Pasiruošimo galutiniam testui etape aukštųjų mokyklų studentai turi patobulinti savo žinias tema „Eksponentinės lygtys“. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad tokios užduotys moksleiviams kelia tam tikrų sunkumų. Todėl aukštųjų mokyklų studentai, nepaisant jų pasirengimo lygio, turi gerai įsisavinti teoriją, prisiminti formules ir suprasti tokių lygčių sprendimo principą. Išmokę susidoroti su tokio tipo problemomis, abiturientai gali tikėtis aukštų balų laikydami vieningą valstybinį matematikos egzaminą.
Pasiruoškite egzaminui su Shkolkovo!
Peržiūrėdami medžiagą, kurią jie apėmė, daugelis studentų susiduria su formulių, reikalingų lygtims spręsti, problema. Mokyklinis vadovėlis ne visada yra po ranka, o reikiamos informacijos apie temą atrinkimas internete užtrunka ilgai.
Švietimo portalas Shkolkovo kviečia mokinius naudotis mūsų žinių baze. Diegiame visiškai naują pasiruošimo galutiniam testui metodą. Studijuodami mūsų svetainėje galėsite atpažinti žinių spragas ir atkreipti dėmesį į tas užduotis, kurios kelia daugiausiai sunkumų.
Shkolkovo mokytojai paprasčiausia ir prieinamiausia forma surinko, susistemino ir pateikė visą medžiagą, reikalingą sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą.
Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinis pagrindas“.
Norint geriau suprasti medžiagą, rekomenduojame pasipraktikuoti atliekant užduotis. Atidžiai peržiūrėkite šiame puslapyje pateiktus eksponentinių lygčių ir sprendimų pavyzdžius, kad suprastumėte skaičiavimo algoritmą. Po to atlikite užduotis skyriuje „Katalogai“. Galite pradėti nuo paprasčiausių užduočių arba pereiti tiesiai prie sudėtingų eksponentinių lygčių su keliais nežinomaisiais arba . Mūsų svetainėje esanti pratimų duomenų bazė nuolat pildoma ir atnaujinama.
Pavyzdžius su indikatoriais, kurie jums sukėlė sunkumų, galite įtraukti į „Mėgstamiausius“. Tokiu būdu galite greitai juos rasti ir aptarti sprendimą su savo mokytoju.
Norėdami sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą, kiekvieną dieną mokykitės Shkolkovo portale!
Neišsigąskite mano žodžių, jūs jau susidūrėte su šiuo metodu 7 klasėje, kai studijavote daugianarius.
Pavyzdžiui, jei jums reikia:
Sugrupuokime: pirmą ir trečią terminus, taip pat antrą ir ketvirtą.
Akivaizdu, kad pirmasis ir trečiasis yra kvadratų skirtumas:
o antrasis ir ketvirtasis turi bendrą koeficientą iš trijų:
Tada pradinė išraiška yra lygiavertė šiai:
Iš kur gauti bendrą veiksnį nebėra sunku:
Vadinasi,
Apytiksliai taip ir darysime spręsdami eksponentines lygtis: ieškokite terminų „bendrumo“ ir išimkite jį iš skliaustų, o tada - kad ir kaip būtų, tikiu, kad mums pasiseks =))
14 pavyzdys
Dešinė toli gražu nėra septynių galia (patikrinau!), o kairė ne ką geresnė...
Žinoma, galite „atskirti“ faktorių a nuo antros kadencijos nuo pirmosios kadencijos, o tada susitvarkyti su tuo, ką gavote, bet būkime apdairesni.
Nenoriu susidurti su trupmenomis, kurios neišvengiamai susidaro „renkantis“, taigi ar neturėčiau jo išimti?
Tada neturėsiu jokių frakcijų: kaip sakoma, vilkai pamaitinti, o avys saugios:
Apskaičiuokite išraišką skliausteliuose.
Stebuklingai, stebuklingai taip išeina (keista, nors ko dar turėtume tikėtis?).
Tada šiuo koeficientu sumažiname abi lygties puses. Mes gauname: , iš.
Štai sudėtingesnis pavyzdys (tikrai gana):
Kokia problema! Mes čia neturime vieno bendro pagrindo!
Nelabai aišku, ką dabar daryti.
Padarykime tai, ką galime: pirma, perkelkime „keturiukus“ į vieną pusę, o „penkiukus“ į kitą:
Dabar išimkime „bendrą“ kairėje ir dešinėje:
Tai kas dabar?
Kokia nauda iš tokios kvailos grupės? Iš pirmo žvilgsnio visiškai nesimato, bet pažiūrėkime giliau:
Na, o dabar įsitikinsime, kad kairėje turime tik išraišką c, o dešinėje - visa kita.
