Sprendimas pagal Gauso teoremą. Pagrindinis matematikos mokytojo nusikaltimas

Vienas iš universalių ir efektyvių tiesinių algebrinių sistemų sprendimo būdų yra Gauso metodas , susidedantis iš nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo.

Prisiminkite, kad dvi sistemos vadinamos lygiavertis (ekvivalentas), jei jų sprendinių aibės sutampa. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas ir atvirkščiai. Lygiavertės sistemos gaunamos, kai elementarios transformacijos sistemos lygtys:

padauginus abi lygties puses iš kito skaičiaus nei nulis;

prie kokios nors lygties pridedamos atitinkamos kitos lygties dalys, padaugintos iš kito skaičiaus nei nulis;

pertvarkant dvi lygtis.

Pateikiame lygčių sistemą

Šios sistemos sprendimo Gauso metodu procesas susideda iš dviejų etapų. Pirmajame etape (tiesioginis judėjimas) sistema, naudojant elementarias transformacijas, redukuojama į laipsniškai , arba trikampis forma, o antrajame etape (atvirkščiai) yra nuoseklus, pradedant nuo paskutinio kintamojo skaičiaus, nežinomųjų nustatymas iš gautos žingsnių sistemos.

Tarkime, kad šios sistemos koeficientas
, kitu atveju sistemoje pirmą eilutę galima pakeisti bet kuria kita eilute taip, kad koeficientas ties skyrėsi nuo nulio.

Pakeiskime sistemą pašalindami nežinomybę visose lygtyse, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš ir pridėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi. Tada padauginkite abi pirmosios lygties puses iš ir pridėkite ją prie trečiosios sistemos lygties. Tęsdami šį procesą, gauname lygiavertę sistemą

Čia
– naujos koeficientų reikšmės ir laisvieji terminai, gauti po pirmojo žingsnio.

Panašiai, atsižvelgiant į pagrindinį elementą
, neįtraukti nežinomybės iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją ir antrąją. Tęskime šį procesą kuo ilgiau, ir dėl to gausime laipsnišką sistemą

,

Kur ,
,…,– pagrindiniai sistemos elementai
.

Jei redukuojant sistemą į laipsnišką formą atsiranda lygtys, t.y. formos lygybės
, jie atmetami, nes juos tenkina bet koks skaičių rinkinys
.
Jei pas

Atbulinės eigos metu pirmasis nežinomasis išreiškiamas iš paskutinės transformuotos žingsnių sistemos lygties per visus kitus nežinomuosius
kurie vadinami nemokamai . Tada kintamoji išraiška iš paskutinės sistemos lygties pakeičiama į priešpaskutinę lygtį ir iš jos išreiškiamas kintamasis
. Kintamieji apibrėžiami nuosekliai panašiu būdu
. Kintamieji
, išreikšti laisvaisiais kintamaisiais, vadinami pagrindinis (priklausomas). Rezultatas yra bendras tiesinių lygčių sistemos sprendimas.

Norėdami rasti privatus sprendimas sistemos, nemokama nežinoma
bendrame sprendime priskiriamos savavališkos reikšmės ir apskaičiuojamos kintamųjų reikšmės
.

Techniškai patogiau elementarioms transformacijoms atlikti ne pačias sistemų lygtis, o išplėstinę sistemos matricą

.

Gauso metodas yra universalus metodas, leidžiantis išspręsti ne tik kvadratines, bet ir stačiakampes sistemas, kuriose nežinomųjų skaičius
nelygus lygčių skaičiui
.

Šio metodo pranašumas taip pat yra tas, kad sprendimo procese mes vienu metu tikriname sistemos suderinamumą, nes, atsižvelgiant į išplėstinę matricą
į laipsnišką formą, nesunku nustatyti matricos eiles ir išplėstinė matrica
ir kreiptis Kronecker-Capelli teorema .

2.1 pavyzdys Išspręskite sistemą Gauso metodu

Sprendimas. Lygčių skaičius
ir nežinomųjų skaičius
.

Sukurkime išplėstinę sistemos matricą, priskirdami koeficientus matricos dešinėje nemokamų narių skiltis .

Pateikiame matricą į trikampį vaizdą; Norėdami tai padaryti, mes gausime „0“ žemiau elementų, esančių pagrindinėje įstrižainėje, naudodami elementarias transformacijas.

Norėdami gauti „0“ antroje pirmojo stulpelio pozicijoje, padauginkite pirmąją eilutę iš (-1) ir pridėkite ją prie antrosios eilutės.

Šią transformaciją užrašome kaip skaičių (-1) prieš pirmąją eilutę ir pažymime ją rodykle, einančia iš pirmosios eilutės į antrąją eilutę.

Norėdami gauti "0" trečioje pirmojo stulpelio pozicijoje, padauginkite pirmąją eilutę iš (-3) ir pridėkite prie trečios eilutės; Parodykime šį veiksmą naudodami rodyklę, einanti iš pirmos eilutės į trečią.

.

Gautoje matricoje, įrašytoje antroje matricų grandinėje, gauname „0“ antrame stulpelyje trečioje pozicijoje. Norėdami tai padaryti, antrą eilutę padauginome iš (-4) ir pridėjome prie trečiosios. Gautoje matricoje antrą eilutę padauginkite iš (-1), o trečiąją padalinkite iš (-8). Visi šios matricos elementai, esantys žemiau įstrižainių, yra nuliai.

Nes , sistema yra bendradarbiaujanti ir apibrėžta.

Paskutinę matricą atitinkanti lygčių sistema turi trikampę formą:

Iš paskutinės (trečios) lygties
. Pakeiskite antrąją lygtį ir gaukite
.

Pakeiskime
Ir
į pirmąją lygtį, randame


.

Nuo XVI–XVIII amžiaus pradžios matematikai intensyviai pradėjo tyrinėti funkcijas, kurių dėka mūsų gyvenime tiek daug pasikeitė. Kompiuterinės technologijos tiesiog neegzistuotų be šių žinių. Sudėtingoms problemoms, tiesinėms lygtims ir funkcijoms spręsti buvo sukurtos įvairios sąvokos, teoremos ir sprendimo būdai. Vienas iš tokių universalių ir racionalių tiesinių lygčių ir jų sistemų sprendimo metodų ir technikų buvo Gauso metodas. Matricos, jų rangas, determinantas – viską galima apskaičiuoti nenaudojant sudėtingų operacijų.

Kas yra SLAU

Matematikoje yra sąvoka SLAE – tiesinių algebrinių lygčių sistema. kokia ji? Tai m lygčių rinkinys su norimais n nežinomų dydžių, paprastai žymimų x, y, z arba x 1, x 2 ... x n arba kitais simboliais. Nurodytos sistemos sprendimas Gauso metodu reiškia visų nežinomų nežinomųjų suradimą. Jei sistemoje yra tiek pat nežinomųjų ir lygčių, tada ji vadinama n-osios eilės sistema.

Populiariausi SLAE sprendimo būdai

Vidurinio ugdymo įstaigose tiriami įvairūs tokių sistemų sprendimo būdai. Dažniausiai tai yra paprastos lygtys, susidedančios iš dviejų nežinomųjų, todėl bet koks esamas būdas rasti atsakymą į juos neužims daug laiko. Tai gali būti kaip pakeitimo metodas, kai iš vienos lygties išvedama kita ir pakeičiama pradine. Arba atimties ir sudėties metodas. Tačiau Gauso metodas laikomas lengviausiu ir universaliausiu. Tai leidžia išspręsti lygtis su bet kokiu nežinomųjų skaičiumi. Kodėl ši konkreti technika laikoma racionalia? Tai paprasta. Matricinio metodo pranašumas yra tai, kad nereikia perrašyti nereikalingų simbolių kelis kartus į nežinomus, pakanka atlikti aritmetines operacijas su koeficientais – ir gausite patikimą rezultatą.

Kur SLAE naudojami praktiškai?

SLAE sprendimas yra linijų susikirtimo taškai funkcijų grafikuose. Mūsų aukštųjų technologijų kompiuterių amžiuje žmonės, glaudžiai susiję su žaidimų ir kitų programų kūrimu, turi žinoti, kaip tokias sistemas išspręsti, ką jos reprezentuoja ir kaip patikrinti gauto rezultato teisingumą. Dažniausiai programuotojai kuria specialias tiesinės algebros skaičiuoklės programas, kuriose yra ir tiesinių lygčių sistema. Gauso metodas leidžia apskaičiuoti visus esamus sprendimus. Taip pat naudojamos kitos supaprastintos formulės ir metodai.

