Aštuntajame dešimtmetyje mano bendradarbiavimas su Amosu prasidėjo nuo diskusijos apie teiginį, kad žmonės turi intuityvų statistinį pojūtį, net jei jie nebuvo mokomi statistikos. Seminare Amosas papasakojo apie Mičigano universiteto mokslininkus, kurie apskritai optimistiškai vertino intuityvią statistiką. Ši tema man labai rūpėjo dėl asmeninių priežasčių: neilgai trukus sužinojau, kad esu prastas intuityvus statistas ir negalėjau patikėti, kad esu blogesnis už kitus.
Tyrimo psichologui imties kintamumas nėra tik keistenybė, tai nepatogumas ir brangus nepatogumas, paverčiantis bet kokį tyrimą azartiniu žaidimu. Tarkime, kad norite patvirtinti hipotezę, kad šešiamečių mergaičių žodynas yra vidutiniškai didesnis nei to paties amžiaus berniukų. Visoje populiacijoje hipotezė yra teisinga, 6 metų mergaitės vidutiniškai turi didesnį žodyną. Tačiau mergaitės ir berniukai labai skiriasi, todėl galite atsitiktinai pasirinkti grupę, kurioje nėra pastebimo skirtumo, arba net tokią, kurioje berniukai surinktų daugiau taškų. Jei esate tyrėjas, toks rezultatas jums brangiai kainuos, nes sugaišęs laiko ir pastangų nepatvirtinsite hipotezės teisingumo. Rizika sumažinama tik naudojant pakankamai didelę imtį, o dirbantys su mažomis imtimis palieka save atsitiktinumui.
Klaidos rizika kiekviename eksperimente įvertinama naudojant gana paprastą operaciją, tačiau psichologai imties dydžiui nustatyti nesinaudoja skaičiavimais, o sprendimus priima pagal savo, dažnai ydingu, supratimą. Prieš pat savo diskusiją su Amosu perskaičiau straipsnį, kuris puikiai iliustruoja įprastas mokslininkų daromas klaidas. Autorius pažymėjo, kad psichologai dažnai naudoja tokias mažas imtis, kad rizikuoja nepatvirtinti teisingų hipotezių su 50% tikimybe! Joks protingas tyrėjas neprisiims tokios rizikos. Tikėtinas paaiškinimas atrodė, kad psichologų sprendimai dėl imties dydžio atspindėjo vyraujančias intuicijas apie kintamumo diapazoną.
Mane pribloškė straipsnio paaiškinimai, kurie atskleidžia mano paties tyrimo problemas. Kaip ir dauguma psichologų, aš nuolat naudojau per mažas pavyzdžius ir dažnai rasdavau beprasmius, keistus rezultatus, kurie pasirodė esąs artefaktai, sukurti taikant patį mano tyrimo metodą. Mano klaidos buvo dar labiau gėdingos, nes mokiau statistiką ir žinojau, kaip apskaičiuoti imties dydį, reikalingą nesėkmės rizikai sumažinti iki priimtino lygio. Bet niekada to nedariau planuodamas eksperimentus ir, kaip ir kiti tyrinėtojai, pasitikėjau tradicija ir savo intuicija, rimtai negalvodamas apie problemą. Kai Amosas lankėsi mano seminare, jau supratau, kad mano intuicija neveikia, o per patį seminarą greitai priėjome išvados, kad Mičigano universiteto optimistai taip pat klysta.
Su Amosu nusprendėme išsiaiškinti, ar tarp tyrinėtojų yra tokių naivų kvailių, kaip aš, ir ar matematinių žinių turintys mokslininkai nepadarė tokių pačių klaidų. Sukūrėme klausimyną, kuriame aprašomi tikroviški tyrimai ir sėkmingi eksperimentai. Apklaustųjų buvo paprašyta nustatyti imčių dydžius, įvertinti su šiais sprendimais susijusią riziką ir patarti hipotetiniams magistrantams, planuojantiems tiriamąjį darbą. Matematinės psichologijos draugijos konferencijoje Amosas apklausė susirinkusius (tarp jų ir dviejų statistikos vadovėlių autorius). Rezultatai buvo aiškūs: aš ne vienas. Beveik visi respondentai kartojo mano klaidas. Paaiškėjo, kad net ekspertai nėra pakankamai atsargūs dėl imties dydžio.
Pirmasis straipsnis, kurį parašiau kartu su Amosu, vadinosi „Tikėjimas mažų skaičių įstatymu“. Jame humoristiškai paaiškinta, kad „...atrodo, kad intuityvus atsitiktinių imčių dydžio įvertinimas tenkina mažų skaičių dėsnį, kuris teigia, kad didelių skaičių dėsnis taip pat tinka ir mažiems skaičiams“. Taip pat įtraukėme griežtą rekomendaciją tyrėjams, kad jie „statistines intuicijas vertintų su druska ir, kai tik įmanoma, pakeistų įspūdžius skaičiavimais“.
