A10 хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай ойлголт.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг буюу хэд хэдэн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон хөрвүүлнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцсийн эцэст дөрвөн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Анги: 10

"Тэгшитгэлүүд үүрд үргэлжлэх болно."

А.Эйнштейн

Хичээлийн зорилго:

• Боловсролын:
  • тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын талаархи ойлголтыг гүнзгийрүүлэх;
  • тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг ялгах, зөв ​​сонгох чадварыг хөгжүүлэх.
• Боловсролын:
  • боловсролын үйл явцад танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх;
  • өгөгдсөн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх чадварыг хөгжүүлэх;
  • ангийн сэтгэлзүйн уур амьсгалыг сайжруулахад хувь нэмэр оруулах.
• Хөгжлийн:
  • бие даан мэдлэг олж авах чадварыг хөгжүүлэх;
  • оюутнуудын үзэл бодлоо илэрхийлэх чадварыг дэмжих;

Тоног төхөөрөмж:үндсэн тригонометрийн томьёо бүхий зурагт хуудас, компьютер, проектор, дэлгэц.

1 хичээл

I. Лавлах мэдлэгийг шинэчлэх

Тэгшитгэлийг амаар шийд:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx =;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2к;
7) x = + k;
8) x = + k; З руу.

II. Шинэ материал сурах

– Өнөөдөр бид илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Тэдгээрийг шийдвэрлэх 10 аргыг авч үзье. Дараа нь нэгтгэх хоёр хичээл, дараагийн хичээлд шалгалт орно. "Хичээл" гэсэн стенд дээр шалгалтанд орохтой ижил төстэй даалгаврууд тавигдсан байдаг. (Туршилтын өмнөх өдөр эдгээр даалгаврын шийдлүүдийг стенд дээр байрлуул).

Тиймээс, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг авч үзье. Эдгээр аргуудын зарим нь танд хэцүү мэт санагдаж байхад зарим нь хялбар мэт санагдах болно, учир нь... Та тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим аргыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Ангийн дөрвөн сурагч бие даасан даалгавар авсан: Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 4 аргыг ойлгож, танд үзүүлэх.

(Ярьдаг оюутнууд слайдыг урьдчилан бэлтгэсэн. Ангийн бусад нь дэвтэрт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн алхмуудыг бичдэг.)

1 оюутан: 1 арга зам. Тэгшитгэлийг факторингоор шийдвэрлэх

нүгэл 4х = 3 cos 2x

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид давхар өнцгийн синусыг sin 2 = 2 sin cos томъёог ашиглана
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Хэрэв хүчин зүйлүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал эдгээр хүчин зүйлсийн үржвэр тэгтэй тэнцүү байна.

2x = + k, k Z эсвэл sin 2x = 1.5 – шийдэл байхгүй, учир нь | нүгэл| 1
x = + k; З руу.
Хариулт: x = + k, k Z.

2 оюутан. Арга 2. Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр эсвэл зөрүүг үржвэрт хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд sin– sin = 2 sin сos томъёог ашиглана

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Үүссэн тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багц нь эхний тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багцад бүрэн багтсан болно. гэсэн үг

Хариулт:

3 оюутан. 3 зам. Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид томъёог ашиглана

Хариулт:

4 оюутан. 4 зам. Квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 нүгэл 2 х + 3 нүгэл x – 2 = 0,

sin x = t байг, хаана | t |. Бид 2t 2 + 3t – 2 = 0 квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

D = 9 + 16 = 25.

Тиймээс . нөхцөлийг хангахгүй байна | t |.

Тэгэхээр sin x =. Тийм ч учраас .

Хариулт:

III. А.Н. Колмогоровын сурах бичгээс олж мэдсэн зүйлээ нэгтгэх

1. No 164 (a), 167 (a) (квадрат тэгшитгэл)
2. № 168 (а) (факторжуулалт)
3. No 174 (a) (нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах)
4. (бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хөрвүүлэх)

(Хичээлийн төгсгөлд баталгаажуулахын тулд эдгээр тэгшитгэлийн шийдлийг дэлгэцэн дээр харуул.)

№ 164 (A)

2 нүгэл 2 х + нүгэл х – 1 = 0.
sin x = t, | гэж үзье t | 1. Дараа нь
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Хаана

Хариулт: - .

№ 167 (A)

3 тг 2 х + 2 тг х – 1 = 0.

tg x = 1 гэж үзье, тэгвэл бид 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Хариулт:

№ 168 (A)

Хариулт:

№ 174 (A)

Тэгшитгэлийг шийд:

Хариулт:

Хичээл 2 (хичээл-лекц)

IV. Шинэ материал сурах(үргэлжлэл)

– Тэгэхээр тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг үргэлжлүүлэн судалцгаая.

5 зам. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Маягтын тэгшитгэл a sin x + b cos x = 0, a ба b нь зарим тоонуудыг sin x эсвэл cos x-тэй харьцах нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг авч үзье

sin x – cos x = 0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-д хуваая. Үүнийг хийж болно, учир нь үндэс алдагдал гарахгүй , Хэрэв cos x = 0,Тэр sin x = 0. Гэхдээ энэ нь тригонометрийн үндсэн шинжтэй зөрчилддөг нүгэл 2 x+cos 2 x = 1.