Kaip tai darome?
Štai kaip: pirmiausia padalykite abi lygties puses iš (taip atsikratytume eksponento dešinėje), o tada padalykite abi puses iš (taip atsikratytume skaitinio koeficiento kairėje).
Galiausiai gauname:
Neįtikėtina!
Kairėje pusėje yra išraiška, o dešinėje - paprasta išraiška.
Tada iš karto darome tokią išvadą
15 pavyzdys
Pateiksiu trumpą jo sprendimą (daug nesivargindamas paaiškinimais), pabandyk pats suprasti visas sprendimo „subtilybes“.
Dabar apie galutinį aptrauktos medžiagos konsolidavimą.
Savarankiškas šių 7 uždavinių sprendimas (su atsakymais)
- Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų: Kur:
- Pateikime pirmąją išraišką forma: , padalinkite abi puses iš ir gaukite tai
- , tada pradinė lygtis transformuojama į formą: Na, o dabar užuomina – paieškok, kur tu ir aš jau išsprendėme šią lygtį!
- Įsivaizduokite, kaip, kaip, ah, gerai, tada padalinkite abi puses iš, kad gautumėte paprasčiausią eksponentinę lygtį.
- Ištraukite jį iš skliaustų.
- Ištraukite jį iš skliaustų.
EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS
Manau, kad perskaičius pirmąjį straipsnį, kuriame buvo kalbama apie kas yra eksponentinės lygtys ir kaip jas išspręsti, esate įvaldę būtinų minimalių žinių, reikalingų paprasčiausiems pavyzdžiams išspręsti.
Dabar pažvelgsiu į kitą eksponentinių lygčių sprendimo būdą, tai yra...
Naujo kintamojo įvedimo (arba pakeitimo) metodas
Jis sprendžia daugumą „sudėtingų“ uždavinių eksponentinių lygčių (ir ne tik lygčių) tema.
Šis metodas yra vienas iš dažniausiai naudojamas praktikoje. Pirmiausia rekomenduoju susipažinti su tema.
Kaip jau supratote iš pavadinimo, šio metodo esmė yra įvesti tokį kintamojo pasikeitimą, kad jūsų eksponentinė lygtis stebuklingai virstų tokia, kurią galėsite lengvai išspręsti.
Išsprendus šią labai „supaprastintą lygtį“, jums belieka atlikti „atvirkštinį pakeitimą“: tai yra, grįžti iš pakeisto į pakeistą.
Iliustruojame tai, ką ką tik pasakėme, labai paprastu pavyzdžiu:
16 pavyzdys. Paprastas pakeitimo būdas
Šią lygtį galima išspręsti naudojant "paprastas pakeitimas", kaip jį niekinamai vadina matematikai.
Tiesą sakant, pakeitimas čia yra akivaizdžiausias. Reikia tik tai pamatyti
Tada pradinė lygtis pavirs tokia:
Jei papildomai įsivaizduojate kaip, tada visiškai aišku, kad būtina pakeisti...
Žinoma, .
Kas tada tampa pradine lygtimi? Štai kas:
Jo šaknis galite lengvai rasti patys: .
Ką dabar turėtume daryti?
Atėjo laikas grįžti prie pradinio kintamojo.
Ką pamiršau paminėti?
Būtent: pakeičiant tam tikrą laipsnį nauju kintamuoju (ty pakeičiant tipą), man bus įdomu tik teigiamos šaknys!
Jūs pats galite lengvai atsakyti kodėl.
Taigi jūs ir aš nesame suinteresuoti, bet antroji šaknis mums tinka:
Tada iš kur.
Atsakymas:
Kaip matote, ankstesniame pavyzdyje pakaitalas tiesiog prašė mūsų rankų. Deja, taip būna ne visada.
Tačiau nepereikime tiesiai prie liūdnų dalykų, bet pasipraktikuokime su dar vienu pavyzdžiu su gana paprastu pakeitimu
17 pavyzdys. Paprastas pakeitimo būdas
Akivaizdu, kad greičiausiai jį teks pakeisti (tai yra mažiausias iš laipsnių, įtrauktų į mūsų lygtį).
Tačiau prieš įvedant pakaitalą, mūsų lygtis turi būti jai „paruošta“, būtent: , .
Tada galite pakeisti, todėl gaunu tokią išraišką:
O siaubas: kubinė lygtis su absoliučiai baisiomis jos sprendimo formulėmis (na, kalbant bendrais bruožais).
Tačiau nenusiminkim iš karto, o pagalvokime, ką turėtume daryti.
Siūlysiu sukčiauti: žinome, kad norėdami gauti „gražų“ atsakymą, turime jį gauti kaip trijų galių (kodėl taip, ane?).
