Nurodykite diferencialinių lygčių dalinio sprendimo tipą. Koši problema ir jos geometrinė interpretacija

I. Paprastosios diferencialinės lygtys

1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį x, reikalinga funkcija y ir jo dariniai arba diferencialai.

Simboliškai diferencialinė lygtis parašyta taip:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferencialinė lygtis vadinama įprasta, jei reikiama funkcija priklauso nuo vieno nepriklausomo kintamojo.

Diferencialinės lygties sprendimas vadinama funkcija, kuri šią lygtį paverčia tapatybe.

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios išvestinės, įtrauktos į šią lygtį, eilė

Pavyzdžiai.

1. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį

Šios lygties sprendimas yra funkcija y = 5 ln x. Tikrai, pakeičiant y"į lygtį, gauname tapatybę.

O tai reiškia, kad funkcija y = 5 ln x– yra šios diferencialinės lygties sprendimas.

2. Apsvarstykite antros eilės diferencialinę lygtį y" – 5y" +6y = 0. Funkcija yra šios lygties sprendimas.

Tikrai,.

Pakeitę šias išraiškas į lygtį, gauname: , – tapatybę.

Ir tai reiškia, kad funkcija yra šios diferencialinės lygties sprendimas.

Diferencialinių lygčių integravimas yra diferencialinių lygčių sprendimų paieškos procesas.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas vadinama formos funkcija , kuri apima tiek nepriklausomų savavališkų konstantų, kiek yra lygties tvarka.

Diferencialinės lygties dalinis sprendimas yra sprendimas, gautas iš bendro sprendimo įvairioms savavališkų konstantų skaitinėms reikšmėms. Savavališkų konstantų reikšmės randamos esant tam tikroms pradinėms argumento ir funkcijos reikšmėms.

Tam tikro diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pavyzdžiai

1. Raskite konkretų pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimą

xdx + ydy = 0, Jei y= 4 val x = 3.

Sprendimas. Integruodami abi lygties puses, gauname

komentuoti. Savavališka konstanta C, gauta integruojant, gali būti pavaizduota bet kokia forma, patogia tolimesnėms transformacijoms. Šiuo atveju, atsižvelgiant į kanoninę apskritimo lygtį, savavališką konstantą C patogu pavaizduoti formoje .

- bendrasis diferencialinės lygties sprendimas.

Ypatingas lygties sprendimas, tenkinantis pradines sąlygas y = 4 val x = 3 randamas iš bendrosios, pradines sąlygas pakeitus bendruoju sprendiniu: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Pakeitę C=5 į bendrąjį sprendinį, gauname x 2 + y 2 = 5 2 .

Tai yra specialus diferencialinės lygties sprendimas, gautas iš bendro sprendimo tam tikromis pradinėmis sąlygomis.

2. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį

Šios lygties sprendimas yra bet kuri formos funkcija, kur C yra savavališka konstanta. Iš tiesų, pakeisdami lygtis, gauname: , .

Vadinasi, ši diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių, nes skirtingoms konstantos C reikšmėms lygybė nustato skirtingus lygties sprendinius.

Pavyzdžiui, tiesioginiu pakeitimu galite patikrinti, ar veikia yra lygties sprendiniai.

Problema, kurioje reikia rasti konkretų lygties sprendimą y" = f(x,y) tenkinantis pradinę sąlygą y(x 0) = y 0, vadinama Koši problema.

Lygties sprendimas y" = f(x,y), atitinkantys pradinę sąlygą, y(x 0) = y 0, vadinamas Koši problemos sprendimu.

Koši problemos sprendimas turi paprastą geometrinę reikšmę. Iš tiesų, pagal šiuos apibrėžimus, išspręsti Koši problemą y" = f(x,y) turint omenyje y(x 0) = y 0, reiškia lygties integralinės kreivės radimą y" = f(x,y) kuri eina per tam tikrą tašką M 0 (x 0,y 0).

II. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

2.1. Pagrindinės sąvokos

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis yra formos lygtis F(x,y,y") = 0.

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis apima pirmąją išvestinę ir neapima aukštesnės eilės išvestinių.

Lygtis y" = f(x,y) vadinama pirmosios eilės lygtimi, išspręsta išvestinės atžvilgiu.

Bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurioje yra viena savavališka konstanta.

Pavyzdys. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį.

Šios lygties sprendimas yra funkcija.

Iš tiesų, pakeitę šią lygtį jos verte, gauname

tai yra 3x = 3x

Todėl funkcija yra bendras bet kurios konstantos C lygties sprendimas.

Raskite konkretų šios lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą y(1)=1 Pradinių sąlygų pakeitimas x = 1, y = 1į bendrąjį lygties sprendinį, gauname iš kur C=0.

Taigi, mes gauname konkretų sprendimą iš bendrojo, pakeisdami į šią lygtį gautą reikšmę C=0– privatus sprendimas.

2.2. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais yra tokios formos lygtis: y"=f(x)g(y) arba per skirtumus, kur f(x) Ir g(y)– nurodytos funkcijos.

Tiems y, kuriam , lygtis y"=f(x)g(y) yra lygiavertis lygčiai, kuriame kintamasis y yra tik kairėje pusėje, o kintamasis x yra tik dešinėje. Jie sako: „Eq. y"=f(x)g(y Atskirkime kintamuosius“.

