Erdvės simetrija. Simetrija fizikoje

6 skaidrė

Centrinė simetrija yra erdvės susiejimas su savimi, kai bet kuris taškas M patenka į tašką M1, simetrišką jam nurodyto centro O atžvilgiu.

7 skaidrė

8 skaidrė

9 skaidrė

Figūros su centrine simetrija

10 skaidrė

Art. Sokol metro stotis

11 skaidrė

Art. Rimskaya metro stotis

12 skaidrė

Kultūros paviljonas, Visos Rusijos parodų centras

13 skaidrė

.Apie

14 skaidrė

Ašinė simetrija

15 skaidrė

Ašinė simetrija su a ašimi yra erdvės susiejimas su savimi, kai bet kuris taškas M patenka į tašką M1, simetrišką jam a ašies atžvilgiu. Ašinė simetrija yra judėjimas. a Ašinė simetrija M M1

16 skaidrė

Х y Z О M(x;y;z) M1(x1;y1;z1) Įrodykime, kad ašinė simetrija yra judėjimas. Norėdami tai padaryti, įvedame stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz, kad Oz ašis sutaptų su simetrijos ašimi, ir nustatome ryšį tarp dviejų taškų M(x;y;z) ir M1(x1;y1 ;z1) koordinačių. simetriškas Ozo ašies atžvilgiu. Jei taškas M nėra ant Ozo ašies, tai Oz ašis: 1) eina per atkarpos MM1 vidurį ir 2) yra statmena jam. Iš pirmosios sąlygos, naudojant atkarpos vidurio koordinačių formules, gauname (x+x1)/2=0 ir (y+y1)/2=0, iš kur x1=-x ir y1=-z . Antroji sąlyga reiškia, kad taškų M ir M1 aplikacijos yra lygios: z1=z. Įrodymas

17 skaidrė

Įrodymas

Dabar panagrinėkime bet kuriuos du taškus A(x1;y1;z1) ir B(x2;y2;z2) ir įrodykime, kad atstumas tarp jiems simetriškų taškų A1 ir B1 yra lygus AB. Taškai A1 ir B1 turi koordinates A1(-x1;-y1;-z1) ir B1(-x1;-y1;-z1) Naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę randame: AB=\/(x2-x1) ²+(y2 -y1)²+(z2-z1), A1B1=\/(-x2+x1)²+(-y2+y1)²+(-z2+z1). Iš šių ryšių aišku, kad AB = A1B1, ką ir reikėjo įrodyti.

18 skaidrė

Taikymas

Ašinė simetrija yra labai paplitusi. Jį galima pamatyti ir gamtoje: augalų ar gėlių lapuose, gyvūnų, vabzdžių ir net žmonių kūne, ir paties žmogaus kūryboje: pastatuose, automobiliuose, technikoje ir dar daugiau.

19 skaidrė

20 skaidrė

Ašinės simetrijos taikymas gyvenime

Architektūriniai pastatai

21 skaidrė

Snaigės ir žmogaus kūnas

22 skaidrė

Eifelio bokšto pelėda

23 skaidrė

Kas gali būti panašesnis į mano ranką ar ausį, nei į jų pačių atspindį veidrodyje? Ir vis dėlto rankos, kurią matau veidrodyje, negalima pakeisti tikrosios rankos vietoje. Emmanuelis Kantas Veidrodinė simetrija

24 skaidrė

Tūrinės figūros atvaizdavimas, kuriame kiekvienas jos taškas atitinka tam tikros plokštumos atžvilgiu jai simetrišką tašką, vadinamas tūrinės figūros atspindžiu šioje plokštumoje (arba veidrodine simetrija).

25 skaidrė

1 teorema. Atspindėjimas plokštumoje išsaugo atstumus, todėl yra judėjimas 2. Judėjimas, kuriame visi tam tikros plokštumos taškai yra nejudantys, yra atspindys šioje plokštumoje arba veidrodinė simetrija apibrėžiama nurodant vieną pora atitinkamų taškų, kurie nėra simetrijos plokštumoje: simetrijos plokštuma eina per atkarpos, jungiančios šiuos taškus, vidurį, statmeną jai.