SLAU suderinamumo kriterijus

Tokia sistema gali būti išspręsta tik tada, kai ji yra suderinama. Aiškumo dėlei pavaizduokime SLAE forma Ax=b. Jis turi sprendimą, jei rang(A) lygus rang(A,b). Šiuo atveju (A,b) yra išplėstinės formos matrica, kurią galima gauti iš A matricos perrašant ją laisvaisiais terminais. Pasirodo, tiesines lygtis Gauso metodu išspręsti gana paprasta.

Galbūt kai kurie užrašai nėra iki galo aiškūs, todėl reikia viską apsvarstyti pavyzdžiu. Tarkime, kad yra sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Jį sudaro tik dvi lygtys, kuriose yra 2 nežinomieji. Sistema turės sprendimą tik tuo atveju, jei jos matricos rangas bus lygus išplėstinės matricos rangui. Kas yra rangas? Tai yra nepriklausomų sistemos linijų skaičius. Mūsų atveju matricos rangas yra 2. Matrica A susideda iš koeficientų, esančių šalia nežinomųjų, o koeficientai, esantys už „=“ ženklo, taip pat tilps į išplėstinę matricą.

Kodėl SLAE galima pavaizduoti matricos forma?

Remiantis suderinamumo kriterijumi pagal įrodytą Kronecker-Capelli teoremą, tiesinių algebrinių lygčių sistema gali būti pavaizduota matricine forma. Naudodami Gauso kaskados metodą galite išspręsti matricą ir gauti vieną patikimą atsakymą visai sistemai. Jei įprastos matricos rangas yra lygus jos išplėstinės matricos rangui, bet yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, tada sistema turi begalinį atsakymų skaičių.

Matricos transformacijos

Prieš pereidami prie matricų sprendimo, turite žinoti, kokius veiksmus galima atlikti su jų elementais. Yra keletas elementarių transformacijų:

• Perrašę sistemą matricine forma ir ją išsprendę, visus eilutės elementus galite padauginti iš to paties koeficiento.
• Norėdami paversti matricą kanonine forma, galite sukeisti dvi lygiagrečias eilutes. Kanoninė forma reiškia, kad visi matricos elementai, esantys išilgai pagrindinės įstrižainės, tampa vienetais, o likusieji tampa nuliais.
• Atitinkamus lygiagrečių matricos eilučių elementus galima pridėti vienas prie kito.

Jordano-Gausso metodas

Tiesinių vienarūšių ir nehomogeninių lygčių sistemų sprendimo Gauso metodu esmė yra laipsniškas nežinomųjų pašalinimas. Tarkime, kad turime dviejų lygčių sistemą, kurioje yra du nežinomieji. Norėdami juos rasti, turite patikrinti sistemos suderinamumą. Lygtis labai paprastai išsprendžiama Gauso metodu. Būtina užrašyti koeficientus, esančius šalia kiekvieno nežinomojo matricos pavidalu. Norėdami išspręsti sistemą, turėsite parašyti išplėstinę matricą. Jei vienoje iš lygčių yra mažesnis nežinomųjų skaičius, vietoj trūkstamo elemento reikia įdėti „0“. Matricai taikomi visi žinomi transformavimo būdai: daugyba, dalijimas iš skaičiaus, atitinkamų eilutės elementų sudėjimas vienas su kitu ir kt. Pasirodo, kiekvienoje eilutėje reikia palikti vieną kintamąjį su reikšme „1“, likusi dalis turi būti nustatyta į nulį. Tikslesniam supratimui būtina apsvarstyti Gauso metodą su pavyzdžiais.

Paprastas 2x2 sistemos sprendimo pavyzdys

Pirmiausia paimkime paprastą algebrinių lygčių sistemą, kurioje bus 2 nežinomieji.

Perrašykime į išplėstinę matricą.

Norint išspręsti šią tiesinių lygčių sistemą, reikia atlikti tik dvi operacijas. Turime perkelti matricą į kanoninę formą, kad jos būtų išilgai pagrindinės įstrižainės. Taigi, perkeldami iš matricinės formos atgal į sistemą, gauname lygtis: 1x+0y=b1 ir 0x+1y=b2, kur b1 ir b2 yra gaunami atsakymai sprendimo procese.

1. Pirmasis veiksmas sprendžiant išplėstinę matricą bus toks: pirmąją eilutę reikia padauginti iš -7 ir į antrąją eilutę pridėti atitinkamų elementų, kad antroje lygtyje būtų pašalintas vienas nežinomasis.
2. Kadangi sprendžiant lygtis Gauso metodu, matrica redukuojama į kanoninę formą, tuomet būtina atlikti tas pačias operacijas su pirmąja lygtimi ir pašalinti antrąjį kintamąjį. Norėdami tai padaryti, iš pirmosios atimame antrąją eilutę ir gauname reikiamą atsakymą - SLAE sprendimą. Arba, kaip parodyta paveikslėlyje, antrą eilutę padauginame iš koeficiento -1 ir antros eilutės elementus pridedame prie pirmosios eilės. Tai tas pats dalykas.

Kaip matome, mūsų sistema buvo išspręsta Jordano-Gausso metodu. Perrašome reikiama forma: x=-5, y=7.

3x3 SLAE sprendimo pavyzdys

Tarkime, kad turime sudėtingesnę tiesinių lygčių sistemą. Gauso metodas leidžia apskaičiuoti atsakymą net ir pačiai painiausiai sistemai. Todėl norėdami giliau įsigilinti į skaičiavimo metodiką, galite pereiti prie sudėtingesnio pavyzdžio su trimis nežinomaisiais.

Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, mes perrašome sistemą išplėstinės matricos forma ir pradedame ją perkelti į kanoninę formą.

Norėdami išspręsti šią sistemą, turėsite atlikti daug daugiau veiksmų nei ankstesniame pavyzdyje.

1. Pirmiausia turite padaryti pirmąjį stulpelį vienu vieneto elementu, o likusius nulius. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmąją lygtį iš -1 ir pridėkite prie jos antrąją lygtį. Svarbu atsiminti, kad pirmąją eilutę perrašome pradine forma, o antrąją – pakeista forma.
2. Tada iš trečiosios lygties pašaliname tą patį pirmąjį nežinomąjį. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmosios eilutės elementus iš -2 ir pridėkite juos prie trečios eilutės. Dabar pirmoji ir antroji eilutės perrašomos į pradinę formą, o trečioji – su pakeitimais. Kaip matote iš rezultato, pirmąjį gavome pagrindinės matricos įstrižainės pradžioje ir likusius nulius. Dar keli žingsniai, ir lygčių sistema Gauso metodu bus patikimai išspręsta.
3. Dabar reikia atlikti operacijas su kitais eilučių elementais. Trečiasis ir ketvirtasis veiksmai gali būti sujungti į vieną. Antrą ir trečią eilutes turime padalyti iš -1, kad atsikratytume minusų įstrižainėje. Trečią eilutę jau atnešėme į reikiamą formą.
4. Toliau antrą eilutę perkeliame į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, padauginkite trečiosios eilutės elementus iš -3 ir pridėkite juos prie antrosios matricos eilutės. Iš rezultato aišku, kad antroji eilutė taip pat sumažinama iki mums reikalingos formos. Belieka atlikti dar keletą operacijų ir iš pirmos eilutės pašalinti nežinomųjų koeficientus.
5. Norėdami gauti 0 iš antrojo eilutės elemento, turite padauginti trečią eilutę iš -3 ir pridėti ją prie pirmosios eilutės.
6. Kitas lemiamas žingsnis bus būtinų antrosios eilės elementų įtraukimas į pirmąją eilutę. Taip gauname kanoninę matricos formą ir atitinkamai atsakymą.

Kaip matote, lygtis naudojant Gauso metodą yra gana paprasta.

4x4 lygčių sistemos sprendimo pavyzdys

Kai kurias sudėtingesnes lygčių sistemas galima išspręsti Gauso metodu naudojant kompiuterines programas. Būtina į esamus tuščius langelius įvesti koeficientus nežinomiems, o pati programa žingsnis po žingsnio apskaičiuos reikiamą rezultatą, išsamiai aprašydamas kiekvieną veiksmą.

Žingsnis po žingsnio tokio pavyzdžio sprendimo instrukcijos aprašytos toliau.