Бид авдаг tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Маягтын тэгшитгэл шиг 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,Хаана a, b, c -зарим тоог sin x эсвэл cos x-тэй харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг авч үзье

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-т хуваая, учир нь язгуур нь алдагдахгүй. cos x = 0 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

tg x = t гэж үзье. D = 9 – 8 = 1.

Тэгэхээр tg x = 2 эсвэл tg x = 1 байна.

Үүний үр дүнд x = arctan 2 + , x =

Хариулт: arctg 2 + ,

Өөр нэг тэгшитгэлийг авч үзье: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Тэгшитгэлийн баруун талыг 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) хэлбэрээр хувиргая. Дараа нь бид:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Бид аль хэдийн шинжилсэн 2-р тэгшитгэлийг авсан).

Хариулт: арктан 2 + k,

6 зам. Шугаман тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шугаман тригонометрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм a sin x + b cos x = c, энд a, b, c нь зарим тоо юм.

Тэгшитгэлийг авч үзье sin x + cos x= – 1.
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.

Үүнийг харгалзан үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт:

7 зам. Нэмэлт аргументыг танилцуулж байна

Илэрхийлэл a cos x + b sin xхөрвүүлж болно:

(Бид тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахдаа энэ хувиргалтыг аль хэдийн ашигласан)

Нэмэлт аргумент оруулъя - өнцөг нь ийм байна

Дараа нь

Тэгшитгэлийг авч үзье: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Гэрийн даалгавар: No 164 -170 (c, d).

Та асуудлаа шийдэх нарийн шийдлийг захиалах боломжтой!!!

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийг (`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд нь `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-д шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд бодит тоонуудын дунд шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын дурын утгуудын хувьд хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

• үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
• дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0', хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0' гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Баруун талыг нь `1=sin^2 x+cos^2 x` гэж бичье:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулах. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас өнцөг рүү шилжих

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёог ашиглая: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээр дурдсан алгебрийн аргыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициент, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` тул бид `\varphi=arcsin 4/5`-ийг туслах өнцөг болгон авна. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулах. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч ба хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайтай тэнцүү юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог тэгтэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулах. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ялангуяа тригонометрийн тэгшитгэлийг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл нь 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх томьёог санаж байхыг хичээгээрэй - тэдгээр нь танд ашигтай байх болно!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болж буурдаг тэгшитгэл орно. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх эсвэл бүтэлгүйтэх нь үндсэндээ шийдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргаж байгаагаас хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

Тэгшитгэлийн харагдах байдал дээр үндэслэн түүний төрлийг тодорхойлох нь заримдаа хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебр хэлбэрт буулга.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн дарааллыг багасгах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино.

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:

a) хүрэн x + b = 0;

б) бор 2 x + b арктан x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Бүх боломжит тригонометрийн томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргуудаар шийдсэн тэгшитгэл болгон бууруул.

Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд нь тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах замаар олж авсан олон мэдлэг, ур чадварыг агуулдаг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математикийг сурах үйл явц, хувь хүний ​​​​хөгжилд чухал байр суурь эзэлдэг.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. тэгшитгэлийн хувиргалтхамгийн хялбар болгохын тулдтөрөл (дээрхийг харна уу) ба шийдэлүр дүнд нь хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл.Долоо байна тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

1. Алгебрийн арга.

(хувьсах солих ба орлуулах арга).

2. Factorization.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд:нүгэл x+cos x = 1 .

Шийдэл тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тийш шилжүүлье.

Нүгэл x+cos x – 1 = 0 ,

Илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хувацгаая

Тэгшитгэлийн зүүн тал:

Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 x+ нүгэл x cos x = 1.

Шийдэл: cos 2 x+ нүгэл x cos x– нүгэл 2 x- cos 2 x = 0 ,

Нүгэл x cos x– нүгэл 2 x = 0 ,

Нүгэл x· (cos x– нүгэл x ) = 0 ,

Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Шийдэл: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 учир 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (учир нь 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 гэм 3 xнүгэл x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). нүгэл 3 x= 0, 3). нүгэл x = 0 ,

4. Хагас өнцөгт шилжих.

Энэ аргыг жишээ болгон авч үзье.

ЖИШЭЭ Тэгшитгэлийг шийд: 3нүгэл x– 5 co x = 7.

Шийдэл: 6 нүгэл ( x/ 2) учир нь ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 нүгэл² ( x/ 2) =

7 нүгэл² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 нүгэл² ( x/ 2) – 6 нүгэл ( x/ 2) учир нь ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

бор²( x/ 2) – 3 бор ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Туслах өнцгийн танилцуулга.

Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье:

анүгэл x + б cos x = в ,

Хаана а, б, в- коэффициент;x- үл мэдэгдэх.

Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал: тус бүрийн модуль (үнэмлэхүй утга). үүнээс 1-ээс илүүгүй, ба тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1 байна. Дараа нь бид тэмдэглэж болно тэдгээрийн дагуу Хэрхэн cos ба нүгэл (энд - гэж нэрлэгддэг туслах өнцөг), Мөнбидний тэгшитгэлийг ав