Үнэмлэхүй ба харьцангуй хэмжилтийн алдааны физик. Үнэмлэхүй алдаа

Бид хэд хэдэн цуврал явууллаа гэж бодъё nижил хэмжээний хэмжилт X. Санамсаргүй алдаанаас болж хувь хүний ​​утгууд X 1 ,X 2 ,X 3, X n нь ижил биш бөгөөд хэмжилтийн тоонд хуваагдсан бүх хэмжсэн утгуудын арифметик нийлбэртэй тэнцүү байхаар хүссэн утгын хамгийн сайн утгаар арифметик дундажийг сонгоно.

. (P.1)

Энд å нь нийлбэрийн тэмдэг, би- хэмжилтийн дугаар, n- хэмжилтийн тоо.

Тэгэхээр, - үнэнд хамгийн ойрын утга. Жинхэнэ утгыг хэн ч мэдэхгүй. Та зөвхөн D интервалыг тооцоолж болно Xойролцоо, бодит утгыг тодорхой хэмжээний магадлалаар байрлуулж болно Р. Энэ интервал гэж нэрлэгддэг итгэлийн интервал. Жинхэнэ утга нь түүнд унах магадлалыг нэрлэдэг итгэлийн магадлал, эсвэл найдвартай байдлын коэффициент(итгэлийн магадлалын талаархи мэдлэг нь олж авсан үр дүнгийн найдвартай байдлын түвшинг үнэлэх боломжийг олгодог тул). Найдвартай байдлын интервалыг тооцоолохдоо шаардлагатай найдвартай байдлын түвшинг урьдчилан тодорхойлсон болно. Энэ нь практик хэрэгцээгээр тодорхойлогддог (жишээлбэл, завины хөдөлгүүрээс илүү онгоцны хөдөлгүүрийн хэсгүүдэд илүү хатуу шаардлага тавьдаг). Илүү найдвартай байдлыг хангахын тулд хэмжилтийн тоо, тэдгээрийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэх шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой.

Хувь хүний ​​хэмжилтийн санамсаргүй алдаа нь магадлалын хуулиудад захирагддаг тул математик статистик, магадлалын онолын аргууд нь арифметик дундаж утгын язгуур квадрат алдааг тооцоолох боломжийг олгодог. Dx sl. Тооцооллын томьёог нотолгоогүйгээр бичье Dx cl цөөн тооны хэмжилтийн хувьд ( n < 30).

Томьёог Оюутны томъёо гэж нэрлэдэг:

, (A.2)

Хаана т n, p - Хэмжилтийн тооноос хамааран оюутны коэффициент nболон итгэлийн магадлал Р.

Оюутны коэффициентийг практик хэрэгцээнд үндэслэн (дээр дурдсанчлан) утгыг урьд нь тодорхойлсон доорх хүснэгтээс олно nТэгээд Р.

Лабораторийн ажлын үр дүнг боловсруулахдаа 3-5 хэмжилт хийхэд хангалттай бөгөөд 0.68-тай тэнцэх итгэлийн магадлалыг авна.

Гэхдээ олон хэмжилт хийснээр ижил утгыг олж авдаг X. Жишээлбэл, бид утасны диаметрийг 5 удаа хэмжиж, 5 удаа ижил утгыг авсан. Тэгэхээр энэ нь ямар ч алдаа байхгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь хэмжилт бүрийн санамсаргүй алдаа бага байна гэсэн үг нарийвчлал d төхөөрөмж гэж нэрлэдэг багаж хэрэгслийн өрөө,эсвэл багаж хэрэгсэл, алдаа. Төхөөрөмжийн багажийн алдаа d нь түүний паспорт дээр заасан төхөөрөмжийн нарийвчлалын ангиллаар тодорхойлогддог, эсвэл төхөөрөмж дээр заасан байдаг. Заримдаа төхөөрөмжийг хуваах үнэ (төхөөрөмжийг хуваах үнэ нь түүний хамгийн бага хуваагдлын үнэ юм) эсвэл хуваах үнийн талтай (хэрэв төхөөрөмжийг хуваах үнийг ойролцоогоор тодорхойлох боломжтой бол) тэнцүү гэж үздэг. нүд).

Үнэт зүйлс тус бүрээс хойш X i алдаа d авсан, дараа нь бүрэн итгэлийн интервал Dx, эсвэл үнэмлэхүй хэмжилтийн алдааг дараах томъёогоор тооцоолно.

. (P.3)

Хэрэв (A.3) томьёоны нэг хэмжигдэхүүн нөгөөгөөсөө 3 дахин их байвал бага нь үл тоомсорлодог гэдгийг анхаарна уу.

Үнэмлэхүй алдаа нь өөрөө авсан хэмжилтийн чанарыг тусгадаггүй. Жишээлбэл, үнэмлэхүй алдаа нь 0.002 м² гэсэн мэдээлэлд үндэслэн энэ хэмжилтийг хэр сайн гүйцэтгэсэн талаар дүгнэх боломжгүй юм. Авсан хэмжилтийн чанарын талаархи санааг өгсөн болно харьцангуй алдаа e, үнэмлэхүй алдааг хэмжсэн утгын дундаж утгатай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү. Харьцангуй алдаа нь хэмжсэн утгын үнэмлэхүй алдаа ямар хувьтай байгааг харуулдаг. Дүрмээр бол харьцангуй алдааг хувиар илэрхийлнэ.

Нэг жишээ авч үзье. Бөмбөгний диаметрийг микрометрээр хэмжинэ, багажийн алдаа нь d = 0.01 мм байна. Гурван хэмжилтийн үр дүнд дараах диаметрийн утгыг олж авав.

г 1 = 2.42 мм, г 2 = 2.44 мм, г 3 = 2.48 мм.

(А.1) томъёог ашиглан бөмбөгний диаметрийн арифметик дундаж утгыг тодорхойлно

Дараа нь Оюутны коэффициентүүдийн хүснэгтийг ашиглан гурван хэмжилтээр итгэлийн түвшин 0.68 байна. т n, p = 1.3. Дараа нь (A.2) томъёог ашиглан санамсаргүй хэмжилтийн алдааг тооцоолно Өд sl

Үүссэн санамсаргүй алдаа нь багажийн алдаанаас хоёр дахин их байдаг тул хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааг олох үед Өд(А.3)-ын дагуу санамсаргүй алдаа ба багаж хэрэгслийн алдааг хоёуланг нь харгалзан үзэх шаардлагатай, i.e.

мм » ±0.03 мм.

Үр дүнгийн нарийвчлал нь хэмжих хэрэгслийн нарийвчлалаас хэтрэхгүй байх тул алдааг миллиметрийн зууны нэг болгон дугуйрсан бөгөөд энэ тохиолдолд 0.01 мм байна.

Тиймээс утасны диаметр нь байна

мм.

Энэ оруулга нь 68% -ийн магадлалтай бөмбөгний диаметрийн жинхэнэ утга нь (2.42 ¸ 2.48) мм-ийн интервалд оршдог болохыг харуулж байна.

(А.4)-ийн дагуу олж авсан утгын харьцангуй алдаа e байна

%.

Энэ сэдвээр би алдааны талаар товч мэдээлэл бичих болно. Дахин хэлэхэд энэ бичвэр нь ямар ч албан ёсны биш бөгөөд үүнтэй холбоотой ишлэл нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Энэ бичвэрт байгаа аливаа алдаа, алдааг зассанд би талархах болно.

Алдаа гэж юу вэ?

Туршилтын үр дүнг () маягтаар бүртгэх нь хэрэв бид олон ижил туршилт хийвэл 70% -д нь авсан үр дүн нь интервалд байх ба 30% -д нь байхгүй гэсэн үг юм.

Эсвэл энэ нь ижил зүйл юм, хэрэв бид туршилтыг давтвал шинэ үр дүн нь итгэх магадлалтай тэнцүү магадлал бүхий итгэлийн интервалд багтах болно.