Pirmajame etape į tuščius langelius įvedami laisvieji koeficientai ir skaičiai nežinomiems. Taigi gauname tą pačią išplėstinę matricą, kurią rašome rankiniu būdu.

Ir atliekamos visos būtinos aritmetinės operacijos, kad išplėstinė matrica būtų kanoninė. Būtina suprasti, kad lygčių sistemos atsakymas ne visada yra sveikieji skaičiai. Kartais sprendimas gali būti iš trupmeninių skaičių.

Sprendimo teisingumo tikrinimas

Jordano-Gausso metodas numato rezultato teisingumo patikrinimą. Norėdami sužinoti, ar koeficientai apskaičiuoti teisingai, jums tereikia pakeisti rezultatą į pradinę lygčių sistemą. Kairioji lygties pusė turi sutapti su dešine puse už lygybės ženklo. Jei atsakymai nesutampa, turite perskaičiuoti sistemą arba pabandyti pritaikyti jai kitą jums žinomą SLAE sprendimo būdą, pvz., pakeitimą arba atimtį ir pridėjimą po termino. Juk matematika yra mokslas, turintis daugybę skirtingų sprendimo būdų. Tačiau atminkite: rezultatas visada turi būti toks pat, nesvarbu, kokį sprendimo būdą naudojote.

Gauso metodas: dažniausiai pasitaikančios klaidos sprendžiant SLAE

Sprendžiant tiesines lygčių sistemas, dažniausiai pasitaiko klaidų, tokių kaip neteisingas koeficientų perkėlimas į matricinę formą. Yra sistemų, kuriose vienoje iš lygčių trūksta kai kurių nežinomųjų, tada, perkeliant duomenis į išplėstinę matricą, jie gali būti prarasti. Dėl to, sprendžiant šią sistemą, rezultatas gali neatitikti tikrojo.

Kita didelė klaida gali būti neteisingas galutinio rezultato užrašymas. Būtina aiškiai suprasti, kad pirmasis koeficientas atitiks pirmąjį iš sistemos nežinomą, antrasis - antrąjį ir pan.

Gauso metodas detaliai aprašo tiesinių lygčių sprendimą. Jo dėka nesunku atlikti reikiamas operacijas ir rasti tinkamą rezultatą. Be to, tai universalus įrankis ieškant patikimo atsakymo į bet kokio sudėtingumo lygtis. Galbūt todėl jis taip dažnai naudojamas sprendžiant SLAE.

Šiame straipsnyje šis metodas nagrinėjamas kaip tiesinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimo metodas. Metodas yra analitinis, tai yra, jis leidžia parašyti sprendimo algoritmą bendra forma, o tada pakeisti reikšmes iš konkrečių pavyzdžių. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formulių, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi begalinį sprendinių skaičių. Arba jie jo visai neturi.

Ką reiškia išspręsti naudojant Gauso metodą?

Pirmiausia turime parašyti savo lygčių sistemą į Tai atrodo taip. Paimkite sistemą:

Koeficientai rašomi lentelės forma, o laisvieji terminai – atskirame stulpelyje dešinėje. Stulpelis su laisvais terminais yra atskirtas dėl patogumo Matrica, kurioje yra šis stulpelis, vadinama išplėstine.

Toliau pagrindinė matrica su koeficientais turi būti sumažinta iki viršutinės trikampės formos. Tai yra pagrindinis sistemos sprendimo Gauso metodu tikslas. Paprasčiau tariant, po tam tikrų manipuliacijų matrica turėtų atrodyti taip, kad jos apatinėje kairėje dalyje būtų tik nuliai:

Tada, jei naują matricą dar kartą parašysite kaip lygčių sistemą, pastebėsite, kad paskutinėje eilutėje jau yra vienos iš šaknų reikšmė, kuri vėliau pakeičiama į aukščiau esančią lygtį, randama kita šaknis ir pan.

Tai yra sprendimo aprašymas Gauso metodu pačiais bendriausiais terminais. Kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal jų be galo daug? Norint atsakyti į šiuos ir daugelį kitų klausimų, būtina atskirai apsvarstyti visus elementus, naudojamus sprendžiant Gauso metodą.

Matricos, jų savybės

Matricoje nėra paslėptos prasmės. Tai tiesiog patogus būdas įrašyti duomenis tolimesnėms operacijoms su juo. Net moksleiviams nereikia jų bijoti.

Matrica visada yra stačiakampė, nes taip patogiau. Netgi taikant Gauso metodą, kai viskas susiveda į trikampės formos matricą, įraše atsiranda stačiakampis, tik su nuliais toje vietoje, kur nėra skaičių. Nuliai gali būti nerašomi, bet jie yra numanomi.

Matrica turi dydį. Jo „plotis“ yra eilučių skaičius (m), „ilgis“ yra stulpelių skaičius (n). Tada matricos A dydis (joms žymėti dažniausiai naudojamos didžiosios lotyniškos raidės) bus žymimas kaip A m×n. Jei m = n, tada ši matrica yra kvadratinė, o m = n yra jos tvarka. Atitinkamai bet kuris matricos A elementas gali būti žymimas jo eilučių ir stulpelių numeriais: a xy ; x - eilutės numeris, pakeitimai, y - stulpelio numeris, pakeitimai.

B nėra pagrindinė sprendimo esmė. Iš principo visas operacijas galima atlikti tiesiogiai su pačiomis lygtimis, tačiau žymėjimas bus daug sudėtingesnis, o jame bus daug lengviau susipainioti.

Determinantas

Matrica taip pat turi determinantą. Tai labai svarbi savybė. Dabar nereikia išsiaiškinti jo reikšmės, galite tiesiog parodyti, kaip jis apskaičiuojamas, o tada pasakyti, kokias matricos savybes ji nustato. Lengviausias būdas rasti determinantą yra per įstrižaines. Matricoje brėžiamos įsivaizduojamos įstrižainės; kiekviename iš jų esantys elementai padauginami, o tada pridedami gauti produktai: įstrižainės su nuolydžiu į dešinę - su pliuso ženklu, su nuolydžiu į kairę - su minuso ženklu.

Labai svarbu pažymėti, kad determinantą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai. Stačiakampei matricai galima atlikti taip: iš eilučių skaičiaus ir stulpelių skaičiaus pasirinkti mažiausią (tebūnie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pažymėti k stulpelių ir k eilučių. Elementai, esantys pasirinktų stulpelių ir eilučių sankirtoje, sudarys naują kvadratinę matricą. Jei tokios matricos determinantas yra ne nulis skaičius, jis vadinamas pradinės stačiakampės matricos baziniu minoriniu.

Prieš pradedant spręsti lygčių sistemą Gauso metodu, nepakenks apskaičiuoti determinantą. Jei paaiškėja, kad jis lygus nuliui, tada iš karto galime pasakyti, kad matrica turi arba begalinį sprendinių skaičių, arba jų visai nėra. Tokiu liūdnu atveju reikia eiti toliau ir sužinoti apie matricos rangą.

Sistemos klasifikacija

Yra toks dalykas kaip matricos rangas. Tai yra didžiausia jo nenulinio determinanto tvarka (jei prisiminsime apie pagrindinį mažąjį, galime sakyti, kad matricos rangas yra pagrindinės mažosios eilės tvarka).

Atsižvelgiant į situaciją su rangu, SLAE galima suskirstyti į:

• Jungtis. U Jungtinėse sistemose pagrindinės matricos (sudarytos tik iš koeficientų) rangas sutampa su išplėstinės matricos rangu (su laisvųjų terminų stulpeliu). Tokios sistemos turi sprendimą, bet nebūtinai vieną, todėl papildomai jungčių sistemos skirstomos į:
• - tam tikras- turėti vieną sprendimą. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir nežinomųjų skaičius (arba stulpelių skaičius, kuris yra tas pats) yra lygūs;
• - neapibrėžta - su begaliniu skaičiumi sprendinių. Matricų rangas tokiose sistemose yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
• Nesuderinamas. U Tokiose sistemose pagrindinės ir išplėstinės matricos eilės nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.

Gauso metodas yra geras tuo, kad sprendimo metu jis leidžia gauti arba nedviprasmišką sistemos nenuoseklumo įrodymą (neskaičiuojant didelių matricų determinantų), arba sprendinį bendra forma sistemai su begaliniu sprendinių skaičiumi.

