Taško judėjimas erdvėje gali būti laikomas duotu, jei žinomi jo trijų Dekarto koordinačių x, y, z kitimo dėsniai, kaip laiko funkcija. Tačiau kai kuriais materialių taškų erdvinio judėjimo atvejais (pavyzdžiui, įvairių formų paviršių apribotose srityse) judėjimo lygtis Dekarto koordinatėse yra nepatogu, nes jos tampa pernelyg sudėtingos. Tokiais atvejais galite pasirinkti kitus tris nepriklausomus skaliarinius parametrus $q_1,(\q)_2,\\q_3$, vadinamus kreivinėmis arba apibendrintomis koordinatėmis, kurios taip pat vienareikšmiškai nustato taško padėtį erdvėje.
Taško M greitis, nurodant jo judėjimą kreivinėmis koordinatėmis, bus nustatytas greičio komponentų, lygiagrečių koordinačių ašims, vektorinės sumos pavidalu:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]
Greičio vektoriaus projekcijos į atitinkamas koordinačių ašis yra lygios: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$
Čia $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ yra parametras, vadinamas i-tuoju Lame koeficientu ir lygus modulio vertės dalinė taško spindulio vektoriaus išvestinė išilgai i-osios kreivinės koordinatės, apskaičiuotos duotame taške M. Kiekvienas vektorius $\overline(e_i)$ turi kryptį, atitinkančią taško galinio taško judėjimo kryptį spindulio vektorius $r_i$ kaip i-osios apibendrintos koordinatės. Greičio modulis stačiakampėje kreivinėje koordinačių sistemoje gali būti apskaičiuojamas pagal priklausomybę:
Aukščiau pateiktose formulėse išvestinių ir Lamé koeficientų reikšmės apskaičiuojamos esamai taško M padėčiai erdvėje.
Sferinės koordinačių sistemos taško koordinatės yra skaliariniai parametrai r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, išmatuoti kaip parodyta pav. 1.
1 pav. Greičio vektorius sferinėje koordinačių sistemoje
Taško judėjimo lygčių sistema šiuo atveju yra tokia:
\[\left\( \begin(masyvas)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(masyvas) \right.\])
Fig. 1 paveiksle parodytas spindulio vektorius r, nubrėžtas iš pradžios, kampai $(\mathbf \varphi )$ ir $(\mathbf \theta )$, taip pat nagrinėjamos sistemos koordinačių linijos ir ašys savavališkame sistemos taške M. trajektorija. Matyti, kad koordinačių linijos $((\mathbf \varphi ))$ ir $((\mathbf \theta ))$ yra rutulio, kurio spindulys r, paviršiuje. Ši kreivinė koordinačių sistema taip pat yra stačiakampė. Dekarto koordinatės gali būti išreikštos sferinėmis koordinatėmis taip:
Tada Lame koeficientai: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; taško greičio projekcijos sferinės koordinačių sistemos ašyje $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ ir greičio vektoriaus dydis
Taško pagreitis sferinėje koordinačių sistemoje
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta ),\]
taško pagreičio projekcijos sferinės koordinačių sistemos ašyje
\ \
Pagreičio modulis $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
1 problema
Taškas juda rutulio ir cilindro susikirtimo linija pagal lygtis: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- sferinės koordinatės ). Raskite taško greičio modulį ir projekcijas sferinės koordinačių sistemos ašyje.
Raskime greičio vektoriaus projekcijas ant sferinių koordinačių ašių:
Greičio modulis $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$
2 problema
Naudodamiesi 1 uždavinio sąlyga, nustatykite taško pagreičio modulį.
Raskime pagreičio vektoriaus projekcijas ant sferinių koordinačių ašių:
\ \ \
Pagreičio modulis $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
judesio užduotys
Panaudokime (4) lygtį ir paimkime jos išvestinę laiko atžvilgiu
(8) vienetiniams vektoriams yra greičio vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis
Greičio projekcijos į koordinačių ašis apibrėžiamos kaip pirmosios atitinkamų koordinačių išvestinės.
Žinodami projekcijas, galite rasti vektoriaus dydį ir jo kryptį
,
(10)
Greičio nustatymas natūraliu metodu
judesio užduotys
Tegu pateikta materialaus taško trajektorija ir kreivinės koordinatės kitimo dėsnis. Tarkime, prie t Turėjo 1 tašką 
ir koordinatę s 1, ir t 2 – koordinatė s 2. Per
koordinatė buvo padidinta 
, tada vidutinis taško greitis
.
Norėdami sužinoti greitį tam tikru metu, pereikime prie ribos
,
.
