Tūrinių figūrų simetrija. Komutavimo simetrija, kuri susideda iš to, kad sukeitus identiškas daleles, pokyčių neįvyksta

Simetrijos apibrėžimas;

• Simetrijos apibrėžimas;

• Centrinė simetrija;

• Ašinė simetrija;

• Simetrija plokštumos atžvilgiu;

• Sukimosi simetrija;

• Veidrodinė simetrija;

• Panašumo simetrija;

• Augalų simetrija;

• Gyvūnų simetrija;

• Simetrija architektūroje;

• Ar žmogus yra simetriškas padaras?

• Žodžių ir skaičių simetrija;

SIMETRIJOS

• SIMETRIJOS- proporcingumas, vienodumas tarp kažko dalių išdėstymo priešingose ​​taško, tiesės ar plokštumos pusėse.

• (Ožegovo aiškinamasis žodynas)

• Taigi, geometrinis objektas laikomas simetrišku, jei su juo galima ką nors padaryti, o po to jis išliks nepakitęs.

APIE APIE APIE paskambino figūros simetrijos centras.

• Sakoma, kad figūra yra simetriška taško atžvilgiu APIE, jei kiekvienam figūros taškui yra taškas, simetriškas jo atžvilgiu APIE taip pat priklauso šiai figūrai. Taškas APIE paskambino figūros simetrijos centras.

apskritimas ir lygiagretainis apskritimo centras ). Tvarkaraštis nelyginė funkcija

Figūrų, turinčių centrinę simetriją, pavyzdžiai yra apskritimas ir lygiagretainis. Apskritimo simetrijos centras yra apskritimo centras, o lygiagretainio simetrijos centras yra jo įstrižainių susikirtimo taškas. Bet kuri tiesi linija taip pat turi centrinę simetriją ( bet kuris tiesės taškas yra jos simetrijos centras). Tvarkaraštis nelyginė funkcija simetriškas kilmei.

• Figūros, neturinčios simetrijos centro, pavyzdys yra savavališkas trikampis.

A A a paskambino figūros simetrijos ašis.

• Sakoma, kad figūra yra simetriška tiesei linijai A, jei kiekvienam figūros taškui yra simetriškas taškas tiesės atžvilgiu A taip pat priklauso šiai figūrai. Tiesiai a paskambino figūros simetrijos ašis.

Neapsuktame kampe viena simetrijos ašis kampo bisektorius viena simetrijos ašis trys simetrijos ašys dvi simetrijos ašys, o aikštė yra keturios simetrijos ašys y ašies atžvilgiu.

Neapsuktame kampe viena simetrijos ašis- tiesi linija, kurioje ji yra kampo bisektorius. Lygiašonis trikampis taip pat turi viena simetrijos ašis, o lygiakraštis trikampis yra trys simetrijos ašys. Turi stačiakampį ir rombą, kurie nėra kvadratai dvi simetrijos ašys, o aikštė yra keturios simetrijos ašys. Apskritimas turi begalinį jų skaičių. Lyginės funkcijos grafikas sudarytas yra simetriškas y ašies atžvilgiu.

• Yra figūrų, kurios neturi vienos simetrijos ašies. Tokie skaičiai apima lygiagretainis, išskyrus stačiakampį, skaleno trikampis.

Taškai A Ir A1 A A AA1 Ir statmenai A skaičiuoja simetriškas sau

Taškai A Ir A1 vadinami simetriškais plokštumos atžvilgiu A(simetrijos plokštuma), jei plokštuma A eina per segmento vidurį AA1 Ir statmenaiį šį segmentą. Kiekvienas plokštumos taškas A skaičiuoja simetriškas sau. Dvi figūros vadinamos simetriškomis plokštumos atžvilgiu (arba veidrodinėmis simetrinėmis santykinėmis), jei jos susideda iš porų simetriškų taškų. Tai reiškia, kad kiekvienam vienos figūros taškui simetriškas (santykinai) taškas yra kitoje figūroje.

Kūnas (arba figūra) turi sukimosi simetrija, jei sukant kampu 360º/n, kur n yra sveikas skaičius visiškai suderinamas

• Kūnas (arba figūra) turi sukimosi simetrija, jei sukant kampu 360º/n, kur n yra sveikas skaičius, šalia kokios nors tiesės AB (simetrijos ašies) tai visiškai suderinamas su savo pradine padėtimi.

• Radialinė simetrija- simetrijos forma, kuri išlieka, kai objektas sukasi aplink konkretų tašką ar liniją. Dažnai šis taškas sutampa su objekto svorio centru, tai yra tašku, kuriame susikerta begalinis skaičius simetrijos ašių. Panašūs objektai gali būti apskritimas, rutulys, cilindras ar kūgis.

Veidrodinė simetrija saisto bet ką

Veidrodinė simetrija saisto bet ką objektas ir jo atspindys plokščiame veidrodyje. Sakoma, kad viena figūra (arba kūnas) yra veidrodiškai simetriška kitai, jei jos kartu sudaro veidrodinę simetrišką figūrą (arba kūną). Simetriškai veidrodinės figūros, nepaisant visų savo panašumų, labai skiriasi viena nuo kitos. Dvi veidrodiškai simetriškos plokščios figūros visada gali būti dedamos viena ant kitos. Tačiau norint tai padaryti, reikia pašalinti vieną iš jų (arba abu) iš jų bendros plokštumos.

Panašumo simetrija lizdinės lėlės.

• Panašumo simetrija yra savotiški ankstesnių simetrijų analogai, vienintelis skirtumas yra tas, kad jie yra susiję su tuo pačiu metu sumažinus arba padidinus panašias figūros dalis ir atstumus tarp jų. Paprasčiausias tokios simetrijos pavyzdys yra lizdinės lėlės.

• Kartais figūros gali turėti skirtingus simetrijos tipus. Pavyzdžiui, kai kurios raidės turi sukimosi ir veidrodžio simetriją: IR, N, M, APIE, A.

• Yra daug kitų simetrijų tipų, kurie yra abstraktūs. Pavyzdžiui:

• Komutavimo simetrija, kuris susideda iš to, kad jei sukeičiamos identiškos dalelės, pokyčių neįvyksta;

• Matuoklio simetrijos prijungtas su mastelio keitimu. Negyvoje gamtoje simetrija pirmiausia atsiranda tokiame gamtos reiškinyje kaip kristalai, iš kurios susideda beveik visos kietosios medžiagos. Būtent tai lemia jų savybes. Ryškiausias kristalų grožio ir tobulumo pavyzdys yra gerai žinomas snaigė.

