Комбинаторикийн хувьд тэд өгөгдсөн объектуудаас (элементүүд) тодорхой төрлийн хэдэн хослол хийж болох тухай асуултуудыг судалдаг.
Комбинаторик нэг салбар болж үүссэн нь мөрийтэй тоглоомын онолын тухай Б.Паскаль, П.Фермат нарын бүтээлүүдтэй холбоотой. Комбинаторын аргыг хөгжүүлэхэд асар их хувь нэмэр оруулсан Г.В. Лейбниц, Ж.Бернулли, Л.Эйлер нар.
Францын философич, зохиолч, математикч, физикч Блез Паскаль (1623-1662) математикийн гайхалтай чадвараа эрт харуулжээ. Паскалийн математикийн сонирхлын хүрээ маш олон янз байсан. Паскаль нэг зүйлийг нотолсон
проекцийн геометрийн үндсэн теоремуудаас (Паскалын теорем) нийлбэрийн машин (Паскалын нэмэх машин) зохион бүтээж, бином коэффициентийг тооцоолох аргыг (Паскалын гурвалжин) гаргаж, математикийн индукцийн аргыг анх удаа үнэн зөв тодорхойлж, нотлох аргыг ашигласан, хязгааргүй бага анализыг хөгжүүлэхэд чухал алхам хийж, магадлалын онол үүсэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. Гидростатикт Паскаль үндсэн хуулиа (Паскалын хууль) бий болгосон. Паскалийн "Аймагт бичсэн захидал" нь Францын сонгодог зохиолын шилдэг бүтээл байв.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нь Германы философич, математикч, физикч, зохион бүтээгч, хуульч, түүхч, хэл шинжлэлийн эрдэмтэн юм. Математикийн хувьд тэрээр И.Ньютонтой хамт дифференциал ба интеграл тооцоог боловсруулсан. Тэрээр комбинаторикт чухал хувь нэмэр оруулсан. Ялангуяа түүний нэр нь тооны онолын асуудлуудтай холбоотой байдаг.
Готфрид Вильгельм Лейбниц нь тийм ч гайхалтай дүр төрхтэй байсангүй, тиймээс нэлээд энгийн хүн мэт сэтгэгдэл төрүүлжээ. Парист нэг өдөр тэрээр өөрийн таньдаг гүн ухаантны номыг худалдаж авах найдлагатайгаар номын дэлгүүрт оров. Нэгэн зочин энэ номын талаар асуухад номын худалдагч түүнийг толгойноосоо хөл хүртэл шалгаж үзээд: "Чамд яагаад хэрэгтэй байна вэ? Чи үнэхээр ийм ном унших чадвартай юу?" Эрдэмтэн хариулж амжаагүй байтал номын зохиогч өөрөө "Агуу Лейбницт мэндчилж, хүндэтгэе!" Гэж дэлгүүрт оров. Энэ бол үнэхээр алдартай Лейбниц байсан бөгөөд ном нь эрдэмтдийн дунд маш их эрэлт хэрэгцээтэй байсан гэдгийг худалдагч ойлгохгүй байв.
Ирээдүйд дараахь чухал үүрэг гүйцэтгэнэ
Лемма.Элементүүдийн багцыг, олонлогт элементүүдийг оруулаарай. Дараа нь бүх ялгаатай хосуудын тоо нь тэнцүү байх болно.
Баталгаа.Үнэн хэрэгтээ, олонлогийн нэг элементээр бид ийм өөр хос, нийтдээ олон тооны элементүүдийг хийж чадна.
Байршил, сэлгэлт, хослолууд
Гурван элементийн багцтай болцгооё. Эдгээр хоёр элементийг бид ямар аргаар сонгож болох вэ? .
Тодорхойлолт.Өөр өөр элементүүдийн олонлогийн элементүүдийн зохион байгуулалт нь өгөгдсөн элементүүдээс > элементээр бүрдэх ба элементүүдийн өөрт нь эсвэл элементүүдийн дарааллаар ялгаатай хослолууд юм.
Элементүүдийн багцын бүх зохицуулалтын тоог элементүүдээр (франц хэлний "зохицуулалт" гэсэн үгийн эхний үсгээс авсан) энд ба .
Теорем.Элементүүдийн багцын байршлын тоо нь тэнцүү байна
Баталгаа.Бидэнд элементүүд байгаа гэж бодъё. Байршуулах боломжтой байг. Бид эдгээр байршлуудыг дарааллаар нь барих болно. Эхлээд эхний байршуулах элементийг тодорхойлъё. Өгөгдсөн элементүүдийн багцаас үүнийг янз бүрийн аргаар сонгож болно. Эхний элементийг сонгосны дараа хоёр дахь элементийг сонгох гэх мэт арга замууд хэвээр байна. Ийм сонголт бүр нь шинэ байрлалыг өгдөг тул эдгээр бүх сонголтыг бие биетэйгээ чөлөөтэй хослуулж болно. Тиймээс бидэнд байна:
Жишээ.Таван өнгийн материал байвал туг өөр өөр өнгийн гурван хэвтээ судлуудаас хэдэн янзаар бүтэх вэ?
Шийдэл.Шаардлагатай тооны гурван хамтлаг туг:
Тодорхойлолт.Элементүүдийн багцыг солих нь элементүүдийг тодорхой дарааллаар байрлуулах явдал юм.
Тиймээс гурван элементийн олонлогийн бүх өөр өөр орлуулалтууд байна
Элементүүдийн бүх сэлгэлтийн тоог зааж өгсөн (Франц хэлний "сэлгэн залгалт", "хөдөлгөөн" гэсэн үгийн эхний үсгээс). Тиймээс бүх өөр өөр орлуулалтын тоог томъёогоор тооцоолно
Жишээ.Шатрын тавцан дээр дэгээнүүд бие биенээ дайрахгүйн тулд хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
Шийдэл.Шаардлагатай тооны дэгээ
Тодорхойлолтоор!
