Pagrindinių geometrinių konstrukcijų išmanymas leidžia piešti teisingai ir greitai, pasirenkant kiekvienu atveju racionaliausią techniką.

2.1. Segmento padalijimas į lygias dalis

Galite padalyti atkarpą per pusę naudodami kompasą, sukonstruodami vidurinį statmeną (18 pav., a). Norėdami tai padaryti, paimkite spindulį, kuris yra didesnis nei pusė atkarpos ilgio, ir nubrėžkite apskritimo lankus iš jo galų iš abiejų pusių, kol jie susikerta. Per lankų susikirtimo taškus nubrėžiame medianą statmenai.

Norėdami padalyti į bet kokį lygių dalių skaičių, naudojame Fa teoremą

pastoliai: jei vienoje kampo pusėje išdėstyti vienodi segmentai ir per jų galus nubrėžtos lygiagrečios tiesės, tai kitoje kampo pusėje taip pat bus išdėstyti vienodi segmentai (18 pav., b). Pagal pro-

Į atkarpą AB savavališku kampu nubrėžiame pagalbinį spindulį AC, ant kurio braižome savavališko ilgio atkarpą tiek kartų, kiek dalių reikia padalyti į šią atkarpą. Paskutinio atkarpos galą sujungiame su tašku B ir per likusių atkarpų galus nubrėžiame lygiagrečias BC tiesias linijas.

2.2. Apskritimo padalijimas į savavališką skaičių lygių dalių

Galimybė padalyti apskritimą į lygias dalis būtina norint sudaryti taisyklingus daugiakampius. Pirmiausia panagrinėkime konkrečius apskritimo padalijimo būdus.

Padalijimas į tris dalis (19 pav.)

Kompaso koją dedame viename iš tarpusavyje statmenų apskritimo skersmenų galų. Naudodami kompaso tirpalą, lygų apskritimo spinduliui, ant jo padarome įpjovas abiejose šio skersmens galo pusėse. Gauname dvi taisyklingo trikampio viršūnes. Trečioji viršūnė yra priešingas skersmens galas.

Padalijimas į keturias dalis (20 pav.)

Du tarpusavyje statmeni skersmenys padalija apskritimą į keturias lygias dalis. Jei tiesios linijos nubrėžtos per apskritimo centrą 45ᵒ kampu ašių atžvilgiu, tada jos taip pat padalins apskritimą į keturias lygias dalis. Įrašyto kvadrato kraštinės bus lygiagrečios apskritimo ašims. Kartu šie du kvadratai padalijo apskritimą į aštuonias lygias dalis.

Padalinta į penkias dalis (21 pav.)

● 1). Naudodami kompaso angą, lygią spinduliui, apskritime padarome įpjovą. Gauname tašką 2.

● Nuo 2 taško nuleidžiame statmeną skersmeniui, nuo kurio galo buvo padaryta įpjova. Gauname 3 tašką.

● Dedame kompaso koją taške 3. Paimkite spindulį, lygų atstumui nuo taško 3 iki vertikalaus skersmens galo (4 taškas), ir nubrėžkite lanką, kol jis susikirs su horizontaliu skersmeniu. Gauname 5 tašką.

● Sujunkite 4 ir 5 taškus. 4–5 akordas bus 1/5 apskritimo.

● Kompasu išmatuojame stygos ilgį 4–5 ir pradėkite jį kloti nuo vieno iš skersmens galų (atsižvelgiant į tai, kaip penkiakampis turi būti nukreiptas ašių atžvilgiu). Skersmuo, nuo kurio galo pradedame kloti segmentą, bus figūros simetrijos ašis.

Rekomenduotina iš karto iš abiejų pusių išdėlioti gabalus. Likęs segmentas turi būti statmenas simetrijos ašiai. Jei jo ilgis nėra lygus likusių atkarpų ilgiui, vadinasi, konstrukcija atlikta netiksliai arba netiksliai išmatuota styga 4–5. Turėtumėte pakoreguoti segmento ilgį ir dar kartą padalyti apskritimą.

Padalijimas į šešias dalis (22 pav.)

Naudodami kompaso angą, lygią apskritimo spinduliui, iš abiejų vienodo skersmens galų padarome įpjovas į abi puses nuo jų. Gauname keturias taisyklingo šešiakampio viršūnes. Kitos dvi viršūnės yra skersmens galai, iš kurių gaminami serifai.

Padalijimas į septynias dalis (23 pav.)

● Dedame kompaso koją viename iš skersmens galų (taškas 1). Naudodami kompaso sprendimą, lygų apskritimo spinduliui, padarome ant jo įpjovą. Gauname tašką 2.

● Nuo 2 taško nuleidžiame statmeną skersmeniui, nuo kurio galo buvo padaryta įpjova. Gauname 3 tašką. Atkarpa 2–3 yra 1/7 apskritimo.

● Atkarpos ilgį išmatuojame slankmačiu 2–3 ir paeiliui atidėkite jį nuo bet kurio skersmens galo iš abiejų pusių iš karto. Paskutinis segmentas turi būti statmenas skersmeniui, nuo kurio pabaigos buvo pradėti kloti segmentai. Šis skersmuo bus įrašyto septyniakampio simetrija.

Padalijimas į dešimt dalių (24 pav.)

● Padalinkite apskritimą į 5 dalis, kaip parodyta pav. 21. Gauname taisyklingą penkiakampį.

● Iš kiekvienos penkiakampio viršūnės nuleidžiame statmenus į priešingas puses. Visi jie pereis per apskritimo centrą ir padalins pusę bei jį surišantį lanką. Gauname dar 5 viršūnes.

Padalijimas į dvylika dalių (25 pav.)