Visur susiduriame su simetrija: gamtoje, technikoje, mene, moksle. Simetrijos samprata apima visą šimtmečių senumo žmogaus kūrybiškumo istoriją. Simetrijos principai vaidina svarbų vaidmenį fizikos ir matematikos, chemijos ir biologijos, technologijų ir architektūros, tapybos ir skulptūros, poezijos ir muzikos srityse. Gamtos dėsniams taip pat galioja simetrijos principai.

simetrijos ašis.

• Daugelis gėlių turi įdomią savybę: jas galima pasukti taip, kad kiekvienas žiedlapis užimtų savo kaimyno padėtį, o gėlė susilygintų su savimi. Ši gėlė turi simetrijos ašis.

• Sraigtinė simetrija pastebėta lapų išsidėstymo ant daugumos augalų stiebų. Išilgai stiebo išsidėstę sraigtu, lapai tarsi išsiskleidžia į visas puses ir neužstoja vienas kito nuo šviesos, kuri yra nepaprastai reikalinga augalų gyvybei.

• Dvišalė simetrija Taip pat yra augalų organų, pavyzdžiui, daugelio kaktusų stiebuose. Dažnai randama botanikoje radialiai simetriškai išdėstytos gėlės.

skiriamoji linija.

• Gyvūnų simetrija reiškia dydžio, formos ir kontūro atitikimą, taip pat santykinį kūno dalių, esančių priešingose ​​pusėse, išdėstymą. skiriamoji linija.

• Pagrindiniai simetrijos tipai yra radialinis(radialinis) – jį turi dygiaodžiai, koelenteratai, medūzos ir kt.; arba dvišalis(dvipusis) - galime sakyti, kad kiekvienas gyvūnas (vabzdys, žuvis ar paukštis) susideda iš dviejų pusių- dešinė ir kairė.

• Sferinė simetrija pasitaiko radiolarijose ir saulažuvėse. Bet kokia plokštuma, nubrėžta per centrą, padalija gyvūną į lygias puses.

• Struktūros simetrija siejama su jos funkcijų organizavimu. Simetrijos plokštumos – pastato ašies – projekcija dažniausiai lemia pagrindinio įėjimo vietą ir pagrindinių transporto srautų pradžią.

• Kiekviena detalė simetriškoje sistemoje egzistuoja kaip dvigubas tavo privalomai porai, esantis kitoje ašies pusėje, ir dėl to gali būti laikomas tik visumos dalimi.

• Labiausiai paplitęs architektūroje veidrodinė simetrija. Jai pavaldūs Senovės Egipto pastatai ir senovės Graikijos šventyklos, amfiteatrai, pirtys, romėnų bazilikos ir triumfo arkos, Renesanso epochos rūmai ir bažnyčios, taip pat daugybė šiuolaikinės architektūros statinių.

akcentai

• Siekiant geriau atspindėti simetriją, pastatai dedami akcentai- ypač reikšmingi elementai (kupolai, bokštai, palapinės, pagrindiniai įėjimai ir laiptinės, balkonai ir erkeriai).

• Architektūros apdailai projektuoti naudojamas ornamentas - ritmiškai pasikartojantis raštas, pagrįstas simetriška jo elementų kompozicija ir išreikštas linija, spalva ar reljefu. Istoriškai keli ornamentų tipai susiformavo remiantis dviem šaltiniais – natūraliomis formomis ir geometrinėmis figūromis.

• Tačiau architektas visų pirma yra menininkas. Todėl net „klasikiškiausi“ stiliai buvo naudojami dažniau disimetrija– niuansuotas nukrypimas nuo grynosios simetrijos arba asimetrija- sąmoningai asimetriška konstrukcija.

• Niekas neabejos, kad išoriškai žmogus pastatytas simetriškai: kairė ranka visada atitinka dešinę ir abi rankos yra lygiai tokios pačios. Tačiau mūsų rankų, ausų, akių ir kitų kūno dalių panašumai yra tokie patys kaip tarp objekto ir jo atspindžio veidrodyje.

teisingai jo pusė grubūs bruožai būdingas vyriškai lyčiai. Kairė pusė

Tai parodė daugybė vyrų ir moterų veido parametrų matavimų teisingai jo pusė palyginti su kairiuoju, jis turi ryškesnius skersinius matmenis, todėl veidui suteikia daugiau grubūs bruožai būdingas vyriškai lyčiai. Kairė pusė veidas turi ryškesnius išilginius matmenis, o tai suteikia lygios linijos ir moteriškumas. Šis faktas paaiškina vyraujantį patelių norą prieš menininkus pozuoti kairiąja veido puse, o vyrų – dešine.

Palindromas

• Palindromas(iš gr. Palindromos – bėgimas atgal) – objektas, kuriame jo komponentų simetrija nurodyta nuo pradžios iki galo ir nuo pabaigos iki pradžios. Pavyzdžiui, frazė ar tekstas.

• Tiesus palindromo tekstas, skaitomas pagal įprastą tam tikro rašto skaitymo kryptį (dažniausiai iš kairės į dešinę), vadinamas stačiai, atvirkščiai – per roverį arba atvirkščiai(iš dešinės į kairę). Kai kurie skaičiai taip pat turi simetriją.

TREČIAS SKYRIUS

POLYhedra

V. ERDVINIŲ FIGŪRŲ SIMETRIJOS SAMPRATA

99. Centrinė simetrija. Sakoma, kad dvi figūros yra simetriškos tam tikro erdvės taško O atžvilgiu, jei kiekvienas vienos figūros taškas A atitinka kitos figūros tašką A, esantį tiesėje OA kitoje taško O pusėje atstumu, lygiu taško A atstumas nuo taško O (114 pav. Taškas O vadinamas). simetrijos centras figūros.

Tokių simetriškų figūrų erdvėje pavyzdį jau matėme (§ 53), kai, tęsdami daugiakampio kampo briaunas ir paviršius už viršūnės, gaudavome daugiakampį, simetrišką duotajam. Atitinkami segmentai ir kampai, sudarantys dvi simetriškas figūras, yra lygūs vienas kitam. Nepaisant to, figūros kaip visumos negali būti vadinamos lygiomis: jos negali būti sujungtos viena su kita dėl to, kad dalių tvarka vienoje figūroje skiriasi nuo kitos, kaip matėme simetriškų daugiakampių kampų pavyzdyje.

Kai kuriais atvejais simetriškas figūras galima derinti, tačiau jų nederančios dalys sutaps. Pavyzdžiui, paimkime statųjį trikampį kampą (115 pav.), kurio viršūnė yra taške O ir briaunos OX, OY, OZ.

Sukonstruokime simetrinį kampą OX"Y"Z". Kampą OXYZ galima derinti su OX"Y"Z" taip, kad briauna OX sutaptų su OY", o kraštinė OY sutampa su OX". Jei sujungsime atitinkamas briaunas OX su OX" ir OY su OY", tada briaunos OZ ir OZ" bus nukreiptos priešingomis kryptimis.

