Apibrėžimas. Elipsė yra geometrinis taškų lokusas plokštumoje, kurių kiekvieno atstumų nuo dviejų nurodytų šios plokštumos taškų, vadinamų židiniais, suma yra pastovi reikšmė (su sąlyga, kad ši vertė yra didesnė už atstumą tarp židinių). .
Židinius pažymėkime atstumu tarp jų - , o pastovią reikšmę, lygią atstumų nuo kiekvieno elipsės taško iki židinio sumai (pagal sąlygą).
Sukurkime Dekarto koordinačių sistemą taip, kad židiniai būtų abscisių ašyje, o koordinačių pradžia sutaptų su atkarpos viduriu (44 pav.). Tada židiniai turės šias koordinates: židinys kairėje ir dešinėje. Išveskime pasirinktoje koordinačių sistemoje elipsės lygtį. Šiuo tikslu apsvarstykite savavališką elipsės tašką. Pagal elipsės apibrėžimą atstumų nuo šio taško iki židinio suma yra lygi:
Naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę, gauname
Norėdami supaprastinti šią lygtį, rašome ją formoje
Tada padalijus abi lygties puses kvadratu, gauname
arba po akivaizdžių supaprastinimų:
Dabar vėl padalome kvadratu abi lygties puses, po to turime:
arba po identiškų transformacijų:
Kadangi pagal elipsės apibrėžimo sąlygą skaičius yra teigiamas. Supažindinkime su užrašu
Tada lygtis bus tokia:
Pagal elipsės apibrėžimą bet kurio jos taško koordinatės atitinka (26) lygtį. Tačiau (29) lygtis yra (26) lygties pasekmė. Vadinasi, jį taip pat tenkina bet kurio elipsės taško koordinatės.
Galima parodyti, kad taškų, kurie nėra elipsėje, koordinatės netenkina (29) lygties. Taigi (29) lygtis yra elipsės lygtis. Ji vadinama kanonine elipsės lygtimi.
Nustatykime elipsės formą naudodami kanoninę lygtį.
Pirmiausia atkreipkime dėmesį į tai, kad šioje lygtyje yra tik lyginės x ir y laipsniai. Tai reiškia, kad jei kuris nors taškas priklauso elipsei, tada jame taip pat yra taškas, simetriškas taško atžvilgiu abscisių ašies atžvilgiu, ir taškas, simetriškas taškui ordinačių ašies atžvilgiu. Taigi elipsė turi dvi viena kitai statmenas simetrijos ašis, kurios mūsų pasirinktoje koordinačių sistemoje sutampa su koordinačių ašimis. Elipsės simetrijos ašis nuo šiol vadinsime elipsės ašimis, o jų susikirtimo tašką – elipsės centru. Ašis, kurioje yra elipsės židiniai (šiuo atveju – abscisių ašis), vadinama židinio ašimi.
Pirmiausia nustatykime elipsės formą pirmame ketvirtyje. Norėdami tai padaryti, išspręskime y lygtį (28):
Akivaizdu, kad čia , kadangi y ima įsivaizduojamas vertes. Didinant nuo 0 iki a, y mažėja nuo b iki 0. Elipsės dalis, esanti pirmajame ketvirtyje, bus lankas, apribotas taškų B (0; b) ir gulintis ant koordinačių ašių (45 pav.). Naudodami elipsės simetriją, darome išvadą, kad elipsė turi formą, parodytą Fig. 45.
Elipsės susikirtimo su ašimis taškai vadinami elipsės viršūnėmis. Iš elipsės simetrijos matyti, kad, be viršūnių, elipsė turi dar dvi viršūnes (žr. 45 pav.).
Elipsės atkarpos ir jungiančios priešingos viršūnės, taip pat jų ilgiai vadinami atitinkamai didžiąja ir mažąja elipsės ašimis. Skaičiai a ir b vadinami atitinkamai didžiąja ir mažąja elipsės pusašiais.
Pusės atstumo tarp židinių ir pusiau pagrindinės elipsės ašies santykis vadinamas elipsės ekscentriškumu ir paprastai žymimas raide:
Kadangi , elipsės ekscentriškumas yra mažesnis už vienybę: Ekscentriškumas apibūdina elipsės formą. Iš tiesų, iš (28) formulės išplaukia, kad kuo mažesnis elipsės ekscentriškumas, tuo mažiau jos pusiau mažoji ašis b skiriasi nuo pusiau didžiosios ašies a, t.
Ribiniu atveju rezultatas yra apskritimas, kurio spindulys a: , arba . Tuo pačiu elipsės židiniai tarsi susilieja viename taške – apskritimo centre. Apskritimo ekscentriškumas lygus nuliui:
Ryšį tarp elipsės ir apskritimo galima nustatyti kitu požiūriu. Parodykime, kad elipsė su pusiau ašimis a ir b gali būti laikoma apskritimo, kurio spindulys a, projekcija.
Panagrinėkime dvi plokštumas P ir Q, kurios tarpusavyje sudaro tokį kampą a, kuriam (46 pav.). P plokštumoje sukonstruokime koordinačių sistemą, o Q plokštumoje – sistemą Oxy, kurios bendra kilmė O ir bendra abscisių ašis sutampa su plokštumų susikirtimo linija. Apsvarstykite apskritimą plokštumoje P
kurio centras yra ištakoje, o spindulys lygus a. Leisti būti savavališkai pasirinktas taškas apskritime, būti jo projekcija į Q plokštumą ir tegul taško M projekcija į Ox ašį. Parodykime, kad taškas yra elipsėje su pusiau ašimis a ir b.
Apibrėžimas 7.1. Visų plokštumos taškų, kurių atstumų iki dviejų fiksuotų taškų F 1 ir F 2 suma yra tam tikra pastovi reikšmė, aibė vadinama elipsė.