Naudodami kompaso angą, lygią apskritimo spinduliui, iš abiejų skersmenų galų padarome įpjovas abiejose jų pusėse.

Taip pat yra bendras būdas padalyti apskritimą į bet kokį skaičių dalių. Panagrinėkime tai naudodamiesi taisyklingo šešiakampio konstravimo pavyzdžiu (27 pav.).

● Nubrėžiame du tarpusavyje statmenus skersmenis (horizontalų ir vertikalų).

● Skersmenį, kurį norime padaryti figūros simetrijos ašimi, padaliname į tiek dalių, kiek reikia padalyti apskritimą. Fig. 27 skersmens AB padalintas į 9 dalis. Sunumeruojame gautus padalijimo taškus.

● Dedame kompaso koją taške Ir kurio spindulys lygus apskritimo skersmeniui, nubrėžkite lanką, kol jis susikirs su vertikalaus skersmens tęsiniu. Gauname tašką C.

● Tašką C per vieną sujungiame su skersmens dalijimo taškais ir tęsiame tol, kol susikerta su priešingu apskritimo lanku taškuose I, II, III, IV. Jei viena iš nekampio viršūnių turėtų būti taškas A, tai spindulius nubrėžkite per visas lygines skersmens padalijas (27 pav., a). Jei taškas B turėtų tapti viena iš viršūnių, tai spinduliai turėtų būti brėžiami per visas nelygines skersmens padalijas (27 pav., b).

● Sukonstruotus taškus atvaizduojame simetriškai horizontalaus skersmens atžvilgiu. Gauname likusias figūros viršūnes.

2.2.1. 4 užduotis. Apskritimo padalijimas

Tikslas: Išstudijuoti apskritimo padalijimo į lygias dalis būdus.

A3 formatu pirmoje eilutėje nubrėžkite taisyklingus daugiakampius (trijų, keturių, penkių, šešių, septynių ir devynių kampų), įrašytus į 60 mm skersmens apskritimus. Apskritimai, kaip pagalbinės linijos, turi būti ploni. Nubrėžkite daugiakampius storomis linijomis.

TRIKAMPAI.

§ 28. KONSTRUKCIJOS SU KOMPASAIS IR LINUOTI.

Iki šiol spręsdami konstravimo uždavinius naudojome kompasą, liniuotę, braižymo trikampį ir matuoklį.

Dabar išspręskime daugybę statybos problemų naudodami tik du įrankius - kompasą ir liniuotę.

1 užduotis. Padalinkite šį segmentą per pusę.

Atsižvelgiant į segmentą AB, reikia padalyti jį per pusę.

Sprendimas. Kai spindulys didesnis nei pusė atkarpos AB, aprašome besikertančius lankus iš taškų A ir B, kaip iš centrų (161 pav.). Per šių lankų susikirtimo taškus brėžiame tiesę CD, kuri susikirs atkarpą AB tam tikrame taške K ir padalins ją per pusę su šiuo tašku: AK = KV.

Įrodykime tai. Sujungkime taškus A ir B su taškais C ir D. /\ CAD = /\ SVD, nes pagal konstrukciją AC = CB, AD = BD, CD yra bendra pusė.

Iš šių trikampių lygybės išplaukia, kad / ACK = / VSK, ty SK yra lygiašonio trikampio ASV viršūnėje esančio kampo pusiausvyra. O lygiašonio trikampio viršūnėje esančio kampo pusiausvyra taip pat yra jo mediana, t.y. tiesė CD dalija atkarpą AB per pusę.

2 užduotis. Nubrėžkite statmeną duotai tiesei AB per tašką O, esantį šioje tiesėje.

Duota tiesė AB ir šioje tiesėje esantis taškas O. Būtina nubrėžti statmeną tiesei AB, einančia per tašką O.

Sprendimas. Tiesėje AB iš taško O nubraižykime dvi lygias atkarpas OM ir ON
(162 brėžinys). Iš taškų M ir N, kaip ir iš centrų, apibūdinsime du lankus, kurių spindulys yra didesnis nei OM. Jų susikirtimo tašką K sujungiame su tašku O. KO yra lygiašonio trikampio MKN mediana, todėl KO_|_A B (§ 18).

3 užduotis. Nubrėžkite statmeną duotai tiesei AB per tašką C, esantį už šios linijos.

Duota tiesė AB ir taškas C už šios tiesės, reikia statmenos tiesei AB, einančia per tašką C.

Sprendimas. Iš taško C, kaip ir iš centro, aprašome lanką, kurio diusas yra toks, kad jis kerta tiesę AB, pavyzdžiui, taškuose M ir N (163 pav.). Iš taškų M ir N, kaip ir iš centrų, apibūdinsime lankus, kurių spindulys yra didesnis nei pusė MN. Jų susikirtimo tašką E sujungiame su tašku C ir su taškais M ir N. Trikampiai CME ir CNE yra lygūs iš trijų kraštinių. Reiškia, / 1 = / 2 ir CE yra lygiašonio trikampio MCN kampo C pusiausvyra, todėl statmena tiesei AB (§ 18).

Visų vaizdų kontūrus formuoja įvairios linijos. Pagrindinės linijos yra tiesi linija, apskritimas ir kreivių serija. Braižant vaizdų kontūrus, naudojamos geometrinės konstrukcijos, konjugacijos.

Studijuodami discipliną „Aprašomoji geometrija ir inžinerinė grafika“, studentai turi išmokti geometrinių konstrukcijų ir jungčių atlikimo taisykles ir seką.

Šiuo atžvilgiu geriausias būdas įgyti statybos įgūdžių yra sudėtingų dalių kontūrų nubrėžimas.