Алдаа болон үр дүнг хэрхэн дугуйруулах вэ?

Алдаа нь дугуйрсан байна эхний чухал цифр рүү, хэрэв энэ нь нэг биш бол. Хэрэв нэг бол - хоёр хүртэл. Хаана чухал үзүүлэлтҮр дүнгийн эхний тэгээс бусад аль ч цифрийг дуудна.

Дугуй эсвэл эсвэл гэхдээ ямар ч тохиолдолд эсвэл , 2 чухал тоо байгаа тул хоёрын дараа 2 ба 0 байна.

эсвэл хүртэл дугуйрна

эсвэл хүртэл дугуйрна эсвэл

Үр дүнгийн сүүлийн чухал цифр нь алдааны сүүлийн чухал цифртэй тохирч байхаар бид үр дүнг дугуйруулна.

Жишээ зөв оруулга:

мм

Алдааны эхний чухал тоо нь нэг учраас энд алдааг 2 чухал тоонд үлдээе.

мм

Жишээ буруу оруулга:

Мм Энд үр дүнд нь нэмэлт тэмдэг. мм зөв байх болно.

мм. Энд нэмэлт тэмдэгалдаа болон үр дүнд аль алинд нь. мм зөв байх болно.

Би ажилдаа надад өгсөн утгыг зүгээр л тоо болгон ашигладаг. Жишээлбэл, жингийн масс. Түүний алдааны хэмжээ хэд вэ?

Хэрэв алдааг тодорхой заагаагүй бол та сүүлийн цифрээс нэгийг авч болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m = 1.35 г гэж бичсэн бол алдааг 0.01 г гэж авна.

Хэд хэдэн хэмжигдэхүүнүүдийн функц байдаг. Функцийн алдааг олохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Энэ тэмдэг нь f-ийн х-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив гэсэн үг юм. Хэсэгчилсэн деривативын талаар дэлгэрэнгүй уншина уу.

Та ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжсэн гэж бодъё xхэд хэдэн (n) удаа. Бид багц утгыг хүлээн авсан. . Та тараах алдааг тооцоолж, багажийн алдааг тооцоолж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй.

Оноо.

1. Бид тархалтын алдааг тооцоолно

Хэрэв бүх утгууд давхцаж байвал танд тархалт байхгүй болно. Үгүй бол тооцоолох шаардлагатай тархалтын алдаа байна. Эхлэхийн тулд дундажийн язгуур дундаж квадрат алдааг тооцоолно.

Энд бүх нийтээс дундаж гэсэн үг.
Тархалтын алдааг дундаж утгын язгуур квадрат алдааг Оюутны коэффициентоор үржүүлэх замаар олно. Энэ нь таны сонгосон итгэлийн магадлал болон хэмжилтийн тооноос хамаарна. n:

Бид доорх хүснэгтээс Оюутны коэффициентийг авна. Итгэлийн магадлалыг дур мэдэн, хэмжилтийн тоогоор үүсгэдэг nбид ч бас мэднэ.

2. Бид дундаж үзүүлэлтийн хэрэгслийн алдааг авч үздэг

Хэрэв өөр өөр цэгүүдийн алдаа өөр байвал томъёоны дагуу

Мэдээжийн хэрэг, хүн бүрийн өөртөө итгэх магадлал ижил байх ёстой.

3. Тархалтын хамт дундажийг нэмнэ

Алдаа нь үргэлж квадратуудын үндэс болж нэмэгддэг:

Энэ тохиолдолд та тооцоолсон итгэлийн магадлал нь давхцаж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

Графикаас дундаж үзүүлэлтийн багажийн алдааг хэрхэн тодорхойлох вэ? За, өөрөөр хэлбэл хосолсон цэгийн арга эсвэл хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан бид дундаж эсэргүүцлийн тархалтын алдааг олох болно. Дундаж эсэргүүцлийн хэрэгслийн алдааг хэрхэн олох вэ?

Хамгийн бага квадратын арга болон хосолсон цэгийн арга хоёулаа энэ асуултад хатуу хариулт өгч чадна. Светозаров дахь хамгийн бага квадратуудын форумын хувьд ("Үндсэн ...", хамгийн бага квадратын аргын хэсэг) байдаг бөгөөд хосолсон цэгүүдийн хувьд хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл бол (тэдний хэлснээр духан дээр) багаж хэрэгслийг тооцоолох явдал юм. өнцгийн коэффициент бүрийн алдаа. За, бүх зүйл дээр ...

Хэрэв та зовохыг хүсэхгүй байгаа бол лабораторийн номонд энгийн арга бий тооцоололөнцгийн коэффициентийн багажийн алдаа, тухайлбал дараах MNC-ээс (жишээлбэл, "Цахилгаан хэмжих хэрэгсэл ...." лабораторийн номны 1-р ажлын өмнө Арга зүйн зөвлөмжийн сүүлийн хуудас).

Энд зурсан шулуун шугамаас алдаа гарсан цэгийн Y тэнхлэгийн дагуух хамгийн их хазайлт, хуваагч нь X тэнхлэгийн дагуух графикийн талбайн өргөн юм.

Нарийвчлалын анги нь эсэргүүцлийн сэтгүүл дээр бичигдсэн байдаг: 0.05/4*10^-6? Үүнээс багажийн алдааг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь төхөөрөмжийн хамгийн их харьцангуй алдаа (хувиар) дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.
, Хаана
- сэтгүүлийн эсэргүүцлийн хамгийн өндөр утга, мөн - оруулсан эсэргүүцлийн нэрлэсэн утга.
Бид маш бага эсэргүүцэлтэй ажиллаж байгаа үед хоёр дахь нэр томъёо нь чухал гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг.

Дэлгэрэнгүй мэдээллийг төхөөрөмжийн паспорт дээрээс авах боломжтой. Төхөөрөмжийн брэндийг Google дээр бичээд паспортыг интернетээс олж болно.

Алдааны тухай уран зохиол

Энэ сэдвээр илүү их мэдээллийг нэгдүгээр курсын оюутнуудад санал болгож буй номноос олж болно.
V.V. Светозаров "Хэмжилтийн үр дүнгийн анхан шатны боловсруулалт"

Нэмэлт (нэгдүгээр курсын нэмэлт) уран зохиолын хувьд бид дараахь зүйлийг санал болгож болно.
В.В.Светозаров "Хэмжилтийн үр дүнгийн статистик боловсруулалтын үндэс"

Эцэст нь бүх зүйлийг ойлгохыг хүсч буй хүмүүс эндээс харах ёстой.
Ж.Тэйлор. "Алдааны онолын танилцуулга"

Эдгээр гайхалтай номуудыг олж сайт дээрээ нийтэлсэнд баярлалаа.

Яг байгалийн шинжлэх ухаан нь хэмжилт дээр суурилдаг. Хэмжихдээ хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг тоон хэлбэрээр илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь хэмжсэн хэмжигдэхүүн нь өөр хэмжигдэхүүнээс хэд дахин их эсвэл бага байгааг илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээрийн утгыг нэгж болгон авдаг. Хэмжилтийн үр дүнд олж авсан янз бүрийн хэмжигдэхүүний тоон утга нь бие биенээсээ хамаарч болно. Ийм хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг зарим хэмжигдэхүүнүүдийн тоон утгыг бусдын тоон утгуудаас хэрхэн олж болохыг харуулсан томъёо хэлбэрээр илэрхийлдэг.

Хэмжилт хийх явцад алдаа гарах нь гарцаагүй. Хэмжилтээс гарсан үр дүнг боловсруулахад ашигладаг аргуудыг эзэмших шаардлагатай. Энэ нь хэмжилтийн багцаас үнэнд хамгийн ойр үр дүнг олж авах, зөрчил, алдааг цаг тухайд нь анзаарах, хэмжилтийг өөрсдөө ухаалгаар зохион байгуулах, олж авсан утгын үнэн зөвийг зөв үнэлэх боломжийг олгоно.