Elipsės apibrėžimas pateikia tokį jos geometrinės konstrukcijos metodą. Fiksuojame du taškus F 1 ir F 2 plokštumoje, o neneigiamą pastovią reikšmę pažymime 2a. Tegul atstumas tarp taškų F 1 ir F 2 yra 2c. Įsivaizduokime, kad, pavyzdžiui, naudojant dvi adatas, taškuose F 1 ir F 2 fiksuojamas 2a ilgio netiesiamas siūlas. Akivaizdu, kad tai įmanoma tik ≥ c. Ištraukę siūlą pieštuku, nubrėžkite liniją, kuri bus elipsė (7.1 pav.).
Taigi aprašyta aibė nėra tuščia, jei a ≥ c. Kai a = c, elipsė yra atkarpa, kurios galai yra F 1 ir F 2, o kai c = 0, t.y. Jei elipsės apibrėžime nurodyti fiksuoti taškai sutampa, tai yra apskritimas, kurio spindulys a. Atmesdami šiuos išsigimusius atvejus, mes toliau, kaip taisyklė, manysime, kad a > c > 0.
Fiksuoti taškai F 1 ir F 2 7.1 elipsės apibrėžime (žr. 7.1 pav.) vadinami elipsės židiniai, atstumas tarp jų, pažymėtas 2c, - židinio nuotolis, o atkarpos F 1 M ir F 2 M, jungiančios savavališką elipsės tašką M su jo židiniais, yra židinio spinduliai.
Elipsės formą visiškai lemia židinio nuotolis |F 1 F 2 | = 2c ir parametras a, o jo padėtis plokštumoje - taškų F 1 ir F 2 pora.
Iš elipsės apibrėžimo išplaukia, kad ji yra simetriška tiesės, einančios per židinius F 1 ir F 2, atžvilgiu, taip pat tiesės, dalijančios atkarpą F 1 F 2 per pusę ir statmenos jai atžvilgiu. (7.2 pav., a). Šios linijos vadinamos elipsės ašys. Jų susikirtimo taškas O yra elipsės simetrijos centras ir jis vadinamas elipsės centras, o elipsės susikirtimo taškai su simetrijos ašimis (taškai A, B, C ir D 7.2 pav., a) - elipsės viršūnės.
Skambina numeris a pusiau didžioji elipsės ašis, o b = √(a 2 - c 2) – jos mažoji ašis. Nesunku pastebėti, kad kai c > 0, pusiau pagrindinė ašis a yra lygi atstumui nuo elipsės centro iki tų jos viršūnių, kurios yra toje pačioje ašyje su elipsės židiniais (viršūnės A ir B). 7.2 pav., a), o pusiau mažoji ašis b lygi atstumui nuo centrinės elipsės iki dviejų kitų jos viršūnių (viršūnių C ir D 7.2 pav., a).
Elipsės lygtis. Panagrinėkime tam tikrą elipsę plokštumoje su židiniais taškuose F 1 ir F 2, pagrindinėje ašyje 2a. Tegul 2c yra židinio nuotolis, 2c = |F 1 F 2 |
Pasirinkime stačiakampę koordinačių sistemą Oxy plokštumoje, kad jos pradžia sutaptų su elipsės centru, o jos židiniai būtų x ašis(7.2 pav., b). Tokia koordinačių sistema vadinama kanoninis aptariamai elipsei, o atitinkami kintamieji yra kanoninis.
Pasirinktoje koordinačių sistemoje židiniai turi koordinates F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Naudodamiesi atstumo tarp taškų formule, užrašome sąlygą |F 1 M| + |F 2 M| = 2a koordinatėmis:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Ši lygtis yra nepatogi, nes joje yra du kvadratiniai radikalai. Taigi pakeiskime jį. Perkelkime antrąjį radikalą (7.2) lygtyje į dešinę ir pakelkime jį kvadratu:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Atidarę skliaustus ir atsinešę panašius terminus, gauname
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
kur ε = c/a. Kartojame kvadrato operaciją, kad pašalintume antrąjį radikalą: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 arba, atsižvelgiant į įvesto parametro ε reikšmę, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Kadangi a 2 - c 2 = b 2 > 0, tai
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
(7.4) lygtį tenkina visų elipsėje esančių taškų koordinatės. Bet išvedant šią lygtį buvo panaudotos neekvivalentiškos pradinės lygties (7.2) transformacijos – du kvadratai, kurie pašalina kvadratinius radikalus. Lygties kvadratas yra lygiavertė transformacija, jei abi pusės turi dydžius su tuo pačiu ženklu, bet mes to nepatikrinome savo transformacijose.
Galime išvengti transformacijų lygiavertiškumo tikrinimo, jei atsižvelgsime į tai. Taškų pora F 1 ir F 2, |F 1 F 2 | = 2c, plokštumoje apibrėžia elipsių šeimą su židiniais šiuose taškuose. Kiekvienas plokštumos taškas, išskyrus atkarpos F 1 F 2 taškus, priklauso kokiai nors nurodytos šeimos elipsei. Šiuo atveju dvi elipsės nesusikerta, nes židinio spindulių suma vienareikšmiškai nustato konkrečią elipsę. Taigi aprašyta elipsių šeima be susikirtimų apima visą plokštumą, išskyrus atkarpos F 1 F 2 taškus. Panagrinėkime aibę taškų, kurių koordinatės atitinka (7.4) lygtį su nurodyta parametro a reikšme. Ar šis rinkinys gali būti paskirstytas kelioms elipsėms? Kai kurie aibės taškai priklauso elipsei su pusiau didžiąja ašimi a. Tegul šioje aibėje yra taškas, esantis elipsėje su pusiau didžiąja ašimi a. Tada šio taško koordinatės paklūsta lygčiai
tie. (7.4) ir (7.5) lygtys turi bendrus sprendinius. Tačiau nesunku patikrinti, ar sistema
ã ≠ a neturi sprendinių. Norėdami tai padaryti, pakanka neįtraukti, pavyzdžiui, x iš pirmosios lygties:
kuri po transformacijų veda į lygtį
kuri neturi ã ≠ a sprendinių, nes . Taigi, (7.4) yra elipsės, kurios pusiau didžioji ašis a > 0, o pusiau mažoji ašis b =√(a 2 - c 2) > 0, lygtis. kanoninė elipsės lygtis.