Pabandykime atspėti bent vieną mūsų lygties šaknį (pradėsiu spėlioti laipsniais iš trijų).
Pirmas spėjimas. Ne šaknis. Deja ir ak...
.
Kairė pusė lygi.
Dešinė dalis: !
Valgyk! Atspėjo pirmą šaknį. Dabar viskas bus lengviau!
Ar žinote apie „kampo“ padalijimo schemą? Žinoma, jūs naudojate jį, kai dalijate vieną skaičių iš kito.
Tačiau mažai žmonių žino, kad tą patį galima padaryti ir su daugianariais.
Yra viena nuostabi teorema:
Taikant mano situaciją, tai man sako, kad ji be likučio dalijama iš.
Kaip vykdomas padalijimas? Štai taip:
Žiūriu, iš kurio monomio turėčiau padauginti, kad gaučiau
Aišku, kad tada:
Gautą išraišką atėmiau iš, gaunu:
Iš ko man reikia padauginti, kad gaučiau?
Aišku, tada gausiu:
ir vėl atimkite gautą išraišką iš likusios:
Na, paskutinis žingsnis yra padauginti iš likusios išraiškos ir atimti iš jos:
Hurray, dalyba baigėsi! Ką mes sukaupėme privačiai?
Savaime: .
Tada gavome tokį pradinio daugianario išplėtimą:
Išspręskime antrąją lygtį:
Jis turi šaknis:
Tada pradinė lygtis:
turi tris šaknis:
Žinoma, paskutinę šaknį atmesime, nes ji mažesnė už nulį.
Ir pirmieji du po atvirkštinio pakeitimo suteiks mums dvi šaknis:
Atsakymas: ..
Nenorėjau jūsų išgąsdinti šiuo pavyzdžiu!
Atvirkščiai, mano tikslas buvo parodyti, kad nors turėjome gana paprastą pakeitimą, vis dėlto tai lėmė gana sudėtingą lygtį, kurios sprendimas iš mūsų pareikalavo tam tikrų specialių įgūdžių.
Na, niekas nuo to neapsaugotas. Tačiau pakeitimas šiuo atveju buvo gana akivaizdus.
18 pavyzdys (su mažiau akivaizdžiu pakeitimu)
Visiškai neaišku, ką turėtume daryti: problema ta, kad mūsų lygtyje yra dvi skirtingos bazės ir vienos bazės negalima gauti iš kitos, pakeliant ją į kokią nors (protingą, natūralią) galią.
Tačiau ką mes matome?
Abi bazės skiriasi tik ženklu, o jų sandauga yra kvadratų skirtumas, lygus vienetui:
Apibrėžimas:
Taigi, mūsų pavyzdyje esantys skaičiai yra konjuguoti.
Šiuo atveju protingas žingsnis būtų padauginkite abi lygties puses iš konjuguoto skaičiaus.
Pavyzdžiui, įjungta, tada kairioji lygties pusė taps lygi, o dešinė.
Jei pakeisime, mūsų pradinė lygtis taps tokia:
tada jos šaknys, ir tai atsimindami mes tai suprantame.
Atsakymas: ,.
Paprastai pakeitimo metodo pakanka daugeliui „mokyklinių“ eksponentinių lygčių išspręsti.
Šios padidinto sudėtingumo užduotys paimtos iš vieningo valstybinio egzamino variantų.
Trys padidinto sudėtingumo užduotys iš unifikuoto valstybinio egzamino variantų
Jūs jau esate pakankamai raštingas, kad galėtumėte savarankiškai išspręsti šiuos pavyzdžius. Duosiu tik reikiamą pakaitalą.
- Išspręskite lygtį:
- Raskite lygties šaknis:
- Išspręskite lygtį:. Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui:
O dabar keletas trumpų paaiškinimų ir atsakymų:
19 pavyzdys
Čia mums užtenka pastebėti, kad...
Tada pradinė lygtis bus lygiavertė šiai:
Šią lygtį galima išspręsti pakeičiant
Tolesnius skaičiavimus atlikite patys.
Galų gale jūsų užduotis bus sumažinta iki paprastų trigonometrinių problemų sprendimo (priklausomai nuo sinuso ar kosinuso). Panašių pavyzdžių sprendimus apžvelgsime kituose skyriuose.
20 pavyzdys
Čia galite net be pakeitimo...
Pakanka perkelti subtraheną į dešinę ir pavaizduoti abi bazes per dviejų laipsnius: , o tada iškart pereiti prie kvadratinės lygties.
21 pavyzdys
Tai taip pat išspręsta gana standartiniu būdu: įsivaizduokime, kaip.