Хэрэв хэмжилт нь өгөгдсөн хэмжигдэхүүнийг нэгжээр авсан өөр нэгэн төрлийн хэмжигдэхүүнтэй харьцуулахаас бүрддэг бол энэ тохиолдолд хэмжилтийг шууд гэж нэрлэдэг.

Шууд (шууд) хэмжилт- эдгээр нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний тоон утгыг хэмжүүр (стандарт) -тай шууд харьцуулах эсвэл хэмжсэн хэмжигдэхүүний нэгжээр тохируулсан багажийн тусламжтайгаар олж авдаг хэмжилтүүд юм.

Гэсэн хэдий ч ийм харьцуулалтыг үргэлж шууд хийдэггүй. Ихэнх тохиолдолд хэмжигдэхүүн нь бидний сонирхдог хэмжигдэхүүн биш, харин тодорхой харилцаа, хэв маягаар үүнтэй холбоотой бусад хэмжигдэхүүнүүд юм. Энэ тохиолдолд шаардлагатай хэмжигдэхүүнийг хэмжихийн тулд эхлээд хэд хэдэн өөр хэмжигдэхүүнийг хэмжих шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн утга нь хүссэн хэмжигдэхүүний утгыг тооцооллоор тодорхойлдог. Энэ хэмжилтийг шууд бус хэмжилт гэж нэрлэдэг.

Шууд бус хэмжилттоон хамаарлаар тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнтэй холбоотой нэг буюу хэд хэдэн хэмжигдэхүүнийг шууд хэмжих, эдгээр өгөгдлөөр тодорхойлсон хэмжигдэхүүний тооцооноос бүрдэнэ.

Хэмжилт гэдэг нь нэг утгыг үүнтэй холбоотой нөгөө утгыг харгалзах, бидний мэдрэхүйн тусламжтайгаар тоон үнэлгээ хийх боломжтой хэмжих хэрэгслийг үргэлж хамардаг. Жишээлбэл, одоогийн хүч нь сумны хазайлтын өнцгөөр төгссөн масштабаар таарч байна. Энэ тохиолдолд хэмжилтийн үйл явцын хоёр үндсэн нөхцөлийг хангасан байх ёстой: үр дүнгийн хоёрдмол утгагүй байдал, давтагдах байдал. Эдгээр хоёр нөхцөл нь үргэлж ойролцоогоор хангагдсан байдаг. Тийм ч учраас Хэмжилтийн процесс нь хүссэн утгыг олохын зэрэгцээ хэмжилтийн алдааны үнэлгээг агуулдаг.

Орчин үеийн инженер нь шаардлагатай найдвартай байдлыг харгалзан хэмжилтийн үр дүнгийн алдааг үнэлэх чадвартай байх ёстой. Тиймээс хэмжилтийн үр дүнг боловсруулахад ихээхэн анхаарал хандуулдаг. Алдааг тооцоолох үндсэн аргуудтай танилцах нь лабораторийн семинарын үндсэн ажлуудын нэг юм.

Яагаад алдаа гардаг вэ?

Хэмжилтийн алдаа гарах олон шалтгаан бий. Тэдгээрийн заримыг жагсаацгаая.

· Төхөөрөмжийн хэмжилтийн объекттой харилцах явцад үүсэх процессууд нь хэмжсэн утгыг зайлшгүй өөрчилдөг. Жишээлбэл, диаметр хэмжигч ашиглан эд ангиудын хэмжээсийг хэмжих нь тухайн хэсгийг шахах, өөрөөр хэлбэл хэмжээсийг өөрчлөхөд хүргэдэг. Заримдаа хэмжсэн утгад төхөөрөмжийн нөлөөллийг харьцангуй бага болгож болох боловч заримдаа энэ нь харьцуулах боломжтой эсвэл хэмжсэн хэмжээнээс давж гардаг.

· Аливаа төхөөрөмж нь дизайны төгс бус байдлаас шалтгаалан хэмжсэн утгыг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлох боломж хязгаарлагдмал байдаг. Жишээлбэл, амперметрийн заагч блок дахь янз бүрийн хэсгүүдийн хоорондох үрэлт нь гүйдэл бага, гэхдээ хязгаарлагдмал хэмжээгээр өөрчлөгдөхөд заагчийн хазайлтын өнцгийн өөрчлөлтөд хүргэдэггүй.

· Хэмжилтийн объекттой төхөөрөмжийн харилцан үйлчлэлийн бүхий л үйл явцад гадаад орчин үргэлж оролцдог бөгөөд параметрүүд нь өөрчлөгдөж, ихэнхдээ урьдчилан таамаглах боломжгүй байдаг. Энэ нь хэмжилтийн нөхцөл, улмаар хэмжилтийн үр дүнгийн давтагдах чадварыг хязгаарладаг.

· Багажны заалтыг нүдээр харах үед бидний нүдний тоолуурын боломж хязгаарлагдмал тул багажийн заалтыг уншихад тодорхой бус байдал гарч болзошгүй.

· Ихэнх хэмжигдэхүүнийг хүссэн хэмжигдэхүүн нь багаж хэрэгслээр шууд хэмждэг бусад хэмжигдэхүүнтэй хэрхэн харьцах талаарх бидний мэдлэгт тулгуурлан шууд бусаар тодорхойлогддог. Мэдээжийн хэрэг, шууд бус хэмжилтийн алдаа нь бүх шууд хэмжилтийн алдаанаас хамаарна. Нэмж дурдахад хэмжсэн объектын талаарх бидний мэдлэгийн хязгаарлалт, хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлын математик тайлбарыг хялбарчлах, хэмжилтийн явцад нөлөөлөл нь ач холбогдолгүй гэж тооцогддог хэмжигдэхүүнүүдийн нөлөөллийг үл тоомсорлож байгаа нь шууд бус хэмжилтийн алдааг бий болгодог.

Алдааны ангилал

Алдааны утгаТодорхой хэмжээний хэмжилтийг ихэвчлэн дараахь байдлаар тодорхойлдог.

1. Үнэмлэхүй алдаа - туршилтаар олдсон (хэмжсэн) болон тодорхой хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгын зөрүү

. (1)

Үнэмлэхүй алдаа нь X-ийн тодорхой утгыг хэмжихэд бид хэр их андуурч байгааг харуулдаг.

2. Үнэмлэхүй алдааг хэмжсэн X утгын үнэн утгад харьцуулсан харьцаатай тэнцүү харьцангуй алдаа

Харьцангуй алдаа нь бид X-ийн жинхэнэ утгын хэдэн хувийг андуурч байгааг харуулдаг.

Чанартайзарим хэмжигдэхүүний хэмжилтийн үр дүн нь харьцангуй алдаагаар тодорхойлогддог. Утгыг хувиар илэрхийлж болно.

(1) ба (2) томъёоноос харахад хэмжилтийн үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг олохын тулд бид зөвхөн хэмжсэн төдийгүй бидний сонирхож буй хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг мэдэх шаардлагатай байна. Гэхдээ жинхэнэ утга нь мэдэгдэж байгаа бол хэмжилт хийх шаардлагагүй болно. Хэмжилтийн зорилго нь тодорхой хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх утгыг олж тогтоох, хэрэв түүний жинхэнэ утга биш бол ядаж түүнээс бага зэрэг ялгаатай утгыг олох явдал юм. Тиймээс алдааны хэмжээг тодорхойлох томъёо (1) ба (2) нь практикт тохиромжгүй байдаг. Практик хэмжилтийн хувьд алдааг тооцдоггүй, харин тооцоолдог. Үнэлгээ нь туршилтын нөхцөл, аргачлалын нарийвчлал, багаж хэрэгслийн чанар болон бусад олон хүчин зүйлийг харгалзан үздэг. Бидний даалгавар: бодит утгад хангалттай ойр хэмжигдэхүүний утгыг олох, хэмжилтийн алдааг үндэслэлтэй үнэлэхийн тулд туршилтын арга зүйг хэрхэн бүтээх, туршлагаас олж авсан өгөгдлийг зөв ашиглах талаар сурах.