Prieš pradėdami bandomąją užduotį, turite išstudijuoti geometrinių konstrukcijų ir jungčių atlikimo techniką pagal metodinį vadovą.

1. Atkarpų ir kampų padalijimas

1.1. Segmento padalijimas per pusę

Duotą atkarpą AB padalinkite per pusę.

Iš atkarpos AB galų, kaip ir iš centrų, brėžiame R spindulio apskritimų lankus, kurių dydis turėtų būti šiek tiek didesnis nei pusė atkarpos AB (1 pav.). Šie lankai susikirs taškuose M ir N, suraskime tašką C, kuriame susikerta tiesės AB ir MN. Taškas C padalins atkarpą AB į dvi lygias dalis.

Pastaba. Visos reikalingos konstrukcijos turi ir gali būti atliekamos tik kompaso ir liniuotės pagalba (be padalų).

1.2. Atkarpos padalijimas į n lygių dalių

Padalinkite nurodytą atkarpą į n lygių dalių.

Iš atkarpos pabaigos - taško A nubrėžsime pagalbinį spindulį savavališku kampu α (2 pav. a) Ant šio spindulio nutiessime 4 vienodus savavališko ilgio atkarpas (2b pav.). Paskutinės, ketvirtosios, atkarpos galas (taškas 4) jungiamas su tašku B. Toliau iš visų ankstesnių taškų 1...3 brėžiame atkarpas lygiagrečiai atkarpai B4, kol jos susikerta su atkarpa AB taškuose 1", 2 ", 3". Taip gauti taškai padalino atkarpą į lygias keturias dalis

1.3. Kampo dalijimas per pusę

Duotą kampą BAC padalinkite per pusę.

Iš kampo A viršūnės brėžiame savavališko spindulio lanką, kol jis susikerta su kampo kraštinėmis taškuose B ir C (3 a pav.). Tada iš taškų B ir C nubrėžiame du lankus, kurių spindulys yra didesnis nei pusė atstumo BC, kol jie susikerta taške D (3 b pav.). Sujungę taškus A ir D tiesia linija, gauname kampo pusiausvyrą, kuri duotą kampą dalija pusiau (3 pav. c)

a) b) c)

2. Apskritimo padalijimas į lygias dalis ir taisyklingų daugiakampių konstravimas

2.1. Apskritimo padalijimas į tris lygias dalis

Iš skersmens galo, pavyzdžiui, taško A (4 pav.), nubrėžkite lanką, kurio spindulys R lygus nurodyto apskritimo spinduliui. Gaunamas pirmasis ir antrasis skyriai - taškai 1 ir 2. Trečias skyrius, taškas 3, yra priešingame to paties skersmens gale. Sujungus taškus 1,2,3 su akordais, gaunamas taisyklingas įbrėžtas trikampis.

2.2. Apskritimo padalijimas į šešias lygias dalis

Iš bet kokio skersmens galų, pavyzdžiui, AB (5 pav.), aprašomi spindulio R lankai. Taškai A, 1,3,B,4,2 padalija apskritimą į šešias lygias dalis. Sujungus juos akordais, gaunamas taisyklingas įbrėžtas šešiakampis.

Pastaba. Pagalbiniai lankai neturėtų būti nubrėžti iki galo, pakanka padaryti įpjovas ant apskritimo.

2.3. Apskritimo padalijimas į penkias lygias dalis

Nubraižyti du vienas kitam statūs skersmenys AB ir CD (6 pav.). OS spindulys taške O 1 yra padalintas per pusę.
Iš taško O1, kaip ir iš centro, nubrėžkite O1A spindulio lanką, kol jis susikerta su skersmeniu CD taške E.
Atkarpa AE lygi taisyklingo įbrėžto penkiakampio kraštinei, o atkarpa OE lygi taisyklingo įbrėžto dešimtkampio kraštinei.
Pasirinkus tašką A kaip centrą, R1 = AE spindulio lankas žymi apskritimo taškus 1 ir 4 Iš taškų 1 ir 4, kaip ir iš centrų, to paties spindulio R1 lankai žymi taškus 3 ir 2. Taškai A, 1, 2, 3, 4 padalinkite apskritimą į penkias lygias dalis.

2.4. Apskritimo padalijimas į septynias lygias dalis

Pavyzdžiui, nuo skersmens galo taško A nubrėžkite lanką, kurio spindulys R lygus apskritimo spinduliui (7 pav.). Akordo kompaktinis diskas yra lygus taisyklingo įbrėžto trikampio kraštinei. Pusė akordo CD, pakankamai apytiksliai, yra lygi taisyklingojo įrašyto septyniakampio kraštinei, t.y. padalija apskritimą į septynias lygias dalis.

Ryžiai. 7

Literatūra

Bogolyubov S.K. Inžinerinė grafika: Vadovėlis vidurinėms specializuotoms mokymo įstaigoms. – 3 leidimas, red. Ir papildomai - M.: Mechanikos inžinerija, 2006. – 392 p.: iliustr.
Kuprikovas M. Yu. Inžinerinė grafika: vadovėlis vidurinio ugdymo įstaigoms - M.: Bustard, 2010 - 495 p.: iliustr.
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. Mechaninės inžinerijos brėžinio vadovas L.: Mechanikos inžinerija. 1976. 336 p.

Žinojimas; kad trikampiai abiejose pusėse ir kampas tarp jų yra lygūs, kompasu ir liniuote galime padalyti šią atkarpą į dvi lygias dalis.

Jei, pavyzdžiui, reikia padalyti segmentą per pusę A B(69 pav.), tada padėkite kompaso galiuką į taškus A I B ir Jie aprašo aplink juos, tarsi šalia centrų, du susikertančius vienodo spindulio lankus (70 pav.). Jų susikirtimo taškai SU Ir D sujungta tiesia linija, kuri AB per pusę: UAB= OB.