Elipsės vaizdas. Aukščiau aptartas geometrinis elipsės konstravimo metodas suteikia pakankamai supratimo apie elipsės išvaizdą. Tačiau elipsės formą taip pat galima ištirti naudojant kanoninę lygtį (7.4). Pavyzdžiui, darant prielaidą, kad y ≥ 0, galite išreikšti y per x: y = b√(1 - x 2 /a 2) ir, ištyrę šią funkciją, sudaryti jos grafiką. Yra dar vienas būdas sukonstruoti elipsę. A spindulio apskritimas, kurio centras yra elipsės (7.4) kanoninės koordinačių sistemos pradžioje, apibūdinamas lygtimi x 2 + y 2 = a 2. Jei jis suspaustas su koeficientu a/b > 1 išilgai y ašis, tada gausite kreivę, kuri apibūdinama lygtimi x 2 + (ya/b) 2 = a 2, t.y. elipsė.
Pastaba 7.1. Jei tas pats apskritimas suspaustas koeficientu a/b
Elipsės ekscentriškumas. Elipsės židinio nuotolio ir pagrindinės ašies santykis vadinamas elipsės ekscentriškumas ir žymimas ε. Už duotą elipsę
kanoninė lygtis (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Jei (7.4) parametrai a ir b yra susieti nelygybe a
Kai c = 0, kai elipsė virsta apskritimu, o ε = 0. Kitais atvejais 0
(7.3) lygtis yra lygiavertė (7.4) lygčiai, nes (7.4) ir (7.2) lygtys yra lygiavertės. Todėl elipsės lygtis taip pat yra (7.3). Be to, santykis (7.3) įdomus tuo, kad pateikia paprastą, radikalų neturinčią ilgio formulę |F 2 M| vienas iš elipsės taško M(x; y) židinio spindulių: |F 2 M| = a + εx.
Panaši antrojo židinio spindulio formulė gali būti gauta atsižvelgiant į simetriją arba pakartojant skaičiavimus, kuriuose prieš kvadrato lygtį (7.2) pirmasis radikalas perkeliamas į dešinę, o ne antrasis. Taigi bet kuriam elipsės taškui M(x; y) (žr. 7.2 pav.)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
ir kiekviena iš šių lygčių yra elipsės lygtis.
7.1 pavyzdys. Raskime elipsės, kurios pusiau didžioji ašis 5 ir ekscentricitetas 0,8, kanoninę lygtį ir sukonstruokime ją.
Žinodami elipsės pusdidžiąją ašį a = 5 ir ekscentriškumą ε = 0,8, rasime jos pusiau mažąją ašį b. Kadangi b = √(a 2 - c 2), o c = εa = 4, tai b = √(5 2 - 4 2) = 3. Taigi kanoninė lygtis yra x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Norėdami sukonstruoti elipsę, patogu nubrėžti stačiakampį, kurio centras yra kanoninės koordinačių sistemos pradžioje, kurio kraštinės yra lygiagrečios elipsės simetrijos ašims ir lygios ją atitinkančioms ašims (pav. 7.4). Šis stačiakampis kertasi su
elipsės ašys jos viršūnėse A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), o joje įrašyta pati elipsė. Fig. 7.4 taip pat rodomi elipsės židiniai F 1,2 (±4; 0).
Geometrinės elipsės savybės. Perrašykime pirmąją (7.6) lygtį į |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Atkreipkite dėmesį, kad a/ε - x reikšmė a > c yra teigiama, nes židinys F 1 nepriklauso elipsei. Ši reikšmė parodo atstumą iki vertikalios linijos d: x = a/ε nuo taško M(x; y), esančio į kairę nuo šios linijos. Elipsės lygtis gali būti parašyta kaip
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Tai reiškia, kad ši elipsė susideda iš tų plokštumos taškų M(x; y), kurių židinio spindulio ilgio F 1 M ir atstumo iki tiesės d santykis yra pastovi reikšmė, lygi ε (1 pav.). 7.5).
Tiesė d turi „dvigubą“ - vertikalią tiesę d, simetrišką d, palyginti su elipsės centru, kurią sudaro lygtis x = -a/ε d atžvilgiu elipsė yra aprašyta taip pat kaip ir d atžvilgiu. Abi eilutės d ir d“ yra vadinamos elipsės kryptys. Elipsės kryptys yra statmenos elipsės, kurioje yra jos židiniai, simetrijos ašiai ir yra nutolusios nuo elipsės centro atstumu a/ε = a 2 /c (žr. 7.5 pav.).
Atstumas p nuo krypties iki arčiausiai jo esančio židinio vadinamas elipsės židinio parametras. Šis parametras yra lygus
p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c
Elipsė turi dar vieną svarbią geometrinę savybę: židinio spinduliai F 1 M ir F 2 M sudaro vienodus kampus su elipsės liestine taške M (7.6 pav.).