Хэмжилтийн алдааны тухай ярихдаа бид юуны түрүүнд дурдах хэрэгтэй бүдүүлэг алдаа (алдсан)туршилт хийгчийн хяналт эсвэл тоног төхөөрөмжийн эвдрэлээс үүдэлтэй. Ноцтой алдаанаас зайлсхийх хэрэгтэй. Хэрэв тэдгээр нь тохиолдсон нь тогтоогдсон бол холбогдох хэмжилтийг хасах шаардлагатай.

Бүдүүн алдаатай холбоогүй туршилтын алдааг санамсаргүй болон системчилсэн гэж хуваадаг.

-тайсанамсаргүй алдаа.Ижил хэмжилтийг олон удаа давтан хийснээр тэдгээрийн үр дүн нь хоорондоо яг тэнцүү биш, харин дунджийг тойрон "бүжиглэж" байгааг анзаарч болно (Зураг 1). Туршилтаас туршилтын хооронд хэмжээ, тэмдэг өөрчлөгддөг алдааг санамсаргүй гэж нэрлэдэг. Мэдрэхүйн төгс бус байдал, санамсаргүй гадны хүчин зүйл гэх мэт санамсаргүй алдааг туршилт хийгч өөрийн эрхгүй нэвтрүүлдэг. Хэрэв хэмжилт бүрийн алдаа нь үндсэндээ урьдчилан тааварлашгүй байвал хэмжсэн хэмжигдэхүүний утгыг санамсаргүй байдлаар өөрчилдөг. Эдгээр алдааг зөвхөн хүссэн хэмжигдэхүүний олон хэмжилтийн статистик боловсруулалтыг ашиглан үнэлж болно.

Системтэй алдаабагажийн алдаа (буруу масштаб, жигд бус суналтын пүрш, тэгш бус микрометрийн шурагны давирхай, тэгш бус тэнцвэрийн гар гэх мэт) болон туршилттай холбоотой байж болно. Туршилтын явцад тэд хэмжээсээ (мөн тэмдэгт!) хадгалдаг. Системчилсэн алдааны үр дүнд санамсаргүй алдаанаас болж тархсан туршилтын үр дүн нь жинхэнэ утгын эргэн тойронд хэлбэлздэггүй, харин тодорхой хэвийсэн утгын орчимд хэлбэлздэг (Зураг 2). Төхөөрөмжийн шинж чанарыг мэдэхийн тулд хүссэн хэмжигдэхүүнийг хэмжих бүрийн алдааг урьдчилан таамаглах боломжтой.

Шууд хэмжилтийн алдааны тооцоо

Системчилсэн алдаа. Системчилсэн алдаа нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний утгыг байгалийн жамаар өөрчилдөг. Хэмжилтийн явцад гарсан алдаанууд нь тухайн хэрэгслийн дизайны онцлогтой холбоотой бол хамгийн хялбар үнэлэгддэг. Эдгээр алдааг төхөөрөмжийн паспорт дээр зааж өгсөн болно. Зарим төхөөрөмжийн алдааг өгөгдлийн хуудаснаас хамааралгүйгээр үнэлж болно. Олон тооны цахилгаан хэмжих хэрэгслийн хувьд тэдгээрийн нарийвчлалын ангиллыг хуваарь дээр шууд зааж өгдөг.

Багажны нарийвчлалын ангилал- энэ нь төхөөрөмжийн үнэмлэхүй алдааны хэмжсэн хэмжигдэхүүний хамгийн их утгатай харьцуулсан харьцаа бөгөөд үүнийг энэ төхөөрөмжийг ашиглан тодорхойлж болно (энэ нь энэ төхөөрөмжийн системчилсэн харьцангуй алдааг хуваарийн үнэлгээний хувиар илэрхийлнэ).

.

Дараа нь ийм төхөөрөмжийн үнэмлэхүй алдааг дараахь харьцаагаар тодорхойлно.

.

Цахилгаан хэмжих хэрэгслийн хувьд нарийвчлалын 8 ангиллыг нэвтрүүлсэн: 0.05; 0.1; 0.5; 1.0; 1.5; 2.0; 2.5; 4.

Хэмжилтийн утга нь нэрлэсэн утгад ойртох тусам хэмжилтийн үр дүн илүү нарийвчлалтай байх болно. Тухайн төхөөрөмжийн өгч чадах хамгийн дээд нарийвчлал (өөрөөр хэлбэл харьцангуй бага алдаа) нь нарийвчлалын ангилалтай тэнцүү байна. Олон хэмжээст хэрэгслийг ашиглахдаа энэ нөхцөл байдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хэмжилтийн утга нь хуваарийн дотор үлдэхийн зэрэгцээ нэрлэсэн утгатай аль болох ойр байхаар масштабыг сонгох ёстой.

Хэрэв төхөөрөмжийн нарийвчлалын ангиллыг заагаагүй бол дараахь дүрмийг дагаж мөрдөх шаардлагатай.

· Нониустай багажийн үнэмлэхүй алдаа нь вернерийн нарийвчлалтай тэнцүү байна.

· Тогтмол сумны давирхайтай багажуудын үнэмлэхүй алдаа нь хуваах утгатай тэнцүү байна.

· Тоон төхөөрөмжийн үнэмлэхүй алдаа нь хамгийн бага нэг оронтой тэнцүү байна.

· Бусад бүх хэрэгслийн хувьд үнэмлэхүй алдааг хуваах утгын талтай тэнцүү гэж үзнэ.

Санамсаргүй алдаа. Эдгээр алдаа нь статистик шинж чанартай бөгөөд магадлалын онолоор тодорхойлогддог. Маш олон тооны хэмжилт хийснээр бие даасан хэмжилт бүрт нэг буюу өөр үр дүнг авах магадлалыг Гауссын хэвийн тархалтыг ашиглан тодорхойлж болно. Цөөн тооны хэмжилтийн тусламжтайгаар нэг буюу өөр хэмжилтийн үр дүнг олж авах магадлалын математик тайлбарыг Оюутны тархалт гэж нэрлэдэг (та энэ талаар "Физик хэмжигдэхүүний хэмжилтийн алдаа" гарын авлагаас дэлгэрэнгүй унших боломжтой).

Хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг хэрхэн үнэлэх вэ?

Тодорхой утгыг хэмжихэд бид N үр дүнг хүлээн авлаа гэж бодъё. . Цуврал хэмжилтийн арифметик дундаж нь ихэнх бие даасан хэмжилтээс хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгад ойр байдаг. Тодорхой утгыг хэмжих үр дүнг авахын тулд дараах алгоритмыг ашиглана.

1). Тооцоолсон дундаж N шууд хэмжилтийн цуврал:

2). Тооцоолсон хэмжилт бүрийн үнэмлэхүй санамсаргүй алдаань N цуврал хэмжилтийн арифметик дундаж ба энэ хэмжилтийн хоорондох зөрүү юм.

.

3). Тооцоолсон дундаж квадрат үнэмлэхүй алдаа:

.

4). Тооцоолсон үнэмлэхүй санамсаргүй алдаа. Цөөн тооны хэмжилтийн тусламжтайгаар үнэмлэхүй санамсаргүй алдааг язгуур дундаж квадрат алдаа болон Оюутны коэффициент гэж нэрлэгддэг тодорхой коэффициентээр тооцоолж болно.

,

Оюутны коэффициент нь хэмжилтийн N тоо ба найдвартай байдлын коэффициентээс хамаарна (Хүснэгт 1-д Оюутны коэффициентийн найдвартай байдлын коэффициентийн тогтмол утга дахь хэмжилтийн тооноос хамаарах хамаарлыг харуулав).

