Galios funkcija ir jos grafikai. Pagrindinės elementarios funkcijos: jų savybės ir grafikai

Pagrindinės elementarios funkcijos, joms būdingos savybės ir atitinkami grafikai yra vienas iš matematinių žinių pagrindų, savo svarba panaši į daugybos lentelę. Elementariosios funkcijos yra visų teorinių klausimų tyrimo pagrindas, atrama.

Toliau pateiktame straipsnyje pateikiama pagrindinė medžiaga pagrindinių elementarių funkcijų tema. Supažindinsime su terminais, pateiksime jų apibrėžimus; Išsamiai išnagrinėkime kiekvieną elementariųjų funkcijų tipą ir išanalizuokime jų savybes.

Išskiriami šie pagrindinių elementariųjų funkcijų tipai:

1 apibrėžimas

• pastovi funkcija (konstanta);
• n-oji šaknis;
• galios funkcija;
• eksponentinė funkcija;
• logaritminė funkcija;
• trigonometrinės funkcijos;
• broliškos trigonometrinės funkcijos.

Pastovi funkcija apibrėžiama formule: y = C (C yra tam tikras realusis skaičius) ir taip pat turi pavadinimą: konstanta. Ši funkcija nustato bet kurios tikrosios nepriklausomo kintamojo x reikšmės atitikimą tai pačiai kintamojo y reikšmei – C reikšmei.

Konstantos grafikas yra tiesė, lygiagreti abscisių ašiai ir eina per tašką, kurio koordinatės (0, C). Aiškumo dėlei pateikiame pastovių funkcijų y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 grafikus (brėžinyje atitinkamai pažymėtos juoda, raudona ir mėlyna spalva).

2 apibrėžimas

Ši elementari funkcija apibrėžiama formule y = x n (n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą).

Panagrinėkime du funkcijos variantus.

1. n-oji šaknis, n – lyginis skaičius

Aiškumo dėlei nurodome brėžinį, kuriame pavaizduoti tokių funkcijų grafikai: y = x, y = x 4 ir y = x8. Šios funkcijos žymimos spalvomis: atitinkamai juoda, raudona ir mėlyna.

Lyginio laipsnio funkcijos grafikai turi panašią išvaizdą kitoms eksponento reikšmėms.

3 apibrėžimas

N-osios šaknies funkcijos savybės, n yra lyginis skaičius

• apibrėžimo sritis – visų neneigiamų realiųjų skaičių aibė [ 0 , + ∞) ;
• kai x = 0, funkcija y = x n reikšmė lygi nuliui;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei lyginė, nei nelyginė);
• diapazonas: [ 0 , + ∞) ;
• ši funkcija y = x n lyginiams šaknies eksponentams didėja visoje apibrėžimo srityje;
• funkcija turi išgaubtą kryptį aukštyn visoje apibrėžimo srityje;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos grafikas lyginiams n eina per taškus (0; 0) ir (1; 1).

1. n-oji šaknis, n – nelyginis skaičius

Tokia funkcija apibrėžiama visoje realiųjų skaičių aibėje. Aiškumo dėlei apsvarstykite funkcijų grafikus y = x 3 , y = x 5 ir x 9 . Brėžinyje jie pažymėti spalvomis: juoda, raudona ir mėlyna yra atitinkamai kreivių spalvos.

Kitos nelyginės funkcijos y = x n šakninio eksponento reikšmės duos panašaus tipo grafiką.

4 apibrėžimas

N-osios šaknies funkcijos savybės, n yra nelyginis skaičius

• apibrėžimo sritis – visų realiųjų skaičių aibė;
• ši funkcija yra nelyginė;
• reikšmių diapazonas – visų realiųjų skaičių rinkinys;
• nelyginių šaknies eksponentų funkcija y = x n didėja visoje apibrėžimo srityje;
• funkcija turi įgaubtą intervale (- ∞ ; 0 ] ir išgaubtą intervale [ 0 , + ∞ );
• vingio taškas turi koordinates (0; 0);
• nėra asimptotų;
• Nelyginio n funkcijos grafikas eina per taškus (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ir (1 ; 1).

Maitinimo funkcija

Galios funkcija apibrėžiama formule y = x a.

Grafikų išvaizda ir funkcijos savybės priklauso nuo eksponento reikšmės.

• kai laipsnio funkcija turi sveikąjį rodiklį a, tai laipsnio funkcijos grafiko tipas ir jo savybės priklauso nuo to, ar rodiklis lyginis ar nelyginis, taip pat nuo to, kokį ženklą turi rodiklis. Toliau išsamiau panagrinėkime visus šiuos ypatingus atvejus;
• eksponentas gali būti trupmeninis arba neracionalus – priklausomai nuo to skiriasi ir grafikų tipas bei funkcijos savybės. Išanalizuosime ypatingus atvejus nustatydami keletą sąlygų: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• laipsnio funkcija gali turėti nulinį rodiklį, mes taip pat išsamiau išanalizuosime šį atvejį.

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai a yra nelyginis teigiamas skaičius, pavyzdžiui, a = 1, 3, 5...

Aiškumo dėlei nurodome tokių galios funkcijų grafikus: y = x (grafinė spalva juoda), y = x 3 (mėlyna diagramos spalva), y = x 5 (raudona diagramos spalva), y = x 7 (grafinė spalva žalia). Kai a = 1, gauname tiesinę funkciją y = x.

6 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra nelyginis teigiamas

• funkcija didėja, kai x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija turi išgaubtą x ∈ (- ∞ ; 0 ] ir įgaubtą x ∈ [ 0 ; + ∞) (išskyrus tiesinę funkciją);
• vingio taškas turi koordinates (0 ; 0) (išskyrus tiesinę funkciją);
• nėra asimptotų;
• funkcijos perėjimo taškai: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai a yra lyginis teigiamas skaičius, pavyzdžiui, a = 2, 4, 6...

Aiškumo dėlei nurodome tokių galios funkcijų grafikus: y = x 2 (grafinė juoda spalva), y = x 4 (mėlyna diagramos spalva), y = x 8 (raudona diagramos spalva). Kai a = 2, gauname kvadratinę funkciją, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė.

7 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra netgi teigiamas:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• mažėja x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija turi įgaubtą x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos perėjimo taškai: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Toliau pateiktame paveikslėlyje pateikti galios funkcijų grafikų pavyzdžiai y = x a, kai a yra nelyginis neigiamas skaičius: y = x - 9 (grafinė juoda spalva); y = x - 5 (mėlyna grafiko spalva); y = x - 3 (raudona diagramos spalva); y = x - 1 (grafinė žalia spalva). Kai a = - 1, gauname atvirkštinį proporcingumą, kurio grafikas yra hiperbolė.

8 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai eksponentas yra nelyginis neigiamas:

Kai x = 0, gauname antrojo tipo nenuoseklumą, nes lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kai a = - 1, - 3, - 5, …. Taigi tiesė x = 0 yra vertikali asimptotė;

• diapazonas: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x);
• funkcija mažėja x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• funkcija turi išgaubtą x ∈ (- ∞ ; 0) ir įgaubtą x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kai a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• funkcijos perėjimo taškai: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Žemiau esančiame paveikslėlyje pateikti laipsnio funkcijos y = x a grafikų pavyzdžiai, kai a yra lyginis neigiamas skaičius: y = x - 8 (grafinė juoda spalva); y = x - 4 (mėlyna grafiko spalva); y = x - 2 (raudona diagramos spalva).

9 apibrėžimas

Laipsninės funkcijos savybės, kai rodiklis yra net neigiamas:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kai x = 0, gauname antrojo tipo netolydumą, nes lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kai a = - 2, - 4, - 6, …. Taigi tiesė x = 0 yra vertikali asimptotė;

• funkcija lygi, nes y(-x) = y(x);
• funkcija didėja, kai x ∈ (- ∞ ; 0), ir mažėja, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija turi įgaubtą ties x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptote – tiesi linija y = 0, nes:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kai a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funkcijos praėjimo taškai: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Nuo pat pradžių atkreipkite dėmesį į tokį aspektą: tuo atveju, kai a yra teigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurie autoriai laiko intervalą - ∞ kaip šios galios funkcijos apibrėžimo sritį; + ∞ , nurodant, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Šiuo metu daugelio mokomųjų publikacijų apie algebrą ir analizės principus autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų, kur eksponentas yra trupmena su nelyginiu neigiamų argumento verčių vardikliu. Toliau laikysimės būtent šios pozicijos: imsime aibę [ 0 ; + ∞) . Rekomendacija mokiniams: išsiaiškinkite mokytojo nuomonę šiuo klausimu, kad išvengtumėte nesutarimų.

Taigi, pažvelkime į galios funkciją y = x a , kai eksponentas yra racionalusis arba neracionalusis skaičius, su sąlyga, kad 0< a < 1 .

Galios funkcijas pavaizduokime grafikais y = x a, kai a = 11 12 (grafinė spalva juoda); a = 5 7 (raudona diagramos spalva); a = 1 3 (mėlyna diagramos spalva); a = 2 5 (žalia grafiko spalva).

Kitos eksponento a reikšmės (jei 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

10 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės esant 0< a < 1:

• diapazonas: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija didėja, kai x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija yra išgaubta x ∈ (0 ; + ∞);
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;

Išanalizuokime galios funkciją y = x a, kai rodiklis yra nesveikasis racionalusis arba neracionalusis skaičius, su sąlyga, kad a > 1.

Grafikais pavaizduokime galios funkciją y = x a nurodytomis sąlygomis, kaip pavyzdį naudojant šias funkcijas: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (atitinkamai juodi, raudoni, mėlyni, žali grafikai).

Kitos eksponento a reikšmės, jei > 1, duos panašų grafiką.

11 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės > 1:

• apibrėžimo sritis: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• diapazonas: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• funkcija didėja, kai x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija turi įgaubtą x ∈ (0 ; + ∞) (kai 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos praėjimo taškai: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Atkreipkite dėmesį, kai a yra neigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurių autorių darbuose yra nuomonė, kad apibrėžimo sritis šiuo atveju yra intervalas - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) su įspėjimu, kad eksponentas a yra neredukuojama trupmena. Šiuo metu mokomosios medžiagos apie algebrą ir analizės principus autoriai NEapibrėžia galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Be to, laikomės būtent šio požiūrio: laipsniškų funkcijų su trupmeniniais neigiamais eksponentais apibrėžimo sritis laikome aibę (0 ; + ∞). Rekomendacija mokiniams: šiuo metu paaiškinkite savo mokytojo viziją, kad išvengtumėte nesutarimų.

Tęskime temą ir panagrinėkime galios funkciją y = x a, jei: - 1< a < 0 .

Pateikiame šių funkcijų grafikų brėžinį: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (juoda, raudona, mėlyna, žalia spalva atitinkamai linijos).

12 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės ties - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, kai – 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazonas: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• nėra vingio taškų;

Žemiau esančiame brėžinyje pavaizduoti galios funkcijų y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 grafikai (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos, žalios kreivių spalvos).

13 apibrėžimas

Galios funkcijos savybės a< - 1:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kai a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• funkcija mažėja, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija turi įgaubtą x ∈ 0; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0;
• funkcijos praėjimo taškas: (1; 1) .