Norėdami įsitikinti, kad segmentai UAB Ir OB turi būti lygus, sujunkite taškus C Ir D su galais A Ir IN segmentas (71 pav.). Gausite du trikampius ACD Ir BCD, kurių trys kraštinės yra atitinkamai lygios: AC= Saulė; AD= BD; CD - bendras, t.y. priklauso abiem trikampiams. Tai reiškia visišką šių trikampių lygybę, taigi ir visų kampų lygybę. Taigi, beje, kampai yra lygūs ACD Ir BCD. Dabar lyginkite trikampius ASO Ir VSO, matome, kad jie turi pusę OS – generolas, A.C.= CB, ir kampas tarp jų ASO = ug. VSO. Trikampiai yra lygūs išilgai dviejų kraštinių ir kampas tarp jų; todėl kraštinės lygios UAB Ir OB, t.y. taškas APIE yra vidurio taškas AB.

§ 22. Kaip sukurti trikampį naudojant kraštinę ir du kampus

Galiausiai apsvarstykite problemą, kurios sprendimas leidžia sukurti trikampį naudojant kraštinę ir du kampus:

Kitoje upės pusėje (72 pav.) matosi ribos A. Reikalaujama, nekertant upės, sužinoti atstumą iki jos nuo etapo INšiame krante.

Padarykime tai. Matuokime nuo taško IN bet koks atstumas tiesia linija Saulė ir jo galuose IN Ir SU Išmatuokime 1 ir 2 kampus (73 pav.). Jei dabar išmatuotume atstumą patogioje vietoje DE, lygus Saulė, o jo galuose pastatykite kampus A Ir b(74 pav.), lygus 1 ir 2 kampams, tada jų kraštinių susikirtimo taške gauname trečiąją viršūnę F trikampis DEF. Nesunku patikrinti, ar trikampis DEF lygus trikampiui ABC; iš tikrųjų, jei įsivaizduosime, kad trikampis DEF uždėtas ant ABC taigi ta pusė DE sutapo su lygia jo puse Saulė, tada ug. A sutaps su kampu 1, kampu b – su 2 kampu ir šonu DF eis į šoną VA, ir šoną E.F. ant šono SA. Kadangi dvi tiesės gali susikirsti tik viename taške, tada viršūnė F turėtų sutapti su viršumi A. Taigi atstumas DF lygus reikiamam atstumui VA.

Problema, kaip matome, turi tik vieną sprendimą. Apskritai, naudojant kraštinę ir du kampus, esančius šalia šios pusės, galima sudaryti tik vieną trikampį; Tose pačiose vietose negali būti kitų trikampių su ta pačia kraštine ir tais pačiais dviem kampais. Visi trikampiai, turintys vieną identišką kraštinę ir du identiškus kampus, besiribojančius su ja tose pačiose vietose, gali būti visiškai sutapti superpozicijos būdu. Tai reiškia, kad tai yra ženklas, pagal kurį galima nustatyti visišką trikampių lygybę.

Kartu su anksčiau nustatytais trikampių lygybės ženklais dabar žinome šiuos tris:

Trikampiai:

iš trijų pusių;

abiejose pusėse ir kampe tarp jų;

šone ir dviejose pusėse.

Trumpumo dėlei šiuos tris trikampių lygybės atvejus toliau pažymėsime taip:

iš trijų pusių: SSS;

iš dviejų pusių ir kampas tarp jų: SUS;

išilgai šono ir dviejų kampų: USU.

Programos

14. Išsiaiškinti atstumą iki taško A kitoje upės pusėje nuo taško INšiame krante (5 pav.) išmatuokite kokią nors liniją tiesia linija saulė, tada taške IN sudaryti kampą, lygų ABC, kitoje pusėje Saulė, ir taške SU- tokiu pačiu būdu, kampas lygus DIA Taško atstumas D abiejų kampų kraštinių susikirtimas su tašku IN lygus reikiamam atstumui AB. Kodėl?

Sprendimas: trikampiai ABC Ir BDC lygus vienoje pusėje ( Saulė) ir du kampai (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Vadinasi, AB= ВD, kaip kraštinės, esančios lygiuose trikampiuose prieš lygius kampus.

§ 23. Lygiagretės

Nuo trikampių pereiname prie keturkampių, tai yra prie figūrų, apribotų 4 kraštinėmis. Keturkampio pavyzdys yra kvadratas – keturkampis, kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai statūs (76 pav.). Kitas keturkampio tipas, taip pat dažnai randamas, yra stačiakampis:

Taip vadinamas bet kuris keturkampis su 4 stačiais kampais (77 ir 78 pav.). Kvadratas taip pat yra stačiakampis, bet su lygiomis kraštinėmis.

Stačiakampio (ir kvadrato) ypatumas yra tas, kad abi jo priešingų kraštinių poros yra lygiagrečios. Stačiakampyje ABCD, pavyzdžiui (78 pav.), AB lygiagrečiai DC,a AD lygiagrečiai Saulė. Tai išplaukia iš to, kad abi priešingos kraštinės yra statmenos tai pačiai tiesei, ir mes žinome, kad du vienos tiesės statmenys yra lygiagrečiai vienas kitam (§ 16).