26 skaidrė

Įrodykime, kad veidrodinė simetrija yra judėjimas. Norėdami tai padaryti, įvesime stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz, kad Oxy plokštuma sutaptų su simetrijos plokštuma, ir nustatome ryšį tarp dviejų taškų M(x; y; z) koordinačių. ir M1(x1; y1; z1), simetriškas Oxy plokštumos atžvilgiu.

27 skaidrė

Jei taškas M nėra Oxy plokštumoje, tai ši plokštuma: 1) eina per atkarpos MM1 vidurį ir 2) yra statmena jam. Iš pirmosios sąlygos, naudojant atkarpos vidurio koordinačių formulę, gauname (z+z1)/2=0, iš kur z1=-z. Antroji sąlyga reiškia, kad atkarpa MM1 yra lygiagreti Ozo ašiai, ir. todėl x1=x, y1=y. M slypi Oxy plokštumoje. Dabar panagrinėkime du taškus A (x1;y1;z1) ir B (x2;y2;z2) ir įrodykime, kad atstumas tarp jų simetriškų taškų A1(x1;y1;-z1) ir B (x2;y2;-z2) ). Naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę, randame: AB = kvadratinė šaknis iš (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2, A1B1 = kvadratinė šaknis iš (x2-x1)2 +(y2-y1 )2+(-z2-z1)2. Iš šių santykių aišku, ką reikėjo įrodyti.

28 skaidrė

Simetrija erdvės plokštumos atžvilgiu (veidrodinė simetrija) yra judėjimas, o tai reiškia, kad ji turi visas judėjimo savybes: tiesią paverčia tiesia linija, plokštumą plokštuma. Be to, tai erdvės transformacija, kuri sutampa su jos atvirkštine verte: dviejų simetrijų sudėtis tos pačios plokštumos atžvilgiu yra identiška transformacija. Esant simetrijai apie plokštumą, visi šios plokštumos taškai ir tik jie lieka vietoje (fiksuoti transformacijos taškai). Tiesios linijos, esančios simetrijos plokštumoje ir statmenos jai, transformuojasi į save. Plokštumos, statmenos simetrijos plokštumai, taip pat transformuojasi į save. Simetrija plokštumos atžvilgiu yra antrosios rūšies judėjimas (pakeičia tetraedro orientaciją).

29 skaidrė

Rutulys yra simetriškas bet kurios ašies, einančios per jo centrą, atžvilgiu.

30 skaidrė

Dešinysis apskritas cilindras yra simetriškas bet kurios plokštumos, einančios per jo ašį, atžvilgiu.

31 skaidrė

Taisyklinga n kampų piramidė net n yra simetriška bet kurios plokštumos, einančios per jos aukštį ir didžiausią pagrindo įstrižainę, atžvilgiu.

32 skaidrė

Paprastai manoma, kad veidrodyje pastebėtas dvigubas yra tiksli paties objekto kopija. Iš tikrųjų tai nėra visiškai tiesa. Veidrodis ne tik kopijuoja objektą, bet ir sukeičia (pertvarko) priekinę ir galinę objekto dalis veidrodžio atžvilgiu. Palyginti su pačiu objektu, jo veidrodinis dvynys yra „apverstas“ pagal kryptį, statmeną veidrodžio plokštumai. Šis efektas aiškiai matomas viename paveikslėlyje, o kitoje beveik nematomas.

33 skaidrė

Tarkime, kad viena objekto pusė yra dviguba veidrodinė dalis kitos pusės atžvilgiu. Toks objektas vadinamas veidrodiniu simetrišku. Jis transformuojasi į save, kai atsispindi atitinkamoje veidrodžio plokštumoje. Ši plokštuma vadinama simetrijos plokštuma.

Šimtmečius simetrija išliko tema, kuri žavėjo filosofus, astronomus, matematikus, menininkus, architektus ir fizikus. Senovės graikai buvo visiškai jo apsėsti – ir net šiandien mes linkę susidurti su simetrija visame kame – nuo ​​baldų išdėstymo iki kirpimo.