Kai a = 0 ir x ≠ 0, gauname funkciją y = x 0 = 1, kuri apibrėžia tiesę, iš kurios išskiriamas taškas (0; 1) (sutarta, kad reiškinys 0 0 neturės jokios reikšmės ).

Eksponentinė funkcija turi formą y = a x, kur a > 0 ir a ≠ 1, o šios funkcijos grafikas atrodo kitaip, atsižvelgiant į pagrindo a reikšmę. Panagrinėkime ypatingus atvejus.

Pirmiausia pažvelkime į situaciją, kai eksponentinės funkcijos bazė turi reikšmę nuo nulio iki vieneto (0< a < 1) . Geras pavyzdys yra a = 1 2 (mėlyna kreivės spalva) ir a = 5 6 (raudona kreivės spalva) funkcijų grafikai.

Eksponentinės funkcijos grafikai atrodys panašiai ir kitoms bazės reikšmėms esant sąlygai 0< a < 1 .

14 apibrėžimas

Eksponentinės funkcijos savybės, kai bazė yra mažesnė už vieną:

• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• eksponentinė funkcija, kurios bazė yra mažesnė už vieną, mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0 su kintamuoju x linkęs į + ∞;

Dabar apsvarstykite atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą (a > 1).

Šį ypatingą atvejį pavaizduokime eksponentinių funkcijų grafiku y = 3 2 x (mėlyna kreivės spalva) ir y = e x (raudona grafiko spalva).

Kitos bazės reikšmės, didesni vienetai, atrodys panašiai kaip eksponentinės funkcijos grafikas.

15 apibrėžimas

Eksponentinės funkcijos savybės, kai bazė yra didesnė už vienetą:

• apibrėžimo sritis – visa realiųjų skaičių aibė;
• diapazonas: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• eksponentinė funkcija, kurios bazė didesnė už vieną, didėja kaip x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcija turi įdubimą ties x ∈ - ∞; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• horizontali asimptotė – tiesė y = 0 su kintamuoju x linkusiu į - ∞;
• funkcijos praėjimo taškas: (0; 1) .

Logaritminė funkcija turi formą y = log a (x), kur a > 0, a ≠ 1.

Tokia funkcija apibrėžiama tik teigiamoms argumento reikšmėms: x ∈ 0; + ∞ .

Logaritminės funkcijos grafikas skiriasi pagal pagrindo a reikšmę.

Pirmiausia panagrinėkime situaciją, kai 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Kitos bazės reikšmės, o ne didesni vienetai, duos panašaus tipo grafiką.

16 apibrėžimas

Logaritminės funkcijos savybės, kai bazė yra mažesnė už vieną:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; + ∞ . Kadangi x iš dešinės linkęs į nulį, funkcijos reikšmės linkusios į +∞;
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• logaritminis
• funkcija turi įgaubtą x ∈ 0; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;

Dabar pažiūrėkime į ypatingą atvejį, kai logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą: a > 1 . Žemiau esančiame brėžinyje pavaizduoti logaritminių funkcijų y = log 3 2 x ir y = ln x grafikai (atitinkamai mėlyna ir raudona grafikų spalvos).

Kitos bazės reikšmės, didesnės nei viena, duos panašaus tipo grafiką.

17 apibrėžimas

Logaritminės funkcijos, kai bazė yra didesnė už vienetą, savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ 0 ; + ∞ . Kadangi x iš dešinės linkęs į nulį, funkcijos reikšmės linkusios į - ∞ ;
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ (visa realiųjų skaičių aibė);
• ši funkcija yra bendrosios formos funkcija (ji nėra nei nelyginė, nei lyginė);
• logaritminė funkcija didėja, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija yra išgaubta, kai x ∈ 0; + ∞ ;
• nėra vingio taškų;
• nėra asimptotų;
• funkcijos praėjimo taškas: (1; 0) .

Trigonometrinės funkcijos yra sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas. Pažvelkime į kiekvieno iš jų savybes ir atitinkamą grafiką.

Apskritai visoms trigonometrinėms funkcijoms būdinga periodiškumo savybė, t.y. kai funkcijų reikšmės kartojasi skirtingoms argumento reikšmėms, kurios skiriasi viena nuo kitos periodu f (x + T) = f (x) (T yra periodas). Taigi į trigonometrinių funkcijų savybių sąrašą įtraukiamas punktas „mažiausias teigiamas laikotarpis“. Be to, nurodysime argumento reikšmes, kai atitinkama funkcija tampa nuliu.

1. Sinuso funkcija: y = sin(x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas sinusine banga.

18 apibrėžimas

Sinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: visa realiųjų skaičių aibė x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcija išnyksta, kai x = π · k, kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• funkcija didėja, kai x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ir mažėjant x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinuso funkcija turi vietinius maksimumus taškuose π 2 + 2 π · k; 1 ir vietiniai minimumai taškuose - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinuso funkcija yra įgaubta, kai x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ir išgaubtas, kai x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• asimptotų nėra.

1. Kosinuso funkcija: y = cos(x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas kosinuso banga.

19 apibrėžimas

Kosinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• mažiausias teigiamas periodas: T = 2 π;
• reikšmių diapazonas: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ši funkcija yra lygi, nes y (- x) = y (x);
• funkcija didėja, kai x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ir mažėja x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinuso funkcija turi vietinius maksimumus taškuose 2 π · k ; 1, k ∈ Z ir vietiniai minimumai taškuose π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• kosinuso funkcija yra įgaubta, kai x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ir išgaubta, kai x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• vingio taškai turi koordinates π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• asimptotų nėra.

1. Tangento funkcija: y = t g (x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas liestinė.

20 apibrėžimas

Tangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• Tangentinės funkcijos elgsena apibrėžimo srities lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ riboje . Taigi tiesės x = π 2 + π · k k ∈ Z yra vertikalios asimptotės;
• funkcija išnyksta, kai x = π · k k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija didėja kaip - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• liestinės funkcija yra įgaubta x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z ir išgaubtas x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• vingio taškai turi koordinates π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Kotangento funkcija: y = c t g (x)

Šios funkcijos grafikas vadinamas kotangentoidu. .

21 apibrėžimas

Kotangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kur k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);

Kotangentinės funkcijos elgsena apibrėžimo srities lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ riboje, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Taigi tiesės x = π · k k ∈ Z yra vertikalios asimptotės;

• mažiausias teigiamas periodas: T = π;
• funkcija išnyksta, kai x = π 2 + π · k k ∈ Z (Z yra sveikųjų skaičių aibė);
• diapazonas: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija mažėja x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• kotangentinė funkcija yra įgaubta x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ir išgaubta x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• vingio taškai turi koordinates π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Nėra įstrižų ar horizontalių asimptotų.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra arkosinė, arkosinė, arktangentė ir arkotangentinė. Dažnai dėl to, kad pavadinime yra priešdėlio „arkas“, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos vadinamos lanko funkcijomis. .

1. Sinuso lanko funkcija: y = a r c sin (x)

22 apibrėžimas

Arkosinės funkcijos savybės:

• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• arcsininė funkcija turi įgaubtą x ∈ 0; 1 ir išgaubimas, kai x ∈ - 1 ; 0 ;
• vingio taškai turi koordinates (0; 0), kurios kartu yra ir funkcijos nulis;
• asimptotų nėra.

1. Lanko kosinuso funkcija: y = a r c cos (x)

23 apibrėžimas

Lanko kosinuso funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - 1 ; 1 ;
• diapazonas: y ∈ 0 ; π;
• ši funkcija yra bendros formos (nei lyginė, nei nelyginė);
• funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• lanko kosinuso funkcija turi įdubimą ties x ∈ - 1; 0 ir išgaubimas, kai x ∈ 0; 1 ;
• vingio taškai turi 0 koordinates; π 2;
• asimptotų nėra.

1. Arktangento funkcija: y = a r c t g (x)

24 apibrėžimas

Arktangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• reikšmių diapazonas: y ∈ - π 2 ; π 2;
• ši funkcija nelyginė, nes y (- x) = - y (x) ;
• funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje;
• arctangentinė funkcija turi įgaubtą x ∈ (- ∞ ; 0 ] ir išgaubtą x ∈ [ 0 ; + ∞ );
• vingio taškas turi koordinates (0; 0), kurios kartu yra ir funkcijos nulis;
• horizontalios asimptotės yra tiesės y = - π 2 kaip x → - ∞ ir y = π 2 kaip x → + ∞ (paveiksle asimptotės yra žalios linijos).

1. Lanko liestinės funkcija: y = a r c c t g (x)

25 apibrėžimas

Arkotangento funkcijos savybės:

• apibrėžimo sritis: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• diapazonas: y ∈ (0; π) ;
• ši funkcija yra bendros formos;
• funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje;
• lanko kotangento funkcija turi įgaubą x ∈ [ 0 ; + ∞) ir išgaubimas x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• vingio taško koordinatės yra 0; π 2;
• horizontalios asimptotės yra tiesės y = π ties x → - ∞ (žalia linija brėžinyje) ir y = 0 ties x → + ∞.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Galios funkcijos y = x p apibrėžimo srityje galioja šios formulės:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Galios funkcijų savybės ir jų grafikai

Laipsnio funkcija, kai rodiklis lygus nuliui, p = 0

Jei laipsnio funkcijos y = x p eksponentas yra lygus nuliui, p = 0, tada laipsnio funkcija apibrėžiama visiems x ≠ 0 ir yra konstanta, lygi vienetui:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Galios funkcija su natūraliu nelyginiu rodikliu, p = n = 1, 3, 5, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis nelyginis rodiklis n = 1, 3, 5, ... . Šis rodiklis gali būti parašytas ir tokia forma: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... yra neneigiamas sveikasis skaičius. Žemiau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Posūkio taškai: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 1, funkcija yra atvirkštinė: x = y
jei n ≠ 1, atvirkštinė funkcija yra n laipsnio šaknis:

Laipsnio funkcija su natūraliu lyginiu eksponentu, p = n = 2, 4, 6, ...

Panagrinėkime laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis lyginis rodiklis n = 2, 4, 6, ... . Šis rodiklis gali būti parašytas ir tokia forma: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, ... - natūralus. Toliau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai.

Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
jei x ≤ 0 monotoniškai mažėja
jei x ≥ 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 2, kvadratinė šaknis:
jei n ≠ 2, n laipsnio šaknis:

Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu, p = n = -1, -2, -3, ...

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios neigiamas sveikasis rodiklis n = -1, -2, -3, ... . Jei įdėsime n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius, tada jį galima pavaizduoti taip:

Laipsninės funkcijos y = x n grafikas su neigiamu sveikuoju rodikliu įvairioms eksponento n = -1, -2, -3, ... reikšmėms.

Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...

Žemiau pateiktos funkcijos y = x n su nelyginiu neigiamu rodikliu n = -1, -3, -5, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0: išgaubta žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -1,
ties n< -2 ,

Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...

Žemiau pateikiamos funkcijos y = x n su lyginiu neigiamu rodikliu n = -2, -4, -6, ... savybės.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -2,
ties n< -2 ,

Galios funkcija su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu, kur n yra sveikas skaičius, m > 1 yra natūralusis skaičius. Be to, n, m neturi bendrų daliklių.

Trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis: m = 3, 5, 7, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p apibrėžiama tiek teigiamoms, tiek neigiamoms argumento x reikšmėms. Panagrinėkime tokių laipsnių funkcijų savybes, kai eksponentas p yra tam tikrose ribose.

p reikšmė yra neigiama, p< 0

Tegul racionalusis rodiklis (su nelyginiu vardikliu m = 3, 5, 7, ...) yra mažesnis už nulį: .

Galios funkcijų grafikai su racionaliu neigiamu eksponentu įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... - nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = -1, -3, -5, ...

Pateikiame laipsnio funkcijos y = x p savybes su racionaliu neigiamu eksponentu, kur n = -1, -3, -5, ... yra nelyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius.

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вверх
jei x > 0: išgaubta žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = -2, -4, -6, ...

Laipsninės funkcijos y = x p savybės su racionaliu neigiamu eksponentu, kur n = -2, -4, -6, ... yra lyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius .

Domenas: x ≠ 0
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно возрастает
jei x > 0: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Pasižymėkite: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:

P reikšmė yra teigiama, mažesnė už vieną, 0< p < 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju eksponentu (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nelyginis skaitiklis, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < +∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0 : выпукла вниз
jei x > 0: išgaubta į viršų
Posūkio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Pasižymėkite:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = -1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 2, 4, 6, ...

Pateikiamos laipsnio funkcijos y = x p savybės, kurių racionalusis rodiklis yra 0 ribose< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domenas: -∞ < x < +∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< +∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 : монотонно убывает
jei x > 0: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubta aukštyn, kai x ≠ 0
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Pasižymėkite: jei x ≠ 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = 1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

P indeksas yra didesnis nei vienas, p > 1

Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju rodikliu (p > 1) įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... - nelyginis.

Nelyginis skaitiklis, n = 5, 7, 9, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 5, 7, 9, ... - nelyginis natūralusis, m = 3, 5, 7 ... - nelyginis natūralus.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0 выпукла вверх
0 val< x < ∞ выпукла вниз
Posūkio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = -1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Lyginis skaitiklis, n = 4, 6, 8, ...

Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 4, 6, 8, ... - lyginis natūralus, m = 3, 5, 7 ... - nelyginis natūralus.

Domenas: -∞ < x < ∞
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0 монотонно убывает
jei x > 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = 1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:

Trupmeninio rodiklio vardiklis lyginis

Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra lyginis: m = 2, 4, 6, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p nėra apibrėžta neigiamoms argumento reikšmėms. Jo savybės sutampa su laipsnio funkcijos su neracionaliuoju rodikliu savybėmis (žr. kitą skyrių).

Galios funkcija su neracionaliu eksponentu

Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su neracionaliuoju rodikliu p. Tokių funkcijų savybės skiriasi nuo aukščiau aptartų tuo, kad jos nėra apibrėžtos neigiamoms argumento x reikšmėms. Teigiamoms argumento reikšmėms savybės priklauso tik nuo eksponento p reikšmės ir nepriklauso nuo to, ar p yra sveikasis skaičius, racionalus ar neracionalus.

Galios funkcija su neigiamu rodikliu p< 0

Domenas: x > 0
Kelios reikšmės: y > 0
Monotoniškas: monotoniškai mažėja
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ribos: ;
Privati ​​reikšmė: Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Galios funkcija su teigiamu rodikliu p > 0

Rodiklis mažesnis nei vienas 0< p < 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Išgaubtas: išgaubtas į viršų
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Rodiklis yra didesnis nei vienas p > 1

Domenas: x ≥ 0
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Žinios pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai ne mažiau svarbu, nei žinoti daugybos lenteles. Jie yra kaip pamatai, viskas jais paremta, viskas iš jų pastatyta ir viskas jiems priklauso.

Šiame straipsnyje išvardinsime visas pagrindines elementarias funkcijas, pateiksime jų grafikus ir pateiksime be išvadų ar įrodymų pagrindinių elementariųjų funkcijų savybės pagal schemą:

• funkcijos elgsena apibrėžimo srities ribose, vertikalios asimptotės (jei reikia, žr. straipsnio funkcijos nenutrūkstamų taškų klasifikaciją);
• lyginis ir nelyginis;
• išgaubtumo (išgaubtumo į viršų) ir įdubimo (išgaubtumo žemyn) intervalai, vingio taškai (jei reikia, žr. straipsnį funkcijos išgaubimas, išgaubimo kryptis, vingio taškai, išgaubimo ir linksniavimo sąlygos);
• įstrižai ir horizontalūs asimptotai;
• funkcijų vienetiniai taškai;
• specialios kai kurių funkcijų savybės (pavyzdžiui, mažiausias teigiamas trigonometrinių funkcijų periodas).

Jei jus domina arba, galite eiti į šiuos teorijos skyrius.

Pagrindinės elementarios funkcijos yra: pastovi funkcija (konstanta), n-oji šaknis, laipsnio funkcija, eksponentinė, logaritminė funkcija, trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.

Puslapio naršymas.

Nuolatinė funkcija.

Pastovi funkcija visų realiųjų skaičių aibėje apibrėžiama formule , kur C yra tikrasis skaičius. Pastovi funkcija kiekvieną nepriklausomo kintamojo x tikrąją reikšmę susieja su ta pačia priklausomo kintamojo y reikšme – reikšme C. Pastovi funkcija taip pat vadinama konstanta.

Pastovios funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti x ašiai ir einanti per tašką, kurio koordinatės (0,C). Pavyzdžiui, parodykime pastovių funkcijų y=5, y=-2 ir grafikus, kurie žemiau esančiame paveikslėlyje atitinkamai atitinka juodą, raudoną ir mėlyną linijas.

Pastovios funkcijos savybės.

• Domenas: visas realiųjų skaičių rinkinys.
• Nuolatinė funkcija yra lygi.
• Reikšmių diapazonas: rinkinys, sudarytas iš vienaskaitos skaičiaus C.
• Pastovi funkcija yra nedidėjanti ir nemažėjanti (todėl ji yra pastovi).
• Nėra prasmės kalbėti apie konstantos išgaubimą ir įgaubimą.
• Asimptotų nėra.
• Funkcija eina per koordinačių plokštumos tašką (0,C).

n-oji šaknis.

Panagrinėkime pagrindinę elementariąją funkciją, kurią pateikia formulė , kur n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą.

N-ojo laipsnio šaknis, n yra lyginis skaičius.

Pradėkime nuo n-osios šaknies funkcijos lygioms šaknies eksponento n reikšmėms.

Pavyzdžiui, čia yra paveikslėlis su funkcijų grafikų vaizdais ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas linijas.

Lyginio laipsnio šaknies funkcijų grafikai turi panašią išvaizdą kitoms eksponento reikšmėms.

n-osios šaknies funkcijos savybės net n.

N-oji šaknis, n yra nelyginis skaičius.

N-oji šaknies funkcija su nelyginiu šaknies eksponentu n yra apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, čia yra funkcijų grafikai ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas kreives.

Kitoms nelyginėms šaknies eksponento reikšmėms funkcijų grafikai atrodys panašiai.

Nelyginio n n-osios šaknies funkcijos savybės.

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija pateikiama formos formule .

Panagrinėkime laipsnio funkcijos grafikų formą ir laipsnio funkcijos savybes, priklausančias nuo eksponento reikšmės.

Pradėkime nuo galios funkcijos su sveikuoju rodikliu a. Šiuo atveju laipsnio funkcijų grafikų tipas ir funkcijų savybės priklauso nuo eksponento lygumo ar nelygumo, taip pat nuo jo ženklo. Todėl pirmiausia apsvarstysime nelyginių teigiamų rodiklio a, tada lyginių teigiamų rodiklių, tada nelyginių neigiamų eksponentų ir galiausiai lyginių neigiamų a laipsnių funkcijas.

Laipsninių funkcijų su trupmeniniais ir neracionaliais rodikliais savybės (taip pat ir tokių laipsnių funkcijų grafikų tipas) priklauso nuo laipsnio a reikšmės. Mes juos apsvarstysime, pirma, nuo nulio iki vieno, antra, didesniam nei vienetui, trečia, a nuo minus vieno iki nulio, ketvirta, mažesniam nei minus vienetui.

Šio skyriaus pabaigoje, siekiant išsamumo, apibūdinsime galios funkciją su nuliniu rodikliu.

Galios funkcija su nelyginiu teigiamu eksponentu.

Panagrinėkime laipsnio funkciją su nelyginiu teigiamu eksponentu, ty su a = 1,3,5,....

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti galios funkcijų grafikai – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija, – žalia linija. A=1 turime tiesinė funkcija y=x.

Laipsninės funkcijos su nelyginiu teigiamu eksponentu savybės.

Galios funkcija su net teigiamu eksponentu.

Panagrinėkime laipsnio funkciją su lyginiu teigiamu eksponentu, tai yra, jei a = 2,4,6,....

Kaip pavyzdį pateikiame galios funkcijų grafikus – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija. Jei a=2, turime kvadratinę funkciją, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė.

Laipsninės funkcijos su lygiu teigiamu eksponentu savybės.

Galios funkcija su nelyginiu neigiamu eksponentu.

Pažvelkite į galios funkcijos grafikus nelyginėms neigiamoms eksponento reikšmėms, ty a = -1, -3, -5,....

Paveiksle kaip pavyzdžiai pateikti galios funkcijų grafikai - juoda linija, - mėlyna linija, - raudona linija, - žalia linija. Turime a=-1 atvirkštinis proporcingumas, kurio grafikas yra hiperbolė.

Laipsninės funkcijos su nelyginiu neigiamu rodikliu savybės.

Galios funkcija su net neigiamu eksponentu.

Pereikime prie galios funkcijos, kai a=-2,-4,-6,….

Paveiksle parodyti galios funkcijų grafikai – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija.

Laipsninės funkcijos su lyginiu neigiamu rodikliu savybės.

Laipsnio funkcija su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu, kurio reikšmė didesnė už nulį ir mažesnė už vienetą.

Pastaba! Jei a yra teigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, tai kai kurie autoriai laipsnio funkcijos apibrėžimo sritį laiko intervalu. Numatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio algebros ir analizės principų vadovėlių autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Laikysimės būtent šio požiūrio, tai yra, aibę laikysime galios funkcijų su trupmeniniais teigiamais eksponentais apibrėžimo sritimis. Rekomenduojame mokiniams išsiaiškinti mokytojo nuomonę šiuo subtiliu dalyku, kad nekiltų nesutarimų.

Panagrinėkime galios funkciją su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu a ir .

Pateiksime galios funkcijų grafikus a=11/12 (juoda linija), a=5/7 (raudona linija), (mėlyna linija), a=2/5 (žalia linija).

Laipsnio funkcija, kurios racionalusis arba neracionalusis rodiklis yra didesnis nei vienas.

Panagrinėkime galios funkciją, kurios racionalusis arba neracionalusis rodiklis nėra sveikasis skaičius a, ir .

Pateikiame formulėmis pateiktų galių funkcijų grafikus (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios linijos).