Jei simetriškos figūros kartu sudaro vieną geometrinį kūną, tai šis geometrinis kūnas turi simetrijos centrą. Taigi, jei duotas kūnas turi simetrijos centrą, tai kiekvienas šiam kūnui priklausantis taškas atitinka simetrišką tašką, taip pat priklausantį šiam kūnui. Iš mūsų nagrinėtų geometrinių kūnų simetrijos centras turi, pavyzdžiui: 1) gretasienį, 2) prizmę, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis su lyginiu kraštinių skaičiumi.

Taisyklingas tetraedras neturi simetrijos centro.

100. Simetrija plokštumos atžvilgiu. Dvi erdvinės figūros vadinamos simetriškomis plokštumos P atžvilgiu, jei kiekvienas taškas A vienoje figūroje atitinka tašką A kitoje, o atkarpa AA" yra statmena plokštumai P ir susikirtimo taške yra padalinta pusiau. šis lėktuvas.

Teorema. Bet kurie du atitinkami segmentai dviejose simetriškose figūrose yra lygūs vienas kitam.

Pateikiamos dvi figūros, simetriškos plokštumos P atžvilgiu. Pažymime du pirmos figūros taškus A ir B, tegul A" ir B" yra atitinkami antrosios figūros taškai (116 pav., figūros nėra parodyta brėžinyje).

Tegul toliau C yra atkarpos AA" susikirtimo taškas su plokštuma P, D yra atkarpos BB" susikirtimo taškas su ta pačia plokštuma. Sujungę taškus C ir D tiesia linija, gauname du keturkampius ABDC ir A"B"DC. Kadangi AC = A"C, BD = B"D ir
/ ACD = / A.C.D. / BDC = / "DC, kaip stačiakampiai, tada šie keturkampiai yra lygūs (tai lengvai patikrinama superpozicija). Vadinasi, AB = A"B". Iš šios teoremos iš karto išplaukia, kad dviejų figūrų atitinkamos plokštumos ir dvikampiai kampai, simetriški apie plokštuma yra lygios. Nepaisant to, neįmanoma sujungti šių dviejų figūrų viena su kita taip, kad jų atitinkamos dalys būtų sujungtos, nes dalių išdėstymo tvarka vienoje figūroje yra priešinga tai, kuri yra kitoje (tai bus turi būti įrodyta toliau, § 102).

Jei bet kurį geometrinį kūną galima padalyti į dvi dalis, kurios yra simetriškos tam tikros plokštumos atžvilgiu, tai ši plokštuma vadinama šio kūno simetrijos plokštuma.

Geometriniai kūnai su simetrijos plokštuma yra itin paplitę gamtoje ir kasdieniame gyvenime. Žmonių ir gyvūnų kūnas turi simetrijos plokštumą, padalijant ją į dešinę ir kairę dalis.

Šis pavyzdys ypač aiškiai parodo, kad simetriškos figūros negali būti derinamos. Taigi, dešinės ir kairės rankos rankos yra simetriškos, tačiau jų negalima derinti, tai matyti bent jau iš to, kad ta pati pirštinė negali tilpti tiek dešinei, tiek kairei rankai. Nemažai namų apyvokos daiktų turi simetrijos plokštumą: kėdė, valgomasis stalas, knygų spinta, sofa ir kt.. Kai kurie, pavyzdžiui, valgomojo stalas, turi net ne vieną, o dvi simetrijos plokštumas (117 pav.) .

Paprastai, svarstydami objektą, turintį simetrijos plokštumą, mes stengiamės jo atžvilgiu užimti tokią padėtį, kad mūsų kūno ar bent galvos simetrijos plokštuma sutaptų su paties objekto simetrijos plokštuma. Šiuo atveju. ypač išryškėja simetriška objekto forma.

101. Simetrija apie ašį. Antros eilės simetrijos ašis. Dvi figūros vadinamos simetriškomis l ašies atžvilgiu (ašis yra tiesi), jei kiekvienas pirmosios figūros taškas A atitinka antrosios figūros tašką A", taigi atkarpa AA" yra statmena l ašiai, kertasi su juo ir susikirtimo taške dalijamas pusiau. Pati l ašis vadinama antros eilės simetrijos ašimi.

Iš šio apibrėžimo iš karto išplaukia, kad jei du geometriniai kūnai, simetriški bet kuriai ašiai, susikerta su šiai ašiai statmena plokštuma, tai atkarpoje gauname dvi plokščias figūras, simetriškas plokštumos susikirtimo taškui su ašimi. kūnų simetrija.

Iš čia dar lengva daryti išvadą, kad du kūnai, kurie yra simetriški apie ašį, gali būti sujungti vienas su kitu, vieną iš jų pasukant 180° aplink simetrijos ašį. Tiesą sakant, įsivaizduokime visas įmanomas plokštumas, statmenas simetrijos ašiai.

Kiekvienoje tokioje plokštumoje, kertančioje abu kūnus, yra figūros, kurios yra simetriškos taško, kuriame plokštuma susikerta su kūnų simetrijos ašimi, atžvilgiu. Jei priverčiate pjovimo plokštumą slysti savaime, pasukdami ją aplink kūno simetrijos ašį 180°, tada pirmoji figūra sutampa su antrąja.

Tai galioja bet kuriai pjovimo plokštumai. Visų kūno dalių pasukimas 180° yra lygus viso kūno pasukimui 180° aplink simetrijos ašį. Štai čia išplaukia mūsų teiginio pagrįstumas.

Jei, pasukus erdvinę figūrą aplink tam tikrą tiesę 180°, ji sutampa su savimi, tada sakoma, kad figūra turi šią tiesę kaip antros eilės simetrijos ašį.

Pavadinimas „antros eilės simetrijos ašis“ paaiškinamas tuo, kad viso apsisukimo metu aplink šią ašį kūnas sukimosi procese du kartus užims padėtį, sutampančią su pradine (įskaitant pradinę). Geometrinių kūnų, turinčių antrosios eilės simetrijos ašį, pavyzdžiai:
1) taisyklinga piramidė su lyginiu šoninių paviršių skaičiumi; jo simetrijos ašis yra jos aukštis;
2) stačiakampis gretasienis; jis turi tris simetrijos ašis: tiesias linijas, jungiančias priešingų paviršių centrus;
3) taisyklingoji prizmė su lyginiu šoninių paviršių skaičiumi. Jos simetrijos ašis yra kiekviena tiesi linija, jungianti bet kurios priešingų paviršių poros centrus (šoniniai paviršiai ir du prizmės pagrindai). Jei prizmės šoninių paviršių skaičius yra 2 k, tada tokių simetrijos ašių skaičius bus k+ 1. Be to, tokios prizmės simetrijos ašis yra kiekviena tiesė, jungianti jos priešingų šoninių kraštinių vidurio taškus. Prizmė turi tokias simetrijos ašis A.