Ši savybė turi aiškią fizinę reikšmę. Jei šviesos šaltinis dedamas į židinį F 1, tada iš šio židinio atsirandantis spindulys po atspindžio nuo elipsės eis išilgai antrojo židinio spindulio, nes po atspindžio jis bus tokiu pat kampu kreivės atžvilgiu kaip ir prieš atspindį. Taigi visi spinduliai, kylantys iš židinio F 1, bus sutelkti antrajame židinyje F 2 ir atvirkščiai. Remiantis šiuo aiškinimu, ši savybė vadinama optinė elipsės savybė.
Elipsė yra geometrinis taškų lokusas plokštumoje, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma F_1, o F_2 yra pastovi vertė (2a), didesnė už atstumą (2c) tarp šių taškų (1 pav.). 3.36, a). Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia židinio elipsės savybė.
Elipsės židinio savybė
Taškai F_1 ir F_2 vadinami elipsės židiniais, atstumas tarp jų 2c=F_1F_2 – židinio nuotolis, atkarpos F_1F_2 vidurys O – elipsės centras, skaičius 2a – pagrindinės ašies ilgis. elipsė (atitinkamai skaičius a yra pusiau pagrindinė elipsės ašis). Atkarpos F_1M ir F_2M, jungiančios savavališką elipsės tašką M su jo židiniais, vadinami taško M židinio spinduliais. Atkarpa, jungianti du elipsės taškus, vadinama elipsės styga.
Santykis e=\frac(c)(a) vadinamas elipsės ekscentriškumu. Iš apibrėžimo (2a>2c) išplaukia, kad 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometrinis elipsės apibrėžimas, išreiškiantis jo židinio savybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – tiesei, kurią suteikia kanoninė elipsės lygtis:
Išties, įveskime stačiakampę koordinačių sistemą (3.36c pav.). Elipsės centrą O laikome koordinačių sistemos pradžia; abscisių ašimi laikome tiesę, einanti per židinį (židinio ašį arba pirmąją elipsės ašį) (teigiama kryptis joje yra nuo taško F_1 iki taško F_2); Paimkime tiesę, statmeną židinio ašiai ir einanti per elipsės centrą (antroji elipsės ašis), kaip ordinačių ašį (kryptis ordinačių ašyje parinkta taip, kad stačiakampė koordinačių sistema Oxy būtų teisinga) .
Sukurkime elipsės lygtį naudodami jos geometrinį apibrėžimą, kuris išreiškia židinio savybę. Pasirinktoje koordinačių sistemoje nustatome židinių koordinates F_1(-c,0),~F_2(c,0). Savavališkam taškui M(x,y), priklausančiam elipsei, turime:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Užrašę šią lygybę koordinačių forma, gauname:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Antrąjį radikalą perkeliame į dešinę, iš abiejų lygties pusių padalijame kvadratu ir pateikiame panašius terminus:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Rodyklė į kairę ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Padalinus iš 4, abi lygties puses padalijame kvadratu:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Rodyklė į kairę~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Paskyrus b=\sqrt(a^2-c^2)>0, gauname b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Abi puses padalijus iš a^2b^2\ne0, gauname kanoninę elipsės lygtį:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Todėl pasirinkta koordinačių sistema yra kanoninė.
Jei elipsės židiniai sutampa, tai elipsė yra apskritimas (3.36,6 pav.), nes a=b. Šiuo atveju bet kuri stačiakampė koordinačių sistema, kurios pradžia yra taške, bus kanoninė O\equiv F_1\equiv F_2, o lygtis x^2+y^2=a^2 yra apskritimo, kurio centras yra taške O, o spindulys lygus a, lygtis.
Atliekant samprotavimus atvirkštine tvarka, galima parodyti, kad visi taškai, kurių koordinatės tenkina (3.49) lygtį, ir tik jie priklauso taškų lokusui, vadinamam elipsė. Kitaip tariant, analitinis elipsės apibrėžimas yra lygiavertis jos geometriniam apibrėžimui, kuris išreiškia elipsės židinio savybę.
Elipsės direktorinė nuosavybė
Elipsės kryptys yra dvi tiesės, einančios lygiagrečios kanoninės koordinačių sistemos ordinačių ašiai tokiu pačiu atstumu \frac(a^2)(c) nuo jos. Esant c=0, kai elipsė yra apskritimas, krypčių nėra (galime manyti, kad kryptys yra begalybėje).
Elipsė su ekscentriškumu 0
Tiesą sakant, pavyzdžiui, fokusui F_2 ir krypties d_2 (3.37 pav., 6) sąlyga \frac(r_2)(\rho_2)=e galima parašyti koordinačių forma:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Atsikratyti iracionalumo ir pakeisti e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, gauname kanoninę elipsės lygtį (3.49). Panašūs argumentai gali būti atliekami su fokusu F_1 ir režisieriumi d_1\dvitaškis\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Elipsės lygtis polinėje koordinačių sistemoje
Elipsės lygtis polinėje koordinačių sistemoje F_1r\varphi (3.37 pav., c ir 3.37 (2)) turi formą
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kur p=\frac(b^2)(a) yra elipsės židinio parametras.
Tiesą sakant, poliarinės koordinačių sistemos poliu pasirinkime elipsės kairįjį židinį F_1, o poliarinę ašį – spindulį F_1F_2 (3.37 pav., c). Tada savavališkam taškui M(r,\varphi), pagal elipsės geometrinį apibrėžimą (židinio savybę), gauname r+MF_2=2a. Išreiškiame atstumą tarp taškų M(r,\varphi) ir F_2(2c,0) (žr.):
\begin(lygiuotas)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (sulygiuota)
Todėl koordinačių formoje elipsės F_1M+F_2M=2a lygtis turi formą
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Išskiriame radikalą, kvadratą iš abiejų lygties pusių, padaliname iš 4 ir pateikiame panašius terminus:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Išreikškite poliarinį spindulį r ir pakeiskite e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftright arrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Koeficientų geometrinė reikšmė elipsės lygtyje
Raskime elipsės (žr. 3.37a pav.) susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (elipsės viršūnėmis). Lygtyje pakeitę y=0, randame elipsės susikirtimo taškus su abscisių ašimi (su židinio ašimi): x=\pm a. Vadinasi, židinio ašies segmento, esančio elipsės viduje, ilgis yra lygus 2a. Šis segmentas, kaip minėta aukščiau, vadinamas pagrindine elipsės ašimi, o skaičius a yra pusiau didžioji elipsės ašis. Pakeitę x=0, gauname y=\pm b. Todėl elipsės antrosios ašies segmento, esančio elipsės viduje, ilgis yra lygus 2b. Šis segmentas vadinamas mažąja elipsės ašimi, o skaičius b yra pusiau mažoji elipsės ašis.