Elementarios transformacijos

Prieš pradėdami tiesiogiai spręsti sistemą, galite padaryti ją mažiau sudėtingą ir patogesnę skaičiavimams. Tai pasiekiama elementariomis transformacijomis – tokias, kad jų įgyvendinimas niekaip nepakeistų galutinio atsakymo. Pažymėtina, kad kai kurios pateiktos elementarios transformacijos galioja tik matricoms, kurių šaltinis buvo SLAE. Štai šių transformacijų sąrašas:

1. Stygų pertvarkymas. Akivaizdu, kad jei pakeisite lygčių tvarką sistemos įraše, tai neturės jokios įtakos sprendimui. Vadinasi, šios sistemos matricos eilutes taip pat galima sukeisti, nepamirštant, žinoma, laisvųjų terminų stulpelio.
2. Visų eilutės elementų padauginimas iš tam tikro koeficiento. Labai naudinga! Jis gali būti naudojamas norint sumažinti didelius skaičius matricoje arba pašalinti nulius. Daugelis sprendimų, kaip įprasta, nepasikeis, tačiau tolesnės operacijos taps patogesnės. Svarbiausia, kad koeficientas nebūtų lygus nuliui.
3. Eilučių su proporciniais koeficientais pašalinimas. Tai iš dalies išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilučių turi proporcingus koeficientus, tai vieną iš eilučių padauginus/padalijus iš proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba vėlgi daugiau) absoliučiai identiškos eilutės, o papildomos gali būti pašalintos, paliekant tik viena.
4. Nulinės eilutės pašalinimas. Jei transformacijos metu kažkur gaunama eilutė, kurioje visi elementai, įskaitant laisvąjį terminą, yra lygūs nuliui, tada tokią eilutę galima pavadinti nuliu ir išmesti iš matricos.
5. Pridedant prie vienos eilutės elementų kitos (atitinkamuose stulpeliuose) elementus, padaugintus iš tam tikro koeficiento. Neakivaizdžiausia ir svarbiausia transformacija iš visų. Verta prie to pasilikti plačiau.

Sudedant eilutę, padaugintą iš koeficiento

Kad būtų lengviau suprasti, verta šį procesą išskaidyti žingsnis po žingsnio. Iš matricos paimtos dvi eilutės:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tarkime, kad reikia pridėti pirmąjį prie antrojo, padaugintą iš koeficiento „-2“.

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Tada antroji matricos eilutė pakeičiama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Pažymėtina, kad daugybos koeficientą galima pasirinkti taip, kad pridėjus dvi eilutes vienas iš naujos eilutės elementų būtų lygus nuliui. Todėl galima gauti lygtį sistemoje, kurioje bus vienu nežinomuoju mažiau. Ir jei gausite dvi tokias lygtis, operaciją galima atlikti dar kartą ir gauti lygtį, kurioje bus dviem mažiau nežinomųjų. Ir jei kiekvieną kartą vieną koeficientą paversite nuliu visoms eilutėms, kurios yra žemiau pradinės, tuomet galite, kaip laiptais, nusileisti į patį matricos apačią ir gauti lygtį su vienu nežinomu. Tai vadinama sistemos išsprendimu Gauso metodu.

Apskritai

Tegul būna sistema. Ji turi m lygčių ir n nežinomų šaknų. Galite parašyti taip:

Pagrindinė matrica sudaroma iš sistemos koeficientų. Nemokamų terminų stulpelis pridedamas prie išplėstinės matricos ir patogumo dėlei atskiriamas linija.

• pirmoji matricos eilutė padauginama iš koeficiento k = (-a 21 /a 11);
• pridedama pirmoji modifikuota matricos eilutė ir antroji eilutė;
• vietoj antros eilutės į matricą įterpiamas ankstesnės pastraipos papildymo rezultatas;
• dabar pirmasis koeficientas naujoje antroje eilutėje yra 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Dabar atliekama ta pati transformacijų serija, įtraukiamos tik pirmoji ir trečia eilutės. Atitinkamai kiekviename algoritmo žingsnyje elementas a 21 pakeičiamas 31. Tada viskas kartojama 41, ... a m1. Rezultatas yra matrica, kurioje pirmasis elementas eilutėse yra nulis. Dabar reikia pamiršti apie vieną eilutę ir atlikti tą patį algoritmą, pradedant nuo antros eilutės:

• koeficientas k = (-a 32 /a 22);
• antroji modifikuota eilutė pridedama prie „dabartinės“ eilutės;
• pridėjimo rezultatas pakeičiamas į trečią, ketvirtą ir tt eilutes, o pirmoji ir antroji lieka nepakitę;
• matricos eilutėse pirmieji du elementai jau lygūs nuliui.

Algoritmas turi būti kartojamas tol, kol pasirodys koeficientas k = (-a m,m-1 /a mm). Tai reiškia, kad paskutinį kartą algoritmas buvo vykdomas tik žemesnei lygčiai. Dabar matrica atrodo kaip trikampis arba turi laiptuotą formą. Apatinėje eilutėje yra lygybė a mn × x n = b m. Koeficientas ir laisvasis narys yra žinomi, per juos išreiškiama šaknis: x n = b m /a mn. Gauta šaknis pakeičiama į viršutinę eilutę, siekiant rasti x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Ir taip toliau pagal analogiją: kiekvienoje paskesnėje eilutėje yra nauja šaknis ir, pasiekę sistemos „viršų“, galite rasti daugybę sprendimų. Tai bus vienintelis.

Kai nėra sprendimų

Jei vienoje iš matricos eilučių visi elementai, išskyrus laisvąjį terminą, yra lygūs nuliui, tai šią eilutę atitinkanti lygtis atrodo taip, kaip 0 = b. Jis neturi sprendimo. O kadangi tokia lygtis įtraukta į sistemą, tai visos sistemos sprendinių aibė yra tuščia, tai yra išsigimusi.

Kai sprendinių yra be galo daug

Gali atsitikti taip, kad duotoje trikampėje matricoje nėra eilučių su vienu lygties koeficiento elementu ir vienu laisvuoju nariu. Yra tik eilutės, kurios perrašomos kaip lygtis su dviem ar daugiau kintamųjų. Tai reiškia, kad sistema turi begalinį sprendimų skaičių. Šiuo atveju atsakymas gali būti pateiktas bendro sprendimo forma. Kaip tai padaryti?

Visi matricos kintamieji skirstomi į pagrindinius ir laisvuosius. Pagrindiniai yra tie, kurie stovi žingsnio matricos eilučių „ant krašto“. Likusieji nemokami. Bendrajame sprendime pagrindiniai kintamieji rašomi per laisvuosius.

Patogumui matrica pirmiausia perrašoma į lygčių sistemą. Tada paskutiniame iš jų, kur tiksliai liko tik vienas pagrindinis kintamasis, jis lieka vienoje pusėje, o visa kita perkeliama į kitą. Tai daroma kiekvienai lygčiai su vienu pagrindiniu kintamuoju. Tada likusiose lygtyse, kur įmanoma, vietoj pagrindinio kintamojo pakeičiama jai gauta išraiška. Jei rezultatas vėl yra išraiška, kurioje yra tik vienas pagrindinis kintamasis, jis vėl išreiškiamas iš ten ir taip toliau, kol kiekvienas pagrindinis kintamasis parašomas kaip išraiška su laisvaisiais kintamaisiais. Tai yra bendras SLAE sprendimas.

Taip pat galite rasti pagrindinį sistemos sprendimą – suteikite laisviesiems kintamiesiems bet kokias reikšmes, o tada šiuo konkrečiu atveju apskaičiuokite pagrindinių kintamųjų reikšmes. Galima pateikti begalinį konkrečių sprendimų skaičių.

Sprendimas su konkrečiais pavyzdžiais

Čia yra lygčių sistema.

Patogumui geriau iš karto sukurti jo matricą

Yra žinoma, kad sprendžiant Gauso metodu, pirmąją eilutę atitinkanti lygtis transformacijų pabaigoje išliks nepakitusi. Todėl bus pelningiau, jei viršutinis kairysis matricos elementas bus mažiausias - tada pirmieji likusių eilučių elementai po operacijų taps nuliu. Tai reiškia, kad sudarytoje matricoje bus naudinga dėti antrą eilutę vietoj pirmosios.

antroji eilutė: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

trečia eilutė: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Dabar, kad nesusipainiotumėte, reikia užsirašyti matricą su tarpiniais transformacijų rezultatais.