Tada, pakeisdami, gauname kvadratinę lygtį: tada,
Jūs jau žinote, kas yra logaritmas, tiesa? Ne? Tada skubiai perskaitykite temą!
Pirmoji šaknis akivaizdžiai nepriklauso segmentui, bet antroji neaiški!
Bet mes sužinosime labai greitai!
Nuo tada (tai yra logaritmo savybė!)
Atimkite iš abiejų pusių, tada gausime:
Kairė pusė gali būti pavaizduota taip:
padauginkite abi puses iš:
tada galima padauginti iš
Tada palyginkite:
nuo tada:
Tada antra šaknis priklauso reikiamam intervalui
Atsakymas:
Kaip tu matai, parenkant eksponentinių lygčių šaknis, reikia gana giliai išmanyti logaritmų savybes, todėl patariu būti kuo atsargesniems sprendžiant eksponentines lygtis.
Kaip suprantate, matematikoje viskas yra tarpusavyje susiję!
Kaip sakė mano matematikos mokytojas: „matematika, kaip ir istorija, negali būti perskaityta per vieną naktį“.
Kaip taisyklė, visi Sunkumas sprendžiant padidinto sudėtingumo problemas yra būtent lygties šaknų pasirinkimas.
Dar vienas praktikos pavyzdys...
22 pavyzdys
Akivaizdu, kad pati lygtis išspręsta gana paprastai.
Atlikdami pakaitalą, pradinę lygtį sumažiname iki šios:
Pirmiausia pažiūrėkime pirmoji šaknis.
Palyginkime ir: nuo tada. (logaritminės funkcijos savybė, at).
Tada aišku, kad pirmoji šaknis nepriklauso mūsų intervalui.
Dabar antroji šaknis: . Tai aišku (kadangi funkcija at didėja).
Belieka palyginti ir...
nuo tada, tuo pačiu metu.
Tokiu būdu galiu „įvaryti kaištį“ tarp ir.
Šis kaištis yra skaičius.
Pirmoji išraiška mažesnė, o antroji didesnė.
Tada antroji išraiška yra didesnė už pirmąją, o šaknis priklauso intervalui.
Atsakymas:.
Galiausiai pažvelkime į kitą lygties pavyzdį, kur pakeitimas yra gana neįprastas.
Pavyzdys Nr. 23 (Lygtis su nestandartiniu pakeitimu!)
Iš karto pradėkime nuo to, ką galima padaryti, o ką – iš principo galima, bet geriau to nedaryti.
Viską galite įsivaizduoti per trijų, dviejų ir šešių galias.
Kur tai veda?
Tai nieko neprives: laipsnių kratinys, iš kurio kai kurių bus gana sunku atsikratyti.
Ko tada reikia?
Pastebėkime, kad a
Ir ką tai mums duos?
Ir tai, kad šio pavyzdžio sprendimą galime redukuoti iki gana paprastos eksponentinės lygties!
Pirma, perrašykime savo lygtį taip:
Dabar padalinkime abi gautos lygties puses iš:
Eureka! Dabar galime pakeisti, gauname:
Na, dabar jūsų eilė spręsti demonstracines problemas, o aš jas pateiksiu tik trumpus komentarus, kad nenuklystumėte! Sėkmės!
24 pavyzdys
Sunkiausia!
Taip sunku čia pamatyti pakaitalą! Tačiau nepaisant to, šis pavyzdys gali būti visiškai išspręstas naudojant išryškinant ištisą aikštę.
Norėdami tai išspręsti, pakanka pažymėti, kad:
Tada čia yra jūsų pakaitalas:
(Atkreipkite dėmesį, kad pakeitimo metu negalime išmesti neigiamos šaknies!!! Kodėl manote?)
Dabar, norėdami išspręsti pavyzdį, turite išspręsti tik dvi lygtis:
Abu juos galima išspręsti „standartiniu pakeitimu“ (bet antrasis viename pavyzdyje!)
25 pavyzdys
2. Pastebėkite tai ir pakeiskite.
26 pavyzdys
3. Išskaidykite skaičių į kopirminius veiksnius ir supaprastinkite gautą išraišką.
27 pavyzdys
4. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš (arba, jei norite) ir pakeiskite arba.
28 pavyzdys
5. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai ir yra konjuguoti.
LAIKININIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS NAUDOJANT LOGARITMETODĄ. PAŽEIDĖJANTIS LYGIS
Be to, pažiūrėkime kitu būdu - sprendžiant eksponentines lygtis logaritmo metodu.
Negaliu sakyti, kad eksponentinių lygčių sprendimas šiuo metodu yra labai populiarus, tačiau kai kuriais atvejais tik tai gali padėti mums rasti teisingą mūsų lygties sprendimą.