Inkstų vėžio atvejų tyrimas 3 141 JAV apskrityje atskleidė stebinantį modelį: mažiausias sergamumas buvo nustatytas kaimo, retai apgyvendintose apskrityse, esančiose tradicinėse respublikinėse valstijose Vidurio vakaruose, pietuose ir vakaruose. Ką apie tai manote?
Jūsų protas buvo labai aktyvus per pastarąsias kelias sekundes, o sistema 2 daugiausia veikė. Jūs sistemingai ieškojote informacijos ir formuluojate hipotezes. Reikėjo šiek tiek pasistengti: išsiplėtė vyzdžiai, pastebimai padažnėjo širdies plakimas. Tačiau 1 sistema taip pat neveikė: 2 sistema rėmėsi faktais ir sakiniais, paimtais iš asociatyvios atminties. Tikriausiai atmetėte idėją, kad respublikonų politinės pažiūros apsaugo nuo inkstų vėžio. Tikėtina, kad sutelkėte dėmesį į tai, kad apskritys, kuriose sergamumo lygis yra mažas, dažniausiai yra kaimo vietovės. Šmaikštūs statistikai Howardas Weineris ir Harrisas Zwerlingas, cituodami šį tyrimą, komentavo: „Labai lengva ir viliojanti išvada, kad mažas ligų skaičius yra tiesioginis sveiko kaimo gyvenimo rezultatas: oras švarus, vanduo švarus, maistas šviežias. ir be priedų“. Labai pagrįsta.
Dabar pažvelkime į apskritis, kuriose inkstų vėžys yra didžiausias. Šios nesveikos apskritys yra daugiausia kaimiškos, retai apgyvendintos ir yra tradiciškai respublikonų valstijose vidurio vakaruose, pietuose ir vakaruose. Weineris ir Zwerlingas juokaudami komentuoja: „Lengva manyti, kad didelis sergamumas yra tiesioginė kaimo skurdo pasekmė: geri vaistai toli, riebus maistas, piktnaudžiavimas alkoholiu ir tabaku. Žinoma, kažkas negerai. Kaimo gyvenimas negali vienu metu paaiškinti tiek didelio, tiek mažo sergamumo inkstų vėžiu.
Pagrindinis veiksnys čia nėra tai, kad apskritys yra kaimo ar daugiausia respublikonų. Reikalas tas, kad kaimiškuose rajonuose gyventojų nedaug. Pagrindinė pamoka, kurią reikia išmokti, yra ne apie epidemiologiją, o apie sudėtingą mūsų proto ir statistikos ryšį. 1 sistema puikiai pritaikyta vienai mąstymo formai – ji automatiškai ir be vargo atpažįsta priežastinius ryšius tarp įvykių, kartais net tais atvejais, kai ryšio nėra. Išgirdę apie apskritis, kuriose sergamumas yra didelis, iškart manėte, kad jos kažkuo skiriasi, kad yra šio skirtumo paaiškinimas. Tačiau, kaip matysime, 1 sistema nelabai sugeba susidoroti su „grynai statistiniais“ faktais, kurie keičia rezultatų tikimybę, bet nepriverčia jų įvykti.
Atsitiktinis įvykis pagal apibrėžimą yra nepaaiškinamas, tačiau atsitiktinių įvykių serija elgiasi labai reguliariai. Įsivaizduokite indą, užpildytą mažais rutuliais. Pusė jų raudonos, pusė baltos. Tada įsivaizduokite labai kantrų žmogų (arba robotą), kuris aklai išima keturis kamuoliukus vienu metu, užrašo raudonų skaičių, meta juos atgal ir kartoja tai daug daug kartų. Jei apibendrinsite rezultatus, pamatysite, kad derinys „du balti, du raudoni“ pasirodo beveik šešis kartus dažniau nei „keturi balti“ ar „keturi raudoni“. Šis ryšys yra matematinis faktas. Pakartotinio kamuoliukų traukimo iš urnos rezultatą galima nuspėti tokiu pat tikslumu, kaip ir plaktuku mušant kiaušinį. Negalėsite tiksliai nuspėti, kaip kriauklės fragmentai išsisklaidys, bet apskritai esate tikri rezultatu. Tačiau yra vienas skirtumas: patenkinto priežastingumo jausmo, kurį patiriate galvodami apie plaktuką ir kiaušinį, kamuoliukų atveju visiškai nėra.
