Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus žymėjimus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso gaunamos trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia mes siūlome jų aiškų įrašymą, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o tada mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai sąlygos yra nesuderinamos. Tada geriau perrašyti lygtį mažėjančia kintamojo laipsnio tvarka.

Leiskite pristatyti kai kuriuos užrašus. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta numeriu vienas.

Kai pateikiama lygtis, neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• lygtis iš viso neturės šaknų.

Ir kol sprendimas nėra galutinai priimtas, sunku suprasti, kuris variantas atsiras konkrečiu atveju.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotyse gali būti skirtingų įrašų. Jie ne visada atrodys kaip bendrosios kvadratinės lygties formulė. Kartais trūksta kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik terminai su koeficientais „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Norėdami apskaičiuoti lygties šaknis, turite žinoti šį skaičių. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kurios skaičius bus ketvirtas.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius su skirtingais ženklais. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. Jei skaičius neigiamas, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, bus tik vienas atsakymas.

Kaip išspręsti pilną kvadratinę lygtį?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Nustačius, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti šią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Penkta formulė. Iš to paties įrašo aišku, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, tada abi šaknys įgis tas pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar neišspręstas, prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla painiava.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį?

Čia viskas daug paprasčiau. Papildomų formulių net nereikia. O tų, kurie jau buvo užrašyti diskriminantui ir nežinomam, neprireiks.

Pirma, pažvelkime į nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje reikia iš skliaustų išimti nežinomą kiekį ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra daugiklis, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis bus gautas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neišsami lygtis numeris trys išspręsta perkeliant skaičių iš kairės lygybės pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento, nukreipto į nežinomybę. Belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Žemiau yra keletas veiksmų, kurie padės išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai gali lemti prastus pažymius studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė). Vėliau šių veiksmų nereikės atlikti nuolat. Nes atsiras stabilus įgūdis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti darbą pradedančiajam, studijuojančiam kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 − 7x = 0. Ji yra nepilna, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Išėmus jį iš skliaustų, paaiškėja: x (x - 7) = 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x 2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trečioji lygtis: 15 − 2x − x 2 = 0. Toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas standartine forma: − x 2 − 2x + 15 = 0. Dabar atėjo laikas pasinaudoti antruoju naudingu patarimu ir viską padauginti iš minus vienas. Pasirodo x 2 + 2x - 15 = 0. Naudojant ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia apskaičiuoti naudojant penktąją formulę. Pasirodo, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x = 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 = 0. Jos diskriminantas lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šeštoji lygtis (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad reikia pateikti panašius terminus, pirmiausia atidarant skliaustus. Vietoj pirmosios bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia: x 2 - x = 0. Jis tapo nepilnas . Kažkas panašaus jau buvo aptarta šiek tiek aukščiau. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga 11 vidurinė mokykla

Darbo tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilną darbo versiją rasite skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Kvadratinių lygčių istorija

Babilonas

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška, su pačios astronomijos ir matematikos raida. Kvadratinės lygtys galėjo būti išspręstos maždaug 2000 m. e. babiloniečiai. Babiloniečių tekstuose išdėstytos šių lygčių sprendimo taisyklės iš esmės yra tokios pačios kaip ir šiuolaikiniuose, tačiau šiuose tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Senovės Graikija

Senovės Graikijoje mokslininkai, tokie kaip Diofantas, Euklidas ir Heronas, taip pat dirbo spręsdami kvadratines lygtis. Diofantas Diofantas iš Aleksandrijos yra senovės graikų matematikas, manoma, gyvenęs III mūsų eros amžiuje. Pagrindinis Diofanto kūrinys yra 13 knygų „Aritmetika“. Euklidas. Euklidas yra senovės graikų matematikas, pirmojo teorinio matematikos traktato, atėjusio pas mus, Heronas, autorius. Garnys – graikų matematikas ir inžinierius, pirmasis Graikijoje I mūsų eros amžiuje. suteikia grynai algebrinį būdą kvadratinei lygčiai išspręsti

Indija

Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, redukuotų į vieną kanoninę formą, sprendimo taisyklę: ax2 + bx = c, a> 0. (1) (1) lygtyje koeficientai gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų. Indijoje buvo įprasti vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsimokslinęs žmogus pranoksta savo šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai.

