal analogiją su tašku „būti“. Pabandykite patys rasti tikimybę patikrinti visą problemą naudodami lygybę.

9 problema

Iš trijų ginklų į taikinį buvo paleista salvė. Tik iš pirmojo ginklo vienu šūviu pataikymo tikimybė yra 0,7, iš antrojo – 0,6, iš trečiojo – 0,8. Raskite tikimybę, kad: 1) bent vienas sviedinys pataikys į taikinį; 2) į taikinį pataikys tik du sviediniai; 3) į taikinį bus pataikyta bent du kartus.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Ir vėl apie sutapimus: jei pagal sąlygą sutampa dvi ar net visos pradinių tikimybių reikšmės (pavyzdžiui, 0,7, 0,7 ir 0,7), tuomet reikia vadovautis lygiai tokiu pat sprendimo algoritmu.

Norėdami baigti straipsnį, pažvelkime į kitą įprastą galvosūkį:

10 problema

Šaulys su kiekvienu šūviu pataiko į taikinį ta pačia tikimybe. Kokia yra ši tikimybė, jei bent vieno smūgio tikimybė trimis šūviais yra 0,973.

Sprendimas: pažymėkime – tikimybę pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu.
ir per – kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.

Ir užsirašykime įvykius:
– 3 šūviais šaulys pataikys į taikinį bent kartą;
– šaulys nepataikys 3 kartus.

Pagal sąlygą, tada priešingo įvykio tikimybė:

Kita vertus, pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Taigi:

- kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.

Kaip rezultatas:
– kiekvienu šūviu pataikymo tikimybė.

Atsakymas: 0,7

Paprasta ir elegantiška.

Nagrinėjamoje užduotyje galima užduoti papildomus klausimus apie tik vieno smūgio tikimybę, tik dviejų smūgių tikimybę ir trijų smūgių į taikinį tikimybę. Sprendimo schema bus lygiai tokia pati kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose:

Tačiau esminis esminis skirtumas yra tas, kad čia yra pakartotiniai nepriklausomi testai, kurie atliekami nuosekliai, nepriklausomai vienas nuo kito ir su ta pačia rezultatų tikimybe.

Pagrindinės sąvokos
Įvykiai vadinami nesuderinamais, jei įvykus vienas iš jų neleidžia atsirasti kitų įvykių tame pačiame bandyme. Priešingu atveju jie vadinami jungtiniais.
Visa grupė yra įvykių visuma, kurių derinys yra patikimas įvykis.
Vieninteliai du galimi įvykiai, kurie sudaro visą grupę, vadinami priešingais.
Įvykiai vadinami priklausomais, jeigu vieno iš jų atsiradimo tikimybė priklauso nuo kitų įvykių atsiradimo ar neįvykimo.
Įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo kitų atsiradimo ar neįvykimo.
Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui
P(A+B)=P(A)+P(B),
kur A, B yra nesuderinami įvykiai.

Bendrų įvykių tikimybių pridėjimo teorema
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), kur A ir B yra bendri įvykiai.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema
,
kur A ir B yra nepriklausomi įvykiai.
Priklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema
P(AB) = P(A)P A (B),
čia P A (B) yra įvykio B tikimybė, jei įvykis A įvyko; A ir B yra priklausomi įvykiai.

1 užduotis.
Šaulys į taikinį paleidžia du šūvius. Kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,8. Sudarykite visą įvykių grupę ir suraskite jų tikimybes. Sprendimas.
Bandymas – į taikinį paleidžiami du šūviai.
Renginys A- praleido abu kartus.
Renginys IN- pataikė vieną kartą.
Renginys SU- pataikė abu kartus.
.