Su tuo susijęs dar vienas statistinis faktas, susijęs su vėžio pavyzdžiu. Iš to paties indo du labai kantrūs eksperimentatoriai paeiliui išima kamuoliukus. Džekas gauna 4 po kiekvieno bandymo, o Džilė – 7. Jie abu pažymi kiekvieną kartą, kai gauna tos pačios spalvos rutuliukus, baltus arba raudonus. Jei tai darysite pakankamai ilgai, Džekas šiuos rezultatus matys maždaug 8 kartus dažniau nei Jill (numatomas procentas yra atitinkamai 12,5 ir 1,56%). Vėlgi, jokio plaktuko, jokios priežasties, tik matematinis faktas: 4 kamuoliukų rinkiniai labiau duoda vienodus rezultatus nei 7 rinkiniai.
Dabar įsivaizduokite JAV gyventojus kaip kamuoliukus didžiuliame inde, o kai kurie rutuliai pažymėti raidėmis „R P“, o tai rodo inkstų vėžį. Nupiešite rutuliukų rinkinius ir paeiliui užpildote kiekvieną rajoną. Kaimo vietovėse pavyzdžiai yra mažesni nei kitų. Kaip ir Jack and Jill žaidime, retai apgyvendintose apskrityse dažniau pasitaiko kraštutinumų, ty labai aukštų ir (arba) labai žemų vėžio atvejų. Štai ir visa istorija.
Pradėjome nuo fakto, kurį reikia paaiškinti: inkstų vėžio dažnis labai skiriasi priklausomai nuo apskrities, ir yra tam tikras šių pokyčių modelis. Pasiūliau statistinį paaiškinimą: kraštutinumai (aukšti ir žemi balai) dažniau pasitaiko mažose imtyse nei didelėse. Tai ne priežastis. Mažas apskrities gyventojų skaičius nesukelia vėžio ir jo neapsaugo. Tai tiesiog leidžia sergamumo rodikliui būti daug didesniam (arba daug mažesniam) nei didesnėje populiacijoje. Tiesa ta, kad čia nėra ką aiškinti. Tiesą sakant, vėžio dažnis nėra nei didesnis, nei mažesnis nei įprastai; jei apskritis turi mažą gyventojų skaičių, tai tik tam tikrais metais dėl atsitiktinės imties. Jei analizę pakartosime kitais metais, pastebėtume, kad apskritai situacija su kraštutinumais mažose imtyse yra ta pati, tačiau apskrityse, kuriose praėjusiais metais buvo daug vėžio atvejų, šį kartą nebūtinai bus didelis sergamumas. Jei taip, tai skirtumai tarp tankiai apgyvendintų ir kaimiškų apskričių neįskaitomi, tai yra tik artefaktai, ty reiškiniai, kuriuos sukuria tik koks nors tyrimo metodo aspektas, šiuo atveju – imties dydžio skirtumai.
Galbūt jus nustebino mano istorija, bet nepriėmėte jos kaip apreiškimo. Jau seniai žinojote, kad tyrimų rezultatai patikimesni didelėse imtyse, o apie didelių skaičių dėsnį yra girdėję net tie, kurie visiškai nežino statistikos. Tačiau vien „žinoti“ neužtenka, ir jūs galite pastebėti, kad jums tinka šie teiginiai:
Skaitydamas pasakojimą apie sergamumo vėžiu tyrimą nekreipėte dėmesio į ženklą „retai apgyvendinta“.
Jūs labai nustebote sužinoję apie skirtumą tarp 4 ir 7 kamuoliukų pavyzdžių.
Net ir dabar reikia tam tikrų protinių pastangų, kad suprastum, jog šie du teiginiai reiškia lygiai tą patį:
– Dideli mėginiai duoda tikslesnius rezultatus nei maži.
– Maži mėginiai sukelia ekstremumus dažniau nei dideli.
Pirmasis teiginys atrodo teisingas, bet jūs negalite manyti, kad jį supratote, kol jūsų intuicija nepriims antrojo.
Taigi žinojote, kad didesnių mėginių rezultatai buvo tikslesni, bet dabar tikriausiai suprantate, kad to nežinojote labai gerai. Tu ne vienas. Amos ir mano pirmasis tyrimas parodė, kad net patyrę tyrinėtojai turi prastą intuiciją ir miglotai supranta imties dydžio reikšmę.
Kad žmonės turėtų intuityvų statistinį jausmą, net jei jie nebuvo mokomi statistikos. Seminare Amosas papasakojo apie Mičigano universiteto mokslininkus, kurie apskritai optimistiškai vertino intuityvią statistiką. Ši tema man labai rūpėjo dėl asmeninių priežasčių: neilgai trukus sužinojau, kad esu prastas intuityvus statistas ir negalėjau patikėti, kad esu blogesnis už kitus.
