Panagrinėkime tam tikros materialių objektų sistemos judėjimą fiksuotos koordinačių sistemos atžvilgiu.

Visas sistemai taikomas jėgas padalinkime į išorines ir vidines; abu gali apimti reakcijas į išmestą

jungtys. Pažymime pagrindinį vektorių ir pagrindinį išorinių jėgų momentą taško A atžvilgiu.

1. Impulso kitimo teorema. Jei yra sistemos judesio kiekis, tada (žr.)

tai galioja teorema: sistemos impulso laiko išvestinė lygi pagrindiniam visų išorinių jėgų vektoriui.

Pakeitus vektorių jo išraiška, kur yra sistemos masė, yra masės centro greitis, (4.1) lygtis gali būti suteikta kitokia forma:

Ši lygybė reiškia, kad sistemos masės centras juda kaip materialus taškas, kurio masė lygi sistemos masei ir kuriam taikoma jėga, geometriškai lygi pagrindiniam visų išorinių sistemos jėgų vektoriui. Paskutinis teiginys vadinamas sistemos masės centro (inercijos centro) judėjimo teorema.

Jei tada iš (4.1) seka, kad impulso vektorius yra pastovus pagal dydį ir kryptį. Projektuodami jį į koordinačių ašį, gauname tris pirmuosius skaliarinius integralus, sistemos dvigubo dangtelio diferencialines lygtis:

Šie integralai vadinami impulso integralais. Kai masės centro greitis yra pastovus, tai yra, jis juda tolygiai ir tiesiai.

Jei pagrindinio išorinių jėgų vektoriaus projekcija bet kurioje ašyje, pavyzdžiui, ašyje, yra lygi nuliui, tada turime vieną pirmąjį integralą arba jei dvi pagrindinio vektoriaus projekcijos yra lygios nuliui, tada yra dvi impulso integralai.

2. Kampinio momento kitimo teorema. Tegu A yra koks nors savavališkas erdvės taškas (judantis arba nejudantis), kuris nebūtinai sutampa su kokiu nors konkrečiu materialiu sistemos tašku per visą judėjimo laiką. Jo greitį fiksuotoje koordinačių sistemoje žymime Teorema apie medžiagos sistemos kinetinio momento pokytį taško A atžvilgiu turi tokią formą

Jei taškas A yra fiksuotas, tada lygybė (4.3) įgauna paprastesnę formą:

Ši lygybė išreiškia teoremą apie sistemos kampinio momento kitimą fiksuoto taško atžvilgiu: sistemos kampinio momento laiko išvestinė, apskaičiuota tam tikro fiksuoto taško atžvilgiu, yra lygi visų išorinių jėgų pagrindiniam momentui, susijusiam su fiksuotu tašku. iki šio taško.

Jei tada pagal (4.4) kampinio momento vektorius yra pastovus pagal dydį ir kryptį. Projektuodami jį į koordinačių ašis, gauname dvigubos sistemos diferencialinių lygčių pirmuosius skaliarinius integralus:

Šie integralai vadinami momento integralais arba ploto integralais.

Jei taškas A sutampa su sistemos masės centru, tada pirmasis narys dešinėje lygybės (4.3) pusėje išnyksta ir teorema apie kampinio momento pokytį turi tokią pat rašymo formą (4.4) kaip ir fiksuotas taškas A. Atkreipkite dėmesį (žr. p. 4 § 3), kad nagrinėjamu atveju sistemos absoliutus kampinis impulsas kairėje lygybės pusėje (4.4) gali būti pakeistas lygiu sistemos kampiniu momentu. jo judėjime masės centro atžvilgiu.

Leisti yra tam tikra pastovi ašis arba pastovios krypties ašis, einanti per sistemos masės centrą, ir tegul yra sistemos kinetinis momentas šios ašies atžvilgiu. Iš (4.4) išplaukia, kad

kur yra išorinių jėgų momentas ašies atžvilgiu. Jei viso judesio metu turime pirmąjį integralą

S. A. Chaplygino darbuose buvo gauti keli teoremos apibendrinimai apie kinetinį impulsą, kurie vėliau buvo pritaikyti sprendžiant daugybę riedančių rutuliukų problemų. Darbuose pateikiami tolesni teoremos apibendrinimai dėl mechaninio momento kitimo ir jų pritaikymo standžiosios kūno dinamikos problemose. Pagrindiniai šių darbų rezultatai yra susiję su kinetinio impulso kitimo, palyginti su judančiu, nuolat einančiu per kurį nors judantį tašką A, teorema. Tebūnie vienetinis vektorius, nukreiptas išilgai šios ašies. Skaliariai padauginę iš abiejų lygybės pusių (4.3) ir pridėję terminą prie dviejų jo dalių, gauname

Kai įvykdoma kinematinė sąlyga

(4.5) lygtis išplaukia iš (4.7). Ir jei sąlyga (4.8) tenkinama viso judėjimo metu, tai egzistuoja pirmasis integralas (4.6).