Kontrolė: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
2 užduotis.
Pagal meteorologų prognozę P(lietus)=0,4; P(vėjas)=0,7; R(lietus ir vėjas)=0,2. Kokia tikimybė, kad lis lietus ar vėjas? Sprendimas. Remdamiesi tikimybių pridėjimo teorema ir dėl siūlomų įvykių suderinamumo, turime:
P(lietus arba vėjas arba abu)=P(lietus) +P(vėjas) –P(lietus ir vėjas)=0,4+0,7-0,2=0,9.
3 užduotis.
Išvykimo stotyje yra 8 užsakymai siunčiamoms prekėms: penki vidaus siuntoms ir trys eksportui. Kokia tikimybė, kad du atsitiktinai atrinkti užsakymai bus skirti vidaus vartojimui? Sprendimas. Renginys A– pirmasis atsitiktinai priimtas užsakymas yra šalies viduje. Renginys IN– antrasis taip pat skirtas vidaus vartojimui. Turime rasti tikimybę. Tada pagal priklausomų įvykių tikimybių dauginimo teoremą turime

4 užduotis.
Iš produktų partijos pardavėjas atsitiktinai atrenka aukščiausios klasės produktus. Tikimybė, kad pasirinkta prekė bus aukščiausios kokybės – 0,8; pirma klasė – 0,7; antra klasė – 0,5. Raskite tikimybę, kad iš trijų atsitiktinai atrinktų produktų bus:
a) tik dvi aukščiausios klasės;
b) visi skirtingi. Sprendimas. Tegul renginys būna aukščiausios kokybės gaminys; renginys – pirmos klasės produktas; renginys yra antros klasės produktas.
Pagal problemos sąlygas; ; Renginiai nepriklausomi.
a) Įvykis A– tada taip atrodys tik du aukščiausios klasės gaminiai

b) Įvykis IN– visi trys produktai yra skirtingi – sakykime taip: , Tada.
5 užduotis.
Tikimybės pataikyti į taikinį šaudant iš trijų ginklų yra tokios: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Raskite bent vieno smūgio tikimybę (įvykis A) su vienu salve iš visų ginklų. Sprendimas. Tikimybė, kad kiekvienas ginklas pataikys į taikinį, nepriklauso nuo šaudymo iš kitų pabūklų rezultatų, todėl nagrinėjami įvykiai (pataikyti iš pirmojo ginklo), (pataikyti į antrąjį pabūklą) ir (pataikyti iš trečiojo ginklo) yra nepriklausomi. visumoje.
Įvykiams priešingų įvykių tikimybės (t. y. praleidimų tikimybė) yra atitinkamai lygios:

Reikalinga tikimybė
6 užduotis.
Spaustuvėje yra 4 spausdinimo mašinos. Kiekvienos mašinos tikimybė, kad ji šiuo metu veikia, yra 0,9. Raskite tikimybę, kad šiuo metu veikia bent vienas įrenginys (įvykis A). Sprendimas.Įvykiai „mašina veikia“ ir „mašina neveikia“ (šiuo metu) yra priešingi, todėl jų tikimybių suma lygi vienetui:
Taigi tikimybė, kad mašina šiuo metu neveikia, yra lygi
Reikalinga tikimybė. 7 uždavinys. Skaitykloje yra 6 tikimybių teorijos vadovėliai, iš kurių trys įrišti. Bibliotekininkė atsitiktinai paėmė du vadovėlius. Raskite tikimybę, kad abu vadovėliai bus įrišti.

Sprendimas. Apsvarstykite šiuos įvykius:
A1 – paimtas pirmasis įrištas vadovėlis;
A2 yra antrasis įrištas vadovėlis.
Įvykis, susidedantis iš to, kad abu paimti vadovėliai yra įrišti. Įvykiai A1 ir A2 yra priklausomi, nes įvykio A2 atsiradimo tikimybė priklauso nuo įvykio A1. Norėdami išspręsti šią problemą, naudosime priklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: .
Įvykio A1 p(A1) atsiradimo tikimybė pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:
P(A1) = m/n = 3/6 = 0,5.
Įvykio A2 atsiradimo tikimybę lemia sąlyginė įvykio A2 atsiradimo tikimybė, atsižvelgiant į įvykio A1 įvykimą, t.y. (A2) = 0,4.
Tada norima įvykio tikimybė:
P(A)=0,5*0,4=0,2.

Tegul įvykiai A Ir IN- nenuoseklus, o šių įvykių tikimybė yra žinoma. Klausimas: kaip rasti tikimybę, kad įvyks vienas iš šių nesuderinamų įvykių? Atsakymą į šį klausimą duoda sudėjimo teorema.