Найдвартай байдлын хүчин зүйлхэмжсэн утгын үнэн утга нь итгэлцлийн интервалд багтах магадлал юм.

Итгэлийн интервал хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга тодорхой магадлалтайгаар унах тоон интервал юм.

Тиймээс Оюутны коэффициент нь өгөгдсөн хэмжилтийн үр дүнгийн найдвартай байдлыг хангахын тулд дундаж квадрат алдааг үржүүлэх шаардлагатай тоо юм.

Өгөгдсөн тооны хэмжилтэд шаардагдах найдвартай байдал их байх тусам Оюутны коэффициент их байх болно. Нөгөө талаас хэмжилтийн тоо их байх тусам өгөгдсөн найдвартай байдлын Оюутны коэффициент бага байна. Манай цехийн лабораторийн ажилд бид найдвартай байдлыг 0.9-тэй тэнцүү гэж үзнэ. Өөр өөр тооны хэмжилтийн хувьд энэ найдвартай байдлын Оюутны коэффициентүүдийн тоон утгыг Хүснэгт 1-д үзүүлэв.

Хүснэгт 1

5). Тооцоолсон нийт үнэмлэхүй алдаа.Аливаа хэмжилтэд санамсаргүй болон системчилсэн алдаа хоёулаа байдаг. Хэмжилтийн нийт (нийт) үнэмлэхүй алдааг тооцоолох нь амаргүй ажил биш, учир нь эдгээр алдаа нь өөр өөр шинж чанартай байдаг.

Инженерийн хэмжилтийн хувьд системчилсэн болон санамсаргүй үнэмлэхүй алдааг нэгтгэн дүгнэх нь зүйтэй юм

.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд алдаа нь ижил дарааллаар байвал үнэмлэхүй санамсаргүй ба үнэмлэхүй системчилсэн (хэрэгслийн) алдааны нийлбэрээр нийт үнэмлэхүй алдааг тооцох, хэрэв алдаатай бол алдааны аль нэгийг үл тоомсорлох нь заншилтай байдаг. хэмжээнээс илүү (10 дахин) нөгөөгөөсөө бага.

6). Алдаа болон үр дүн нь дугуйрсан байна. Хэмжилтийн үр дүнг нийт үнэмлэхүй алдаагаар тодорхойлдог утгын интервал хэлбэрээр харуулсан тул үр дүн, алдааг зөв дугуйлах нь чухал юм.

Бөөрөнхийлөлт үнэмлэхүй алдаанаас эхэлдэг!!!Алдааны утгад үлдсэн чухал тоонуудын тоо нь ерөнхийдөө найдвартай байдлын коэффициент ба хэмжилтийн тооноос хамаарна. Гэсэн хэдий ч алдааны яг тодорхой утга чухал ач холбогдолтой маш нарийн хэмжилтийн хувьд (жишээлбэл, одон орон судлалын) хоёроос илүү чухал тоог бүү үлдээ. Алдааны тодорхойлолт нь өөрөө алдаатай байдаг тул олон тооны тоо нь утгагүй юм. Манай практикт харьцангуй бага найдвартай байдлын коэффициент, цөөн тооны хэмжилт байдаг. Тиймээс, дугуйрсан үед (илүүдэл) нийт үнэмлэхүй алдааг нэг чухал тоонд үлдээдэг.

Үнэмлэхүй алдааны чухал цифрийн цифр нь үр дүнгийн утгын эхний эргэлзээтэй цифрийн цифрийг тодорхойлно. Үүний үр дүнд үр дүнгийн утгыг өөрөө алдааны чухал цифрийн цифртэй давхцаж байгаа чухал оронтой тоонд (засвартай) дугуйрсан байх ёстой. Тогтоосон дүрмийг зарим тоонууд нь тэгтэй тэнцүү тохиолдолд хэрэглэх ёстой.

Хэрэв биеийн жинг хэмжихэд гарсан үр дүн нь 0.900 тооны төгсгөлд тэг бичих шаардлагатай. Бичлэг нь дараагийн чухал тоонуудын талаар юу ч мэдэгдээгүй гэсэн үг бөгөөд хэмжилтүүд нь тэг болохыг харуулсан.

7). Тооцоолсон харьцангуй алдаа.

Харьцангуй алдааг дугуйлахдаа хоёр чухал тоог үлдээхэд хангалттай.

РТодорхой физик хэмжигдэхүүнийг хэд хэдэн хэмжилтийн үр дүнг утгын интервал хэлбэрээр харуулсан бөгөөд энэ интервалд жинхэнэ утга орох магадлалыг харуулсан, өөрөөр хэлбэл үр дүнг дараах хэлбэрээр бичих ёстой.

Энд байгаа нийт үнэмлэхүй алдаа, эхний чухал цифр хүртэл дугуйрсан бөгөөд аль хэдийн дугуйрсан алдааг харгалзан дугуйрсан хэмжсэн утгын дундаж утга юм. Хэмжилтийн үр дүнг бүртгэхдээ та утгын хэмжих нэгжийг зааж өгөх ёстой.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

1. Хэсгийн уртыг хэмжихдээ дараах үр дүнг гаргалаа гэж бодъё: см ба см Хэсгийн уртыг хэмжих үр дүнг хэрхэн зөв бичих вэ? Нэгдүгээрт, бид үнэмлэхүй алдааг илүүдлээр нь дугуйлж, алдааны чухал цифрийг зуутын тоонд үлдээнэ. Дараа нь залруулга хийснээр бид дундаж утгыг хамгийн ойрын зуу хүртэл, өөрөөр хэлбэл, алдааны чухал цифрийн цифртэй давхцаж буй чухал цифр рүү дугуйлна. Харьцангуй алдааг тооцоолохыг үзнэ үү

.

см; ; .

2. Дамжуулагчийн эсэргүүцлийг тооцоолохдоо бид дараах үр дүнг авсан гэж үзье. Тэгээд . Нэгдүгээрт, бид үнэмлэхүй алдааг дугуйлж, нэг чухал тоо үлдээдэг. Дараа нь бид дундажийг хамгийн ойрын бүхэл тоо хүртэл дугуйруулна. Харьцангуй алдааг тооцоол

.

Бид хэмжилтийн үр дүнг дараах байдлаар бичнэ.

; ; .

3. Ачааллын массыг тооцоолохдоо бид дараах үр дүнг хүлээн авлаа гэж бодъё. кг ба кг. Нэгдүгээрт, бид үнэмлэхүй алдааг дугуйлж, нэг чухал тоо үлдээдэг кг. Дараа нь бид дундажийг хамгийн ойрын арав руу дугуйлна кг. Харьцангуй алдааг тооцоол

.

.

Алдааны онолын талаархи асуулт, даалгавар

1. Физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Жишээ хэлнэ үү.

2. Хэмжилтийн алдаа яагаад гардаг вэ?

3. Үнэмлэхүй алдаа гэж юу вэ?

4. Харьцангуй алдаа гэж юу вэ?

5. Хэмжилтийн чанарыг ямар алдаа тодорхойлдог вэ? Жишээ хэлнэ үү.

6. Итгэлийн интервал гэж юу вэ?

7. “Системийн алдаа” гэсэн ойлголтыг тодорхойл.

8. Системчилсэн алдааны шалтгаан юу вэ?

9. Хэмжих хэрэгслийн нарийвчлалын ангилал хэд вэ?

10. Төрөл бүрийн физик хэрэгслийн үнэмлэхүй алдааг хэрхэн тодорхойлох вэ?

11. Ямар алдааг санамсаргүй гэж нэрлэдэг ба тэдгээр нь хэрхэн үүсдэг вэ?

12. Дундаж квадратын алдааг тооцоолох журмыг тайлбарлана уу.

13. Шууд хэмжилтийн үнэмлэхүй санамсаргүй алдааг тооцоолох журмыг тайлбарлана уу.

14. “найдвартай байдлын хүчин зүйл” гэж юу вэ?