Jei sistemos jungtys yra idealios ir leidžia tarp virtualių poslinkių sistemą, kaip standųjį kūną, suktis apie ašį ir tada pagrindinis reakcijų momentas ašies atžvilgiu ir yra lygus nuliui, o tada reikšmė dešinioji lygties pusė (4.5) reiškia pagrindinį visų išorinių aktyviųjų jėgų momentą ašies ir atžvilgiu. Šio momento lygybė nuliui ir ryšio (4.8) galiojimas nagrinėjamu atveju bus pakankamos sąlygos integralui (4.6) egzistuoti.

Jei ir ašies kryptis yra pastovi, tada sąlyga (4.8) bus įrašyta formoje

Ši lygybė reiškia, kad masės centro greičio ir taško A greičio projekcijos ašyje ir jai statmenoje plokštumoje yra lygiagrečios. S.A. Chaplygino darbe vietoj (4.9) reikia įvykdyti ne tokią bendrą sąlygą, kur X yra savavališka pastovi reikšmė.

Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga (4.8) nepriklauso nuo taško pasirinkimo . Iš tiesų, tegul P yra savavališkas ašies taškas. Tada

ir todėl

Apibendrinant, atkreipiame dėmesį į Rézal geometrinį (4.1) ir (4.4) lygčių aiškinimą: vektorių galų absoliutūs greičio vektoriai ir yra atitinkamai lygūs pagrindiniam vektoriui ir visų išorinių jėgų pagrindiniam momentui taško A atžvilgiu. .

BALTARUSIJAS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO IR MAISTO MINISTERIJA

Mokymo įstaiga „BALTARUSIJOS VALSTYBINIAI ŽEMĖS ŪKIO

TECHNIKOS UNIVERSITETAS“

Teorinės mechanikos ir Mechanizmų ir mašinų teorijos katedra

TEORINĖ MECHANIKA

metodinis kompleksas specialybių studentams

74 06 Agroinžinerija

Iš 2 dalių 1 dalis

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Sudarė:

Fizinių ir matematikos mokslų kandidatas, docentas Yu. S. Biza, technikos mokslų kandidatas, docentas N. L. Rakova, vyresnioji lektorė. A. Tarasevičius

Recenzentai:

Mokymo įstaigos „Baltarusijos nacionalinis technikos universitetas“ Teorinės mechanikos katedra (vad

BNTU Teorinės mechanikos katedros fizinių ir matematikos mokslų daktaras, profesorius A. V. Čigarevas);

Valstybinės mokslo įstaigos Jungtinio mechanikos inžinerijos instituto Mechaninių sistemų apsaugos nuo vibracijos laboratorijos vadovaujanti mokslo darbuotoja

Baltarusijos NAS“, technikos mokslų kandidatas, docentas A. M. Gomanas

Teorinė mechanika. Skyrius „Dinamika“: edukacinis

T33 metodas. kompleksas. 2 dalyse 1 dalis / sudaryta: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevičius. – Minskas: BGATU, 2013. – 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8.

Mokomajame ir metodiniame komplekse pateikiama medžiaga, skirta studijuoti skyriaus „Dinamika“ 1 dalį, kuri yra disciplinos „Teorinė mechanika“ dalis. Apima paskaitų eigą, pagrindinę medžiagą praktiniams užsiėmimams atlikti, užduotis ir užduočių pavyzdžius savarankiškam darbui bei nuolatinių ir ištęstinių studijų studentų edukacinės veiklos stebėseną.

UDC 531.3(07) BBK 22.213Y7

ĮVADAS

Teorinė mechanika – tai mokslas apie bendruosius materialių kūnų mechaninio judėjimo, pusiausvyros ir sąveikos dėsnius.

Tai viena iš pagrindinių bendrųjų mokslinių fizinių-matematinių disciplinų. Tai teorinis šiuolaikinių technologijų pagrindas.

Teorinės mechanikos studijos kartu su kitomis fizinėmis ir matematinėmis disciplinomis padeda plėsti mokslinį akiratį, ugdo konkretaus ir abstraktaus mąstymo gebėjimus bei padeda tobulinti būsimojo specialisto bendrąją techninę kultūrą.

Teorinė mechanika, būdama visų techninių disciplinų mokslinis pagrindas, prisideda prie įgūdžių racionaliai spręsti inžinerines problemas, susijusias su žemės ūkio ir melioracijos mašinų bei įrenginių eksploatavimu, remontu ir projektavimu, ugdymo.

Pagal nagrinėjamų problemų pobūdį mechanika skirstoma į statiką, kinematiką ir dinamiką. Dinamika – teorinės mechanikos šaka, tirianti materialių kūnų judėjimą veikiant veikiančioms jėgoms.

IN edukacinė ir metodinė komplekse (UMK) pateikiama medžiaga, skirta studijuoti „Dinamikos“ skyriui, kuriame yra paskaitų kursas, pagrindinė medžiaga praktiniam darbui, užduotys ir pavyzdžiai savarankiškam darbui bei nuolatinių ir ištęstinių studijų studentų edukacinės veiklos stebėjimui.