Teorema.Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

p(A + IN) = p(A) + p(IN) (1.6)

Įrodymas. Tikrai, tegul n– bendras visų vienodai galimų ir nesuderinamų (t. y. elementarių) baigčių skaičius. Tegul įvykis A malonės m 1 rezultatai ir įvykis IN – m 2 rezultatai. Tada, pagal klasikinį apibrėžimą, šių įvykių tikimybės yra lygios: p(A) = m 1 / n, p(B) = m 2 / n .

Nuo įvykių A Ir IN nesuderinamas, tada nė vienas iš įvykiui palankių rezultatų A, nepalankus renginiui IN(žr. diagramą žemiau).

Todėl renginys A+IN bus palanki m 1 + m 2 rezultatai. Todėl dėl tikimybės p(A + B) mes gauname:

1 išvada. Įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių suma lygi vienetui:

p(A) + p(IN) + p(SU) + … + p(D) = 1.

Iš tiesų, tegul įvykiai A,IN,SU, … , D sudaryti pilną grupę. Dėl šios priežasties jie yra nesuderinami ir vieninteliai įmanomi. Todėl renginys A + B + C + …+D, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių atsiradimo (bandymo rezultatas), yra patikimas, t.y. A+B+C+…+D = Ir p(A+B+C+…+D) = 1.

Dėl įvykių nesuderinamumo A,IN,SU, … , D formulė teisinga:

p(A+B+C+…+D) = p(A) + p(IN) + p(SU) + … + p(D) = 1.

Pavyzdys. Urnoje yra 30 kamuoliukų, iš kurių 10 raudonų, 5 mėlynų ir 15 baltų. Raskite tikimybę ištraukti raudoną arba mėlyną rutulį, jei iš urnos bus ištrauktas tik vienas rutulys.

Sprendimas. Tegul įvykis A 1 – raudono rutulio piešimas ir įvykis A 2 – mėlynojo rutulio ištraukimas. Šie įvykiai yra nesuderinami ir p(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p(A 2) = 5 / 30 = 1 / 6. Sudėjimo teorema gauname:

p(A 1 + A 2) = p(A 1) + p(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

1 pastaba. Pabrėžiame, kad pagal problemos prasmę, visų pirma, būtina nustatyti nagrinėjamų įvykių pobūdį – ar jie nesuderinami. Jei aukščiau pateikta teorema taikoma bendriems įvykiams, rezultatas bus neteisingas.

Įvykio tikimybė A yra bandymo rezultatų, palankių įvykiui A, skaičiaus m ir visų vienodai galimų nesuderinamų baigčių skaičiaus n santykis: P(A)=m/n.

Sąlyginė įvykio tikimybė A (arba įvykio A tikimybė, jei įvyksta B įvykis) yra skaičius P B (A) = P (AB) / P (B), kur A ir B yra du atsitiktiniai to paties bandymo įvykiai.

Baigtinio įvykių skaičiaus suma Įvykis, susidedantis iš bent vieno iš jų atsiradimo, vadinamas. Dviejų įvykių suma žymima A+B.

Tikimybių pridėjimo taisyklės :

• bendri renginiai A ir B:
  P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), kur P(A) – įvykio A tikimybė, P(B) – įvykio B tikimybė, P(A+B) ) yra bent vieno iš dviejų įvykių tikimybė, P(AB) yra dviejų įvykių bendro įvykio tikimybė.
• tikimybių pridėjimo taisyklė nesuderinami įvykiai A ir B:
  P(A+B) = P(A)+P(B), kur P(A) – įvykio A tikimybė, P(B) – įvykio B tikimybė.

Baigtinio įvykių skaičiaus sandauga vadinamas įvykiu, kai kiekvienas iš jų įvyks. Dviejų įvykių sandauga žymima AB.

Tikimybių daugybos taisyklės :

• priklausomi įvykiai A ir B:
  P(AB)= P(A)*P A (B)= P(B)*P B (A), čia P A (B) yra sąlyginė įvykio B tikimybė, jei įvykis A jau įvyko, P B ( A ) – sąlyginė įvykio A atsiradimo tikimybė, jei įvykis B jau įvyko;
• tikimybių daugybos taisyklė nepriklausomi renginiai A ir B:
  P(AB) = P(A)*P(B), kur P(A) – įvykio A tikimybė, P(B) – įvykio B tikimybė.