„Puikių beždžionių pulkas

Ir dvylika palei vynmedžius, prisivalgę iki pasitenkinimo, linksminosi

Jie pradėjo šokinėti, kabėti

Aštunta jų dalis kvadratuota

Kiek beždžionių buvo?

Smagiai praleidau proskynoje

Pasakyk man, šioje pakuotėje?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad autorius žinojo, kad kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės. Bhaskaras rašo lygtį, atitinkančią uždavinį, kaip x2 - 64x = - 768 ir, norėdamas užpildyti kairę šios lygties pusę į kvadratą, prie abiejų pusių prideda 322, tada gauna: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratinės lygtys XVII amžiaus Europoje

Kvadratinių lygčių, sukurtų pagal Al-Khorezmi Europoje, sprendimo formulės pirmą kartą buvo pateiktos Abako knygoje, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis tiek islamo šalių, tiek senovės Graikijos matematikos įtaką, išsiskiria išbaigtumu ir pateikimo aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis problemų iš Abako knygos buvo panaudotos beveik visuose XVI–XVII amžiaus Europos vadovėliuose. ir iš dalies XVIII. Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvedimą galima gauti iš Viète, tačiau Viète atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbo dėka kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgauna šiuolaikinę formą.

Kvadratinės lygties apibrėžimas

Ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur a, b, c yra skaičiai, vadinama kvadratine.

Kvadratinės lygties koeficientai

Skaičiai a, b, c yra kvadratinės lygties koeficientai (prieš x²), a ≠ 0 b yra laisvasis narys (prieš x).

Kurios iš šių lygčių nėra kvadratinės??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² – 1/x = 0;9. 2x² – x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8 = 0.

Kvadratinių lygčių tipai

Sumažinta yra kvadratinė lygtis, kurioje pirmaujantis koeficientas yra lygus vienetui. Tokią lygtį galima gauti padalijus visą išraišką iš pirmaujančio koeficiento a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadratinė lygtis vadinama užbaigta, jei visi jos koeficientai nėra lygūs nuliui.

Kvadratinė lygtis vadinama nepilna, kurioje bent vienas iš koeficientų, išskyrus pirmaujantį (antrasis koeficientas arba laisvasis narys), yra lygus nuliui.

Kvadratinių lygčių sprendimo būdai

I metodas Bendra šaknų skaičiavimo formulė

Norėdami rasti kvadratinės lygties šaknis kirvis 2 + b + c = 0 Apskritai turėtumėte naudoti toliau pateiktą algoritmą:

Apskaičiuokite kvadratinės lygties diskriminanto reikšmę: tai yra jos išraiška D= b 2 - 4ac

Formulės išvedimas:

Pastaba: Akivaizdu, kad daugybos 2 šaknies formulė yra specialus bendrosios formulės atvejis, gautas į ją pakeitus lygybę D=0 ir išvadą apie realių šaknų nebuvimą ties D0, ir (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Pateiktas metodas yra universalus, tačiau toli gražu ne vienintelis. Vieną lygtį galima išspręsti įvairiais būdais, o nuostatos paprastai priklauso nuo sprendėjo. Be to, dažnai šiam tikslui kai kurie metodai yra daug elegantiškesni, paprastesni ir mažiau darbo reikalaujantys nei standartiniai.

II metodas. Kvadratinės lygties šaknys su lyginiu koeficientu b III metodas. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

IV metodas. Naudojant dalinius koeficientų santykius

Yra ypatingų kvadratinių lygčių atvejų, kai koeficientai yra susiję vienas su kitu, todėl juos daug lengviau išspręsti.

Kvadratinės lygties, kurioje pirminio koeficiento ir laisvojo nario suma yra lygi antrajam koeficientui, šaknys

Jei kvadratinėje lygtyje kirvis 2 + bx + c = 0 pirmojo koeficiento ir laisvosios dalies suma lygi antrajam koeficientui: a+b=c, tada jo šaknys yra -1 ir skaičius, priešingas laisvojo nario ir pirmaujančio koeficiento santykiui ( -c/a).