Kitoms eksponento a reikšmėms funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Galios funkcijos savybės esant .

Galios funkcija, kurios tikrasis rodiklis yra didesnis nei minus vienas ir mažesnis už nulį.

Pastaba! Jei a yra neigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, tai kai kurie autoriai laipsnio funkcijos apibrėžimo sritį laiko intervalu . Numatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio algebros ir analizės principų vadovėlių autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Laikysimės būtent šio požiūrio, tai yra, laipsnių funkcijų su trupmeniniais trupmeniniais neigiamais eksponentais apibrėžimo sritis laikysime atitinkamai aibe. Rekomenduojame mokiniams išsiaiškinti mokytojo nuomonę šiuo subtiliu dalyku, kad nekiltų nesutarimų.

Pereikime prie galios funkcijos, kgod.

Norėdami gerai suprasti galios funkcijų grafikų formą, pateikiame funkcijų grafikų pavyzdžius (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios kreivės).

Laipsninės funkcijos su eksponentu a, savybės.

Galios funkcija, kurios realusis rodiklis nėra sveikasis skaičius, kuris yra mažesnis nei minus vienas.

Pateiksime galios funkcijų grafikų pavyzdžius , jie pavaizduoti atitinkamai juodomis, raudonomis, mėlynomis ir žaliomis linijomis.

Laipsninės funkcijos, kurios ne sveikasis skaičius neigiamas rodiklis yra mažesnis už minus vienetą, savybės.

Kai a = 0, turime funkciją – tai tiesi linija, iš kurios išskiriamas taškas (0;1) (susitarta reiškiniui 0 0 neteikti jokios reikšmės).

Eksponentinė funkcija.

Viena iš pagrindinių elementariųjų funkcijų yra eksponentinė funkcija.

Eksponentinės funkcijos grafikas, kur ir įgauna skirtingas formas, priklausomai nuo bazės a reikšmės. Išsiaiškinkime tai.

Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė įgauna reikšmę nuo nulio iki vieneto, tai yra, .

Kaip pavyzdį pateikiame eksponentinės funkcijos grafikus, kai a = 1/2 – mėlyna linija, a = 5/6 – raudona linija. Eksponentinės funkcijos grafikai turi panašią išvaizdą kitoms bazės reikšmėms iš intervalo.

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra mažesnė už vieną, savybės.

Pereikime prie atvejo, kai eksponentinės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą, tai yra, .

Kaip iliustraciją pateikiame eksponentinių funkcijų grafikus – mėlyna linija ir – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, didesnėms nei viena, eksponentinės funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra didesnė už vienetą, savybės.

Logaritminė funkcija.

Kita pagrindinė elementari funkcija yra logaritminė funkcija, kur , . Logaritminė funkcija apibrėžiama tik teigiamoms argumento reikšmėms, ty .

Logaritminės funkcijos grafikas įgauna skirtingas formas, priklausomai nuo bazės a reikšmės.

Pradėkime nuo atvejo, kai .

Kaip pavyzdį pateikiame logaritminės funkcijos grafikus, kai a = 1/2 – mėlyna linija, a = 5/6 – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, neviršijančioms vienos, logaritminės funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Logaritminės funkcijos, kurios bazė yra mažesnė už vieną, savybės.

Pereikime prie atvejo, kai logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už vieną ().

Parodykime logaritminių funkcijų grafikus – mėlyna linija, – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, didesnėms nei viena, logaritminės funkcijos grafikai atrodys panašiai.

Logaritminės funkcijos, kurios bazė yra didesnė už vienetą, savybės.

Trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.

Visos trigonometrinės funkcijos (sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas) priklauso pagrindinėms elementarioms funkcijoms. Dabar pažvelgsime į jų grafikus ir išvardinsime jų savybes.

Trigonometrinės funkcijos turi koncepciją dažnis(funkcijų reikšmių pasikartojimas skirtingoms argumentų reikšmėms, kurios skiriasi viena nuo kitos pagal laikotarpį , kur T yra taškas), todėl elementas buvo įtrauktas į trigonometrinių funkcijų savybių sąrašą „Mažiausias teigiamas laikotarpis“. Taip pat kiekvienai trigonometrinei funkcijai nurodysime argumento, kuriame atitinkama funkcija tampa nuliu, reikšmes.

Dabar panagrinėkime visas trigonometrines funkcijas eilės tvarka.

Sinuso funkcija y = sin(x) .

Nubraižykime sinusinės funkcijos grafiką, ji vadinama „sinuso banga“.

Sinuso funkcijos y = sinx savybės.

Kosinuso funkcija y = cos(x) .

Kosinuso funkcijos (vadinamos "kosinusu") grafikas atrodo taip:

Kosinuso funkcijos y = cosx savybės.

Liestinės funkcija y = tan(x) .

Tangentinės funkcijos grafikas (ji vadinama tangentoide) atrodo taip:

Tangentinės funkcijos y = tanx savybės.

Kotangentinė funkcija y = ctg(x) .

Nubraižykime kotangentinės funkcijos grafiką (ji vadinama „kotangentoide“):

Kotangentinės funkcijos y = ctgx savybės.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (arksinusas, lanko kosinusas, lanko liestinė ir lanko kotangentas) yra pagrindinės elementarios funkcijos. Dažnai dėl priešdėlio „lankas“ atvirkštinės trigonometrinės funkcijos vadinamos lanko funkcijomis. Dabar pažvelgsime į jų grafikus ir išvardinsime jų savybes.

Arksininė funkcija y = arcsin(x) .

Nubraižykime arcsininę funkciją:

Bibliografija.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo lavinimo įstaigos.
• Vygodskis M.Ya. Pradinės matematikos vadovas.
• Novoselovas S.I. Algebra ir elementariosios funkcijos.
• Tumanovas S.I. Elementarioji algebra. Saviugdos vadovas.

Ar esate susipažinę su funkcijomis y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x Visos šios funkcijos yra specialūs galios funkcijos atvejai, t. y. funkcija y=x p, kur p yra tikrasis skaičius. Laipsnio funkcijos savybės ir grafikas labai priklauso nuo laipsnio su realiuoju eksponentu savybių, o ypač nuo verčių, kurioms x Ir p laipsnis turi prasmę x p. Panašiai nagrinėkime įvairius atvejus, priklausomai nuo eksponento p.

Indeksas p=2n-lyginis natūralusis skaičius.

Šiuo atveju galios funkcija y=x 2n, Kur n- natūralusis skaičius, turi šiuos dalykus

savybės:

apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai, t.y. aibė R;

reikšmių rinkinys - neneigiami skaičiai, ty y yra didesnis arba lygus 0;

funkcija y=x 2n net, nes x 2n =(-x) 2n

funkcija mažėja intervale x<0 ir didėjant intervalui x>0.

Funkcijos grafikas y=x 2n turi tokią pačią formą kaip, pavyzdžiui, funkcijos grafikas y=x 4 .

2. Rodiklis p=2n-1- nelyginis natūralusis skaičius Šiuo atveju galios funkcija y=x 2n-1, kur yra natūralusis skaičius, turi šias savybes:

apibrėžimo sritis – aibė R;

reikšmių rinkinys - rinkinys R;

funkcija y=x 2n-1 keista, nes (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funkcija didėja visoje realioje ašyje.

Funkcijos grafikas y=x2n-1 turi tokią pačią formą kaip, pavyzdžiui, funkcijos grafikas y=x3.

3. Rodiklis p=-2n, Kur n- natūralusis skaičius.

Šiuo atveju galios funkcija y=x -2n =1/x 2n turi šias savybes:

reikšmių rinkinys – teigiami skaičiai y>0;

funkcija y =1/x 2n net, nes 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funkcija didėja intervale x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funkcijos y grafikas =1/x 2n turi tokią pačią formą kaip, pavyzdžiui, funkcijos y grafikas =1/x 2 .

4. Rodiklis p=-(2n-1), Kur n- natūralusis skaičius. Šiuo atveju galios funkcija y=x -(2n-1) turi šias savybes:

apibrėžimo sritis – aibė R, išskyrus x=0;

reikšmių rinkinys - rinkinys R, išskyrus y=0;

funkcija y=x -(2n-1) keista, nes (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funkcija mažėja intervalais x<0 Ir x>0.

Funkcijos grafikas y=x -(2n-1) turi tokią pačią formą kaip, pavyzdžiui, funkcijos grafikas y=1/x 3 .

1. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (apskritimo funkcijos, lanko funkcijos) – matematinės funkcijos, kurios yra atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms.

1. arcsin funkcija

Funkcijos grafikas .

arcsine numeriai mši kampo reikšmė vadinama x, kuriam

Funkcija yra ištisinė ir apribota išilgai visos skaičių linijos. Funkcija griežtai didėja.

1. [Redaguoti]Funkcijos arcsin ypatybės

1. [Redaguoti]Gauti arcsin funkciją

Atsižvelgiant į funkciją Visoje jos dalyje apibrėžimo sritis ji būna fragmentiškai monotoniškas, taigi ir atvirkštinė atitiktis nėra funkcija. Todėl mes apsvarstysime segmentą, kuriame jis griežtai didėja ir įgyja visas vertes verčių diapazonas- . Kadangi funkcijai intervale kiekviena argumento reikšmė atitinka vieną funkcijos reikšmę, tai šiame intervale yra atvirkštinė funkcija kurio grafikas yra simetriškas atkarpos funkcijos grafikui tiesės atžvilgiu

1. Mokomosios literatūros tema: „Jėgos funkcijos savybės“ analizė

Galios funkcijų tyrimas pradedamas 7 klasėje su ypatingais atvejais ir tęsiamas per visą algebros kursą. Iki 11 klasės žinios apie galios funkciją apibendrinamos, plečiamos ir sisteminamos.

9 klasei turi būti atlikta mokomosios literatūros analizė, kad remiantis šia mokomosios literatūros analize būtų sudarytas didaktinio vadovo turinys.

Vadovėlis: „Algebra. 9 klasė“. Mordkovičius A. G., Semenovas P. V. (Mnemosyne, 2009 m.)

Vadovėlyje aptariamos laipsnio funkcijos su sveikuoju rodikliu. Teorinė medžiaga tema „Jeigos funkcija“ pateikiama skyriuje „Skaičių funkcijos“ atskiromis pastraipomis, kuriose aptariamos ir pačios funkcijos, ir jų savybės bei grafikai.

Medžiagos pristatymas yra prieinamas moksleiviams, daug pavyzdžių su išsamiais ir nuodugniais sprendimais įtraukta į 1 dalį (vadovėlyje), o savarankiško darbo pratimai patalpinti į 2 dalį (užduočių knygelėje).

Studijų medžiagos struktūra:

3 SKYRIUS. Skaitmeninės funkcijos

§12. Funkcijos, jų savybės ir grafikai.

§13. Funkcijos, jų savybės ir grafikai.

§14. Funkcija, jos savybės ir grafikas.