Tiesiog atminkite, kad kai tai suprasite, greičiausiai patirsite didžiulį norą ieškoti simetrijos visame kame, ką matote.

(Iš viso 10 nuotraukų)

Pašto rėmėjas: programa, skirta muzikos atsisiuntimui iš „VKontakte“: Naujoji programos „Catch in Contact“ versija suteikia galimybę lengvai ir greitai atsisiųsti muziką ir vaizdo įrašus, kuriuos vartotojai paskelbė iš garsiausio socialinio tinklo vkontakte.ru puslapių.

1. Romanesco brokoliai

Galbūt parduotuvėje pamatėte brokolius Romanesco ir manėte, kad tai dar vienas genetiškai modifikuoto produkto pavyzdys. Tačiau iš tikrųjų tai dar vienas gamtos fraktalinės simetrijos pavyzdys. Kiekvienas brokolių žiedynas turi logaritminį spiralės raštą. Romanesco savo išvaizda panašus į brokolius, o skoniu ir konsistencija – į žiedinį kopūstą. Jame gausu karotinoidų, taip pat vitaminų C ir K, todėl tai ne tik gražus, bet ir sveikas maistas.

Tūkstančius metų žmonės stebėjosi tobula šešiakampe korių forma ir klausė savęs, kaip bitės gali instinktyviai sukurti formą, kurią žmonės galėtų atkurti tik su kompasu ir liniuote. Kaip ir kodėl bitėms kyla aistra kurti šešiakampius? Matematikai mano, kad tai ideali forma, leidžianti sukaupti maksimalų įmanomą medaus kiekį naudojant minimalų vaško kiekį. Bet kuriuo atveju, visa tai yra gamtos produktas, ir tai yra velniškai įspūdinga.

3. Saulėgrąžos

Saulėgrąžos gali pasigirti radialine simetrija ir įdomiu simetrijos tipu, žinomu kaip Fibonačio seka. Fibonačio seka: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ir kt. (kiekvienas skaičius nustatomas pagal dviejų ankstesnių skaičių sumą). Jei neskubėtume ir suskaičiuotume sėklų skaičių saulėgrąžoje, pamatytume, kad spiralių skaičius auga pagal Fibonačio sekos principus. Gamtoje yra daug augalų (tarp jų ir Romanesco brokoliai), kurių žiedlapiai, sėklos ir lapai atitinka šią seką, todėl dobilą su keturiais lapais rasti taip sunku.

Tačiau kodėl saulėgrąžos ir kiti augalai laikosi matematinių taisyklių? Kaip ir šešiakampiai avilyje, viskas priklauso nuo efektyvumo.

4. Nautilus Shell

Be augalų, kai kurie gyvūnai, pavyzdžiui, Nautilus, seka Fibonačio seką. Nautilus apvalkalas susisuka į Fibonačio spiralę. Korpusas stengiasi išlaikyti tokią pat proporcingą formą, kuri leidžia išlaikyti ją visą gyvenimą (skirtingai nuo žmonių, kurie keičia proporcijas visą gyvenimą). Ne visi Nautilus turi Fibonacci apvalkalą, bet visi jie eina logaritmine spirale.

Prieš pavydėdami matematikos moliuskų, atminkite, kad jie to nedaro tyčia, tiesiog ši forma jiems yra racionaliausia.

5. Gyvūnai

Dauguma gyvūnų turi dvišalę simetriją, o tai reiškia, kad juos galima padalyti į dvi identiškas dalis. Netgi žmonės turi dvišalę simetriją, o kai kurie mokslininkai mano, kad žmogaus simetrija yra svarbiausias veiksnys, turintis įtakos mūsų grožio suvokimui. Kitaip tariant, jei turite vienpusį veidą, belieka tikėtis, kad tai kompensuos kitos gerosios savybės.