Akivaizdu, kad tokia matrica gali būti patogesnė suvokimui naudojant tam tikras operacijas. Pavyzdžiui, galite pašalinti visus „minusus“ iš antrosios eilutės, padaugindami kiekvieną elementą iš „-1“.

Taip pat verta paminėti, kad trečioje eilutėje visi elementai yra trijų kartotiniai. Tada galite sutrumpinti eilutę šiuo skaičiumi, padaugindami kiekvieną elementą iš "-1/3" (atėmus - tuo pačiu metu, kad pašalintumėte neigiamas reikšmes).

Atrodo daug gražiau. Dabar turime palikti pirmąją eilutę ramybėje ir dirbti su antrąja ir trečia. Užduotis yra pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės, padaugintą iš tokio koeficiento, kad elementas a 32 taptų lygus nuliui.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jei kai kurių transformacijų metu atsakymas nepasirodo sveikasis skaičius, rekomenduojama išlaikyti skaičiavimų tikslumą, kad paliktų „kaip yra“, paprastų trupmenų pavidalu, ir tik tada, kai gausite atsakymus, nuspręskite, ar suapvalinti ir konvertuoti į kitą įrašymo formą)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica vėl parašyta su naujomis reikšmėmis.

Kaip matote, gauta matrica jau turi laiptuotą formą. Todėl tolesnių sistemos transformacijų naudojant Gauso metodą nereikia. Čia galite pašalinti bendrą koeficientą „-1/7“ iš trečios eilutės.

Dabar viskas gražu. Belieka dar kartą parašyti matricą lygčių sistemos forma ir apskaičiuoti šaknis

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmas, pagal kurį dabar bus randamos šaknys, Gauso metodu vadinamas atvirkštiniu judėjimu. (3) lygtis apima z reikšmę:

y = (24–11×(61/9))/7 = –65/9

Ir pirmoji lygtis leidžia mums rasti x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Turime teisę tokią sistemą vadinti jungtine ir netgi apibrėžta, tai yra, turinčia unikalų sprendimą. Atsakymas parašytas tokia forma:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Neaiškios sistemos pavyzdys

Išnagrinėtas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia svarstyti atvejį, kai sistema yra neapibrėžta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendimų.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Jau pati sistemos išvaizda kelia nerimą, nes nežinomųjų skaičius yra n = 5, o sistemos matricos rangas jau yra tiksliai mažesnis už šį skaičių, nes eilučių skaičius yra m = 4, tai yra, determinanto kvadrato aukščiausia eilė yra 4. Tai reiškia, kad sprendinių yra be galo daug ir reikia ieškoti bendros jo išvaizdos. Gauso metodas tiesinėms lygtims leidžia tai padaryti.

Pirmiausia, kaip įprasta, sudaroma išplėstinė matrica.

Antroji eilutė: koeficientas k = (-a 21 /a 11) = -3. Trečioje eilutėje pirmasis elementas yra prieš transformacijas, todėl nieko liesti nereikia, reikia palikti tokį, koks yra. Ketvirta eilutė: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Padauginus pirmosios eilutės elementus iš kiekvieno jų koeficiento paeiliui ir pridėjus juos prie reikiamų eilučių, gauname tokios formos matricą:

Kaip matote, antrą, trečią ir ketvirtą eilutes sudaro vienas kitam proporcingi elementai. Antrasis ir ketvirtasis paprastai yra identiški, todėl vieną iš jų galima nedelsiant pašalinti, o likusį padauginti iš koeficiento „-1“ ir gauti eilutės numerį 3. Ir vėl iš dviejų identiškų eilučių palikite vieną.

Rezultatas yra tokia matrica. Kol sistema dar neužrašyta, čia būtina nustatyti pagrindinius kintamuosius – tuos, kurių koeficientai yra a 11 = 1 ir a 22 = 1, o laisvuosius – visus kitus.

Antroje lygtyje yra tik vienas pagrindinis kintamasis - x 2. Tai reiškia, kad iš ten jį galima išreikšti rašant per kintamuosius x 3 , x 4 , x 5 , kurie yra laisvi.

Gautą išraišką pakeičiame pirmąja lygtimi.

Rezultatas yra lygtis, kurioje vienintelis pagrindinis kintamasis yra x 1 . Su juo darykime tą patį, kaip ir su x 2.

Visi pagrindiniai kintamieji, kurių yra du, išreiškiami trimis laisvaisiais, dabar atsakymą galime parašyti bendra forma.

Taip pat galite nurodyti vieną iš konkrečių sistemos sprendimų. Tokiais atvejais nuliai paprastai pasirenkami kaip laisvųjų kintamųjų reikšmės. Tada atsakymas bus toks:

16, 23, 0, 0, 0.

Nebendradarbiaujančios sistemos pavyzdys

Nesuderinamų lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu yra greičiausias. Jis iš karto baigiasi, kai tik viename iš etapų gaunama lygtis, kuri neturi sprendinio. Tai yra, pašalinamas šaknų skaičiavimo etapas, kuris yra gana ilgas ir varginantis. Atsižvelgiama į šią sistemą:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kaip įprasta, matrica sudaroma:

Ir jis sumažinamas iki laipsniškos formos:

k 1 = -2k 2 = -4

Po pirmosios transformacijos trečioje eilutėje yra formos lygtis

be sprendimo. Todėl sistema yra nenuosekli, ir atsakymas bus tuščias rinkinys.

Metodo privalumai ir trūkumai

Jei pasirinksite, kurį metodą SLAE išspręsti popieriuje su rašikliu, tada šiame straipsnyje aptartas metodas atrodo patraukliausias. Supainioti elementariose transformacijose yra daug sunkiau nei tuo atveju, jei reikia rankiniu būdu ieškoti determinanto ar kokios keblios atvirkštinės matricos. Tačiau jei darbui su tokio tipo duomenimis naudojate programas, pavyzdžiui, skaičiuokles, tuomet paaiškėja, kad tokiose programose jau yra algoritmai, skirti skaičiuoti pagrindinius matricų parametrus – determinantą, mažuosius, atvirkštinius ir pan. Ir jei esate tikri, kad mašina pati apskaičiuos šias reikšmes ir nesuklys, geriau naudoti matricos metodą arba Cramerio formules, nes jų naudojimas prasideda ir baigiasi determinantų ir atvirkštinių matricų skaičiavimu.

Taikymas

Kadangi Gauso sprendimas yra algoritmas, o matrica iš tikrųjų yra dvimatis masyvas, jis gali būti naudojamas programuojant. Tačiau kadangi straipsnis yra „manekenų“ vadovas, reikėtų pasakyti, kad metodą lengviausia įdėti į skaičiuokles, pavyzdžiui, „Excel“. Vėlgi, bet koks SLAE, įvestas į lentelę matricos pavidalu, „Excel“ bus laikomas dvimačiu masyvu. O operacijoms su jais yra daug gražių komandų: sudėjimas (galima pridėti tik vienodo dydžio matricas!), daugyba iš skaičiaus, matricų daugyba (taip pat su tam tikrais apribojimais), atvirkštinių ir perkeltų matricų radimas ir, svarbiausia, , apskaičiuojant determinantą. Pakeitus šią daug laiko reikalaujančią užduotį viena komanda, galima daug greičiau nustatyti matricos rangą ir taip nustatyti jos suderinamumą arba nesuderinamumą.

Carlas Friedrichas Gaussas, didžiausias matematikas, ilgai dvejojo, rinkdamasis tarp filosofijos ir matematikos. Galbūt būtent toks mąstymas leido jam padaryti tokį pastebimą „palikimą“ pasaulio moksle. Visų pirma, sukūrus „Gausso metodą“ ...

Beveik 4 metus šioje svetainėje straipsniai buvo susiję su mokykliniu ugdymu, daugiausia filosofijos požiūriu, į vaikų mintis įvestus (ne)supratimo principus. Ateina laikas daugiau konkretumo, pavyzdžių ir metodų... Tikiu, kad būtent toks požiūris į pažįstamą, painų ir svarbu gyvenimo srityse duoda geresnių rezultatų.

Mes, žmonės, esame suprojektuoti taip, kad ir kiek bekalbėtume abstraktus mąstymas, Bet supratimas Visada vyksta per pavyzdžius. Jei nėra pavyzdžių, tai neįmanoma suvokti principų... Kaip ir neįmanoma patekti į kalno viršūnę nebent einant visą šlaitą nuo papėdės.

Tas pats su mokykla: kol kas gyvos istorijos Negana to, kad mes instinktyviai ir toliau ją laikome vieta, kur vaikai mokomi suprasti.