tikrai, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, o lygybė b=a gaunama tik tuo atveju, kai c=0, kai elipsė yra apskritimas. Požiūris k=\frac(b)(a)\leqslant1 vadinamas elipsės suspaudimo laipsniu.
Pastabos 3.9
1. Tiesės x=\pm a,~y=\pm b koordinačių plokštumoje riboja pagrindinį stačiakampį, kurio viduje yra elipsė (žr. 3.37 pav., a).
2. Elipsė gali būti apibrėžta kaip taškų lokusas, gautas suspaudus apskritimą iki jo skersmens.
Iš tiesų, tegul apskritimo lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy yra x^2+y^2=a^2. Suspaustas iki x ašies su koeficientu 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Į lygtį pakeitę apskritimus x=x" ir y=\frac(1)(k)y", gauname taško M(x,y) vaizdo M"(x",y") koordinačių lygtį. ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} nes b=k\cdot a . Tai yra kanoninė elipsės lygtis. 3. Koordinačių ašys (kanoninės koordinačių sistemos) yra elipsės simetrijos ašys (vadinamos pagrindinėmis elipsės ašimis), o jos centras yra simetrijos centras. Iš tiesų, jei taškas M(x,y) priklauso elipsei . tada taškai M"(x,-y) ir M""(-x,y), simetriški taškui M koordinačių ašių atžvilgiu, taip pat priklauso tai pačiai elipsei. 4. Iš elipsės lygties poliarinėje koordinačių sistemoje r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(žr. 3.37 pav., c), išsiaiškinta geometrinė židinio parametro reikšmė - tai pusė elipsės stygos, einančios per jos židinį statmenai židinio ašiai, ilgio (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekscentriškumas e apibūdina elipsės formą, būtent skirtumą tarp elipsės ir apskritimo. Kuo e didesnis, tuo elipsė pailgesnė, o kuo e arčiau nulio, tuo elipsė yra arčiau apskritimo (3.38a pav.). Iš tiesų, atsižvelgiant į tai, kad e=\frac(c)(a) ir c^2=a^2-b^2 , gauname e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} čia k yra elipsės suspaudimo koeficientas, 0 6. Lygtis \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 adresu a 7. Lygtis \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b apibrėžia elipsę, kurios centras yra taške O"(x_0,y_0), kurios ašys lygiagrečios koordinačių ašims (3.38 pav., c). Ši lygtis, naudojant lygiagretųjį vertimą, redukuojama į kanoninę (3.36). Kai a=b=R lygtis (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 apibūdina R spindulio apskritimą, kurio centras yra taške O"(x_0,y_0) . Parametrinė elipsės lygtis kanoninėje koordinačių sistemoje turi formą \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Iš tiesų, pakeisdami šias išraiškas į (3.49) lygtį, gauname pagrindinę trigonometrinę tapatybę \cos^2t+\sin^2t=1. 3.20 pavyzdys. Nubrėžkite elipsę \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanoninėje koordinačių sistemoje Oxy. Raskite pusiau ašis, židinio nuotolį, ekscentriškumą, suspaudimo laipsnį, židinio parametrą, krypties lygtis. Sprendimas. Palyginę pateiktą lygtį su kanonine, nustatome pusašius: a=2 - pusiau didžioji ašis, b=1 - pusiau mažoji elipsės ašis. Statome pagrindinį stačiakampį, kurio kraštinės yra 2a=4,~2b=2, kurio centras yra ištakoje (3.39 pav.). Atsižvelgdami į elipsės simetriją, įterpiame ją į pagrindinį stačiakampį. Jei reikia, nustatykite kai kurių elipsės taškų koordinates. Pavyzdžiui, elipsės lygtyje pakeitę x=1, gauname \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Rotiklis į kairę \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftright rodyklė \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Todėl taškai su koordinatėmis \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- priklauso elipsei. Suspaudimo laipsnio apskaičiavimas k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); židinio nuotolis 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentriškumas e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); židinio parametras p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Sudarome krypčių lygtis: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftright arrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Paskaitos apie algebrą ir geometriją. 1 semestras. Paskaita 15. Elipsė. 15 skyrius. Elipsė. 