IN Studijuodamas „Dinamikos“ skyrių, studentas turi įsisavinti teorinius dinamikos pagrindus ir įsisavinti pagrindinius dinamikos uždavinių sprendimo būdus:

Žinoti dinamikos uždavinių sprendimo būdus, bendrąsias dinamikos teoremas, mechanikos principus;

Gebėti nustatyti kūno judėjimo dėsnius priklausomai nuo jį veikiančių jėgų; uždaviniams spręsti taikyti mechanikos dėsnius ir teoremas; nustatyti kūnų judėjimą ribojančių jungčių statines ir dinamines reakcijas.

Dalykos „Teorinė mechanika“ programoje bendras auditorinių valandų skaičius – 136, iš jų 36 valandos skirtos „Dinamikos“ skyriaus studijoms.

1. MOKSLINIS IR TEORINIS UGDYMO IR METODINIO KOMPLEKSO TURINYS

1.1. Žodynėlis

Statika yra mechanikos šaka, kuri nustato bendrąją jėgų doktriną, tiria sudėtingų jėgų sistemų redukavimą iki paprasčiausios formos ir nustato sąlygas įvairių jėgų sistemų pusiausvyrai.

Kinematika – teorinės mechanikos šaka, tirianti materialių objektų judėjimą, neatsižvelgiant į priežastis, sukeliančias šį judėjimą, t.y., nepriklausomai nuo jėgų, veikiančių šiuos objektus.

Dinamika – teorinės mechanikos šaka, tirianti materialių kūnų (taškų) judėjimą veikiant veikiančioms jėgoms.

Materialinis taškas– materialus kūnas, kurio taškų judėjimo skirtumas yra nežymus.

Kūno masė yra skaliarinis teigiamas dydis, priklausantis nuo tam tikrame kūne esančios medžiagos kiekio ir apibrėžiantis jo inercijos matą transliacinio judėjimo metu.

Atskaitos sistema yra koordinačių sistema, susieta su kūnu, kurio atžvilgiu tiriamas kito kūno judėjimas.

Inercinė sistema– sistema, kurioje tenkinami pirmasis ir antrasis dinamikos dėsniai.

Jėgos impulsas yra vektorinis jėgos veikimo per tam tikrą laiką matas.

Materialaus taško impulsas – vektorinis jo judėjimo matas, lygus taško masės ir jo greičio vektoriaus sandaugai.

Kinetinė energija– mechaninio judėjimo skaliarinis matas.

Elementarus jėgos darbas yra be galo mažas skaliarinis dydis, lygus jėgos vektoriaus ir jėgos taikymo taško begalinio mažo poslinkio skaliarinei sandaugai.

Kinetinė energija– mechaninio judėjimo skaliarinis matas.

Materialaus taško kinetinė energija yra skaliarinė energija

teigiamas dydis, lygus pusei taško masės ir jo greičio kvadrato sandaugos.

Mechaninės sistemos kinetinė energija – aritme-

visų šios sistemos materialių taškų kinetinių energijų tic suma.

Jėga yra mechaninės kūnų sąveikos matas, apibūdinantis jos intensyvumą ir kryptį.

1.2. Paskaitų temos ir turinys

1 skyrius. Įvadas į dinamiką. Pagrindinės sąvokos

klasikinė mechanika

1 tema. Materialaus taško dinamika

Materialaus taško dinamikos dėsniai (Galileo – Niutono dėsniai). Materialaus taško judėjimo diferencialinės lygtys. Dvi pagrindinės materialaus taško dinamikos problemos. Antrosios dinamikos problemos sprendimas; integravimo konstantos ir jų nustatymas pradinėmis sąlygomis.

Literatūra:, p. 180-196, , p. 12-26.

2 tema. Santykinio medžiagos judėjimo dinamika

Santykinis materialaus taško judėjimas. Taško santykinio judėjimo diferencialinės lygtys; nešiojamos ir Koriolio inercijos jėgos. Reliatyvumo principas klasikinėje mechanikoje. Santykinės ramybės atvejis.

Literatūra: , p. 180-196, , p. 127-155.

3 tema. Masių geometrija. Mechaninės sistemos masės centras

Sistemos masė. Sistemos masės centras ir jo koordinatės.

Literatūra: , p. 86-93, p. 264-265

4 tema. Standaus kūno inercijos momentai

Standaus kūno inercijos momentai ašies ir poliaus atžvilgiu. Inercijos spindulys. Inercijos momentų apie lygiagrečias ašis teorema. Kai kurių kūnų ašiniai inercijos momentai.

Išcentriniai inercijos momentai kaip kūno asimetrijos charakteristika.

Literatūra: , p. 265-271, , p. 155-173.

2 skyrius. Bendrosios materialaus taško dinamikos teoremos

ir mechaninė sistema

5 tema. Sistemos masės centro judėjimo teorema

Teorema apie sistemos masės centro judėjimą. Išvados iš teoremos apie sistemos masės centro judėjimą.

Literatūra: , p. 274-277, , p. 175-192.