Tyrimo psichologui imties kintamumas nėra tik keistenybė, tai nepatogumas ir brangus nepatogumas, paverčiantis bet kokį tyrimą azartiniu žaidimu. Tarkime, kad norite patvirtinti hipotezę, kad šešiamečių mergaičių žodynas yra vidutiniškai didesnis nei to paties amžiaus berniukų. Visoje populiacijoje hipotezė yra teisinga, 6 metų mergaitės vidutiniškai turi didesnį žodyną. Tačiau mergaitės ir berniukai labai skiriasi, todėl galite atsitiktinai pasirinkti grupę, kurioje nėra pastebimo skirtumo, arba net tokią, kurioje berniukai surinktų daugiau taškų. Jei esate tyrėjas, toks rezultatas jums brangiai kainuos, nes sugaišęs laiko ir pastangų nepatvirtinsite hipotezės teisingumo. Rizika sumažinama tik naudojant pakankamai didelę imtį, o dirbantys su mažais mėginiais palieka save atsitiktinumui.
Klaidos rizika kiekviename eksperimente įvertinama naudojant gana paprastą operaciją, tačiau psichologai imties dydžiui nustatyti nenaudoja skaičiavimų, o sprendimus priima vadovaudamiesi savo, dažnai ydingu, supratimu. Prieš pat diskusiją su Amosu perskaičiau straipsnį, kuris puikiai iliustruoja įprastas mokslininkų daromas klaidas. Autorius pažymėjo, kad psichologai dažnai naudoja tokias mažas imtis, kad rizikuoja nepatvirtinti teisingų hipotezių su 50% tikimybe! Joks protingas tyrėjas neprisiims tokios rizikos. Tikėtinas paaiškinimas atrodė, kad psichologų sprendimai dėl imties dydžio atspindėjo vyraujančias intuicijas apie kintamumo diapazoną.
Mane pribloškė straipsnio paaiškinimai, kurie atskleidžia mano paties tyrimo problemas. Kaip ir dauguma psichologų, aš nuolat naudojau per mažas pavyzdžius ir dažnai rasdavau beprasmius, keistus rezultatus, kurie pasirodė esąs artefaktai, sukurti taikant patį mano tyrimo metodą. Mano klaidos buvo dar labiau gėdingos, nes mokiau statistiką ir žinojau, kaip apskaičiuoti imties dydį, reikalingą nesėkmės rizikai sumažinti iki priimtino lygio. Bet niekada to nedariau planuodamas eksperimentus ir, kaip ir kiti tyrinėtojai, rimtai negalvodamas apie problemą pasitikėjau tradicija ir savo intuicija. Kai Amosas lankėsi mano seminare, jau supratau, kad mano intuicija neveikia, o per patį seminarą greitai priėjome išvados, kad Mičigano universiteto optimistai taip pat klysta.
Su Amosu nusprendėme išsiaiškinti, ar tarp tyrinėtojų yra tokių naivų kvailių, kaip aš, ir ar matematinių žinių turintys mokslininkai nepadarė tokių pačių klaidų. Sukūrėme klausimyną, kuriame aprašomi tikroviški tyrimai ir sėkmingi eksperimentai. Apklaustųjų buvo paprašyta nustatyti imčių dydžius, įvertinti su šiais sprendimais susijusią riziką ir patarti hipotetiniams magistrantams, planuojantiems tiriamąjį darbą. Matematinės psichologijos draugijos konferencijoje Amosas apklausė susirinkusius (tarp jų ir dviejų statistikos vadovėlių autorius). Rezultatai buvo aiškūs: aš ne vienas. Beveik visi respondentai kartojo mano klaidas. Paaiškėjo, kad net ekspertai nėra pakankamai atsargūs dėl imties dydžio.
Pirmasis straipsnis, kurį parašiau kartu su Amosu, vadinosi „Tikėjimas mažų skaičių įstatymu“. Jame humoristiškai paaiškinta, kad „...atrodo, kad intuityvus atsitiktinių imčių dydžio įvertinimas tenkina mažų skaičių dėsnį, kuris teigia, kad didelių skaičių dėsnis taip pat tinka ir mažiems skaičiams“. Taip pat įtraukėme griežtą rekomendaciją tyrėjams, kad jie „statistines intuicijas vertintų su druska ir, kai tik įmanoma, pakeistų įspūdžius skaičiavimais“.