Тодорхойлолт.Элементүүдээр өөр өөр элементүүдийн хослолууд нь өгөгдсөн элементүүдээс бүрдсэн элементүүдээс бүрдэх ба хамгийн багадаа нэг элементээр ялгаатай (өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн олонлогийн элементийн дэд олонлогууд) нэгдэл юм.
Таны харж байгаагаар хослолууд нь байршлаас ялгаатай нь элементүүдийн дарааллыг харгалзан үздэггүй. Элементүүдийн бүх хослолын тоог, тус бүр дэх элементүүдийг зааж өгсөн болно (франц хэлний "хослол" гэсэн үгийн эхний үсгээс авсан нь "хослол" гэсэн утгатай).
Тоонууд
Хоёр багцын бүх хослолууд нь .
Тоонуудын шинж чанарууд (\sf C)_n^k
Үнэн хэрэгтээ өгөгдсөн -элементийн олонлогийн -элементийн дэд олонлог бүр нь ижил олонлогийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг -элементийн дэд олонлогтой тохирч байна.
Үнэн хэрэгтээ бид элементүүдийн дэд олонлогуудыг дараах байдлаар сонгож болно: нэг элементийг засах; энэ элементийг агуулсан -элементийн дэд олонлогуудын тоо тэнцүү байна; Энэ элементийг агуулаагүй элементийн дэд олонлогуудын тоо нь -тэй тэнцүү байна.
Паскалийн гурвалжин
Энэ гурвалжинд эгнээ тус бүрийн туйлын тоо 1-тэй тэнцүү байх ба туйлын бус тоо бүр өмнөх эгнээний дээрх хоёр тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. Тиймээс энэ гурвалжин нь тоог тооцоолох боломжийг танд олгоно.
Теорем.
Баталгаа.Элементүүдийн багцыг авч үзээд дараах асуудлыг хоёр аргаар шийдье: өгөгдсөн элементээс хэдэн дараалал үүсгэж болох вэ?
нэг ч элемент хоёр удаа харагдахгүй олонлогууд?
1 арга зам. Бид дарааллын эхний гишүүнийг, дараа нь хоёр дахь, гурав дахь гэх мэтийг сонгоно. гишүүн
Арга 2. Эхлээд өгөгдсөн олонлогоос элементүүдийг сонгоод дараа нь тэдгээрийг дарааллаар нь байрлуулцгаая
Энэ бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
Жишээ.Та "Спортлото" тоглоомын 36 тооноос 5 тоог хэдэн аргаар сонгож болох вэ?
Шаардлагатай тооны арга
Даалгаврууд.
1.
Автомашины улсын дугаар нь орос цагаан толгойн 3 үсэг (33 үсэг), 4 тооноос бүрдэнэ. Хэдэн өөр улсын дугаар байдаг вэ?
2.
Төгөлдөр хуур дээр 88 товчлуур байдаг. Та 6 дууг дараалан хэдэн аргаар гаргаж болох вэ?
3.
5-д хуваагддаг зургаан оронтой тоо хэд вэ?
4.
Гурван халаасанд 7 өөр зоосыг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
5.
Та дор хаяж нэг удаа аравтын бутархайн тэмдэглэгээнд 5 оронтой хэдэн таван оронтой тоог гаргаж чадах вэ?
6.
Тойргоор хөдөлж нэг нэгнээсээ авах боломжтой бол 20 хүнийг дугуй ширээний ард хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?
7.
5-д хуваагддаг, ижил цифрүүд агуулаагүй таван оронтой тоо хэд вэ?
8.
1 см-ийн эсийн талтай алаг цаасан дээр 100 см-ийн радиустай тойрог зурсан бөгөөд энэ нь эсийн оройгоор дамжин өнгөрөхгүй, нүдний хажуу тал руу хүрдэггүй. Энэ тойрог хэдэн нүдийг огтолж чадах вэ?
9.
Тоонуудыг зэргэлдээх, өсөх дарааллаар байрлуулахаар хэдэн янзаар тоонуудыг дараалан байрлуулж болох вэ?
10.
Цифр бүрийг зөвхөн нэг удаа ашиглах боломжтой бол цифрүүдээс хэдэн таван оронтой тоо гаргах вэ?
11.
ROT гэдэг үгнээс үсгүүдийг өөрчилснөөр TOP, ORT, OTR, TRO, RTO гэсэн үгсийг гаргаж болно. Тэдгээрийг анаграм гэж нэрлэдэг. ЛОГАРИТМ гэдэг үгнээс хэдэн анаграмм хийж болох вэ?
12.
За дуудъя хуваахнатурал тоо, түүнийг натурал тоонуудын нийлбэрээр дүрслэх. Жишээлбэл, тооны бүх хуваалтууд энд байна:
Хуваалтууд нь тоогоор эсвэл нэр томъёоны дарааллаар ялгаатай байвал ялгаатай гэж үзнэ.
Тооныг нэр томъёонд хуваах хэд байдаг вэ?
13.
Өсөхгүй оронтой дараалалтай гурван оронтой тоо хэд вэ?
14.
Өсөхгүй оронтой тоо хэд байна вэ?
15.
17 хүнийг хэдэн янзаар зэрэгцүүлэн суулгаж болох вэ?
16.
охид, хөвгүүдийг санамсаргүй байдлаар дараалан суудалд суулгадаг. Хоёр охин зэрэгцэн суухгүйн тулд тэднийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?