Taigi, prieš spręsdami bet kurią kvadratinę lygtį, turėtumėte patikrinti galimybę jai pritaikyti šią teoremą: palyginkite pirmaujančiojo koeficiento ir laisvojo nario sumą su antruoju koeficientu.

Kvadratinės lygties, kurios visų koeficientų suma lygi nuliui, šaknys

Jei kvadratinėje lygtyje visų jos koeficientų suma lygi nuliui, tada tokios lygties šaknys yra 1 ir laisvojo nario santykis su pirmaujančiu koeficientu ( c/a).

Vadinasi, prieš spręsdami lygtį standartiniais metodais, turėtumėte patikrinti šios teoremos pritaikymą jai: sudėkite visus šios lygties koeficientus ir pažiūrėkite, ar ši suma nėra lygi nuliui.

V metodas. Kvadratinio trinalio faktorinavimas į tiesinius veiksnius

Jei trinaris yra formos (rodymo stilius ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c (a ≠ 0) gali būti kažkaip pavaizduotas kaip tiesinių veiksnių sandauga (rodymo stilius (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tada galime rasti lygties šaknis kirvis 2 + bx + c = 0- juk jie bus -m/k ir n/l (rodymo stilius (kx+m)(lx+n)=0ilga rodyklė į dešinę kx+m=0 puodelis lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, ir išsprendę nurodytas tiesines lygtis, gauname tai, kas išdėstyta aukščiau. Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinis trinaris ne visada išskaidomas į tiesinius veiksnius su realiais koeficientais: tai įmanoma, jei atitinkama lygtis turi realias šaknis.

Panagrinėkime keletą ypatingų atvejų

Naudojant kvadratinės sumos (skirtumo) formulę

Jei kvadratinio trinalio forma yra (rodymo stilius (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , tada pritaikę jam aukščiau pateiktą formulę, galime jį sudėti į tiesinius veiksnius ir , todėl suraskite šaknis:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Viso sumos kvadrato išskyrimas (skirtumas)

Aukščiau pateikta formulė taip pat naudojama naudojant metodą, vadinamą „viso sumos kvadrato (skirtumo) pasirinkimas“. Kalbant apie aukščiau pateiktą kvadratinę lygtį su anksčiau įvestu žymėjimu, tai reiškia:

Pastaba: Jei pastebėsite, ši formulė sutampa su pasiūlyta skyriuje „Sumažintos kvadratinės lygties šaknys“, kurią, savo ruožtu, galima gauti iš bendrosios formulės (1), pakeičiant lygybę a=1. Šis faktas nėra tik sutapimas: naudojant aprašytą metodą, nors ir papildomai samprotaujant, galima išvesti bendrą formulę ir įrodyti diskriminanto savybes.

VI metodas. Naudojant tiesioginę ir atvirkštinę Vieta teoremą

Vietos tiesioginė teorema (žr. toliau to paties pavadinimo skyriuje) ir atvirkštinė jos teorema leidžia aukščiau pateiktas kvadratines lygtis išspręsti žodžiu, nenaudojant gana sudėtingų skaičiavimų naudojant (1) formulę.

Pagal atvirkštinę teoremą, kiekviena skaičių pora (skaičius) (rodymo stilius x_(1),x_(2))x 1, x 2, kaip toliau pateiktos lygčių sistemos sprendimas, yra lygties šaknys

Bendruoju atveju, ty neredukuotai kvadratinei lygčiai ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Tiesioginė teorema padės jums žodžiu rasti skaičius, kurie tenkina šias lygtis. Su jo pagalba galite nustatyti šaknų požymius, nežinodami pačių šaknų. Norėdami tai padaryti, turite laikytis taisyklės:

1) jei laisvasis narys yra neigiamas, tada šaknys turi skirtingus ženklus, o didžiausia absoliučia šaknų reikšme turi ženklą, priešingą antrojo lygties koeficiento ženklui;

2) jei laisvasis narys yra teigiamas, tada abi šaknys turi tą patį ženklą, o tai yra ženklas, priešingas antrojo koeficiento ženklui.