6 tema. Materialaus taško impulsas

ir mechaninė sistema

Materialaus taško ir mechaninės sistemos judėjimo kiekis. Elementarus impulsas ir jėgos impulsas per ribotą laikotarpį. Teorema apie taško ir sistemos impulsų kitimo diferencialinėmis ir integralinėmis formomis. Impulso tvermės dėsnis.

Literatūra: , p. 280-284, , p. 192-207.

7 tema. Materialaus taško impulsas

ir mechaninė sistema centro ir ašies atžvilgiu

Taško impulso momentas centro ir ašies atžvilgiu. Taško kampinio momento kitimo teorema. Mechaninės sistemos kinetinis momentas centro ir ašies atžvilgiu.

Besisukančio standaus kūno kinetinis momentas apie sukimosi ašį. Sistemos kampinio momento kitimo teorema. Kampinio momento išsaugojimo dėsnis.

Literatūra: , p. 292-298, , p. 207-258.

8 tema. Jėgų darbas ir galia

Elementarus jėgos darbas, jos analitinė išraiška. Jėgos atliktas darbas galutiniame kelyje. Gravitacijos darbas, tamprumo jėga. Vidinių jėgų, veikiančių kietajame kūne, darbo suma lygi nuliui. Jėgų, veikiančių standųjį kūną, besisukantį aplink fiksuotą ašį, darbas. Galia. Efektyvumas.

Literatūra: , p. 208-213, , p. 280-290.

9 tema. Materialaus taško kinetinė energija

ir mechaninė sistema

Medžiagos taško ir mechaninės sistemos kinetinė energija. Standaus kūno kinetinės energijos skaičiavimas įvairiais jo judėjimo atvejais. Koenigo teorema. Teorema apie taško kinetinės energijos kitimą diferencialinėmis ir integralinėmis formomis. Teorema apie mechaninės sistemos kinetinės energijos kitimą diferencialinėmis ir integralinėmis formomis.

Literatūra: , p. 301-310, , p. 290-344.

10 tema. Potencialus jėgos laukas ir potencialas

Jėgos lauko samprata. Potencialus jėgos laukas ir jėgos funkcija. Jėgos darbas galutiniam taško poslinkiui potencialiame jėgos lauke. Potenciali energija.

Literatūra: , p. 317-320, , p. 344-347.

11 tema. Kietojo kūno dinamika

Standžiojo kūno transliacinio judėjimo diferencialinės lygtys. Standaus kūno sukimosi judėjimo aplink fiksuotą ašį diferencialinė lygtis. Fizinė švytuoklė. Standžiojo kūno plokštuminio judėjimo diferencialinės lygtys.

Literatūra: , p. 323-334, , p. 157-173.

1 skyrius. Įvadas į dinamiką. Pagrindinės sąvokos

klasikinė mechanika

Dinamika – teorinės mechanikos šaka, tirianti materialių kūnų (taškų) judėjimą veikiant veikiančioms jėgoms.

materialus kūnas- kūnas, turintis masę.

Materialinis taškas– materialus kūnas, kurio taškų judėjimo skirtumas yra nežymus. Tai gali būti kūnas, kurio matmenys jo judėjimo metu gali būti nepaisomi, arba baigtinių matmenų kūnas, jei jis juda transliaciniu būdu.

Materialūs taškai dar vadinami dalelėmis, į kurias psichiškai suskaidomas kietas kūnas, nustatant kai kurias jo dinamines charakteristikas. Materialių taškų pavyzdžiai (1 pav.): a – Žemės judėjimas aplink Saulę. Žemė yra materialus taškas b – standaus kūno transliacinis judėjimas. Tvirtas kūnas – mama

al taškas, nes V B = V A ; a B = a A ; c – kūno sukimasis aplink ašį.

Kūno dalelė yra materialus taškas.

Inercija – tai materialių kūnų savybė veikiant veikiančioms jėgoms greičiau arba lėčiau keisti savo judėjimo greitį.

Kūno masė yra skaliarinis teigiamas dydis, priklausantis nuo tam tikrame kūne esančios medžiagos kiekio ir apibrėžiantis jo inercijos matą transliacinio judėjimo metu. Klasikinėje mechanikoje masė yra pastovus dydis.

Jėga – tai kiekybinis mechaninės kūnų arba kūno (taško) ir lauko (elektrinio, magnetinio ir kt.) sąveikos matas.

Jėga – vektorinis dydis, apibūdinamas dydžiu, taikymo tašku ir kryptimi (veikimo linija) (2 pav. A – taikymo taškas; AB – jėgos veikimo linija).

Ryžiai. 2

Dinamikoje kartu su pastoviomis jėgomis yra ir kintamos jėgos, kurios gali priklausyti nuo laiko t, greičioϑ, distancijos arba nuo šių dydžių derinio, t.y.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ);

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

elektrinis lokomotyvas; c − F = F (r) – atstūmimo iš centro O arba traukos į jį jėga.

Atskaitos sistema yra koordinačių sistema, susieta su kūnu, kurio atžvilgiu tiriamas kito kūno judėjimas.