Kita kiekvieno stačiakampio savybė yra ta, kad jo priešingos kraštinės yra lygios viena kitai. Tai galite patikrinti, jei priešingas stačiakampio viršūnes sujungsite tiesia linija, ty nubrėžsite įstrižainę. Prisijungimas A Su SU(Nubraižytas 79) gauname du trikampius ABC Ir ADC. Nesunku parodyti, kad šie trikampiai yra lygūs vienas kitam: kraštinė AC – iš viso, ug. 1 = kampas 2, nes tai yra skersiniai kampai su lygiagrečiais AB Ir CD dėl tos pačios priežasties 3 ir 4 kampai yra lygūs Toje pačioje pusėje ir du kampai, trikampiai ABC Ir ACD lygus; taigi pusė AB= šonas DC, ir šoną AD= šonas Saulė.

Tokie keturkampiai, kurių, kaip ir stačiakampių, priešingos kraštinės yra lygiagrečios, vadinami lygiagrečiais. Po velnių. 80 parodytas lygiagretainio pavyzdys: AB lygiagrečiai DC, A AD lygiagrečiai pr. Kr. Po velnių.80

Stačiakampis yra vienas iš lygiagretainių, būtent tas, kurio visi kampai yra stačiai. Nesunku patikrinti, ar kiekvienas lygiagretainis turi šias savybes:

PRIEŠINGI KAMPAI LYGIALELIS GRAMMATIKA LYGI; Priešingos pusės

P a r l e l o g r a m a v y s.

Norėdami tai patikrinti, nubrėžkime lygiagretainį ABCD(81 pav.) tiesūs ВD(įstrižainė) ir palyginkite trikampius ABD Ir VDC.Šie trikampiai yra lygūs (atvejis USU): BD– bendroji pusė; ug. 1 = kampas 2, kampas 3 = kampas 4 (kodėl?). Iš to išplaukia anksčiau išvardytos savybės.

Lygiagretainis su keturiomis lygiomis kraštinėmis vadinamas rombu.

Pakartokite klausimus

Kokia forma vadinama kvadratu? Stačiakampis? – Kas vadinama įstrižainiu? – Kokia figūra vadinama lygiagretainiu? Deimantas? – Nurodykite bet kurio lygiagretainio kampų ir kraštinių savybes. – Kuris stačiakampis vadinamas kvadratu? – Kuris lygiagretainis vadinamas stačiakampiu? – Kuo panašus ir kuo skiriasi kvadratas ir rombas.

Žinojimas; kad trikampiai abiejose pusėse ir kampas tarp jų yra lygūs, kompasu ir liniuote galime padalyti šią atkarpą į dvi lygias dalis.

Norėdami įsitikinti, kad segmentai UAB Ir OB turi būti lygus, sujunkite taškus C Ir D su galais A Ir IN segmentas (71 pav.). Gausite du trikampius ACD Ir BCD, kurių trys kraštinės yra atitinkamai lygios: AC= Saulė; AD = BD; CD - bendras, t.y. priklauso abiem trikampiams. Tai reiškia visišką šių trikampių lygybę, taigi ir visų kampų lygybę. Taigi, beje, kampai yra lygūs ACD Ir BCD. Dabar lyginkite trikampius ASO Ir VSO, matome, kad jie turi pusę OS – generolas, A.C. = CB, ir kampas tarp jų ASO = ug. VSO. Trikampiai yra lygūs išilgai dviejų kraštinių ir kampas tarp jų; todėl kraštinės lygios UAB Ir OB, t.y. taškas APIE yra vidurio taškas AB.

Kaip sukurti trikampį naudojant kraštinę ir du kampus

Galiausiai apsvarstykite problemą, kurios sprendimas leidžia sukurti trikampį naudojant kraštinę ir du kampus:

Kitoje upės pusėje (72 pav.) matosi ribos A. Reikalaujama, nekertant upės, sužinoti atstumą iki jos nuo etapo INšiame krante.

Kartu su anksčiau nustatytais trikampių lygybės ženklais dabar žinome šiuos tris:

Trikampiai:

iš trijų pusių;

abiejose pusėse ir kampe tarp jų;

šone ir dviejose pusėse.

Trumpumo dėlei šiuos tris trikampių lygybės atvejus toliau pažymėsime taip:

iš trijų pusių: SSS;

iš dviejų pusių ir kampas tarp jų: SUS;

išilgai šono ir dviejų kampų: USU.

Programos

Lygiagretės

Taip vadinamas bet kuris keturkampis su 4 stačiais kampais (77 ir 78 pav.). Kvadratas taip pat yra stačiakampis, bet su lygiomis kraštinėmis.

Stačiakampis yra vienas iš lygiagretainių, būtent tas, kurio visi kampai yra stačiai. Nesunku patikrinti, ar kiekvienas lygiagretainis turi šias savybes:

PRIEŠINGI KAMPAI LYGIALELIS GRAMMATIKA LYGI; Priešingos pusės

P a r l e l o g r a m a v y s.

Lygiagretainis su keturiomis lygiomis kraštinėmis vadinamas rombu.

Pakartokite klausimus

Programos

15. Kvadratas nubraižytas taip: vieną kraštinę atidėję, prie jos galų nubrėžkite statmenus, ant jų uždėkite vienodus ilgius ir galus sujunkite tiesia linija (82 brėžinys). Kaip galite būti tikri, kad nubrėžto keturkampio ketvirtoji kraštinė yra lygi kitoms trims ir kad visi jo kampai yra stačiakampiai?

Sprendimas Jei formavimas buvo atliktas taip, kad į šoną AB taškuose A Ir IN buvo nubraižyti statmenys, ant kurių buvo klojami: AC = AB Ir DВ= AB, tada belieka įrodyti, kad kampai SU Ir D tiesiai ir ką CD lygus AB. Norėdami tai padaryti, nubrėžkime (83 pav.) įstrižainę A.D. Ugh. CAD = A.D.B. kaip atitinkamas (kurioms lygiagrečios?); AC= D.B., taigi ir trikampiai CAD Ir BLOGAI lygus (remiantis SUS). Iš to mes darome išvadą CD = AB ir ug. C = stačiu kampu IN. Kaip įrodyti, kad ketvirtasis kampas CDB ar jis irgi tiesus?