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Operacijos dėl įvykių. Tikimybių sudėties ir daugybos taisyklės“

1 problema . Dėžutėje yra 250 lempučių, iš kurių 100 yra 90 W, 50 yra 60 W, 50 yra 25 W ir 50 yra 15 W. Nustatykite tikimybę, kad bet kurios atsitiktinai parinktos lemputės galia neviršys 60W.

Sprendimas.

A = (lemputės galia 90 W), tikimybė P(A) = 100/250 = 0,4;
B = (lemputės galia 60W);
C = (lemputės galia 25W);
D = (lemputės galia 15W).

2. Renginiai A, B, C, D forma pilna sistema , nes jie visi nesuderinami ir vienas iš jų tikrai atsiras šiame eksperimente (renkantis lemputę). Vieno iš jų įvykimo tikimybė yra tam tikras įvykis, tada P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.

3. Įvykiai (lemputės galia ne daugiau 60W) (t.y. mažesnė arba lygi 60W) ir (lemputės galia daugiau nei 60W) (šiuo atveju – 90W) yra priešingi. Pagal priešingų skaičių savybę P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Atsižvelgiant į tai, kad P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), gauname P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

2 problema . Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu pirmajam šauliui yra 0,7, o antrojo – 0,9. Raskite tikimybę, kad
a) į taikinį pataikys tik vienas šaulys;
b) į taikinį pataikys bent vienas šaulys.

Sprendimas.
1. Apsvarstykite šiuos įvykius:
A1 = (pirmas šaulys pataiko į taikinį), P(A1) = 0,7 iš probleminių sąlygų;
Ā1 = (pirmasis šaulys nepataikė), o P(A1)+P(Ā1) = 1, nes A1 ir Ā1 yra priešingi įvykiai. Vadinasi, P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (antrasis šaulys pataiko į taikinį), P(A2) = 0,9 iš probleminių sąlygų;
Ā2 = (antrasis šaulys nepataikė), o P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1.

2. Įvykis A=(į taikinį pataikė tik vienas šaulys) reiškia, kad įvyko vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių: A1A2 arba A1A2.
Pagal tikimybių sudėjimo taisyklę P(A)= P(A1A2)+P(A1A2).

P(A1A2)= P(A1)*P(A2)= 0,7*0,1=0,07;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0,3*0,9=0,27.
Tada P(A)= P(A1A2)+P(A1A2)=0,07+0,27=0,34.

3. Įvykis B=(į taikinį pataikė bent vienas šaulys) reiškia, kad arba į taikinį pataikė pirmasis šaulys, arba į taikinį pataikė antrasis šaulys, arba į taikinį pataikė abu šauliai.

Įvykis B̄=(į taikinį nepataikė joks šaulys) yra priešingas įvykiui B, o tai reiškia P(B)=1-P(B̄).
Įvykis B̄ reiškia nepriklausomų įvykių Ā1 ir Ā2 įvykimą vienu metu, todėl P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Tada P(B)= 1-P(B̄)=1-0,3=0,7.

3 problema . Egzamino bilietą sudaro trys klausimai. Tikimybė, kad studentas atsakys į pirmąjį klausimą, yra 0,7; antroje – 0,9; trečią – 0,6. Raskite tikimybę, kad studentas, pasirinkęs bilietą, atsakys:
a) į visus klausimus;
d) bent du klausimai.

Sprendimas. 1. Apsvarstykite šiuos įvykius:
A1 = (studentas atsakė į pirmąjį klausimą), P(A1) = 0,7 iš problemos sąlygų;
Ā1 = (mokinys neatsakė į pirmąjį klausimą), o P(A1)+P(Ā1) = 1, nes A1 ir Ā1 yra priešingi įvykiai. Vadinasi, P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (studentas atsakė į antrą klausimą), P(A2) = 0,9 iš probleminių sąlygų;
Ā2 = (mokinys neatsakė į antrąjį klausimą), tuo tarpu P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1;
A3 = (studentas atsakė į trečią klausimą), P(A3) = 0,6 iš probleminių sąlygų;
Ā3 = (mokinys neatsakė į trečią klausimą), o P(Ā3) = 1-0,6 = 0,4.