Toliau laipsnio funkcijos apibrėžiamos kaip funkcijos su natūraliuoju rodikliu (pirmiausia pateikiami specialūs laipsnio funkcijų atvejai, tada atskleidžiama bendroji formulė). Nagrinėjamos laipsnio funkcijos su lyginiu eksponentu ir jų grafikai, iš kurių vėliau atskleidžiamos savybės (reikšmės diapazonas ir funkcijos apibrėžimo sritis, lyginis ir nelyginis, monotoniškumas, tęstinumas, didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė, išgaubtumas ). Toliau nagrinėjame galios funkcijas su nelyginiu eksponentu, taip pat jų grafikus ir savybes.

§ 13 apibrėžiamos laipsnio funkcijos su neigiamais eksponentais: pirmiausia lyginės, paskui nelyginės. Panašiai kaip galios funkcijos su natūraliu eksponentu, pateikiami specialūs atvejai:

Po to atskleidžiama bendroji formulė, taip pat atsižvelgiama į grafikus ir savybes

14 straipsnyje ši funkcija įvedama

jo savybės ir grafikas, kaip specialusis laipsnio funkcijos atvejis su racionaliuoju rodikliu n =

Grafų transformacija (simetrija) susiveda į tai, kad lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu, o nelyginės – pradžios atžvilgiu. Todėl stepių funkcijoms duota funkcija nagrinėjama tam tikrame spindulyje, sudaromas jos grafikas ir, naudojant simetriją, grafikas sudaromas visoje skaičių tiesėje. Toliau skaitomas grafikas, ty grafike pateikiamos funkcijos savybės pagal schemą:

1) apibrėžimo apimtis;

2) lyginis, nelyginis;

3) monotonija;

4) ribojimas iš apačios, iš viršaus;

5) mažiausia ir didžiausia funkcijos reikšmės;

6) tęstinumas;

7) reikšmių diapazonas;

8) išgaubtumas.

a) eina į pagalbinę koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške, kuriame gaunamos reikšmės x = 0 ir y = 0.

b) „pririša“ funkciją prie naujos koordinačių sistemos.

3 pavyzdys. Nubraižykite funkciją

Sprendimas. Pereikime prie pagalbinės koordinačių sistemos, kurios pradžia yra taške (-1;-2) (117 pav. brūkšninės linijos) ir funkciją „susiekite“ su nauja koordinačių sistema. Gauname reikiamą grafiką (117 pav.)

Probleminėje knygoje „Algebra. 9 klasė“. redagavo Mordkovichas A. G. ir Semenovas P. V. pateikiama įvairi pratimų sistema. Pratimų rinkinys suskirstytas į du blokus: pirmame yra dviejų pagrindinių lygių užduotys: žodžiu (pusiau žodžiu) ir vidutinio sunkumo užduotys; antrame bloke yra užduočių, kurių lygis viršija vidutinį arba yra sudėtingesnis. Pateikiami atsakymai į daugumą antrojo ir trečiojo lygių problemų. Užduočių knygoje yra daug įvairių užduočių, skirtų sudaryti įvairių tipų laipsnių funkcijų grafikus ir nustatyti funkcijos savybes iš jos grafiko. Pavyzdžiui:

Nr 12.10. Nubraižykite funkciją:

Nr 12.15. Išspręskite lygtį grafiškai

Nr 12.19. Nubraižykite ir perskaitykite funkcijos grafiką

Nubraižykite ir perskaitykite funkcijos grafiką

Vadovėlis: „Algebra. 9 klasė“. Nikolskis S. M., Potapovas M. K., Rešetnikovas N. N., Ševkinas A. V. (Apšvietos, 2006 m.)

Šis vadovėlis skirtas ir bendrojo lavinimo pamokoms, kuriose nereikia svarstyti papildomos medžiagos ir sudėtingų užduočių. Jei yra pakankamai valandų, jei klasė domisi matematika, tai dėl papildymų vadovėlio skyrių pabaigoje, taip pat taškų ir atskirų užduočių su žvaigždute, kurios neprivalomos įprastose bendrojo lavinimo pamokose, yra galimybė išplėsti ir pagilinti studijuojamos medžiagos turinį tiek, kiek numatyta programoje, skirtoje klasėms, kuriose yra gilinamasi matematikos studijoms. Tai reiškia, kad vadovėlis gali būti naudojamas tiek įprastose, tiek klasėse, kuriose nuodugniai mokomasi matematikos.

Studijų medžiagos struktūra:

II SKYRIUS. Laipsnis

§4. Šaknies laipsnis

4.1 Funkcijų savybės

4.2 Funkcijos grafikas

4.3 Laipsnio šaknies samprata

4.4 Lyginių ir nelyginių galių šaknys

4.5 Aritmetinė šaknis

4.6 Laipsnių šaknų savybės

4.7 *Natūralaus skaičiaus šaknis

4.8 *Funkcija

Temos nagrinėjimas pradedamas nuo funkcijos savybių (naudojant n = 2 ir n = 3 pavyzdį) ir jos grafiką. Toliau tiriama n šaknis, aritmetinė šaknis ir n šaknų savybės, taip pat jų taikymas išraiškos transformacijai. Pamokose, kuriose nuodugniai mokomasi matematikos, papildomai nagrinėjamos šios temos: „Funkcija“, „Laikiklis su racionaliuoju rodikliu ir jo savybės“.

Teigiama, kad funkcijos turi daugybę identiškų savybių (apibrėžimo sritis, funkcijos nuliai, paritetas, nelygumas, tęstinumas, monotoniškumo intervalai). Todėl patartina bendruoju atveju laikyti funkciją, kur yra koks nors natūralusis skaičius, . Funkcijos grafiko apibrėžimas pateikiamas per parabolės apibrėžimą. Tai yra, pagal gerai žinomą faktą, kad funkcijos grafikas yra parabolė, tada šis grafikas vadinamas antrojo laipsnio parabole, funkcijos grafikas vadinamas 1-ojo laipsnio parabole arba, trumpai tariant, parabolė. Funkcijų savybės atsižvelgiama tik į neneigiamas su kai kuriais įrodymais.

Funkcijos grafiko sudarymo tyrimas pradedamas vaizduojant funkcijų grafikus vienoje koordinačių plokštumoje tik neneigiamoms reikšmėms.

Funkcijos tyrimas grindžiamas anksčiau įgytomis žiniomis apie laipsnio aritmetinę šaknį. Funkcijos grafikas brėžiamas Dekarto koordinačių sistemoje. Pirmiausia apsvarstysime galios funkciją ir jos grafiko sudarymą O koordinačių sistemoje. Taigi įrodyta, kad funkcijos grafikas yra galios parabolės dalis.

1) Jei x = 0, tai y = 0.

2) Jei, tada.

3) Funkcija didėja.

4) Jei, tada.

5) Funkcija yra nuolatinė.

Pratimų sistema tema „Galios funkcija“ yra įvairi. Jame pateikiamos mokymo užduotys, tiek žodžiu, tiek raštu. Pavyzdžiui:

Nr. 316. Suteikta funkcija

Ištirkite šią funkciją ir pavaizduokite ją diagramoje.

Nr. 318. Nubraižykite funkciją

Nr. 321. Vienoje koordinačių sistemoje sudaryti funkcijų grafikus

Nr. 441. Nubraižykite funkcijos grafiką:

Nr. 442. Nubraižykite funkcijos grafiką:

Vadovėlis: „Algebra. 9 klasė“. Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Apšvietos, 2009)

Šis vadovėlis skirtas vidurinėms mokykloms.

Studijų medžiagos struktūra:

IV SKYRIUS. Galia su racionaliuoju rodikliu

§9. Maitinimo funkcija

21. Lyginės ir nelyginės funkcijos

22. Funkcija

§10. n-oji šaknis

23. N-osios šaknies nustatymas

24. N-ojo laipsnio aritmetinės šaknies savybės

§vienuolika. Galia su racionaliuoju rodikliu ir jo savybės

25. Laipsnio nustatymas su trupmeniniu rodikliu

26. Savybės su racionaliuoju rodikliu

27. Reiškių, turinčių laipsnius su trupmeniniais rodikliais, konvertavimas

Galios funkcijos tyrimas prasideda lyginių ir nelyginių funkcijų sąvokų įvedimu, naudojant pavyzdžius, kaip lyginti funkcijos reikšmes su dviem priešingomis argumento reikšmėmis. Toliau pateikiamas lyginių ir nelyginių funkcijų apibrėžimas su atitinkamų grafikų konstrukcija.

Teigiama, kad galios funkcijos = 1, 2 ir 3 (t. y. funkcijos), jų savybės ir grafikai buvo tyrinėti anksčiau. Toliau išaiškinamos galios funkcijos savybės ir jos grafiko ypatybės bet kuriam natūraliajam skaičiui. Apsvarstykite funkcijas, kai rodiklis n yra lyginis skaičius, tada n yra nelyginis skaičius. Savybės analizuojamos naudojant pavyzdžius pagal schemą:

1. Apibrėžimo sritis;

2. Prasmės diapazonas;

3. Funkcijos nuliai;

4. Paritetas;

5. Nelyginis paritetas;

6. Funkcijos monotoniškumas.

Kita skyriaus pastraipa skirta n-jai šaknims, kurioje pristatomas apibrėžimas ir aptariamos savybės.

Apibrėžimas kartojamas: skaičiaus kvadratinė šaknis yra skaičius, kurio kvadratas lygus a. Bet kurios natūraliosios galios n šaknis apibrėžiama panašiai: skaičiaus a n-oji šaknis yra skaičius, kurio n-oji galia yra lygi a. Norėdami tai padaryti, pirmiausia atsižvelgiame į laipsnio funkciją su nelyginiu rodikliu n ir jos grafiką, kuris rodo, kad bet kuriam skaičiui a yra unikali x reikšmė, kurios n-asis laipsnis yra lygus a. Tada nagrinėjama laipsnio funkcija su lyginiu eksponentu n, o jei, tada yra dvi priešingos x reikšmės, nes yra vienas toks skaičius (skaičius 0), nes tokių skaičių nėra.

Skyriaus pabaigoje nagrinėjamas laipsnis su racionaliuoju rodikliu ir jo savybės.

Pratimų sistema yra įvairi. Pavyzdžiui:

Nr.503. Nubraižykite funkcijos grafiką

Nr.508. Išspręskite lygtį grafiškai

Nr.513. Naudodami funkcijos grafiką išspręskite lygtį

Nr.580. Nubraižykite funkciją

Nr.644. Nubraižykite funkcijos f grafiką, žinodami, kad ji nelyginė ir kad jos reikšmę ties galima rasti naudojant formulę

Nr.643. Nubraižykite funkciją

Nr.663. Nubraižykite funkciją. Naudodami grafiką palyginkite šaknų reikšmes

Nr.669. Nubraižykite funkciją

Vadovėlis: „Algebra. 9 klasė“. Sh.A. Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu V. Sidorov ir kiti (Apšvietos, 2009)

Nagrinėjant šią temą ypatingas dėmesys skiriamas funkcijų savybėms ir šių savybių atvaizdavimui grafikuose. Kartu ugdomi pradiniai įgūdžiai atlikti paprastas funkcijų grafikų transformacijas.

