Apverskite lygties ženklą. Nelygybės

Apie nelygybes sužinojome mokykloje, kur naudojame skaitines nelygybes. Šiame straipsnyje apžvelgsime skaitinių nelygybių savybes, iš kurių yra sukurti darbo su jomis principai.

Nelygybių savybės yra panašios į skaitinių nelygybių savybes. Bus svarstomos savybės, jos pagrindimas, pateikiami pavyzdžiai.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Skaitinės nelygybės: apibrėžimas, pavyzdžiai

Pristatydami nelygybių sąvoką, matome, kad jų apibrėžimą sudaro įrašo tipas. Yra algebrinių išraiškų, kurios turi ženklus ≠,< , >, ≤ , ≥ . Pateikime apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Skaitinė nelygybė vadinama nelygybe, kurioje abi pusės turi skaičius ir skaitines išraiškas.

Skaitines nelygybes mokykloje nagrinėjame ištyrę natūraliuosius skaičius. Tokios palyginimo operacijos yra tiriamos žingsnis po žingsnio. Pradiniai atrodo kaip 1< 5 , 5 + 7 >3. Po to taisyklės papildomos, o nelygybės tampa sudėtingesnės, tada gauname 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 formos nelygybes. 73–17 2< 0 .

Skaitinių nelygybių savybės

Norėdami teisingai dirbti su nelygybėmis, turite naudoti skaitinių nelygybių savybes. Jie kyla iš nelygybės sampratos. Ši sąvoka apibrėžiama naudojant teiginį, kuris žymimas kaip „daugiau“ arba „mažiau“.

2 apibrėžimas

skaičius a yra didesnis už b, kai skirtumas a - b yra teigiamas skaičius;
skaičius a yra mažesnis už b, kai skirtumas a - b yra neigiamas skaičius;
skaičius a yra lygus b, kai skirtumas a - b lygus nuliui.

Apibrėžimas naudojamas sprendžiant nelygybes su santykiais „mažiau arba lygus“, „didesnis arba lygus“. Mes tai gauname

3 apibrėžimas

a yra didesnis arba lygus b, kai a - b yra neneigiamas skaičius;
a yra mažesnis arba lygus b, kai a - b yra neteigiamas skaičius.

Apibrėžimai bus naudojami skaitmeninių nelygybių savybėms įrodyti.

Pagrindinės savybės

Pažvelkime į 3 pagrindines nelygybes. Ženklų naudojimas< и >pasižymi šiomis savybėmis:

4 apibrėžimas

antirefleksyvumas, kuris sako, kad bet koks skaičius a iš nelygybių a< a и a >a yra laikomas neteisingu. Yra žinoma, kad bet kuriai a galioja lygybė a − a = 0, todėl gauname, kad a = a. Taigi a< a и a >a yra neteisinga. Pavyzdžiui, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 yra neteisingi.
asimetrija. Kai skaičiai a ir b yra tokie, kad aa, o jei a > b, tai b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a a. Panašiai įrodyta ir antroji jo dalis.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į nelygybę 5< 11 имеем, что 11 >5, o tai reiškia, kad jo skaitinė nelygybė − 0, 27 > − 1, 3 bus perrašyta kaip − 1, 3< − 0 , 27 .

Prieš pereidami prie kitos savybės, atkreipkite dėmesį, kad asimetrijos pagalba galite perskaityti nelygybę iš dešinės į kairę ir atvirkščiai. Tokiu būdu skaitinės nelygybės gali būti modifikuojamos ir sukeičiamos.

5 apibrėžimas

tranzityvumas. Kai skaičiai a, b, c atitinka a sąlygąb ir b > c , tada a > c .

1 įrodymas

Pirmąjį teiginį galima įrodyti. Būklė a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Antroji dalis su tranzityvumo savybe įrodyta panašiai.

2 pavyzdys

Išanalizuotą savybę nagrinėjame nelygybių − 1 pavyzdžiu< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ir 1 8 > 1 32, vadinasi, 1 2 > 1 32.