VII metodas. Perkėlimo būdas

Vadinamasis „perkėlimo“ metodas leidžia redukuoti neredukuotų ir neredukuojamų lygčių sprendimą į redukuotų lygčių formą su sveikaisiais koeficientais, dalijant jas iš pirmaujančio koeficiento iki redukuotų lygčių su sveikaisiais koeficientais sprendinio. Tai yra taip:

Tada lygtis išsprendžiama žodžiu aukščiau aprašytu būdu, tada grįžtama prie pradinio kintamojo ir randamos lygčių šaknys (rodymo stilius y_(1)=ax_(1)) y 1 = kirvis 1 Ir y 2 = kirvis 2 .(vaizdo stilius y_(2)=ax_(2))

Geometrinė reikšmė

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškų abscisės. Jei kvadratine funkcija aprašyta parabolė nesikerta su x ašimi, lygtis neturi realių šaknų. Jei parabolė kerta x ašį viename taške (parabolės viršūnėje), lygtis turi vieną tikrąją šaknį (taip pat sakoma, kad lygtis turi dvi sutampančios šaknis). Jei parabolė kerta x ašį dviejuose taškuose, lygtis turi dvi realias šaknis (žr. paveikslėlį dešinėje).

Jei koeficientas (a rodymo stilius) a teigiamas, parabolės šakos nukreiptos į viršų ir atvirkščiai. Jei koeficientas (rodymo stilius b) bteigiamas (jei teigiamas (vaizdo stilius a) a, jei neigiamas, atvirkščiai), tada parabolės viršūnė yra kairėje pusplokštumoje ir atvirkščiai.

Kvadratinių lygčių taikymas gyvenime

Plačiai naudojama kvadratinė lygtis. Jis naudojamas daugelyje skaičiavimų, konstrukcijų, sporto šakų, taip pat aplink mus.

Panagrinėkime ir pateiksime keletą kvadratinės lygties taikymo pavyzdžių.

Sportas. Šuoliai į aukštį: šuolininko įsibėgėjimo metu naudojami skaičiavimai, susiję su parabole, kad būtų pasiektas kuo aiškesnis poveikis kilimo strypo ir aukštam skrydžiui.

Taip pat panašių skaičiavimų reikia ir metant. Objekto skrydžio diapazonas priklauso nuo kvadratinės lygties.

Astronomija. Planetų trajektoriją galima rasti naudojant kvadratinę lygtį.

Skrydis lėktuvu. Lėktuvo kilimas yra pagrindinė skrydžio dalis. Čia mes apskaičiuojame mažą pasipriešinimą ir kilimo pagreitį.

Kvadratinės lygtys taip pat naudojamos įvairiose ekonomikos disciplinose, garso, vaizdo, vektorinės ir rastrinės grafikos apdorojimo programose.

Išvada

Atlikus darbus paaiškėjo, kad kvadratinės lygtys mokslininkus traukė jau senovėje, spręsdami kai kurias problemas ir bandė jas spręsti. Žvelgdamas į skirtingus kvadratinių lygčių sprendimo būdus, padariau išvadą, kad ne visos jos yra paprastos. Mano nuomone, geriausias būdas išspręsti kvadratines lygtis yra jas išspręsti naudojant formules. Formules lengva įsiminti, šis metodas yra universalus. Hipotezė, kad lygtys plačiai naudojamos gyvenime ir matematikoje, pasitvirtino. Išstudijavus temą, sužinojau daug įdomių faktų apie kvadratines lygtis, jų panaudojimą, taikymą, tipus, sprendimus. Ir aš mielai juos studijuosiu. Tikiuosi, kad tai padės man gerai išlaikyti egzaminus.

Naudotos literatūros sąrašas

Svetainės medžiaga:

Vikipedija

Atvira pamoka.rf

Pradinės matematikos vadovas Vygodskis M. Ya.

Kvadratinės lygties problemos nagrinėjamos tiek mokyklos programoje, tiek universitetuose. Jie reiškia a*x^2 + b*x + c = 0 formos lygtis, kur x- kintamasis, a, b, c – konstantos; a<>0 . Užduotis – rasti lygties šaknis.

Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė

Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo su abscisių (x) ašimi taškai. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo taškų su abscisių ašimi. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje šakomis į viršų arba apačioje su šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (ji turi dvi sudėtingas šaknis).

2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis atvejis praktikoje įdomesnis – yra du parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškai. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.