16. Kaip nupiešti stačiakampį? Kodėl nupieštą figūrą galima vadinti stačiakampiu? (Parodykite, kad visi nubrėžtos figūros kampai yra teisingi).

Sprendimas yra panašus į ankstesnės problemos sprendimą.

17. Įrodykite, kad abi stačiakampio įstrižainės yra lygios.

Sprendimas (84 pav.) išplaukia iš trikampių lygybės ABC Ir ABD(remiantis SUS).

18. Įrodykite, kad lygiagretainio įstrižainės dalija viena kitą.

Sprendimas: lyginant (85 pav.) trikampius AVO Ir DCO, užtikriname, kad jie būtų lygūs (remiantis USU). Iš čia UAB= OS, 0V= OD.

19. Bendrojo statmens tarp dviejų lygiagrečių tiesių ilgis vadinamas atstumu tarp jų. Įrodykite, kad atstumas tarp paralelių visur yra vienodas.

Patarimas: kokią formą sudaro lygiagrečios tiesės, tarp kurių yra du statmenai?

IV. PLOTO MATAVIMAS

Kvadratinės priemonės. Paletė

Figūrose dažnai reikia išmatuoti ne tik linijų ilgį ir kampus tarp jų, bet ir ploto, kurį jos dengia, dydį, tai yra, jų plotą. Kokiais vienetais matuojamas plotas? Tam tikras ilgis (metras, centimetras) imamas kaip ilgio matas, o tam tikras kampas (1°) – kaip kampų matas; tam tikras plotas imamas kaip ploto matas, būtent kvadrato, kurio kraštinė yra 1 metras, 1 cm ir tt, plotas. Toks kvadratas vadinamas „kvadratiniu metru“, „kvadratiniu centimetru“ ir kt. Išmatuoti plotą reiškia sužinoti, kiek kvadratinių matavimo vienetų jame yra.

Jei matuojamas plotas nėra didelis (telpa ant popieriaus lapo), jį galima išmatuoti taip. Skaidrus popierius supjaustomas į centimetro kvadratus ir dedamas ant matuojamos figūros. Tada nesunku tiesiogiai suskaičiuoti, kiek kvadratinių centimetrų yra figūros ribose. Šiuo atveju neužbaigti kvadratai šalia ribos paimami (iš akies) pusei kvadrato, ketvirtadaliui ir pan. arba mintyse sujungiami po kelis į ištisus kvadratus. Taip nupieštas skaidrus popierius vadinamas padėklu. Šis metodas dažnai naudojamas plano netaisyklingų sričių plotams išmatuoti.

Tačiau ne visada įmanoma ar patogu išmatuotai figūrai uždėti kvadratų tinklą. Pavyzdžiui, tokiu būdu neįmanoma išmatuoti grindų ar žemės sklypo ploto. Tokiais atvejais, užuot tiesiogiai matę plotą, jie kreipiasi į nemalonųjį, kurį sudaro tik kai kurių tiesinių figūrų ilgio matavimas ir tam tikrų veiksmų atlikimas su gautais skaičiais. Vėliau parodysime, kaip tai daroma.

Pakartokite klausimus

Kokios priemonės naudojamos figūrų plotui nustatyti? – Kas yra paletė ir kaip ji naudojama?

Stačiakampio plotas

Tarkime, kad reikia nustatyti kokio nors stačiakampio plotą, pavyzdžiui, ABDC(86 brėžinys). Matuojamas tiesiniu vienetu, pvz. metras, šios atkarpos ilgis. Tarkime, kad skaitiklis yra išdėstytas 5 kartus. Padalinkime plotą į skersines vieno metro pločio juosteles, kaip parodyta pav. 87. Akivaizdu, kad tokių juostelių bus 5 Kitas, pamatuokime ploto plotį metru; tegul jis lygus 3 metrams. Mes padalinsime plotą į išilgines 1 metro pločio juostas, kaip parodyta pav. 88; žinoma, jų bus 3 kiekviena iš penkių skersinių juostų bus išpjauta į 3 kvadratinius metrus, o visas sklypas bus padalintas į 5 x 3 = 15 kvadratų, kurių kraštinė yra 1 metras: sužinojome, kad sklypas. yra 15 kvadratinių metrų. metrų. Tačiau tą patį skaičių 15 galėtume gauti nebraižydami ploto grafiko, o tik padauginę jo ilgį iš pločio. Taigi, norėdami sužinoti, kiek kvadratinių metrų yra stačiakampyje, turite išmatuoti jo ilgį, plotį ir padauginti abu skaičius.

Nagrinėjamu atveju ilgio vienetas – metras – buvo dedamas į abi stačiakampio puses sveikąjį skaičių kartų. Išsamūs matematikos vadovėliai įrodo, kad dabar nustatyta taisyklė galioja ir tada, kai stačiakampio kraštinėse nėra sveikojo skaičiaus ilgio vienetų. Visais atvejais:

Stačiakampio ploto plotas

ilgio sandauga su pločiu,

arba, kaip sakoma, geometrijoje, – jos

„pagrindas“ ant „aukštio“.

Jei stačiakampio pagrindo ilgis nurodomas raide A, o aukščio ilgis yra raidė b, tada jo plotas S lygus

S = a? b,

arba tiesiog S = ab, nes daugybos ženklas nededamas tarp raidžių.

Nesunku suprasti, kad norint nustatyti kvadrato plotą, reikia padauginti jo kraštinės ilgį iš savęs, tai yra „pakelti jį kvadratu“. Kitaip tariant:

Kvadrato plotas lygus kvadrato kraštinei. Jei kvadrato kraštinės ilgis A, tada jo plotas S lygus

S = a? a = a 2.