Skaitinės nelygybės, parašytos naudojant silpnus nelygybės ženklus, turi refleksyvumo savybę, nes a ≤ a ir a ≥ a gali turėti lygybės a = a atvejį. Jiems būdinga asimetrija ir tranzityvumas.

6 apibrėžimas

Nelygybės, kurių raštuose yra ženklai ≤ ir ≥, turi šias savybes:

refleksyvumas a ≥ a ir a ≤ a laikomi tikrosiomis nelygybėmis;
antisimetrija, kai a ≤ b, tai b ≥ a, o jei a ≥ b, tai b ≤ a.
tranzityvumas, kai a ≤ b ir b ≤ c, tada a ≤ c, taip pat, jei a ≥ b ir b ≥ c, tai a ≥ c.

Įrodymas atliekamas panašiai.

Kitos svarbios skaitinių nelygybių savybės

Norint papildyti pagrindines nelygybių savybes, naudojami rezultatai, kurie turi praktinę reikšmę. Metodo principas naudojamas vertinant išraiškų reikšmes, kuriomis grindžiami nelygybių sprendimo principai.

Šioje pastraipoje atskleidžiamos vieno griežtos nelygybės ženklo nelygybių savybės. Tas pats daroma ir negriežtoms. Pažiūrėkime į pavyzdį, suformuluodami nelygybę, jei a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

jei a > b, tai a + c > b + c;
jei a ≤ b, tai a + c ≤ b + c;
jei a ≥ b, tai a + c ≥ b + c.

Patogiam pristatymui pateikiame atitinkamą teiginį, kuris yra užrašomas ir pateikiami įrodymai, pateikiami naudojimo pavyzdžiai.

7 apibrėžimas

Skaičių pridėjimas arba apskaičiavimas abiejose pusėse. Kitaip tariant, kai a ir b atitinka nelygybę a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

2 įrodymas

Norėdami tai įrodyti, lygtis turi tenkinti sąlygą a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

3 pavyzdys

Pavyzdžiui, jei abi nelygybės 7 > 3 puses padidiname 15, tai gauname 7 + 15 > 3 + 15. Tai lygu 22 > 18.

8 apibrėžimas

Kai abi nelygybės puses padauginamos arba padalijamos iš to paties skaičiaus c, gauname tikrąją nelygybę. Jei imsite neigiamą skaičių, ženklas pasikeis į priešingą. Kitu atveju tai atrodo taip: a ir b nelygybė galioja, kai aprieš Kristų

3 įrodymas

Kai yra atvejis c > 0, reikia sukonstruoti skirtumą tarp kairės ir dešinės nelygybės pusių. Tada gauname, kad a · c − b · c = (a − b) · c . Iš būklės a0, tada sandauga (a − b) · c bus neigiama. Iš to seka, kad a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Įrodinėjant, dalyba sveikuoju skaičiumi gali būti pakeista padauginus iš atvirkštinės duotosios vertės, tai yra, 1 c. Pažvelkime į tam tikrų skaičių nuosavybės pavyzdį.

4 pavyzdys

Leidžiamos abi 4 nelygybės pusės< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Dabar suformuluokime šiuos du rezultatus, kurie naudojami sprendžiant nelygybes:

1 išvada. Keičiant skaitinės nelygybės dalių požymius, pats nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą, nes− b. Tai daroma pagal taisyklę padauginti abi puses iš -1. Tai taikoma perėjimui. Pavyzdžiui, – 6< − 2 , то 6 > 2 .
2 išvada. Pakeitus skaitinės nelygybės dalis grįžtamaisiais skaičiais, jos ženklas taip pat pasikeičia, o nelygybė išlieka teisinga. Taigi turime, kad a ir b yra teigiami skaičiai, a1 b .

Dalijant abi nelygybės puses a3 2 turime tai 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1b gali būti neteisingas.

5 pavyzdys

Pavyzdžiui, – 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 yra neteisinga lygtis.

Visus taškus vienija tai, kad veiksmai dėl nelygybės dalių suteikia teisingą nelygybę išvestyje. Panagrinėkime savybes, kuriose iš pradžių yra kelios skaitinės nelygybės, o jos rezultatas gaunamas sudėjus arba padauginus jo dalis.