1) Jei koeficientas a yra didesnis už nulį, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, jei jis yra neigiamas, parabolės šakos nukreiptos žemyn;

2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tai parabolės viršūnė yra kairėje pusplokštumoje, jei įgauna neigiamą reikšmę, tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas

Perkelkime konstantą iš kvadratinės lygties

lygybės ženklui gauname išraišką

Abi puses padauginkite iš 4a

Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b^2 iš abiejų pusių ir atlikite transformaciją

Iš čia randame

Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė

Diskriminantas yra radikalios išraiškos reikšmė, jei ji yra teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuotas pagal formulę Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančius šaknis), kurį galima lengvai gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D=0, kai diskriminantas yra neigiamas, lygtis neturi realių šaknų. Tačiau kvadratinės lygties sprendiniai randami kompleksinėje plokštumoje, o jų reikšmė apskaičiuojama pagal formulę

Vietos teorema

Panagrinėkime dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukurkime kvadratinę lygtį, nesunkiai išplaukia pati Vietos teorema: jei turime formos kvadratinę lygtį. tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Aukščiau pateiktų dalykų formulė atrodys taip: Jei klasikinėje lygtyje konstanta a nėra lygi nuliui, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vietos teoremą.

Faktoringo kvadratinės lygties grafikas

Tegul užduotis yra nustatyta: koeficientas kvadratinė lygtis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (rasti šaknis). Tada mes pakeisime rastas šaknis į kvadratinės lygties išplėtimo formulę. Tai išspręs problemą.

Kvadratinės lygties uždaviniai

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x^2-26x+120=0 .

Sprendimas: Užrašykite koeficientus ir pakeiskite juos diskriminuojančioje formulėje

Šios vertės šaknis yra 14, ją lengva rasti naudojant skaičiuotuvą arba prisiminti dažnai naudojant, tačiau patogumo dėlei straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, kuriuos dažnai galima rasti tokių problemų.
Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule

ir gauname

2 užduotis. Išspręskite lygtį

2x 2 +x-3=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą


Naudodami žinomas formules randame kvadratinės lygties šaknis

3 užduotis. Išspręskite lygtį

9x 2 -12x+4=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Diskriminanto nustatymas

Gavome atvejį, kai šaknys sutampa. Raskite šaknų reikšmes naudodami formulę

4 užduotis. Išspręskite lygtį

x^2+x-6=0 .

Sprendimas: Tais atvejais, kai yra maži x koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis

Iš antrosios sąlygos matome, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3;2), (3;-2) . Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra lygios

5 uždavinys Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas 77 cm 2.

Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra lygi gretimų jo kraštinių sumai. Pažymime x kaip didesnę kraštinę, tada 18-x yra jos mažesnė pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x(18-x)=77;
arba
x 2 -18x+77=0.
Raskime lygties diskriminantą

Lygties šaknų apskaičiavimas

Jeigu x=11, Tai 18's = 7 , ir atvirkščiai (jei x=7, tai 21s=9).

6 uždavinys. Padalinkite kvadratinę lygtį 10x 2 -11x+3=0.

Sprendimas: Apskaičiuokime lygties šaknis, tam randame diskriminantą

Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule ir apskaičiuojame

Taikome kvadratinės lygties išskaidymo pagal šaknis formulę

Atidarę skliaustus gauname tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , ar lygtis (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a=3 matome, kad ji neturi sprendimo. Toliau naudosime faktą, kad su nuliniu diskriminantu lygtis turi vieną daugybos 2 šaknį. Išrašykime diskriminantą

Supaprastinkime ir prilyginkime nuliui

Gavome kvadratinę lygtį parametro a atžvilgiu, kurios sprendimą galima lengvai gauti naudojant Vietos teoremą. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprasta paieška nustatome, kad skaičiai 3,4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a=3, vienintelis teisingas bus - a=4. Taigi, jei a=4 lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , lygtis a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykime vienaskaitos taškus, jie bus reikšmės a=0 ir a=-3. Kai a=0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9=0; x=3/2 ir bus viena šaknis. Jei a= -3, gauname tapatybę 0=0.
Apskaičiuokime diskriminantą

ir suraskite a reikšmę, kuriai esant ji yra teigiama

Iš pirmosios sąlygos gauname a>3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis


Nustatykime intervalus, kuriuose funkcija įgauna teigiamas reikšmes. Pakeitę tašką a=0 gauname 3>0 . Taigi, už intervalo (-3;1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite esmės a=0, kurios turėtų būti neįtrauktos, nes pradinėje lygtyje yra viena šaknis.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius problemos sąlygas

Praktikoje bus daug panašių užduočių, pabandykite užduotis išsiaiškinti patys ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išstudijuokite kvadratinių lygčių sprendimo formules, kurios dažnai reikalingos atliekant įvairius uždavinius ir mokslus.

Mes ir toliau nagrinėjame temą “ sprendžiant lygtis“ Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis ir pereiname prie pažinties kvadratines lygtis.

Pirmiausia pažiūrėsime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to mes naudosime pavyzdžius, norėdami išsamiai išnagrinėti, kaip sprendžiamos neišsamios kvadratinės lygtys. Toliau pereisime prie pilnųjų lygčių sprendimo, gausime šaknies formulę, susipažinsime su kvadratinės lygties diskriminantu ir apsvarstysime tipinių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekime ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti pokalbį apie kvadratines lygtis kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su jais susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir nesumažintas, taip pat pilnas ir neišsamias lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a yra ne nulis.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra dėl to, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Pateiktas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžius. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. Tai yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai vadinami a, b ir c kvadratinės lygties koeficientai a·x 2 +b·x+c=0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba didžiausiu, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas, arba koeficientas x, o c yra laisvasis narys .

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas lygus −2, o laisvasis narys lygus −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, trumpoji kvadratinės lygties forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, o ne 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba −1, tada kvadratinėje lygtyje jie paprastai nėra aiškiai išreikšti, o tai yra dėl tokių rašymo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o y koeficientas lygus −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 duota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nepaliestas.

Pagal šį apibrėžimą kvadratinės lygtys x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ir kt. – duota, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas lygus vienetui. A 5 x 2 −x−1=0 ir kt. - neredukuotos kvadratinės lygtys, kurių pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1.

Iš bet kokios nesumažintos kvadratinės lygties, padalijus abi puses iš pirminio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis, arba, kaip ji, neturi šaknų.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums tereikia padalyti abi pradinės lygties puses iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, kad galėtume atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kuris yra tas pats, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, o tada (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, iš kur . Taip gavome redukuotą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 + b x + c = 0 būtų kvadratinė, nes kai a = 0 ji iš tikrųjų tampa b x + c = 0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 Nebaigtas, jei bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Tokie vardai buvo suteikti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš tolesnių diskusijų.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a·x 2 +0·x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a·x 2 +c=0. Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis turi formą a·x 2 +b·x+0=0, tada ją galima perrašyti kaip a·x 2 +b·x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0.2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

• a·x 2 =0, jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
• ax2 +c=0, kai b=0;
• ir a·x 2 +b·x=0, kai c=0.

Panagrinėkime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 = 0

Pradėkime nuo nepilnų kvadratinių lygčių, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi dalis iš nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 =0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 =0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama tuo, kad bet kuriam nuliniam skaičiui p galioja nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 =0 turi vieną šaknį x=0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4 x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 =0, jos vienintelė šaknis yra x=0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti parašytas taip:
−4 x 2 =0,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui ir c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad perkėlus terminą iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat padalijus abi lygties puses ne nuliu skaičiumi, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galime atlikti tokias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 +c=0 transformacijas:

• perkelkite c į dešinę pusę, taip gaunama lygtis a x 2 =-c,
• ir padalinti abi puses iš a, gauname .

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2, tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=–2 ir c=6, tada ), jis nėra nulis , nes pagal sąlygą c≠0. Atskirai analizuosime atvejus ir.

Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.

Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisiminsime apie , tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi, nes . Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Ką tik paskelbtos lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi dar vieną šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1. Yra žinoma, kad jos šaknis pakeitus lygtimi, o ne x, lygtis paverčiama teisinga skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaitinių lygybių savybės leidžia atlikti teisingų skaitinių lygčių atimtį po terminą, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 −x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Žinome, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir (arba) x 1 +x 2 =0, kuris yra tas pats, x 2 =x 1 ir (arba) x 2 = −x 1. Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1. Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygiavertė lygčiai, kuri

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir , jei .