Formos lygtis vadinama atskirtųjų kintamųjų lygtimi.

Abiejų lygties pusių integravimas Autorius x, mes gauname G(y) = F(x) + C yra lygties bendrasis sprendinys, kur G(y) Ir F(x)– kai kurie antidariniai funkcijų ir f(x), C savavališka konstanta.

Pirmosios eilės diferencialinės lygties su atskiriamais kintamaisiais sprendimo algoritmas

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį y" = xy

Sprendimas. Funkcijos išvestinė y" pakeiskite jį

atskirkime kintamuosius

Integruokime abi lygybės puses:

2 pavyzdys

2yy" = 1-3x 2, Jei y 0 = 3 adresu x 0 = 1

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Įsivaizduokime tai diferencialuose. Norėdami tai padaryti, perrašome šią lygtį į formą Iš čia

Integruodami abi paskutinės lygybės puses, randame

Pradinių reikšmių pakeitimas x 0 = 1, y 0 = 3 rasime SU 9=1-1+C, t.y. C = 9.

Todėl reikalingas dalinis integralas bus arba

3 pavyzdys

Parašykite kreivės, einančios per tašką, lygtį M(2;-3) ir turintys liestinę su kampiniu koeficientu

Sprendimas. Pagal būklę

Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Padalinę kintamuosius, gauname:

Integravę abi lygties puses, gauname:

Naudojant pradines sąlygas, x = 2 Ir y = – 3 rasime C:

Todėl reikiama lygtis turi formą

2.3. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra formos lygtis y" = f(x)y + g(x)

Kur f(x) Ir g(x)- kai kurios nurodytos funkcijos.

Jeigu g(x)=0 tada tiesinė diferencialinė lygtis vadinama vienalyte ir turi tokią formą: y" = f(x)y

Jei tada lygtis y" = f(x)y + g(x) vadinamas heterogenišku.

Bendrasis tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y pateikiama pagal formulę: kur SU– savavališka konstanta.

Visų pirma, jei C = 0, tada sprendimas yra y = 0 Jei tiesinė vienalytė lygtis turi formą y" = ky Kur k yra tam tikra konstanta, tada jos bendrasis sprendinys turi formą: .

Bendrasis tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y + g(x) pateikiama pagal formulę ,

tie. yra lygi atitinkamos tiesinės vienarūšės lygties bendrojo sprendinio ir šios lygties konkretaus sprendinio sumai.

Tiesinei nehomogeninei formos lygčiai y" = kx + b,

Kur k Ir b- kai kurie skaičiai ir konkretus sprendimas bus pastovi funkcija. Todėl bendras sprendimas turi formą .

Pavyzdys. Išspręskite lygtį y" + 2y +3 = 0

Sprendimas. Pavaizduokime lygtį formoje y" = -2y - 3 Kur k = -2, b = -3 Bendras sprendimas pateikiamas formule.

Todėl kur C yra savavališka konstanta.

2.4. Pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas Bernulio metodu

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties bendro sprendimo radimas y" = f(x)y + g(x) redukuoja iki dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais išsprendimo naudojant pakaitalą y=uv, Kur u Ir v- nežinomos funkcijos iš x. Šis sprendimo metodas vadinamas Bernulio metodu.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimo algoritmas

y" = f(x)y + g(x)

1. Įveskite pakaitalą y=uv.

2. Išskirkite šią lygybę y" = u"v + uv"

3. Pakaitalas y Ir y"į šią lygtį: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) arba u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Sugrupuokite lygties narius taip u išimkite jį iš skliaustų:

5. Iš skliausto, prilyginę jį nuliui, raskite funkciją

Tai yra atskiriama lygtis:

Padalinkime kintamuosius ir gausime:

Kur . .

6. Pakeiskite gautą reikšmę vį lygtį (nuo 4 žingsnio):

ir raskite funkciją Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais:

7. Bendrąjį sprendimą parašykite tokia forma: , t.y. .

1 pavyzdys

Raskite konkretų lygties sprendimą y" = -2y +3 = 0 Jeigu y = 1 adresu x = 0

Sprendimas. Išspręskime tai naudodami pakaitalą y=uv,.y" = u"v + uv"

Pakeitimas y Ir y"į šią lygtį gauname

Sugrupuodami antrąjį ir trečiąjį dėmenis kairėje lygties pusėje, išimame bendrą koeficientą u iš skliaustų

Išraišką skliausteliuose prilyginame nuliui ir išsprendę gautą lygtį randame funkciją v = v(x)

Gauname lygtį su atskirtais kintamaisiais. Integruokime abi šios lygties puses: Raskite funkciją v:

Pakeiskime gautą reikšmę vį lygtį gauname:

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime abi lygties puses: Raskime funkciją u = u(x,c) Raskime bendrą sprendimą: Raskime konkretų lygties sprendimą, tenkinantį pradines sąlygas y = 1 adresu x = 0:

III. Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys

3.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Antros eilės diferencialinė lygtis yra lygtis, turinti ne aukštesnes nei antros eilės išvestines. Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip: F(x,y,y,y") = 0

Bendras antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurią sudaro dvi savavališkos konstantos C 1 Ir C 2.