Kai kurie siekia visiškos simetrijos, norėdami pritraukti porą, pavyzdžiui, povą. Darvinas buvo teigiamai suerzintas dėl paukščio ir laiške rašė, kad „Pamačius povo uodegos plunksnas, kai tik į jį žiūriu, man darosi bloga! Darvinui uodega atrodė sudėtinga ir neturėjo evoliucinės prasmės, nes ji neatitiko jo teorijos apie „tvirčiausio išlikimą“. Jis buvo įsiutę, kol sugalvojo seksualinės atrankos teoriją, teigiančią, kad gyvūnai evoliucionuoja tam tikrus bruožus, kad padidintų jų poravimosi galimybes. Todėl povai turi įvairių pritaikymų, kad pritrauktų partnerį.

Yra apie 5000 vorų rūšių ir visi jie sukuria beveik tobulą apskritą tinklą su radialiniais atraminiais siūlais beveik vienodais atstumais ir spiraliniais tinklais grobiui gaudyti. Mokslininkai nėra tikri, kodėl vorams taip patinka geometrija, nes bandymai parodė, kad apvalus tinklas neprivilios maisto geriau nei netaisyklingos formos tinklas. Mokslininkai teigia, kad radialinė simetrija tolygiai paskirsto smūgio jėgą, kai grobis patenka į tinklą, todėl lūžta mažiau.

Padovanokite keliems apgavikams lentą, žoliapjoves ir tamsos saugumą, ir pamatysite, kad žmonės kuria ir simetriškas formas. Dėl dizaino sudėtingumo ir neįtikėtinos pasėlių apskritimų simetrijos, net ir ratų kūrėjams prisipažinus ir pademonstravus savo įgūdžius, daugelis žmonių vis dar tiki, kad juos sukūrė kosminiai ateiviai.

Kadangi apskritimai tampa sudėtingesni, jų dirbtinė kilmė tampa vis aiškesnė. Nelogiška manyti, kad ateiviai dar labiau apsunkins savo žinutes, kai net negalėjome iššifruoti pirmųjų.

Nepriklausomai nuo to, kaip jie atsirado, į javų apskritimus malonu žiūrėti, daugiausia dėl to, kad jų geometrija yra įspūdinga.

Net mažiems dariniams, tokiems kaip snaigės, taikomi simetrijos dėsniai, nes dauguma snaigių turi šešiakampę simetriją. Taip yra iš dalies dėl to, kaip vandens molekulės išsirikiuoja, kai jos kietėja (kristalizuojasi). Vandens molekulės tampa kietos susidarant silpniems vandeniliniams ryšiams, jos išsirikiuoja tvarkingai, subalansuojančiais traukos ir atstūmimo jėgas, suformuodamos šešiakampę snaigės formą. Bet tuo pačiu metu kiekviena snaigė yra simetriška, tačiau nė viena snaigė nėra panaši į kitą. Taip nutinka todėl, kad kiekviena snaigė, krintanti iš dangaus, patiria unikalias atmosferos sąlygas, dėl kurių jos kristalai tam tikru būdu išsidėsto.

9. Paukščių Tako galaktika

Kaip jau matėme, simetrijos ir matematiniai modeliai egzistuoja beveik visur, tačiau ar šie gamtos dėsniai apsiriboja mūsų planeta? Akivaizdu, kad ne. Neseniai buvo atrasta nauja atkarpa Paukščių Tako galaktikos pakraštyje, ir astronomai mano, kad galaktika yra beveik tobulas veidrodinis jos pačios vaizdas.