Panagrinėkime a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0. Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgis formą 9 x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9, gauname . Kadangi dešinėje pusėje yra neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7 = 0 neturi šaknų.

Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devynetuką perkeliame į dešinę pusę: −x 2 =−9. Dabar padalijame abi puses iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Tada užrašome galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.

a x 2 +b x=0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0, sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys formos a x 2 + b x = 0 leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a·x+b=0, iš kurių pastaroji yra tiesinė ir jos šaknis x=-b/a.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 +b·x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išanalizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Išėmus x iš skliaustų gaunama lygtis . Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir mišrųjį skaičių padalijus iš paprastosios trupmenos, randame . Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .

Įgijus reikiamą praktiką, galima trumpai parašyti tokių lygčių sprendinius:

Atsakymas:

x=0 , .

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė:, kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Įrašas iš esmės reiškia, kad .

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji naudojama ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Išsiaiškinkime tai.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties puses galime padalyti iš ne nulinio skaičiaus a, todėl gaunama tokia kvadratinė lygtis.
• Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
• Šiame etape paskutinius du terminus galima perkelti į dešinę su priešingu ženklu, turime .
• Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .

Dėl to gauname lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0.

Analogiškos formos lygtis jau išsprendėme ankstesnėse pastraipose, kai nagrinėjome. Tai leidžia padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

• jei , tai lygtis neturi realių sprendinių;
• jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
• jei , tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi lygties šaknų buvimas ar nebuvimas, taigi ir pradinė kvadratinė lygtis, priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4·a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4·a·c ženklas. Ši išraiška buvo vadinama b 2 −4 a c kvadratinės lygties diskriminantas ir nurodytas laišku D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįžkime prie lygties ir perrašykime ją diskriminaciniu žymėjimu: . Ir mes darome išvadas:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba, kurią galima perrašyti į formą arba, o išplėtus ir suvedus trupmenas į bendrą vardiklį gauname.

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, kurios atrodo kaip , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4·a·c.

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią unikalų kvadratinės lygties sprendimą. O naudojant neigiamą diskriminantą, bandydami panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimu, o tai perkelia mus už mokyklos mokymo programos ribų. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratines lygtis galite iš karto naudoti šaknies formulę, kad apskaičiuotumėte jų reikšmes. Bet tai labiau susiję su sudėtingų šaknų paieška.

Tačiau mokykliniame algebros kurse paprastai kalbame ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia rasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), ir tik tada apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 +b x+c=0, turite:

• naudodamiesi diskriminantinės formulės D=b 2 −4·a·c, apskaičiuokite jos reikšmę;
• daryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį pagal formulę, jei D=0;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, taip pat galite naudoti formulę, ji duos tokią pat reikšmę kaip .

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo naudojimo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Panagrinėkime trijų kvadratinių lygčių sprendinius su teigiamu, neigiamu ir nuliniu diskriminantu. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 šaknis +2·x−6=0.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1, b=2 ir c=−6. Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, nurodytą a, b ir c pakeičiame į diskriminanto formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=2 2 –4·1·(–6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami šaknies formulę, gauname , čia galite supaprastinti gautas išraiškas darydami perkeliant daugiklį už šaknies ženklo po to sumažinama frakcija:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,

Atsakymas:

x=3,5.

Belieka apsvarstyti galimybę išspręsti kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5·y 2 +6·y+2=0.

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5, b=6 ir c=2. Mes pakeičiame šias reikšmes į diskriminacinę formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, taikome gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliekame operacijos su kompleksiniais skaičiais:

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .

Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykloje jie paprastai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų nerandama.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D=b 2 −4·a·c, leidžia gauti kompaktiškesnės formos formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu x koeficientu (arba tiesiog su a koeficientas, kurio forma, pavyzdžiui, 2·n, arba 14· ln5=2·7·ln5 ). Išveskime ją.

Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x+c=0. Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:

Išraišką n 2 −a c pažymėkime kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n įgis tokią formą , kur D 1 =n 2 −a·c.

Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 arba D 1 =D/4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 · n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
• Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
• Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite galimybę išspręsti pavyzdį naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x −32=0 .

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, čia a=5, n=-3 ir c=-32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x−6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0.

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje buvo galima supaprastinti lygtį 1100 x 2 −400 x −600=0, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju abi lygties pusės paprastai dalijamos iš absoliučių jo koeficientų verčių. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0.

Ir padauginus abi kvadratinės lygties puses paprastai atsisakoma trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties pusės yra padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6, tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4·x−18=0.

Apibendrinant šį punktą, pastebime, kad jie beveik visada atsikrato minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų narių ženklus, o tai atitinka abiejų pusių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai nuo kvadratinės lygties −2 x 2 −3 x+7=0 pereinama prie sprendinio 2 x 2 +3 x−7=0 .

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis per jos koeficientus. Remdamiesi šaknies formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vietos teoremos yra formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pažvelgę ​​į kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x + 22 = 0 formą, iš karto galime pasakyti, kad jos šaknų suma lygi 7/3, o šaknų sandauga lygi 22 /3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų jungčių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Pirmas lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019 m.)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats x) kvadratas, o trečiosios (ar didesnės) laipsnio x neturėtų būti.

Daugelio lygčių sprendimas yra kvadratinių lygčių sprendimas.

Išmokime nustatyti, kad tai yra kvadratinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis.

1 pavyzdys.

Atsikratykime vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkime iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus mažėjančia X galių tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad ten yra, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Žiūrėkite, ji sumažinta – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai visas kvadratines lygtis paprastai skirsto į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota- tai lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas!!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė lygtis, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Šis skirstymas nustatomas sprendimo metodais. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirmiausia sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Yra neišsamių kvadratinių lygčių tipai:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia, kad jūs turite žinoti ir visada atsiminti, kad tai negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės pusės. Juk prisimeni, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Oi! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kurios neturi šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia atsisakysime pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei šias.

Prisiminti, Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Kiti metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis naudojant šį metodą yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį. Ypatingą dėmesį reikia skirti žingsniui. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra lygties tipas, kuris vadinamas sumažinta (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - laisvas narys.

Kodėl? Nes jei lygtis iš karto tampa tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdės lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia pažvelkime į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galime išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užrašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Paskaičiuokime kairę lygties pusę ir raskime šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminantas

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote šaknį iš diskriminanto šaknų formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknis:
• Jei, tada lygtis turi tas pačias šaknis, o iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl galimas skirtingas šaknų skaičius? Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei, tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Išsirinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma yra lygi:

ir: jie duoda iš viso.

ir: jie duoda iš viso. Norint gauti, pakanka tiesiog pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma lygi jų modulių skirtumai.

Parinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą ir kurių skirtumas lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, šaknis su mažesniu moduliu turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys turi minuso ženklą.

Parinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vietos teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad naudotumėte jį, turite atlikti veiksmus automatiškai. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: suma turi būti lygi, o sandauga turi būti lygi.

Bet kadangi turi būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Turite perkelti visas sąlygas į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Gerai, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite vadovauti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia, kad pagrindinis koeficientas būtų lygus:

Puiku. Tada šaknų suma lygi ir sandaugai.

Čia pasirinkti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: juk tai pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas narys yra neigiamas. Kuo tai ypatinga? Ir faktas yra tas, kad šaknys turės skirtingus ženklus. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, o produktas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką daryti pirmiausia? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turėtų būti lygi, o tai reiškia, kad minuso šaknis bus didesnė.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik pateiktose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerandama tinkama laisvojo nario faktorių pora, tada nėra sveikų šaknų ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, turintys nežinomąjį, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu -, tada pakeitus kintamuosius, lygtis gali būti pateikta nepilnos kvadratinės lygties forma.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tau nieko neprimena? Tai yra diskriminacinis dalykas! Būtent taip mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė lygtis- tai formos lygtis, kur - nežinomasis, - kvadratinės lygties koeficientai, - laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis atrodo taip: ,
• jei yra laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis atrodo taip: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokime diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos kur lygtis) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Sprendimas pasirenkant pilną kvadratą