Pirmenybę teikia tikrumui, o ne abejonėms
Remiantis 300 pensininkų telefonu apklausos rezultatais, prezidentę palaiko 60 proc.
Jei jūsų paprašytų trimis žodžiais apibendrinti šio sakinio prasmę, kaip tai padarytumėte? Beveik neabejotinai sakytumėte: „Pensininkai remia prezidentą“. Šie žodžiai perteikia istorijos esmę. Praleistos apklausos detalės (kad ji buvo atlikta telefonu ir respondentų skaičius) savaime neįdomios, jos tiesiog apibūdina pradines sąlygas. Naudodami kitokį imties dydį vis tiek sakytumėte tą patį. Žinoma, dėmesį patrauktų absurdiškas skaičius – 6 ar 60 mln. Bet jei to nepadarysite profesionaliai, tikriausiai reaguosite beveik identiškai į 150 ir 3000 žmonių imtį. Frazė „Žmonės nekreipia pakankamai dėmesio į imties dydį“ reiškia būtent tai.
Apklausos pranešime yra dviejų tipų informacija: istorija ir jos šaltinis. Natūralu, kad daugiau dėmesio skiriate pačiai istorijai, o ne rezultatų patikimumui. Tačiau jei patikimumas menkas, žinutė nebus išmokta. Jei išgirsite, kad „Rėmėjų grupė atliko klaidingą ir šališką apklausą, kad parodytų, jog pensininkai remia prezidentą“, jūs, žinoma, atmesite šią informaciją, apklausos rezultatai netaps jūsų tikėjimo dalimi. Vietoj to, neteisinga apklausa ir klaidingi jos rezultatai virs dar viena istorija apie politikų melavimą. Tokiais akivaizdžiais atvejais galite nuspręsti netikėti. Bet ar gerai žinote skirtumą tarp „skaičiau The New York Times...“ ir „girdėjau prie vandens aušintuvo...“? Ar jūsų „System 1“ gali atskirti tikėjimo laipsnius? WYSIATI principas siūlo ne.
Kaip jau minėta, 1 sistema nėra linkusi abejoti. Jis slopina dviprasmiškumą ir spontaniškai kuria nuoseklias istorijas. Jei pranešimas iš karto neatmetamas, su juo susijusios asociacijos bus skleidžiamos taip, lyg tai būtų tiesa. 2 sistema gali suabejoti, nes tuo pačiu metu gali apsvarstyti nesuderinamus variantus. Tačiau išlaikyti abejones yra sunkiau nei kažkuo pasitikėti. Mažų skaičių dėsnis yra bendros tendencijos į tikrumą, o ne į abejones, apraiška, kuri kitose dalyse pasireikš skirtingais priedangomis.
Stiprus polinkis manyti, kad mažos imtys tiksliai atspindi visą populiaciją, reiškia kai ką daugiau: mes linkę perdėti to, ką matome, nuoseklumą ir nuoseklumą. Tyrėjų perdėtas pasitikėjimas kelių stebėjimų rezultatais yra panašus į aureolės efektą – jausmą, kurį dažnai jaučiame, kad pažįstame ir suprantame žmogų, apie kurį iš tikrųjų mažai žinome. 1 sistema numato faktus, sudarydama išsamų vaizdą iš fragmentiškos informacijos. Šokinėjančių išvadų mechanizmas elgiasi taip, tarsi tikėtų mažų skaičių dėsniu. Apskritai tai sukuria pernelyg prasmingą tikrovės vaizdą.
Sąvoka „mažų skaičių dėsnis“, kurią moksliniu vartojimu įvedė Nobelio premijos laureatas ir psichologas Danielis Kahnemanas, taip pat originalus terminas „didelių skaičių įstatymas“, yra santykinis ir neturėtų būti aiškinamas pažodžiui.
Kas tai per dėsnis – mažųjų skaičių dėsnis?
Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime akimirką sutelkti dėmesį į didelių skaičių dėsnį.
Ir didelių skaičių dėsnis, kalbant labai supaprastintai, yra susijęs su tuo.
Tarkime, turime didžiulį maišą rusiškų monetų, kurių nominalai yra 1 rublis, 2 rubliai, 5 rubliai ir 10 rublių. Šių monetų maišelyje yra be galo daug, kiekvieno nominalo monetų yra vienodas. Tarkime, kad šios monetos yra vienodo dydžio ir svorio. Žmonės vienas po kito prieina prie maišo ir kiekvienas išima po vieną monetą. Tai nutinka vėl ir vėl: daugybė žmonių gauna savo monetas.
Mūsų užduotis – atspėti, kiek pinigų vidutiniškai gaus kiekvienas atvykęs žmogus.