Jis ypač dažnai naudojamas sprendžiant vadinamąsias „ mišrios lygtys": tai yra tie, kuriuose atliekamos skirtingų tipų funkcijos.
29 pavyzdys
bendruoju atveju tai galima išspręsti tik imant abiejų pusių logaritmus (pavyzdžiui, iki pagrindo), kuriuose pradinė lygtis pavirs į tokia:
Pažvelkime į tokį pavyzdį:
Aišku, kad pagal logaritminės funkcijos ODZ mus tik domina.
Tačiau tai išplaukia ne tik iš logaritmo ODZ, bet ir dėl dar vienos priežasties.
Manau, jums nebus sunku atspėti, kuris iš jų.
Paimkime abiejų lygties pusių logaritmą į bazę:
Kaip matote, mūsų pradinės lygties logaritmas greitai atvedė mus prie teisingo (ir gražaus!) atsakymo.
Praktikuokime su dar vienu pavyzdžiu.
30 pavyzdys
Čia taip pat nėra nieko blogo: paimkime abiejų lygties pusių logaritmą į pagrindą, tada gausime:
Pakeiskime:
Tačiau mes kažko praleidome! Ar pastebėjote, kur aš padariau klaidą? Juk tada:
kuris neatitinka reikalavimo (pagalvokite, iš kur jis atsirado!)
Atsakymas:
Pabandykite užrašyti toliau pateiktų eksponentinių lygčių sprendimą:
Dabar palyginkite savo sprendimą su šiuo:
31 pavyzdys
Suveskime abiejų pusių logaritmą į pagrindą, atsižvelgdami į tai:
(antra šaknis mums netinka dėl pakeitimo)
32 pavyzdys
Paimkime logaritmus į bazę:
Pakeiskime gautą išraišką į tokią formą:
EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. TRUMPAS APRAŠYMAS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS
Eksponentinė lygtis
Formos lygtis:
paskambino paprasčiausia eksponentinė lygtis.
Laipsnių savybės
Požiūriai į sprendimą
- Sumažinti iki to paties pagrindo
- Sumažinimas iki to paties laipsnio
- Kintamasis pakeitimas
- Supaprastinkite išraišką ir pritaikykite vieną iš aukščiau pateiktų dalykų.
Eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)
Kas nutiko eksponentinė lygtis? Tai lygtis, kurioje yra nežinomieji (x) ir išraiškos su jais rodikliai kai kurie laipsniai. Ir tik ten! Svarbu.
Štai kur tu eksponentinių lygčių pavyzdžiai:
3 x 2 x = 8 x+3
Pastaba! Laipsnių pagrindu (žemiau) - tik skaičiai. IN rodikliai laipsniai (aukščiau) - daugybė išraiškų su X. Jei staiga lygtyje X atsiranda kur nors kitur nei indikatorius, pavyzdžiui:
tai jau bus mišraus tipo lygtis. Tokios lygtys neturi aiškių jų sprendimo taisyklių. Kol kas jų nesvarstysime. Čia mes susidorosime su sprendžiant eksponentines lygtis gryniausia forma.
Tiesą sakant, net grynos eksponentinės lygtys ne visada išsprendžiamos aiškiai. Tačiau yra tam tikrų tipų eksponentinių lygčių, kurias galima ir reikia išspręsti. Tai yra rūšys, kurias mes apsvarstysime.
Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas.
Pirma, išspręskime kažką labai paprasto. Pavyzdžiui:
Net ir be jokių teorijų, paprastu pasirinkimu aišku, kad x = 2. Nieko daugiau, tiesa!? Jokia kita X reikšmė neveikia. Dabar pažvelkime į šios sudėtingos eksponentinės lygties sprendimą:
Ką mes padarėme? Mes, tiesą sakant, tiesiog išmetėme tuos pačius pagrindus (trigubas). Visiškai išmestas. Ir gera žinia ta, kad mes pataikėme vinį į galvą!
Iš tiesų, jei eksponentinėje lygtyje yra kairė ir dešinė tas pats skaičiai bet kokiais laipsniais, šie skaičiai gali būti pašalinti ir rodikliai gali būti išlyginti. Matematika leidžia. Belieka išspręsti daug paprastesnę lygtį. Puiku, tiesa?)
Tačiau prisiminkime tvirtai: Bazes galite pašalinti tik tada, kai baziniai numeriai kairėje ir dešinėje yra puikiai atskirti! Be jokių kaimynų ir koeficientų. Tarkime lygtyse:
2 x +2 x+1 = 2 3 arba
dviejų negalima pašalinti!
Na, mes įvaldėme svarbiausią dalyką. Kaip pereiti nuo piktų eksponentinių išraiškų prie paprastesnių lygčių.