9 apibrėžimas

Kai skaičiai a, b, c, d galioja nelygybėms a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

4 įrodymas

Įrodykime, kad (a + c) − (b + d) yra neigiamas skaičius, tada gausime, kad a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Ypatybė naudojama trijų, keturių ar daugiau skaitinių nelygybių pridėjimui. Skaičiai a 1 , a 2 , … , a n ir b 1 , b 2 , … , b n tenkina nelygybes a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

6 pavyzdys

Pavyzdžiui, duotos trys to paties ženklo skaitinės nelygybės − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

10 apibrėžimas

Termiškai padauginus abi puses gaunamas teigiamas skaičius. Kada< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

5 įrodymas

Norėdami tai įrodyti, mums reikia abiejų nelygybės a pusių< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Ši savybė laikoma tinkama skaičių, iš kurių turi būti padaugintos abi nelygybės pusės, skaičiui. Tada a 1 , a 2 , … , a n Ir b 1, b 2, …, b n yra teigiami skaičiai, kur 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Atkreipkite dėmesį, kad rašant nelygybes yra neteigiamų skaičių, tada jų dauginimas po termino lemia neteisingas nelygybes.

7 pavyzdys

Pavyzdžiui, 1 nelygybė< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Pasekmė: Termininis nelygybių dauginimas a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Skaitinių nelygybių savybės

Panagrinėkime šias skaitinių nelygybių savybes.

a< a , a >a - neteisingos nelygybės,
a ≤ a, a ≥ a yra tikrosios nelygybės.
Jeigua - antisimetrija.
Jeigu< b и b < c то a < c - транзитивность.
Jeigu< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
Jeiguprieš Kristų

1 išvada: jeigu-b.

2 išvada: jei a ir b yra teigiami skaičiai ir a1 b .

Jei 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
Jei 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n yra teigiami skaičiai ir a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

1 išvada: Jeigu a< b , a Ir b yra teigiami skaičiai, tada n< b n .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Visų realiųjų skaičių aibę galima pavaizduoti kaip trijų aibių sąjungą: teigiamų skaičių aibės, neigiamų skaičių aibės ir aibės, susidedančios iš vieno skaičiaus - skaičiaus nulio. Norėdamas nurodyti, kad numeris A teigiamas, naudokite įrašą a > 0, norėdami nurodyti neigiamą skaičių, naudokite kitą žymėjimą a< 0 .

Teigiamų skaičių suma ir sandauga taip pat yra teigiami skaičiai. Jei numeris A neigiamas, tada skaičius -A teigiamas (ir atvirkščiai). Bet kuriam teigiamam skaičiui a yra teigiamas racionalusis skaičius r, Ką r< а . Šie faktai yra nelygybės teorijos pagrindas.

Pagal apibrėžimą nelygybė a > b (arba, kas yra ta pati, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, t. y. jei skaičius a - b yra teigiamas.

Visų pirma apsvarstykite nelygybę A< 0 . Ką reiškia ši nelygybė? Pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą tai reiškia, kad 0 – a > 0, t.y. -a > 0 arba, kitaip tariant, koks yra skaičius -A teigiamai. Bet tai vyksta tada ir tik tada, kai numeris A neigiamas. Taigi nelygybė A< 0 reiškia, kad skaičius bet neigiamas.

Taip pat dažnai naudojamas užrašas ab(arba kas tas pats, ba).
Įrašas ab, pagal apibrėžimą reiškia, kad arba a > b, arba a = b. Jei laikysime rekordą ab kaip neapibrėžtą teiginį, tada matematinės logikos žymėjime galime rašyti

(a b) [(a > b) V (a = b)]

1 pavyzdys. Ar teisingos nelygybės 5 0, 0 0?