Inercinė sistema – tai sistema, kurioje tenkinami pirmasis ir antrasis dinamikos dėsniai. Tai fiksuota koordinačių sistema arba sistema, judanti tolygiai ir tiesiškai.

Judėjimas mechanikoje – tai kūno padėties erdvėje ir laike kitimas kitų kūnų atžvilgiu.

Erdvė klasikinėje mechanikoje yra trimatė, paklūstanti Euklido geometrijai.

Laikas yra skaliarinis dydis, kuris vienodai teka bet kurioje atskaitos sistemoje.

Vienetų sistema yra fizikinių dydžių matavimo vienetų rinkinys. Norint išmatuoti visus mechaninius dydžius, pakanka trijų pagrindinių vienetų: ilgio, laiko, masės arba jėgos vienetų.

Visi kiti mechaninių dydžių matavimo vienetai yra išvesti iš jų. Naudojamos dviejų tipų matavimo vienetų sistemos: tarptautinė vienetų sistema SI (arba mažesnė – GHS) ir techninė vienetų sistema – ICGSS.

1 tema. Materialaus taško dinamika

1.1. Materialaus taško dinamikos dėsniai (Galileo – Niutono dėsniai)

Pirmasis dėsnis (inercijos dėsnis).

Materialus taškas, izoliuotas nuo išorinių poveikių, išlaiko savo ramybės būseną arba juda tolygiai ir tiesiškai, kol veikiančios jėgos priverčia jį pakeisti šią būseną.

Judėjimas, kurį taškas atlieka nesant jėgų arba veikiant subalansuotai jėgų sistemai, vadinamas judėjimu inercija.

Pavyzdžiui, kūno judėjimas sklandžiai (trinties jėga lygi nuliui)

horizontalus paviršius (4 pav.: G – kūno svoris; N – normalios plokštumos reakcija).

Kadangi G = − N, tai G + N = 0.

Kai ϑ 0 ≠ 0 kūnas juda tuo pačiu greičiu; kai ϑ 0 = 0 kūnas yra ramybės būsenoje (ϑ 0 – pradinis greitis).

Antrasis dėsnis (pagrindinis dinamikos dėsnis).

Taško masės ir pagreičio, kurį jis gauna veikiamas tam tikros jėgos, sandauga yra lygi šios jėgos dydžiui, o jos kryptis sutampa su pagreičio kryptimi.

a b

Matematiškai šis dėsnis išreiškiamas vektorių lygybe

Kai F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – taškas juda tolygiai ir tiesia linija arba ties ϑ 0 = 0 – yra ramybės būsenoje (inercijos dėsnis). Antra

dėsnis leidžia nustatyti ryšį tarp kūno, esančio šalia žemės paviršiaus, masės m ir jo svorio G .G = mg, kurg –

gravitacijos pagreitis.

Trečiasis dėsnis (veiksmo ir reakcijos lygybės dėsnis). Du materialūs taškai veikia vienas kitą vienodo dydžio jėgomis, nukreiptomis išilgai jungiančios tiesios linijos

šie taškai yra priešingomis kryptimis.

Kadangi jėgos F 1 = − F 2 veikia skirtinguose taškuose, jėgų sistema (F 1, F 2 ) nėra subalansuota, t.y. (F 1 , F 2 )≈ 0 (6 pav.).

sąveikaujančių taškų masės yra atvirkščiai proporcingos jų pagreičiams.

Ketvirtasis dėsnis (jėgų veikimo nepriklausomybės dėsnis). Pagreitis, gaunamas tašku veikiant jį tuo pačiu metu

bet kelios jėgos, lygios geometrinei tų pagreičių sumai, kurią taškas gautų, jei kiekviena jėga būtų taikoma atskirai.

Paaiškinimas (7 pav.).

t a n

a 1 a kF n

Rezultatinė jėga R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Kadangi ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = žmogus, tada

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, t.y. ketvirtasis dėsnis yra lygiavertis

k = 1

jėgų sudėjimo taisyklė.

1.2. Materialaus taško judėjimo diferencialinės lygtys

Tegul materialųjį tašką vienu metu veikia kelios jėgos, tarp kurių yra ir pastovios, ir kintamos.

Antrąjį dinamikos dėsnį parašykime forma

taškais, tada (1.2) yra r išvestinės ir yra materialaus taško judėjimo diferencialinė lygtis vektoriaus pavidalu arba pagrindinė materialaus taško dinamikos lygtis.

Vektorių lygybės (1.2) projekcijos: - Dekarto koordinačių ašyje (8 pav., a)

Natūralioje ašyje (8 pav., b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Lygtys (1.3) ir (1.4) yra atitinkamai materialaus taško judėjimo diferencialinės lygtys Dekarto koordinačių ašyse ir natūraliosiose ašyse, t. y. natūraliosios diferencialinės lygtys, kurios paprastai naudojamos kreiviniam taško judėjimui, jei žinomas taškas ir jo kreivio spindulys.

1.3. Dvi pagrindinės materialaus taško dinamikos problemos ir jų sprendimas

Pirmoji (tiesioginė) užduotis.