"Tokie laikai!" - sakai tu. „Kas ves tokią primityvią testų ir egzaminų pamoką!?
turiu sutikti. Niekas to nepadarys. Tačiau dabar žinote, kur siekti sprendžiant sudėtingus pavyzdžius. Jis turi būti įvestas į formą, kurioje kairėje ir dešinėje yra tas pats pagrindinis numeris. Tada viskas bus lengviau. Tiesą sakant, tai yra matematikos klasika. Imame originalų pavyzdį ir paverčiame jį norimu mus protas. Žinoma, pagal matematikos taisykles.
Pažvelkime į pavyzdžius, kuriems reikia šiek tiek papildomų pastangų, kad juos sumažintume iki paprasčiausių. Paskambinkime jiems paprastos eksponentinės lygtys.
Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.
Sprendžiant eksponentines lygtis, pagrindinės taisyklės yra veiksmai su laipsniais. Be žinių apie šiuos veiksmus niekas neveiks.
Prie veiksmų su laipsniais reikia pridėti asmeninį stebėjimą ir išradingumą. Ar mums reikia tų pačių bazinių skaičių? Taigi pavyzdyje jų ieškome aiškia arba šifruota forma.
Pažiūrėkime, kaip tai daroma praktiškai?
Pateiksime pavyzdį:
2 2x - 8 x+1 = 0
Pirmas akylas žvilgsnis yra į pagrindu. Jie... Jie skirtingi! Du ir aštuoni. Tačiau dar per anksti nusiminti. Laikas tai prisiminti
Du ir aštuoni yra laipsnio giminės.) Visiškai įmanoma parašyti:
8 x+1 = (2 3) x+1
Jei prisiminsime formulę iš operacijų su laipsniais:
(a n) m = a nm ,
tai puikiai veikia:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Pradinis pavyzdys pradėjo atrodyti taip:
2 2x - 2 3 (x+1) = 0
Perkeliame 2 3 (x+1)į dešinę (niekas neatšaukė elementarių matematikos operacijų!), gauname:
2 2x = 2 3 (x+1)
Tai praktiškai viskas. Pagrindo pašalinimas:
Mes išsprendžiame šį monstrą ir gauname
Tai teisingas atsakymas.
Šiame pavyzdyje mums padėjo dviejų galių žinojimas. Mes nustatyta aštuoniose yra užšifruoti du. Šis metodas (bendrųjų bazių kodavimas skirtingais skaičiais) yra labai populiarus eksponentinių lygčių metodas! Taip, ir logaritmais. Turite mokėti atpažinti kitų skaičių galias skaičiais. Tai labai svarbu sprendžiant eksponenlines lygtis.
Faktas yra tai, kad bet kokį skaičių padidinti iki bet kokios galios nėra problema. Padauginkite, kad ir ant popieriaus, ir viskas. Pavyzdžiui, kiekvienas gali pakelti 3 iki penktos laipsnio. 243 pasiseks, jei žinai daugybos lentelę.) Bet eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia ne kelti į laipsnį, o atvirkščiai... Sužinok koks skaičius iki kokio laipsnio slepiasi po skaičiumi 243, arba, tarkim, 343... Joks skaičiuotuvas čia nepadės.
Kai kurių skaičių galias reikia žinoti iš matymo, tiesa... Praktikuojamės?
Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Atsakymai (žinoma, netvarkoje!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Atidžiau pažvelgę pamatysite keistą faktą. Atsakymų yra žymiai daugiau nei užduočių! Na, būna... Pavyzdžiui, 2 6, 4 3, 8 2 – tai visi 64.
Tarkime, kad atkreipėte dėmesį į informaciją apie susipažinimą su skaičiais.) Taip pat priminsiu, kad eksponentinėms lygtims spręsti naudojame visi matematinių žinių fondą. Įskaitant jaunesniųjų ir vidurinių klasių atstovus. Jūs neįstojote tiesiai į vidurinę mokyklą, tiesa?)
Pavyzdžiui, sprendžiant eksponentines lygtis dažnai padeda bendrojo koeficiento dėjimas iš skliaustų (sveiki 7 klasei!). Pažiūrėkime į pavyzdį:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Ir vėl pirmas žvilgsnis – į pamatus! Skiriasi laipsnių pagrindai... Trys ir devyni. Bet mes norime, kad jie būtų vienodi. Na, šiuo atveju noras visiškai išsipildo!) Nes:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Taikant tas pačias taisykles, susijusias su laipsniais:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Puiku, galite užsirašyti:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Taigi, kas toliau!? Trijų išmesti negalima... Aklavietė?
Visai ne. Prisiminkite universaliausią ir galingiausią sprendimo taisyklę Visi matematikos užduotys:
Jei nežinai, ko tau reikia, daryk, ką gali!