Didelių skaičių dėsnis teigia, kad kuo daugiau žmonių prisiartins prie maišelio, tuo daugiau priartės vidutinė jų gaunama pinigų suma (1+2+5+10)/4=4,5 rub. tie. iki aritmetinio vidurkio. Ir didelių skaičių dėsnis, patikėkite manimi, yra teisingas.
Bet mažų skaičių dėsnis būtų teisingas, jei, paskaičiavus vidutinę pinigų sumą, kurią gauna pirmieji keli žmonės, gautume 4,5 rublio rezultatą. Ir toks rezultatas mažai tikėtinas. Pavyzdžiui, keli pirmieji žmonės gali gauti po 10 rublių.
Taigi, skirtingai nei didelių skaičių dėsnis, mažų skaičių dėsnis yra klaidingas.
Leiskite jums priminti, kad terminai „didelių skaičių dėsnis“ ir „mažų skaičių dėsnis“ yra sutartiniai terminai, kurių nereikėtų aiškinti pažodžiui.
Taikant realistiškesnes tyrimo problemas nei aukščiau aprašyta monetų problema, mažų skaičių dėsnis yra klaidingas. mažiau pavyzdys, temos mažiau ji tiksliai atspindi bendrosios populiacijos savybes, t.y. tie mažiau ji yra reprezentatyvi. Ir atvirkščiai: kuo didesnė imtis, tuo tiksliau atspindi populiacijos savybes, t.y. tuo ji reprezentatyvesnė (žinoma, atsitiktinai pritaikoma, bet, kaip sakoma, tai visai kita istorija). Atitinkamai, jei žmogus daro išvadas apie bendrą populiaciją, remdamasis per maža imtimi, atrodo, kad jis tiki mažų skaičių dėsniu, tarsi nesuprastų jo klaidingumo.
Štai dar viena aiškinamoji iliustracija. Kai mokiausi mokykloje, matematikos klasėje, be kitų, turėjome nedidelį plakatą, ant kurio buvo parašyta:
Statistika. Tiesa, kai yra daug.
Bet mus domina ne pats mažųjų skaičių dėsnis, o tai, kaip žmonės elgiasi (atlieka tyrimą, formuluoja išvadas), jei, santykinai tariant, tiki šiuo dėsniu.
Šia prasme galioja štai kas. Tikėjimas mažų skaičių dėsniu (o toks tikėjimas, kaip taisyklė, nėra realizuotas) sukelia vadinamąjį „skubų apibendrinimą“. Ankstyvas apibendrinimas yra toks, kai asmuo, remdamasis vos keliais savo tam tikrų objektų ar reiškinių stebėjimais, daro vienareikšmę išvadą apie visų tokių objektų ar reiškinių savybes. Pavyzdžiui, mergina turėjo tris vaikinus, ir kiekvienas iš jų pasirodė esąs ožys, iš to mergina daro išvadą, kad apskritai visi vyrai yra ožkos. Žinoma, tokia išvada neteisinga, ja grindžiamas apibendrinimas – skubotas, o mergina tarsi tiki, kad visiems vyrams įvertinti pakanka trijų vyrų, t.y. tiki mažų skaičių dėsniu.
Kitaip tariant, žmogus, kuris tiki mažų skaičių dėsniu, perdeda mažos imties reprezentatyvumą. Štai kodėl, beje, Danielis Kahnemanas priskyrė tikėjimą mažų skaičių dėsniu
Norėdami geriau suprasti mažųjų skaičių dėsnio klaidingumą, išspręskime nedidelę problemą.
Ant stalo yra krepšelis. Jame yra rutuliukų, kurių 2/3 rutuliukų yra vienos spalvos ir 1/3 rutuliukų kitos spalvos. Prie krepšelio priėjo dvi ginekologės: jaunas ir senas. Kiekvienas įkiša ranką į krepšį ir, nematydamas kamuoliukų, išima juos iš krepšio.
Jaunoji ginekologė ištraukė 5 kamuoliukus. Be to, 4 iš jų buvo raudoni, o vienas – baltas.
Senoji ginekologė ištraukė 20 kamuoliukų, iš kurių 12 pasirodė raudoni, o 8 balti.
Kuris ginekologas – jaunas ar senas – gali drąsiau teigti, kad krepšelyje yra 2/3 raudonų kamuoliukų ir 1/3 baltų, o ne atvirkščiai?