Tai žinant, galima nustatyti ryšį tarp įvairių kvadratinių vienetų. Pavyzdžiui, kvadratiniame metre yra kvadratinių decimetrų 10 X 10, t.y. 100, o kvadratinių centimetrų 100 X 100, t. y. 10 000 - nes linijinis centimetras į kvadratinio decimetro kraštą telpa 10 kartų, o kvadratinis metras - 100 vieną kartą.

Žemės sklypams išmatuoti naudojamas specialus matas – hektaras, kuriame yra 10 000 kv.m. Kvadratinis sklypas, kurio kraštinė yra 100 metrų, yra 1 hektaro ploto; stačiakampio sklypo, kurio pagrindas 200 metrų ir aukštis 150 metrų, plotas yra 200 x 150, ty 30 000 kvadratinių metrų. m arba 3 hektarai. Matuojami dideli plotai – pavyzdžiui, apskritys ir rajonai

Kvadratiniai kilometrai.

Sutrumpintas kvadratinių matmenų pavadinimas yra:

kvadratas metras …………………………………. kv. m arba m2

kvadratas decimetras …………………………. kv. dm arba dm2

kvadratas centimetras …………………………… kv. cm arba cm2

kvadratas milimetras ………………………….. kv. mm arba mm2

hektaras……………………………………….. ha

Pakartokite klausimus

Kaip apskaičiuojamas stačiakampio plotas? Kvadratas? - Kiek kv. cm iki kv. m? Kiek kv. mm kv. m? – Kas yra hektaras? – Kiek hektarų kvadrate? km? Kas yra kvadratinių matmenų santrumpa?

Programos

20. Reikalaujama nudažyti brėžinyje pavaizduoto kambario interjerą. 6. Matmenys nurodomi metrais. Kiek tam reikės medžiagų ir darbo jėgos, jei žinoma, kad nudažyti vieną kvadratinį metrą? metrų medinių grindų su plyšių ir šakų glaistu virš anksčiau nudažytų, dviems, reikalingi (pagal Skubos nuostatus):

Maljarovas…………………………………….. 0,044

Džiovinimo aliejai, kilogramai……………………….… 0,18

Šviesiai ochra, kg…………………………… 0;099

Glaistai, kg………………………………… 0,00225

Pemza, kg………………………………….. 0,0009.

Sprendimas: ar grindų plotas yra 8? 12 = 96 kv. m.

Medžiagų ir darbo sąnaudos yra tokios

Maljarovas........ 0,044? 96 = 4,2

Džiovinimo aliejai......0,18? 96 = 17 kg

Ochra.........0,099? 96 – 9,9 kg

Glaistai......0,00225? 96 = 0,22 kg

Pemza.......0.0009? 96 = 0,09 kg.

21. Padarykite darbo ir medžiagų sąnaudas ankstesnio kambario tapetavimui. užduotis. Norint padengti sienas paprastais tapetais su apvadais, reikia (pagal vietinius reglamentus) už kv. metras:

Dažytojai arba baldininkai………………………… 0,044

Tapetai (44 cm pločio) gabalėliai………………………… 0,264

bortelis (pagal skaičiavimą)

Krakmolo gramai ………………………………… 90.

Sprendimas – pagal ankstesnėje užduotyje nurodytą pavyzdį. Tik atkreipkime dėmesį, kad skaičiuojant reikiamą tapetų kiekį, praktiškai sienų angos iš jų ploto neatimamos (kadangi įtaisant figūrėles gretimose plokštėse dalis tapetų prarandama).

Trikampio plotas

Pirmiausia pažiūrėkime, kaip apskaičiuojamas stačiojo trikampio plotas. Tarkime, kad turime nustatyti trikampio plotą ABC(89 pav.), kuriame kampas IN– tiesus. Perkelkime jus per viršūnes A Ir SU tiesios linijos, lygiagrečios priešingoms kraštinėms. Gauname (90 pav.) stačiakampį ABCD(kodėl ši figūra yra stačiakampis?), kuris padalintas iš įstrižainės ACį du vienodus trikampius (kodėl?). Šio stačiakampio plotas yra ah; mūsų trikampio plotas yra pusė stačiakampio ploto, ty lygus 1/2 ai. Taigi bet kurio stačiojo trikampio plotas yra lygus pusei jo kraštinių, gaubiančių stačią kampą, sandaugos.

Tarkime, kad dabar reikia nustatyti, pavyzdžiui, įstrižo (t. y. ne stačiakampio) trikampio plotą. ABC(91 brėžinys). Per vieną iš jo viršūnių į priešingą pusę nubrėžiame statmeną; toks statmenas vadinamas šio trikampio aukščiu, o kraštinė, į kurią jis nubrėžtas, yra trikampio pagrindas. Pažymime aukštį h, o segmentai, į kuriuos jis padalija pagrindą, yra p Ir q. Stačiojo trikampio plotas ABD, kaip jau žinome, yra lygus 1/2 tel; kvadratas VDC = 1/2 qh. Kvadratas S trikampis ABC lygi šių sričių sumai: S = 1/2 tel + 1/2 qh = 1/2 h (r+ q). Bet r+ q = a; vadinasi S = 1/2 ai.

Šis samprotavimas negali būti tiesiogiai pritaikytas trikampiui su buku kampu (92 pav.), nes statmenas CD neatitinka pagrindo AB, ir jo tęsinys. Šiuo atveju turime galvoti kitaip. Pažymime segmentą AD per p, BD- per, q, taigi pagrindas A trikampis lygus p – q. Mūsų trikampio plotas ABC lygus dviejų trikampių plotų skirtumui ADC – BDC = 1/2 tel – 1/2 qh = 1/2 h (p – q) = 1/2 ai.