Studijų medžiagos struktūra:

III SKYRIUS. Maitinimo funkcija

§12. Funkcijos domenas

§13. Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas

§14. Lyginė ir nelyginė funkcija

§15. Funkcija

§16. Nelygybės ir lygtys su laipsniais

Pagrindinis šio skyriaus tikslas – ne tik supažindinti mokinius su galios funkcija, bet ir išplėsti žinomą informaciją apie funkcijos, kaip visumos, savybes (apibrėžimo sritį, monotoniškumą, lygines ir nelygines funkcijas), ugdyti gebėjimus. tirti funkcijas naudojant tam tikrą grafiką,

Studijuojant šio skyriaus medžiagą pagilinamas ir ženkliai plečiamas mokinių funkcinis supratimas.

§12 suformuluotas funkcijos apibrėžimas, argumentas ir funkcijos apibrėžimo sritis. Primename funkcijos grafiko apibrėžimą ir jos sudarymo metodus, įskaitant elementariųjų transformacijų naudojimą.

§13 pristatome galios funkcijos sąvoką. Pavyzdžiai atskleidžia apibrėžimo apimtį; primenami didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimai, pateikiami didėjančios ir mažėjančios galios funkcijų apibrėžimai.

Lyginių ir nelyginių funkcijų idėja studentams pateikiama vizualiniu lygmeniu. Vadovėlyje aptariamos dvi problemos, kuriose reikia sudaryti funkcijos ir grafikus. Tiriamos šių funkcijų savybės ir, remiantis simetrija, pateikiamos sampratos apie funkcijos lygumą ar nelygumą.

15 dalyje mokiniai įgyja įvairių k reikšmių funkcijos supratimą, išmoksta nubraižyti funkcijos grafiką ir jį perskaityti (tai yra nustatyti funkcijos savybes iš jos grafiko). Naudojantis funkcija, patikslinama atvirkštinio proporcingumo samprata, kuri buvo paminėta tik 8 klasės algebros kurse.

Tiriant funkciją, kai k > 0, funkcija pirmiausia pateikiama kaip specialus galios funkcijos atvejis: atsižvelgiant į parametro k pokyčius.

Šiame skyriuje aptariamos keturios problemos, kuriose būtina sudaryti funkcijų grafikus. 1 uždavinyje, norint sudaryti funkcijos grafiką, naudojamos visos ankstesnėse pastraipose nagrinėtos funkcijos savybės. 2 užduotyje, konstruojant funkcijų grafikus, naudojamas jau žinomas funkcijos grafiko ištempimas išilgai abscisių ašies 2 kartus. Ir, remiantis šiomis dviem problemomis, suformuluojamos funkcijos ir savybės.

4 užduotyje reikia sudaryti funkcijos grafiką (remiantis 1-2 užduotimis), t. y. šios funkcijos grafiką galima sudaryti funkcijos grafiką išilgai Ox ašies perkeliant į dešinę vienu ir išilgai Oy ašies žemyn 2 vienetais.

Pratimų sistemoje pateikiamos įvairių tipų užduotys: tiek privalomos, tiek papildomos padidinto sudėtingumo užduotys.

Tarp galios funkcijų grafikų sudarymo užduočių galima išskirti šiuos pratimus:

Nr. 164. Sukurkite grafiką ir raskite didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus

Nr. 166. Nubraižykite funkcijos at grafiko eskizą

Nr. 171. Sukurkite grafiką ir raskite didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus

Nr. 174. Nubraižykite funkcijos grafiką

Nr. 179. Išsiaiškinkite funkcijos savybes ir sudarykite jos grafiką

Nr. 180. Nubraižykite funkciją

Nr. 191. Nubraižykite funkciją

Nr. 218. Išsiaiškinkite, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė

Studentai, studijuojantys medžiagą, įvaldo tokias sąvokas kaip apibrėžimo sritis, lyginės ir nelyginės funkcijos, didėjančios ir mažėjančios intervalo funkcijos.

Su didėjimo ir mažėjimo funkcijų samprata mokiniai susidūrė 8 klasės algebros kurse, tačiau tik studijuojant šią temą susidaro šių sąvokų apibrėžimai, todėl atsiranda galimybė analitiškai įrodyti konkrečios funkcijos padidėjimą ar sumažėjimą intervale. (tačiau tokių įrodymų atlikimas nėra vienas iš būtinų įgūdžių) . Mokiniai mokosi rasti didėjančius funkcijos intervalus, naudodami atitinkamos funkcijos grafiką.

Nagrinėjant temą, laipsnio funkcijos su trupmeniniu rodikliu pavyzdžiai nenagrinėjami, nes laipsnio su racionaliuoju rodikliu sąvoka šiame kurse neįvedama.

Studijuodami kiekvieną konkrečią funkciją (taip pat ir funkcijas), mokiniai galės nubraižyti atitinkamos funkcijos grafiko eskizą ir pagal grafiką išvardinti jos savybes.

Vadovėlis: „Algebra. Išsamus tyrimas. 9 klasė“. Mordkovičius A. G. (Mnemosyne, 2006)

Paėmėme 2006 m. vadovėlį, nes šiame vadovėlyje, skirtingai nei vėlesniuose leidimuose, laipsnio tema buvo su racionaliu rodikliu. Paprastai tariant, šiuo metu ši tema nagrinėjama vidurinėje mokykloje, tačiau į multimedijos vadovą įtraukėme ją kaip propedeutinę medžiagą.

Knyga skirta nuodugniai mokytis matematikos 9-oje gimnazijos klasėje. Šis vadovėlis parašytas remiantis 9 klasės vadovėliu bendrojo ugdymo įstaigoms (A. G. Mordkovich. Algebra-9). Ji įgyvendina tą pačią programą, tačiau skirtumas yra nuodugnesnis atitinkamų kurso klausimų nagrinėjimas: paprasti pavyzdžiai pakeičiami sudėtingesniais ir įdomesniais.

Studijų medžiagos struktūra:

4 SKYRIUS. Maitinimo funkcijos. Galios ir šaknys

§17. Laipsnis su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu

§18. Funkcijos, jų savybės ir grafikai

§19. Realiojo skaičiaus n-osios šaknies samprata

§20. Funkcijos, jų savybės ir grafikai

§21. N-osios šaknies savybės

§22. Išraiškų, kuriose yra radikalų, konvertavimas

§23. Rodiklio sampratos apibendrinimas

§24. Funkcijos, jų savybės ir grafikai

18 paragrafe kalbame apie laipsnio funkcijas su sveikuoju rodikliu, t. y. funkcijas ir tt Šis skyrius suskirstytas į pastraipas:

Autorius primena, kad paprasčiausias tokios funkcijos atvejis buvo svarstomas 7 klasėje – tai buvo funkcija. Ši pastraipa prasideda nuo funkcijos svarstymo. Konstruojamas grafikas ir tam tikra tvarka išvardijamos šios funkcijos savybės: 1) apibrėžimo sritis; 2) lyginis, nelyginis; 3) monotonija; 4) ribojimas iš apačios, iš viršaus; 5) mažiausia ir didžiausia funkcijos reikšmės; 6) tęstinumas; 7) reikšmių diapazonas; 8) išgaubtumas.

Savybės perskaitytos grafiškai, dabar siūloma analitiškai įrodyti daugelio šių savybių egzistavimą.

Autorius daro išvadą, kad bet kurios laipsnio funkcijos grafikas yra panašus į funkcijos grafiką, tik jos šakos yra staigiai nukreiptos į viršų ir labiau prispaustos link atkarpos x ašies ir pažymi, kad kreivė taške liečia x ašį. (0;0).

Pastraipos pabaigoje pateikiamas funkcijos Konstravimas grafiko sudarymo pavyzdys: 1) perėjimas į pagalbinę koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške (1; -2); 2) kreivės braižymas.

1) Funkcija

Laipsniškos funkcijos su nelyginiu rodikliu savybės ir grafikas pirmiausia nagrinėjami naudojant funkcijos, kurios grafikas yra kubinė parabolė, pavyzdį.

Autorius daro išvadą, kad bet kurios laipsnio funkcijos grafikas yra panašus į funkcijos grafiką, tik kuo didesnis eksponentas, tuo stačiau aukštyn (ir atitinkamai žemyn) nukreiptos grafiko šakos ir pažymi, kad kreivė liečia x ašis taške (0;0).

Toliau pateikiamas laipsninės funkcijos grafiko panaudojimo lygčiai spręsti pavyzdys. Sprendimas vyksta 4 etapais: 1) nagrinėjamos dvi funkcijos: ir; 2) funkcijos braižymas; 2) tiesinės funkcijos braižymas; 4) rasti susikirtimo tašką ir atlikti patikrinimą.

2) Funkcija

Mes kalbame apie galios funkcijas su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu (lyginiu). Pirmiausia pažvelkime į funkcijos pavyzdį. Sukuriamas grafikas ir pateikiamos šios funkcijos savybės. Visų pirma įrodome savybę, kad funkcija mažėja.

daugialypės terpės vizualinė funkcija mokyklinė matematika

3) Funkcija

Šiuo atveju mes laikome laipsnio funkcijas su neigiamu sveikuoju rodikliu (nelyginiu): ir tt Autorius primena, kad viena tokia funkcija jau buvo tiriama 8 klasėje - tai. Prisimenamos jo savybės ir grafikas (hiperbolė), ir daroma išvada, kad bet kurios funkcijos grafikas yra panašus į hiperbolę.

19 straipsnyje pateikiama tikrojo skaičiaus n-osios šaknies sąvoka ir ypač pažymima, kad iš bet kurio neneigiamo skaičiaus galima išskirti bet kurio laipsnio šaknį (antrojo, trečiojo, ketvirtojo ir tt) ir iš neigiamo skaičiaus galima išskirti bet kurio nelyginio laipsnio šaknį.

§ 20 mes kalbame apie funkciją, pateiktą at, ir išnagrinėjame jos grafiką bei savybes naudodami tam tikrą pavyzdį (at). Iš paveikslo, kuriame pavaizduotas funkcijos grafikas ir funkcijos grafikas, nustatoma ir analitiškai patvirtinama šių grafikų simetrija.

Šiame skyriuje taip pat aptariama bet kokių verčių nelyginė funkcija. Aptariamos šios funkcijos savybės ir nubraižytas grafikas.

· jei yra lyginis skaičius, tai funkcijos grafikas turi tokią formą, kaip parodyta pav. 1;

· jei yra nelyginis skaičius, tai funkcijos grafikas turi tokią formą, kaip parodyta pav. 2.

24 § mes svarstome formos funkciją – bet kurį realųjį skaičių (apsiribojame racionalaus eksponento atvejais).

1. Jei yra natūralusis skaičius, tada gauname funkciją (grafika ir savybės žinomos)

2. Jei, tada gauname funkciją, t.y. Lyginio atveju grafikas turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 3a, nelyginio atveju grafikas turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 3b

ryžių.

3. Jei, tai yra, mes kalbame apie funkciją, tai yra funkcija kur

Situacija yra maždaug tokia pati bet kuriai formos galios funkcijai, kur:

1. - netinkama trupmena (skaitiklis didesnis už vardiklį). Jos grafikas yra kreivė, panaši į parabolės šaką. Kuo rodiklis aukštesnis, tuo „statesnė“ ši kreivė nukreipta į viršų. Sudaromas grafikas ir pateikiamos savybės.

2. - tinkamoji trupmena () (§ 20). Sudaromas grafikas ir pateikiamos savybės.