2. Įvykis A = (mokinys atsakė į visus klausimus) reiškia vienu metu vykstantį nepriklausomų įvykių A1, A2 ir A3, t.y. P(A)= P(A1A2A3) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklę: P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Tada P(A)= P(A1A2A3)=0,378.

3. Įvykis D = (mokinys atsakė bent į du klausimus) reiškia, kad buvo atsakyta į bet kuriuos du klausimus arba į visus tris, t.y. įvyko vienas iš keturių nesuderinamų įvykių: arba A1A2Ā3, arba A1Ā2A3, arba Ā1A2A3, arba A1A2A3.
Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo taisyklę: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklę:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(Ā1A2A3)= P(Ā1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Tada P(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Tikimybių teorijos studijos prasideda sprendžiant problemas, susijusias su tikimybių sudėtimi ir daugyba. Iš karto verta paminėti, kad mokinys, įsisavindamas šią žinių sritį, gali susidurti su problema: jei fizikinius ar cheminius procesus galima pavaizduoti vizualiai ir suprasti empiriškai, tai matematinės abstrakcijos lygis yra labai aukštas, o supratimas čia. ateina tik su patirtimi.

Tačiau žaidimas vertas žvakės, nes formulės – tiek šiame straipsnyje aptartos, tiek sudėtingesnės – šiandien naudojamos visur ir gali būti naudingos darbe.

Kilmė

Kad ir kaip būtų keista, impulsas šios matematikos šakos raidai buvo... azartiniai lošimai. Iš tiesų, kauliukai, monetų metimas, pokeris, ruletė yra tipiški pavyzdžiai, kuriuose naudojamas tikimybių sudėjimas ir dauginimas. Tai aiškiai matyti naudojant bet kurio vadovėlio problemų pavyzdžius. Žmonėms buvo įdomu sužinoti, kaip padidinti savo šansus laimėti, ir reikia pasakyti, kad kai kuriems tai pavyko.

Pavyzdžiui, jau XXI amžiuje vienas žmogus, kurio pavardės neatskleisime, per šimtmečius sukauptas žinias panaudojo tiesiogine prasme kazino „išvalymui“, ruletėje laimėdamas kelias dešimtis milijonų dolerių.

Tačiau, nepaisant padidėjusio susidomėjimo šia tema, tik XX amžiuje buvo sukurta teorinė sistema, kuri padarė „teoremą“ užbaigtą. Šiandien beveik bet kuriame moksle galima rasti skaičiavimus naudojant tikimybinius metodus.

Pritaikomumas

Svarbus momentas naudojant tikimybių ir sąlyginės tikimybės sudėties ir daugybos formules yra centrinės ribos teoremos tenkinamumas. Priešingu atveju, nors mokinys gali to nesuvokti, visi skaičiavimai, kad ir kokie tikėtini jie atrodytų, bus neteisingi.

Taip, labai motyvuotas studentas kiekviena proga vilioja panaudoti naujas žinias. Tačiau šiuo atveju reikia šiek tiek sulėtinti tempą ir griežtai apibrėžti taikymo sritį.

Tikimybių teorija nagrinėja atsitiktinius įvykius, kurie empiriškai atspindi eksperimentų rezultatus: mes galime mesti šešiapusį kauliuką, ištraukti kortą iš kaladės, numatyti sugedusių dalių skaičių partijoje. Tačiau kai kuriuose klausimuose griežtai draudžiama naudoti formules iš šios matematikos dalies. Įvykio tikimybių svarstymo ypatybes, įvykių sudėjimo ir daugybos teoremas aptarsime straipsnio pabaigoje, bet kol kas pereikime prie pavyzdžių.

Pagrindinės sąvokos

Atsitiktinis įvykis reiškia tam tikrą procesą ar rezultatą, kuris gali pasirodyti arba nepasireikšti kaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, išmetame sumuštinį – jis gali nukristi sviestine puse į viršų arba sviestine puse žemyn. Bet kuris iš dviejų rezultatų bus atsitiktinis, ir mes iš anksto nežinome, kuris iš jų įvyks.

Tiriant tikimybių sudėtį ir daugybą, mums reikės dar dviejų sąvokų.