Taigi teisingas yra 2 k- briaunuota prizmė turi 2 k+1 ašys, simetrija.

102. Priklausomybė tarp skirtingų simetrijos tipų erdvėje. Egzistuoja ryšys tarp skirtingų erdvės simetrijos tipų – ašinės, plokštumos ir centrinės – išreiškiamas tokia teorema.

Teorema. Jei figūra F yra simetriška figūrai F" plokštumos P atžvilgiu ir tuo pačiu metu simetriška figūrai F" taško O, esančio plokštumoje P, atžvilgiu, tada figūros F" ir F" yra simetriškos ašis, einanti per tašką O ir statmena plokštumai R.

Paimkime F figūros tašką A (118 pav.). Tai atitinka F paveikslo tašką A" ir F" paveikslo tašką A" (patys F, F ir F" paveikslai brėžinyje nepavaizduoti).

Tegu B yra atkarpos AA" ir plokštuma P susikirtimo taškas. Nubrėžkime plokštumą per taškus A, A" ir O. Ši plokštuma bus statmena plokštumai P, nes eina per tiesę AA" , statmena šiai plokštumai Plokštumoje AA"O brėžsime tiesę OH, statmeną OB. Ši tiesė OH taip pat bus statmena plokštumai P. Toliau tegul C yra tiesių AA ir OH susikirtimo taškas.

Trikampyje AA"A"" atkarpa BO jungia kraštinių AA" ir AA vidurio taškus, todėl BO || A"A", bet BO_|_OH, o tai reiškia AA"_|_OH Be to O yra vidurio taško kraštinės AA", o CO || AA", tada A"C = A"C. Iš čia darome išvadą, kad taškai A" ir A" yra simetriški OH ašies atžvilgiu. Tas pats pasakytina ir apie visus kitus figūros taškus. Tai reiškia, kad mūsų teorema Iš šios teoremos iš karto išplaukia, kad dvi figūros, kurios yra simetriškos plokštumos atžvilgiu, negali būti sujungtos taip, kad jų atitinkamos dalys būtų sujungtos su F“ sukant aplink ašį OH 180 ° Tačiau figūros F" ir F negali būti sujungtos. kadangi simetriškos taško atžvilgiu, todėl figūros F ir F" taip pat negali būti sujungtos.

103. Aukštesnių laipsnių simetrijos ašys. Figūra, turinti simetrijos ašį, susilygiuoja su savimi po to, kai apsisuka aplink simetrijos ašį 180° kampu. Tačiau galimi atvejai, kai figūra susilygiuoja su pradine padėtimi, pasukus aplink tam tikrą ašį mažesniu nei 180° kampu. Taigi, jei kūnas visiškai apsisuka aplink šią ašį, tada sukimosi metu jis kelis kartus susilygiuos su pradine padėtimi. Tokia sukimosi ašis vadinama aukštesnės eilės simetrijos ašimi, o kūno padėčių, kurios sutampa su pradine, skaičius – simetrijos ašies tvarka. Ši ašis gali nesutapti su antros eilės simetrijos ašimi. Taigi taisyklinga trikampė piramidė neturi antros eilės simetrijos ašies, tačiau jos aukštis jai tarnauja kaip trečios eilės simetrijos ašis. Tiesą sakant, pasukus šią piramidę aplink aukštį 120° kampu, ji susilygiuoja su savimi (119 pav.).

Kai piramidė sukasi aplink aukštį, ji gali užimti tris pozicijas, kurios sutampa su pradine, įskaitant pradinę. Nesunku pastebėti, kad kiekviena lygios eilės simetrijos ašis kartu yra ir antros eilės simetrijos ašis.

Aukštesnės eilės simetrijos ašių pavyzdžiai:

1) Teisingai n- anglies piramidė turi simetrijos ašį n– įsakymas. Ši ašis yra piramidės aukštis.

2) Teisingai n- anglies prizmė turi simetrijos ašį n– įsakymas. Ši ašis yra tiesi linija, jungianti prizmės pagrindų centrus.

104. Kubo simetrija. Kaip ir bet kurio gretasienio, kubo įstrižainių susikirtimo taškas yra jo simetrijos centras.

Kubas turi devynias simetrijos plokštumas: šešias įstrižaines plokštumas ir tris plokštumas, kertančias kiekvieno keturių lygiagrečių kraštinių vidurio taškus.

Kubas turi devynias antros eilės simetrijos ašis: šešias tieses, jungiančias priešingų jo briaunų vidurio taškus, ir tris tieses, jungiančias priešingų veidų centrus (120 pav.).

Šios paskutinės tiesios linijos yra ketvirtos eilės simetrijos ašys. Be to, kubas turi keturias trečios eilės simetrijos ašis, kurios yra jo įstrižainės. Tiesą sakant, kubo AG įstrižainė (120 pav.) akivaizdžiai vienodai pasvirusi į kraštines AB, AD ir AE, ir šios briaunos yra vienodai pasvirusios viena į kitą. Jei sujungsime taškus B, D ir E, gausime taisyklingą trikampę piramidę ADBE, kurios aukštis yra kubo AG įstrižainė. Kai ši piramidė susilygiuoja su savimi, kai sukasi aplink aukštį, visas kubas susilygiuos su pradine padėtimi. Kaip nesunku pastebėti, kubas neturi kitų simetrijos ašių. Pažiūrėkime, kiek skirtingų būdų kubas gali būti derinamas su savimi. Sukimasis aplink įprastą simetrijos ašį suteikia vieną kubo padėtį, skirtingą nuo pradinės, kurioje visas kubas sulygiuotas su savimi.

Sukant aplink trečios eilės ašį gaunamos dvi tokios padėties, o sukant aplink ketvirtos eilės ašį – trys tokios padėties. Kadangi kube yra šešios antros eilės ašys (tai paprastos simetrijos ašys), keturios trečios eilės ašys ir trys ketvirtos eilės ašys, yra 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 kubo padėtys, skiriasi nuo originalaus, kuriame jis derinamas su savimi.

Nesunku tiesiogiai patikrinti, ar visos šios pozicijos skiriasi viena nuo kitos, taip pat ir nuo pradinės kubo padėties. Kartu su pradine padėtimi jie sudaro 24 būdus, kaip sujungti kubą su savimi.