Konkretus antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra sprendimas, gautas iš bendro sprendinio tam tikroms savavališkų konstantų reikšmėms C 1 Ir C 2.

3.2. Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai.

Antros eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais vadinama formos lygtimi y" + py" +qy = 0, Kur p Ir q- pastovios vertės.

Homogeninių antros eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo algoritmas

1. Parašykite diferencialinę lygtį tokia forma: y" + py" +qy = 0.

2. Sudarykite jai būdingą lygtį, pažymėdami y" per r 2, y" per r, y 1: r 2 + pr + q = 0

Prisiminkime užduotį, su kuria susidūrėme ieškant apibrėžtųjų integralų:

arba dy = f(x)dx. Jos sprendimas:

ir reikia skaičiuoti neapibrėžtą integralą. Praktikoje dažniau susiduriama su sudėtingesne užduotimi: funkcijos paieška y, jei žinoma, kad jis tenkina formos santykį

Šis ryšys sieja nepriklausomą kintamąjį x, nežinoma funkcija y ir jos dariniai iki eilės n imtinai, yra vadinami .

Diferencialinė lygtis apima funkciją po vienos ar kitos eilės išvestinių (arba diferencialų) ženklu. Aukščiausia tvarka vadinama tvarka (9.1) .

Diferencialinės lygtys:

- Pirmas užsakymas,

Antras užsakymas

- penktoji tvarka ir kt.

Funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu , arba integralinis . Ją išspręsti reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei reikiamai funkcijai y pavyko gauti formulę, kuri pateikia visus sprendimus, tada sakome, kad radome jos bendrą sprendimą , arba bendrasis integralas .

Bendras sprendimas yra n savavališkos konstantos ir atrodo

Jei gaunamas santykis, kuris susijęs x, y Ir n savavališkos konstantos, tokia forma, kuri neleidžiama y -

tada toks ryšys vadinamas (9.1) lygties bendruoju integralu.

Cauchy problema

Kiekvienas konkretus sprendimas, t. y. kiekviena specifinė funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį ir nepriklauso nuo savavališkų konstantų, vadinama konkrečiu sprendimu , arba dalinis integralas. Norint gauti konkrečius sprendinius (integralus) iš bendrųjų, konstantoms turi būti suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

Tam tikro sprendimo grafikas vadinamas integraliąja kreive. Bendrasis sprendimas, kuriame yra visi daliniai sprendiniai, yra integralinių kreivių šeima. Pirmos eilės lygčiai ši šeima priklauso nuo vienos savavališkos lygties konstantos n-tas užsakymas - nuo n savavališkos konstantos.

Koši problema yra rasti tam tikrą lygties sprendimą n- eilinis, patenkinamas n pradinės sąlygos:

pagal kuriuos nustatoma n konstantų c 1, c 2,..., c n.

1 eilės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės diferencialinei lygčiai, kuri yra neišspręsta išvestinės atžvilgiu, ji turi formą

arba leistinam santykinai

3.46 pavyzdys. Raskite bendrąjį lygties sprendimą

Sprendimas. Integruodami gauname

kur C yra savavališka konstanta. Jei C priskiriame konkrečias skaitines reikšmes, gauname konkrečius sprendimus, pvz.

3.47 pavyzdys. Apsvarstykite didėjančią pinigų sumą, įneštą į banką, priskaičiuojant 100 r sudėtines palūkanas per metus. Tegul Yo yra pradinė pinigų suma, o Yx - pabaigoje x metų. Jei palūkanas skaičiuoja kartą per metus, gauname

kur x = 0, 1, 2, 3,.... Kai palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus, gauname

kur x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Skaičiuojant palūkanas n kartą per metus ir jei x paima nuoseklias reikšmes 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., tada

Nurodykite 1/n = h, tada ankstesnė lygybė atrodys taip:

Su neribotu padidinimu n(at ) riboje pasiekiame pinigų sumos didinimo procesą nuolat kaupiant palūkanas:

Taigi aišku, kad nuolat keičiantis x pinigų pasiūlos kitimo dėsnis išreiškiamas 1 eilės diferencine lygtimi. kur Y x yra nežinoma funkcija, x- nepriklausomas kintamasis, r- pastovus. Išspręskime šią lygtį, kad tai padarytume, perrašome taip:

kur , arba , kur P reiškia e C .

Iš pradinių sąlygų Y(0) = Yo randame P: Yo = Pe o, iš kur Yo = P. Todėl sprendinys turi tokią formą:

Panagrinėkime antrąją ekonominę problemą. Makroekonominiai modeliai taip pat aprašomi I eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, apibūdinančiomis pajamų arba produkcijos Y pokyčius kaip laiko funkcijas.

3.48 pavyzdys. Tegul nacionalinės pajamos Y didėja proporcingai jų vertei:

ir tegul valdžios sektoriaus išlaidų deficitas yra tiesiogiai proporcingas pajamoms Y su proporcingumo koeficientu q. Dėl išlaidų deficito didėja valstybės skola D:

Pradinės sąlygos Y = Yo ir D = Do, kai t = 0. Iš pirmosios lygties Y = Yoe kt. Pakeitę Y gauname dD/dt = qYoe kt . Bendras sprendimas turi formą
D = (q/ k) Yoe kt +С, kur С = const, kuris nustatomas iš pradinių sąlygų. Pakeitę pradines sąlygas, gauname Do = (q/ k)Yo + C. Taigi, galiausiai,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

tai rodo, kad valstybės skola didėja tokiu pačiu santykiniu tempu k, tokios pat kaip nacionalinės pajamos.