Pavyzdžiui, mokyti Gauso metodo...

Gauso metodas 5 klasės mokykloje

Leiskite iš karto padaryti išlygą: Gauso metodas turi daug platesnį pritaikymą, pavyzdžiui, sprendžiant tiesinių lygčių sistemos. Tai, apie ką kalbėsime, vyksta 5 klasėje. Tai prasidėjo, supratus kurį, daug lengviau suprasti „išplėstines parinktis“. Šiame straipsnyje mes kalbame apie Gauso metodas (metodas) eilučių sumai rasti

Štai pavyzdys, kurį iš mokyklos atsinešė mano jauniausias sūnus, kuris lanko 5 klasę Maskvos gimnazijoje.

Gauso metodo demonstravimas mokykloje

Matematikos mokytoja interaktyvia lenta (šiuolaikiniai mokymo metodai) vaikams parodė mažojo Gauso „metodo sukūrimo“ istoriją.

Mokyklos mokytojas plakė mažąjį Karlą (pasenęs metodas, šiais laikais mokyklose nenaudojamas), nes jis

užuot sudėję skaičius nuo 1 iki 100, suraskite jų sumą pastebėjo kad skaičių poros, vienodai nutolusios nuo aritmetinės progresijos kraštų, sumuojasi į tą patį skaičių. pavyzdžiui, 100 ir 1, 99 ir 2. Suskaičiavęs tokių porų skaičių mažasis Gaussas beveik akimirksniu išsprendė mokytojo pasiūlytą uždavinį. Už tai jam buvo įvykdyta mirties bausmė nustebusios visuomenės akivaizdoje. Kad kiti atgrasytų nuo mąstymo.

Ką padarė mažasis Gaussas? išvystyta skaičiaus jausmas? Pastebėjo kažkokia savybė skaičių eilutė su pastoviu žingsniu (aritmetinė progresija). IR būtent tai vėliau padarė jį puikiu mokslininku, tie, kurie moka pastebėti, turintys jausmas, supratimo instinktas.

Štai kodėl matematika yra vertinga, tobulėjanti gebėjimas matyti apskritai, ypač abstraktus mąstymas. Todėl dauguma tėvų ir darbdavių instinktyviai laiko matematiką svarbia disciplina ...

„Tada reikia mokyti matematikos, nes ji sutvarko protą.
M.V.Lomonosovas“.

Tačiau pasekėjai tų, kurie lazdomis plakė būsimus genijus, Metodą pavertė priešingu. Kaip mano vadovas pasakė prieš 35 metus: „Klausimas išmoktas“. Arba kaip mano jauniausias sūnus vakar pasakė apie Gauso metodą: „Gal neverta iš to daryti didelio mokslo, ar ne?

„Mokslininkų“ kūrybiškumo pasekmės matomos dabartinės mokyklinės matematikos lygyje, jos dėstymo lygiu ir daugumos „Mokslų karalienės“ supratimu.

Vis dėlto, tęskime...

Gauso metodo aiškinimo metodai 5 klasėje mokykloje

Maskvos gimnazijos matematikos mokytojas, aiškindamas Gauso metodą pagal Vilenkiną, užduotį apsunkino.

Ką daryti, jei aritmetinės progresijos skirtumas (žingsnis) yra ne vienas, o kitas skaičius? Pavyzdžiui, 20.

Užduotis, kurią jis pateikė penktokams:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prieš susipažindami su gimnazijos metodu, pažvelkime į internetą: kaip tai daro mokyklos mokytojai ir matematikos mokytojai?..

Gauso metodas: paaiškinimas Nr

Gerai žinomas dėstytojas savo YOUTUBE kanale pateikia tokius argumentus:

„Parašykime skaičius nuo 1 iki 100 taip:

pirmiausia skaičių serija nuo 1 iki 50, o griežtai po ja kita skaičių serija nuo 50 iki 100, bet atvirkštine tvarka.

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Atkreipkite dėmesį: kiekvienos skaičių poros iš viršutinės ir apatinės eilučių suma yra tokia pati ir lygi 101! Suskaičiuokime porų skaičių, tai yra 50 ir padauginkite vienos poros sumą iš porų skaičiaus! Voila: The atsakymas paruoštas!"

„Jei nesupratai, nenusimink!“ – aiškindamas tris kartus pakartojo mokytojas. „Šio metodo imsitės 9 klasėje!

Gauso metodas: paaiškinimas Nr. 2

Kitas dėstytojas, mažiau žinomas (sprendžiant pagal peržiūrų skaičių), laikosi moksliškesnio požiūrio, siūlydamas 5 taškų sprendimo algoritmą, kurį reikia pildyti nuosekliai.

Nežinantiems 5 yra vienas iš Fibonačio skaičių, kuris tradiciškai laikomas stebuklingu. Pavyzdžiui, 5 žingsnių metodas visada yra moksliškesnis nei 6 žingsnių metodas. ...Ir tai vargu ar atsitiktinumas, greičiausiai Autorius yra paslėptas Fibonačio teorijos šalininkas

Pateikta aritmetinė progresija: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Eilučių skaičių sumos nustatymo algoritmas Gauso metodu:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Tuo pačiu metu reikia prisiminti plius viena taisyklė : prie gauto koeficiento turime pridėti vieną: kitaip gausime rezultatą, kuris yra vienu mažesnis už tikrąjį porų skaičių: 42 + 1 = 43.

Tai reikalinga aritmetinės progresijos suma nuo 4 iki 256 su 6 skirtumu!

Gauso metodas: paaiškinimas 5 klasėje Maskvos gimnazijoje

Štai kaip išspręsti serijos sumos radimo problemą:

20+40+60+ ... +460+480+500

Maskvos gimnazijos 5 klasėje Vilenkino vadovėlis (pagal mano sūnų).

Parodęs pristatymą, matematikos mokytojas parodė porą pavyzdžių, naudodamas Gauso metodą, ir davė klasei užduotį surasti skaičių sumą iš eilės 20 žingsniais.

Tam reikėjo šių dalykų:

Kaip matote, tai kompaktiškesnė ir efektyvesnė technika: skaičius 3 taip pat yra Fibonačio sekos narys.

Mano komentarai apie mokyklinę Gauso metodo versiją

Didysis matematikas tikrai būtų pasirinkęs filosofiją, jei būtų numatęs, kuo jo „metodą“ pavers jo pasekėjai vokiečių kalbos mokytoja, kuris strypais nuplakė Karlą. Jis būtų matęs „mokytojų“ simboliką, dialektinę spiralę ir neblėstantį kvailumą, bando išmatuoti gyvos matematinės minties harmoniją su nesusipratimo algebra ....

Beje: ar žinojai. kad mūsų švietimo sistemos šaknys yra XVIII–XIX amžiaus vokiečių mokykloje?

Tačiau Gaussas pasirinko matematiką.

Kokia jo metodo esmė?

IN supaprastinimas. IN stebint ir užčiuopiant paprasti skaičių modeliai. IN sausą mokyklinę aritmetiką paverčiant įdomi ir įdomi veikla , suaktyvina smegenyse norą tęsti, o ne blokuoja brangiai kainuojančią protinę veiklą.

Ar galima naudoti vieną iš pateiktų „Gauso metodo modifikacijų“ aritmetinės progresijos skaičių sumai apskaičiuoti beveik akimirksniu? Pagal „algoritmus“ mažasis Karlas garantuotai išvengs pliaukštelėjimo, išsiugdys pasibjaurėjimą matematikai ir užgniaužs kūrybinius impulsus.

Kodėl dėstytojas taip atkakliai patarė penktokams metodo „nebijoti nesupratimo“, įtikindamas, kad „tokias“ problemas spręs jau 9 klasėje? Psichologiškai neraštingas veiksmas. Tai buvo geras žingsnis pažymėti: "Matai? Tu jau 5 klasėje galite išspręskite problemas, kurias atliksite tik per 4 metus! Koks tu puikus žmogus!"

Norint naudoti Gauso metodą, pakanka 3 klasės lygio, kai normalūs vaikai jau moka sudėti, dauginti ir dalyti 2-3 skaitmenų skaičius. Problemų kyla dėl to, kad suaugusiųjų mokytojų, kurie yra „neprisirišę“, nesugebėjimas paaiškinti paprasčiausių dalykų normalia žmonių kalba, jau nekalbant apie matematiką... Jie nesugeba priversti žmonių domėtis matematika ir visiškai atgrasyti net tuos, kurie pajėgus“.