Žiūrėk, viskas susitvarkys).
Kas yra šioje eksponentinėje lygtyje Gali daryti? Taip, kairėje pusėje jis tiesiog prašosi būti išimamas iš skliaustų! Bendras daugiklis 3 2x aiškiai tai rodo. Pabandykime, tada pamatysime:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Pavyzdys vis gerėja ir gerėja!
Mes prisimename, kad norint pašalinti pagrindus, mums reikia gryno laipsnio, be jokių koeficientų. Skaičius 70 mus trikdo. Taigi abi lygties puses padaliname iš 70, gauname:
Oi! Viskas pagerėjo!
Tai yra galutinis atsakymas.
Tačiau pasitaiko, kad taksi važiavimas tuo pačiu pagrindu pasiekiamas, tačiau jų pašalinti neįmanoma. Tai atsitinka kitų tipų eksponentinėse lygtyse. Įvaldykime šį tipą.
Kintamojo pakeitimas sprendžiant eksponentines lygtis. Pavyzdžiai.
Išspręskime lygtį:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Pirma – kaip įprasta. Pereikime prie vienos bazės. Į dvikovą.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Gauname lygtį:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Ir čia mes pakabiname. Ankstesni metodai neveiks, kad ir kaip žiūrėtumėte. Iš savo arsenalo turėsime ištraukti dar vieną galingą ir universalų metodą. Tai vadinama kintamasis pakeitimas.
Metodo esmė stebėtinai paprasta. Vietoj vienos sudėtingos piktogramos (mūsų atveju - 2 x) rašome kitą, paprastesnę (pavyzdžiui - t). Toks, atrodytų, beprasmis pakeitimas veda prie nuostabių rezultatų!) Viskas tiesiog tampa aišku ir suprantama!
Taigi tegul
Tada 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2
Mūsų lygtyje visus laipsnius x pakeičiame t:
Na, ar tau išaiškėjo?) Ar jau pamiršote kvadratines lygtis? Išspręsdami per diskriminantą, gauname:
Čia svarbiausia nesustoti, kaip atsitinka... Tai dar ne atsakymas, mums reikia x, o ne t. Grįžkime prie X, t.y. atliekame atvirkštinį pakeitimą. Pirmiausia t 1:
Tai yra,
Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo iš t 2:
Hm... 2 x kairėje, 1 dešinėje... Problema? Visai ne! Užtenka prisiminti (iš operacijų su galiomis, taip...), kad vienetas yra bet koks skaičių iki nulio laipsnio. Bet koks. Ką reikės, mes sumontuosime. Mums reikia dviejų. Priemonės:
Tai dabar. Turime 2 šaknis:
Tai yra atsakymas.
At sprendžiant eksponentines lygtis pabaigoje kartais baigiesi kažkokia nepatogia išraiška. Tipas:
Septynių negalima paversti dviem naudojant paprastą laipsnį. Jie ne giminaičiai... Kaip mes galime būti? Kas nors gali būti sumišęs... Bet žmogus, kuris šioje svetainėje perskaitė temą "Kas yra logaritmas?" , tik taupiai nusišypso ir tvirta ranka užrašo visiškai teisingą atsakymą:
Vieningo valstybinio egzamino „B“ užduotyse tokio atsakymo negali būti. Ten reikalingas konkretus skaičius. Tačiau atliekant užduotis „C“ tai lengva.
Šioje pamokoje pateikiami dažniausiai pasitaikančių eksponentinių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Pabrėžkime pagrindinius dalykus.
Praktiniai patarimai:
1. Pirmiausia žiūrime pagrindu laipsnių. Svarstame, ar įmanoma juos pagaminti identiškas. Pabandykime tai padaryti aktyviai naudodami veiksmai su laipsniais. Nepamirškite, kad skaičiai be x taip pat gali būti konvertuojami į laipsnius!
2. Bandome suvesti eksponentinę lygtį į formą, kai kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiais laipsniais. Mes naudojame veiksmai su laipsniais Ir faktorizavimas. Ką galima suskaičiuoti skaičiais, tą ir skaičiuojame.
3. Jei antrasis patarimas neveikė, pabandykite naudoti kintamąjį pakeitimą. Rezultatas gali būti lygtis, kurią galima lengvai išspręsti. Dažniausiai – kvadratas. Arba trupmena, kuri taip pat sumažinama iki kvadrato.
4. Norint sėkmingai išspręsti eksponentines lygtis, reikia iš matymo žinoti kai kurių skaičių galias.
Kaip įprasta, pamokos pabaigoje esate kviečiami šiek tiek apsispręsti.) Savarankiškai. Nuo paprasto iki sudėtingo.