Panagrinėkime paprasčiausias diferencialines lygtis n eilės, tai yra formos lygtys

Jo bendrą sprendimą galima gauti naudojant n kartų integracijos.

3.49 pavyzdys. Apsvarstykite pavyzdį y """ = cos x.

Sprendimas. Integruodami, randame

Bendras sprendimas turi formą

Tiesinės diferencialinės lygtys

Jie plačiai naudojami ekonomikoje, pasvarstykime, kaip išspręsti tokias lygtis. Jei (9.1) turi tokią formą:

tada ji vadinama tiesine, kur рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) pateiktos funkcijos. Jei f(x) = 0, tai (9.2) vadinamas vienarūšiu, kitu atveju nehomogeniniu. Bendrasis lygties (9.2) sprendinys yra lygus bet kurio konkrečių jos sprendinių sumai y(x) ir ją atitinkančios homogeninės lygties bendras sprendinys:

Jei koeficientai р o (x), р 1 (x),..., р n (x) yra pastovūs, tai (9.2)

(9.4) vadinama tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais eilės koeficientais n .

(9.4) turi tokią formą:

Neprarasdami bendrumo, galime nustatyti p o = 1 ir įrašyti (9.5) į formą

Ieškosime sprendinio (9.6) formoje y = e kx, kur k yra konstanta. Mes turime: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Pakeisdami gautas išraiškas į (9.6), turėsime:

(9.7) yra algebrinė lygtis, jos nežinomas yra k, tai vadinama charakteristika. Būdingoji lygtis turi laipsnį n Ir nšaknys, tarp kurių gali būti tiek daug, tiek sudėtingų. Tegul k 1 , k 2 ,..., k n yra tikri ir skirtingi - konkretūs sprendimai (9.7) ir bendrieji

Apsvarstykite tiesinę homogeninę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais:

Jai būdinga lygtis turi formą

(9.9)

jo diskriminantas D = p 2 - 4q, priklausomai nuo D ženklo, galimi trys atvejai.

1. Jei D>0, tai šaknys k 1 ir k 2 (9.9) yra tikrosios ir skirtingos, o bendrasis sprendinys turi tokią formą:

Sprendimas. Charakteristinė lygtis: k 2 + 9 = 0, iš kur k = ± 3i, a = 0, b = 3, bendrasis sprendimas turi tokią formą:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

2 eilės tiesinės diferencialinės lygtys naudojamos tiriant web tipo ekonominį modelį su prekių atsargomis, kur kainos kitimo greitis P priklauso nuo atsargų dydžio (žr. 10 punktą). Jei pasiūla ir paklausa yra tiesinės kainos funkcijos, tai yra

a yra konstanta, kuri lemia reakcijos greitį, tada kainos kitimo procesas apibūdinamas diferencine lygtimi:

Tam tikram sprendimui galime paimti konstantą

prasminga pusiausvyros kaina. Nukrypimas tenkina homogeninę lygtį

(9.10)

Būdinga lygtis bus tokia:

Jei terminas teigiamas. Pažymėkime . Charakteristinės lygties k 1,2 = ± i w šaknys, todėl bendrasis sprendinys (9.10) turi tokią formą:

kur C ir yra savavališkos konstantos, jos nustatomos iš pradinių sąlygų. Gavome kainų kitimo laikui bėgant dėsnį:

Įveskite diferencialinę lygtį, apostroa "" naudojama išvestinei įvesti, paspauskite pateikti, kad gautumėte sprendimą

Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Paskaitų konspektas buhalterinės apskaitos studentams

neakivaizdinė mokymo forma (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygties samprata. Bendrieji ir specialieji sprendimai

Tiriant įvairius reiškinius, dažnai nepavyksta rasti dėsnio, kuris tiesiogiai susieja nepriklausomą kintamąjį ir norimą funkciją, tačiau galima nustatyti ryšį tarp norimos funkcijos ir jos išvestinių.

Vadinamas ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos išvestinius diferencialinė lygtis :

Čia x- nepriklausomas kintamasis, y– reikalinga funkcija,
- norimos funkcijos dariniai. Šiuo atveju ryšys (1) turi turėti bent vieną išvestinę.

Diferencialinės lygties tvarka vadinama aukščiausios išvestinės, įtrauktos į lygtį, tvarka.

Apsvarstykite diferencialinę lygtį

. (2)

Kadangi ši lygtis apima tik pirmos eilės išvestinę, ji vadinama yra pirmos eilės diferencialinė lygtis.

Jei (2) lygtis gali būti išspręsta išvestinės atžvilgiu ir užrašoma forma

, (3)

tada tokia lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialine lygtimi normaliąja forma.

Daugeliu atvejų patartina atsižvelgti į formos lygtį

kuris vadinamas pirmos eilės diferencialinė lygtis, parašyta diferencine forma.

Nes
, tada (3) lygtį galima parašyti forma
arba
, kur galime suskaičiuoti
Ir
. Tai reiškia, kad (3) lygtis paverčiama lygtimi (4).