(12)
Taško greičio vektorius natūraliu būdu nurodant judėjimą yra apibrėžiamas kaip kreivinės koordinatės pirmą kartą išvestinė.
Taško pagreitis
Pagal materialaus taško pagreitį suprasti vektorinį dydį, apibūdinantį taško greičio vektoriaus dydžio ir krypties kitimo greitį laikui bėgant.
Taško pagreitis naudojant vektorinį judesio nustatymo metodą
Apsvarstykite tašką dviem laiko taškais t 1
(
) Ir t 2
(
), Tada 
- laiko padidėjimas, 
- greičio padidėjimas.
Vektorius 
visada guli judėjimo plokštumoje ir yra nukreipta į trajektorijos įgaubtą.
P 
od vidutinis taško pagreitis metu
t
suprasti dydį
.
(13)
Norėdami rasti pagreitį tam tikru metu, pereikime prie ribos
,
.
(14)
Taško pagreitis tam tikru metu yra apibrėžiamas kaip antroji išvestinė taško spindulio vektoriaus laiko atžvilgiu arba pirmoji greičio vektoriaus išvestinė laiko atžvilgiu.
Pagreičio vektorius yra kontaktinėje plokštumoje ir yra nukreiptas į trajektorijos įdubimą.
Taško pagreitis judesio nustatymo koordinačių metodu
Naudokime lygtį vektoriaus ir koordinačių judėjimo nustatymo metodų ryšiui
Ir paimkime antrą išvestinį iš jo
,
.
(15)
Vienetinių vektorių lygtyje (15) yra pagreičio vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis
.
(16)
Pagreičio projekcijos į koordinačių ašis apibrėžiamos kaip pirmosios išvestinės laiko atžvilgiu iš greičio projekcijų arba kaip antrosios atitinkamų koordinačių išvestinės laiko atžvilgiu.
Pagreičio vektoriaus dydį ir kryptį galima rasti naudojant šias išraiškas
,
(17)
,
,
.
(18)
Taško pagreitis naudojant natūralų judesio nustatymo metodą
P 
Tegul taškas juda lenktu keliu. Panagrinėkime dvi jo pozicijas tam tikru momentu t
(s, M, v) Ir t 1
(s 1, M 1, v 1).
Šiuo atveju pagreitis nustatomas per jo projekcijas į natūralios koordinačių sistemos ašis, judančias kartu su tašku M. Ašys nukreipiamos taip:
M - liestinė, nukreipta išilgai trajektorijos liestinės teigiamos atstumo atskaitos link,
M n– pagrindinis normalus, nukreiptas išilgai normalios, esančios kontaktinėje plokštumoje, ir nukreiptas į trajektorijos įdubimą,
M b– binormalus, statmenas plokštumai M n ir su pirmosiomis ašimis sudaro dešinįjį trigubą.
Kadangi pagreičio vektorius yra lietimosi plokštumoje, tada a b = 0. Raskime pagreičio projekcijas į kitas ašis.
.
(19)
Projektuokime (19) į koordinačių ašis
,
(20)
.
(21)
Nubrėžkime per tašką M 1 ašis, lygiagrečias ašims taške M ir raskime greičio projekcijas:
Kur - vadinamasis gretumo kampas.
Pakeiskite (22) į (20)
.
At t 0 0, cos 1 tada
.
(23)
Taško tangentinis pagreitis nustatomas pagal greičio pirmąją išvestinę arba kreivinės koordinatės antrąją laiko išvestinę.
Tangentinis pagreitis apibūdina greičio vektoriaus dydžio pokytį.
Pakeiskime (22) į (21)
.
Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš s gauti žinomas ribas
Kur 
(pirma nuostabi riba),
,
,
, Kur
- trajektorijos kreivumo spindulys.
Pakeitę apskaičiuotas ribas į (24), gauname
.
(25)
Normalus taško pagreitis nustatomas pagal greičio kvadrato santykį su trajektorijos kreivumo spinduliu tam tikrame taške.
Normalus pagreitis apibūdina greičio vektoriaus krypties pokytį ir visada yra nukreiptas į trajektorijos įdubimą.
Galiausiai gauname materialaus taško pagreičio projekcijas natūralios koordinačių sistemos ašyje ir vektoriaus dydį
,
(26)
.
(27)
Formulės, skirtos taško greičiui, pagreičiui, trajektorijos kreivumo spinduliui, liestine, normaliajai ir binormaliai apskaičiuoti pagal nurodytas koordinates ir laiką. Uždavinio sprendimo pavyzdys, kai naudojant pateiktas judėjimo lygtis reikia nustatyti taško greitį ir pagreitį. Taip pat nustatomas trajektorijos kreivumo spindulys, liestinė, normalioji ir binormalioji.