Nelygybė 5 0 yra sudėtingas teiginys, susidedantis iš dviejų paprastų teiginių, sujungtų loginiu jungikliu „arba“ (disjunkcija). Arba 5 > 0 arba 5 = 0. Pirmasis teiginys 5 > 0 yra teisingas, antrasis teiginys 5 = 0 yra klaidingas. Pagal disjunkcijos apibrėžimą toks sudėtingas teiginys yra teisingas.

Panašiai aptariamas įrašas 00.

Formos nelygybės a > b, a< b vadinsime juos griežtais, o formos nelygybėmis ab, ab- ne griežtas.

Nelygybės a > b Ir c > d(arba A< b Ir Su< d ) bus vadinamos tos pačios reikšmės nelygybėmis ir nelygybėmis a > b Ir c< d - priešingos reikšmės nelygybės. Atkreipkite dėmesį, kad šie du terminai (tos pačios ir priešingos reikšmės nelygybės) nurodo tik nelygybių užrašymo formą, o ne pačius faktus, kuriuos išreiškia šios nelygybės. Taigi, kalbant apie nelygybę A< b nelygybė Su< d yra tos pačios reikšmės nelygybė, ir žymėjime d>c(reiškiantis tą patį) – priešingos reikšmės nelygybė.

Kartu su formos nelygybėmis a>b, ab naudojamos vadinamosios dvigubos nelygybės, t.y., formos nelygybės A< с < b , ac< b , a< cb ,
acb. Pagal apibrėžimą – rekordas

A< с < b (1)
reiškia, kad abi nelygybės galioja:

A< с Ir Su< b.

Nelygybės turi panašią reikšmę acb, ac< b, а < сb.

Dvigubą nelygybę (1) galima parašyti taip:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

ir dviguba nelygybė a ≤ c ≤ b gali būti parašytas tokia forma:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Dabar pereikime prie pagrindinių nelygybių savybių ir veiksmų taisyklių pristatymo, susitarę, kad šiame straipsnyje laiškai a, b, c reiškia tikruosius skaičius ir n reiškia natūralųjį skaičių.

1) Jei a > b ir b > c, tai a > c (tranzityvumas).

Įrodymas.

Kadangi pagal sąlygą a > b Ir b > c, tada skaičiai a - b Ir b - c yra teigiami, taigi ir skaičius a - c = (a - b) + (b - c), kaip teigiamų skaičių suma, taip pat yra teigiama. Tai pagal apibrėžimą reiškia, kad a > c.

2) Jei a > b, tai bet kuriai c galioja nelygybė a + c > b + c.

Įrodymas.

Nes a > b, tada skaičius a - b teigiamai. Todėl skaičius (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b taip pat yra teigiamas, t.y.
a + c > b + c.

3) Jei a + b > c, tai a > b - c, tai bet kuris terminas gali būti perkeltas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeitus šio termino ženklą į priešingą.

Įrodymas išplaukia iš 2 savybės) jo pakanka abiem nelygybės pusėms a + b > c pridėti numerį - b.

4) Jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d, tai yra, sudėjus dvi tos pačios reikšmės nelygybes, gaunama tos pačios reikšmės nelygybė.

Įrodymas.

Remiantis nelygybės apibrėžimu, pakanka parodyti, kad skirtumas
(a + c) - (b + c) teigiamas. Šį skirtumą galima parašyti taip:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Kadangi pagal numerio būklę a - b Ir c - d tada yra teigiami (a + c) - (b + d) taip pat yra teigiamas skaičius.

Pasekmė. Iš 2) ir 4) taisyklių išplaukia tokia nelygybių atėmimo taisyklė: jeigu a > b, c > d, Tai a - d > b - c(įrodymui pakanka taikyti abi nelygybės puses a + c > b + d pridėti numerį - c - d).

5) Jei a > b, tada c > 0 turime ac > bc, o c< 0 имеем ас < bc.

Kitaip tariant, padauginus abi nelygybės puses iš bet kurio teigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas išsaugomas (t. y. gaunama tos pačios reikšmės nelygybė), tačiau padauginus iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą. (t. y. gaunama priešingos reikšmės nelygybė.

Įrodymas.