Dažniausiai žmonės (nepriklausomai nuo lyties) renkasi jauną ginekologą. Jie samprotauja maždaug taip: jaunoji ginekologė turėjo 80% kamuoliukų (4/5*100%), o senoji ginekologė turėjo tik 60% kamuoliukų (12/20*100%), reiškia, kad jaunasis ginekologas turėtų būti labiau pasitikintis savimi. Tačiau toks samprotavimas yra klaidingas ir yra tikėjimo mažų skaičių dėsniu pavyzdys: žmogus mano, kad 5 rutuliukų pavyzdys gali būti reprezentatyvesnis nei 20 kamuoliukų pavyzdys. Ir tai, žinoma, nėra taip.
Tikėjimas mažų skaičių dėsniu ir skubotas apibendrinimas, einantis koja kojon, yra gana paplitęs.
Pirma, atkreipkime dėmesį, kad tikėjimas mažų skaičių dėsniu ir skubotas apibendrinimas gali būti būdingas tyrinėjantiems psichologams, kurie, nors ir yra išmokę matematinių ir statistinių metodų, vis tiek, pavyzdžiui, išveda modelį ištyrę tik 30 dalykų. (Taip, taip, D. Kahnemano tyrimai rodo, kad mažų skaičių dėsniu gali patikėti net statistiką išmokę žmonės).
Tikėjimas mažų skaičių dėsniu ir skubotas apibendrinimas būdingas ir psichoanalitikams, kurie santykinai tiki, kad Froidui užteko septynių pacientų, kad suformuluotų pagrindinius psichoanalizės principus.
Mažų skaičių dėsnis taip pat turi įtakos kasdienėms išvadoms, kurias formuluoja paprasti žmonės ir kurios būdingos kasdieniam žinių lygiui. Pavyzdžiui, šiuose teiginiuose, susijusiuose su kasdieniu žinių lygiu, nesunku pastebėti skubotus apibendrinimus: visos blondinės yra kvailos, visi rusai yra alkoholikai, visi maskviečiai – arogantiški ir t.t. ir tt
Dar vieną puikų kasdieninio, kasdieninio tikėjimo mažų skaičių dėsniu pavyzdį galima pamatyti šalies filme „Valstybės tarybos narys“. Ar prisimenate epizodą, kuriame Požarskis, išreikšdamas susižavėjimą Fandorino dovana visada laimėti, kviečia jį žaisti kortomis – atspėti, ar iš kaladės ištraukta korta bus raudona ar juoda? Kai juoda spalva pasirodė du kartus, Fandorinas vėl sako „juodas“, Požarskis su juo nesutinka („Dėl malonės, tris kartus „juoda“?!), pasirenka „raudoną“ ir pralaimi.
Šiuo atveju Požarskis tarsi tiki mažų skaičių dėsniu, t.y. mano, kad tik trijų kortų pavyzdys parodys didelių skaičių dėsnį, kuriam veikiant susidaro kortų seka, kurioje raudonos ir juodos spalvos kaitaliojimas yra vienodas. Tačiau tokia seka atsiras tik esant pakankamai daugybei žaidimų ir maišymo serijų, ir kuo daugiau žaidimų, tuo didesnis vienodumas. (Žinoma, jei nepaisysime kortų nusidėvėjimo ir maišymo ypatybių).
Šis pavyzdys, beje, iliustruoja ne tik tikėjimą mažų skaičių dėsniu, bet ir vieną iš kognityvinių paklaidų rūšių, vadinamų „lošėjo klaidingumu“.
Mažų skaičių dėsniu tiki ir „Kvailys“ žaidėjas, kuris, matydamas, kad rankose turi tik juodus kostiumus, pareiškia, kad kaladė prastai sumaišyta.
Ir, žinoma, tikėjimas mažų skaičių dėsniu ir skubotas apibendrinimas yra visų rūšių, o ypač įvairių, pagrindas. Pavyzdžiui, būtent skuboto apibendrinimo būdu suformuluojami visi socioniniai žmonių tipų ir socioninių funkcijų aprašymai.
Baigdamas norėčiau atkreipti dėmesį į tai, kad tikėjimas mažų skaičių dėsniu yra tik vienas iš daugelio žmonėms būdingų pažinimo paklaidų. Be to, mokslinio tyrimo sąlygomis šis iškraipymas gali būti gana nesunkiai kompensuojamas naudojant šiuolaikinius matematinius ir statistinius metodus bei tinkamai užtikrinant imties reprezentatyvumą.
LITERATŪRA
Kahneman D., Slovik P., Tversky A. Sprendimų priėmimas neapibrėžtumo sąlygomis: taisyklės ir šališkumas. - Charkovas: Taikomosios psichologijos instituto leidykla „Humanitarinis centras“, 2005. - 632 p.
Yra keletas „skaičių teorijos“ sąvokos apibrėžimų. Vienas iš jų sako, kad tai yra speciali matematikos (arba aukštosios aritmetikos) šaka, kuri detaliai tiria sveikuosius skaičius ir į juos panašius objektus.