Parašykime (4) lygtį į formą
. Tada
,
,
, kur galime suskaičiuoti
, t.y. gaunama (3) formos lygtis. Taigi (3) ir (4) lygtys yra lygiavertės.

Diferencialinės lygties sprendimas (2) arba (3) vadinama bet kokia funkcija
, kuri, pakeitus ją į (2) arba (3) lygtį, paverčia ją tapatybe:

arba
.

Visų diferencialinės lygties sprendinių paieškos procesas vadinamas jo integracija , ir sprendimo grafikas
vadinama diferencialinė lygtis integralinė kreivė šią lygtį.

Jei diferencialinės lygties sprendimas gaunamas numanoma forma
, tada jis vadinamas integralas šios diferencialinės lygties.

Bendras sprendimas pirmos eilės diferencialinė lygtis yra formos funkcijų šeima
, priklausomai nuo savavališkos konstantos SU, kurių kiekvienas yra duotosios diferencialinės lygties sprendimas bet kuriai leistinai savavališkos konstantos vertei SU. Taigi diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių.

Privatus sprendimas Diferencialinė lygtis yra sprendinys, gautas iš bendrosios sprendinių formulės tam tikrai savavališkos konstantos reikšmei SU, įskaitant
.

Koši problema ir jos geometrinė interpretacija

(2) lygtis turi begalinį sprendinių skaičių. Norint iš šio rinkinio pasirinkti vieną sprendimą, kuris vadinamas privačiu, reikia nustatyti keletą papildomų sąlygų.

Tai vadinama konkretaus (2) lygties sprendimo paieškos tam tikromis sąlygomis problema Cauchy problema . Ši problema yra viena iš svarbiausių diferencialinių lygčių teorijoje.

Koši problema suformuluota taip: tarp visų (2) lygties sprendinių raskite tokį sprendimą
, kurioje funkcija
paima nurodytą skaitinę reikšmę , jei nepriklausomas kintamasis x paima nurodytą skaitinę reikšmę , t.y.

,
, (5)

Kur D– funkcijos apibrėžimo sritis
.

Reikšmė paskambino pradinė funkcijos reikšmė , A – pradinė nepriklausomo kintamojo reikšmė . Sąlyga (5) vadinama pradinė būklė arba Kauchinė būklė .

Geometriniu požiūriu diferencialinės lygties (2) Koši uždavinys gali būti suformuluotas taip: iš lygties (2) integralinių kreivių rinkinio pasirinkite tą, kuri eina per nurodytą tašką
.

Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Vienas iš paprasčiausių diferencialinių lygčių tipų yra pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra norimos funkcijos:

. (6)

Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Integravę abi paskutinės lygties puses, gauname:
arba

. (7)

Taigi (7) yra bendras (6) lygties sprendimas.

1 pavyzdys . Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą
.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą
arba
. Integruokime abi gautos lygties puses:
,
. Pagaliau užsirašysime
.

2 pavyzdys . Raskite lygties sprendimą
turint omenyje
.

Sprendimas . Raskime bendrą lygties sprendimą:
,
,
,
. Pagal sąlygą
,
. Pakeiskime bendrą sprendimą:
arba
. Rastą savavališkos konstantos reikšmę pakeičiame į bendro sprendimo formulę:
. Tai yra tam tikras diferencialinės lygties sprendimas, atitinkantis nurodytą sąlygą.

Lygtis

(8)

Skambino pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra nepriklausomo kintamojo . Parašykime tai formoje
arba
. Integruokime abi paskutinės lygties puses:
arba
- bendrasis (8) lygties sprendinys.

Pavyzdys . Raskite bendrąjį lygties sprendimą
.

Sprendimas . Parašykime šią lygtį tokia forma:
arba
. Tada
,
,
,
. Taigi,
yra šios lygties bendrasis sprendinys.

Formos lygtis

(9)

integruoja naudojant kintamųjų atskyrimą. Norėdami tai padaryti, rašome lygtį formoje
, o tada, naudodami daugybos ir dalybos operacijas, pateikiame ją į tokią formą, kad viena dalis apima tik funkciją X ir diferencialas dx, o antroje dalyje – funkcija adresu ir diferencialas dy. Norėdami tai padaryti, abi lygties puses reikia padauginti iš dx ir padalinti iš
. Dėl to gauname lygtį

, (10)

kuriame kintamieji X Ir adresu atskirtas. Integruokime abi (10) lygties puses:
. Gautas ryšys yra (9) lygties bendrasis integralas.

3 pavyzdys . Integruoti lygtį
.

Sprendimas . Transformuokime lygtį ir atskirkime kintamuosius:
,
. Integruokime:
,
arba yra šios lygties bendrasis integralas.
.

Tegul lygtis pateikiama forma

Ši lygtis vadinama pirmos eilės diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma.

Norėdami atskirti kintamuosius, turite padalyti abi lygties puses iš
:

. (12)

Gauta lygtis vadinama atskirta diferencialinė lygtis . Integruokime (12) lygtį:

.(13)

Ryšys (13) yra bendrasis diferencialinės lygties (11) integralas.