17.
охид, хөвгүүдийг санамсаргүй байдлаар дараалан суудалд суулгадаг. Бүх охидыг зэрэгцүүлэн суулгахын тулд тэднийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?
Дахин зохицуулалт. Сэлгээний тооны томъёо
-аас солих n элементүүд
Багцыг нь тавь X-аас бүрдэнэ n элементүүд.
Тодорхойлолт. -аас давталгүйгээр байршуулахn багцын элементүүдX By n дуудсан -аас солих n элементүүд.
Аливаа сэлгэлт нь олонлогийн бүх элементүүдийг агуулна гэдгийг анхаарна ууX , мөн яг нэг удаа. Өөрөөр хэлбэл, сэлгэлт нь зөвхөн элементүүдийн дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай бөгөөд элементүүдийг солих замаар бие биенээсээ олж авч болно (иймээс нэр).
Бүх сэлгэцийн тооn элементүүдийг тэмдгээр тэмдэглэв .
Учир нь сэлгэлт нь хэзээ давтагдахгүйгээр байршуулах онцгой тохиолдол юм , дараа нь тоог олох томъёо Бид үүнийг (2) томъёогоор орлуулж авна :
Тиймээс,
(3)
Жишээ. 5 номыг тавиур дээр хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
Шийдэл. Номыг тавиур дээр байрлуулах олон арга байдаг тул таван элементийн өөр өөр орлуулалт байдаг:арга замууд.
Сэтгэгдэл. (1)-(3) томъёог цээжлэх шаардлагагүй: тэдгээрийн хэрэглээтэй холбоотой асуудлыг бүтээгдэхүүний дүрмийг ашиглан үргэлж шийдэж болно. Хэрэв оюутнуудад бодлогын хослолын загварыг бий болгоход бэрхшээлтэй байгаа бол ашигласан томъёо, дүрмийн багцыг нарийсгах нь дээр (алдаа гаргах боломж бага байх болно). Үнэн, сэлгэн залгалт, томъёо (3) ашигладаг асуудлуудыг ихэвчлэн ямар ч асуудалгүйгээр шийддэг.
Даалгаврууд
1. F. Тэд билетийн касс дээр хэдэн янзаар дараалал үүсгэж болох вэ: 1) 3 хүн; 2) 5 хүн?
Шийдэл.
Дараалалд байгаа n хүнийг байрлуулах янз бүрийн сонголтууд нь зөвхөн хүмүүсийг байрлуулах дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь n элементийн өөр өөр сэлгэлт юм.
Гурван хүн P3 = 3 дараалалд орж болно! = 6 өөр арга.
Хариулт: 1) 6 арга; 2) 120 арга.
2. T. Дөрвөн хүний суудалтай вандан сандал дээр 4 хүн хэдэн янзаар багтах вэ?
Шийдэл.
Хүмүүсийн тоо нь вандан сандал дээрх суудлын тоотой тэнцүү тул байрлуулах сонголтуудын тоо нь 4 элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна: P4 = 4! = 24.
Та бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу дүгнэлт хийж болно: эхний хүнд 4 газрын аль нэгийг сонгох боломжтой, хоёр дахь нь - үлдсэн 3-ын аль нэгийг нь, гурав дахь нь - үлдсэн 2-ын аль нэгийг нь, сүүлийн нэг нь үлдсэн 1 байрыг сонгоно. ; бүх зүйл бий = Дөрвөн хүний суудалтай вандан сандал дээр 4 хүнийг суулгах 24 өөр арга.
Хариулт: 24 арга.
3. M. At Vova’s үдийн хоолонд - нэгдүгээр, хоёрдугаар, гуравдугаар курс, бялуу. Тэр мэдээж бялуугаар эхэлж, үлдсэнийг нь санамсаргүй дарааллаар идэх болно. Үдийн хоолны боломжит сонголтуудын тоог ол.
Сурах бичгээс М-бодлого. А.Г. Мордковичийн гарын авлага
Т - ред. С.А.Теляковский
Ф- М.В.Ткачева
Шийдэл.
Бялууны дараа Вова гурван тавагны аль нэгийг нь сонгож, дараа нь хоёрыг нь сонгож, үлдсэнийг нь дуусгаж болно. Үдийн хоолны боломжит сонголтуудын нийт тоо: =6.
Хариулт: 6.
4. F. Өгүүлбэр дэх үгсийн дарааллыг өөрчлөх замаар хэдэн өөр зөв (орос хэлний үүднээс) хэллэг хийж болох вэ: 1) "Би зугаалахаар явсан"; 2) "Муур хашаанд алхаж байна"?
Шийдэл.
Хоёрдахь өгүүлбэрт "in" гэсэн угтвар үг нь хамаарах "yard" гэсэн нэр үгийн өмнө заавал байх ёстой. Тиймээс, "хашаанд" гэсэн хосыг нэг үгээр тоолбол та гурван нөхцөлт үгийн өөр өөр орлуулах тоог олох боломжтой: P3 = 3! = 6. Тиймээс энэ тохиолдолд та 6 зөв өгүүлбэр хийж болно.
Хариулт: 1) 6; 2) 6.
5. Дөрвөн өнцөгтийн оройг тодорхойлохдоо K, L, M, H үсгийг хэдэн янзаар ашиглаж болох вэ?
Шийдэл.
Дөрвөн өнцөгтийн оройнуудыг дугаарласан, тус бүр нь тогтмол тоотой гэж бид таамаглах болно. Дараа нь асуудал нь 4 үсгийг 4 газар (орой) байрлуулах янз бүрийн аргын тоог тоолох, өөрөөр хэлбэл өөр өөр орлуулах тоог тоолох явдал юм: P4 = 4! =24 арга.