„Simetrijos taškas“ - tokia figūra turi centrinę simetriją. Sukimosi simetrija. Visos kietosios medžiagos yra pagamintos iš kristalų. Taškas O vadinamas simetrijos centru. Simetrija gamtoje. Plokštuminių figūrų simetrijos pavyzdžiai. Lygiagretainis turi tik centrinę simetriją. Tiesi prizmė turi veidrodinę simetriją. Pirmiau minėtų simetrijos tipų pavyzdžiai.

„Centrinė simetrija geometrijoje“ – kuris taškas centrinės simetrijos metu virsta savimi. Nubrėžkite trikampį, simetrišką trikampiui OAB. Ar lygiagretainis turi simetrijos centrą? Savybės. Kurie taškai vadinami simetriniais taško atžvilgiu. Nubrėžkite trikampį A'B'C', simetrišką trikampiui ABC. Tiesios linijos su centrine simetrija transformuojasi į save.

„Centrinė simetrija“ – Centrinės simetrijos savybės. Simetrija mene. Simetrijos pavyzdžiai architektūroje. Centrinė simetrija yra judėjimas (izometrija). TRIMATE ERDVĖJE Centrinė simetrija trimatėje erdvėje dar vadinama sferine simetrija. Gėlių ir augalų simetrijos rūšys.

"Simetrija apie tašką ir liniją" - Pagalvok! Figūros simetrija apie tašką. Užduotys. Užduotis Sukurkite tašką C1, simetrišką taškui C tiesės a atžvilgiu. AO = OA1. 4. Kalbėkite apie simetriją gamtoje. Ašinė ir centrinė simetrija. Simetrija koordinačių plokštumoje. Kurios iš šių raidžių turi simetrijos centrą? Kurios iš šių figūrų turi simetrijos ašį?

„Ašinė ir centrinė simetrija“ – ar jie turi simetrijos centrą: AO = BO, AB a Taškas C yra simetriškas sau pačiam tiesės a atžvilgiu. Taškai A ir M vadinami simetriškais taško O atžvilgiu, jei taškas O yra atkarpos AM vidurys. Centrinė simetrija. Ašinė simetrija. Tiesi linija a vadinama figūros simetrijos ašimi. Atkarpa, spindulys, susikertančių tiesių pora, kvadratas?

„Ašinė ir centrinė simetrija“ – 1) Kiek simetrijos ašių turi figūra? 7) Raskite objektą, kurio ašinė ir centrinė simetrija. Augalų simetrija. Geometriniai ornamentai. Simetrija gyvūnų pasaulyje. 4) Raskite figūras, turinčias simetrijos centrą ir ašinę simetriją. Simetrija architektūroje. 2) Raskite figūrą, kuri neturi centrinės simetrijos.

Iš viso yra 11 pristatymų

ERDVINIŲ FIGŪRŲ SIMETRIJOS

Pasak garsaus vokiečių matematiko G. Weylio (1885–1955), „simetrija yra idėja, per kurią žmogus šimtmečius bandė suvokti ir sukurti tvarką, grožį ir tobulumą“.
Gražius simetrijos vaizdus demonstruoja meno kūriniai: architektūra, tapyba, skulptūra ir kt.
Planimetrijos kurse buvo aptarta figūrų simetrijos plokštumoje samprata. Visų pirma buvo apibrėžtos centrinės ir ašinės simetrijos sąvokos. Erdvinėms figūroms simetrijos sąvoka apibrėžiama panašiai.
Pirmiausia pažvelkime į centrinę simetriją.
simetriškas taško atžvilgiu O paskambino simetrijos centras, jei O yra atkarpos AA vidurio taškas." Taškas O laikomas simetrišku sau pačiam.
Erdvės transformacija, kurioje kiekvienas taškas A susietas su jam simetrišku tašku A (duoto taško O atžvilgiu), vadinama centrinė simetrija. Taškas O vadinamas simetrijos centras.
Vadinamos dvi figūros Ф ir Ф centrinis simetriškas, jei yra simetrijos transformacija, kuri perkelia vieną iš jų į kitą.
Figūra vadinama centrinis simetriškas, jei jis yra centre simetriškas sau pačiam.
Pavyzdžiui, gretasienis yra centre simetriškas jo įstrižainių susikirtimo taškui. Rutulys ir rutulys yra centre simetriški apie savo centrus.
Iš taisyklingųjų daugiakampių kubas, oktaedras, ikosaedras ir dodekaedras yra centre simetriški. Tetraedras nėra centre simetriška figūra.
Panagrinėkime kai kurias centrinės simetrijos savybes.
1 nuosavybė. Jeigu O 1, O 2 yra figūros Ф simetrijos centrai, tada taškas O 3, simetriškas O 1 O 2 atžvilgiu taip pat yra šios figūros simetrijos centras.
Įrodymas. Tegu A yra erdvės taškas, A 2 – jam simetriškas taškas O atžvilgiu 2, A 1 – taškas simetriškas A 2, palyginti su O 1 ir A 3 – simetriškas taškas A 1, palyginti su O 2 (1 pav.).

Tada trikampiai O 2 O 1 A 1 ir O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 ir O 2 O 3 A yra lygūs. Todėl A ir A 3 simetriškas O 3 . Taigi, simetrija apie O 3 yra simetrijos O atžvilgiu kompozicija 2, O 1 ir O 2 . Vadinasi, esant šiai simetrijai, figūra F transformuojasi į save, t.y. O 3 yra figūros F simetrijos centras.

Pasekmė.Bet kuri figūra neturi simetrijos centro arba turi vieną simetrijos centrą, arba turi be galo daug simetrijos centrų

Tiesa, jei O 1, O 2 yra figūros Ф simetrijos centrai, tada taškas O 3, simetriškas O 1 O 2 atžvilgiu taip pat yra šios figūros simetrijos centras. Taip pat taškas O 4 simetriškas O 2 O 3 atžvilgiu taip pat yra figūros Ф simetrijos centras ir kt. Taigi šiuo atveju figūra Ф turi be galo daug simetrijos centrų.