Išspręskite eksponentines lygtis:
Sunkiau:
2 x+3 – 2 x+2 – 2 x = 48
9 x – 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0
Raskite šaknų produktą:
2 3 + 2 x = 9
Įvyko?
Na, tada labai sudėtingas pavyzdys (nors jį galima išspręsti mintyse...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Kas įdomesnio? Tada čia jums blogas pavyzdys. Visai vertas padidinto sunkumo. Leiskite užsiminti, kad šiame pavyzdyje jus gelbsti išradingumas ir universaliausia visų matematinių problemų sprendimo taisyklė.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Paprastesnis pavyzdys, skirtas atsipalaiduoti):
9 2 x - 4 3 x = 0
Ir desertui. Raskite lygties šaknų sumą:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Taip taip! Tai mišraus tipo lygtis! Į ką šioje pamokoje nesvarstėme. Kam juos apsvarstyti, juos reikia išspręsti!) Šios pamokos visiškai pakanka lygčiai išspręsti. Na, reikia išradingumo... Ir tegul tau padeda septinta klasė (tai užuomina!).
Atsakymai (netvarkingi, atskirti kabliataškiais):
1; 2; 3; 4; nėra sprendimų; 2; -2; -5; 4; 0.
Ar viskas pavyksta? Puiku.
Yra problema? Jokiu problemu! Specialusis 555 skyrius išsprendžia visas šias eksponentines lygtis su išsamiais paaiškinimais. Kas, kodėl ir kodėl. Ir, žinoma, yra papildomos vertingos informacijos apie darbą su visomis eksponentinėmis lygtimis. Ne tik šie.)
Paskutinis įdomus klausimas, kurį reikia apsvarstyti. Šioje pamokoje dirbome su eksponentinėmis lygtimis. Kodėl aš čia nepasakiau nė žodžio apie ODZ? Beje, lygtyse tai labai svarbus dalykas...
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Eikite į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad gautumėte naujausią informaciją apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.
Pirmiausia prisiminkime pagrindines galių formules ir jų savybes.
Skaičiaus sandauga a savaime atsiranda n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Galios arba eksponentinės lygtys– tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.
Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:
Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje, o kintamasis x laipsnis arba rodiklis.
Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0
Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?
Paimkime paprastą lygtį:
2 x = 2 3
Šis pavyzdys gali būti išspręstas net jūsų galvoje. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip įforminti šį sprendimą:
2 x = 2 3
x = 3
Norėdami išspręsti tokią lygtį, pašalinome identiškais pagrindais(tai yra dviese) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.
Dabar apibendrinkime savo sprendimą.
Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygtis turi pagrindus dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nevienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai bazės tampa vienodos, prilyginti laipsnių ir išspręskite gautą naują lygtį.
Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių:
Pradėkime nuo kažko paprasto.
Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų laipsnius.
x+2=4 Gaunama paprasčiausia lygtis.
x=4–2
x=2
Atsakymas: x=2
Šiame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi: 3 ir 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Pirma, perkelkite devynis į dešinę pusę, gauname:
Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Mes žinome, kad 9 = 3 2. Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Gauname 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Dabar aišku, kad kairėje ir dešinėje bazės yra vienodos ir lygios trims, tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.
3x=2x+16 gauname paprasčiausią lygtį
3x - 2x = 16
x=16
Atsakymas: x=16.
Pažvelkime į tokį pavyzdį:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Visų pirma, mes žiūrime į pagrindus, antrą ir ketvirtą. Ir mums reikia, kad jie būtų vienodi. Keturis transformuojame naudodami formulę (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Pridėkite prie lygties:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Bet kiti skaičiai 10 ir 24 mus vargina. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus matosi, kad kairėje pusėje pakartojame 2 2x, štai atsakymas – galime dėti 2 2x iš skliaustų:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Visą lygtį padaliname iš 6:
Įsivaizduokime 4 = 2 2:
2 2x = 2 2 bazės yra vienodos, jas atmetame ir laipsnius sulyginame.
2x = 2 yra paprasčiausia lygtis. Padalinkite iš 2 ir gausime
x = 1
Atsakymas: x = 1.
Išspręskime lygtį:
9 x – 12*3 x +27= 0
Konvertuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje matote, kad pirmieji trys laipsnis yra du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite išspręsti pakeitimo metodas. Pakeičiame skaičių mažiausiu laipsniu:
Tada 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Visas x laipsnius lygtyje pakeičiame t:
t 2 – 12t+27 = 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išspręsdami per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Grįžtant prie kintamojo x.
Paimkite t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Tai yra,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo iš t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 = 2; x 2 = 1.
Svetainėje galite skiltyje PADĖKITE SPRENDIMĄ Jei kils klausimų, būtinai atsakysime.
Prisijunk prie grupės