Tokie įvykiai vadinami jungtiniais, kurių vienas įvykis neatmeta kito. Tarkime, į taikinį vienu metu šaudo du žmonės. Jei vienas iš jų sukuria sėkmingą, tai jokiu būdu neturės įtakos antrojo gebėjimui pataikyti į buliaus akį ar nepataikyti.

Nesuderinami įvykiai bus tie, kurių įvykti vienu metu neįmanoma. Pavyzdžiui, jei iš dėžutės išimsite tik vieną rutulį, negalėsite gauti ir mėlynos, ir raudonos spalvos iš karto.

Paskyrimas

Tikimybės sąvoka žymima lotyniška didžiąja raide P. Toliau skliausteliuose yra argumentai, žymintys tam tikrus įvykius.

Sudėties, sąlyginės tikimybės ir daugybos teoremos formulėse skliausteliuose matysite išraiškas, pvz.: A+B, AB arba A|B. Jie bus skaičiuojami įvairiais būdais, o dabar mes kreipsimės į juos.

Papildymas

Panagrinėkime atvejus, kai naudojamos tikimybių sudėjimo ir daugybos formulės.

Nesuderinamiems įvykiams tinka paprasčiausia sudėjimo formulė: bet kurio atsitiktinio rezultato tikimybė bus lygi kiekvieno iš šių baigčių tikimybių sumai.

Tarkime, kad yra dėžutė su 2 mėlynais, 3 raudonais ir 5 geltonais rutuliukais. Iš viso dėžutėje yra 10 prekių. Kokia yra teiginio, kad nupiešime mėlyną ar raudoną rutulį, tiesa? Jis bus lygus 2/10 + 3/10, ty penkiasdešimt procentų.

Nesuderinamų įvykių atveju formulė tampa sudėtingesnė, nes pridedamas papildomas terminas. Grįžkime prie jos vienoje pastraipoje, apsvarstę kitą formulę.

Daugyba

Įvairiais atvejais naudojamas nepriklausomų įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba. Jei pagal eksperimento sąlygas mus tenkina bet kuris iš dviejų galimų rezultatų, apskaičiuosime sumą; jei norime gauti du tam tikrus rezultatus vieną po kito, naudosime kitą formulę.

Grįžtant prie pavyzdžio iš ankstesnės dalies, pirmiausia norime nupiešti mėlyną rutulį, o tada raudoną. Mes žinome pirmąjį skaičių – jis yra 2/10. Kas bus toliau? Liko 9 kamuoliukai, o raudonų dar tiek pat – trys. Pagal skaičiavimus tai bus 3/9 arba 1/3. Bet ką dabar daryti su dviem skaičiais? Teisingas atsakymas yra padauginti, kad gautumėte 2/30.

Bendri renginiai

Dabar vėl galime pereiti prie bendrų renginių sumos formulės. Kodėl buvome atitraukti nuo temos? Norėdami sužinoti, kaip dauginamos tikimybės. Dabar mums prireiks šių žinių.

Jau žinome, kokie bus pirmieji du nariai (toks pat kaip ir anksčiau aptartoje sudėjimo formulėje), bet dabar reikia atimti tikimybių sandaugą, kurią ką tik išmokome skaičiuoti. Aiškumo dėlei parašykime formulę: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Pasirodo, vienoje išraiškoje naudojamas ir tikimybių sudėjimas, ir daugyba.

Tarkime, kad norėdami gauti kreditą, turime išspręsti bet kurią iš dviejų problemų. Pirmąjį galime išspręsti 0,3, o antrąjį – 0,6 tikimybe. Sprendimas: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Atminkite, kad čia nepakaks tiesiog sudėti skaičius.

Sąlyginė tikimybė

Galiausiai yra sąlyginės tikimybės sąvoka, kurios argumentai nurodyti skliausteliuose ir atskirti vertikalia juosta. Įrašas P(A|B) skamba taip: „įvykio A duoto įvykio B tikimybė“.

Pažiūrėkime į pavyzdį: draugas duoda jums kokį nors prietaisą, tebūnie tai telefonas. Jis gali būti sulūžęs (20%) arba nepažeistas (80%). Jūs galite suremontuoti bet kurį į jūsų rankas patekusį įrenginį su 0,4 tikimybe arba negalite to padaryti (0,6). Galiausiai, jei įrenginys yra tvarkingas, galite pasiekti reikiamą asmenį su 0,7 tikimybe.