15. Оюутны коэффициент ямар үзүүлэлтээс хэрхэн хамаарах вэ?

16. Шууд хэмжилтийн нийт үнэмлэхүй алдааг хэрхэн тооцдог вэ?

17. Шууд бус хэмжилтийн харьцангуй ба үнэмлэхүй алдааг тодорхойлох томьёо бич.

18. Үр дүнг алдаагаар бөөрөнхийлөх дүрмийг томъёол.

19. 0.5 см-ийн хуваах утгатай соронзон хэмжүүр ашиглан хананы уртыг хэмжихэд харьцангуй алдааг ол. Хэмжилтийн утга нь 4.66 м байв.

20. Тэгш өнцөгтийн А ба В талуудын уртыг хэмжихэд ΔA ба ΔB үнэмлэхүй алдаа тус тус гарсан. Эдгээр хэмжилтийн үр дүнгээс талбайг тодорхойлоход гарсан ΔS үнэмлэхүй алдааг тооцоолох томьёог бичнэ үү.

21. Шоо ирмэгийн L уртыг хэмжихэд ΔL алдаа гарсан. Эдгээр хэмжилтийн үр дүнд үндэслэн кубын эзлэхүүний харьцангуй алдааг тодорхойлох томьёог бич.

22. Амралтын байдлаас жигд хурдтай хөдөлсөн бие. Хурдатгалыг тооцоолохын тулд бид S биеийн туулсан зам болон түүний хөдөлгөөний t цагийг хэмжсэн. Эдгээр шууд хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа нь ΔS ба Δt байсан. Эдгээр өгөгдлөөс харьцангуй хурдатгалын алдааг тооцоолох томьёог гарга.

23. Хэмжлийн өгөгдлийн дагуу халаалтын төхөөрөмжийн хүчийг тооцоолохдоо Pav = 2361.7893735 Вт ба ΔР = 35.4822 Вт утгыг авсан. Үр дүнг итгэлтэй интервал болгон тэмдэглэж, шаардлагатай бол дугуйруулна.

24. Хэмжилтийн өгөгдөл дээр үндэслэн эсэргүүцлийн утгыг тооцоолохдоо дараахь утгыг авсан: Rav = 123.7893735 Ом, ΔR = 0.348 Ом. Үр дүнг итгэлийн интервал болгон тэмдэглэж, шаардлагатай бол дугуйрна.

25. Хэмжилтийн өгөгдөл дээр үндэслэн үрэлтийн коэффициентийг тооцоолохдоо μav = 0.7823735 ба Δμ = 0.03348 утгыг авсан. Үр дүнг итгэлийн интервал болгон тэмдэглэж, шаардлагатай бол дугуйрна.

26. 16.6 А гүйдлийг 1.5 нарийвчлалын ангилалтай, 50 А масштабтай төхөөрөмж ашиглан тодорхойлсон. Энэ хэмжилтийн үнэмлэхүй багажийн болон харьцангуй алдааг ол.

27. Дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийг 5 удаа хэмжилт хийхэд 2.12 сек, 2.10 сек, 2.11 сек, 2.14 сек, 2.13 сек гэсэн утгыг авсан. Эдгээр өгөгдлөөс үеийг тодорхойлох үнэмлэхүй санамсаргүй алдааг ол.

28. Тодорхой өндрөөс ачаа буулгах туршилтыг 6 удаа давтлаа. Энэ тохиолдолд ачаалал буурах хугацааны дараах утгыг авсан: 38.0 сек, 37.6 сек, 37.9 сек, 37.4 сек, 37.5 сек, 37.7 сек. Уналтын цагийг тодорхойлох харьцангуй алдааг ол.

Хуваалтын утга нь заагчийг нэг хуваахад хүргэдэг хэмжсэн утга юм. Хуваалтын утгыг төхөөрөмжийн хэмжилтийн дээд хязгаарыг хуваарийн хуваалтын тоонд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлно.

1. Танилцуулга

Химич, физикч, байгалийн шинжлэх ухааны бусад мэргэжлийн төлөөлөгчдийн ажил нь ихэвчлэн янз бүрийн хэмжигдэхүүнүүдийн тоон хэмжилтийг хийдэг. Энэ тохиолдолд олж авсан утгуудын найдвартай байдалд дүн шинжилгээ хийх, шууд хэмжилтийн үр дүнг боловсруулах, шууд хэмжсэн шинж чанарын утгыг ашигладаг тооцооллын алдааг үнэлэх (сүүлийн процессыг үр дүнг боловсруулах гэж нэрлэдэг) гэсэн асуулт гарч ирдэг. шууд бусхэмжилт). Олон тооны объектив шалтгааны улмаас Москвагийн Улсын Их Сургуулийн Химийн факультетийн төгсөгчдийн алдааг тооцоолох мэдлэг нь хүлээн авсан өгөгдлийг зөв боловсруулахад үргэлж хангалтгүй байдаг. Эдгээр шалтгаануудын нэг нь багш нарын сургалтын хөтөлбөрт хэмжилтийн үр дүнг статистик боловсруулах хичээл байхгүй байгаа явдал юм.

Энэ үед алдааг тооцох асуудлыг мэдээж сайтар судалсан. Олон тооны арга зүйн боловсруулалт, сурах бичиг гэх мэт алдааг тооцоолох талаархи мэдээллийг олж авах боломжтой. Харамсалтай нь эдгээр ажлын ихэнх нь нэмэлт, үргэлж шаардлагатай биш мэдээллээр хэт ачаалалтай байдаг. Ялангуяа оюутны семинарын ихэнх ажил нь дээжийг харьцуулах, нэгдмэл байдлыг үнэлэх гэх мэт үйлдлүүдийг шаарддаггүй. Тиймээс хамгийн их хэрэглэгддэг тооцооллын алгоритмуудыг тоймлон харуулсан товч боловсруулалтыг бий болгох нь зүйтэй юм шиг санагдаж байна. зориулдаг.

2. Энэ ажилд батлагдсан тэмдэглэгээ

Хэмжилтийн утга, - хэмжсэн утгын дундаж утга, - хэмжсэн утгын дундаж утгын үнэмлэхүй алдаа, - хэмжсэн утгын дундаж утгын харьцангуй алдаа.

3. Шууд хэмжилтийн алдааны тооцоо

Тиймээс тэдгээрийг гүйцэтгэсэн гэж үзье n ижил нөхцөлд ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих. Энэ тохиолдолд та авсан хэмжилт дэх энэ утгын дундаж утгыг тооцоолж болно.

(1)

Алдааг хэрхэн тооцоолох вэ? Дараахь томъёоны дагуу:

(2)

Энэ томъёонд Оюутны коэффициентийг ашигладаг. Түүний өөр өөр итгэл үнэмшил, үнэ цэнийн утгыг өгсөн болно.

3.1. Шууд хэмжилтийн алдааг тооцоолох жишээ:

Даалгавар.

Металл баарны уртыг хэмжсэн. 10 хэмжилт хийж, дараах утгыг авсан: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Хэмжсэн хэмжигдэхүүн (барын урт) болон түүний алдааны дундаж утгыг олох шаардлагатай.

Шийдэл.

Томъёо (1)-ийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

мм

Одоо (2) томъёог ашиглан дундаж утгын үнэмлэхүй алдааг итгэлтэй магадлал ба эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог олно (бид утгыг ашигладаг = 2.262, дараахаас авсан):

Үр дүнг бичье:

10.8±0.7 0.95 мм

4. Шууд бус хэмжилтийн алдааны тооцоо

Туршилтын явцад хэмжигдэхүүнүүдийг хэмждэг гэж үзье , Тэгээдв Хүлээн авсан утгыг ашиглан утгыг томъёогоор тооцоолно . Энэ тохиолдолд шууд хэмжсэн хэмжигдэхүүний алдааг 3-р зүйлд заасны дагуу тооцоолно.