4 pavyzdys . Integruokite diferencialinę lygtį.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą

ir padalykite abi dalis iš
,
. Gauta lygtis:
yra atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime:

,
,

,
. Paskutinė lygybė yra šios diferencialinės lygties bendrasis integralas.

5 pavyzdys . Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą
, atitinkančią sąlygą
.

Sprendimas . Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Atskirkime kintamuosius:
. Integruokime šią lygtį:
,
,
. Gautas ryšys yra bendrasis šios lygties integralas. Pagal sąlygą
. Pakeiskime jį į bendrąjį integralą ir raskime SU:
,SU=1. Tada išraiška
yra duotosios diferencialinės lygties dalinis sprendinys, parašytas kaip dalinis integralas.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Lygtis

(14)

paskambino pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis . Nežinoma funkcija
ir jo išvestinė į šią lygtį patenka tiesiškai, o funkcijos
Ir
tęstinis.

Jeigu
, tada lygtis

(15)

paskambino linijinis vienalytis . Jeigu
, tada vadinama (14) lygtis linijinis nehomogeniškas .

Norint rasti (14) lygties sprendimą, paprastai naudojamasi pakeitimo metodas (Bernoulli) , kurio esmė tokia.

Ieškosime (14) lygties sprendinio dviejų funkcijų sandaugos pavidalu

, (16)

Kur
Ir
- kai kurios nuolatinės funkcijos. Pakeiskime
ir išvestinė
į (14) lygtį:

Funkcija v parinksime taip, kad sąlyga būtų patenkinta
. Tada
. Taigi, norint rasti (14) lygties sprendimą, būtina išspręsti diferencialinių lygčių sistemą

Pirmoji sistemos lygtis yra tiesinė vienalytė lygtis ir gali būti išspręsta kintamųjų atskyrimo metodu:
,
,
,
,
. Kaip funkcija
galite paimti vieną iš homogeninės lygties dalinių sprendinių, t.y. adresu SU=1:
. Pakeiskime antrąją sistemos lygtį:
arba
.Tada
. Taigi, bendrasis pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimas turi formą
.

6 pavyzdys . Išspręskite lygtį
.

Sprendimas . Formoje ieškosime lygties sprendimo
. Tada
. Pakeiskime į lygtį:

arba
. Funkcija v pasirinkti taip, kad galiotų lygybė
. Tada
. Išspręskime pirmąją iš šių lygčių naudodami kintamųjų atskyrimo metodą:
,
,
,
,. Funkcija v Pakeiskime antrąją lygtį:
,
,
,
. Bendras šios lygties sprendimas yra
.

Žinių savikontrolės klausimai

Kas yra diferencialinė lygtis?

Kokia yra diferencialinės lygties tvarka?

Kuri diferencialinė lygtis vadinama pirmos eilės diferencialine lygtimi?

Kaip pirmos eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencine forma?

Koks yra diferencialinės lygties sprendimas?

Kas yra integralinė kreivė?

Koks yra bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas?

Kas vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu?

Kaip suformuluota Koši problema pirmosios eilės diferencialinei lygčiai?

Kokia yra Koši problemos geometrinė interpretacija?

Kaip parašyti diferencialinę lygtį su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma?

Kuri lygtis vadinama pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi?

Kokiu būdu galima išspręsti pirmos eilės tiesinę diferencialinę lygtį ir kokia šio metodo esmė?

Savarankiško darbo užduotys

Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Išspręskite pirmosios eilės tiesines diferencialines lygtis:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

6.1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR APIBRĖŽIMAI

Sprendžiant įvairius matematikos ir fizikos, biologijos ir medicinos uždavinius, gana dažnai nepavyksta iš karto nustatyti funkcinio ryšio formulės, jungiančios tiriamą procesą apibūdinančius kintamuosius, forma. Paprastai reikia naudoti lygtis, kuriose, be nepriklausomo kintamojo ir nežinomos funkcijos, yra ir jo išvestinės.

Apibrėžimas. Vadinama lygtis, jungianti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą funkciją ir įvairios eilės jos išvestinius diferencialas.

Paprastai žymima nežinoma funkcija y(x) arba tiesiog y, ir jo dariniai - y", y" ir tt

Galimi ir kiti pavadinimai, pvz.: jei y= x(t), tada x"(t), x""(t)- jo dariniai ir t- nepriklausomas kintamasis.

Apibrėžimas. Jei funkcija priklauso nuo vieno kintamojo, tai diferencialinė lygtis vadinama įprasta. Bendra forma įprastinė diferencialinė lygtis:

arba

Funkcijos F Ir f gali nebūti kai kurių argumentų, bet kad lygtys būtų diferencinės, būtina turėti išvestinę.

Apibrėžimas.Diferencialinės lygties tvarka vadinama į jį įtrauktos aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Pavyzdžiui, x 2 m.- y= 0, y" + sin x= 0 yra pirmosios eilės lygtys ir y"+ 2 y"+ 5 y= x- antros eilės lygtis.

Sprendžiant diferencialines lygtis, naudojama integravimo operacija, kuri yra susijusi su savavališkos konstantos atsiradimu. Jei taikomas integravimo veiksmas n kartų, tada, aišku, tirpale bus n savavališkos konstantos.