Хариулт: 24 арга.
6. F. Дөрвөн найз кино театрын тасалбар худалдаж авсан: нэгдүгээр эгнээний 1, 2-р суудал, хоёр дахь эгнээний 1, 2-р суудал. Найзууд кино театрын эдгээр 4 суудлыг хэдэн янзаар эзэлж чадах вэ?
Шийдэл.
Дөрвөн найз 4 өөр газар авах боломжтой P4 = 4! = 24 өөр арга.
Хариулт: 24 арга.
7. T. Илгээгч нь багцыг 7 өөр байгууллагад хүргэх ёстой. Тэр хэдэн маршрут сонгож чадах вэ?
Шийдэл.
Маршрутыг шуудан зөөгч байгууллагуудад очих дараалал гэж ойлгох хэрэгтэй. Байгууллагуудыг 1-ээс 7 хүртэл дугаарлая, дараа нь маршрутыг 7 тооны дарааллаар харуулах бөгөөд дараалал нь өөрчлөгдөж болно. Маршрутын тоо нь 7 элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна: P7= 7! = 5,040.
Хариулт: 5040 маршрут.
8. T. Хүчин зүйлүүдийг дахин цэгцэлж түүнээс гаргаж авсан abcde үржвэртэй ижил тэнцүү хэдэн илэрхийлэл байдаг вэ?
Шийдэл.
Дараалал нь өөрчлөгдөж болох abcde таван өөр хүчин зүйлийн үржвэрийг өгсөн болно (хүчин зүйлүүдийг дахин зохион байгуулахад бүтээгдэхүүн өөрчлөгдөхгүй).
Нийт P5 = 5 байна! = Таван үржүүлэгчийг зохион байгуулах 120 өөр арга; Бид тэдгээрийн аль нэгийг нь (abcde) анхных гэж үздэг, үлдсэн 119 илэрхийлэл нь үүнтэй ижил байна.
Хариулт: 119 илэрхийлэл.
9. Т.Ольга найзынхаа утасны дугаар 5, 7, 8 гэсэн тоогоор төгссөнийг санаж байгаа ч эдгээр дугаарууд ямар дарааллаар гарч ирдгийг мартжээ. Найзтайгаа уулзахын тулд түүний хийх ёстой хамгийн олон сонголтыг зааж өгнө үү.
Шийдэл.
Утасны дугаарын сүүлийн гурван орон нь P3 =3-ын аль нэгэнд байрлаж болно! =6 боломжит захиалга, үүнээс зөвхөн нэг нь зөв. Ольга нэн даруй зөв сонголтыг бичиж чадна, тэр үүнийг гуравт бичиж болно гэх мэт. Хэрэв зөв сонголт сүүлчийнх нь, өөрөөр хэлбэл зургаа дахь нь болж хувирвал тэр хамгийн олон тооны сонголтыг бичих шаардлагатай болно.
Хариулт: 6 сонголт.
10. T. Тооноос хэдэн зургаан оронтой тоо (давтаагүй тоо) хийж болох вэ: a) 1,2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Шийдэл.
a) Өгөгдсөн 6 оронтой: 1, 2, 5, 6, 7, 8, тэдгээрээс та зөвхөн эдгээр цифрүүдийг дахин цэгцлэх замаар өөр өөр зургаан оронтой тоо гаргаж болно. Өөр өөр зургаан оронтой тооны тоо P6 = 6-тай тэнцүү байна! = 720.
б) Өгөгдсөн 6 оронтой тоо: 0, 2, 5, 6, 7, 8, тэдгээрээс та янз бүрийн зургаан оронтой тоо гаргах хэрэгтэй. Өмнөх асуудлаас ялгагдах зүйл нь тэг нь эхэлж болохгүй.
Та бүтээгдэхүүний дүрмийг шууд хэрэглэж болно: эхний байранд 5 цифрээс (тэгээс бусад) аль нэгийг нь сонгож болно; хоёрдугаарт - үлдсэн 5 цифрийн аль нэг нь (4 нь "тэг биш" бөгөөд одоо бид тэгийг тоолж байна); Гуравдугаар байранд - эхний хоёр сонголтын дараа үлдсэн 4 цифрийн аль нэг нь гэх мэт. Нийт сонголтуудын тоо: = 600.
Та шаардлагагүй сонголтуудыг арилгах аргыг ашиглаж болно. 6 цифрийг дахин цэгцлэх боломжтой P6 = 6! = 720 өөр арга зам. Эдгээр аргуудын дунд эхний байранд тэг байх аргууд байх болно, энэ нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй юм. Эдгээр хүчингүй сонголтуудын тоог тоолъё. Хэрэв эхний ээлжинд тэг байгаа бол (энэ нь тогтмол), дараа нь дараагийн таван байранд "тэг бус" 2, 5, 6, 7, 8 гэсэн 5 тооны янз бүрийн аргын тоо байж болно 5 газар байрлуулж болно P5 = 5-тай тэнцүү! = 120, өөрөөр хэлбэл тэгээс эхэлсэн тоонуудын орлуулах тоо нь 120. Энэ тохиолдолд өөр өөр зургаан оронтой тоонуудын шаардлагатай тоо нь тэнцүү байна: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.
Хариулт: a) 720; б) 600 тоо.
11. T. 3, 5, 7, 9 тооноос бүтсэн дөрвөн оронтой тоонуудын хэд нь (дахин давтагдахгүй) вэ: а) 3-аар эхэлсэн;
б) 15-ын үржвэр үү?
Шийдэл.
a) 3, 5, 7, 9 тоонуудаас бид 3-аас эхэлсэн дөрвөн оронтой тоог гаргадаг.