1 punktas. Pagrindiniai apibrėžimai. Apibrėžimas. Elipsė yra plokštumos GMT, atstumų iki dviejų fiksuotų plokštumos taškų, vadinamų židiniais, suma yra pastovi reikšmė. Apibrėžimas. Atstumas nuo savavališko plokštumos taško M iki elipsės židinio vadinamas taško M židinio spinduliu. Pavadinimai: Pagal elipsės apibrėžimą taškas M yra elipsės taškas tada ir tik tada Atkreipkite dėmesį, kad Pagal elipsės apibrėžimą jos židiniai yra fiksuoti taškai, todėl atstumas tarp jų taip pat yra pastovi tam tikros elipsės reikšmė. Apibrėžimas. Atstumas tarp elipsės židinių vadinamas židinio nuotoliu. Pavadinimas: Iš trikampio B pažymėkime skaičių, lygų Apibrėžimas. Požiūris vadinamas elipsės ekscentriškumu. Įveskime šioje plokštumoje koordinačių sistemą, kurią elipsei vadinsime kanonine. Apibrėžimas. Ašis, ant kurios yra elipsės židiniai, vadinama židinio ašimi. Sukurkime elipsės kanoninį PDSC, žr. 2 pav. Mes pasirenkame židinio ašį kaip abscisių ašį ir nubrėžiame ordinačių ašį per segmento vidurį Tada židiniai turi koordinates 2 punktas. Kanoninė elipsės lygtis. Teorema. Elipsės kanoninėje koordinačių sistemoje elipsės lygtis yra tokia: Įrodymas. Įrodinėjimą atliekame dviem etapais. Pirmajame etape įrodysime, kad bet kurio elipsėje esančio taško koordinatės atitinka (4) lygtį. Antrame etape įrodysime, kad bet koks (4) lygties sprendinys suteikia taško, esančio elipsėje, koordinates. Iš čia išeis, kad (4) lygtį tenkina tie ir tik tie koordinačių plokštumos taškai, kurie yra elipsėje. Iš to ir iš kreivės lygties apibrėžimo išplauks, kad (4) lygtis yra elipsės lygtis. 1) Tegul taškas M(x, y) yra elipsės taškas, t.y. jo židinio spindulių suma yra 2a: Naudokime atstumo tarp dviejų koordinačių plokštumos taškų formulę ir naudodamiesi šia formule suraskime tam tikro taško M židinio spindulius: Perkelkime vieną šaknį į dešinę lygybės pusę ir pakelkime kvadratą: Sumažinus gauname: Pateikiame panašius, sumažiname 4 ir pašaliname radikalą: Kvadratavimas Atidarykite skliaustus ir sutrumpinkite kur gauname: Naudojant lygybę (2), gauname: Paskutinę lygybę padalijus iš 2) Tegul dabar skaičių pora (x, y) tenkina (4) lygtį ir tegul M(x, y) yra atitinkamas taškas koordinačių plokštumoje Oxy. Tada iš (4) seka: Šią lygybę pakeičiame taško M židinio spindulių išraiška: Čia mes panaudojome lygybę (2) ir (3). Taigi, Dabar atkreipkite dėmesį, kad iš lygybės (4) išplaukia, kad Iš čia, savo ruožtu, išplaukia, kad Iš lygybių (5) išplaukia, kad Teorema įrodyta. Apibrėžimas. (4) lygtis vadinama kanonine elipsės lygtimi. Apibrėžimas. Elipsės kanoninės koordinačių ašys vadinamos pagrindinėmis elipsės ašimis. Apibrėžimas. Elipsės kanoninės koordinačių sistemos pradžia vadinama elipsės centru. 3 punktas. Elipsės savybės. Teorema. (Elipsės savybės.) 1. Elipsės kanoninėje koordinačių sistemoje viskas elipsės taškai yra stačiakampyje 2. Taškai guli 3. Elipsė yra kreivė, kuri yra simetriška jų pagrindinės ašys. 4. Elipsės centras yra jos simetrijos centras. Įrodymas. 1, 2) Iš karto išplaukia iš kanoninės elipsės lygties. 3, 4) Tegul M(x, y) yra savavališkas elipsės taškas. Tada jo koordinatės tenkina (4) lygtį. Bet tada taškų koordinatės taip pat atitinka (4) lygtį, todėl yra elipsės taškai, iš kurių seka teoremos teiginiai. Teorema įrodyta. Apibrėžimas. Dydis 2a vadinamas didžiąja elipsės ašimi, dydis a vadinamas pusiau pagrindine elipsės ašimi. Apibrėžimas. Dydis 2b vadinamas mažąja elipsės ašimi, dydis b vadinamas pusiau mažąja elipsės ašimi. Apibrėžimas. Elipsės susikirtimo su pagrindinėmis ašimis taškai vadinami elipsės viršūnėmis. komentuoti. Elipsę galima sukonstruoti taip. Lėktuve „įkalame vinį į židinio taškus“ ir pritvirtiname prie jų sriegio ilgį Iš ekscentriškumo apibrėžimo išplaukia, kad Pataisykime skaičių a ir nukreipkime skaičių c į nulį. Tada val Dabar nukreipkime 4 punktas. Elipsės parametrinės lygtys. Teorema. Leiskite yra parametrinės elipsės lygtys elipsės kanoninėje koordinačių sistemoje. Įrodymas. Pakanka įrodyti, kad (6) lygčių sistema yra lygiavertė (4) lygčiai, t.y. jie turi tą patį sprendimų rinkinį. 1) Tegul (x, y) yra savavališkas sistemos (6) sprendimas. Padalinkite pirmąją lygtį iš a, antrąją iš b, padėkite abi lygtis kvadratu ir pridėkite: Tie. bet kuris sistemos (6) sprendimas (x, y) tenkina (4) lygtį. 