Dabar panagrinėkime koncepciją ašinė simetrija.
Taškai A ir A" erdvėje vadinami simetriškas tiesei linijai a, paskambino simetrijos ašis, jei tiesus a eina per atkarpos AA vidurį ir yra statmena šiai atkarpai. Kiekvienas tiesės taškas a laikomas simetrišku sau pačiam.
Erdvės transformacija, kurioje kiekvienas taškas A yra susietas su tašku A, kuris yra jam simetriškas (duotos tiesės atžvilgiu a), skambino ašinė simetrija. Tiesiai ašiuo atveju jis vadinamas simetrijos ašis.
Dvi figūros vadinamos simetriškas tiesei linijai a, jei simetrijos transformacija apie šią tiesę vieną iš jų paverčia kita.
Figūra F erdvėje vadinama simetriškas tiesios atžvilgiu a, jei jis yra simetriškas sau.
Pavyzdžiui, stačiakampis gretasienis yra simetriškas tiesei linijai, einančia per priešingų veidų centrus. Dešinysis apskritas cilindras yra simetriškas savo ašiai, rutulys ir rutulys yra simetriški tiesioms linijoms, einančioms per jų centrus ir pan.
Kubas turi tris simetrijos ašis, einančias per priešingų veidų centrus, ir šešias simetrijos ašis, einasias per priešingų briaunų centrus.
Tetraedras turi tris simetrijos ašis, einančias per priešingų briaunų vidurio taškus.
Aštuonedras turi tris simetrijos ašis, einančias per priešingas viršūnes, ir šešias simetrijos ašis, einančias per priešingų briaunų vidurio taškus.
Ikozaedras ir dodekaedras turi penkiolika simetrijos ašių, einančių per priešingų briaunų vidurio taškus.
3 nuosavybė. Jeigua 1 , a 2 – figūros Ф simetrijos ašys, tada tiesėa 3, simetriškas a 1 giminaitis a 2 taip pat yra šios figūros simetrijos ašis.

Įrodymas yra panašus į 1 nuosavybės įrodymą.

4 nuosavybė.Jei dvi susikertančios statmenos tiesės erdvėje yra tam tikros figūros F simetrijos ašys, tai tiesė, einanti per susikirtimo tašką ir statmena šių linijų plokštumai, taip pat bus figūros F simetrijos ašis.
Įrodymas. Apsvarstykite koordinačių ašis O x, O y, O z. Simetrija apie O ašį x x, y, z) iki figūros Ф taško su koordinatėmis ( x, –y, –z). Panašiai simetrija aplink O ašį y verčia figūros tašką Ф su koordinatėmis ( x, –y, –z) iki figūros Ф taško su koordinatėmis (– x, –y, z) . Taigi šių simetrijų sudėtis paverčia figūros tašką Ф su koordinatėmis ( x, y, z) iki figūros Ф taško su koordinatėmis (– x, –y, z). Todėl O ašis z yra figūros F simetrijos ašis.

Pasekmė.Bet kuri figūra erdvėje negali turėti lyginio (ne nulinio) simetrijos ašių skaičiaus.
Iš tiesų, nustatykime kokią nors simetrijos ašį a. Jeigu b– simetrijos ašis, nesikerta a arba nekerta jo stačiu kampu, tada jam yra kita simetrijos ašis b', simetriškas atžvilgiu a. Jei simetrijos ašis b kryžiai a stačiu kampu, tada jam yra kita simetrijos ašis b', einanti per susikirtimo tašką ir statmena tiesių plokštumai a Ir b. Todėl, be simetrijos ašies a galimas lyginis arba begalinis simetrijos ašių skaičius. Taigi bendras lyginis (ne nulinis) simetrijos ašių skaičius yra neįmanomas.
Be aukščiau apibrėžtų simetrijos ašių, mes taip pat atsižvelgiame simetrijos ašis n– įsakymas, n 2 .
Tiesiai a paskambino simetrijos ašis n– įsakymas figūra Ф, jei sukant figūrą Ф aplink tiesią liniją a kampu figūra F derinama su savimi.