Бид эхний ээлжинд 3 дугаарыг засдаг; дараа нь үлдсэн гурав дээр5, 7 9 тоонуудыг дурын дарааллаар ямар ч дарааллаар байрлуулж болно Тэдний байршлын нийт сонголтуудын тоо нь P 3 = 3!=6. Дөрвөн оронтой тооноос бүрдэх маш олон янзын тоо байх болноөгөгдсөн тоонууд ба 3-аас эхэлнэ.
б) Эдгээр цифрүүдийн нийлбэр 3 + 5 + 7 + 9 = 24 нь 3-т хуваагддаг тул эдгээр цифрүүдээс бүрдсэн дөрвөн оронтой тоо 3-т хуваагддаг болохыг анхаарна уу. Эдгээр тоонуудын зарим нь хуваагддаг байхын тулд 15 гэхэд 5 тоогоор төгсөх шаардлагатай.
Бид 5-ын тоог хамгийн сүүлд засдаг; үлдсэн 3 цифрийг 5 Рз = 3-ын урд гурван газар байрлуулж болно! = 6 өөр арга. 15-д хуваагддаг эдгээр тоонуудаас бүрдсэн маш олон янзын дөрвөн оронтой тоо байх болно.
Хариулт: a) 6 тоо; б) 6 тоо.
12. T. 1, 3, 5, 7 тоонуудаас гаргаж болох дөрвөн оронтой бүх тооны цифрүүдийн нийлбэрийг ол (давталгүйгээр).
Шийдэл.
1, 3, 5, 7 (давталтгүйгээр) цифрүүдээс бүрдэх дөрвөн оронтой тоо бүр 1 + 3 + 5 + 7 = 16-тай тэнцүү цифрүүдийн нийлбэртэй байна.
Эдгээр тооноос та P4 = 4 болгож чадна! = Зөвхөн цифрүүдийн дарааллаар ялгаатай 24 өөр тоо. Эдгээр бүх тооны цифрүүдийн нийлбэр нь тэнцүү байх болно
16 = 384.
Хариулт: 384.
13. Т.Олег, Игорь нарын долоон хөвгүүн дараалан зогсож байна. Дараах тохиолдолд боломжит хослолын тоог ол.
a) Олег эгнээний төгсгөлд байх ёстой;
б) Олег эгнээний эхэнд, Игорь эгнээний төгсгөлд байх ёстой;
в) Олег, Игорь нар бие биенийхээ хажууд зогсох ёстой.
Шийдэл.
a) 7 газарт ердөө 7 хөвгүүд байдаг, гэхдээ нэг элемент нь тогтмол бөгөөд дахин зохион байгуулах боломжгүй (Олег эгнээний төгсгөлд байна). Боломжит хослолын тоо нь Олегийн өмнө зогсож буй 6 хөвгүүдийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна: P6=6!=720.
нэг элемент болгон хослуулж, бусад таван элементтэй дахин зохион байгуулна. Дараа нь боломжит хослолуудын тоо P6 = 6 болно! = 720.
Одоо Олег, Игорь хоёрыг IO дарааллаар зэрэгцүүлэн зогсооцгооё. Дараа нь бид өөр P6 = 6 авна! = 720 өөр хослол.
Олег, Игорь хоёр бие биенийхээ хажууд байгаа хослолын нийт тоо (ямар ч дарааллаар) 720 + 720 = 1440 байна.
Хариулт: a) 720; б) 120; в) 1440 хослол.
14. M. Тоглолт эхлэхийн өмнө арван нэгэн хөлбөмбөгчин жагсаж байна. Эхнийх нь ахлагч, хоёр дахь нь хаалгач, бусад нь санамсаргүй байдаг. Барилгын хэдэн арга байдаг вэ?
Шийдэл.
Ахлагч, хаалгачийн дараа гурав дахь тоглогч үлдсэн 9 газрын аль нэгийг, 8-аас дараагийнх гэх мэтийг сонгох боломжтой. Бүтээгдэхүүний дүрмийг ашигласан барилгын аргын нийт тоо нь:
1 =362,880, эсвэл P 9 = 9! = 362,880.
Хариулт: 362,880.
15. M. Кубын оройг A, B, C, D, E, F, G, K үсгээр хэдэн янзаар тэмдэглэж болох вэ?
Шийдэл.
Эхний оройн хувьд та 8 үсгийн аль нэгийг, хоёр дахь нь - үлдсэн 7 үсгийн аль нэгийг сонгож болно. Бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу нийт аргын тоо байна.=40 320, эсвэл P8 = 8!
Хариулт: 40,320.
16. T. Даваа гарагийн хуваарь нь алгебр, геометр, биологи, түүх, биеийн тамир, хими гэсэн зургаан хичээлтэй. Та энэ өдрийн хичээлийн хуваарийг хэд хэдэн аргаар зохиож, хоёр математикийн хичээлийг зэрэгцүүлж болох вэ?
Шийдэл.
Нийт 6 хичээлтэй, үүнээс хоёр математикийн хичээл хажууд байх ёстой.
Бид хоёр элементийг (алгебр ба геометр) эхлээд AG дарааллаар, дараа нь GA дарааллаар "наав". "Наах" сонголт бүрийн хувьд бид P5 = 5 авна! = 120 хуваарийн сонголт. Хуваарь үүсгэх арга замын нийт тоо нь 120 (AG) +120 (GA) = 240 байна.
Хариулт: 240 арга.
17. T. “Конус” гэдэг үгийн K, O, N үсэг зэрэгцэн оршдог үсгүүдийн хэдэн солих вэ?
Шийдэл.