Žinodami judėjimo dėsnį ir taško masę, nustatykite tašką veikiančią jėgą.

Norėdami išspręsti šią problemą, turite žinoti taško pagreitį. Tokio tipo uždaviniuose jis gali būti nurodytas tiesiogiai arba gali būti nurodytas taško judėjimo dėsnis, pagal kurį jis gali būti nustatytas.

1. Taigi, jei taško judėjimas nurodytas Dekarto koordinatėmis

x = f 1 (t), y = f 2 (t) ir z = f 3 (t), tada nustatomos pagreičio projekcijos

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija

Federalinė valstybinė biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga

"Kubanos valstybinis technologijos universitetas"

Teorinė mechanika

2 dalies dinamika

Patvirtino Redakcinis ir leidybos komitetas

universiteto taryba as

mokymo priemonė

Krasnodaras

UDC 531.1/3 (075)

Teorinė mechanika. 2 dalis. Dinamika: vadovėlis / L.I. Kubanas. valstybė technol.un-t. Krasnodaras, 2011. 123 p.

ISBN 5-230-06865-5

Teorinė medžiaga pateikiama trumpai, pateikiami problemų sprendimo pavyzdžiai, kurių dauguma atspindi realias technines problemas, atkreipiamas dėmesys į racionalaus sprendimo būdo pasirinkimą.

Skirta statybos, transporto ir mechanikos inžinerijos neakivaizdinio ir nuotolinio mokymosi bakalaurams.

Lentelė 1 Ill. 68 Bibliografija 20 pavadinimų

Mokslinis redaktorius technikos mokslų kandidatas, docentas. V.F.Melnikovas

Recenzentai: Kubano agrarinio universiteto Teorinės mechanikos ir Mechanizmų bei mašinų teorijos katedros vedėjas prof. F.M. Kanarevas; Kubano valstybinio technologijos universiteto Teorinės mechanikos katedros docentas M.E. Multykh

Paskelbta Kubos valstybinio technologijos universiteto Redakcinės ir leidybos tarybos sprendimu.

Pakartotinis leidimas

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998 m

Pratarmė

Šis vadovėlis skirtas statybos, transporto ir mechanikos inžinerijos specialybių ištęstinių studijų studentams, tačiau gali būti naudojamas studijuojant teorinės mechanikos kurso skyrių „Dinamika“ kitų specialybių ištęstinių studijų studentams, taip pat nuolatinių studijų studentams. dirbant savarankiškai.

Vadovas sudarytas pagal dabartinę teorinės mechanikos kurso programą ir apima visus pagrindinės kurso dalies klausimus. Kiekviename skyriuje pateikiama trumpa teorinė medžiaga su iliustracijomis ir metodinėmis rekomendacijomis, kaip ją panaudoti sprendžiant problemas. Vadove pateikiami 30 problemų sprendimai, atspindintys realias technines problemas ir atitinkantys savarankiško sprendimo bandomąsias užduotis. Kiekvienai problemai pateikiama skaičiavimo schema, kuri aiškiai iliustruoja sprendimą. Sprendimo formatavimas atitinka ištęstinių studijų studentų kontrolinių darbų formatavimo reikalavimus.

Autorius nuoširdžiai dėkoja Kubos agrarinio universiteto Teorinės mechanikos ir Mechanizmų ir mašinų teorijos katedros dėstytojams už puikų darbą recenzuojant vadovėlį, taip pat Kubos valstybinio technologinio universiteto Teorinės mechanikos katedros dėstytojams. Universitetui už vertingus komentarus ir patarimus ruošiant vadovėlį spaudai.

Visas kritines pastabas ir pasiūlymus autorius priims su dėkingumu ateityje.

Įvadas

Dinamika yra svarbiausia teorinės mechanikos dalis. Dauguma specifinių problemų, su kuriomis susiduriama inžinerinėje praktikoje, yra susijusios su dinamika. Pasitelkusi statikos ir kinematikos išvadas, dinamika nustato bendruosius materialių kūnų judėjimo dėsnius veikiant veikiančioms jėgoms.

Paprasčiausias materialus objektas yra materialus taškas. Bet kokios formos materialus kūnas gali būti laikomas materialiu tašku, kurio matmenys nagrinėjamoje užduotyje gali būti nepaisomi. Baigtinių matmenų kūnas gali būti laikomas materialiu tašku, jei jo taškų judėjimo skirtumas nėra reikšmingas tam tikrai problemai. Taip atsitinka, kai kūno matmenys yra maži, palyginti su kūno taškų įveikiamais atstumais. Kiekviena kieto kūno dalelė gali būti laikoma materialiu tašku.

Jėgos, veikiančios tašką ar materialųjį kūną, dinamiškai įvertinamos pagal jų dinaminį poveikį, t.y. pagal tai, kaip jos keičia materialių objektų judėjimo charakteristikas.