Arba, kaip komentavo mano sūnus: „iš to padaryti didelį mokslą“.

Gauso metodas, mano paaiškinimai

Šį „metodą“ su žmona aiškinome savo vaikui, rodos, dar prieš mokyklą...

Paprastumas vietoj sudėtingumo arba klausimų ir atsakymų žaidimas

"Žiūrėk, čia yra skaičiai nuo 1 iki 100. Ką matai?"

Esmė ne ta, ką tiksliai mato vaikas. Triukas yra priversti jį pažiūrėti.

"Kaip galite juos sujungti?" Sūnus suprato, kad tokie klausimai nėra užduodami „tiesiog taip“, o į klausimą reikia žiūrėti „kažkaip kitaip, kitaip nei jis paprastai“

Nesvarbu, ar vaikas iš karto pamato sprendimą, mažai tikėtina. Svarbu, kad jis nustojo bijoti žiūrėti, arba kaip aš sakau: „perkėlė užduotį“. Tai yra kelio į supratimą pradžia

„Kas lengviau: pridėti, pavyzdžiui, 5 ir 6, ar 5 ir 95? Pagrindinis klausimas... Bet bet koks mokymas susiveda į žmogaus „nuvedimą“ į „atsakymą“ – bet kokiu jam priimtinu būdu.

Šiame etape jau gali kilti spėlionių, kaip „sutaupyti“ skaičiuojant.

Viskas, ką padarėme, buvo užuomina: „frontalinis, linijinis“ skaičiavimo metodas nėra vienintelis įmanomas. Jei vaikas tai supras, vėliau jis sugalvos daug daugiau tokių metodų, nes tai įdomu!!! Ir tikrai išvengs matematikos „nesusipratimo“ ir nesijaus ja pasibjaurėtina. Jis laimėjo pergalę!

Jeigu atrado vaikas kad pridėti skaičių poras, kurios sudaro šimtą, yra paprastas dalykas "aritmetinė progresija su skirtumu 1"- gana niūrus ir vaikui neįdomus dalykas - staiga rado jam gyvenimą . Tvarka atsirado iš chaoso, ir tai visada sukelia entuziazmą: tokie esame sukurti!

Klausimas, į kurį reikia atsakyti: kodėl po to, kai vaikas gavo įžvalgą, jis vėl turi būti įspraustas į sausų algoritmų rėmus, kurie šiuo atveju irgi funkciškai nenaudingi?!

Kam priversti kvailus perrašymus? eilės numeriai sąsiuvinyje: kad net galintys neturėtų nė vienos galimybės suprasti? Žinoma, statistiškai, bet masinis švietimas yra orientuotas į „statistiką“...

Kur dingo nulis?

Ir vis dėlto, sudėti skaičius, kurie sumuojasi iki 100, protui yra daug priimtiniau nei tie, kurių suma yra 101...

„Gausso mokyklos metodas“ reikalauja būtent to: be proto sulankstyti skaičių poros vienodu atstumu nuo progresijos centro, nesvarbu ką.

O jei pažiūrėsi?

Vis dėlto nulis yra didžiausias žmonijos išradimas, kuriam daugiau nei 2000 metų. O matematikos mokytojai ir toliau jį ignoruoja.

Daug lengviau skaičių seką, prasidedančią 1, paversti seka, prasidedančia 0. Suma nepasikeis, ar ne? Reikia nustoti „mąstyti vadovėliuose“ ir pradėti ieškoti... Ir pažiūrėkite, kad poras, kurių suma yra 101, galima visiškai pakeisti poromis, kurių suma yra 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kaip panaikinti „plius 1 taisyklę“?

Tiesą sakant, pirmą kartą apie tokią taisyklę išgirdau iš to „YouTube“ mokytojo...

Ką vis tiek daryti, kai reikia nustatyti serijos narių skaičių?

Žiūriu į seką:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

o kai būsite visiškai pavargę, pereikite prie paprastesnės eilės:

1, 2, 3, 4, 5

ir aš suprantu: jei iš 5 atimsi vieną, gausi 4, bet man visiškai aišku matau 5 skaičiai! Todėl jūs turite pridėti vieną! Pradinėje mokykloje išvystytas skaičių pojūtis rodo: net jei yra visas „Google“ serijos narių (nuo 10 iki šimtosios galios), modelis išliks toks pat.

Kokios po velnių taisyklės?..

Kad po poros ar trejų metų galėtum užpildyti visą tarpą tarp kaktos ir pakaušio ir nustoti galvoti? Kaip užsidirbti duonos ir sviesto? Juk lygiomis gretomis judame į skaitmeninės ekonomikos erą!

Daugiau apie Gauso mokyklinį metodą: „kam iš to daryti mokslą?..“

Ne veltui paskelbiau ekrano kopiją iš savo sūnaus užrašų knygelės...

– Kas nutiko klasėje?

„Na, aš iš karto suskaičiavau, pakėliau ranką, bet ji neklausė, todėl, kol kiti skaičiavo, pradėjau ruošti namų darbus rusiškai, kad negaiščiau laiko. ???), ji pakvietė mane į lentą, aš atsakiau.

„Taip, parodyk, kaip tai išsprendei“, – pasakė mokytojas. Parodžiau. Ji pasakė: „Neteisingai, tau reikia skaičiuoti, kaip aš parodžiau!

„Gerai, kad ji nepadarė blogo pažymio, ir ji privertė mane savaip užrašyti „sprendimo eigą“?..

Pagrindinis matematikos mokytojo nusikaltimas

Vargu ar po to tą incidentą Carlas Gaussas patyrė didelę pagarbą savo mokyklos matematikos mokytojui. Bet jei jis žinotų kaip to mokytojo pasekėjai iškreips pačią metodo esmę... jis riaumotų iš pasipiktinimo ir per Pasaulinę intelektinės nuosavybės organizaciją WIPO pasiektų draudimą naudoti jo gerą vardą mokykliniuose vadovėliuose!

Kokiame pagrindinė mokyklinio požiūrio klaida? Ar, kaip aš sakau, mokyklų matematikos mokytojų nusikaltimas prieš vaikus?

Nesusipratimo algoritmas

Ką veikia mokyklų metodininkai, kurių didžioji dauguma nemoka mąstyti?

Jie kuria metodus ir algoritmus (žr.). Tai gynybinė reakcija, apsauganti mokytojus nuo kritikos („Viskas daroma pagal...“), o vaikus nuo supratimo. Ir taip – ​​iš noro kritikuoti mokytojus!(Antrasis biurokratinės „išminties“ vedinys, mokslinis požiūris į problemą). Žmogus, kuris nesuvokia prasmės, verčiau kaltins savo nesusipratimą, o ne mokyklos sistemos kvailumą.

Taip atsitinka: tėvai kaltina savo vaikus, o mokytojai... tą patį daro vaikams, kurie „nesupranta matematikos!

Ar tu protingas?

Ką padarė mažasis Karlas?

Visiškai netradicinis požiūris į formulinę užduotį. Tai yra Jo požiūrio esmė. Tai pagrindinis dalykas, kurio reikia mokyti mokykloje, yra mąstyti ne vadovėliais, o galva. Žinoma, yra ir instrumentinis komponentas, kurį galima panaudoti... ieškant paprastesni ir efektyvesni skaičiavimo metodai.

Gauso metodas pagal Vilenkiną

Mokykloje jie moko, kad Gauso metodas yra

ką, jei serijos elementų skaičius nelyginis, kaip ir problema, kuri buvo priskirta mano sūnui?..

Šiuo atveju „laimikis“ yra tas serijoje turėtumėte rasti „papildomą“ numerį ir pridėkite prie porų sumos. Mūsų pavyzdyje šis skaičius yra 260.

Kaip aptikti? Visų skaičių porų kopijavimas į sąsiuvinį!(Štai kodėl mokytojas privertė vaikus atlikti šį kvailą darbą, bandydamas išmokyti „kūrybiškumo“ Gauso metodu... Ir štai kodėl toks „metodas“ praktiškai netaikomas didelėms duomenų eilutėms, IR štai kodėl taip yra ne Gauso metodas).

Šiek tiek kūrybiškumo mokyklos rutinoje...

Sūnus pasielgė kitaip.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Nesunku, tiesa?