Akivaizdu, kad 2-osios eilės simetrijos ašis yra tiesiog simetrijos ašis.
Pavyzdžiui, teisingame n- anglies piramidė, tiesi linija, einanti per viršų ir pagrindo centrą, yra simetrijos ašis n– įsakymas.
Išsiaiškinkime, kokias simetrijos ašis turi taisyklingi daugiakampiai.
Kube yra trys 4-osios eilės simetrijos ašys, einančios per priešingų paviršių centrus, keturios 3-osios eilės simetrijos ašys, einančios per priešingas viršūnes, ir šešios 2-osios eilės simetrijos ašys, einančios per priešingų briaunų vidurio taškus.
Tetraedras turi tris antrosios eilės simetrijos ašis, einančias per priešingų briaunų vidurio taškus.
Ikozaedras turi šešias 5-osios eilės simetrijos ašis, einančias per priešingas viršūnes; dešimt 3 eilės simetrijos ašių, einančių per priešingų paviršių centrus, ir penkiolika 2-osios eilės simetrijos ašių, einančių per priešingų briaunų vidurio taškus.
Dodekaedras turi šešias 5-osios eilės simetrijos ašis, einančias per priešingų veidų centrus; dešimt 3 eilės simetrijos ašių, einančių per priešingas viršūnes, ir penkiolika 2 eilės simetrijos ašių, einančių per priešingų briaunų vidurio taškus.
Panagrinėkime koncepciją veidrodinė simetrija.
Taškai A ir A" erdvėje vadinami simetriškas plokštumos atžvilgiu arba, kitaip tariant, veidrodis simetriškas, jei ši plokštuma eina per atkarpos AA" vidurį ir yra jai statmena. Kiekvienas plokštumos taškas laikomas simetrišku sau pačiam.
Erdvės transformacija, kurioje kiekvienas taškas A yra susietas su tašku A, kuris yra jam simetriškas (duotos plokštumos atžvilgiu), vadinamas veidrodinė simetrija. Lėktuvas vadinamas simetrijos plokštuma.
Dvi figūros vadinamos veidrodis simetriškas plokštumos atžvilgiu, jei simetrijos transformacija šios plokštumos atžvilgiu vieną iš jų paverčia kita.
Figūra F erdvėje vadinama veidrodis simetriškas, jei jis yra veidrodinis simetriškas sau.
Pavyzdžiui, stačiakampis gretasienis yra veidrodinis simetriškas plokštumos, einančios per simetrijos ašį, ir lygiagrečios vienai iš priešingų paviršių porų. Cilindras yra veidrodiškai simetriškas bet kurios plokštumos, einančios per jo ašį, atžvilgiu ir kt.
Tarp įprastų daugiakampių kubas ir oktaedras turi devynias simetrijos plokštumas. Tetraedras turi šešias simetrijos plokštumas. Ikozaedras ir dodekaedras turi penkiolika simetrijos plokštumų, einančių per priešingų briaunų poras.
5 nuosavybė. Dviejų veidrodinių simetrijų apie lygiagrečias plokštumas kompozicija yra lygiagretus vertimas į vektorių, statmeną šioms plokštumoms ir dydžiu lygus dvigubam atstumui tarp šių plokštumų.
Pasekmė. Lygiagretus transportas gali būti laikomas dviejų veidrodinių simetrijų kompozicija.
6 nuosavybė. Dviejų veidrodinių simetrijų sudėtis, palyginti su plokštumomis, susikertančiomis tiesia linija, yra sukimasis aplink šią tiesę kampu, lygiu du kartus dvikampio kampo tarp šių plokštumų. Visų pirma, ašinė simetrija yra dviejų veidrodinių simetrijų apie statmenas plokštumas kompozicija.
Pasekmė. Sukimas gali būti laikomas dviejų veidrodinių simetrijų kompozicija.
7 nuosavybė. Centrinė simetrija gali būti pavaizduota kaip trijų veidrodinių simetrijų kompozicija.
Įrodykime šią savybę koordinačių metodu. Tegul taškas A erdvėje turi koordinates ( x, y, z). Veidrodinė simetrija koordinačių plokštumos atžvilgiu keičia atitinkamos koordinatės ženklą. Pavyzdžiui, veidrodinė simetrija apie O plokštumą xy verčia tašką su koordinatėmis ( x, y, z) į tašką su koordinatėmis ( x, y, –z). Trijų veidrodinių simetrijų sudėtis koordinačių plokštumų atžvilgiu paverčia tašką su koordinatėmis ( x, y, z) į tašką su koordinatėmis (– x, –y, –z), kuris yra centre simetriškas pradiniam taškui A.
Judesiai, paverčiantys figūrą F į save, sudaro grupę kompozicijos atžvilgiu. Tai vadinama simetrijos grupė F figūros
Raskime kubo simetrijos grupės tvarką.
Akivaizdu, kad bet koks judesys, perkeliantis kubą į save, palieka kubo centrą vietoje, veidų centrus perkelia į veidų centrus, briaunų vidurio taškus į briaunų vidurius, o viršūnes – į viršūnes.
Taigi, norint nurodyti kubo judėjimą, pakanka nustatyti, kur eina veido centras, šio veido krašto vidurys ir krašto viršūnė.
Panagrinėkime kubo padalijimą į tetraedrus, kurių kiekvienos viršūnės yra kubo centras, veido centras, šio veido krašto vidurys ir krašto viršūnė. Tokių tetraedrų yra 48, kadangi judėjimą visiškai lemia tai, į kurią tetraedrą paverčiamas duotas tetraedras, kubo simetrijų grupės tvarka bus lygi 48.
Panašiai randamos tetraedro, oktaedro, ikosaedro ir dodekaedro simetrijos grupių eilės.
Raskime vienetinio apskritimo S simetrijos grupę 1 . Ši grupė žymima O(2). Tai begalinė topologinė grupė. Įsivaizduokime vieneto apskritimą kaip kompleksinių skaičių grupę modulo one. Yra natūralus epimorfizmas p:O(2) --> S 1 , kuris susieja grupės O(2) elementą u su elementu u(1) S 1 . Šio atvaizdavimo branduolys yra grupė Z 2 , kurią sukuria vienetinio apskritimo simetrija Ox ašies atžvilgiu. Todėl O(2)/Z 2S 1 . Be to, jei neatsižvelgsime į grupės struktūrą, tada yra O(2) ir tiesioginio produkto S homeomorfizmas. 1 ir Z 2.
Panašiai ir dvimatės sferos S simetrijos grupė 2 žymimas O(3), o jam yra izomorfizmas O(3)/O(2) S 2 .
Simetrijos n-mačių sferų grupės vaidina svarbų vaidmenį šiuolaikinėse topologijos šakose: kolektorių teorijoje, skaidulų erdvių teorijoje ir kt.
Viena ryškiausių simetrijos apraiškų gamtoje yra kristalai. Kristalų savybes lemia jų geometrinės struktūros ypatybės, ypač simetriškas atomų išsidėstymas kristalinėje gardelėje. Išorinės kristalų formos yra jų vidinės simetrijos pasekmė.
Pirmosios, dar miglotos prielaidos, kad atomai kristaluose išsidėstę taisyklingai, taisyklingai, simetriškai išsidėstę, buvo išreikštos įvairių gamtos mokslininkų darbuose jau tada, kai pati atomo samprata buvo neaiški ir nebuvo jokių eksperimentinių įrodymų materijos atominė struktūra. Simetriška išorinė kristalų forma netyčia pasiūlė idėją, kad vidinė kristalų struktūra turėtų būti simetriška ir taisyklinga. Išorinės kristalų formos simetrijos dėsniai buvo visiškai nustatyti XIX amžiaus viduryje, o iki šio amžiaus pabaigos buvo aiškiai ir tiksliai išvesti simetrijos dėsniai, kuriems taikomos kristalų atominės struktūros.
Matematinės kristalų struktūros teorijos įkūrėjas yra puikus rusų matematikas ir kristalografas - Evgrafas Stepanovičius Fiodorovas (1853-1919). Matematika, chemija, geologija, mineralogija, petrografija, kalnakasyba - E. S. Fiodorovas padarė didelį indėlį į kiekvieną iš šių sričių. 1890 metais jis griežtai matematiškai išvedė visus įmanomus geometrinius dėsnius simetrijos elementų derinimui kristalų struktūrose, kitaip tariant, dalelių išsidėstymo kristalų viduje simetriją. Paaiškėjo, kad tokių įstatymų skaičius ribotas. Fiodorovas parodė, kad yra 230 erdvės simetrijos grupių, kurios vėliau buvo pavadintos Fiodorovu mokslininko garbei. Tai buvo milžiniškos pastangos, padarytos likus 10 metų iki rentgeno spindulių atradimo, 27 metus prieš tai, kai jie buvo panaudoti pačios kristalinės gardelės egzistavimui įrodyti. 230 Fiodorovo grupių egzistavimas yra vienas iš svarbiausių šiuolaikinės struktūrinės kristalografijos geometrinių dėsnių. „Gigantiškas E. S. Fiodorovo žygdarbis, sugebėjęs sujungti visą natūralų „chaosą“ iš daugybės kristalų, vis dar kelia susižavėjimą Kristalų karalystė“ yra nepajudinamas paminklas ir aukščiausia klasikinės Fiodorovo kristalografijos viršūnė“, – sakė akademikas A.V. Šubnikovas.