Nesunku suprasti, kaip šiuo atveju veikia sąlyginė tikimybė: sugedus telefonui žmogaus nepasieksite, bet jei jis veikia, taisyti nereikia. Taigi, norėdami gauti kokių nors rezultatų „antrame lygyje“, turite išsiaiškinti, koks įvykis buvo įvykdytas pirmą kartą.

Skaičiavimai

Pažvelkime į problemų sprendimo pavyzdžius, susijusius su tikimybių sudėjimu ir daugyba, naudojant ankstesnės pastraipos duomenis.

Pirmiausia suraskime tikimybę, kad pataisysite jums duotą įrenginį. Norėdami tai padaryti, pirma, jis turi būti sugedęs, antra, turite sugebėti jį ištaisyti. Tai tipiška daugybos problema: gauname 0,2 * 0,4 = 0,08.

Kokia tikimybė, kad iš karto pasieksite reikiamą žmogų? Tai taip paprasta: 0,8*0,7 = 0,56. Tokiu atveju pastebėjote, kad telefonas veikia, ir sėkmingai paskambinote.

Galiausiai apsvarstykite šį scenarijų: gausite sugedusį telefoną, sutaisykite jį, tada surinkite numerį ir kitame gale esantis asmuo pakels. Čia jau reikia padauginti tris komponentus: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Ką daryti, jei vienu metu turite du neveikiančius telefonus? Kokia tikimybė, kad sutvarkysite bent vieną iš jų? dėl tikimybių sudėties ir daugybos, nes naudojami bendri įvykiai. Sprendimas: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Taigi, jei gausite du sugedusius įrenginius, galėsite juos pataisyti 64% atvejų.

Atsargus naudojimas

Kaip teigiama straipsnio pradžioje, tikimybių teorijos naudojimas turėtų būti apgalvotas ir sąmoningas.

Kuo didesnė eksperimentų serija, tuo teoriškai prognozuojama vertė priartėja prie gautos praktiškai. Pavyzdžiui, metame monetą. Teoriškai, žinant tikimybių sudėjimo ir daugybos formulių egzistavimą, galime numatyti, kiek kartų atsiras „galvos“ ir „uodegos“, jei eksperimentą atliksime 10 kartų. Atlikome eksperimentą ir atsitiktinai nubrėžtų kraštinių santykis buvo 3:7. Bet jei atliksime 100, 1000 ar daugiau bandymų seriją, paaiškėja, kad pasiskirstymo grafikas vis labiau artėja prie teorinio: 44–56, 482–518 ir pan.

Dabar įsivaizduokite, kad šis eksperimentas atliekamas ne su moneta, o gaminant kokią nors naują cheminę medžiagą, kurios tikimybės mes nežinome. Atliktume 10 eksperimentų ir, negavę sėkmingo rezultato, galėtume apibendrinti: „neįmanoma gauti medžiagos“. Bet kas žino, jei būtume bandę vienuoliktą kartą, būtume pasiekę tikslą, ar ne?

Taigi, jei einate į nežinomybę, į neištirtą sritį, tikimybių teorija gali netikti. Kiekvienas paskesnis bandymas šiuo atveju gali būti sėkmingas ir tokie apibendrinimai, kaip „X neegzistuoja“ arba „X neįmanomas“, bus per anksti.

Galutinis žodis

Taigi, pažvelgėme į dviejų tipų sudėtį, daugybą ir sąlygines tikimybes. Toliau studijuojant šią sritį, būtina išmokti atskirti situacijas, kai naudojama kiekviena konkreti formulė. Be to, turite įsivaizduoti, ar tikimybiniai metodai paprastai yra taikomi jūsų problemai išspręsti.

Jei praktikuosite, po kurio laiko visas reikalingas operacijas pradėsite atlikti tik mintyse. Besidomintiems kortų žaidimais šis įgūdis gali būti laikomas itin vertingu – ženkliai padidinsite savo šansus laimėti vien apskaičiavę konkrečios kortos ar kostiumo iškritimo tikimybę. Tačiau įgytas žinias nesunkiai pritaikysite kitose veiklos srityse.