5 үсэг өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн гурав нь бие биенийхээ хажууд байх ёстой. K, O, N гурван үсэг P3 = 3-ын аль нэгнийх нь хажууд зогсож болно! = 6 арга. K, O, N үсгүүдийг "наах" арга бүрийн хувьд бид P3 = 3 авна! = Үсгийг солих 6 арга, "наах", U, S. K, O, N үсэг зэрэгцэж байгаа "конус" үгийн үсгүүдийн өөр өөр солилтын нийт тоо 6 6 = 36 пермутаци - анаграмууд.
Хариулт: 36 анаграмм.
18. Т.Театрын нэг эгнээнд 5 хүү, 5 охин 1-ээс 10 хүртэлх суудалд хэдэн янзаар суух вэ? Хөвгүүд сондгой, охид тэгш тоотой суудалд суувал тэд үүнийг хэдэн аргаар хийж чадах вэ?
Шийдэл.
Хөвгүүдийн зохион байгуулалтын сонголт бүрийг охидын зохион байгуулалтын сонголт бүртэй хослуулж болох тул бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу энэ тохиолдолд хүүхдийг суулгах арга замын нийт тоо 120 байна. 20= 14400.
Хариулт: 3,628,800 арга зам; 14,400 арга зам.
19. Т.Таван хөвгүүн, дөрвөн охин есөн хүний суудалтай сандал дээр суухыг хүсдэг бөгөөд ингэснээр охин бүр хоёр хөвгүүний дунд сууна. Тэд үүнийг хэдэн аргаар хийж чадах вэ?
Шийдэл.
Даалгаврын нөхцлийн дагуу охид, хөвгүүд ээлжлэн солигдох ёстой, өөрөөр хэлбэл охид зөвхөн тэгш тоотой, хөвгүүд зөвхөн сондгой тоотой газар сууж болно. Тиймээс охид зөвхөн охидтой, хөвгүүд зөвхөн хөвгүүдтэй газар сольж болно. Дөрвөн охин дөрвөн тэгш газар P4 = 4 сууж болно! = 24 арга, таван сондгой газар таван хөвгүүн P5 = 5! = 120 арга.
Охидыг байрлуулах арга бүрийг хөвгүүдийг байрлуулах арга бүртэй хослуулж болох тул бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу нийт аргын тоо дараах байдалтай тэнцүү байна: P4
20 = 2880 арга.
Хариулт: 2880 арга.
20. F. 30 ба 210 тоонуудыг энгийн үржвэрийн үржвэр болгон хэдэн аргаар бичиж болох вэ: 1) 30; 2) 210?
Шийдэл.
Эдгээр тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон авч үзье.
30 = 2 ; 210 = 2 .
30-ын тоог анхны хүчин зүйлийн үржвэр болгон бичиж болно
Р 3 = 3! = 6 өөр арга (хүчин зүйлүүдийг дахин зохицуулах замаар).
210 тоог анхны тоонуудын үржвэр болгон бичиж болно
үржүүлэгчидР
4
= 4!
= 24 өөр арга.
Хариулт: 1) 6 арга; 2) 24 арга.
21. F. 1, 2, 3, 5 тоонуудыг ашиглан давтагдахгүй цифрүүдтэй хэдэн өөр тэгш дөрвөн оронтой тоог бичиж болох вэ?
Шийдэл.
Тоо тэгш байхын тулд тэгш оронтой тоогоор төгссөн байх ёстой, өөрөөр хэлбэл 2. Хоёрыг сүүлчийн байранд нь засъя, үлдсэн гурван орон нь урд нь дурын дарааллаар гарч ирэх ёстой. 3 оронтой өөр өөр орлуулалтын тоо P3 = 3 байна! = 6; тиймээс бас 6 өөр тэгш дөрвөн оронтой тоо байх болно (гурван оронтой солих бүрт 2-ын тоог нэмнэ).
Хариулт: 6 тоо.
22. F. 1,2, 4, 6, 8 цифрийг ашиглан ижил оронтой тоо байхгүй хэдэн өөр сондгой таван оронтой тоог бичиж болох вэ?
Шийдэл.
Бүрдсэн тоо сондгой байхын тулд сондгой тоогоор төгссөн байх ёстой, өөрөөр хэлбэл нэг. Үлдсэн 4 цифрийг нэгжийн өмнө байрлуулж, дахин цэгцэлж болно.
Таван оронтой сондгой тооны нийт тоо нь солих тоотой тэнцүү байна: P4 = 4! =24.
23. F. 1-ийн цифрийг ашиглан дахин давтагдахгүй цифртэй хэдэн өөр зургаан оронтой тоог бичиж болох вэ? 2 3, 4, 5, 6, хэрэв: 1) тоо 56-аар эхлэх ёстой; 2) 5 ба 6 тоонууд хажууд байх ёстой юу?
Шийдэл.
Бид тооны эхэнд 5 ба 6 гэсэн хоёр цифрийг засаж, үлдсэн 4 цифрээс янз бүрийн орлуулалтуудыг нэмнэ; өөр өөр зургаан оронтой тооны тоо тэнцүү байна: P4 = 4! = 24.
5 ба 6-ын цифрүүд (ямар ч дарааллаар) байгаа өөр өөр зургаан оронтой тоонуудын нийт тоо нь 120 + 120 = 240 тоо юм. (56 ба 65-р сонголтууд нь хоорондоо нийцэхгүй тул нэгэн зэрэг хэрэгжүүлэх боломжгүй; бид нэгтгэлийн нийлбэр дүрмийг хэрэгжүүлдэг.)
Хариулт: 1) 24 дэх; 2) 240 тоо.