Jeigu a > b, Tai a - b yra teigiamas skaičius. Todėl skirtumo ženklas ac-bc = Taksi) atitinka skaičiaus ženklą Su: Jei Su yra teigiamas skaičius, tada skirtumas ac - bc yra teigiamas ir todėl ac> bс, ir jeigu Su< 0 , tada šis skirtumas yra neigiamas ir todėl bc - ac teigiamas, t.y. bc > ac.

6) Jei a > b > 0 ir c > d > 0, tada ac > bd, y., jei visi dviejų tos pačios reikšmės nelygybių terminai yra teigiami, tai padauginus šias nelygybes iš termino, gaunama tos pačios reikšmės nelygybė.

Įrodymas.

Mes turime ac – bd = ac – bc + bc – bd = c(a – b) + b(c – d). Nes c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, tada ac - bd > 0, t.y. ac > bd.

komentuoti. Iš įrodymo aišku, kad sąlyga d > 0 formuluojant 6) turtą yra nesvarbus: kad ši savybė galiotų, pakanka, kad būtų įvykdytos sąlygos a > b > 0, c > d, c > 0. Jei (jei nelygybės įvykdytos a > b, c > d) skaičiai a, b, c ne viskas bus teigiama, tada nelygybė ac> bd gali būti neįvykdytas. Pavyzdžiui, kada A = 2, b =1, c= -2, d= -3 turime a > b, c > d, bet nelygybė ac> bd(t.y. -4 > -3) nepavyko. Taigi reikalavimas, kad skaičiai a, b, c būtų teigiami formuluojant 6) savybę, yra esminis.

7) Jei a ≥ b > 0 ir c > d > 0, tai (nelygybių dalyba).

Įrodymas.

Mes turime Dešinės pusės trupmenos skaitiklis yra teigiamas (žr. ypatybes 5), 6)), vardiklis taip pat yra teigiamas. Vadinasi,. Tai patvirtina 7 savybę).

komentuoti. Atkreipkime dėmesį į svarbų specialų 7 taisyklės atvejį, gautą su a = b = 1: jei c > d > 0, tada. Taigi, jei nelygybės sąlygos yra teigiamos, tada pereinant prie reciprokų gauname priešingos reikšmės nelygybę. Kviečiame skaitytojus patikrinti, ar ši taisyklė galioja ir 7) Jei ab > 0 ir c > d > 0, tada (nelygybių dalyba).

Įrodymas. Tai.

Aukščiau įrodėme keletą nelygybių savybių, parašytų naudojant ženklą > (daugiau). Tačiau visos šios savybės gali būti suformuluotos naudojant ženklą < (mažiau), nes nelygybė b< а pagal apibrėžimą reiškia tą patį kaip nelygybė a > b. Be to, kaip nesunku patikrinti, aukščiau įrodytos savybės taip pat išsaugomos negriežtoms nelygybėms. Pavyzdžiui, savybė 1) negriežtoms nelygybėms turės tokią formą: jei ab ir bc, Tai ac.

Žinoma, tai neriboja bendrųjų nelygybių savybių. Taip pat yra visa eilė bendrųjų nelygybių, susijusių su galios, eksponentinių, logaritminių ir trigonometrinių funkcijų svarstymu. Bendras požiūris į tokio pobūdžio nelygybių rašymą yra toks. Jei kokia nors funkcija y = f(x) segmente didėja monotoniškai [a, b], tada x 1 > x 2 (kur x 1 ir x 2 priklauso šiam segmentui) turime f (x 1) > f(x 2). Taip pat, jei funkcija y = f(x) monotoniškai mažėja intervale [a, b], tada kada x 1 > x 2 (kur x 1 Ir X 2 priklauso šiam segmentui) turime f(x 1)< f(x 2 ). Žinoma, tai, kas pasakyta, niekuo nesiskiria nuo monotoniškumo apibrėžimo, tačiau ši technika yra labai patogi įsiminti ir užrašyti nelygybes.

Taigi, pavyzdžiui, bet kuriam natūraliam skaičiui n funkcija y = x n monotoniškai didėja išilgai spindulio {0} {0} }