Tačiau praktiškai tai daroma dar lengviau, o tai leidžia nuotoliniam tyrimui rusų kalba skirti 2–3 minutes, o likusios „skaičiuoja“. Be to, išlaikomas metodo žingsnių skaičius: 5, o tai neleidžia kritikuoti požiūrio dėl nemoksliškumo.

Akivaizdu, kad šis metodas yra paprastesnis, greitesnis ir universalesnis pagal Metodo stilių. Bet... mokytoja ne tik nepagyrė, bet ir privertė perrašyti „teisingai“ (žr. ekrano kopiją). Tai yra, ji desperatiškai bandė užgniaužti kūrybinį impulsą ir gebėjimą suprasti matematiką iš esmės! Matyt, kad vėliau būtų priimta į kuratorę... Užpuolė ne tą žmogų...

Viską, ką taip ilgai ir nuobodžiai aprašiau normaliam vaikui galima paaiškinti daugiausiai per pusvalandį. Kartu su pavyzdžiais.

Ir taip, kad jis niekada to nepamirštų.

Ir bus žingsnis supratimo link...ne tik matematikai.

Prisipažinkite: kiek kartų per savo gyvenimą pridėjote Gauso metodu? Ir aš niekada to nedariau!

Bet supratimo instinktas, kuri vystosi (arba užgęsta) mokantis matematinių metodų mokykloje... O!.. Tai tikrai nepakeičiamas dalykas!

Ypač visuotinės skaitmenizacijos amžiuje, į kurį tyliai įžengėme griežtai vadovaujant Partijai ir Vyriausybei.

Keletas žodžių mokytojų gynybai...

Nesąžininga ir neteisinga visą atsakomybę už tokį mokymo stilių priskirti tik mokyklos mokytojams. Sistema veikia.

Kai kurie mokytojai supranta to, kas vyksta absurdą, bet ką daryti? Švietimo įstatymas, federaliniai švietimo standartai, metodai, pamokų planai... Viskas turi būti daroma „pagal ir remiantis“ ir viskas turi būti dokumentuota. Atsitraukite – stovėjo eilėje, kad būtų atleistas. Nebūkime veidmainiai: Maskvos mokytojų atlyginimai labai geri... Jei tave atleis, kur dėtis?..

Todėl ši svetainė ne apie švietimą. Jis apie individualus išsilavinimas, vienintelis įmanomas būdas išeiti iš minios Z karta ...

Tegul pateikiama tiesinių algebrinių lygčių sistema, kurią reikia išspręsti (raskite tokias nežinomųjų xi reikšmes, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia lygybe).

Žinome, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema gali:

1) Neturi sprendimų (būti ne sąnarių).
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Turėkite vieną sprendimą.

Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas netinka tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendinių arba yra nenuosekli. Gauso metodas – galingiausias ir universaliausias įrankis ieškant sprendimų bet kuriai tiesinių lygčių sistemai, kuris kiekvienu atveju nuves mus prie atsakymo! Pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai. Jei Cramerio ir matricos metodai reikalauja determinantų išmanymo, tai Gauso metodui taikyti reikia tik aritmetinių operacijų žinių, todėl jis yra prieinamas net pradinių klasių mokiniams.

Papildytos matricos transformacijos ( tai yra sistemos matrica - matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų ir laisvųjų terminų stulpelio) tiesinių algebrinių lygčių sistemos Gauso metodu:

1) Su troki matricos Gali pertvarkyti kai kuriose vietose.

2) jei matricoje atsiranda (arba egzistuoja) proporcingos (ypatingu atveju – identiškos) eilutės, tuomet turėtumėte ištrinti Visos šios eilutės yra iš matricos, išskyrus vieną.

3) jei transformacijų metu matricoje atsiranda nulinė eilutė, tai taip pat turėtų būti ištrinti.

4) matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti)į bet kurį skaičių, išskyrus nulį.

5) į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio.

Gauso metodu elementarios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio.

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų:

1. „Tiesioginis judėjimas“ - naudojant elementariąsias transformacijas, tiesinių algebrinių lygčių sistemos išplėstinę matricą perkelkite į „trikampę“ žingsnio formą: išplėstinės matricos elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui (judėjimas iš viršaus į apačią). Pavyzdžiui, šiam tipui:

Norėdami tai padaryti, atlikite šiuos veiksmus:

1) Panagrinėkime pirmąją tiesinių algebrinių lygčių sistemos lygtį, o koeficientas x 1 lygus K. Antroji, trečioji ir kt. lygtis transformuojame taip: kiekvieną lygtį (nežinomųjų koeficientus, įskaitant laisvuosius narius) padaliname iš nežinomojo koeficiento x 1, kuris yra kiekvienoje lygtyje, ir padauginame iš K. Po to pirmąją atimame iš antroji lygtis (nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientai). Antroje lygtyje x 1 gauname koeficientą 0. Iš trečiosios transformuotos lygties atimame pirmąją lygtį, kol visos lygtys, išskyrus pirmąją, nežinomam x 1, turi koeficientą 0.

2) Pereikime prie kitos lygties. Tegul tai yra antroji lygtis ir koeficientas x 2 lygus M. Tęsiame visas „žemesnes“ lygtis, kaip aprašyta aukščiau. Taigi, „po“ nežinomu x 2 visose lygtyse bus nuliai.

3) Pereikite prie kitos lygties ir taip toliau, kol liks paskutinis nežinomasis ir transformuotas laisvasis narys.

1. Gauso metodo „atvirkštinis judėjimas“ yra gauti linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą („judėjimas iš apačios į viršų“).

Iš paskutinės „apatinės“ lygties gauname vieną pirmąjį sprendinį - nežinomą x n. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame elementariąją lygtį A * x n = B. Aukščiau pateiktame pavyzdyje x 3 = 4. Rastą reikšmę pakeičiame „viršutine“ kita lygtimi ir išsprendžiame kito nežinomojo atžvilgiu. Pavyzdžiui, x 2 – 4 = 1, t.y. x 2 = 5. Ir taip toliau, kol rasime visus nežinomuosius.

Pavyzdys.

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, kaip pataria kai kurie autoriai:

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti vieną. Bėda ta, kad pirmajame stulpelyje iš viso nėra vienetų, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Padarykime taip: . Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš –1 ir pridėjome pirmą ir antrą eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje yra „minusas vienas“, kuris mums visai tinka. Kiekvienas norintis gauti +1 gali atlikti papildomą veiksmą: pirmąją eilutę padauginti iš –1 (pakeisti jos ženklą).

2 veiksmas . Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę.

3 veiksmas . Pirmoji eilutė buvo padauginta iš –1, iš esmės tai yra dėl grožio. Trečios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, kad antrame „žingsnyje“ mes turėjome reikiamą vienetą.

4 veiksmas . Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš 2.

5 veiksmas . Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei žemiau gausime kažką panašaus į (0 0 11 |23) ir atitinkamai 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada su didele tikimybe galime sakyti, kad pradinio pamokos metu buvo padaryta klaida. transformacijos.

Darykime atvirkščiai, pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš pateiktos matricos“. Atvirkštinis judėjimas, primenu, veikia iš apačios į viršų. Šiame pavyzdyje rezultatas buvo dovana:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, todėl x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Atsakymas:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Išspręskime tą pačią sistemą naudodami siūlomą algoritmą. Mes gauname

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Antrąją lygtį padalinkite iš 5, o trečiąją iš 3. Gauname:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Antrąją ir trečiąją lygtis padauginus iš 4, gauname:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Atimdami pirmąją lygtį iš antrosios ir trečiosios lygčių, gauname:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Trečiąją lygtį padalykite iš 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Trečiąją lygtį padauginkite iš 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Iš trečiosios lygties atėmus antrąją, gauname „pakopinę“ išplėstinę matricą:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Taigi, kadangi skaičiavimų metu susikaupė klaida, gauname x 3 = 0,96 arba apytiksliai 1.

x 2 = 3 ir x 1 = –1.

Taip spręsdami niekada nesupainiosite skaičiavimuose ir, nepaisant skaičiavimo klaidų, gausite rezultatą.

Šis tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo būdas yra lengvai programuojamas ir neatsižvelgia į specifines koeficientų nežinomiesiems ypatybes, nes praktikoje (ekonominiuose ir techniniuose skaičiavimuose) tenka susidurti su nesveikaisiais koeficientais.

Linkiu sėkmės! Iki pasimatymo klasėje! Mokytojas Dmitrijus Aystrakhanovas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.