2) Ir priešingai, tegul pora (x, y) yra (4) lygties sprendinys, t.y. Iš šios lygybės išplaukia, kad taškas su koordinatėmis Iš sinuso ir kosinuso apibrėžimo iš karto išplaukia, kad Teorema įrodyta. komentuoti. Elipsę galima gauti tolygiai „suspaudus“ a spindulio apskritimą link abscisių ašies. Leiskite Su šia transformacija kiekvienas apskritimo taškas „pereina“ į kitą plokštumos tašką, kuris turi tą pačią abscisę, bet mažesnę ordinatę. Išreikškime senąją taško ordinatę per naująją: ir pakeiskite apskritimus į lygtį: Iš čia gauname: Iš to išplaukia, kad jei prieš „suspaudimo“ transformaciją taškas M(x, y) gulėjo ant apskritimo, t.y. jo koordinatės tenkino apskritimo lygtį, tada po „suspaudimo“ transformacijos šis taškas „pavirto“ į tašką 5 punktas. Elipsės liestinė. Teorema. Leiskite Tada šios elipsės liestinės taške lygtis Įrodymas. Pakanka atsižvelgti į atvejį, kai liesties taškas yra pirmame arba antrame koordinačių plokštumos ketvirtyje: Panaudokime funkcijos grafiko liestinės lygtį Kur Rastą išvestinės reikšmę pakeičiame liestinės lygtimi (10): kur gauname: Iš to išplaukia: Padalinkime šią lygybę iš Belieka tai pastebėti Tangento lygtis (8) panašiai įrodoma liečiamajame taške, esančiame trečiame arba ketvirtame koordinačių plokštumos ketvirtyje. Galiausiai galime lengvai patikrinti, ar (8) lygtis taškuose pateikia liestinės lygtį Teorema įrodyta. 6 punktas. Elipsės veidrodinė savybė. Teorema. Elipsės liestinė turi lygius kampus su lietimo taško židinio spinduliais. Leiskite Teorema teigia, kad Šią lygybę galima interpretuoti kaip šviesos spindulio kritimo ir atspindžio kampų lygybę iš elipsės, išlaisvintos iš jo židinio. Ši savybė vadinama elipsės veidrodine savybe: Šviesos spindulys, išsiskiriantis iš elipsės židinio, atsispindėjęs nuo elipsės veidrodžio, praeina per kitą elipsės židinį. Teoremos įrodymas. Norėdami įrodyti kampų (11) lygybę, įrodome trikampių panašumą Antros eilės kreivės plokštumoje yra tiesės, apibrėžtos lygtimis, kuriose kintamasis koordinuoja x Ir y yra įtrauktos į antrąjį laipsnį. Tai yra elipsė, hiperbolė ir parabolė. Bendra antrosios eilės kreivės lygties forma yra tokia: Kur A, B, C, D, E, F- skaičiai ir bent vienas iš koeficientų A, B, C nelygu nuliui. Sprendžiant uždavinius su antros eilės kreivėmis, dažniausiai atsižvelgiama į elipsės, hiperbolės ir parabolės kanonines lygtis. Prie jų lengva pereiti nuo bendrųjų lygčių, tam bus skirtas 1 uždavinių, susijusių su elipsėmis, pavyzdys. Elipsės apibrėžimas. Elipsė yra visų plokštumos taškų, kurių atstumų iki taškų, vadinamų židiniais, suma yra pastovi reikšmė, didesnė už atstumą tarp židinių. Fokusai nurodyti taip, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Kanoninė elipsės lygtis yra tokia: Kur a Ir b (a > b) – pusašių ilgiai, t.y., pusė atkarpų, nupjautų elipsės koordinačių ašyse, ilgių. Tiesi linija, einanti per elipsės židinius, yra jos simetrijos ašis. Kita elipsės simetrijos ašis yra tiesi linija, einanti per atkarpos vidurį, statmeną šiai atkarpai. Taškas APIEšių linijų susikirtimas yra elipsės simetrijos centras arba tiesiog elipsės centras. Elipsės abscisių ašis susikerta taškuose ( a, APIE) Ir (- a, APIE), o ordinačių ašis yra taškais ( b, APIE) Ir (- b, APIE). Šie keturi taškai vadinami elipsės viršūnėmis. Atkarpa tarp elipsės viršūnių x ašyje vadinama jos didžiąja ašimi, o ordinačių ašimi – mažąja ašimi. Jų atkarpos nuo viršaus iki elipsės centro vadinamos pusiau ašimis. Jeigu a = b, tada elipsės lygtis įgauna formą . Tai apskritimo su spinduliu lygtis a, o apskritimas yra ypatingas elipsės atvejis. Elipsę galima gauti iš spindulio apskritimo a, jei suspausite jį į a/b kartų išilgai ašies Oy
. 1 pavyzdys. Patikrinkite, ar bendrosios lygties pateikta linija yra Sprendimas. Transformuojame bendrąją lygtį. Naudojame laisvojo termino perkėlimą į dešinę, lygties padalijimą po terminą tuo pačiu skaičiumi ir trupmenų sumažinimą: Atsakymas. Lygtis, gauta kaip transformacijų rezultatas, yra elipsės kanoninė lygtis. Todėl ši linija yra elipsė. 2 pavyzdys. Sudarykite elipsės kanoninę lygtį, jei jos pusiau ašys yra atitinkamai 5 ir 4. Sprendimas. Mes žiūrime į elipsės ir pakaitos kanoninės lygties formulę: pusiau didžioji ašis yra a= 5, pusiau mažesnė ašis yra b= 4. Gauname kanoninę elipsės lygtį: Taškai ir , pažymėti žalia spalva pagrindinėje ašyje, kur yra vadinami gudrybės. paskambino ekscentriškumas elipsė. Požiūris b/a charakterizuoja elipsės „paplokštumą“. Kuo mažesnis šis santykis, tuo labiau elipsė pailgėja išilgai pagrindinės ašies. Tačiau elipsės pailgėjimo laipsnis dažniau išreiškiamas ekscentriškumu, kurio formulė pateikta aukščiau. Skirtingoms elipsėms ekscentriškumas svyruoja nuo 0 iki 1, visada lieka mažesnis už vienetą. 3 pavyzdys. Sudarykite elipsės kanoninę lygtį, jei atstumas tarp židinių yra 8, o pagrindinės ašies - 10. Sprendimas. Padarykime keletą paprastų išvadų: Jei pagrindinė ašis lygi 10, tada jos pusė, ty pusašis a = 5