Sudaromas grafikas ir pateikiamos savybės.

Probleminėje knygoje „Algebra. Išsamus tyrimas. 9 klasė“. Zavich L.I., Ryazanovsky A.R. pristato įvairią pratimų sistemą. Užduočių sudėtingumas didėja, kai didėja jų serijos numeris. Probleminėje knygoje yra daug įvairių pratimų, kaip sudaryti įvairių tipų laipsnių funkcijų grafikus, tirti ir pritaikyti jų savybes.

Pavyzdžiui:

Nr 17.05. Sukurkite funkcijų grafikus viename brėžinyje

Grafiko funkcijos

Nr 17.35. Nubraižykite funkciją

ir naudodamiesi grafiku, nurodykite jo monotoniškumo intervalus, ekstremumo taškus, ekstremumus ir jo nulių skaičių.

Nubraižykite funkcijas:

Nr 19.01. Sukurkite funkcijų grafikus viename brėžinyje

Nr 19.04. Nubrėžkite funkcijų grafikus

Nr 19.22. Nubraižykite grafikus ir atlikite funkcijų tyrimą

Nr.21.01. Sukurkite funkcijų grafikus viename brėžinyje, skirtą ir, ir išvardyti funkcijos savybes: a) apibrėžimo sritis D(y); b) reikšmių rinkinys E(y); c) funkcijos nuliai; d) monotonijos intervalai; e) išgaubtumo intervalai; f) ekstremalūs taškai; g) kraštutinumai; h) lyginis arba nelyginis; i) didžiausios ir mažiausios vertės.

Nr.21.03. Nubraižykite ir ištirkite šias funkcijas

Nr.21.11. Sukurkite funkcijų grafikus viename brėžinyje

segmente

Nr.21.17. Grafiko funkcijos

Nr.25.01. Tame pačiame brėžinyje sukurkite šių funkcijų porų grafikų eskizus

Nr 25.05. Nubraižykite funkcijų grafikus ir apibūdinkite jų savybes

Nr 25.06. Sukurkite funkcijų grafikus gretimuose brėžiniuose

Nr 25.18. Grafiko funkcijos

Nr 25.30 val. Grafiko funkcijos

Mokomosios literatūros analizė leidžia padaryti tam tikras išvadas

Atsižvelgdami į pagrindinio bendrojo lavinimo matematikos standartą, matome, kad mokiniai turi mokytis šių tipų galios funkcijų:

Ypatingi atvejai (tiesioginis, atvirkštinis proporcingumas, kvadratinė funkcija),

Su natūraliu indikatoriumi,

Su visu rodikliu

Turint teigiamą racionalųjį eksponentą,

Su racionaliu rodikliu,

Su neracionaliu indikatoriumi,

Su galiojančiu indikatoriumi.

Svarbų vaidmenį šioje temoje atlieka funkcijų grafikų vaizdo formavimas. Mokiniai taip pat turėtų mokėti: nustatyti funkcijos savybes iš jos grafiko; apibūdinti tiriamų funkcijų savybes, sudaryti jų grafikus. Atsižvelgdami į standartą, galime daryti išvadą, kad tema „Galios funkcija“ yra įtraukta į privalomą moksleivių žinių, įgūdžių ir gebėjimų minimumą, todėl mūsų dėmesys jai yra visiškai pagrįstas.

Norint išsiugdyti tvirtus gebėjimus apie galios funkciją, būtina išstudijuoti temos „Galos funkcijos savybės“, prie kurios pereiname, metodiką.

2. Metodiniai pagrindai nagrinėjant temą „Jeigos funkcijos savybės“ mokykloje

Galios funkcija priklauso elementariųjų funkcijų klasei.

Jo tyrimo tikslas yra ne tik supažindinti studentus su galios funkcija, bet ir išplėsti jiems žinomą informaciją apie funkcijų savybes apskritai.

Studijuodami temą „Galios funkcija“, jie daugiausia naudoja analitinį ir grafinį funkcijų tyrimo metodą. Tais atvejais, kai analitinis tyrimas yra sunkiai suprantamas studentams, naudojami grafiniai metodai, tačiau pastarieji negali pasitarnauti kaip įrodymas.

Studentai atlieka labai daug grafikos darbų, dėmesys skiriamas ne tik jų įgyvendinimo tikslumui ir preciziškumui, bet ir racionalioms grafikų konstravimo technikoms.

Išugdyti stiprius gebėjimus sudaryti ir skaityti galios funkcijų grafikus bei užtikrinti, kad kiekvienas mokinys galėtų savarankiškai atlikti pagrindines užduotis, galima tik tuo atveju, jei mokiniai atlieka pakankamą skaičių mokomųjų pratimų.

Pavyzdžiui, žurnale „Matematika mokykloje“ Lopatina, L.V. siūlo šią seminaro pamoką:

Pamoka-seminaras skirtas mokiniams įgyti žinių savo darbu. Tai yra pagrindinis raidos pedagogikos leitmotyvas. Tema „Galos funkcija“ labai tinka visos klasės kūrybiniam darbui, nes galios funkcija (kur yra bet koks racionalusis skaičius) iš tikrųjų yra funkcijų rinkinys, turintis skirtingas savybes, priklausomai nuo eksponento.

Šių savybių aptarimas geriausiai organizuojamas grupėse. Norėdami tai padaryti, klasę patartina suskirstyti į šešias grupes.

Visų pirma, mokytojas turi įsivaizduoti darbo seką „seminare“:

I etapas – indukcija – apeliacija į ankstesnę patirtį;

III etapas – spraga – momentas, kai mokiniai turi suvokti, kad jų žiniose yra spragų, kurias jie patys turi užpildyti;

IV etapas – refleksija – asimiliacijos laipsnio nustatymas.

Leiskite mums išsamiau apibūdinti kiekvieną pamokos etapą.

I etapas – indukcija. Mokytojas primena, kad funkcijos, jų savybės, grafikai jau buvo tiriami klasėje. Šios funkcijos paprastai gali būti nurodytos formule: , kur - yra koks nors sveikasis skaičius. Tokia funkcija vadinama galios funkcija. Klasei pateikiama tokia užduotis: surašykite klausimus, į kuriuos turime atsakyti mokantis naujos funkcijos.

Klasė aptaria šiuos klausimus grupėse, o tada visi grupių klausimai surenkami į vieną sąrašą:

· Kokias savybes turi ši funkcija?

· Koks jos tvarkaraštis?

· Kokiomis situacijomis jis naudojamas?

Pradėkime nuo atsakymo į paskutinį klausimą. Pateiksime kelių situacijų, kuriose atsiranda galios funkcija, pavyzdžius.

Trys mokiniai pakaitomis ateina prie lentos ir rašo namuose paruoštas žinutes.

Pirmasis studentas svarsto funkciją, kur yra vielos skersmens skerspjūvio plotas. Mokiniai pastebės, kad ši galios funkcija iš tikrųjų yra kvadratinė funkcija, tačiau su argumento vertės apribojimais.

Antrasis mokinys kalba apie tai, kad traukos jėga tarp dviejų masių turinčių kūnų išreiškiama formule. Tai yra atstumo tarp šių kūnų funkcija. Klasėje bus mokinys, kuris pastebės, kad mes jau nubraižėme tokio tipo funkciją, nors specialiai jos nestudijavome.

Trečias mokinys analizuoja horizonto atstumą nuo stebėtojo: . Tai yra aukščio, iki kurio stebėtojas yra pakeltas virš jūros lygio, funkcija. Jei patys vaikai to nepastebėjo, mokytojas turėtų pabrėžti, kad čia vertė negali augti be galo. Iš tiesų, kad ir kaip aukštai būtų pakeltas stebėtojas, jis nemato daugiau, nei leidžia jo regėjimo galimybės ir Žemės rutulio išgaubimas. Šis pavyzdys yra ypač orientacinis, nes leidžia spręsti apie funkcijos reikšmių apribojimų tinkamumą. Čia turime nustatyti tam tikrus funkcijos reikšmių apribojimus, nors teoriškai reikšmės gali didėti neribotai.

II etapas – temos aptarimas. Mokiniams suteikiama šiek tiek laiko ištirti vienos iš pasirinktų galios funkcijų savybes. Pagrindinė problema čia yra funkcijos pasirinkimas. Viena grupė linkusi supaprastinti problemą, apsiribodama tipo funkcija, kuri yra gerai žinoma visiems studentams. Kita grupė savo darbą pernelyg apsunkina, sutelkdama dėmesį į rūšies funkciją arba, galbūt, abu kartu, nors bendras požiūris į klausimą studentams dar nėra aiškus.

Galų gale yra grupių, kurios pasirinko funkcijas, kurių grafikai jau buvo apsvarstyti anksčiau, nors joms nebuvo skiriamas reikiamas dėmesys.

Pirmoji grupė nagrinėjo rūšies funkciją; pažymėjo jo apibrėžimo sritį: ir nulinę funkcijos reikšmę at. Vaikinai ypač daug dėmesio skyrė tam, kad funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Mes nustatėme intervalus, kai funkcija yra didesnė arba mažesnė už nulį. Pranešėjai pabrėžė, kad ši funkcija yra keista ir neturi nei didžiausios, nei mažiausios vertės.

Vienas mokinys iš šios grupės kalba klasei ir pasakoja apie grupės tyrimo rezultatus.

Antroji grupė pasirinko ypatybę, kurią reikia apsvarstyti. Vaikinai pastebėjo, kad dabar iš funkcijos apibrėžimo srities turės išbraukti skaičių 0, t.y. . Skirtingai nuo ankstesnės, ši funkcija neturi nulių. Tačiau, kaip ir aukščiau aptarta, ši funkcija yra teigiama ir neigiama. Jis mažėja visoje apibrėžimo srityje.

Šios grupės atstovas akcentuoja skirtumus tarp funkcijų ir.

Dar du mokiniai kalba apie funkcijas.

Visi pranešėjai savo pristatymų metu turi pademonstruoti aptartų funkcijų grafikus.

III pamokos etape mokiniai turi apibendrinti savo žinias. Ir jie turi tai padaryti patys, nustebinti svarstomų funkcijų įvairovės. „Kodėl jiems suteikiamas vienas vardas, jei jų tiek daug ir jie skirtingi? – tokį klausimą turėtų užduoti sau mokiniai. Mokytojo užduotis – tyliai vesti mokinius prie šio klausimo. Ateina vadinamojo atotrūkio momentas, kai vaikinai turi suvokti savo žinių trūkumus, jų ribotumą ar neišsamumą. Iš tiesų, viena iš nagrinėjamų funkcijų turi nulius, kita – ne. Vienas didėja visoje apibrėžimo srityje, kitas didėja ir mažėja. Kaip turėtume apibūdinti visą galios funkciją, kad ji apimtų kuo daugiau ypatingų atvejų?

Ieškodamas atsakymo į šį klausimą, vienas iš vaikinų galiausiai atspėja, kad galios funkcijos tipą galima patogiai susieti su eksponento lygumu ar nelygumu.

Dabar tikslinga vėl užduoti grupėms aptarti funkcijų savybes

kur - nelyginis;

kur -- net;

kur -- nelyginis;

kur yra net.

Dar kartą atkreipiame dėmesį į funkcijų tyrimo planą:

Nurodykite apibrėžimo sritį.