24. F. 1,2,3,4 тоонуудаас ижил цифргүй хэдэн өөр тэгш дөрвөн оронтой тоо гаргаж болох вэ?
Шийдэл.
Тэгш тоо тэгш тоогоор төгссөн байх ёстой. Бид 2-ын тоог хамгийн сүүлд засаж, дараа нь өмнөх 3 цифрийг P3 = 3 болгон өөрчилж болно! = 6 өөр арга; Бид төгсгөлд нь хоёртой 6 тоог авна. Бид 4-ийн тоог хамгийн сүүлд засаж, бид P3 = 3 авна! = Өмнөх гурван цифр болон 4-өөр төгссөн 6 тооны өөр өөр 6 тооны солилт.
Тэгш дөрвөн оронтой тооны нийт тоо нь 6 + 6 = 12 өөр тоо байх болно.
Хариулт: 12 тоо.
Сэтгэгдэл. Бид хослолын нийлбэрийн дүрмийг ашиглан нийт сонголтуудын тоог олдог (хоёроор төгссөн тоонуудын 6 сонголт, дөрөвөөр төгссөн тоонуудын 6 хувилбар; төгсгөлд нь хоёр ба дөрөвтэй тоо барих аргууд нь бие биенээ үгүйсгэдэг, үл нийцэх, тиймээс нийт сонголтуудын тоо нь төгсгөлд нь хоёр, төгсгөлд нь 4-тэй сонголтуудын тооны нийлбэртэй тэнцүү байна). 6 + 6 = 12 гэсэн оруулга нь P оруулгатай харьцуулахад бидний үйлдлийн шалтгааныг илүү сайн тусгасан болно.
25. F. 1) 12 тоог анхны үржвэрийн үржвэр болгон хэдэн янзаар бичих вэ? 2) 24; 3) 120?
Шийдэл.
Энэ асуудлын онцлог нь эдгээр тоо тус бүрийг өргөжүүлэхэд ижил, давтагдах хүчин зүйлүүд байдаг. Хүчин зүйлсээс өөр өөр сэлгэлт үүсгэх үед бид хоёр ижил хүчин зүйлийг сольсон тохиолдолд шинэ сэлгэлт авахгүй.
1) 12 тоог гурван үндсэн хүчин зүйл болгон задалдаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь ижил байна: 12 = .
Хэрэв бүх хүчин зүйлүүд өөр байсан бол тэдгээрийг P3 = 3 бүтээгдэхүүнд дахин зохион байгуулж болно! = 6 өөр арга. Эдгээр аргуудыг жагсаахын тулд бид хоёр хоёрыг "ялгаж" нэгийг нь онцлон тэмдэглэнэ: 12 = 2.
Дараа нь оршин суугчдад задрах 6 хувилбар боломжтой.
Гэвч үнэн хэрэгтээ тоонуудын доогуур зураас нь математикт ямар ч утгагүй тул энгийн тэмдэглэгээнд гарсан 6 орлуулалт нь дараах байдалтай харагдана.
өөрөөр хэлбэл, бид 6 биш, харин 3 өөр сэлгэлт авсан.
P x гэж тэмдэглэе гурван элемент, түүний дотор хоёр ижил элементийн шаардлагатай тооны сэлгэлт; тэгвэл бидний олж авсан үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно: Рз = Р X Гэхдээ 2 нь хоёр элементийн өөр өөр сэлгэлтийн тоо, өөрөөр хэлбэл 2 == 2! = P 2, тиймээс P3, = P x P 2, иймээс P x = 
. (энэ нь давталттай сэлгэлтийн тооны томъёо юм).
Зөвхөн нэгдмэл бүтээгдэхүүний дүрэмд үндэслэн хүн өөрөөр тайлбарлаж болно.
Гурван хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүнийг бий болгохын тулд эхлээд 3-р хүчин зүйлийн газрыг сонгох; үүнийг гурван аргын аль нэгээр хийж болно. Үүний дараа бид үлдсэн хоёр зайг хоёроор дүүргэнэ; Үүнийг 1 аргаар хийж болно. Бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу нийт аргын тоо: 3-1 =3., Р x =20.
Хоёр дахь арга зам. Таван хүчин зүйлийн үржвэрийг бүрдүүлэхдээ бид эхлээд тав (5 арга), дараа нь гурвын (4 арга) газрыг сонгож, үлдсэн 3 газрыг хоёроор (1 арга) дүүргэнэ; бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу 5 4 1 = 20.
Хариулт: 1) 3; 2) 4; 3) 20.
26. F. 3 нүдийг улаан, үлдсэн 3 нүдийг цагаан, хар эсвэл ногоон өнгөөр будсан (тус бүр өөр өөрийн өнгөтэй) байхаар 6 нүдийг хэдэн аргаар будаж болох вэ?
Шийдэл.
6 элементийн сэлгэлт, тэдгээрийн гурав нь ижил байна:
Үгүй бол: цагаанаар будахын тулд та 6 нүдний аль нэгийг сонгож болно, хар - 5-аас, ногоон - 4-ээс; Үлдсэн гурван эсийг улаанаар будсан байна. Нийт аргын тоо: 6 5 4 1 = 120.
Хариулт: 120 арга.
27.Т. Явган хүн хойд зүгт нэг гудамж, баруун тийш гурван блок явах ёстой. Бүх боломжит явган хүний замыг бичнэ үү.= 4.
Хариулт: 4 маршрут.
28. M. a) Дөрвөн ижил албан тушаалтны үүдэнд дөрвөн дэд захирлын нэр бүхий самбар өлгөх шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
б) Лхагва гаригт 9 “А” ангид алгебр, геометр, биеийн тамир, орос, англи гэсэн 5 хичээл орно. Та энэ өдрийн хуваарийн хэдэн сонголт үүсгэж болох вэ?