10. Saulės ir mėnulio simetrija

Atsižvelgiant į tai, kad Saulės skersmuo yra 1,4 milijono km, o Mėnulio – 3474 km, atrodo beveik neįmanoma, kad Mėnulis galėtų užblokuoti saulės šviesą ir kas dvejus metus pateikti apie penkis saulės užtemimus. Kaip tai veikia? Atsitiktinai, nors Saulė yra maždaug 400 kartų platesnė už Mėnulį, Saulė taip pat yra 400 kartų toliau. Simetrija užtikrina, kad Saulė ir Mėnulis būtų vienodo dydžio žiūrint iš Žemės, todėl Mėnulis gali uždengti Saulę. Žinoma, atstumas nuo Žemės iki Saulės gali padidėti, todėl kartais matome žiedinius ir dalinius užtemimus. Tačiau kas vienerius ar dvejus metus įvyksta tikslus lygiavimas ir mes esame įspūdingo įvykio, žinomo kaip visiškas saulės užtemimas, liudininkai. Astronomai nežino, kaip ši simetrija yra paplitusi tarp kitų planetų, tačiau mano, kad tai gana reta. Tačiau neturėtume manyti, kad esame ypatingi, nes viskas yra atsitiktinumo reikalas. Pavyzdžiui, kiekvienais metais Mėnulis nutolsta apie 4 cm nuo Žemės, o tai reiškia, kad prieš milijardus metų kiekvienas Saulės užtemimas būtų buvęs visiškas užtemimas. Jei viskas tęsis taip, visiški užtemimai ilgainiui išnyks, o tai lydės žiedinių užtemimų išnykimas. Pasirodo, mes tiesiog esame tinkamoje vietoje tinkamu laiku, kad pamatytume šį reiškinį.

§ 1 Kas yra simetrija

Citata iš šios pamokos bus garsaus mokslininko, kibernetikos kūrėjo Norberto Wienerio teiginys, kuris labai tiksliai išreiškia viską, apie ką šiandien bus kalbama.

„Aukščiausias matematikos tikslas yra rasti grožį, harmoniją ir tvarką mus supančiame chaose“.

Simetrija – vienas iš visatos harmoniją užtikrinančių dėsnių, apie tai šiandien kalbėsime ir plėsime sąvokas, kurios buvo supažindintos planimetrijos pamokose.

Kasdieninėje kalboje žodis simetrija vartojamas dviem reikšmėmis. Tam tikra prasme simetriškas reiškia kažką, kas yra gerai proporcinga, subalansuota, o simetrija reiškia tokią atskirų dalių darną, kuri jas sujungia į vieną visumą. Grožis glaudžiai susijęs su simetrija. Apie tai, pavyzdžiui, savo knygoje apie proporcijas kalba Polykleitas – skulptorius, kurio skulptūromis senovės žmonės žavėjosi dėl harmoningo tobulumo. Svarstyklių vaizdas yra natūrali grandis, vedanti į antrąją mūsų laikais vartojamo žodžio simetrija reikšmę: veidrodinė simetrija – kairės ir dešinės pusės simetrija, taip pastebima aukštesniųjų gyvūnų ir žmonių kūnų struktūroje.

Veidrodinė simetrija veikia kaip ypatingas geometrinės simetrijos sampratos atvejis, susijęs su tokiomis operacijomis kaip atspindys ar sukimas.

Pitagoriečiai tobuliausiomis geometrinėmis figūromis plokštumoje laikė apskritimą, o erdvėje – sferą dėl visiškos sukimosi simetrijos.

Simetrija plačiąja ar siaurąja prasme yra idėja, per kurią žmogus šimtmečius bando suvokti ir sukurti tvarką, grožį ir tobulumą. Taigi erdvės ir laiko savybės veda į simetriją, dėsningumą gamtoje kaip jos harmonijos apraišką

§ 2 Simetrija apie tašką

Planimetrijoje mes atsižvelgėme į figūras, kurios yra simetriškos taško ir tiesės atžvilgiu. Stereometrijoje atsižvelgiama į simetriją taško, tiesės ir plokštumos atžvilgiu.

Taškai A ir A1 vadinami simetriškais taško O atžvilgiu (simetrijos centras), jei O yra atkarpos AA1 vidurys. Taškas O laikomas simetrišku sau pačiam. Centrinės simetrijos pavyzdys būtų gėlė ar raštas

§ 3 Tiesios linijos simetrija

Taškai A ir A1 vadinami simetriškais tiesės a (simetrijos ašies) atžvilgiu, jei tiesė a eina per atkarpos AA1 vidurį ir yra statmena šiai atkarpai. Kiekvienas tiesės a taškas laikomas simetrišku sau pačiam.

Tokios simetrijos pavyzdį galima pamatyti ne tik gražiuose drugeliuose, bet net ir ištisuose pastatuose, pvz.

pavadinto Maskvos valstybinio universiteto pastatu. Lomonosovas,

Kristaus Išganytojo katedra,

mauzoliejus-mečetė Tadžmahalas.