Аргументуудын дундаж утгыг ашиглан хамаарлын дагуу хэмжигдэхүүний дундаж утгыг тооцоолно.

Алдааны утгыг дараах томъёогоор тооцоолно.

,(3)

Энд аргументуудын тоо, аргументтай холбоотой функцийн хэсэгчилсэн дериватив, аргументийн дундаж утгын үнэмлэхүй алдаа.

Шууд хэмжилтийн нэгэн адил үнэмлэхүй алдааг томъёогоор тооцоолно.

4.1. Шууд хэмжилтийн алдааг тооцоолох жишээ:

Даалгавар.

5 шууд хэмжилт хийсэн ба . Дараах утгыг авсан: 50, 51, 52, 50, 47; хэмжигдэхүүнээр дараах утгыг авсан: 500, 510, 476, 354, 520. Томъёогоор тодорхойлсон хэмжигдэхүүний утгыг тооцоолж, олж авсан утгын алдааг олох шаардлагатай.

3.1 Арифметик дундаж алдаа.Өмнө дурьдсанчлан хэмжилт нь үндсэндээ туйлын үнэн зөв байж чадахгүй. Тиймээс хэмжилтийн явцад хэмжсэн утгын жинхэнэ утга хамгийн их байж болох интервалыг тодорхойлох даалгавар гарч ирдэг. Энэ интервалыг хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааны хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Хэрэв бид хэмжилтийн ноцтой алдааг арилгаж, системчилсэн алдааг багаж хэрэгсэл болон бүхэл бүтэн суурилуулалтыг сайтар тохируулах замаар багасгасан гэж үзвэл шийдэмгий биш бол хэмжилтийн үр дүн нь зөвхөн ээлжлэн хэмжигдэхүүн болох санамсаргүй алдааг агуулна. Тиймээс, хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэд хэдэн удаа давтан хэмжилт хийвэл хэмжсэн хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утга нь түүний арифметик дундаж утга юм.

Дундаж үнэмлэхүй алдаабие даасан хэмжилтийн абсолют алдааны модулийн арифметик дундаж гэж нэрлэдэг:

Сүүлчийн тэгш бус байдлыг хэмжилтийн эцсийн үр дүн гэж ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

Энд cf үнэмлэхүй алдааг нэг буюу хоёр чухал тоон нарийвчлалтайгаар тооцоолох (дугуйруулах) шаардлагатай. Үнэмлэхүй алдаа нь тоонуудын аль тэмдэгт алдаатай байгааг харуулж байгаа тул илэрхийлэлд байна Лхагва гаригТэд бүх зөв тоо, нэг эргэлзээтэй тоог үлдээдэг. Өөрөөр хэлбэл хэмжсэн утгын дундаж утга ба дундаж алдааг ижил оронтой тоогоор тооцоолох ёстой. Жишээлбэл: g = (9,78 ± 0.24) м/с 2 .

Харьцангуй алдаа.Үнэмлэхүй алдаа нь хэмжсэн утгын хамгийн их магадлалтай утгуудын интервалыг тодорхойлдог боловч хийсэн хэмжилтийн нарийвчлалын түвшинг тодорхойлдоггүй. Жишээлбэл, хүн ам суурьшсан газар хоорондын зайг хэдэн метрийн нарийвчлалтайгаар хэмждэг бол маш нарийвчлалтай хэмжилт гэж ангилж болох бөгөөд утасны диаметрийг 1 мм-ийн нарийвчлалтайгаар хэмжих нь ихэнх тохиолдолд маш ойролцоо хэмжилт байх болно.

Авсан хэмжилтийн нарийвчлалын зэрэг нь харьцангуй алдаагаар тодорхойлогддог.

Дундаж харьцангуй алдааэсвэл зүгээр л харьцангуй хэмжилтийн алдаа нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний дундаж утгын үнэмлэхүй хэмжилтийн дундаж алдааны харьцаа юм.

Харьцангуй алдаа нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн бөгөөд ихэвчлэн хувиар илэрхийлэгддэг.

3.2 Аргын алдаа эсвэл багаж хэрэгслийн алдаа.Хэмжсэн утгын арифметик дундаж утга нь үнэнд ойртох тусам илүү олон хэмжилт хийх бөгөөд тоо нэмэгдэх тусам хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа нь хэмжилтийн арга, ашигласан хэрэгслийн техникийн шинж чанараар тодорхойлогддог утга руу чиглэнэ.

Аргын алдааэсвэл төхөөрөмжийн нарийвчлалын ангилал эсвэл түүний үнэмлэхүй эсвэл харьцангуй хэмжилтийн алдааг харуулсан төхөөрөмжийн техникийн паспорт дахь төхөөрөмжийн нарийвчлалын ангилал эсвэл бусад өгөгдлийг мэдэж байгаа нэг удаагийн хэмжилтээс багажийн алдааг тооцоолж болно.

Нарийвчлалын ангилалтөхөөрөмж нь төхөөрөмжийн нэрлэсэн харьцангуй алдааг хувиар илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл хэмжсэн утга нь тухайн төхөөрөмжийн хязгаартай тэнцүү байх үед хэмжилтийн харьцангуй алдааг илэрхийлдэг.

Төхөөрөмжийн үнэмлэхүй алдаа нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний утгаас хамаарахгүй.

Төхөөрөмжийн харьцангуй алдаа (тодорхойлолтоор):

(10)

Үүнээс харахад хэмжсэн хэмжигдэхүүний утга нь тухайн төхөөрөмжийн хэмжилтийн хязгаарт ойртох тусам багажийн харьцангуй алдаа багасна. Тиймээс хэмжсэн утга нь тухайн төхөөрөмжийн зохион бүтээсэн утгын 60-90% байхаар төхөөрөмжүүдийг сонгохыг зөвлөж байна. Олон хүрээний хэрэгсэлтэй ажиллахдаа хэмжүүрийн хоёрдугаар хагаст уншилт хийхийг хичээх хэрэгтэй.

Нарийвчлал, алдааны ангилал нь техникийн шинж чанараар тодорхойлогдоогүй энгийн багаж хэрэгсэл (захирагч, стакан гэх мэт) -тэй ажиллахдаа шууд хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааг энэ хэрэгслийн хуваах утгын хагастай тэнцүү авна. (Хэмжээний хэмжигдэхүүний утга нь багажийн заалт нэг хуваагдсан үед хуваагдсан хэмжигдэхүүн юм).

Шууд бус хэмжилтийн багажийн алдааойролцоогоор тооцоолох дүрмийг ашиглан тооцоолж болно. Шууд бус хэмжилтийн алдааны тооцоог хоёр нөхцөл (таамаглал) дээр үндэслэнэ.

1. Хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа нь хэмжсэн утгатай харьцуулахад үргэлж маш бага байдаг. Тиймээс үнэмлэхүй алдааг (онолын хувьд) хэмжсэн хэмжигдэхүүний хязгааргүй жижиг өсөлт гэж үзэж болох бөгөөд тэдгээрийг харгалзах дифференциалаар сольж болно.

2. Шууд бусаар тодорхойлогддог физик хэмжигдэхүүн нь нэг буюу хэд хэдэн шууд хэмжигдэхүүний функц бол хязгааргүй жижиг өсөлтөөс шалтгаалсан функцийн үнэмлэхүй алдаа нь мөн л хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн болно.

Эдгээр таамаглалын дагуу үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг олон хувьсагчийн функцүүдийн дифференциал тооцооны онолын сайн мэддэг илэрхийлэлүүдийг ашиглан тооцоолж болно.