Materialių objektų judėjimas laikui bėgant vyksta erdvėje tam tikros atskaitos sistemos atžvilgiu. Klasikinėje mechanikoje, remiantis Niutono aksiomomis, erdvė laikoma trimate, jos savybės nepriklauso nuo joje judančių materialių objektų. Taško padėtis tokioje erdvėje nustatoma pagal tris koordinates. Laikas nesusijęs su erdve ir materialių objektų judėjimu. Jis laikomas vienodu visoms atskaitos sistemoms.

Dinamikos dėsniai apibūdina materialių objektų judėjimą absoliučių koordinačių ašių, sutartinai laikomų stacionariomis, atžvilgiu. Absoliučios koordinačių sistemos pradžia laikoma Saulės centre, o ašys nukreiptos į tolimas, sąlyginai nejudančias žvaigždes. Sprendžiant daugelį techninių problemų, koordinačių ašys, sujungtos su Žeme, gali būti laikomos sąlyginai nepajudinamomis.

Medžiagų objektų mechaninio judėjimo dinamikoje parametrai nustatomi matematiniais išvedžiojimais iš pagrindinių klasikinės mechanikos dėsnių.

Pirmasis dėsnis (inercijos dėsnis):

Materialus taškas išlaiko ramybės būseną arba tolygų ir linijinį judėjimą tol, kol kai kurių jėgų veikimas išveda jį iš šios būsenos.

Tolygus ir tiesinis taško judėjimas vadinamas judėjimu inercija. Poilsis yra ypatingas judėjimo pagal inerciją atvejis, kai taško greitis lygus nuliui.

Kiekvienas materialus taškas turi inerciją, tai yra, jis stengiasi išlaikyti ramybės būseną arba tolygų tiesinį judėjimą. Atskaitos sistema, kurios atžvilgiu galioja inercijos dėsnis, vadinama inercine, o judėjimas, stebimas šios sistemos atžvilgiu, vadinamas absoliučiu. Bet kuri atskaitos sistema, atliekanti tiesioginį ir tolygų judesį inercinės sistemos atžvilgiu, taip pat bus inercinė sistema.

Antrasis dėsnis (pagrindinis dinamikos dėsnis):

Materialaus taško pagreitis inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu yra proporcingas taške veikiančiai jėgai ir sutampa su jėga, nukreipta kryptimi:
.

Iš pagrindinio dinamikos dėsnio išplaukia, kad su jėga
pagreitis
. Taško masė apibūdina taško atsparumo jo greičio pokyčiams laipsnį, tai yra, tai yra materialaus taško inercijos matas.

Trečiasis įstatymas (veiksmo ir reakcijos įstatymas):

Jėgos, kuriomis du kūnai veikia vienas kitą, yra vienodo dydžio ir nukreiptos išilgai vienos tiesės priešingomis kryptimis.

Jėgos, vadinamos veiksmu ir reakcija, yra taikomos skirtingiems kūnams, todėl nesudaro subalansuotos sistemos.

Ketvirtasis įstatymas (jėgų nepriklausomybės įstatymas):

Vienu metu veikiant kelioms jėgoms, materialaus taško pagreitis yra lygus geometrinei pagreičių sumai, kurią taškas turėtų veikiant kiekvienai jėgai atskirai:

, Kur
,
,…,
.

(MECHANINĖS SISTEMOS) – IV variantas

1. Pagrindinė materialaus taško dinamikos lygtis, kaip žinoma, išreiškiama lygtimi. Nelaisvos mechaninės sistemos savavališkų taškų judėjimo diferencialinės lygtys pagal du jėgų padalijimo būdus gali būti parašytos dviem formomis:

(1) , kur k=1, 2, 3, … , n – materialios sistemos taškų skaičius.

(2)

kur yra k-ojo taško masė; - k-taško spindulio vektorius, - duotoji (aktyvioji) jėga, veikianti k-tą tašką, arba visų aktyviųjų jėgų, veikiančių k-tašką, atstatomoji. - ryšio reakcijos jėgų, veikiančių k-tą tašką, rezultantas; - vidinių jėgų, veikiančių k-tą tašką, rezultatas; - išorinių jėgų, veikiančių k-ąjį tašką, rezultatas.

Naudojant (1) ir (2) lygtis, galima siekti išspręsti ir pirmąją, ir antrąją dinamikos problemas. Tačiau antrosios sistemos dinamikos problemos sprendimas tampa labai sudėtingas ne tik matematiniu požiūriu, bet ir todėl, kad susiduriame su esminiais sunkumais. Jie susideda iš to, kad tiek sistemoje (1), tiek sistemoje (2) lygčių skaičius yra žymiai mažesnis už nežinomųjų skaičių.

Taigi, jei naudosime (1), tada žinomos antrosios (atvirkštinės) problemos dinamikos bus ir , o nežinomos – ir . Vektorinės lygtys bus " n“, o nežinomi - „2n“.

Jei eisime iš lygčių sistemos (2), tada kai kurios išorinės jėgos yra žinomos. Kodėl dalis? Faktas yra tas, kad išorinių jėgų skaičius taip pat apima išorines nežinomų jungčių reakcijas. Be to, taip pat bus nežinoma.