6.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Bendra forma pirmos eilės diferencialinė lygtis yra nustatomas pagal išraišką

Lygtyje negali būti aiškiai nurodyta x Ir y, bet būtinai turi y“.

Jei lygtį galima parašyti kaip

tada gauname pirmosios eilės diferencialinę lygtį, išspręsta išvestinės atžvilgiu.

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinės lygties (6.3) (arba (6.4)) bendrasis sprendinys yra sprendinių aibė , Kur SU- savavališka konstanta.

Diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pateikiant savavališką konstantą SU skirtingos reikšmės, galima gauti dalinius sprendimus. Ant paviršiaus xOy bendrasis sprendimas yra integralinių kreivių šeima, atitinkanti kiekvieną konkretų sprendimą.

Jei nustatysite tašką A (x 0, y 0), per kurią turi praeiti integralinė kreivė, tada, kaip taisyklė, iš funkcijų rinkinio Galima išskirti vieną – privatų sprendimą.

Apibrėžimas.Privatus sprendimas Diferencialinės lygties sprendimas yra jos sprendimas, kuriame nėra savavališkų konstantų.

Jeigu yra bendras sprendimas, tada nuo sąlygos

galite rasti konstantą SU. Būklė vadinama pradinė būklė.

Problema rasti konkretų diferencialinės lygties (6.3) arba (6.4) sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą adresu paskambino Cauchy problema. Ar ši problema visada turi sprendimą? Atsakymas pateiktas sekančioje teoremoje.

Koši teorema(sprendinio egzistavimo ir unikalumo teorema). Įveskite diferencialinę lygtį y"= f(x,y) funkcija f(x,y) ir ji

dalinė išvestinė apibrėžtas ir kai kuriose tęstinis

regione D, kuriame yra taškas Tada rajone D egzistuoja

vienintelis lygties sprendimas, tenkinantis pradinę sąlygą adresu

Koši teorema teigia, kad tam tikromis sąlygomis egzistuoja unikali integralinė kreivė y= f(x), einantis per tašką Taškai, kuriuose neįvykdomos teoremos sąlygos

Cauchies vadinami ypatingas.Šiuose taškuose jis nutrūksta f(x, y) arba.

Arba kelios integralinės kreivės, arba nė viena, nekerta vienaskaitos taško.

Apibrėžimas. Jei formoje randamas sprendimas (6.3), (6.4). f(x, y, C)= 0, neleidžiama palyginti su y, tada jis vadinamas bendrasis integralas diferencialinė lygtis.

Koši teorema tik garantuoja, kad sprendimas egzistuoja. Kadangi nėra vieno sprendimo rasti metodą, nagrinėsime tik kai kuriuos pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, kuriuos galima integruoti į kvadratūros.

Apibrėžimas. Diferencialinė lygtis vadinama integruojamas kvadratais, jei ieškant jo sprendimo reikia integruoti funkcijas.

6.2.1. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Apibrėžimas. Pirmos eilės diferencialinė lygtis vadinama lygtimi su atskiriami kintamieji,

Dešinė lygties pusė (6.5) yra dviejų funkcijų sandauga, kurių kiekviena priklauso tik nuo vieno kintamojo.

Pavyzdžiui, lygtis yra lygtis su atskyrimu

su kintamaisiais
ir lygtis

negali būti pavaizduotas formoje (6.5).

Atsižvelgiant į tai , perrašome (6.5) formoje

Iš šios lygties gauname diferencialinę lygtį su atskirtais kintamaisiais, kurioje diferencialai yra funkcijos, kurios priklauso tik nuo atitinkamo kintamojo:

Integruodami terminą po termino turime

kur C = C 2 - C 1 - savavališka konstanta. Išraiška (6.6) yra bendrasis lygties (6.5) integralas.

Abi (6.5) lygties puses padaliję iš, galime prarasti tuos sprendinius, kuriems Tikrai, jei adresu

Tai akivaizdu, kad yra (6.5) lygties sprendimas.

1 pavyzdys. Raskite tenkinantį lygties sprendimą

sąlyga: y= 6 val x= 2 (y(2) = 6).

Sprendimas. Mes pakeisime y" tada . Padauginkite abi puses iš

dx, kadangi tolesnės integracijos metu išvykti neįmanoma dx vardiklyje:

o paskui padalijus abi dalis į gauname lygtį,

kurias galima integruoti. Integruokime:

Tada ; stiprinant gauname y = C. (x + 1) - ob-

bendras sprendimas.

Naudodami pradinius duomenis nustatome savavališką konstantą, pakeisdami jas bendruoju sprendimu

Pagaliau gauname y= 2(x + 1) yra tam tikras sprendimas. Pažvelkime į dar kelis lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimo pavyzdžius.

2 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas. Atsižvelgiant į tai , mes gauname .

Integravę abi lygties puses, turime

kur

3 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas. Abi lygties puses padalijame į tuos veiksnius, kurie priklauso nuo kintamojo, kuris nesutampa su kintamuoju po diferencialiniu ženklu, t.y. ir integruoti. Tada gauname

ir, galiausiai

4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.Žinodami, ką gausime. Skyrius

lim kintamieji. Tada

Integruodami gauname

komentuoti. 1 ir 2 pavyzdžiuose reikalinga funkcija yra y išreikštas aiškiai (bendras sprendimas). 3 ir 4 pavyzdžiuose – netiesiogiai (bendrasis integralas). Ateityje sprendimo forma nebus patikslinta.