Kitas apibrėžimas paaiškina, kad ši matematikos šaka tiria skaičių savybes ir jų elgesį įvairiose situacijose.
Kai kurie mokslininkai mano, kad teorija yra tokia plati, kad neįmanoma jos tiksliai apibrėžti, o tik suskirstyti ją į keletą mažesnių teorijų.
Neįmanoma patikimai nustatyti, kada atsirado skaičių teorija. Tačiau tiksliai nustatyta: šiandien seniausias, bet ne vienintelis dokumentas, liudijantis senovės žmonių domėjimąsi skaičių teorija, yra nedidelis molinės lentelės fragmentas iš 1800 m. Jame yra visa eilė vadinamųjų Pitagoro trynukų (natūralių skaičių), daugelis kurių susideda iš penkių skaitmenų. Didelis tokių trynukų skaičius neįtraukia jų mechaninio pasirinkimo. Tai rodo, kad susidomėjimas skaičių teorija, matyt, atsirado daug anksčiau, nei mokslininkai iš pradžių manė.
Žymiausiais asmenimis teorijos raidoje laikomi pitagoriečiai Euklidas ir Diofantas, viduramžiais gyvenę indėnai Aryabhata, Brahmagupta ir Bhaskara, dar vėliau Fermatas, Eileris, Lagranžas.
XX amžiaus pradžioje skaičių teorija patraukė tokių matematikos genijų, kaip A. N. Korkinas, E. I. Zolotarevas, B. N. Delaunay, D. K. Faddejevas, I. M. Vinogradovas, G. Weilas, A. Selbergas, dėmesį.
Plėtodami ir gilindami senovės matematikų skaičiavimus ir tyrimus, jie teoriją perkėlė į naują, daug aukštesnį lygmenį, apimantį daugybę sričių. Nuodugnūs tyrimai ir naujų įrodymų paieška leido atrasti naujas problemas, kai kurios iš jų dar neištirtos. Lieka atviri: Artino hipotezė apie pirminių skaičių aibės begalybę, pirminių skaičių begalybės klausimas ir daugelis kitų teorijų.
Šiandien pagrindiniai komponentai, į kuriuos skirstoma skaičių teorija, yra teorijos: elementarioji, didžiųjų skaičių, atsitiktinių skaičių, analitinė, algebrinė.
Elementarioji skaičių teorija nagrinėja sveikųjų skaičių, nenaudojant metodų ir sąvokų iš kitų matematikos šakų. mažas - tai yra labiausiai paplitusios šios teorijos sąvokos, žinomos net moksleiviams.
Didžiųjų skaičių teorija (arba didelių skaičių dėsnis) yra tikimybių teorijos poskyris, kuriuo siekiama įrodyti, kad didelės imties aritmetinis vidurkis (kitaip tariant, empirinis vidurkis) artėja prie matematinio lūkesčio (taip pat vadinamas teoriniu vidurkiu). ) šio imties fiksuoto pasiskirstymo sąlyga.
Atsitiktinių skaičių teorija, skirstanti visus įvykius į neapibrėžtus, deterministinius ir atsitiktinius, bando nustatyti sudėtingų įvykių tikimybę iš paprastų įvykių tikimybės. Šiame skyriuje pateikiamos savybės ir jų dauginimo teorema, hipotezės teorema (kuri dažnai vadinama Bayeso formule) ir kt.
Analitinė skaičių teorija, kaip rodo jos pavadinimas, naudoja metodus ir metodus matematiniams dydžiams ir skaitinėms savybėms tirti Viena iš pagrindinių šios teorijos krypčių yra teoremos (naudojant kompleksinę analizę) apie pirminių skaičių pasiskirstymą įrodymas.
Algebrinių skaičių teorija tiesiogiai dirba su skaičiais, jų analogais (pavyzdžiui, algebriniais skaičiais), tiria daliklių teoriją, grupių kohomologiją, Dirichlet funkcijas ir kt.
Šimtmečius trukę bandymai įrodyti Ferma teoremą paskatino šios teorijos atsiradimą ir plėtrą.
Iki XX amžiaus skaičių teorija buvo laikoma abstrakčiu mokslu, „grynu menu iš matematikos“, neturinčiu absoliučiai jokio praktinio ar utilitarinio pritaikymo. Šiandien jos skaičiavimai naudojami kriptografiniuose protokoluose, skaičiuojant palydovų ir kosminių zondų trajektorijas, programuojant. Ekonomika, finansai, informatika, geologija – visi šie mokslai šiandien neįmanomi be skaičių teorijos.