§ 4 Simetrija apie plokštumą

Erdvinėje geometrijoje pridėkime simetriją plokštumos atžvilgiu.

Taškai A ir A1 vadinami simetriškais plokštumos α atžvilgiu (simetrijos plokštuma), jei plokštuma α eina per atkarpos AA1 vidurį ir yra statmena šiai atkarpai. Kiekvienas α plokštumos taškas laikomas simetrišku sau pačiam.

Studijuojant stereometriją galima kalbėti ir apie figūros centrą, ašį ir simetrijos plokštumą.

Taškas (tiesė, plokštuma) vadinamas figūros simetrijos centru (ašiu, plokštuma), jei kiekvienas figūros taškas yra simetriškas jo atžvilgiu tam tikram tos pačios figūros taškui. Jei figūra turi centrą (ašį, simetrijos plokštumą), tada sakoma, kad ji turi centrinę (ašinę, veidrodinę) simetriją.

Nuotraukose dabar galite pamatyti stačiakampį gretasienį, taip pat jo simetrijos centrą, simetrijos ašį, simetrijos plokštumą.

Gretasienis, kuris nėra stačiakampis, o yra tiesi prizmė, turi plokštumą (arba plokštumas, jei jos pagrindas yra rombas), ašį ir simetrijos centrą.

§ 5 Asimetrija

Figūra gali turėti vieną ar daugiau simetrijos centrų (ašių, simetrijos plokštumų). Pavyzdžiui, kubas turi tik vieną simetrijos centrą ir keletą simetrijos ašių bei plokštumų. Yra figūrų, turinčių be galo daug simetrijos centrų, ašių ar plokštumų. Paprasčiausi iš šių figūrų yra tiesi linija ir plokštuma. Ir atvirkščiai, yra figūrų, kurios neturi centrų, ašių ar simetrijos plokštumų. Šiuo atveju kalbame apie kitą matematinę sąvoką kaip asimetriją, kuri reiškia simetrijos nebuvimą. Šiandien biologai ir psichologai, chemikai ir gydytojai bando dirbti kartu, kad išspręstų simetrijos paslaptis ir atskleistų kairės ir dešinės paslaptis. Kasdien žiūrime į veidrodį, bet retai susimąstome apie tai, kad atspindyje dešinė ranka virsta kaire. Kodėl gamta sukūrė ir dubliavo kai kurias pusrutulių, rankų, kojų, akių funkcijas, o žmogus turi tik vieną burną? Keista, bet su visa savo simetrija esame asimetriški. Šiuolaikinės kompiuterinės technologijos leidžia pamatyti, koks būtų žmogus, tik iš kairės veido pusės ar iš dešinės. Rezultatas pribloškia labiausiai tuos, kurie mato gautus portretus. Pasirodo, dešiniojo ir kairiojo pusrutulio asmenys skiriasi vienas nuo kito. Apsidairykite, gal aplinkui pamatysite simetriją ir asimetriją ir ja grožėkitės.

1. Geometrija. 10 – 11 klasės: bendrojo lavinimo vadovėlis. institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsevas ir kiti]. – 22 leidimas. – M.: Švietimas, 2013. – 255 p. : serga. – (MSU – mokykloje)
2. Mokomasis ir metodinis vadovas, skirtas padėti mokyklos mokytojams Parengė Yarovenko V.A. Geometrijos pamokos plėtra L. S. Atanasyan ir kt. (M.: Prosveshcheniye) 10 klasė
3. Rabinovičius E. M. Užduotys ir pratimai ant paruoštų brėžinių. 10 – 11 klasės. Geometrija. – M.: Ilexa, 2006 m. – 80 s.
4. M. Ya Vygodsky Elementariosios matematikos vadovas M.: AST Astrel, 2006. - 509 p.
5. Avanta+. Enciklopedija vaikams. 11 tomas. Matematika 2 leid., pataisyta. - M.: World of Avanta+ enciklopedijos: Astrel 2007. - 621 psl. Red. valdyba: M. Aksenova, V. Volodinas, M. Samsonovas