TurinysĮvadas
Žemiau pateiktų formulių išvados ir teorijos pristatymas pateikiamos puslapyje „Materialaus taško kinematika“. Čia pagrindinius šios teorijos rezultatus taikysime materialaus taško judėjimo patikslinimo koordinačių metodui.
Turėkime fiksuotą stačiakampę koordinačių sistemą, kurios centras yra fiksuotame taške. Šiuo atveju taško M padėtis vienareikšmiškai nustatoma pagal jo koordinates (x, y, z). Taško judėjimo nustatymo koordinačių metodas
- tai metodas, kuriame nurodoma koordinačių priklausomybė nuo laiko. Tai yra, yra nurodytos trys laiko funkcijos (trimačiam judėjimui):
Kinematinių dydžių nustatymas
,
Žinodami koordinačių priklausomybę nuo laiko, automatiškai nustatome medžiagos taško M spindulio vektorių pagal formulę:
kur yra vienetiniai vektoriai (ortai) x, y, z ašių kryptimi.
;
;
Diferencijuodami pagal laiką, randame greičio ir pagreičio projekcijas koordinačių ašyse:
;
.
.
Greičio ir pagreičio moduliai:
.
Tangentinis (tangentinis) pagreitis yra viso pagreičio projekcija į greičio kryptį:
Tangentinio (tangentinio) pagreičio vektorius:
.
;
.
Normalus pagreitis:
.
Vieneto vektorius pagrindinės trajektorijos normalės kryptimi:
.
Trajektorijos kreivumo spindulys:
.
.
Trajektorijos kreivumo centras:
Problemos sprendimo pavyzdys
Naudodamiesi pateiktomis taško judėjimo lygtimis, nustatykite jo trajektorijos tipą ir tam tikrą laiką suraskite taško vietą trajektorijoje, jo greitį, suminį, tangentinį ir normalųjį pagreičius, taip pat spindulį. trajektorijos kreivumas.
Taško judėjimo lygtys:
, cm;
, cm.
Sprendimas
Trajektorijos tipo nustatymas
Iš judesio lygčių neįtraukiame laiko. Norėdami tai padaryti, perrašome juos į formą:
;
.
Taikome formulę:
.
;
;
;
.
Taigi, mes gavome trajektorijos lygtį:
.
Tai parabolės su viršūne taške ir simetrijos ašyje lygtis.
Nes
, Tai
;
.
arba
;
;
Panašiu būdu gauname apribojimą koordinatei:
,
Taigi taško judėjimo trajektorija yra parabolės lankas
esantis adresu
Ir .
| 0 | 6 |
| Iš taškų statome parabolę. | 5,625 |
| 3 | 4,5 |
| 6 | 2,625 |
| 9 | 0 |
12
;
.
Nustatome taško padėtį laiko momentu.
Taško greičio nustatymas
.
Diferencijuodami koordinates ir laiko atžvilgiu randame greičio komponentus.
Norint atskirti, patogu taikyti trigonometrijos formulę:
;
.
.
;
.
Tada
.
Apskaičiuojame greičio komponentų vertes laiko momentu:
Greičio modulis:
;
.
Taško pagreičio nustatymas
;
.
Atskirdami greičio ir laiko dedamąsias, randame taško pagreičio dedamąsias.
.
Apskaičiuojame pagreičio komponentų vertes laiko momentu:
.
Pagreičio modulis:
Tangentinio (tangentinio) pagreičio vektorius:
.
Tangentinis pagreitis yra viso pagreičio projekcija į greičio kryptį:
Vieneto vektorius pagrindinės trajektorijos normalės kryptimi:
.
Kadangi tangentinio pagreičio vektorius nukreiptas priešingai greičiui.
;
.
Vektorius ir yra nukreiptas į trajektorijos kreivumo centrą.
Taško trajektorija yra parabolės lankas
Taško greitis:.
Taško pagreitis: ;
;
.
;
;
Trajektorijos kreivumo spindulys: .
;
;
Kitų dydžių nustatymas
;
;
Spręsdami problemą radome:
vektoriaus ir greičio modulis:
bendro pagreičio vektorius ir modulis:
.
tangentinis ir normalus pagreitis:
.
trajektorijos kreivumo spindulys: .
.
Nustatykime likusius kiekius.
.
Vieneto vektorius trajektorijos liestinės kryptimi:
.
Tangentinio pagreičio vektorius:
;
.
Normalus pagreičio vektorius:
.