Taigi, tiek sistema (1), tiek sistema (2) ATRADYTI. Reikia pridėti lygtis, atsižvelgiant į jungčių lygtis, o gal reikia ir patiems ryšiams nustatyti tam tikrus apribojimus. Ką daryti?

Jei pradėsime nuo (1), tada galime sekti pirmosios rūšies Lagranžo lygčių sudarymo kelią. Bet šis kelias nėra racionalus, nes kuo problema paprastesnė (mažiau laisvės laipsnių), tuo sunkiau ją išspręsti matematiniu požiūriu.

Tada atkreipkime dėmesį į sistemą (2), kur - visada nežinomi. Pirmas žingsnis sprendžiant sistemą yra pašalinti šiuos nežinomus dalykus. Reikia turėti omenyje, kad sistemai judant, kaip taisyklė, mūsų nedomina vidinės jėgos, tai yra, kai sistema juda, nebūtina žinoti, kaip juda kiekvienas sistemos taškas, bet to pakanka. žinoti, kaip veikia visa sistema.

Taigi, jei iš sistemos (2) įvairiais būdais pašaliname nežinomas jėgas, gauname tam tikrus ryšius, t.y. atsiranda tam tikros bendrosios sistemos charakteristikos, kurių žinojimas leidžia spręsti, kaip sistema apskritai juda. Šios charakteristikos pristatomos naudojant vadinamąjį bendrosios dinamikos teoremos. Yra keturios tokios teoremos:

1. Teorema apie mechaninės sistemos masės centro judėjimas;

2. Teorema apie mechaninės sistemos impulso pokytis;

3. Teorema apie mechaninės sistemos kinetinio momento pokytis;

4. Teorema apie mechaninės sistemos kinetinės energijos pokytis.

Gana dažnai galima nustatyti svarbias mechaninės sistemos judėjimo ypatybes, neintegruojant judėjimo diferencialinių lygčių sistemos. Tai pasiekiama taikant bendrąsias dinamikos teoremas.

5.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Išorinės ir vidinės jėgos. Bet kokia jėga, veikianti tašką mechaninėje sistemoje, būtinai yra aktyvi jėga arba sujungimo reakcija. Visą jėgų rinkinį, veikiančią sistemos taškus, galima skirtingai suskirstyti į dvi klases: išorines jėgas ir vidines jėgas (indeksai e ir i – iš lotyniškų žodžių externus – išorinis ir internus – vidinis). Išorinės jėgos yra tos, kurios veikia sistemos taškus iš taškų ir kūnų, kurie nėra nagrinėjamos sistemos dalis. Nagrinėjamos sistemos taškų ir kūnų sąveikos jėgos vadinamos vidinėmis.

Šis skirstymas priklauso nuo to, kokius materialius taškus ir kūnus tyrėjas įtraukia į nagrinėjamą mechaninę sistemą. Jei išplėsime sistemos sudėtį įtraukdami papildomus taškus ir kūnus, tai kai kurios jėgos, kurios ankstesnėje sistemoje buvo išorinės, gali tapti vidinėmis išplėstoje sistemoje.

Vidinių jėgų savybės. Kadangi šios jėgos yra sąveikos tarp sistemos dalių jėgos, jos į pilną vidinių jėgų sistemą patenka „dveje“, organizuojamos pagal veiksmo-reakcijos aksiomą. Kiekvienas toks „du“ turi stipriąsias puses

pagrindinis vektorius ir pagrindinis momentas apie savavališką centrą yra lygūs nuliui. Kadangi visa vidinių jėgų sistema susideda tik iš „dviejų“, tai

1) pagrindinis vidinių jėgų sistemos vektorius lygus nuliui,

2) pagrindinis vidinių jėgų sistemos momentas savavališko taško atžvilgiu lygus nuliui.

Sistemos masė yra visų sistemą sudarančių taškų ir kūnų masių mk aritmetinė suma:

Masės centras mechaninės sistemos (inercijos centras) yra geometrinis taškas C, kurio spindulio vektorius ir koordinatės nustatomos pagal formules.

kur yra sistemą sudarančių taškų spindulio vektoriai ir koordinatės.

Kieto kūno, esančio vienodame gravitaciniame lauke, masės centro ir svorio centro padėtys sutampa kitais atvejais, tai yra skirtingi geometriniai taškai.

Kartu su inercine atskaitos sistema dažnai vienu metu nagrinėjama ir neinercinė atskaitos sistema, judanti transliaciniu būdu. Jo koordinačių ašys (König axes) parenkamos taip, kad pradžia C nuolat sutaptų su mechaninės sistemos masės centru. Pagal apibrėžimą masės centras yra nejudantis Koenig ašyse ir yra koordinačių pradžioje.

Sistemos inercijos momentas ašies atžvilgiu yra skaliarinis dydis, lygus visų sistemos taškų masių mk sandaugų sumai jų atstumo iki ašies kvadratais:

Jei mechaninė sistema yra standus korpusas, norėdami rasti 12, galite naudoti formulę

kur yra tankis, kūno užimamas tūris.