Literatūra
1. Hadamard J. Elementarioji geometrija. II dalis. Stereometrija. – 3 leidimas. – M.: Uchpedgiz, 1958 m.
2. Weil G. Simetrija. – M.: Nauka, 1968 m.
3. Wigner E. Simetrijos tyrimai. – M.: Mir, 1971 m.
4. Gardner M. Šis dešinysis, kairysis pasaulis. – M.: Mir, 1967 m.
5. Gilde V. Veidrodinis pasaulis. – M.: Mir, 1982 m.
6. Kompaneets A.S. Simetrija mikro ir makrokosmose. – M.: Nauka, 1978 m.
7. Paramonova I.M. Simetrija matematikoje. – M.: MTsNMO, 2000 m.
8. Perepelkin D.I. Elementariosios geometrijos kursas. II dalis. Geometrija erdvėje. – M.-L.: Valstybinė leidykla. techninis-teorinis literatūra, 1949 m.
9. Sonin A.S. Tobulumo supratimas (simetrija, asimetrija, disimetrija, antisimetrija). – M.: Žinios, 1987 m.
10. Tarasovas L.V. Šis nuostabiai simetriškas pasaulis. – M.: Išsilavinimas, 1982 m.
11. Simetrijos raštai. – M.: Mir, 1980 m.
12. Šafranovskis I.I. Simetrija gamtoje. – 2 leidimas. – L.; 1985 m.
13. Šubnikovas A.V., Koptsikas V.A. Simetrija moksle ir mene. – M.: Nauka, 1972 m.

Simetrija siejama su harmonija ir tvarka. Ir dėl geros priežasties. Kadangi į klausimą, kas yra simetrija, yra atsakymas pažodinio vertimo iš senovės graikų kalbos forma. Ir pasirodo, kad tai reiškia proporcingumą ir nekintamumą. O kas gali būti tvarkingiau už griežtą vietos apibrėžimą? O ką galima pavadinti harmoningesniu už tai, kas griežtai atitinka dydį?

Ką reiškia simetrija skirtinguose moksluose?

Biologija. Svarbus simetrijos komponentas yra tai, kad gyvūnai ir augalai turi reguliariai išdėstytas dalis. Be to, šiame moksle nėra griežtos simetrijos. Visada yra tam tikra asimetrija. Ji pripažįsta, kad visumos dalys nesutampa visiškai tiksliai.

Fizika. Kūnų sistema ir jos pokyčiai aprašomi naudojant lygtis. Juose yra simetriškų komponentų, o tai supaprastina visą sprendimą. Tai pasiekiama ieškant konservuotų kiekių.

Matematika.Čia iš esmės paaiškinama, kas yra simetrija. Be to, jai suteikiama didesnė reikšmė geometrijoje. Čia simetrija yra galimybė parodyti figūrose ir kūnuose. Siaurąja prasme tai reiškia tiesiog veidrodinį vaizdą.

Kaip skirtingi žodynai apibrėžia simetriją?

Kad ir į kurį iš jų žiūrėtume, visur atsiras žodis „proporcingumas“. Dahlyje taip pat galima įžvelgti tokį aiškinimą kaip vienodumas ir lygybė. Kitaip tariant, simetriškas reiškia tą patį. Taip pat sakoma, kad tai, ko nėra, atrodo įdomiau.

Paklaustas, kas yra simetrija, Ožegovo žodyne jau kalbama apie dalių padėties vienodumą taško, tiesės ar plokštumos atžvilgiu.

Ušakovo žodyne taip pat minimas proporcingumas, taip pat visiškas dviejų visumos dalių atitikimas viena kitai.

Kada mes kalbame apie asimetriją?

Priešdėlis „a“ paneigia pagrindinio daiktavardžio reikšmę. Todėl asimetrija reiškia, kad elementų išdėstymas neatitinka tam tikro modelio. Jame nėra nekintamumo.

Šis terminas vartojamas tais atvejais, kai dvi daikto pusės nėra visiškai identiškos. Dažniausiai jie visai nepanašūs.

Gyvoje gamtoje asimetrija vaidina svarbų vaidmenį. Be to, tai gali būti ir naudinga, ir žalinga. Pavyzdžiui, širdis dedama į kairę krūtinės pusę. Dėl šios priežasties kairysis plautis yra žymiai mažesnis. Bet tai būtina.

Apie centrinę ir ašinę simetriją

Matematikoje išskiriami šie tipai:

• centrinis, tai yra, padarytas vieno taško atžvilgiu;
• ašinis, kuris stebimas šalia tiesios linijos;
• veidrodinis, jis pagrįstas atspindžiais;
• perdavimo simetrija.

Kas yra ašis ir simetrijos centras? Tai taškas arba linija, kurios atžvilgiu bet kuris kūno taškas gali rasti kitą. Be to, toks, kad atstumas nuo originalo iki gauto atstumas būtų padalintas per pusę iš simetrijos ašies arba centro. Kai šie taškai juda, jie apibūdina identiškas trajektorijas.

Tais atvejais, kai reikia rasti simetrijos centrą, turite elgtis taip. Jei yra dvi figūros, raskite jų vienodus taškus ir sujunkite juos su atkarpa. Tada padalinkite per pusę. Kai yra tik viena figūra, gali padėti žinios apie jos savybes. Dažnai šis centras sutampa su įstrižainių arba aukščių susikirtimo tašku.

Kokios formos yra simetriškos?

Geometrinės figūros gali turėti ašinę arba centrinę simetriją. Bet tai nėra būtina sąlyga, yra daug objektų, kurie jos visai neturi. Pavyzdžiui, lygiagretainis turi centrinį, bet neturi ašinio. Tačiau nelygiašonės trapecijos ir trikampiai visiškai neturi simetrijos.

Jei atsižvelgiama į centrinę simetriją, yra gana daug figūrų, turinčių ją. Tai atkarpa ir apskritimas, lygiagretainis ir visi taisyklingi daugiakampiai, kurių kraštinių skaičius dalijasi iš dviejų.

Atkarpos (taip pat apskritimo) simetrijos centras yra jo centras, o lygiagretainiui jis sutampa su įstrižainių sankirta. Taisyklingų daugiakampių atveju šis taškas taip pat sutampa su figūros centru.

Jei figūroje galima nubrėžti tiesią liniją, išilgai kurią ją galima sulankstyti, o abi pusės sutampa, tada ji (tiesioji linija) bus simetrijos ašis. Įdomu tai, kiek simetrijos ašių turi skirtingos formos.

Pavyzdžiui, smailus arba bukas kampas turi tik vieną ašį, kuri yra jo pusiausvyra.

Jei jums reikia rasti lygiašonio trikampio ašį, turite nubrėžti aukštį iki jos pagrindo. Linija bus simetrijos ašis. Ir tik vienas. O lygiakraštyje jų bus iš karto trys. Be to, trikampis taip pat turi centrinę simetriją aukščių susikirtimo taško atžvilgiu.

Apskritimas gali turėti begalinį skaičių simetrijos ašių. Bet kuri tiesi linija, einanti per jos centrą, gali atlikti šį vaidmenį.

Stačiakampis ir rombas turi dvi simetrijos ašis. Pirmajame jie eina per šonų vidurius, o antrajame - sutampa su įstrižais.

Kvadratas sujungia dvi ankstesnes figūras ir vienu metu turi 4 simetrijos ašis. Jie yra tokie patys kaip rombas ir stačiakampis.