Nustatykite, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė (arba atkreipkite dėmesį, kad ji nėra nei lyginė, nei nelyginė).

1. Raskite funkcijos nulius, jei tokių yra.

2. Pažymėkite ženklo pastovumo intervalus.

3. Raskite didėjimo ir mažėjimo intervalus.

4. Nurodykite didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę.

Pabaigoje mokiniams pateikiami nagrinėjamų funkcijų grafikai = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Šie grafikai yra atlieka kiekvienos grupės atstovai.

Dabar kartu su klase sudarome funkcijos grafikus, kur natūralusis skaičius ir.

Pastebima bendra šių funkcijų savybė: jos abi turi apibrėžimo sritį – intervalą. Jie abu nei lyginiai, nei nelyginiai. Jie abu yra didesni už nulį.

Tačiau šios funkcijos taip pat turi skirtumų. Vaikinai juos vadina specialiai: rūšies funkcija padidėja jos apibrėžimo srityje, o rūšies funkcija toje pačioje srityje mažėja. Formos funkcija turi nulinę reikšmę, o formos funkcija ir neturi nulių.

IV etape mokiniai turi įsitraukti į refleksiją, t.y. nustatantis medžiagos įvaldymo laipsnį. Visa klasė gauna šią užduotį pagal pav. 3.

Fig. 3, a-h, funkcijų grafikai, kurie pateikiami formulėmis, yra schematiškai pavaizduoti

Nustatykite, kuri formulė iš šio sąrašo apytiksliai atitinka kiekvieną grafiką a–z.

Žurnale „Matematika mokykloje“ Petrova, N.P. siūlo projektą „Galingumo funkcijų savybių tyrimas naudojant Excel“:

Straipsnyje tema „Funkcijų savybių tyrimas naudojant Excel skaičiuokles“ aprašytą edukacinį projektą mūsų licėjaus matematikos ir informatikos mokytojai vykdė 9 klasėje ir buvo skirtas penkioms pamokoms.

Projekto tikslas buvo suteikti studentams savarankiškumo ir iniciatyvumo studijuojant naują temą ir taikant anksčiau išstuduotą medžiagą praktikoje.

Projekto metu devintokai turėjo parodyti:

· gebėjimas teisingai suformuluoti projekto tikslus;

· gebėjimas analizuoti informaciją ir daryti išvadas;

· gebėjimas kompetentingai interpretuoti gautus rezultatus ir pritaikyti juos praktinėje veikloje.

Mokiniams teko užduotis ištirti funkcijų grafikų elgseną naudojant Excel programą, o vėliau, remiantis gautais duomenimis, aprašyti funkcijų savybes.

Remdamiesi projekto rezultatais, devintokai turėjo išmokti bendrąją funkcijų grafikų formą ir išmokti konstruoti bei „skaityti“ šiuos grafikus, taip pat grafiškai spręsti formos = f(x) lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad šio projekto darbas buvo skirtas skatinti mokinių gebėjimą lyginti, nustatyti bendrus bruožus ir skirtumus skirtingų reikšmių galios funkcijų grafikuose.

Čia yra žingsnis po žingsnio projekto aprašymas.

I etapas. Pasiruošimas (paieškos etapas)

Pokalbio metu žadinamas mokinių susidomėjimas projekto tema. Mokinių prašoma išspręsti lygtis jiems žinomais metodais

Pasirodo, vaikinai lygtį gali išspręsti dviem būdais: analitiniu ir grafiniu, lygtį – grafiškai. Jiems sunku išspręsti likusias lygtis, bet jei būtų susipažinę su funkcijų grafikais, problemą išspręstų grafiškai.

Pokalbio rezultatas – suformuluotas probleminis klausimas: kaip ir kur atrodo funkcijų grafikai? Po to nustatomos tolesnio darbo kryptys ir suformuluojamos užduotys:

1. Naudodami Excel išsiaiškinkite, kaip atrodo funkcijos grafikas, kai n yra lyginis, ir apibūdinkite šios funkcijos savybes.

2. Naudodami Excel išsiaiškinkite, kaip atrodo funkcijos grafikas, kai n yra nelyginis ir apibūdinkite šios funkcijos savybes.

3. Naudodami Excel išsiaiškinkite, kaip atrodo funkcijos grafikas, kai n yra lyginis, ir apibūdinkite šios funkcijos savybes.

4. Naudodami Excel išsiaiškinkite, kaip atrodo funkcijos grafikas, kai n yra nelyginis ir apibūdinkite šios funkcijos savybes.

Tada klasė suskirstoma į darbo grupes. Mokytojas kviečia mokinius savarankiškai pasiskirstyti į keturias grupes (nebūtina) ir kiekvienoje grupėje pasirinkti vadovą. Susidariusios grupės pasirenka vieną iš projekto darbo sričių (pagal aukščiau išvardintas užduotis).

II etapas. Planavimas (analitinis etapas)

Mokytojas padeda grupėms sudaryti darbo planą pasirinktai problemai spręsti ir rekomenduoja informacijos šaltinius. Mokiniai savarankiškai skiria vaidmenis grupėse. Apytikslis vaidmenų pasiskirstymas grupėje parodytas šioje lentelėje. Mokinių skaičius grupėje priklauso nuo mokinių skaičiaus klasėje.

Tame pačiame etape aptariama darbo rezultatų pateikimo forma. Šiuo atveju buvo pasirinktas kompiuterinis pristatymas naudojant PowerPoint.

III etapas. Tyrimas (praktinis etapas)

Studentai užduotis atlieka pagal numatytą darbo planą. Mokytojas stebi jų veiklą, prireikus pataria mokiniams.

Kaip pavyzdį paimkime 1 grupės darbo planą.

1. Funkcijų grafikų braižymas naudojant Excel.

2. Grafų palyginimas, rekomendacijų variantų formulavimas funkcijos grafui natūraliajam lyginiam skaičiui sudaryti.

3. Funkcijos savybių nustatymas iš grafiko.

4. Funkcijos grafiko praktinio taikymo pavyzdžių analizė.

Remdamiesi tyrimu, studentai daro išvadą, kad natūralaus lyginio n formos funkcijų grafikai yra kreivės, panašios į parabolę, ir pateikia rekomendacijas grafiko sudarymui: reikia atsižvelgti į tai, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai, todėl pakanka sukurti funkcijų reikšmių lentelę teigiamoms argumento X reikšmėms.

Be to, šiame etape sukuriamas bendras pristatymo scenarijus, kuris bus tobulinamas projekto eigoje. Šiame scenarijuje visų pirma nustatomas skaidrių skaičius, kiekvienos iš jų paskirtis, taip pat pagrindiniai objektai, kurie turėtų būti dedami ant skaidrės.

IV ir V etapai. Projekto gynimas, rezultatų įvertinimas (pristatymo ir kontrolės etapai)

Projektų gynimas (grupėse) vyksta paskutinę iš suplanuotų pamokų.

Dabar pateiksime pamokų tvarkaraštį dirbant su šiuo projektu ir kiekvienos pamokos turinį.

1 pamoka (matematika)

· Projekto problemos išdėstymas. Darbo sričių nustatymas, projekto tikslų formulavimas.

· Suskirstymas į darbo grupes, vadovo parinkimas grupėse.

· Darbo plano sudarymas pavestoms užduotims spręsti, vaidmenų pasiskirstymas grupėse, rezultatų pateikimo formos parinkimas.

2 pamoka (informatika)

· Kalbėkite apie „Excel“ skaičiuoklių paskirtį.

· Įvairių funkcijų grafikų konstravimo kartojimas naudojant Excel.

· Tirtų funkcijų grafikų braižymas naudojant Excel. Gautos informacijos analizė, išvadų darymas.

3 pamoka (matematika)

· Funkcijų grafikų konstravimas ir „skaitymas“ ir

· Formos kur lygčių sprendimas grafiškai.

· Pristatymo scenarijaus kūrimas.

4 pamoka (informatika)

· Power Point programos tikslo ir veikimo principų pakartojimas.

· Pristatymo kūrimas.

5 pamoka (matematika)

· Projekto apsauga.

Taip pat pateikiame bendrą projekto gynimo pamokų planą.

1. Organizacinis momentas.

2. Motyvacija taikyti žinias identifikuojant problemą.

Mokytojo įžanginė kalba

Šios dienos pamokoje pagrindinis tyrimo objektas – funkcijos, o kur – jų savybės ir grafikai. Jūs jau žinote, kaip išspręsti pirmojo laipsnio (tiesinę) ir antrojo laipsnio (kvadratinę) lygtis naudodami šaknies formules. 3 laipsnio lygtims taip pat yra specialios šaknų formulės, tačiau jos yra labai sudėtingos ir retai naudojamos praktikoje. Lygtims, kurių laipsnis didesnis nei trečdalis, nėra bendrųjų šaknų formulių. Iškyla problema: kaip galima išspręsti tokias lygtis? Pasirodo, jei ne analitiškai, tai grafiškai. O tam, kad grafiniu metodu spręstumėte formos ir lygtis, turite mokėti sudaryti funkcijų grafikus ir kur.

Keturios grupės tyrė šių funkcijų grafikus. Dabar kiekvienas iš jų supažindins mus su atlikto darbo rezultatais.

3. Grupių pasirodymai.

Kiekvienos grupės projekto pristatymas (gynimas), atsakymai į oponentų klausimus.

4. Kitų grupių įsivertinimas ir kiekvieno pasirodymo vertinimas (penkių balų skalėje).

Pateikiame pagrindinius vertinimo kriterijus:

· turinio atitikimas nurodytai temai, pateikimo tikslumas, išsamumas;

· nėra klaidų;

· dizainas (dizainas): kiek skaidrės maketas atitinka estetinius reikalavimus;

· Ar lengvas tekstas skaitomas? ar vaizdas atitinka turinį ir pan.;

· kalbos įtaigumas, argumentuotumas; kalbinis raštingumas, terminų žinios;

· atsakymų į klausimus išsamumas.

Atskirai vertinama sąveika grupėje: bendravimo įgūdžiai, pagarba ir dėmesys kitiems dalyviams, aktyvumas.

Skaičiuojamas bendras surinktų taškų skaičius ir įvertinimo balas (aritmetinis balų vidurkis); Jų pagrindu suteikiamas balas už dalyvavimą projekte.

5. Kiekvieno mokinio indėlio į projektą aptarimas ir įvertinimas.

6. Apibendrinimas (refleksija).

7. Baigiamieji mokytojo žodžiai

Vykdydami projektines veiklas šia tema atsakėte į klausimą, kokie yra funkcijų ir yra grafikai, pateikėte rekomendacijas jų konstravimui. Dabar galite išspręsti kai kurias formos lygtis ir grafiškai. Dėkojame visiems mokiniams už kūrybišką ir vaisingą darbą, prisidėjusį prie projekto tikslų įgyvendinimo.

Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, savo vadove bandėme atspindėti sisteminį požiūrį į galios funkcijų tyrimą. Siekdami sumažinti darbo kompiuteriu sunkumus, stengėmės, kad navigacija būtų patogi ir natūrali bei atsižvelgta į didaktinei programinei įrangai keliamus reikalavimus.