5 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

6 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą , patenkinti

sąlyga y(e)= 1.

Sprendimas. Parašykime lygtį į formą

Abi lygties puses padauginus iš dx ir toliau, gauname

Integruodami abi lygties puses (dešinės pusės integralas paimamas dalimis), gauname

Bet pagal būklę y= 1 val x= e. Tada

Pakeiskime rastas reikšmes SU prie bendro sprendimo:

Gauta išraiška vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu.

6.2.2. Pirmos eilės vienarūšės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinė lygtis vadinama vienalytis, jeigu jį galima pavaizduoti formoje

Pateiksime vienalytės lygties sprendimo algoritmą.

1. Vietoj to y pristatykime naują funkcijąTada ir todėl

2.Pagal funkciją u lygtis (6.7) įgauna formą

tai yra, pakeitimas sumažina vienalytę lygtį į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

3. Išspręsdami (6.8) lygtį, pirmiausia randame u, o tada y= ux.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį Sprendimas. Parašykime lygtį į formą

Mes atliekame pakeitimą:
Tada

Mes pakeisime

Padauginkite iš dx: Padalinti iš x ir toliau Tada

Integravę abi lygties puses per atitinkamus kintamuosius, turime

arba, grįždami prie senųjų kintamųjų, pagaliau gauname

2 pavyzdys.Išspręskite lygtį Sprendimas.Leisti Tada

Padalinkime abi lygties puses iš x2: Atidarykime skliaustus ir pakeiskime terminus:

Pereinant prie senų kintamųjų, gauname galutinį rezultatą:

3 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą turint omenyje

Sprendimas.Atliekamas standartinis pakeitimas mes gauname

arba

Tai reiškia, kad konkretus sprendimas turi formą 4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.

5 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

Savarankiškas darbas

Raskite diferencialinių lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimus (1-9).

Raskite homogeninių diferencialinių lygčių sprendimą (9-18).

6.2.3. Kai kurios pirmosios eilės diferencialinių lygčių taikymas

Radioaktyvaus skilimo problema

Ra (radžio) skilimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas jo turimai masei. Raskite Ra radioaktyvaus skilimo dėsnį, jei žinoma, kad pradiniu momentu buvo Ra ir Ra pusinės eliminacijos laikas yra 1590 metų.

Sprendimas. Tegul šiuo momentu masė Ra yra x= x(t) g ir Tada skilimo greitis Ra yra lygus

Pagal problemos sąlygas

Kur k

Atskirdami paskutinės lygties kintamuosius ir integruodami, gauname

kur

Norėdami nustatyti C naudojame pradinę sąlygą: kada .

Tada ir todėl,

Proporcingumo koeficientas k nustatoma pagal papildomą sąlygą:

Mes turime

Iš čia ir reikiamą formulę

Bakterijų dauginimosi greičio problema

Bakterijų dauginimosi greitis yra proporcingas jų skaičiui. Iš pradžių buvo 100 bakterijų. Per 3 valandas jų skaičius padvigubėjo. Raskite bakterijų skaičiaus priklausomybę nuo laiko. Kiek kartų per 9 valandas padidės bakterijų skaičius?

Sprendimas. Leisti x- bakterijų skaičius vienu metu t. Tada, atsižvelgiant į būklę,

Kur k- proporcingumo koeficientas.

Iš čia Iš būklės žinoma, kad . Reiškia,

Iš papildomos sąlygos . Tada

Funkcija, kurios ieškote:

Todėl, kai t= 9 x= 800, ty per 9 valandas bakterijų skaičius išaugo 8 kartus.

Fermento kiekio didinimo problema

Alaus mielių kultūroje aktyvaus fermento augimo greitis yra proporcingas pradiniam jo kiekiui x. Pradinis fermento kiekis a padvigubėjo per valandą. Raskite priklausomybę

x(t).

Sprendimas. Pagal sąlygą proceso diferencialinė lygtis turi formą

iš čia

Bet . Reiškia, C= a ir tada

Taip pat žinoma, kad

Vadinasi,

6.3. ANTROS EIKLOS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

6.3.1. Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimas.Antros eilės diferencialinė lygtis yra ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos pirmąją bei antrąją išvestines.

Ypatingais atvejais lygtyje gali nebūti x, adresu arba y". Tačiau antros eilės lygtyje būtinai turi būti y." Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip:

arba, jei įmanoma, tokia forma, kuri išspręsta atsižvelgiant į antrąjį išvestinį:

Kaip ir pirmosios eilės lygties atveju, antros eilės lygčiai gali būti bendrieji ir specialieji sprendiniai. Bendras sprendimas yra toks:

Konkretaus sprendimo radimas

pradinėmis sąlygomis – duota

numeriai) yra vadinamas Cauchy problema. Geometriškai tai reiškia, kad turime rasti integralo kreivę adresu= y(x), einantis per tam tikrą tašką ir šiame taške turintis liestinę, kuri yra

susilygina su teigiamos ašies kryptimi Jautis nurodytas kampas. e. (6.1 pav.). Koši problema turi unikalų sprendimą, jei (6.10) lygties dešinė pusė, nepaliaujamas