в) Дөрвөн хулгайч дөрвөн зүгт нэг нэгээр нь хэдэн янзаар тарааж чадах вэ?
г) Адъютант генералын тушаалын таван хувийг таван хороонд хүргүүлэх ёстой. Тэр захиалгын хуулбарыг хүргэх замыг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?
Шийдэл.
a) Эхний тавагны хувьд та 4 шүүгээний аль нэгийг сонгож болно,
Хоёр дахь нь - үлдсэн гурвын аль нэг нь, гурав дахь нь - үлдсэн хоёрын аль нэг нь, дөрөв дэх нь - нэг нь үлдсэн; дүрмийн дагуу
бүтээгдэхүүн, арга замуудын нийт тоо: 4 3 2 1 = 24, эсвэл P4 = 4! = 24.= 120, эсвэл P5 = 5! = 120.
Хариулт: a) 24; б) 120; в) 24; г) 120.
Уран зохиол
Афанасьев В.В. Жишээ ба асуудлууд дахь магадлалын онол, - Ярославль: Ярославль улсын багшийн их сургууль, 1994 он.
Баврин I. I. Дээд математик: Сурган хүмүүжүүлэх их дээд сургуулийн хими, математикийн чиглэлээр суралцаж буй оюутнуудад зориулсан сурах бичиг - 2-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. - М.: Боловсрол, 1993 он.
Бунимович Е.А., Булычев В.А. Магадлал ба статистик. 5-9-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагад зориулсан гарын авлага, - М.: Бөмбөлөг, 2005.
Виленкин Н. Я болон бусад. 10-р ангийн алгебр, математикийн анализ: Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг. - М.: Боловсрол, 1992.
Виленкин Н. Я болон бусад. 11-р ангийн алгебр, математикийн шинжилгээ: Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургууль, ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг - М.: Просвещение, 1990.
Глэйзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх: 9-10-р анги. Багш нарт зориулсан гарын авлага. - М.: Боловсрол 1983 он.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Математик 9: Алгебр. Функцүүд. Өгөгдлийн шинжилгээ - М .: Bustard, 2000.
Колягин болон бусад. Алгебр ба анализын эхлэл 11-р анги. Сургуулийн математик - 2002 - No4 - 43,44,46-р тал.
Люпшкас В.С. Математикийн нэмэлт хичээлүүд: магадлалын онол: 9-11-р ангийн сурах бичиг - М., 1991.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Статистик ба магадлалын онолын элементүүд: 7-9-р ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг - М.: Просвещение, 2005.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебр ба анализын эхлэл, 10-р анги: Ерөнхий боловсролын байгууллагын сурах бичиг (профайлын түвшин) - М.: Мнемосина, 2005.
Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Статистикийн элементүүд ба магадлал: 7-9-р ангийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг - М.: Боловсрол, 2005.
Сонголт 1
№1. Таван өөр номыг тавиур дээр хэдэн аргаар байрлуулж болох вэ?
№2. 0, 1, 3, 6, 7, 9-ийн цифрүүдээс өөр оронтой хэдэн гурван оронтой тоо гаргаж болох вэ?
№3. Уулзалт дээр хуучин ангийн 9 хүүхэд нэрийн хуудсаа солилцов. Хэчнээн нэрийн хуудас ашигласан бэ?
№4. Өгөгдсөн дарааллаар "y", "p", "a" үсэг зэрэгцэн оршдог "зураг" гэдэг үгийн хэдэн үсгүүдийн сэлгэлт байдаг вэ?
Сонголт 2
№1. Зургаан өөр номыг тавиур дээр хэдэн аргаар байрлуулж болох вэ?
№2. 0, 3, 4, 5, 8 гэсэн цифрүүдээс өөр цифртэй гурван оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?
№3. Чуулганд 7 оролцогч утасны дугаараа солилцлоо. Хэдэн утасны дугаар солигдсон бэ?
№4. Өгөгдсөн дарааллаар “v”, “e”, “r” үсэг зэрэгцэн оршдог “орой” гэдэг үгийн үсгүүдийн хэдэн солих вэ?
Бие даасан ажил. Комбинаторик.
Сонголт 3
№1. Тэмцээний 9 оролцогч тэмцээний шөвгийн наймд тэргүүлэх дарааллаар хэдэн төрөлд оролцох вэ?
№2. 0, 3, 7, 8 тоонуудыг ашиглан тоонууд нь давтагдахгүй бүх боломжит хоёр оронтой тоог бүтээ.
№3. N бүсэд хоёр тосгон бүрийг авто замаар холбодог. Тухайн нутаг дэвсгэрт 10 тосгон байгаа бол ийм замын тоог тодорхойл.
№4. 3-аас эхлээд бүх оронтой тоо нь өөр байдаг таван оронтой утасны дугаар хэд вэ?
Сонголт 4
№1. Илгээгч зургаан хаягаар пицца хүргэх ёстой. Тэр хэдэн маршрут сонгож чадах вэ?
№2. 0, 2, 4, 6, 8 тоонуудыг ашиглан тоонууд нь давтагдахгүй гурван оронтой бүх боломжит тоог бүрдүүлэх үү?
№3. Хавтгай дээр 9 цэг тэмдэглэгдсэн байдаг бөгөөд тэдгээрийн гурав нь нэг шулуун дээр оршдоггүй. Эдгээр цэгүүдээр хэдэн шугам зурж болох вэ?
№4. 36-аас эхэлсэн зургаан оронтой утасны дугаарууд нь бүгд өөр байх хэд байдаг вэ?