Taigi visais atvejais trikampio plotas yra lygus pusei bet kurio jo pagrindo ir atitinkamo aukščio sandaugos.

Iš to išplaukia, kad trikampiai su vienodomis bazėmis ir aukščiais turi vienodus plotus arba, kaip sakoma,

lygus.

Apskritai figūros, turinčios vienodus plotus, vadinamos vienodo dydžio, net jei pačios figūros nebuvo lygios (tai yra, sudėjus jos nesutapo).

Pakartokite klausimus

Kaip vadinamas trikampio aukštis? Trikampio pagrindas? – Kiek aukščių galima nubrėžti viename trikampyje? – Nubraižykite trikampį buku kampu ir nubrėžkite jame visus aukščius. – Kaip apskaičiuojamas trikampio plotas? Kaip šią taisyklę išreikšti formule? – Kokios figūros vadinamos vienodo dydžio?

Programos

22. Daržas yra trikampio formos, kurio pagrindas 13,4 m, o aukštis 37,2 m... Kiek sėklų (pagal svorį) reikia pasodinti kopūstais, jei į kv. m yra 0,5 gramo sėklų?

Sprendimas: ar daržo plotas yra 13,4? 37,2 = 498 kv. m.

Jums reikės 250 g sėklų.

23. Lygiagretainis padalintas įstrižainėmis į 4 trikampes dalis. Kuris turi didžiausią plotą?

Sprendimas Visi 4 trikampiai yra vienodo dydžio, nes jų pagrindai ir aukščiai yra vienodi.

Lygiagretainio plotas

Lygiagretainio ploto apskaičiavimo taisyklė nustatoma labai paprastai, jei padalijate jį įstrižai į du trikampius. Pavyzdžiui, lygiagretainio plotas ABCD(93 pav.) yra lygus dvigubam kiekvieno iš dviejų vienodų trikampių, į kuriuos jis padalintas iš įstrižainės, plotui AC. Trikampio pagrindo žymėjimas ADC per A, o aukštis per h, gauname plotą S lygiagretainis

Statmenas h vadinamas „lygiagretainiu aukščiu“ ir šonine A, prie kurio jis nupieštas - „lygiagretainio pagrindas“. Todėl dabar nustatyta taisyklė gali būti išdėstyta taip:

Lygiagretainio plotas lygus bet kokio naujo aukščio sandaugai.

Pakartokite klausimus

Koks lygiagretainio pagrindas ir aukštis? Kaip apskaičiuojamas lygiagretainio plotas? – Išreikškite šią taisyklę formule. – Kiek kartų lygiagretainio plotas yra didesnis nei trikampio, kurio pagrindas ir aukštis yra vienodi? – Kuri figūra turi didžiausią plotą, esant vienodiems aukščiams ir pagrindams: stačiakampio ar lygiagretainio?

Taikymas

24. Kvadratas, kurio kraštinė yra 12,4 cm, yra lygus lygiagretainiui, kurio aukštis yra 8,8 cm. Raskite lygiagretainio pagrindą.

Sprendimas Šio kvadrato, taigi ir lygiagretainio, plotas yra 12,42 = 154 kvadratiniai metrai. cm Reikalingas pagrindas yra 154: 8,8 = 18 cm.

Trapecijos plotas

Be lygiagretainių, panagrinėkime dar vieną keturkampių tipą – būtent tuos, kurie turi tik vieną lygiagrečių kraštinių porą (94 pav.). Tokios figūros vadinamos trapecijomis. Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos pagrindais, o nelygiagrečios – kraštinėmis.

Kvailas. 94 Po velnių. 95

Nustatykime trapecijos ploto apskaičiavimo taisyklę. Tarkime, kad turime apskaičiuoti trapecijos plotą ABCD(95 pav.), kurio pagrindų ilgis a Ir b. Nubrėžkime įstrižainę kintamoji srovė, kuri perpjauna trapeciją į du trikampius ACD Ir ABC. Mes tai žinome

plotas ACD = 1/2 ai

plotas ABC = 1/2 bh.

plotas ABCD= 1/2 ai+ 1/2 bh= 1/2 (a+ b) h.

Nuo atstumo h tarp trapecijos pagrindų vadinamas jos aukščiu, tada trapecijos ploto apskaičiavimo taisyklę galima išdėstyti taip:

Trapecijos plotas lygus pusei sumos, padaugintos iš ir tavyje iš maždaug t at.

Pakartokite klausimus

Kokia forma vadinama trapecija? Kokie yra trapecijos pagrindai, jos kraštinės ir aukštis? – Kaip apskaičiuojamas trapecijos plotas?

Programos

25. Gatvės atkarpa yra trapecijos formos, kurios pagrindai 180 m ir 170 m, o aukštis 8,5 m. Kiek medinių trinkelių reikės jai pakloti, jei vienam kv. m yra 48 šaškės?

Sprendimas Sklypo plotas 8,5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 kv. m šaškių skaičius = 72 000.

26. Stogo šlaitas yra trapecijos formos, kurio pagrindai 23,6 m ir 19,8 m, o aukštis 8,2 m Kiek reikės medžiagų ir darbo jėgos, jei vienam kv. m reikia:

Geležies lakštai...... 1.23

Stogo vinys kg.... 0,032

Džiovinimo alyvos kg.......0,036

Stogdengiai...... 0,45.

Sprendimas: ar nuolydžio plotas lygus 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 kv. m Belieka visus planšetiniame kompiuteryje esančius skaičius padauginti iš 178.