	(11)
	(12)

Шууд хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа нь нэмэх эсвэл хасах тэмдэгтэй байж болох ч аль нь тодорхойгүй байна. Тиймээс алдааг тодорхойлохдоо бие даасан хэмжигдэхүүнийг шууд хэмжих алдаа нь ижил тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй алдаа нь хамгийн их утгатай байх үед хамгийн тааламжгүй тохиолдлыг авч үздэг. Тиймээс функцийн өсөлтийг тооцоолохдоо f(x 1,x 2,…,x n)(11) ба (12) томъёоны дагуу хэсэгчилсэн өсөлтийг үнэмлэхүй утгад нэмэх шаардлагатай. Тиймээс ойролцоогоор тооцооллыг ашиглан Dх i ≈ dx i,мөн (11) ба (12) илэрхийллүүд нь хязгааргүй жижиг өсөлтийн хувьд Тиймээбичиж болно:

	(13)
	(14)

Энд: А -шууд бусаар хэмжсэн физик хэмжигдэхүүн, өөрөөр хэлбэл тооцооллын томъёогоор тодорхойлогддог. Тиймээ- түүний хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа; x 1, x 2,...x n; Dх 1, Dx 2,..., Dх n,- шууд хэмжилтийн физик хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн үнэмлэхүй алдаа тус тус.

Иймд: а) шууд бус хэмжилтийн аргын үнэмлэхүй алдаа нь хэмжилтийн функцийн хэсэгчилсэн деривативын бүтээгдэхүүний үнэмлэхүй утгуудын нийлбэр ба шууд хэмжилтийн харгалзах үнэмлэхүй алдаатай тэнцүү байна; б) шууд бус хэмжилтийн аргын харьцангуй алдаа нь тооцооллын томъёогоор тодорхойлогддог хэмжилтийн функцийн натурал логарифмаас ялгарах модулиудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Илэрхийлэл (13) ба (14) нь нэг удаагийн хэмжилт дээр үндэслэн үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Эдгээр томъёог ашиглан тооцооллыг багасгахын тулд алдаануудын аль нэгийг (туйлын эсвэл харьцангуй) тооцоолоход хангалттай бөгөөд тэдгээрийн хоорондох энгийн хамаарлыг ашиглан нөгөөг нь тооцоолоход хангалттай гэдгийг анхаарна уу.

Практикт (13) томъёог илүү их ашигладаг, учир нь тооцооллын томьёоны логарифмийг авахдаа янз бүрийн хэмжигдэхүүнүүдийн бүтээгдэхүүнийг харгалзах нийлбэр болгон хувиргаж, хүч ба экспоненциал функцийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг бөгөөд энэ нь ялгах үйл явцыг ихээхэн хялбаршуулдаг. .

Шууд бус хэмжилтийн аргын алдааг тооцоолох практик удирдамжийн хувьд та дараах дүрмийг ашиглаж болно.

Шууд бус хэмжилтийн аргын харьцангуй алдааг тооцоолохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1. Шууд хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааг (багажийн эсвэл дундаж) тодорхойлох.

2. Тооцооллын (ажлын) томьёог логарифм.

3. Шууд хэмжилтийн утгыг бие даасан хувьсагч болгон авч, үүссэн илэрхийллийн нийт дифференциалыг ол.

4. Бүх хэсэгчилсэн дифференциалуудыг абсолют утгаар нь нэмж, тэдгээрийн хувьсагчийн дифференциалуудыг шууд хэмжилтийн харгалзах абсолют алдаагаар солино.

Жишээлбэл, цилиндр хэлбэртэй биеийн нягтыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

(16)

Хаана m, D, h -хэмжсэн хэмжигдэхүүнүүд.

Алдааг тооцоолох томъёог олж авцгаая.

1. Ашигласан тоног төхөөрөмж дээр үндэслэн бид цилиндрийн масс, диаметр, өндрийг хэмжих үнэмлэхүй алдааг тодорхойлно. (∆м, ∆D, ∆hтус тус).

2. Логарифм илэрхийлэл (16):

3. Ялгах:

4. Бие даасан хувьсагчийн дифференциалыг үнэмлэхүй алдаагаар сольж, хэсэгчилсэн өсөлтийн модулиудыг нэмбэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

5. Тоон утгыг ашиглах m, D, h, D, m, h, бид тоолдог Э.

6. Үнэмлэхүй алдааг тооцоол

Хаана r(16) томъёог ашиглан тооцоолно.

Дотоод диаметртэй хөндий цилиндр эсвэл хоолойн хувьд бид үүнийг өөрөө харахыг санал болгож байна D 1ба гадна диаметр D 2

Хэмжилтийн аргын алдааг (шууд ба шууд бус) тооцоолохдоо ижил нөхцөлд олон хэмжилт хийх боломжгүй эсвэл маш их цаг хугацаа шаардагддаг тохиолдолд ашиглах шаардлагатай.

Хэрэв хэмжилтийн алдааг тодорхойлох нь үндсэн ажил бол хэмжилтийг ихэвчлэн давтан хийж, арифметик дундаж алдаа болон аргын алдаа (хэрэгслийн алдаа) хоёуланг нь тооцдог. Эцсийн үр дүн нь тэдний хамгийн томийг харуулж байна.

Тооцооллын нарийвчлалын талаар

Үр дүнгийн алдаа нь зөвхөн хэмжилтийн алдаанаас гадна тооцооллын алдаагаар тодорхойлогддог. Тооцооллыг тэдгээрийн алдаа нь хэмжилтийн үр дүнгийн алдаанаас бага хэмжээний дарааллаар хийх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд ойролцоо тоо бүхий математик үйлдлийн дүрмийг санаарай.

Хэмжилтийн үр дүн нь ойролцоо тоо юм. Ойролцоогоор тоонд бүх тоо зөв байх ёстой. Ойролцоо тооны хамгийн сүүлийн зөв цифр нь алдаа нь түүний цифрийн нэг нэгжээс хэтрэхгүй байх ёстой гэж тооцогддог. 1-ээс 9 хүртэлх бүх цифрүүд, хэрэв энэ тоонуудын дунд эсвэл төгсгөлд байгаа бол 0-ийг чухал гэж нэрлэдэг. 2330 тоо нь 4 чухал оронтой боловч 5-ын зүүн талд байгаа тэг нь ач холбогдолгүй тул 6.1 × 10 2 тоо нь зөвхөн хоёр, 0.0503 тоо нь гурав юм. 2.39 гэсэн тоог бичвэл бүх аравтын орон зөв, 1.2800 гэж бичвэл гурав, дөрөв дэх аравтын орон зөв байна гэсэн үг. 1.90 тоо нь гурван чухал тоотой бөгөөд энэ нь хэмжихдээ зөвхөн нэгж төдийгүй арав, зуу, 1.9 тоо нь зөвхөн хоёр чухал тоотой бөгөөд энэ нь бид бүхэл, аравны нэг, нарийвчлалыг харгалзан үзсэн гэсэн үг юм. тоо 10 дахин бага.

Тоог дугуйлах дүрэм

Бөөрөнхийлөхдөө зөвхөн зөв тэмдгүүдийг үлдээж, үлдсэнийг нь хаядаг.

1. Хаягдсан цифрүүдийн эхнийх нь 5-аас бага байвал тоонуудыг зүгээр л хаяснаар бөөрөнхийлөнө.

2. Хаясан цифрүүдийн эхнийх нь 5-аас их байвал сүүлийн цифрийг нэгээр нэмэгдүүлнэ. Хасах эхний цифр нь 5, дараа нь тэгээс өөр нэг буюу хэд хэдэн цифр байх үед сүүлийн цифр мөн нэмэгдэнэ.

Жишээлбэл, 35.856-ийн янз бүрийн дугуйралт нь: 35.9; 36.

3. Хаясан орон нь 5, ард нь чухал цифр байхгүй бол тэгш тоогоор ойртуулах, өөрөөр хэлбэл, хамгийн сүүлийн үлдсэн цифр тэгш бол өөрчлөгдөхгүй, сондгой бол нэгээр нэмэгдэнэ. .

Жишээлбэл, 0.435-ыг 0.44 болгон дугуйрсан; Бид 0.365-аас 0.36 хүртэл дугуйлна.