, Jei atstumas tarp židinių yra 8, tada skaičius cžidinio koordinatės yra lygios 4. Pakeičiame ir apskaičiuojame: Rezultatas yra kanoninė elipsės lygtis: 4 pavyzdys. Sudarykite elipsės kanoninę lygtį, jei jos pagrindinė ašis yra 26, o ekscentriškumas yra . Sprendimas. Kaip matyti iš pagrindinės ašies dydžio ir ekscentriciškumo lygties, pusiau didžioji elipsės ašis a= 13. Iš ekscentriškumo lygties išreiškiame skaičių c, reikalingas mažosios pusašies ilgiui apskaičiuoti: Apskaičiuojame mažosios pusašies ilgio kvadratą: Sudarome kanoninę elipsės lygtį: 5 pavyzdys. Nustatykite elipsės židinius, pateiktus kanonine lygtimi. Sprendimas. Raskite numerį c, kuris nustato pirmąsias elipsės židinio koordinates: Gauname elipsės židinius: 6 pavyzdys. Elipsės židiniai išsidėstę ašyje Jautis simetriškas kilmei. Sudarykite kanoninę elipsės lygtį, jei: 1) atstumas tarp židinių yra 30, o pagrindinė ašis yra 34 2) šalutinė ašis 24, o vienas iš židinių yra taške (-5; 0) 3) ekscentriškumas, o vienas iš židinių yra taške (6; 0) Jei yra savavališkas elipsės taškas (brėžinyje pažymėtas žalia spalva viršutinėje dešinėje elipsės dalyje) ir yra atstumas iki šio taško nuo židinio, tada atstumų formulės yra tokios: Kiekviename elipsei priklausančiame taške atstumų nuo židinių suma yra pastovi vertė, lygi 2 a. Lygtimis apibrėžtos linijos yra vadinami direktorės elipsė (brėžinyje išilgai kraštų yra raudonos linijos). Iš dviejų aukščiau pateiktų lygčių išplaukia, kad bet kuriame elipsės taške kur ir yra šio taško atstumai iki krypčių ir . 7 pavyzdys. Duota elipsė. Parašykite jos krypties lygtį. Sprendimas. Mes žiūrime į krypties lygtį ir nustatome, kad reikia rasti elipsės ekscentriškumą, t.y. Turime visus tam reikalingus duomenis. Skaičiuojame: Gauname elipsės krypčių lygtį: 8 pavyzdys. Sudarykite elipsės kanoninę lygtį, jei jos židiniai yra taškai, o kryptys yra tiesės.Parametrinė elipsės lygtis
- elipsės židiniai, 
– M taško židinio spinduliai.
– pastovi vertė. Ši konstanta paprastai žymima 2a:
.
(1)
.
.
iš to išplaukia 
, t.y.
.
, t.y.
.
(2)
(3)
statmenai židinio ašiai.
,
.
.
(4)
.
,
, iš kur gauname:
.
:
.
, gauname lygybę (4) ir kt.
.
.
. Lygiai taip pat 
.
arba 
ir tt 
, tada nelygybė yra tokia:
.
arba 
Ir
,
.
(5)
, t.y. taškas M(x, y) yra elipsės taškas ir kt.
,
.
. Tada paimame pieštuką ir juo priveržiame siūlą. Tada perkeliame pieštuko laidą išilgai plokštumos, įsitikindami, kad siūlas yra įtemptas.
,
Ir 
. Riboje, kurią gauname
arba 
– apskritimo lygtis.
. Tada 
,
ir matome, kad riboje elipsė išsigimsta į tiesią atkarpą 
3 paveikslo žymėjime.
– savavališki realieji skaičiai. Tada lygčių sistema
,
(6)
.
.
guli ant vienetinio spindulio apskritimo, kurio centras yra ištakoje, t.y. yra trigonometrinio apskritimo taškas, kurį atitinka tam tikras kampas 
:
,
, Kur 
, iš ko išplaukia, kad pora (x, y) yra sistemos (6) sprendimas ir kt.
– apskritimo, kurio centras yra pradžioje, lygtis. Apskritimo „suspaudimas“ prie abscisių ašies yra ne kas kita, kaip koordinačių plokštumos transformacija, atliekama pagal šią taisyklę. Kiekvienam taškui M(x, y) susiejame tašką toje pačioje plokštumoje 
, Kur 
,
– suspaudimo laipsnis.
.
.
(7)
, kurios koordinatės tenkina elipsės lygtį (7). Jei norime gauti elipsės su pusiau mažąja ašimi b lygtį, turime paimti suspaudimo koeficientą
.
– savavališkas elipsės taškas
.
turi formą:
.
(8)
. Viršutinės pusės plokštumos elipsės lygtis yra tokia:
.
(9)
taške 
:
– duotosios funkcijos išvestinės reikšmė taške 
. Pirmojo ketvirčio elipsę galima laikyti funkcijos (8) grafiku. Raskime jo išvestinę ir reikšmę liesties taške:
,
. Čia mes pasinaudojome tuo, kad liestinės taškas 
yra elipsės taškas, todėl jo koordinatės tenkina elipsės lygtį (9), t.y.
.
,
:
.
, nes taškas 
priklauso elipsei ir jos koordinatės tenkina jos lygtį.
,
:
arba 
, Ir 
arba 
.
– kontaktinis taškas, 
,
– liestinės taško židinio spinduliai, P ir Q – židinių projekcijos į elipsės liestinę taške 
.
.
(11)
Ir 
, kurioje šalys 
Ir 
bus panašus. Kadangi trikampiai yra stačiakampiai, užtenka įrodyti lygybęElipsė, pateikta pagal kanoninę lygtį
, elipsė.
.
.
Ir toliau spręskime elipsės uždavinius kartu
,
.
